%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\newdimen\gnArgHgt
\def\Godelnum #1{%
\setbox\gnBoxA=\hbox{$#1$}%
\gnArgHgt=\ht\gnBoxA%
\ifnum     \gnArgHgt<\gnCornerHgt \gnArgHgt=0pt%
\else \advance \gnArgHgt by -\gnCornerHgt%
\fi \raise\gnArgHgt\hbox{$\ulcorner$} \box\gnBoxA %
\raise\gnArgHgt\hbox{$\urcorner$}}

\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 10} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 21.7.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}



\begin{enumerate}


\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (4 Punkte)
Sei $p,q,r,s \in \mathbb{R}^3$. Zeigen Sie, dass 
$\langle p \times q, r \times s \rangle = \langle p,r \rangle \cdot \langle q,s \rangle   - \langle p,s \rangle \cdot \langle q,r \rangle$.




\vspace{3mm}



\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)
Sei $d_S$ die Abstandsfunktion auf  $\mathbb{S}^2 := \{(x,y,x) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1  \}$  wie in der Vorlesung definiert.

Gegeben die Punkte $p=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},0)$, $q=(0,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$ und $r=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},0,\frac{1}{\sqrt{3}})$, betrachten Sie das Dreieck $\Delta pqr$. Berechnen Sie $d_S(p,q)+d_s(q,r)+d_S(p,r)$ und $\alpha+\beta+\gamma$, wobei $\alpha, \beta, \gamma$ die Innere Winkeln des Dreieck $\Delta pqr$ sind. 


\vspace{3mm}

\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (2+2 Punkte)
Man definiert die \emph{stereographische Projektion} $\phi: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{C}^+$ sowie die Abbildung  $f: \mathbb{C}^+ \rightarrow \mathbb{C}^+$
wie folgt:
\[
\phi(x,y,z)=
\begin{cases}
\frac{x}{1-z}+\text{i}\frac{y}{1-z}	& \text{if $z \neq 1$,} \\
\infty & \text{if $z=1$}
\end{cases}
\qquad\text{und}\qquad
f(z) = 
\begin{cases}
-\frac 1{\bar z}	& \text{wenn }z\neq 0,\infty, \\
\phantom{-}\infty &\text{wenn } z=0,\\
\phantom{-}0 &\text{wenn } z=\infty.
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie: F\"ur jede antipodale Punkte $p,q \in \mathbb{S}^2 \setminus \{ (0,0,1),(0,0,-1) \}$, gilt $\phi(p) \cdot \overline{\phi(q)}= -1$. 

Was passiert, wenn $p=(0,0,1)$ oder $p=(0,0,-1)$?

\item Sei $C$ eine Cline mit der Eigenschaft: Es gibt ein $z \in C$, so dass $f(z) \in C$. Zeigen Sie, dass in diesem Fall  $\forall z\in C\ f(z)\in C$ gilt.
\end{enumerate}





\vspace{3mm}

\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte) 
Sei $\sigma: \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{S}^2$  durch  $\sigma(x,y,z)=(x,y,-z)$ gegeben. Sei ferner $K\subset \mathbb C$ der Einheitskreis mit dem Mittelpunkt $0$. 

Zeigen Sie: F\"ur jedes $p \in \mathbb{S}^2$, man hat $I_{K}(\phi(p))=\phi(\sigma(p))$.  

 
\vspace{3mm}






\end{enumerate}


\end{document}

































%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%








Sei $\mathbb{S}^2 := \{(x,y,x) \in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1  \}$ und betrachten Sie die Abstangfunktion $d_S$ auf $\mathbb{S}^2$ wie im Vorlesung definiert.

Gegeben die Punkte $p=(0,0,1)$, $q=(0,1,0)$ und $r=(1,0,0)$, betrachten Sie das Dreieck $\Delta pqr$. Berechnen Sie $d_S(p,q)+d_s(q,r)+d_S(p,r)$ und $\alpha+\beta+\gamma$, wobei $\alpha, \beta, \gamma$ die Innere Winkeln des Dreieck $\Delta pqr$ sind. 










Wir befinden uns im Poincaresche Kreisscheibenmodell $\mathbb{D}$.

Notation: Gegeben $p,q \in \mathbb{D}$ und $g$ die P-Gerade, die $p,q$ enth\"alt. Man definiert $\overline{\overline{pq}}:= \{ r \in g: (p,r,q) \in \mathcal{A}_{\mathbb{D}} \}$. 
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie: F\"ur jede $p,q \in \mathbb{D}$ gibt es h\"ochstens zwei Inversionen $I_K, I_{K'}$, mit $K,K' \perp S^1$, so dass $\psi(p)=q$, wobei $\psi$ die Komposition dieser (h\"ochstens) zwei Inversionen ist.
\item Zeigen Sie:  F\"ur jede $p,q,s \in \mathbb{D}$ gibt es h\"ochstens drei Inversionen $I_K, I_{K'},I_{K''}$, mit $K,K',K'' \perp S^1$, so dass $\psi(p)=q$ und $\psi[\overline{\overline{pq}}]=\psi[\overline{\overline{ps}}]$, wobei $\psi$ die Komposition dieser (h\"ochstens) drei Inversionen ist.
\end{enumerate}
