%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 2} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 25.5.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{1cm}


\begin{enumerate}

\item[\textbf{\"Ubung 1.}] (2+2 Punkte)\
\begin{enumerate}
\item[(a)] Finden Sie (und beschreiben Sie) alle nicht-isomorphen Inzidenzgeometrien mit 6 Punkten.
\item[(b)] Beschreiben Sie eine 9-punktige Inzidenzebene mit der folgenden Eigenschaft: Auf jeder Geraden liegen genau drei Punkte. 
\end{enumerate}

\vspace{5mm}



\item[\textbf{\"Ubung 2.}] (4 Punkte)
Wir definieren die \emph{Moulton-Ebene} $\mathbb{M}$ wie folgt: $\mathbb{R}^2$ ist die Menge von Punkten und die Geraden sind von der Form $x=a$ (mit $a \in \mathbb{R}$ Konstante) oder $y=m\circ x + b$, f\"ur $m,b \in \mathbb{R}$, wobei $m \circ x$ definiert ist durch 
\[
m \circ x:= 
\begin{cases}
mx
& \text{wenn $m\leq 0$ oder $x \leq 0$,} \\
2mx & \text{wenn $m > 0$ und $x>0$}.
\end{cases}
\]
Zeigen Sie, dass $\mathbb{M}$ eine Inzidenzebene ist. 




\vspace{5mm}

\item[\textbf{\"Ubung 3.}] (4 Punkte)
Sei $\mathcal{I}=(P,G,I)$ eine endliche Inzidenzgeometrie. Zeigen Sie, dass $|G| \geq |P|$, d.h. die M\"achtigkeit von $G$ ist gr\"osser oder gleich wie die M\"achtigkeit von $P$. 


\vspace{5mm}

\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte) Seien $P,G,\Pi$ Mengen, $I \subseteq P \times G$ und $J \subseteq G \times \Pi$, dann hei\ss t $\mathcal{K}:= (P,G,I,J)$ eine $K$-Struktur. 

Eine $K$-Geometrie wird durch eine $K$-Struktur $\mathcal{K}:= (P,G,I,J)$ gegeben, welche die Axiome (K1)-(K5) erf\"ullt:
\begin{itemize}
\item[(K1)] F\"ur jede zwei verschiedene Punkte $p,q$ gibt es genau eine $g \in G$, so dass $(p,g) \in I$ und $(q,g) \in I$;
\item[(K2)] Alle Geraden $g \in G$ besitzen die gleiche Anzahl an Punkten. 
\item[(K3)] Es gibt drei nicht kollinear Punkte.
\item[(K4)] F\"ur jedes $g \in G$ gibt es genau ein $\pi \in \Pi$, sodass $(g,\pi) \in \Pi$.
\item[(K5)] F\"ur jedes $\pi \in \Pi$ und jede $p \in P$ gibt es genau ein $g \in G$, sodass $(g,\pi) \in \Pi$ und $(p,g) \in G$.
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass jede affine Ebene \footnote{Eine Inzidenzgeometrie hei\ss t affine Ebene, wenn das folgende Axiome erf\"ullt ist: (PE) F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es genau ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.} eine $K$-Geometrie ist.
\item[(b)] Finden Sie eine $K$-Geometrie mit 15 Punkten (d.h. $|P|=15$), $|\Pi|$=7 und so, dass jede Gerade $g \in G$ genau drei Punkte hat.  
\end{itemize}
 


\end{enumerate}

\vspace{2cm}



\end{document}
