%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 3} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 1.6.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}

F\"ur alle $p,q \in \mathbb{R}^2$, $p=(p_1,p_2)$ und $q=(q_1,q_2)$, betrachten wir die Funktionen $d_i\colon\mathbb R^2\times \mathbb R^2\to \mathbb R_{\ge 0}$, wobei:
\begin{itemize}
\item $d_0(p,q)= \sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$
\item $d_1(p,q)= |p_1-q_1|+|p_2-q_2|$
\item $d_2(p,q)= \sup\{|p_1-q_1|,|p_2-q_2|\}$
\item \[
d_3(p,q)=
\begin{cases}
d_0(p,q),
& \text{falls die Gerade durch $p$ und $q$ waagerecht oder senkrecht ist,} \\
2 d_0(p,q), & \text{solst.}
\end{cases}
\]
\end{itemize}
Dann definiert man f\"ur jedes $i=0,1,2,3$ und alle $p,q,p',q' \in \mathbb{R}^2$: $\overline{pq}\cong_i \overline{p'q'}$ gdw. $d_i(p,q)=d_i(p',q')$.

\begin{enumerate}

\item[\textbf{\"Ubung 1.}] (2+2 Punkte)\
Zeigen Sie, dass $\cong_2$ und $\cong_3$ die Axiome $(K1)$, $(K2)$, $(K3)$ erf\"ullen. 

(F\"ur $\cong_0$ und $\cong_1$, siehe Vorlesung 3.)






\item[\textbf{\"Ubung 2.}] (4 Punkte) Gegeben drei nicht kollineare Punkte $p,q,r \in \mathbb{R}^2$. 
\begin{enumerate}
\item Ist immer $d_0(p,q) \leq d_0(q,r)+d_0(p,r)?$ Begr\"unden Sie die Antwort.
\item Ist immer $d_1(p,q) \leq d_1(q,r)+d_1(p,r)?$ Begr\"unden Sie die Antwort.
\item Ist immer $d_2(p,q) \leq d_2(q,r)+d_2(p,r)?$ Begr\"unden Sie die Antwort.
\item Ist immer $d_3(p,q) \leq d_3(q,r)+d_3(p,r)?$ Begr\"unden Sie die Antwort.
\item (Bonus) Welche $d_i$ erzeugen eine metrische Topologie?
\end{enumerate}





\item[\textbf{\"Ubung 3.}] (2+2 Punkte) Gegeben zwei angeordnete Inzidenzgeometrien $M=(P,G,I,A, \cong)$ und $M'=(P',G',I',A', \cong')$, sodass $\cong,\cong'$ die Kongruenzaxiome $(K1)$, $(K2)$, $(K3)$ erf\"ullen. Ein Paar von Abbildungen $(\sigma,\tau): M \rightarrow M'$ mit $\sigma: P \rightarrow P'$ und $\tau:G \rightarrow G'$ hei\ss t ein \emph{Isomorphismus zwischen $M$ und $M'$}, wenn die folgenden Eigenschaften erf\"ullt sind:
\begin{itemize}
\item[i.] $\sigma,\tau$ sind Bijektionen;
\item[ii.] f\"ur alle $p \in P$, $g \in G$: $(p,g) \in I$ gdw. $(\sigma(p),\tau(g)) \in I'$;
\item[iii.] f\"ur alle $p,q,r \in P$: $(p,q,r) \in A$ gdw. $(\sigma(p), \sigma(q), \sigma(r)) \in A'$;
\item[iv.] f\"ur alle $p,q,r,s \in P$: $\overline{pq} \cong \overline{rs}$ gdw. $\overline{\sigma(p)\sigma(q)} \cong' \overline{\sigma(r)\sigma(s)}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass $(\mathbb{R}^2,\cong_1)$ und $(\mathbb{R}^2,\cong_2)$ isomorph sind.
\item Ist $(\mathbb{R}^2,\cong_1)$ isomorph zu $(\mathbb{R}^2,\cong_0)$? Ist $(\mathbb{R}^2,\cong_2)$ isomorph zu $(\mathbb{R}^2,\cong_0)$? Begr\"unden Sie die Antworten. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\emph{Bitte wenden}
\end{center}

\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte) 
Auf $\mathbb{R}^2$ definiert man wie in Vorlesung 3 eine \"Aquivalenzrelation auf Winkeln wie folgt:
\[
\sphericalangle pqr \cong_w \sphericalangle p'q'r' \text{ gdw. } \text{arccos} \frac{\langle p-q, r-q\rangle}{d_0(p,q) \cdot d_0(r,q)} =  \text{arccos} \frac{\langle p'-q', r'-q'\rangle}{d_0(p',q') \cdot d_0(r',q')},
\]
wobei $\langle (p_1,p_2),(q_1,q_2) \rangle:= p_1q_1 + p_2q_2$ das euklidische Skalarprodukt ist. 

Zeigen Sie, dass $(\mathbb{R}^2,\cong_1, \cong_w)$ und $(\mathbb{R}^2,\cong_2, \cong_w)$ das Axiom $(K6)$ nicht erf\"ullen.

\end{enumerate}

\vspace{2cm}



\end{document}





\item[\textbf{\"Ubung 4}.] ( 4 Punkte) 
gegeben $\sphericalangle pqr$ ein Winkel und $s$ ein Punkte, sodass $S(p,s)$ auf des Innere des Winkel $\sphericalangle pqr$ liegt. Betrachten Sie $p',q',r',s'$, sodass $\sphericalangle s'p'r' \cong  \sphericalangle spr$, $\sphericalangle q'p's' \cong \sphericalangle qps$, mit $S(p',q')$ und $S(p',r')$ nicht auf derselben Seite von $S(p',s')$ liegen. 

Zeigen Sie, dass $\sphericalangle q'p'r' \cong \sphericalangle qpr$ und $S(p',s')$ auf des Innere des Winkel $\sphericalangle q'p'r'$ liegt. 

