%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\gnArgHgt=\ht\gnBoxA%
\ifnum     \gnArgHgt<\gnCornerHgt \gnArgHgt=0pt%
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\fi \raise\gnArgHgt\hbox{$\ulcorner$} \box\gnBoxA %
\raise\gnArgHgt\hbox{$\urcorner$}}

\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 4} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 8.6.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}

Wir betrachten das folgende Axiom:
\begin{itemize}
\item[(P)] F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es h\"ochstens ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}

\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (4 Punkte)\\
Sei $P:= \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0}$, wobei $\mathbb{R}_{>0}:= \{x \in \mathbb{R}: x>0 \}$. Wir definieren:
\begin{itemize}
\item[] F\"ur alle $b \in \mathbb{R}$, $g_b:= \{ (b,y) \in P: y>0\}$.
\item[] F\"ur alle $x_0,r \in \mathbb{R}$, $h_{x_0,r}:= \{ (x,y) \in P: (x-x_0)^2 + y^2 = r^2, y>0 \}$.
\end{itemize}
Dann sei $G:= \{g_b:b \in \mathbb{R}\} \cup \{ h_{x_0,r}: x_0 \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{R}_{>0}\}$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass $(P,G,I)$ eine Inzidenz\textbf{geometrie} ist.
\item Ist (P) in $(P,G,I)$ erf\"ullt? Begr\"unden Sie die Antwort.
\item Was \"andert sich, wenn man $P=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ betrachtet (und dementsprechend $y\le 0$ in den obigen Definitionen auch erlaubt)?  
\end{enumerate}


\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)\\
Sei $H$ eine angeordnete Inzidenzgeometrie, so dass die Axiome (K1)-(K6) erf\"ullt sind ($H$ hei\ss t eine \textit{Hilbertebene}). 

Sei $\{ a_0, a_1, \dots, a_n \}$ eine endliche Menge von Punkten in $H$. Zeigen Sie, dass es eine gerade $g$ gibt, sodass alle $a_0,a_1,\dots a_n$ auf derselben Seite von $g$ liegen.

\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte) \\
Gegeben sei ein Winkel $\sphericalangle pqr$ und ein Punkt $s$, der im Inneren des Winkels  $\sphericalangle pqr$ liegt.  Betrachten Sie $p',q',r',s'$, sodass $\sphericalangle s'q'p' \cong  \sphericalangle sqp$, $\sphericalangle r'q's' \cong \sphericalangle rqs$ und $s'\in \mathrm{Inn} (\sphericalangle p'q'r')$.  Zeigen Sie, dass $\sphericalangle r'q'p' \cong \sphericalangle rqp$.




\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
In eine Hilbertebene $H$ betrachten wir $K$ und $K'$ zwei Kreise, die sich in einem Punkt $a$ tangieren, d.h. $K \cap K'=\{ a \}$. 


Zeigen Sie, dass $K$ vollst\"andig innerhalb von $K'$ oder $K$ vollst\"andig au\ss erhalb von $K'$ liegt (mit Ausnahme des Punktes $a$).


\end{enumerate}





\end{document}



\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
Seien $C$ und $C'$ zwei Kreise, die sich in einem Punkt $a$ tangieren. 

Zeigen Sie, dass $C$ im Inneren von $C'$ oder $C'$ im Inneren von $C$ liegt und dass $a$ der einzige Schnittpunkt ist, d.h. $C \cap C'=\{ a\}$.


\item[(PE)] F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es genau ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.


