%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\fi \raise\gnArgHgt\hbox{$\ulcorner$} \box\gnBoxA %
\raise\gnArgHgt\hbox{$\urcorner$}}

\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 5} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 15.6.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}



\begin{enumerate}

\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (4 Punkte)\\
Sei $H$ eine Hilbertebene, sodass (P) erf\"ullt ist. Gegeben zwei Punkte $q$ und $q'$, bezeichne $g(q,q')$ die Gerade durch $q$ und $q'$.

Betrachten Sie einen Kreis $K$ in $H$ mit Mittelpunkt $p$ und einen Punkt $p_0\in K$. 
Zeigen Sie, dass es f\"ur alle Punkte $q,q'$ mit $\overline{pq}, \overline{pq}'> \overline{pp}_0$ ein $q'' \in H$ gibt, sodass 
\(
g(q,q'') \cap K = \emptyset \text{ und } g(q',q'') \cap K = \emptyset.
\)

\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte) \\
Seien $\{ (X_n,d_n): n \in \mathbb{N}  \}$ metrische R\"aume und man betrachte das unendliche kartesische Produkt der $X_n$, also $X:= \prod_{n=0}^\infty X_n$. Wir schreiben $x:= \langle x_n: n \in \mathbb{N} \rangle$ f\"ur ein Element aus $X$ (d.h. $x_n$ ist die $n$-te Komponente von $x$). Man definiert $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ wie folgt:
\[
 d(x,y):= \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} \frac{d_n(x_n,y_n)}{1+d_n(x_n,y_n)}.
\]
Zeigen Sie, dass $d$ eine Abstandsfunktion ist. 


\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)\\
Sei $H$ eine Hilbertebene. Zeigen Sie, dass  die Dreiecksungleichung in $H$ gilt, d.h. f\"ur je drei nichtkollineare Punkte $p,q,r \in H$ gilt die Ungleichung $\overline{pq} + \overline{qr} > \overline{pr}$.




\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
Wir betrachten das folgende Axiom:
\begin{itemize}
\item[(D)] (Dedekind-Axiom)  Sei $g$ eine Gerade und $S\neq\emptyset$ und $T\neq\emptyset$ zwei Teilmengen von $g$ mit den Eigenschaften: $g = S\cup T$, kein Punkt aus $S$ liegt zwischen zwei Punkten aus $T$ und kein  Punkt aus $T$ liegt zwischen zwei Punkten aus $S$. Dann gibt es einen einzigen Punkt $p$, sodass für alle $s\in S$ und alle $t\in T$ das Folgende gilt: ($s=p$) oder ($t=p$) oder ($p$ liegt zwischen $s$ und $t$).  
\end{itemize}
 Zeigen Sie: In jeder Hilbertebene gilt: (D) impliziert (KK).
 
 Bonusaufgabe: In jeder Hilbertebene H gilt: (D) impliziert, dass H isomorph zu $\mathbb R^2$ ist.
 
\end{enumerate}





\end{document}



\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
Seien $C$ und $C'$ zwei Kreise, die sich in einem Punkt $a$ tangieren. 

Zeigen Sie, dass $C$ im Inneren von $C'$ oder $C'$ im Inneren von $C$ liegt und dass $a$ der einzige Schnittpunkt ist, d.h. $C \cap C'=\{ a\}$.


\item[(PE)] F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es genau ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.


