%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\fi \raise\gnArgHgt\hbox{$\ulcorner$} \box\gnBoxA %
\raise\gnArgHgt\hbox{$\urcorner$}}

\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 6} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 22.6.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}



\begin{enumerate}

\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (4 Punkte)\\
Betrachten Sie $\mathbb{R}^2$ als Euklidische Ebene (d.h. die Kartesische Ebene mit der \"ublichen euklidischen Geometrie). Betrachten Sie eine Translation $\varphi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $\varphi(p):= p+c$, mit $c \in \mathbb{R}^2$. Zeigen Sie (unter Ausnutzung der Definition von $\sphericalangle$, den Eigenschaften des Skalarproduktes und der Definition der Kongruenz von Winkeln):
\begin{itemize}
\item $\forall p,q \in \mathbb{R}^2, \overline{pq} \cong \overline{\varphi(p) \varphi(q)}$.
\item $\forall p,q,r \in \mathbb{R}^2, \sphericalangle pqr \cong \sphericalangle \varphi(q) \varphi(q) \varphi(r)$.
\end{itemize}

\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)\\
Sei $g$ bzw. $h$ eine Gerade im $\mathbb R^2$, die durch die Gleichung $2x + y = 3$ bzw $-2x -y =3$ gegeben ist. 
Finden Sie $\sigma_g\circ\sigma_h$, wobei $\sigma_g$ (bzw $\sigma_h$) die Spiegelung in $g$ (bzw. $h$) ist.



\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)\\
Eine Abbildung $r_p$ hei\ss t eine Rotation (Drehung) um den Punkt $p$, wenn 
\begin{itemize}
	\item $r_p = id$ (Rotation um $0^\circ$) oder
	\item $(s,\, p,\, r_p(s))\in \mathcal A$ für alle Punkte $s\neq p$ und $\overline{ps}\cong \overline{p\,r_p(s)}$ (Rotation um $180^\circ$) oder
	\item  für alle Punkte $s\neq p$ und $t\neq p$ gilt: $\sphericalangle s\,p\, r_p(s)\cong \sphericalangle \,t\,p\,r_p(t)$ und $\overline{sp}\cong \overline{p\, r_p(s)}$ (und $\overline{tp}\cong \overline{p\, r_p(t)}$).
\end{itemize}

Gegeben einen beliebigen Punkt $p \in \mathbb{R}^2$ und eine beliebige Rotation $r_p$ um $p$. Finden Sie zwei Geraden $g,g'$, sodass $r_p= \sigma_g \circ \sigma_{g'}$, wobei $\sigma_g$ (bzw $\sigma_{g'}$) die Spiegelung in $g$ (bzw. $g'$) ist.

 
%\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)\\
% Sei $r_\alpha$ eine Rotation um den Ursprung um den Winkel $\alpha$. Zeigen Sie, dass $r_\alpha= s_g \circ s_x$, wobei $s_x$ die Spiegelung an der $x$-Achse und $s_g$ eine Spiegelung an einer Geraden $g$ ist (geben Sie insbesondere die Gerade $g$ explizit an). 




\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (2+2 Punkte) 
\begin{enumerate}
\item Sei $\psi$ eine Isometrie, sodass es drei nicht kollineare Punkte $a,b,c \in \mathbb{R}^2$ gibt, mit $\psi(a)=a$, $\psi(b)=b$ und $\psi(c)=c$. Zeigen Sie, dass $\psi$ die Identit\"at ist.  
\item Zeigen Sie, dass jede Isometrie der euklidischen Ebene die Komposition von höchstens 3 Spiegelungen ist.  
\end{enumerate}

\end{enumerate}





\end{document}



\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)\\
Eine Isometrie\footnote{$\psi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ hei\ss t \emph{Isometrie}, wenn f\"ur alle $x,y \in \mathbb{R}^2$, $d(\psi(x), \psi(y))=d(x,y)$ gilt.} $\psi$ hei\ss t \emph{Elementar Bewegung}, wenn $\psi$ eine Translation, oder $\psi$ einer Rotation um den Ursprung, oder $\psi$ der Spiegelung an der $x$-Achse ist.
 
Betrachen Sie $\psi := s_g$, die Spiegelung an der Geraden $g:= \{ a+tb: t \in \mathbb{R} \}$, mit $a,b \in \mathbb{R}^2$ und $||b||=1$.
  
Berechnen Sie  $\psi$ als Hintereinanderausf\"uhrung\footnote{Die Reihenfolge
k\"onnen Sie sich frei w\"ahlen.} der Elementar Bewegungen.



\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
Seien $C$ und $C'$ zwei Kreise, die sich in einem Punkt $a$ tangieren. 

Zeigen Sie, dass $C$ im Inneren von $C'$ oder $C'$ im Inneren von $C$ liegt und dass $a$ der einzige Schnittpunkt ist, d.h. $C \cap C'=\{ a\}$.


\item[(PE)] F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es genau ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.


