%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 7} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 30.6.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}


In aller \"Ubungen, betrachten Sie $\mathbb{R}^2$ als euklidische Ebene (d.h. die Kartesische Ebene mit der \"ublichen Euklidische Geometrie). 

\begin{enumerate}

\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (4 Punkte)\\
Sei $\Delta pqr$ ein Dreieck in $\mathbb{R}^2$. Zeigen Sie, dass $pr^2 = pq^2 + qr^2 - 2 \cdot pq \cdot qr \cdot \cos \sphericalangle pqr$. 

(Aufgabe aus den Vorlesungen, Satz 5 -Teil (a).)

\vspace{3mm}

\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)
Gegeben $X \subseteq \mathbb{R}^2$ und $\psi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ eine Bewegung der euklidischen Ebene, definiert man $\psi[X]:=\{ p \in \mathbb{R}^2 : \exists q \in X \text{ so dass }\psi (q)=p\, \}$.

Sei $T \subseteq \mathbb{R}^2$ ein gleichseitiges Dreieck. Finden Sie alle Bewegungen $\psi$ mit der Eigenschaft:  $\psi[T]=T$.



\vspace{3mm}


\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)\\
Sei $\rho: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ eine Rotation der euklidischen Ebene um Punkt $p:=(x_0,y_0)$ um Winkel $\alpha$.
Zeigen Sie, dass f\"ur alle $(x,y) \in \mathbb{R}^2$
\[
\begin{split}
\rho_0(x,y)= (x-x_0)\cos\alpha - (y-y_0)\sin \alpha + x_0, \\
\rho_1(x,y)= (x-x_0)\sin\alpha + (y-y_0)\cos \alpha + y_0,
\end{split}
\]
gilt, wobei $\rho(x,y) = \bigl ( \rho_0(x,y), \rho_1(x,y) \bigr )$.


\vspace{3mm}

\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (2+2 Punkte) 
\begin{itemize}
	\item[(a)] Im $\mathbb{R}^2$, sei $\tau$ eine Translation. Finden Sie zwei parallele Geraden $g,h$, so dass $\tau= \sigma_g \circ \sigma_h$, wobei $\sigma_g$ (bzw $\sigma_h$) die Spielegung in $g$ (bzw in $h$) ist. 
	\item[(b)] Gegeben ein Kreis $K\subset \mathbb R^2$, beschreiben Sie alle Bewegungen $\psi$, die $K$ erhalten, d.h. $\psi[K] = K$.  
\end{itemize}


\end{enumerate}





\end{document}



\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
Seien $C$ und $C'$ zwei Kreise, die sich in einem Punkt $a$ tangieren. 

Zeigen Sie, dass $C$ im Inneren von $C'$ oder $C'$ im Inneren von $C$ liegt und dass $a$ der einzige Schnittpunkt ist, d.h. $C \cap C'=\{ a\}$.


\item[(PE)] F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es genau ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.


