%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\fi \raise\gnArgHgt\hbox{$\ulcorner$} \box\gnBoxA %
\raise\gnArgHgt\hbox{$\urcorner$}}

\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 8} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 7.7.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}

Sei  $K \subseteq \mathbb{C}\cong \mathbb R^2$ der Einheitskreis, d.h. der Kreis mit dem Mittelpunkt $z_0=(0,0)$ und Radius $1$. Ferner, sei $I_K$ die Inversion am $K$ wie in der  Vorlesung definiert.  

Gegeben $X \subseteq \mathbb{C}$, setze $I_K[X]:= \{ I_K(z): z \in X \}$ (und analog definiert man $I_K[X]:= \{ I_K(x,y): (x,y) \in X \}$, wenn $X \subseteq \mathbb{R}^2$).

\textit{Bemerkung:} Prop. 4 aus der Vorlesung 8 darf  nicht verwendet werden.
\begin{enumerate}



\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (4 Punkte)
Betrachten Sie die folgende Gleichung (benannt als \emph{Cline equation}):
\[
c z \overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d=0,\qquad z\in \mathbb C,
\]
wobei $\alpha \in \mathbb{C}$ und $c,d \in \mathbb{R}$. Setze $T_{c,d,\alpha}:=\{ z \in \mathbb{C}: c z \overline{z} + \alpha z + \overline{\alpha} \overline{z} + d=0 \}$.

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item Falls $c=0$ und $\alpha\neq 0$, dann ist $T_{c,d,\alpha}$ eine Gerade.
\item Falls $c\neq 0$ und $|\alpha|^2 > cd$, dann ist $T_{c,d,\alpha}$ ein Kreis.  
\end{enumerate}

\vspace{3mm}


\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)
Seien $\alpha, c,d$, mit $|\alpha|^2 > cd$, und $T_{c,d,\alpha} \subseteq \mathbb{C}$ wie oben definiert. Zeigen Sie, dass $I_K[T_{c,d,\alpha}]$ eine Gerade oder ein Kreis ist.

(\emph{Hinweis:} Verwenden Sie die Ergebnisse von \"Ubung 1.)

\vspace{3mm}




\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)
Sei $K'$ ein Kreis im $\mathbb R^2$, der orthogonal zu $K$ ist. Zeigen Sie, dass auch $I_K[K']$ orthogonal zu  $K$ ist.
(\emph{Hinweis}: Sie können entweder die erste zwei Übungen oder  III.36 und III.37 in Euklids \emph{Elementen} verwenden.)
\vspace{3mm}



\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte) 
$C$ hei\ss t ein \emph{cline}, wenn $C$ eine (euklidische) Gerade oder ein (euklidischer) Kreis ist (cf. Übung 1).
 
Gegeben zwei \emph{clines} $C_0, C_1$ mit $p\in C_0\cap C_1$ ein Schnittpunkt, definiert man der \emph{Winkel zwischen $C_0$ und $C_1$ am Punkt $p$}, $\theta(p,C_0,C_1)$, wie folgt:
\begin{itemize}
\item Falls $C_0$, $C_1$ sind zwei Geraden: Man w\"ahlt $q \in C_0$ und $t \in C_1$ ($q,t \neq p$) so dass $\sphericalangle qpt \leq R$ und definiert $\theta(p,C_0,C_1):= \sphericalangle qpt$;
\item Falls $C_0$ ist eine Gerade und $C_1$ ein Kreis: Man betrachtet die Tangente $g$ an $C_1$ im $p$, dann w\"ahlt man $q \in g$ und $t \in C_0$ ($q,t \neq p$) so dass $\sphericalangle qpt \leq R$ und definiert $\theta(p,C_0,C_1):= \sphericalangle qpt$;
\item Falls $C_0, C_1$ zwei Kreise sind: Man betrachtet die Tangenten $g_i$ an  $C_i$ im $p$ und definiert der Winkel zwischen $C_0$ und $C_1$ als der Winkel zwischen Tangenten $g_0$ und $g_1$.
\end{itemize}

Seien $C_0,C_1$ zwei \emph{clines} mit $p\in C_0\cap C_1$. Zeigen Sie, dass $I_K$ Winkeltreu ist, d.h. 
\[
\theta(p,C_0,C_1) \cong \theta(I_K(p),I_K[C_0],I_K[C_1]).
\]   

(\emph{Hinweis:} 
Betrachten Sie zunächst den Fall  $p \notin K$ und $p\neq m$ und dann die Sonderfälle.)  
\end{enumerate}



\end{document}

































%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



















 \begin{enumerate}
\item Gegeben $k \in \mathbb{R}, \ k>0$, betrachten Sie die Abbildung $\delta_k: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \delta_k(x,y):=(kx, ky)$. Zeigen Sie, dass $\delta_k$ winkeltreu ist, d.h. f\"ur alle $p,q,t \in \mathbb{R}^2$, es gilt $\sphericalangle qpt \cong \sphericalangle \delta_k(q)\delta_k(p) \delta_k(t)$.




\begin{enumerate}
\item Gegeben $d$ ein Durchmesser des $K$, seien $p,q$ die Punkte auf dem Schnitt $K \cap d$ liegen, d.h. $p \in K \cap d$ und $q \in K \cap g$. Sei $t \in K$, mit $t \neq p,q$. Zeigen  Sie, dass $\sphericalangle ptq$ eine Rechtwinkel ist.    
\item Seien $g$ eine Gerade mit $m \notin g$ und $K'$ ein Kreise mit $m \in K'$. Zeigen Sie:
\begin{itemize}
\item $I_K[g]$ ist ein Kreis mit $m \in I_K[g]$.  
\item $I_K[K']$ ist eine Gerade mit $m \notin I_K[K']$ ist. 
\end{itemize}
\end{enumerate}








\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)
\begin{enumerate}
\item Seien $p,q \in \mathbb{R}^2$ mit $mp, mq < R$, und $T$ wie folgt definiert:
\[
T:= \{ p \in \mathbb{R}^2: p \in \Delta pqm \text{ oder $p$ im Inneres der $\Delta pqm$ liegt}  \}.
\] 
Beschreiben Sie $I_K[T]$. 
\item Ist es m\"oglich eine Gerade $g$, ein Kreis $K'$ zu finden, so dass $I_K[g]=K'$, $I_K[K']=g$ und es genau eine Punkt $p$ gibt mit $p \in K \cap K' \cap g$? Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
\item Seien $K' \perp K$ mit Mittelpunkt $m'$ und Radius $R'$. Setze $F:= \{p \in \mathbb{R}^2: mp \leq R \text{ und } m'p \leq R' \}$. Beschreiben Sie $I_K[F]$.
\item Seien $Q$ ein Quadrat mit Mittelpunkt $m$ und $Q^*:= \{ p \in \mathbb{R}^2: p \in Q \text{ oder $p$ im Inneres von $Q$}  \}$. Beschreiben Sie $I_K[Q^*]$.
\end{enumerate}
\vspace{3mm}




\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte)\\
Seien $C$ und $C'$ zwei Kreise, die sich in einem Punkt $a$ tangieren. 

Zeigen Sie, dass $C$ im Inneren von $C'$ oder $C'$ im Inneren von $C$ liegt und dass $a$ der einzige Schnittpunkt ist, d.h. $C \cap C'=\{ a\}$.


\item[(PE)] F\"ur jede Gerade $g \in G$ und jedes $p \in P$ (mit $(p,g) \notin I$) gibt es genau ein $h \in G$, sodass $(p,h) \in I$ und $g \cap h = \emptyset$.


