%freiburglehre/ss20/ML2020-uebung-1.tex 11.5.
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\newcommand{\pagehead}[1]
{
\newpage
\textbf{Mathematisches Institut}\\
\text{Andriy Haydys}\\
\text{Giorgio Laguzzi}

\vspace{1cm}

\Large
\centerline{\textbf{Elementargeometrie}}
\centerline{Sommersemester 2020}
\normalsize

\centerline{#1}
\vspace{.5cm}
}


\begin{document}

%-------------------------------------Anwesenheitsaufgaben-----------------------------------------
\pagestyle{empty}
\noindent\textbf{Mathematisches Institut} \hfill \textbf{Elementargeometrie}\\
Andriy Haydys \hfill Sommersemester 2020\\
Giorgio Laguzzi\\

\vspace{5mm}

{\begin{center}\LARGE \textbf{Übungsblatt 9} \end{center}}
\begin{center}Abgabe bis 14.7.2020, 12:00 per E-Mail an Ihren Tutor\end{center}


\vspace{5mm}



\begin{enumerate}


\item[\textbf{\"Ubung 1}.] (2+2 Punkte)
Sei $\mathbb{H}$ die hyperbolische Halbebene. Man definiert $d_{\mathbb{H}}(p,q):=|\ln (p,q,p',q')|$, wenn $p \neq q$, und $d_{\mathbb{H}}(p,p)=0$ (s. Vorlesung).
\begin{enumerate}
\item Sei eine $\mathbb{H}$-Gerade $g$ sowie drei Punkte $p,q,r$ auf $g$ gegeben, so dass $q$ zwischen $p$ und $r$ liegt. Zeigen Sie, dass $d_{\mathbb{H}}(p,q)+d_{\mathbb{H}}(q,r)=d_{\mathbb{H}}(p,r)$.
\item (Geraden sind unendlich lang) Seien $g_b:= \{ c(t):= b + \text{i}t : t \in (0,\infty)  \}$  und $h_{x_0,r}:=\{ c(t):= x_0 + r\cos t + \text{i}r\sin t : t \in (0,\pi)  \}$. 
Zeigen Sie:
\begin{itemize}
\item F\"ur $c(s) \in g_b$ fest,  $\lim_{t \rightarrow \infty} d_{\mathbb{H}}(c(t),c(s))=\lim_{t \rightarrow 0} d_{\mathbb{H}}(c(t),c(s))= \infty$
\item F\"ur $c(s) \in h_{x_0,r}$ fest,  $\lim_{t \rightarrow 0} d_{\mathbb{H}}(c(t),c(s))=\lim_{t \rightarrow \pi} d_{\mathbb{H}}(c(t),c(s))=\infty$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\vspace{3mm}




\item[\textbf{\"Ubung 2}.] (4 Punkte)
Sei $\mathbb{C}^+:= \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$. Betrachten Sie $T: \mathbb{C}^+ \rightarrow \mathbb{C}^+$ so dass $T(z):= \frac{az+b}{cz+d}$, wobei $a,b,c,d$ komplexe Zahlen mit $ad - bc \neq 0$ ($T$ hei\ss t \emph{M\"obiustransformation}). 

Zeigen Sie: Wenn $T\neq id$, dann hat $T$ höchstens zwei Fixpunkte. 

(\emph{Bemerkung}: M\"obiustransformationen sind dadurch wichtig, dass sie eine (große) Klasse der Bewegungen im $\mathbb H$ darstellen; siehe auch \"Ubung 4.) 


\vspace{3mm}

\item[\textbf{\"Ubung 3}.] (4 Punkte)

(Hyp. Satz von Pythagoras) Sei $\Delta pqr$ ein P-Dreieck, mit $\sphericalangle pqr \cong R$ und $p=0$. Zeigen Sie, dass $\cosh pr = \cosh pq \cdot \cosh qr$. 

(\emph{Hinweis:} Als erste Schritt zeigen Sie das Folgende: Für $p=0$, $q \in \mathbb{D}$,  $q \neq p$,  $x:= d_{\mathbb{D}}(p,q)$ und $t:= d(p,q)$, wobei $d$ die euklidesche Standardmetrik ist,  $\sinh x= \frac{2t}{1-t^2}$, $\cosh x= \frac{1+t^2}{1-t^2}$ und $\tanh x = \frac{2t}{1+t^2}$ gelten.)


\vspace{3mm}


\item[\textbf{\"Ubung 4}.] (4 Punkte) 
Sei $T$ eine M\"obiustransformation so dass $T[\mathbb{D}]=\mathbb{D}$.

Zeigen Sie, dass es zwei P-Spielegungen $\sigma_g, \sigma_h$ gibt, so dass $T=\sigma_g \circ \sigma_h$. 

(\emph{Hinweis:} 
Betrachten Sie zunächst den Fall  $T(0)=0$ und dann die Sonderfälle. Au\ss erdem k\"onnen Sie die folgenden zwei Eigenshaften von M\"obiustransformationen verwenden: 1) Kompositionen von M\"obiustransformationen sind auch M\"obiustransformationen; 2) Jede M\"obiustransformation l\"asst sich als eine Komposition von $2n$ Inversionen  darstellen, wobei $n\in \mathbb N$.)



\end{enumerate}


\end{document}

































%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



















Wir befinden uns im Poincaresche Kreisscheibenmodell $\mathbb{D}$.

Notation: Gegeben $p,q \in \mathbb{D}$ und $g$ die P-Gerade, die $p,q$ enth\"alt. Man definiert $\overline{\overline{pq}}:= \{ r \in g: (p,r,q) \in \mathcal{A}_{\mathbb{D}} \}$. 
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie: F\"ur jede $p,q \in \mathbb{D}$ gibt es h\"ochstens zwei Inversionen $I_K, I_{K'}$, mit $K,K' \perp S^1$, so dass $\psi(p)=q$, wobei $\psi$ die Komposition dieser (h\"ochstens) zwei Inversionen ist.
\item Zeigen Sie:  F\"ur jede $p,q,s \in \mathbb{D}$ gibt es h\"ochstens drei Inversionen $I_K, I_{K'},I_{K''}$, mit $K,K',K'' \perp S^1$, so dass $\psi(p)=q$ und $\psi[\overline{\overline{pq}}]=\psi[\overline{\overline{ps}}]$, wobei $\psi$ die Komposition dieser (h\"ochstens) drei Inversionen ist.
\end{enumerate}
