\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 1.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 30.10.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Finden Sie reelle Zahlen $a,b,c$, so dass
$$
a\cdot(2,-3,1)+b\cdot(1,2,-2)+c\cdot(2,5,-3)=(3,7,5)\, .
$$


\a Sei $(V,\langle\,\cdot\, ,\,\cdot\,\rangle)$ ein euklidischer
Vektorraum. Zeigen Sie, dass f\"ur alle $x,y\in V$ gilt

\begin{itemize}
\item[a)] Parallelogramm-Identit\"at:
$$
\left\| x+y \right\|^2+\left\| x-y \right\|^2=2\cdot \left\| x
\right\|^2+2\cdot\left\| y \right\|^2 \, ;
$$

\item[b)] Polarisationsformel:
$$
\left\| x+y \right\|^2-\left\| x-y \right\|^2=4\cdot\langle
x,y\rangle\; .
$$
\end{itemize}

\a {\bf Definition:\/}\\
Ein Untervektorraum des $\mathbb R^n$ ist eine Teilmenge $U\subset
\mathbb R^n$, so dass
\begin{itemize}
\item[(1)] $(0,\ldots,0)\in U$ ;

\item[(2)] $x+y\in U$ f\"ur alle $x,y\in U$ ;

\item[(3)] $a\cdot x\in U$ f\"ur alle $x\in U$ und alle $a\in
\mathbb R$ .

\end{itemize}

\noindent Zeigen Sie, dass jeder Untervektorraum $U\in\mathbb R^n$
(mit ''+'', ''$\cdot$'' und $0_U=(0,\ldots ,0)$ wie $(1)-(3)$) ein
Vektorraum ist. \"Uberpr\"ufen Sie dazu, dass alle
Vektorraumaxiome erf\"ullt sind.


\a Seien $u, v\in \mathbb R^3$ fest vorgegebene Vektoren. Welche
der folgenden Teilmengen des $\mathbb R^3$ sind
Untervektorr\"aume?
\begin{itemize}

\item[a)] $\{a\cdot u+b\cdot v \, |\, a,b\in\mathbb R\}$

\item[b)] $S^2=\{x\, |\, x\in\mathbb R^3,\, \left\|
x\right\|^2=1\}$

\item[c)] $v^\perp=\{x\, |\, \langle v,x\rangle=0\}$

\end{itemize}

\end{document}
