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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 10.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 15.01.04\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}

\a Gegeben seien~$k$ Vektoren~$x_1,\ldots,x_k\in K^n$.
Um eine Basis des Unterraums~$\langle x_1,\ldots,x_k\rangle$ zu finden,
schreiben Sie die Vektoren als Spalten in eine Matrix. Diese bringen Sie durch Zeilenumformungen auf (nicht notwendig strenge) Zeilenstufenform wie in Definition 2.25 mit den \glqq Stufen\grqq~$1\le j_1<\dots<j_r\le k$.
\begin{enumerate}
\item
Zeigen Sie, dass die Vektoren~$x_{j_1},\ldots,x_{j_r}$ eine Basis
von~$\langle x_1,\dots,x_k\rangle$ bilden.
\item
Finden Sie eine Basis des von den Vektoren~$v_{ij}=e_i-e_j\in K^n$
aufgespannten Unterraums,
wobei~$1\le i<j\le n$.
\end{enumerate}
\a Welche Dimension hat der Unterraum $U=\langle u_1,u_2,u_3,u_4\rangle\subset \mathbb R^4$, der von den unten angegebenen Vektoren aufgespannt wird? W"ahlen Sie Elemente in $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$, die eine Basis von $U$ bilden.
\begin{equation*}
  u_1=\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\\1\end{pmatrix},\ 
  u_2=\begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1\end{pmatrix},\ 
  u_3=\begin{pmatrix} 1\\-2\\0\\-1\end{pmatrix},\ 
  u_4=\begin{pmatrix} 0\\1\\1\\-2\end{pmatrix}
\end{equation*}
\a Sei $K=F_2$ der K"orper mit zwei Elementen, und sei $V=K^2$. Konstruieren Sie eine Abbildung $\omega\colon V^2\to K$, die bilinear ist und antisymmetrisch, aber nicht alternierend.
\a Zeigen Sie, dass die Abbildung $$\omega\colon(K^2)^2\longrightarrow K\qquad\text{mit}\quad
    \omega\left(\begin{pmatrix} a_1\\a_2\end{pmatrix},
        \begin{pmatrix} b_1\\b_2\end{pmatrix}\right)
    =k\cdot(a_1b_2-a_2b_1)$$
f\"ur~$k\in K$ eine Determinantenfunktion ist,
und dass jede Determinantenfunktion auf~$K^2$ von dieser Form ist
(ohne zu verwenden, dass der Raum aller Determinantenfunktionen
eindimensional ist).
\end{document}



























































\end{document}
