\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 11.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 22.01.04\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}

\a Eine Basis $(v_1,v_2,v_3)$ des $\mathbb R^3$, eine Basis $(w_1,w_2)$ des $\mathbb R^2$ und zwei Matrizen $A,B\in M_{2,3}(\mathbb R)$ seien gegeben durch
\begin{gather*} v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\ v_2=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix},\ v_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\ 
w_1=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix},\ w_2= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\\
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{pmatrix},\ B= \begin{pmatrix} 5 & 4 & 1\\2 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
\end{gather*}
\begin{itemize} 
\item[a)] Sei $F:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2$ die lineare Abbildung, die bzgl. der Standardbasen durch $A$ beschrieben wird. Bestimmen Sie die Matrix von $F$ bzgl. der Basen $(v_1,v_2,v_3)$ und $(w_1,w_2)$. 
\item[b)] Die Abbildung $G:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^2$ habe bzgl. der Basen $(v_1,v_2,v_3)$ und $(w_1,w_2)$ die Matrix $B$. Welche Matrix hat $G$ bzgl. der Standardbasen? 

\end{itemize}
\a Berechnen Sie die Determinante der rationalen Matrix $
\left(\begin{array}{cccc}3 & -7 & 0 & 2\\-2 & -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ -3 & 8 & 2 & 9\end{array}\right) .
$

\a Sei $n\in \mathbb N$. F\"ur $i,j\leq n$ mit $i\ne j$ ist die Transposition $\tau_{i,j}\in S(n)$ die Permutation mit
$$
\tau_{i,j}(k)=\left\{\begin{array}{l}j\mbox{ f\"ur } k=i,\\ i\mbox{ f\"ur } k=j,\\
k\mbox{ sonst. }\end{array} \right.
$$
Beweisen Sie: \begin{itemize}

\item[a)] Jede Permutation $\sigma \in S(n)$ l\"asst sich f\"ur ein geeignetes $l$ als Produkt $\sigma=\mathrm{id}\cdot\sigma_1\cdot\sigma_2\cdots\sigma_l$ schreiben, wobei jedes der $\sigma_i$ eine Transposition ist. 

\item[b)] Zu jedem $\sigma\in S(n)$ l\"asst sich eine Produktdarstellung wie in a) finden, bei der jedes $\sigma_i$ eine Transposition $\tau_{k_i,k_i+1}$ benachbarter Elemente ist. 

\item[c)] F\"ur das Signum von $\sigma\in S(n)$ gilt 
$
\mbox{sign}(\sigma)=(-1)^{\#\{(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\;\mid\; i<j,\, \sigma(i)>\sigma(j)\}}\, .
$

\end{itemize}
\begin{center}{BITTE WENDEN!}\end{center}\newpage
\a
\begin{itemize}
\vspace{-0,9cm}
\item[a)] Sei $K$ ein K\"orper und seien $x_0,\ldots ,x_n\in K$. Als Vandermonde-Matrix bezeichnen wir die Matrix
$$
V=\left(\begin{array}{ccccr}1 & x_0 & x_0^2 & \ldots & x^n_0 \\1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x^n_1 \\ & & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \ldots  & x^n_n \end{array}\right)\in M_{n+1} (K)\, .
$$
Zeigen Sie $\det V=\prod\limits_{i<j}(x_j-x_i)$.

Hinweis: Sie k"onnen die Matrix durch Zeilen- oder Spaltenumformungen so ver"andern, dass sich ihre Determinante mit Hilfe der Determinante einer kleineren Vandermonde-Matrix berechnen l"asst. Das f"uhrt also auf einen Beweis durch vollst"andige Induktion "uber $n$.


\item[b)] Sei $n\in\mathbb N_0$ und $K$ ein K\"orper mit mehr als $n$ Elementen. Beweisen Sie, dass die $n+1$ Funktionen $K\rightarrow K$, $x\mapsto x^k$ f\"ur $k=0,\ldots  , n$ linear unabh\"angig sind. 

\end{itemize}
\end{document}
