\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 12.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 29.01.04\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}
\a  Invertieren Sie die Matrix
$$
\begin{pmatrix}
1   & 1/2 & 1/3 & 1/4 \\
1/2 & 1/3 & 1/4 & 1/5 \\
1/3 & 1/4 & 1/5 & 1/6 \\
1/4 & 1/5 & 1/6 & 1/7
\end{pmatrix}.
$$
\a  Sei $n\in \mathbb N\setminus\{1,2\}$. Auf Blatt 11 wurde gezeigt, dass
$
V_n = \{ f\in \mathbb C[X] \mid \deg f\leq n\}
$
ein $\mathbb C$-Vektorraum der Dimension $n+1$ ist und
$
W_n = \{ f\in \mathbb R [X] \mid \deg f \leq n\}
$
ein $\mathbb R$-Vektorraum der Dimension $n+1$.

In ein Polynom $f\in \mathbb C[X]$ k"onnen wir die komplexe Zahl $i$ einsetzen und erhalten so eine Zahl $f(i)\in\mathbb C$. Wir k"onnen aber auch f"ur jedes \emph{reelle} Polynom $f$ die Zahl $f(i)\in\mathbb C$ definieren, denn die Inklusion $\mathbb R\subset \mathbb C$ induziert eine Inklusion $\mathbb R[X]\subset\mathbb C[X]$. 

Beweisen Sie (etwa mit Hilfe von Division mit Rest):
\begin{itemize}
\item[a)] Der $\mathbb C$-Vektorraum $\{ f\in V_n \mid f(i) =
0\}$ ist isomorph zu $V_{n-1}$.

\item[b)] Der $\mathbb R$-Vektorraum $\{ f\in W_n \mid f(i) =
0\}$ ist isomorph zu $W_{n-2}$.
\end{itemize}
\a F\"ur jeden K\"orper $K$ k\"onnen wir das Polynom $P=X^3-X^2+X-1$
als Element des Polynomrings $K[X]$ betrachten. Zerlegen Sie $P$ sowohl in $\mathbb C[X]$ als auch in $F_{17}[X]$ in Linearfaktoren, wobei $F_{17}$ den K"orper $\mathbb Z/17\mathbb Z$ bezeichne.
\a Sei $K$ ein K\"orper und $A\in M_n(K)$. 
\begin{itemize}
\item[a)] Als \emph{Adjunkte}\/ von $A$ bezeichnen wir die Matrix
$\tilde{A} = (c_{ij})\in M_n(K)$ mit $c_{ij} = (-1)^{i+j}\det
A_{ji}$, wobei $A_{ji}\in M_{n-1,n-1}(K)$ die Matrix ist, die
aus $A$ durch Streichen von Zeile $j$ und Spalte $i$ entsteht.
Beweisen Sie $A\cdot \tilde{A} = \det(A)\cdot E_n$.
\item[b)] Sei $A\in GL(n,K)$, $b\in K^n$ und sei $x\in K^n$ die
  L\"osung von $A \cdot x = b$. Beweisen Sie die Cramersche Regel, die
  besagt, dass sich die $k$-te Komponente $x_k$ von $x$ auf
  folgende Weise bestimmen l\"asst: \\
  Die Matrix $A'_k$ gehe aus $A$ hervor, indem man die $k$-te Spalte
  durch den Spaltenvektor $b$ ersetzt. Dann ist $x_k = (\det
  A)^{-1}\cdot \det A'_k$.
\end{itemize}
\end{document}