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\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 13.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 05.02.04\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}
\a  Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die dazugeh"origen Eigenr"aume in $\mathbb C^3$ zu der Matrix
    $$\begin{pmatrix}\phantom{-}4&-5&\phantom{-}3\\
        -2&-2&-2\\
        -7&\phantom{-}5&-6\end{pmatrix}.$$\\
{\em Hinweis:\/} Einer der Eigenwerte ist~$1$.
\a Wir erinnern daran, dass die Spur $\mathrm{tr}(C)$ einer quadratischen Matrix $C$ die Summe ihrer Diagonaleintr"age ist. Seien~$m$, $n\in\mathbb N$, und es seien Matrizen~$A\in M_{m,n}(K)$ und $B\in M_{n,m}(K)$ gegeben. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[a)]
\item Es gilt $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.
\item Die Abbildung~$\langle\cdot,\cdot\rangle\colon M_{m,n}(\mathbb R)^2\to\mathbb R$
mit~$\langle S,T\rangle=\mathrm{tr}(ST^t)$ definiert ein Skalarprodukt auf~$M_{m,n}(\mathbb R)$ im Sinne von Definition 0.14 der Vorlesung.
\end{enumerate}
\a Ein Endomorphismus $F$ eines $n$-dimensionalen $K$-Vektorraums~$V$
hei"st \emph{zyklisch mit Er\-zeu\-ger\/}~$v\in V$, wenn es ein $N\in\mathbb N_0$ gibt, so dass $F^0(v)=v$, $F^1(v)=F(v)$, $F^2(v)=F(F(v))$, \ldots, $F^N(v)$
ein Erzeugendensystem von~$V$ bilden.
\begin{enumerate}[a)]
\item Zeigen Sie,
dass bereits~$F^0(v)$, \dots, $F^{n-1}(v)$ den Raum~$V$ erzeugen
und sogar eine Basis bilden.
\item Welche Gestalt hat die Matrix~$A$ von~$F$ bez\"uglich dieser Basis?
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom~$\chi_F=\chi_A$.
\item Wie h\"angt die Matrix~$A$ von der Wahl des Erzeugers~$v\in V$ ab?
\end{enumerate}\noindent
Die Gestalt der obigen Matrix~$A$ hei\ss t auch {\em zyklische Normalform.\/}
\a Seien $a>b>0$, $d>c>0$ und $A=\begin{pmatrix} -a&\phantom{-}b\\\phantom{-}c&-d \end{pmatrix}$. Finden Sie eine lineare Abbildung\\
$\mathbb R^4\to C^{\infty}(\mathbb R,\mathbb R^2), {\scriptstyle\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\y_1\\y_2\end{pmatrix}}\mapsto f=\begin{pmatrix} f_1\\f_2 \end{pmatrix} \ \text{mit $f''=A\cdot f$ und $f_i(0)=x_i$, $f'_i(0)=y_i$ f"ur $i=1,2$.}$\\
\emph{Anleitung:} Diagonalisieren Sie $A$, und verfahren Sie weiter wie in Beispiel~3.45 der Vorlesung. Verwenden Sie die Funktionen $c_\lambda$ und $s_\lambda$ aus Beispiel 3.38(3).
\end{document}