\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 14.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 12.02.04\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Diese Aufgaben sind {\bf Bonusaufgaben} und gehen nicht in die Mindestpunktzahl f"ur die Scheinvergabe ein.}
%\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
%Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}
\vspace{1ex}
%Dieses (letzte) "Ubungsblatt besteht aus Bonusaufgaben und geht nicht in die Berechnung der Mindestpunktzahl f"ur die Scheinvergabe ein.
\a F"uhren Sie das Gram-Schmidt-Verfahren mit den Vektoren $v_1,v_2,v_3\in\mathbb R^3$ in der vorgegebenen Reihenfolge durch f"ur
\begin{equation*}
  v_1=\begin{pmatrix} 2/3\\2/3\\1/3 \end{pmatrix},\quad
  v_2=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\quad \text{und}\quad
  v_3=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\a Sei $B$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Die Teilmenge $\ker B\subset V$ wird definiert durch $\ker B=\{ v\in V\,|\, B(v,w)=0\text{ f"ur alle $w\in V$}\}$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[a)]
\item $\ker B$ ist ein Untervektorraum,
\item $B$ induziert eine symmetrische Bilinearform $\bar B$ auf $V/\ker B$ durch $\bar B([v],[w])= B(v,w)$,
\item die Bilinearform $\bar B$ ist nicht ausgeartet.
\end{enumerate}
\a Beweisen Sie:
\begin{enumerate}[a)]
\item Wenn $P(\lambda)=0$ f"ur ein $\lambda\in\mathbb C$ gilt mit $P\in\mathbb R[X]\subset \mathbb C[X]$, dann gilt auch $P(\bar\lambda)=0$.
\item F"ur jede Matrix $A\in M_3(\mathbb R)$ hat das charakteristische Polynom $\chi_A$ eine reelle Nullstelle.
\item Sei $A\in SL(3,\mathbb R)=\{ G\in M_3(\mathbb R)\,|\, \det G=1\}$, dann hat $A$ einen positiven reellen Eigenwert.
\item Sei $A\in O(3)$, d.h. f"ur alle $v,w\in\mathbb R^3$ gilt $\langle v,w\rangle=\langle Av,Aw\rangle$, dann hat $A$ einen Eigenwert $\pm 1$. Ist $A\in SO(3)=O(3)\cap SL(3,\mathbb R)$, so ist 1 ein Eigenwert von $A$.
\end{enumerate}
\a Auf Blatt 4 und Blatt 6 wurde f"ur jedes $q\in S^3=Sp(1)\subset\mathbb H$ eine Drehung $f_q\in SO(3)$ definiert. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[a)]
\item $f_q=f_w\ \Leftrightarrow\ q=\pm w$.
\item Jedes $A\in SO(3)$ ist eine Drehung um einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 (verwenden Sie Aufgabe 3).
\item Jedes $A\in SO(3)$ ist von der Gestalt $A=f_q$, $q\in Sp(1)$.
\end{enumerate}
Fazit: Es gilt $SO(3)=Sp(1)/\pm 1$.
\end{document}