\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 2.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 06.11.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Bestimmen Sie die Seitenl\"angen und Winkel im Dreieck mit den Ecken
$$
x=(1,0,-1,2)\, , \, y=(1,1,0,1)\, , \, z=(0,0,-1,2)\in \mathbb R^4
$$
bez\"uglich des Standard-Skalarproduktes. 


\a Erg\"anzen Sie den Vektor
$$
x=\left( \frac{1}{3}\, ,\,\frac{2}{3}\, ,\,\frac{2}{3}\right)
$$
durch Vektoren $y,z\in \mathbb R^3$ zu einer Orthonormalbasis $(x,y,z)$ des $\mathbb R^3$ mit dem Standard-Skalarprodukt.

\a Stellen Sie die folgenden Zahlen als $x+iy$ mit $x,y\in \mathbb R$ dar. 

\begin{itemize}
\item[a)] $(-1+2i)^3$ ,

\item[b)] $i^k$ f\"ur alle $k\in \mathbb Z$ , 

\item[c)] $\displaystyle \frac{1}{1+i}$ ,

\item[d)] $\displaystyle\frac{2+3i}{1+4i}$ .

\end{itemize}

\a Seien $(a,b)\in\mathbb R^2$. Finden Sie alle Paare 
$(c,d)\in \mathbb R^2$, so dass $a+bi=(c+di)^2$. 
Ihre L\"osung sollte nur Grundrechenarten und Wurzeln 
nicht-negativer reeller Zahlen verwenden. 



\end{document}
