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\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 3.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 13.11.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Zeigen Sie: $g:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$ mit
$$
g((x_1,x_2),\, (y_1,y_2))= \alpha x_1y_1+\beta x_1y_2+\gamma x_2y_1+\delta x_2y_2%
$$
ist ein Skalarprodukt genau dann, wenn $\alpha > 0,\, \delta> 0,\beta=\gamma$ und $\alpha\,\delta-\beta\,\gamma > 0$ gilt.% 


\a Berechnen Sie den Fl\"acheninhalt der Seiten des von den Vektoren
$$
x=(2,0,0),\, y=(1,2,0), z=(0,-1,1)
$$
aufgespannten Parallelotops und dessen Volumen. 



\a Zeigen Sie, dass die Quaternionenmultiplikation assoziativ ist. %

\a Wir definieren die quaternionale Konjugation durch%
$$
\overline q=(a,-x)\mbox{ f\"ur alle } q=(a,x)\in \mathbb H=\mathbb R\times\mathbb R^3\, .
$$
Seien $q,r\in \mathbb H$. Zeigen Sie
\begin{itemize}
\item[a)] $\overline{(q\cdot r)}=\overline r\cdot \overline q$

\item[b)] $q\cdot \overline q = \left\| q\right\|^2 \in \mathbb R \subset \mathbb H$ bez\"uglich des Standard-Skalarproduktes; 

\item[c)] Ist $q\ne 0$, so existiert ein $w\in \mathbb H$ mit $q\cdot w=1$; 

\item[d)] $\left\| q\cdot r\right\| =\left\| q\right\|\cdot\left\| r\right\|$.


\end{itemize}

\end{document}
