\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{german}
\usepackage{amsmath,amssymb}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 4.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 20.11.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}


\a Stellen Sie die folgenden Elemente des K\"orpers $F_7=\mathbb Z/7$ als $[k]$ dar mit $k\in\{0,1,\ldots ,6\}$
$$
[4]+[5],\quad[4]\cdot[5],\quad[3]^{-1},\quad [5]/[4]
$$

\a Sei $M=\{0,1,a,b\}$.

\begin{itemize}

\item[a)] Bestimmen Sie eine Verkn\"upfung $+:M\times M\rightarrow M$, so dass $(M,+,0)$ eine Gruppe wird, in der $m+m=0$ f\"ur alle $m\in M$ gilt. Wieviele M\"oglichkeiten gibt es?%

\item[b)] Bestimmen Sie eine Verkn\"upfung $\cdot:M\times M\rightarrow M$, so dass  $(M,+,\cdot,0,1)$ ein K\"orper wird. Wieviele M\"oglichkeiten gibt es? 

\item[c)] Finden Sie alle L\"osungen von $x^2+x+1=0$ in $F_2=\mathbb Z/2$ und in $F_4=(M,+,\cdot, 0,1)$. 

\end{itemize}


\a Sei $(G,\ast,e)$ eine Gruppe.

\begin{itemize}

\item[a)] Es sei $g\in G$. Zeigen Sie: Die Abbildung $f_g:G\rightarrow G,\, h\mapsto ghg^{-1}$ ist ein Gruppenautomorphismus. 

\item[b)] Die Abbildung $G\rightarrow$ Aut\,$G,\, g\mapsto f_g$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

\item[c)] Berechnen Sie $f_g(h)$ f\"ur $g=\left(\begin{array}{lll}1&2&3\\2&3&1\end{array}\right)$ und $h=\left(\begin{array}{lll}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in G=S(3)$.%

\end{itemize}

\a F\"ur $q\in S^3=\{q\in\mathbb H\mid q\overline q=1\}$ sei $f_q:\mathbb H\rightarrow \mathbb H$ gegeben durch $f_q(w)=q\cdot w\cdot\overline q$.%

\begin{itemize}

\item[a)] Zeigen Sie: $f_q$ ist ein Schiefk\"orperautomorphismus und orthogonal, d.h., es gilt $\left\|f_q(w)\right\|=\left\|w\right\|$ f\"ur alle $w\in \mathbb H$. 

\item[b)] Folgern Sie mit Aufgabe 2b) von Blatt 1, dass $\langle f_q(v),\, f_q(w)\rangle=\langle v,w\rangle$ gilt f\"ur alle $v,w\in\mathbb H\cong\mathbb R^4$ mit dem Standardskalarprodukt. 

\item[c)] Beweisen Sie: $f_q$ bildet reelle Quaternionen auf reelle ab und imagin\"are auf imagin\"are. 

\end{itemize}

\end{document}
