\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 5.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 27.11.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Sei 
$$
\mathbb Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb Q\}\subset \mathbb R .
$$
Zeigen Sie:
\begin{itemize}
\item[a)] $\mathbb Q (\sqrt {2})$ ist ein Unterk\"orper von $\mathbb R$.

\item[b)] Die Abbildung $\varphi:\mathbb Q(\sqrt {2})\rightarrow\mathbb Q(\sqrt{2})$ mit $ \varphi(a+b\sqrt{2})= a-b\sqrt{2}$ ist ein K"orperautomorphismus.

\end{itemize}

\a Bilden Sie alle m\"oglichen Produkte $A\cdot B$ von reellen Matrizen mit
$$ 
A, B\in\left\{\left(\begin{array}{cccc} -1 &  3&  2\\ 0 &1 &1\end{array}\right),\, \left(\begin{array}{cccc}  2&  3 \\  1 & -1\end{array}\right), \, \left(\begin{array}{cccc} 1& 2& 0& 3 \\ 0 &-1& 1& 2\\ 4& 0& 1& -1\end{array}\right)\right\}
$$

\a Welche der folgenden Abbildungen $F$, $G$, $H$ zwischen $K$-Vektorr\"aumen sind linear? 
\begin{itemize}
\item[a)] $K=\mathbb C, F:\mathbb C^2\rightarrow \mathbb C^2 $ mit $F\left(\left( \begin{array}{c} z\\ w\end{array}\right)\right)=\left( \begin{array}{c} w\\ \overline z\end{array}\right); $

\item[b)] $K=F_3=\mathbb Z/3,\, G:F_3^2\rightarrow F_3$ mit $G \left(\left( \begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right)\right)=[2]\cdot b-a ; $

\item[c)] $K=\mathbb R,\, H:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ mit $H \left(\left( \begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)\right)=\left( \begin{array}{cc} x-y\\ y-2\\ 2\cdot x\end{array}\right);
$
\end{itemize}


\a Sei $x=\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\x_3 \end{array}\right)\in \mathbb R^3$ mit $\|x\|=1$ bzgl.~des Standard-Skalarproduktes.\\
 Wir betrachten $R_x:\mathbb R ^3\rightarrow \mathbb R^3$ mit $R_x(y)=x\times y+\langle x,y\rangle\cdot x.$
\begin{itemize}
\item[a)] Beweisen Sie die Linearit\"at von $R_x$ und geben Sie die zugeh\"orige Matrix an. 

\item[b)] Wie wirkt $R_x$ auf Vielfache von $x$ und auf Vektoren senkrecht zu $x$?

\item[c)] Was ist die geometrische Bedeutung von $R_x$?

\end{itemize}

\end{document}
