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\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 6.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 04.12.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Finden Sie $x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\in \mathbb R^3$ mit
$$
\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\3 & 1 & -1\\2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot x=\begin{pmatrix}0\\8\\4\end{pmatrix}
$$

\a Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine Abbildung $p\in \mathrm{End}\,V$ hei\ss t \emph{Projektion}, wenn $p\circ p=p$ gilt. \\
Zeigen Sie, dass f\"ur jede Projektion $p$ gilt
\begin{itemize}

\item[a)] $\mathrm{id}_V-p$ ist auch eine Projektion,

\item[b)] $V=\ker p\, \oplus \mathrm{im}\, p$.

\end{itemize}
Wie sieht die Zerlegung aus b) f\"ur die Projektion $\mathrm{id}_V-p$ aus?

\a Sei $K$ ein K\"orper und sei
$$
V=\{(a_i)_{i\in\mathbb N}\mid a_i\in K\text{ und es existiert $n\in\mathbb N$ mit $ a_i=0$ f\"ur alle $ i\geq n$}\}
$$
die Menge der endlichen $K$-wertigen Folgen. 

\begin{itemize}

\item[a)] Zeigen Sie, dass $V$ mit
$$
(a_i)_{i\in\mathbb N}+(b_i)_{i\in\mathbb N}=(a_i+b_i)_{i\in\mathbb N}\quad\mbox{ und }\quad k\cdot(a_i)_{i\in\mathbb N}=(k\cdot a_i)_{i\in\mathbb N}
$$
einen $K$-Vektorraum bildet.  

\item[b)] Finden Sie Isomorphismen $F:V\oplus K\rightarrow V$ und $G:V\oplus V\rightarrow V$.
\end{itemize}

\a Sei $x\in\mathbb R^3$ mit $\|x\|=1$. Wir betrachten $q=(\cos \varphi, \sin\varphi\cdot x)\in\mathbb H$. 

\begin{itemize}

\item[a)] Zeigen Sie $q\overline q=1$. (Sie k\"onnen die Formel $\cos(\varphi)^2+\sin(\varphi)^2=1$ verwenden.) 

\item[b)] Sei $f_q:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^3$ die Abbildung aus Aufgabe 4 von Blatt 4, d.h.~$$f_q(y)=q\cdot(0,y)\cdot\overline q\in \mathrm{im}\,\mathbb H =\mathbb R^3.$$ Wie wirkt $f_q$ auf Vielfache von $x$, und wie auf Vektoren senkrecht zu $x$?

\item[c)] Versuchen Sie, $f_q$ geometrisch zu beschreiben.

\end{itemize}




\end{document}
