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\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 7.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 11.12.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Ist $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ eine Matrix, so wird deren \emph{transponierte Matrix} $A^t\in M_{n,m}(K)$ definiert durch
\begin{equation*}
  A^t=(k_{ij})_{\substack{i=1,\ldots , n\\j=1,\ldots , m}}\quad\text{ mit $k_{ij}= a_{ji}$}.
\end{equation*}
Zeigen Sie: F\"ur alle $A\in M_{m,n}(K)$, $ B\in M_{n,p}(K)$ gilt $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$.


\a Welche der folgenden Relationen sind \"Aquivalenzrelationen?
\begin{itemize}

\item[a)] $\{(x,y)\mid x\leq y\}\subset\mathbb R\times\mathbb R$;

\item[b)] $\{(x,y)\mid \mbox{ es existieren } n,m\in \mathbb N \mbox{ mit } x^n=y^m\}\subset\mathbb Z\times\mathbb Z$;

\item[c)] $\{(A,B)\mid B=QAQ^{-1}$ f\"ur ein $Q\in GL(n,K)\}\subset M_n(K)\times M_n(K)$, wobei $n\in\mathbb N$ ist und $K$ ein beliebiger K\"orper; 

\item[d)] $\{(p,q)\mid |p-q|<1\}\subset \mathbb Q\times \mathbb Q$.

\end{itemize}

\a Bestimmen Sie den Kern und das Bild der linearen Abbildung $F_A:\mathbb Q^3\rightarrow \mathbb Q^4$, die beschrieben wird durch die Matrix
$$
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 3 & 6\\1 & 3 & 6\end{pmatrix}\in M_{4,3}(\mathbb Q).
$$
Versuchen Sie dazu, jeweils m\"oglichst wenige Vektoren
$v_1,\ldots , v_k\in\mathbb Q^3$ bzw.~$w_1,\ldots , w_l\in\mathbb Q^4$
zu finden, so dass gilt
\begin{align*}
 \ker F &= \{a_1v_1+\cdots + a_kv_k \mid a_1,\ldots, a_k\in\mathbb Q\}\quad\text{und}\\
\mbox{im } F &= \{b_1w_1+\cdots + b_l w_l\mid b_1,\ldots, b_l\in\mathbb Q\}.
\end{align*}


\a Wir wissen bereits aus der Vorlesung, dass $F_3=\mathbb Z/3\mathbb Z$ ein K\"orper ist. Welche Untervektorr\"aume hat der $F_3$-Vektorraum $F^2_3=F_3\oplus F_3$?

\end{document}
