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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 8.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 18.12.03\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{1ex}



\a Sei $V$ der Vektorraum der endlichen Folgen in $\mathbb R$ aus Aufgabe 3, Blatt 6. 
Auf der Menge 
$
W=\mathbb R^\mathbb N=\{(w_i)_{i\in\mathbb N}\mid w_i\in\mathbb R\}
$
 aller reellen Folgen definieren wir eine Vektorraumstruktur durch
\begin{align*}
(w_i)_{i\in\mathbb N}+(w'_i)_{i\in\mathbb N}&= (w_i+w'_i)_{i\in\mathbb N}&&\text{f"ur $(w_i)_{i\in\mathbb N},\, (w'_i)_{i\in\mathbb N}\in W$,}\\ k\cdot(w_i)_{i\in\mathbb N}&=(k\cdot w_i)_{i\in\mathbb N}&&\text{f"ur $k\in\mathbb R$ und $(w_i)_{i\in\mathbb N}\in W$}.
\end{align*}
Zeigen Sie: 
\begin{itemize}
\item[a)] Die Folgen $e_j=(\delta_{ij})_{i\in\mathbb N}$ bilden eine Basis von $V$ ($\delta_{ij}$ ist das Kroneckersymbol). 

\item[b)] Jedes $(w_i)_{i\in\mathbb N}\in W$ definiert eine lineare Abbildung $V\rightarrow \mathbb R$ durch
$
(v_i)_{i\in\mathbb N}\mapsto\sum\limits_{i=1}^\infty w_i v_i.
$

\item[c)] Die in b) gegebene Abbildung $W\rightarrow V^\ast$ ist ein Isomorphismus. 

\end{itemize}

\a Sei $V$ ein Vektorraum \"uber $\mathbb R$ und $\langle \cdot,\cdot\rangle$ ein Skalarprodukt auf $V$. Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung $\varphi:$ $V\to V^\ast$ linear und injektiv ist: 
$
\varphi(x)=\alpha  \mbox{ mit } \alpha(v)=\langle x,v\rangle.
$

\a Sei $V$ der Vektorraum der endlichen reellen Folgen wie in Aufgabe 1. F\"ur zwei Elemente $(v_i)_{i\in\mathbb N}$ und $(v'_i)_{i\in\mathbb N}$ von $V$ setzen wir
$$
\langle (v_i)_{i\in\mathbb N}, (v'_i)_{i\in\mathbb N}\rangle=\sum\limits^\infty_{i=1}v_iv'_i.
$$
Zeigen Sie, dass dadurch ein Skalarprodukt auf $V$ definiert wird. Ist die Abbildung $\varphi:V\rightarrow V^\ast$ aus Aufgabe 2 in diesem Beispiel surjektiv?

\a 
\vspace{-1cm}
\begin{itemize}\item[a)] \"Uberpr\"ufen Sie, dass die folgenden Vektoren eine Orthonormalbasis des $\mathbb R^3$ bez"uglich des Standard-Skalarprodukts bilden:
$$
b_1=\left(\begin{array}{c}-1/2\\1/2\\-\sqrt{2}/2\end{array}\right),\quad b_2=\left(\begin{array}{c}-1/2\\1/2\\\sqrt{2}/2\end{array}\right),\quad b_3= \left(\begin{array}{c}\sqrt {2}/2\\\sqrt{2}/2\\0\end{array}\right).
$$

\item[b)] Sei $x=\left(\begin{array}{c}1/2\\1/2\\\sqrt{2}/2\end{array}\right)$. In Aufgabe 4 auf Blatt 5 wurde die Drehung $R_x$ um $x$ um den Winkel $\pi/2 = 90^\circ$ eingef\"uhrt. Welche Matrix hat $R_x$ bez\"uglich der Basis $(b_1, b_2, b_3)$ aus Teil a)?


\end{itemize}
\end{document}
