\documentclass[12pt,a4paper]{article}

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\input{makrosamman}

\begin{document}

\leavevmode\llap{\sc\huge 9.~}
{\sc\huge"Ubungsblatt zur Vorlesung}

\medskip\smallskip

{\sc\huge Lineare Algebra I }

\medskip\smallskip

{\sc\Large im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette}


\bigskip

\hbox to\hsize
{\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Abgabe Donnerstag, den 08.01.04\\
vor der Vorlesung}
\end{minipage}\hss
\begin{minipage}{0.48\hsize}
\emph{Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer \"Ubungsgruppe auf Ihr Blatt}
\end{minipage}
}

\vspace{5mm}

Vier der acht Aufgaben auf diesem Blatt sind Zusatzaufgaben.

\a Bestimmen Sie alle $x_1, x_2, x_3\in\mathbb Q$ und alle $u_1, u_2, u_3\in\mathbb Z/5\mathbb Z$ mit
$$
\left(\begin{array}{ccc} 2& -1& 4\\3 & 4 & -5\\0 & 2 & -4\end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\, ,\qquad
\left( 
\begin{array}{ccc} 
$[1]$ & [2] & [0] \\ 
$[2]$ & [1] & [3] \\  
$[3]$ & [2] & [1]
\end{array}
\right)\cdot \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}[4] \\ [2] \\ [3]\end{pmatrix}.
$$


\a Wir definieren die Ebenen $E_1, E_2\subset \mathbb R^3$ durch
\begin{align*}
E_1&=\left\{\left.\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\lambda_1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\cdot
\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix} \ \right| \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R\right\},\\
E_2&=\left\{\left.\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mu_1\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+\mu_2
\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}\right| \mu_1,\mu_2\in\mathbb R\right\}.
\end{align*}
Bestimmen Sie die Schnittmenge $E_1\cap E_2$ mit Hilfe eines Gleichungssystems. 

\a Seien $V$ und $W$ $K$-Vektorr\"aume mit $\dim V=n$ und $\dim W=m$. Beweisen Sie:

\begin{itemize}
\item[a)] Gilt $n\geq m$, so gibt es eine surjektive lineare Abbildung $F:V\rightarrow W$.

\item[b)] Ist $n\leq m$, so existiert eine injektive lineare Abbildung $F:V\rightarrow W$. 
\end{itemize}

\a Zeigen Sie, dass es keine Unterr\"aume im $\mathbb R^3$ au"ser denen gibt, die in Beispiel 1.59 der Vorlesung aufgez\"ahlt wurden. 

\a Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subset V$ ein Unterraum. 

\begin{itemize}
\item[a)] Zeigen Sie $(V/ U)^\ast\cong\left\{\alpha \in V^\ast\mid\alpha|_{\textstyle U}=0\right\}$.

\item[b)] Es sei $U\subset \mathbb R^3$ die Gerade $\{\lambda\cdot(3,1,1)\mid\lambda\in\mathbb R\}$. Finden Sie eine Basis von $(\mathbb R^3/ U)^\ast$.  

\end{itemize} 

\a Beweisen Sie, dass eine Matrix $A=\begin{pmatrix} a\; b\\ c\; d\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb R)$ genau dann invertierbar ist, wenn gilt $ad-bc\neq 0$. Berechnen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$. 

\a Sei $V=K^n$ mit einer Basis $(v_1, \ldots , v_n)$, und sei $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ die dazu duale Basis von $V^\ast$. Sei $(\varepsilon_1, \raisebox{-4pt}{$-$}, \varepsilon_n)$ die zur Standardbasis $(e_1 , \ldots, e_n)$ duale Basis von $V^\ast$. Wir definieren einen Isomorphismus $\Phi:V^\ast\rightarrow V$ durch $\Phi(\alpha_i)=v_i$ f\"ur alle $i=1,\ldots , n$. 
\begin{itemize}
  
\item[a)] Bestimmen Sie die Matrix $B$
  von $\Phi$ bez\"uglich $(e_1 ,\ldots, e_n)$ und
  $(\varepsilon_1,\ldots , \varepsilon_n)$ aus der Matrix
  $A=(a_{ij})_{i,j}$, wobei $A$ definiert ist durch $ v_j=\begin{pmatrix}
    a_{1j}\\\vdots\\a_{nj}\end{pmatrix}$.

\item[b)] Unter welcher Bedingung an $A$ ist $B$ die Einheitsmatrix?

\end{itemize}

\a \begin{itemize}

\vspace{-1cm}
\item[a)] Beweisen Sie: Ein Vektorraum $V$ ist genau dann nicht endlich erzeugt, wenn es zu jedem $n\in\mathbb N$ ein $n$-Tupel linear unabh\"angiger Vektoren gibt. 

\item[b)] Der Raum der polynomialen Funktionen
$$
\biggl\{x\mapsto\sum\limits^k_{i=0}a_ix^i\,\Bigr|\, k\in \mathbb N_0; \ a_0,\ldots , a_k\in\mathbb R\biggr\}\subset \{f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R\mid f\mbox{ stetig }\}
$$
ist nicht endlich erzeugt. \\
Hinweis: Zeigen Sie, dass $1, x, x^2, \ldots , x^n$ f\"ur alle $n\in\mathbb N_0$ linear unabh\"angig sind.

\end{itemize}






\end{document}

































































\end{document}
