Markus Junker « Géometries de Zariski et Groupes de Zariski », thèse de doctorat, Paris, juillet 1996.


Introduction

Un peu d'histoire ...

L'objectif de la théorie de la stabilité (ou de la théorie des modèles en général) est la classification et la description des modèles d'une théorie élémentaire (que l'on supposera complète du premier ordre). Généralement on considère le théorème de Morley sur les théories µ-catégoriques comme la naissance de la théorie de la stabilité ([12], 1965). Dans un premier temps, elle poursuivit la voie indiquée par ce théorème ; on introduisit différentes notions de « stabilité » d'une théorie, et selon la position d'une théorie par rapport à ces notions, on arriva à attribuer des invariants aux modèles d'une théorie et à les compter ainsi. Ce programme culmine dans le « théorème de structure-non-structure » de Shelah ([15], 1970-90).

Puis les logiciens appliquèrent les nouvelles notions et techniques à des « théories concrètes » et ils obtinrent des descriptions explicites des modèles dans certains cas. À citer le théorème de Macintyre sur les corps aleph0-stables ([11], 1971) et la description des groupes (fortement) minimaux par Reineke ([14], 1975). Cherlin attaqua alors le cas plus général des groupes aleph0-stables de petit rang de Morley. Suite à ses travaux, il établit la conjecture suivante, dite « de Cherlin » ([2], 1979) :

Tout groupe aleph0-stable simple est un groupe algébrique sur un corps algébriquement clos (interprétable dans le groupe).

Elle est rendue plausible par le fait que beaucoup de propriétés des groupes algébriques se généralisent au cas des groupes aleph0-stables de rang fini ; p.ex. la définissabilité et l'additivité du rang (= la dimension), l'existence d'une composante connexe [10], la définissabilité de certains sous-groupes (venant du théorème des indécomposables de Zil'ber [17].

Moyennant un théorème de Zil'ber [18] qui permet d'interpréter un corps algébriquement clos dans tout groupe aleph0-stable de rang fini, connexe, résoluble et non nilpotent, la conjecture de Cherlin se décompose naturellement en deux parties : prouver l'inexistence des « mauvais groupes » où tout sous-groupe définissable connexe et résoluble est nilpotent ; puis montrer que le groupe est algébrique sur le corps qu'il interprète. Ces deux questions sont encore ouvertes.

En même temps, Zil'ber, qui venait de démontrer qu'une théorie totalement catégorique n'est pas finiment axiomatisable, commença à étudier les théories aleph1-catégoriques en général. Elles sont largement déterminées par leurs parties fortement minimales dont chacune donne lieu à une géométrie combinatoire en considérant l'opération de clôture algébrique.

Zil'ber montra que l'on peut distinguer trois types de théories aleph1-catégoriques suivant les géométries combinatoires que l'on y trouve : elles sont ou bien toutes triviales (et aucun groupe infini n'est interprétable dans la structure), ou bien elles sont toutes localement modulaires non triviales (et on peut interpréter des groupes infinis, mais pas de corps infini), ou bien toutes les géométries sont non localement modulaires. Zil'ber conjectura alors que dans le troisième cas, un corps infini (donc algébriquement clos) était interprétable dans la structure, et que la structure venait essentiellement de ce corps ([16], 1983). Cette conjecture rejoint celle de Cherlin vu qu'un groupe aleph0-saturé simple est une structure aleph1-catégorique non localement modulaire. (Alors que la conjecture de Cherlin est toujours ouverte, Baudisch a récemment construit un groupe aleph1-catégorique nilpotent non localement modulaire qui n'interprète pas de corps infini [1].)

L'essentiel de cette « conjecture de Zil'ber » est donné par la version suivante qui porte uniquement sur les structures fortement minimales :

Une structure fortement minimale non localement modulaire est bi-interprétable avec un corps algébriquement clos.

De nouveau, la conjecture comporte deux parties : trouver un corps à l'intérieur de la structure fortement minimale ; puis re-interpréter la structure dans le corps.

Contrairement au cas des groupes, les deux parties ont été réfutées par Hrushovski vers la fin des années 80. Dans [4] il construit une structure fortement minimale non localement modulaire qui n'interprète même pas de groupe infini ; puis dans [3] il donne un exemple d'une structure fortement minimale qui interprète deux corps algébriquement clos de caractéristiques différentes - la structure n'est donc certainement pas interprétable dans un des deux corps.

Les géométries de Zariski

Puis Hrushovski et Zil'ber cherchèrent des conditions supplémentaires pour qu'une structure fortement minimale non localement modulaire soit bi-interprétable avec un corps infini (donc algébriquement clos). Si c'est le cas, alors la structure est à peu de choses près une variété sur ce corps, en particulier il existe une topologie sur la structure, à savoir la topologie de Zariski.

L'idée d'ajouter ces topologies, c.à.d. de distinguer parmi les ensembles définissables certains que l'on appelle « fermés », s'est avérée fructueuse. Dans [9] et [6] définissent des structures fortement minimales particulières qu'ils ont appelées des « géométries de Zariski », et ils arrivent à démontrer qu'une géométrie de Zariski non localement modulaire interprète un corps algébriquement clos. En outre, la géométrie de Zariski est bi-interprétable avec ce corps si et seulement si une certaine condition géométrique est satisfaite, à savoir que la géométrie est « très ample » (voir [9]).

Intuitivement, les géométries de Zariski axiomatisent les topologies de Zariski des courbes algébriques ; elles caractérisent abstraitement une classe de courbes algébriques contenant toutes les courbes sans singularités. Techniquement, une géométrie de Zariski est la donnée d'une structure fortement minimale Z et d'une topologie noethérienne sur chaque Zn telles que trois conditions soient vérifiées :

Les géométries de Zariski n'ont pas seulement fait avancer la classification des structures fortement minimales ; Hrushovski les a remarquablement utilisées dans sa preuve de la conjecture de Mordell-Lang [5]. Ce sont deux raisons suffisantes pour s'intéresser de plus près à ces structures. Malgré la force de la théorie de Hrushovski-Zil'ber, plusieurs problèmes restent ouverts, et plusieurs questions nouvelles se posent, p.ex. :

De plus, on pourrait espérer qu'une étude détaillée des géométries de Zariski permette de simplifier la preuve du théorème de Hrushovski et Zil'ber ou d'en donner une démonstration plus transparente.

D'autre part, il serait intéressant de mieux comprendre l'importance des topologies que l'on ajoute aux structures. Beaucoup d'exemples de structures fortement minimales portent naturellement des topologies. Peut-on les caractériser ? Quelle est la propriété essentielle qui fait marcher la preuve de Hrushovski-Zil'ber ?

Une troisième direction de recherche est donnée par le parallèle entre les conjectures de Cherlin et de Zil'ber. Peut-on appliquer les techniques des géométries de Zariski avec le même succès au cas des groupes de rang fini ?

Description de la thèse

Dans mon travail, je suis parti des différentes définitions de « structures de Zariski » (à savoir les « Zariski geometries » et les « Zariski-type structures » respectivement de [7] et de [19]). Le premier but était de trouver une bonne définition de géométries de Zariski de dimension supérieure, généralisant à la fois les « Zariski geometries » et les « Zariski-type structures » tout en gardant leurs propriétés essentielles.

Puis une grande partie de mon travail est consacrée à l'analyse des notions topologiques introduites dans le contexte de la théorie des modèles. Cela m'a naturellement conduit au problème difficile d'examiner la structure topologique sur les ensembles imaginaires pour dégager une bonne notion de « variété ».

Ensuite, comme illustration de l'utilité de ce travail, les notions et techniques développées sont appliquées aux groupes. Comme résultat principal je démontre qu'un groupe de Zariski simple et lisse interprète un corps algébriquement clos.

Plus en détail, le plan de la thèse est comme suit :

Le chapitre 1 contient une première approche des géometries de Zariski. Une première section sert à introduire le vocabulaire topologique et les propriétés fondamentales des espaces topologiques noethériens. La deuxième section donne une définition de « prégéométries de Zariski » (définition 1.18). Cette définition rassemble le minimum d'axiomes de caractère topologico-combinatoire satisfaits par les topologies de Zariski des variétés algébriques permettant de parler de « structure de Zariski ».

Dans le premier chapitre on ne considère qu'une seule structure, il ne contient donc pas de théorie des modèles. En revanche, les propriétés qui vont jouer un rôle important dans la suite sont déjà analysées dans cette seule structure. En section 1.3, ce sont des propriétés de « richesse » des topologies, qui permettront de comparer la dimension topologique avec le rang de Morley d'une part, et qui, d'autre part, donneront aussi des informations sur la complexité de la géométrie, car aucune condition de non-trivialité ou de non-modularité n'est imposée dans la définition d'une prégéométrie. Finalement, la section 1.4 traite la définissabilité et l'additivité de la dimension, propriétés importantes pour la définition des géometries de Zariski.

Le Chapitre 2 étudie la théorie des modèles des prégéométries de Zariski. La première section introduit les langages appropriés pour les prégéométries de Zariski (définition 2.1) et examine les propriétés des prégéométries de Zariski qui passent aux extensions élémentaires. On peut caractériser les prégéométries de Zariski élémentaires (celles dont toutes les extensions élémentaires sont naturellement des prégéométries de Zariski) par une condition de chaîne (théorème 2.13).

Les prégéométries de Zariski élémentaires sont des structures aleph0-stables (théorème 2.16). Le reste du chapitre 2 relie des notions topologiques et des notions de stabilité. Certaines propriétés topologiques se traduisent dans le langage de la théorie des modèles et vice versa. Le lien le plus important est donné par le théorème 2.27, qui démontre que la trace des topologies d'un grand modèle sur un petit modèle donne exactement les topologies de celui-ci, ce qui généralise un résultat bien connu en géométrie algébrique.

La dernière section 2.4 reprend la définissabilité et l'additivité de la dimension, propriétés importantes en géométrie algébrique aussi bien que dans les structures fortement minimales (en particulier dans les « Zariski geometries »). C'est aussi un des axiomes dans la caractérisation des groupes de rang fini comme groupes de Borovik [13]. Contrairement à ces cas, la définissabilité de la dimension n'est pas automatique dans les structures aleph0-stables quelconques ; il faut donc l'ajouter à la définition des géométries de Zariski (définition 2.39) qui ne sont autres que des prégéométries de Zariski élémentaires où la dimension est définissable et égale au rang de Morley. En revanche, l'additivité de la dimension se déduit des autres axiomes (théorème 2.41).

Le chapitre 3 examine le comportement des topologies sur les éléments imaginaires, avec l'objectif de trouver une bonne notion de « variété », i.e. des ensembles imaginaires qui partagent les propriétés topologiques importantes avec la géométrie de Zariski de départ.

Un ensemble imaginaire muni d'une structure topologique qui vient naturellement de la géométrie de Zariski de base est appelée une « prévariété ». Malheureusement, il y a en général plusieurs possibilités de munir un ensemble imaginaire d'une structure de prévariété. Alors que ce phénomène n'a pas d'influence sur la définition des morphismes (définition 3.4), l'existence du produit n'est assurée que pour les « prévariétés admissibles » (théorème 3.10).

La section suivante (3.2) examine le passage des propriétés des géométries de Zariski aux prévariété s. La condition d'admissibilité est de nouveau utile pour résoudre le premier problème important : celui de l'élimination des quanteurs (théorème 3.29). L'additivité de la dimension nécessite l'introduction d'une condition supplémentaire, mais finalement on obtient une classe de prévariété s, appelées « variétés », qui se comportent bien (définition 3.36, théorèmes 3.38 et 3.39).

La section 3.3 met en évidence les propriétés des morphismes. Puis les sections 3.4 et 3.5 sont consacrées à deux types de variétés particulières : les variétés complètes et les variétés lisses. Les premières jouent un rôle important en géométrie algébrique (surtout dans la théorie des groupes algébriques), et aussi dans l'approche de Zil'ber des structures de Zariski [20] tandis que la lissité est essentielle dans les approches de [8] et [20] aussi bien que dans l'étude des groupes de Zariski dans cette thèse. Finalement, la dernière section 3.6 expose le comportement des variétés et des morphismes quant au passage aux extensions élémentaires.

Chapitre 4 : Les premiers trois chapitres n'ont pas été accompagnés d'exemples, ils sont tous rassemblés dans ce chapitre 4. évidemment, il n'y a que les exemples standard - une bonne partie des conjectures en question dit précisément qu'il n'y en a pas d'autres. La deuxième section donne des exemples de structures qui sont presque des géometries de Zariski, c.à.d. qui vérifient tous les axiomes sauf un ; ceci pour souligner la nécessité des axiomes. Puis, la dernière section de ce chapitre indique plusieurs constructions générales qui permettent de construire de nouvelles géométries de Zariski à partir d'une ou plusieurs géométries de Zariski données. Faute de place, elle ne contient que quelques constructions plutôt simples.

Enfin, le chapitre 5 donne une application de tout ce qui a été développé jusqu'ici au cas des groupes. Comme les géométries de Zariski sont une version abstraite des variétés algébriques, les « groupes de Zariski » forment une version abstraite des groupes algébriques. Ceux-ci peuvent être définis de deux façons différentes. Soit on voit les groupes algébriques comme des variétés algébriques munies de deux morphismes, multiplication et passage à l'inverse d'une loi de groupe, et alors on définit en analogie les « groupes de Zariski » en remplaçant « variété algébrique » par « géométrie de Zariski ». Soit on les voit comme des groupes interprétables dans un corps algébriquement clos, et on peut considérer les groupes interprétables dans une géometries de Zariski. Si l'on suppose que l'interprétation n'est pas quelconque, mais qu'elle donne une variété, alors on se trouve dans le cas des « variétés de groupes » qui sont également traitées.

La première section reprend quelques propriétés fondamentales des groupes algébriques. Quelques-unes de ces propriétés ont été généralisées auparavant au cas des groupes aleph0-stables de rang fini. Ce n'est donc ni le résultat, ni la preuve (souvent celle de la géométrie algébrique) qui présentent vraiment de l'intérêt, mais le fait de distinguer les propriétés entraînées par la seule structure topologique de celles qui nécessitent la structure algébrique.

La section 5.2 démontre que les sous-groupes définissables et les quotients par des sous-groupes définissables donnent des variétés. La lissité, condition essentielle, passe sans problème aux quotients ; pour les sous-groupes, il faut une condition supplémentaire : la « richesse » (section 5.3).

Une description structurelle des groupes de Zariski commence avec la section 5.4. Je démontre la généralisation de certains théorèmes de la géométrie algébrique : tout groupe de Zariski contient un unique sous-groupe définissable connexe maximal complet, qui est central (théorème 5.33) ; sous une condition de lissité, tout groupe de Zariski contient un unique sous-groupe minimal parmi les sous-groupes normaux définissables paraboliques (théorème 5.41). En revanche, le théorème de Borel affirmant que les sous-groupes définissables connexes résolubles maximaux sont exactement les sous-groupes paraboliques minimaux ne se démontre que dans le cas particulier d'un mauvais groupe (proposition 5.47). Toutefois, cela suffit pour prouver qu'il n'existe pas de mauvais groupe de Zariski lisse. Autrement dit, tout groupe de Zariski connexe, non nilpotent, lisse et riche interprète un corps algébriquement clos (théorème 5.48).

Bibliographie


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