Markus Junker "Géometries de Zariski et Groupes de Zariski", thèse de doctorat, Paris, juillet 1996.


Résumé

Les géométries de Zariski ont été introduites par E. Hrushovski et B. Zil'ber comme modèles abstraits de courbes algébriques pour disposer d'une classe de structures qui satisfasse à la trichotomie de Zil'ber. Dans ma thèse, je définis une généralisation de ces géométries de Zariski aux dimensions finies quelconques et j'en entreprends une étude systématique.

Une géométrie de Zariski est donnée par une famille de topologies noethériennes telle que la dimension topologique vérifie certaines propriétés de la dimension en géométrie algébrique (chapitre 1). De plus, on exige que les propriétés importantes passent aux extensions élémentaires. Les géométries de Zariski sont alors des structures aleph0-stables où les propriétés topologiques et modèle-théoriques sont fortement liées (chapitre 2).

À part les structures triviales et linéaires, la classe d'exemples la plus importante est formée des variétés algébriques sur un corps algébriquement clos (chapitre 4).

Une description structurelle des géométries de Zariski demande une connaissance profonde des structures qui y sont interprétables. Le comportement des topologies sur les ensembles d'imaginaires s'avère être assez complexe. Cette analyse mène à une définition de variété au-dessus d'une géométrie de Zariski et à la notion appropriée de morphisme. Les types de variétés les plus importantes, les variétés lisses et les variétés complètes, sont étudiés à part (chapitre 3).

Comme application des techniques développées jusqu'ici, je démontre un théorème de structure pour les groupes de Zariski (qui sont définis au-dessus des géométries de Zariski comme les groupes algébrique le sont au-dessus d'un corps). Je montre qu'il n'existe pas de mauvais groupe de Zariski lisse. Moyennant un théorème de Zil'ber, ceci implique que tout groupe de Zariski simple et lisse interprète un corps algébriquement clos. Ce théorème prouve la moitié de la conjecture de Cherlin pour les groupes de Zariski lisses et fournit presque une caractérisation abstraite des groupes algébriques simples.


[retour]