Markus Junker "Géometries de Zariski et Groupes de Zariski", Dissertation, Paris, Juli 1996.


Zusammenfassung

Zariski-Geometrien wurden von E. Hrushovski und B. Zil'ber eingeführt als abstrakte Modelle algebraischer Kurven, um über eine Klasse von Strukturen zu verfügen, in denen die Zil'bersche Trichotomie gilt. In meiner Doktorarbeit definiere ich eine beliebig endlich-dimensionale Verallgemeinerung jener Zariski-Geometrien und beginne eine systematische Untersuchung dieser Strukturen.

Eine Zariski-Geometrie ist eine durch mehrere noethersche Topologien bestimmte Struktur, in denen der topologische Dimensionsbegriff Axiomen genügt, welche Eigenschaften der Dimension in algebraischen Mannigfaltigkeiten sind (Kapitel 1). Außerdem wird gefordert, daß die wichtigsten Eigenschaften unter elementaren Erweiterungen erhalten bleiben. Zariski-Geometrien sind dann aleph0-stabile Strukturen, in denen die topologischen Eigenschaften eng mit den modelltheoretischen verwoben sind (Kapitel 2).

Neben trivialen und linearen Strukturen bilden algebraische Mannigfaltigkeiten über algebraisch abgeschlossenen Körpern die wichtigste Beispielklasse (Kapitel 4).

Eine strukturelle Beschreibung der Zariski-Geometrien verlangt eine genaue Kenntnis der darin interpretierbaren Strukturen. Das Verhalten der Topologien auf definierbaren Mengen imaginärer Elemente erweist sich als sehr komplex. Aus diesen Untersuchungen ergibt sich eine Definition von Mannigfaltigkeiten über Zariski-Geometrien und der zugehörigen Morphismen. Als wichtige Typen werden glatte und vollständige Mannigfaltigkeiten definiert und gesondert betrachtet (Kapitel 3).

Als Anwendung der bislang entwickelten Techniken beweise ich einen Struktursatz für Zariski-Gruppen. Dabei sind Zariski-Gruppen in gleicher Weise über Zariski-Geometrien definiert wie algebraische Gruppen über Körpern. Ich zeige, daß keine sogenannten schlechten glatten Zariski-Gruppen existieren. Mit Hilfe eines Satzes von Zil'ber besagt dies, daß jede einfache glatte Zariski-Gruppe einen algebraisch abgeschlossenen Körper interpretiert. Damit ist Cherlins Vermutung für glatte Zariski-Gruppen zur Hälfte bewiesen, und fast eine abstrakte Charakterisierung einfacher algebraischer Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern gewonnen.


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