Wintersemester 2017/18: Vorlesung Monstrous Moonshine

Prof. Dr. Katrin Wendland

Vorlesung

  • Wann und wo: Montag und Mittwoch 10-12 Uhr, im SR404, Eckerstr. 1

Die Moonshine-Vermutung stellt einen unerwarteten Zusammenhang her zwischen der sogenannten Monster-Gruppe, das ist die größte sporadische Gruppe, sowie einer wichtigen, auf der oberen Halbebene holomorphen Funktion, nämlich der Modulfunktion j.
In der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen treten 26 Ausnahmegruppen in Erscheinung, die "sporadischen" Gruppen. Die Monster-Gruppe M ist die größte unter diesen. Sie besitzt

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Elemente. Eine Modulfunktion ist eine meromorphe Funktion auf der oberen komplexen Halbebene, die unter ganzzahligen Möbiustransformationen invariant ist. Für die einfachste unter diesen, die j-Funktion, beginnt die Fourierreihe wie folgt:
j(τ)=q-1 + 744 + 196884 q + 21493760 q2 +···, transparent q:=exp(2π iτ), Im(τ)>0.
Sehr merkwürdig: Die Koeffizienten 1, 196884, 21493760,... sind in sehr einfacher Weise mit den Dimensionen der irreduziblen Darstellungen von M verknüpft. Die "Monstrous-Moonshine"-Vermutung besagt, dass es hierfür einen tieferen Grund gibt - und natürlich sehr viel mehr als das. Genauso mysteriös wie die Vermutung selbst ist deren schließlich von Borcherds gefundener Beweis: Diesen kann man am besten verstehen, wenn man in eine physikalisch motivierte Theorie hineinschaut - die konforme Quantenfeldtheorie. Die Funktion j(τ)- 744 wird dann als Zustandssumme einer speziellen konformen Quantenfeldtheorie interpretiert.

Ziel der Vorlesung ist es, Aussage sowie Grundzüge des Beweises der "Monstrous-Moonshine"-Vermutung zu erarbeiten. Dazu werden die wesentlichen Grundbegriffe und Ergebnisse aus der Theorie der endlichen Gruppen, der Lie-Algebren, deren Darstellungen, der Modulformen sowie aus der konformen Feldtheorie eingeführt. Dies schließt die Diskussion der grundlegenden Konstruktionen von Vertexoperator-Algebren ein. Vorkenntnisse aus der Physik werden aber nicht vorausgesetzt.

Mitschrift

annotierte Mitschrift von Herrn Lukas Hoffmann

Literatur

Sprechstunden des Assistenten

Übungen

  • Die Übungen finden jeweils dienstags von 16 - 18 Uhr im SR 119 statt.
  • Der Termin vom Dienstag, den 17. 10. 2017, wird auf Donnerstag, den 19. 10. 2017, von 14 - 16 Uhr im SR 218 verschoben.
  • Bitte melden Sie sich in HISinOne fuer die Übungen an.

Prüfungszulassung

Die aktive Teilnahme an der Übungsgruppe ist Voraussetzung für die Zulassung zur mündlichen Prüfung, und aktive Teilnahme bedeutet:
  • Anwesenheitspflicht - Sie dürfen höchstens zweimal bei den Übungen fehlen.
  • Vorrechnen - Sie müssen mindestens zwei Übungsaufgaben an der Tafel präsentieren.
  • Hausaufgaben - Sie müssen die beiden präsentierten Übungsaufgaben schriftlich ausarbeiten, einreichen und mindestens die Bewertung "bestanden" erreichen.

Studienleistung

Aktive Teilnahme an der Übungsgruppe, s.o.

Prüfungsleistung (mündliche, 30-minütige Prüfung)

  • Zeitpunkt der mündlichen Prüfung: 23. März 2018, 8:00-19:00 Uhr, der genaue Terminplan wird nach Anmeldung bekannt gegeben.
  • Ort der mündlichen Prüfung: Raum 338, Eckerstrasse 1
Bitte beachten Sie:
Sie erhalten nur dann einen Prüfungstermin, wenn Sie die Prüfungszulassung haben und für die Prüfung angemeldet sind.