Wintersemester 2019/20: Vorlesung Funktionentheorie II - Modulformen

Prof. Dr. Katrin Wendland

Vorlesung

  • Wann und wo: Montag und Mittwoch 10-12 Uhr, SR404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Die klassische Funktionentheorie untersucht komplex differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen, die auf einer offenen Menge in der komplexen Ebene C definiert sind. Man arbeitet auch häufig auf der Riemannschen Zahlenkugel, die aus C durch Hinzufügung eines Punktes im Unendlichen entsteht, und man lässt isolierte Singularitäten zu. Als natürliche Verallgemeinerung ergibt sich nun die Untersuchung komplex differenzierbarer Funktionen auf offenen Teilmengen anderer, sogenannter Riemannscher Flächen, anstelle der Riemannschen Zahlenkugel. Die einfachsten Beispiele sind die elliptischen Kurven und die dazugehörigen doppelt periodischen Funktionen auf C. Allgemeiner fügt man der oberen komplexen Halbebene geeignete Punkte hinzu und fordert von den holomorphen Funktionen ein spezielles Transformationsverhalten unter bestimmten Möbiustransformationen, um die sogenannten Modulformen zu definieren. Modulformen können dann als Bausteine für die Konstruktion holomorpher und meromorpher Funktionen auf Riemannschen Flächen angesehen werden. Die sogenannte Diskriminantenfunktion
Δ(τ)= q  ∞ 

n = 1
(1-qn)24
mit q=exp(2πiτ) für τ in der oberen komplexen Halbebene ist ein klassisches Beispiel einer Modulform, das zudem einen für Modulformen typischen Zusammenhang zu einem Zählproblem aufweist:
 ∞ 

n = 1
(1-qn)-1 =  ∞ 

N = 0
P(N) qN ,
wobei P(N) die Anzahl der Partitionen von N angibt.

Die Vorlesung gibt eine elementare Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen, der elliptischen Kurven und der Modulformen mit Blick auf den Zusammenhang zu kompakten Riemannsche Flächen im allgemeinen.

Literatur

  • J.H. Bruinier, G. v.d.\ Geer, G. Harder, D. Zagier, The 1-2-3 of Modular Forms, Springer 2008
  • F. Diamond, J. Shurman, A First Course in Modular Forms, Springer 2005
  • M. Eichler, D. Zagier, The Theory of Jacobi Forms, Birkhäuser 1985
  • N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Springer 1984
  • K. Lamotke, Riemannsche Flächen, Springer 2009
  • J.-P. Serre, A course in arithmetic, Springer 1973

Assistentin

Dr. Mara Ungureanu

Übungen

Studienleistung

Die für Ihren Studiengang geltenden Regelungen zu Studien- und Prüfungsleistungen entnehmen Sie bitte dem jeweiligen Modulhandbuch. Die Voraussetzung für den Erhalt der Studienleistung ist die aktive Teilnahme an der Übungsgruppe, und aktive Teilnahme bedeutet:
  • Anwesenheitspflicht - Sie dürfen höchstens zweimal bei den Übungen fehlen.
  • Vorrechnen - Sie müssen mindestens zwei Übungsaufgaben an der Tafel präsentieren.
  • Hausaufgaben - Sie müssen die beiden präsentierten Übungsaufgaben schriftlich ausarbeiten, einreichen und mindestens die Bewertung "bestanden" erreichen.
In einigen Studiengängen wird zusätzlich das Bestehen eines Abschlusstestes gefordert.

Studienleistung und Prüfungsleistung

Voraussetzung für den Erhalt der Prüfungsleistung ist in der Regel das Bestehen der mündlichen Prüfung. Die für Ihren Studiengang geltenden Regelungen zu Studien- und Prüfungsleistungen entnehmen Sie bitte dem jeweiligen Modulhandbuch.

Prüfungen

Näheres zu den Prüfungen wird rechtzeitig bekannt gegeben.

mündliche Prüfungen und Abschlusstests

Zeitpunkt der Prüfungen und Abschlusstests: 21. Februar 2020 ab 9:00 Uhr bis 16:00 Uhr; die genaue Terminvergabe für die einzelnen 30-minütigen Prüfungen und 20-minütigen Abschlusstests erfolgt nach Ablauf der Anmeldefrist

Ort der Prüfungen und Abschlusstests: Raum 338, Ernst-Zermelo-Str. 1

Anmeldung zur Prüfung ist verpflichtend, und zwar für alle; die Anmeldung zur Prüfung ist unabhängig davon, ob Sie in eine Übungsgruppe eingeteilt wurden oder immatrikuliert sind, sie muss separat erfolgen.
Näheres zur Prüfungsanmeldung wird rechtzeitig bekannt gegeben.