%blatt11
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\begin{document}

\lhead{Topologie\\
Sommersemester 2025}

\rhead{Dozentin: Prof.\ Dr.\ Heike Mildenberger\\\
Assistent: Dr. Hannes Jakob}
\hfill\\



\begin{center}
 \textbf{BLATT 08}\\
 24.06.2025\\\hfill\\
 Abgabe am Dienstag, 01.07.2025, um 10:15 vor der Vorlesung oder im Briefkasten im Logik-Flur
\end{center}


\medskip
\begin{ubung}[2+2 Punkte]
	Wir betrachten den topologischen Raum $X=\mathbb{C}$ mit der {\"u}blichen Topologie. Wir fassen die Kreislinie $S^1$ als Unterraum von $X$ auf, $S^1:=\{a+bi\in X\;|\;a^2+b^2=1\}$.
	
	Auf dem topologischen Raum $Y=[0,1]$ (ebenfalls mit der Standardtopologie) betrachten wir die {\"A}quivalenzrelation $\sim$, sodass $y_0\sim y_1$ genau dann, wenn $y_0=y_1$ oder $y_0=0, y_1=1$ (und umgekehrt). Es sei $f\colon X/\sim\to S^1$ definiert durch $f([t]_{\sim}):=e^{2\pi it}$. Weiterhin sei $p\colon X\to X/\sim$ die Projektionsabbildung.
	\begin{enumerate}
		\item Ist $f$ wohldefiniert? Ist $f$ ein Hom{\"o}omorphismus?
		\item Ist $f\circ p$ offen?
	\end{enumerate}
\end{ubung}
\medskip

\begin{ubung}[2 Punkte]
	Sei $X$ ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass $X$ genau dann kompakt ist, wenn $X$ folgenkompakt ist, d.h. wenn jede Folge $(x_n)_{n\in\omega}$ von Elementen von $X$ eine konvergente Teilfolge hat.
\end{ubung}
\medskip

\begin{ubung}[2 Punkte]
	Wir betrachten zwei M{\"o}glichkeiten, den Kegel {\"u}ber einer Menge $X\subseteq\mathbb{R}^n$ zu definieren.
	
	Einerseits sei $CX:=(X\times [0,1])/(X\times\{1\})$, d.h. wir bilden das ``Prisma'' {\"u}ber $X$ und ziehen die oberste Kopie von $X$ zu einem Punkt zusammen. $CX$ trage als Topologie die Quotiententopologie bzgl. der Produkttopologie der Standardtopologien.
	
	Andererseits sei (f{\"u}r $p\in\mathbb{R}^{n+1}$ beliebig) $\tilde{CX}$ definiert als
	$$\tilde{CX}:=\{(1-t)\cdot x'+t\cdot p\;|\;t\in [0,1],x'\in X\times\{0\}\}$$
	$\tilde{CX}$ trage die Unterraumtopologie bzgl. der Standardtopologie auf $\mathbb{R}^{n+1}$.
	
	Zeigen Sie, dass $CX$ und $\tilde{CX}$ hom{\"o}omorph sind (f{\"u}r Hilfe betrachten Sie Beispiel 10.3 im Skript und f{\"u}hren Sie den Beweis aus).
\end{ubung}

\medskip


\begin{ubung}[4 Punkte]
	Es sei $(X,d)$ ein kompakter metrischer Raum. F{\"u}r $S\subseteq X$ sei
	$$\diam(S):=\sup\{d(x,y)\;|\;x,y\in S\}$$
	der Durchmesser von $S$.
	
	Zeigen Sie: Zu jeder offenen {\"U}berdeckung $\{U_i\;|\;i\in I\}$ von $X$ existiert eine reelle Zahl $\lambda>0$ derart, dass jede Teilmenge $S\subseteq X$ mit $\diam(S)<\lambda$ vollst{\"a}ndig in einer Menge $U_i$ enthalten ist.
\end{ubung}

\begin{center}
	\emph{Bitte wenden}
\end{center}

\medskip

\begin{ubung}[2+(1+1) Punkte]\hfill
	\begin{enumerate}
		\item Seien $(X_i,\mathcal{O}_i)_{i\in I}$ und $(Y_i,\mathcal{O}_i')_{i\in I}$ topologische R{\"a}ume und $f_i\colon X_i\to Y_i$ Hom{\"o}omorphismen. Sind die R{\"a}ume $\prod_{i\in I}X_i$ und $\prod_{i\in I}Y_i$ hom{\"o}omorph (bzgl. der Produkttopologien)?
		\item Es sei $n\in\mathbb{N}$. $(\mathbb{Z}^n,+)$ bezeichne die Gruppe $\mathbb{Z}^n$ mit komponentenweiser Addition. Diese Gruppe operiere auf $\mathbb{R}^n$ durch
		$$\oplus((z_1,\dots,z_n),(r_1,\dots,r_n))=(z_1+r_1,\dots,z_n+r_n)$$
		\begin{enumerate}
			\item Ist $\oplus$ tats{\"a}chlich eine Gruppenoperation?
			\item Ist $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ hom{\"o}omorph zu $(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^n$ (bzgl. der Produkttopologie)?
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{ubung}

\medskip

\begin{bonus}[4 Punkte]
	Es sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren das Spiel $G(X)$ wie folgt: I und II spielen abwechselnd offene Teilmengen von $X$. Weiterhin muss die Folge der Mengen absteigend sein. I beginnt.	D.h., I spielt $U_0\subseteq X$ offen, dann spielt II $U_1\subseteq U_0$ offen, dann spielt I $U_2\subseteq U_1$ offen und so weiter. Das Spiel dauert $\mathbb{N}$ viele Runden. Am Ende gewinnt I, falls $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n=\emptyset$, sonst gewinnt II.
	
	Wir sagen, dass II eine \emph{Gewinnstrategie} hat, wenn es eine Funktion $f$ gibt, die einer Folge $(U_0,\dots,U_n)$ (mit $n$ gerade) eine Menge $f((U_0,\dots,U_n))\subseteq U_n$ zuweist, sodass f{\"u}r jede absteigende Folge $(U_0,U_1,\dots)$ mit $U_{n+1}=f((U_0,\dots,U_n))$ f{\"u}r jedes gerade $n$ gilt, dass $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n\neq\emptyset$. Intuitiv gesprochen kann II also stets so spielen, dass II am Ende gewinnt.
	
	Zeigen Sie, dass II eine Gewinnstrategie hat, falls die Topologie auf $X$ durch eine Metrik erzeugt wird.
\end{bonus}
\end{document}
