%blatt11
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\begin{document}

\lhead{Topologie\\
Sommersemester 2025}

\rhead{Dozentin: Prof.\ Dr.\ Heike Mildenberger\\\
Assistent: Dr. Hannes Jakob}
\hfill\\



\begin{center}
 \textbf{BLATT 10}\\
 01.07.2025\\\hfill\\
 Abgabe am Dienstag, 08.07.2025, um 10:15 vor der Vorlesung oder im Briefkasten im Logik-Flur\\\hfill\\
 Dies ist das letzte Blatt.
\end{center}


\medskip
\begin{ubung}
	Seien $X$ und $Y$ topologische R{\"a}ume und $x\in X$, $y\in Y$. Finden Sie einen nat{\"u}rlichen Gruppenisomorphismus
	$$\pi_1(X\times Y,(x,y))\cong\pi_1(X,x)\times\pi_1(Y,y)$$
\end{ubung}
\medskip

\begin{ubung}
	Sei $X$ ein topologischer Raum. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen {\"a}quivalent sind:
	\begin{enumerate}
		\item Jede Abbildung $S^1\to X$ ist homotop zu einer konstanten Abbildung.
		\item F{\"u}r jedes $x\in X$ ist die Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ trivial, d.h. sie ist die einelementige Gruppe.
		\item Je zwei Wege zwischen zwei Punkten $x,y\in X$ sind homotop.
	\end{enumerate}
\end{ubung}
\medskip




\begin{ubung}
	Seien $X,Y$ topologische R{\"a}ume, sodass $Y$ zusammenziehbar ist. Es seien $f,g\colon X\to Y$ Abbildungen. Sind $f$ und $g$ homotop?
\end{ubung}


\medskip


\begin{ubung}[2+2 Punkte]
	Es sei $X$ eine nichtleere Menge und $x\in X$. Auf $X$ seien $\mathscr{O}_0$ die \emph{indiskrete} (d.h. $\mathscr{O}_0:=\{\emptyset,X\}$) und $\mathscr{O}_1$ die \emph{diskrete} (d.h. $\mathscr{O}_1:=\mathcal{P}(X)$) Topologie.
	\begin{enumerate}
		\item Bestimmen Sie die Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ bzgl. $\mathscr{O}_0$.
		\item Bestimmen Sie die Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ bzgl. $\mathscr{O}_1$.
	\end{enumerate}
\end{ubung}


\medskip

\begin{bonus}[2+2+2 Bonuspunkte]
	Es sei $G$ eine topologische Gruppe und $X$ kompakt und hausdorffsch. Wir nehmen an, dass $G$ \emph{stetig auf} $X$ \emph{operiert}, d.h., dass die Abbildung
	\begin{align*}
		G\times X & \to X\\
		(g,x) & \mapsto gx
	\end{align*}
	eine stetige Abbildung bzgl. der Produkttopologie ist. Wir statten die Menge
	$$H(X):=\{f\colon X\to X\;|\;X\text{ ist ein Hom{\"o}omorphismus}\}$$
	mit der kompakt-offenen Topologie aus (vgl. Blatt 08). Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}
		\item F{\"u}r jedes $g\in G$ ist die Abbildung $f_g\colon X\to X$, $f_g(x)=gx$, in $H(X)$.
		\item Die Abbildung $F\colon G\to H(X)$, definiert durch $F(g)=f_g$, ist stetig bzgl. der kompakt-offenen Topologie.
	\end{enumerate}
	Entscheiden Sie:
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Gibt es eine topologische Gruppe $G$, sodass $F$ bijektiv oder sogar ein Hom{\"o}omorphismus ist?
	\end{enumerate}
\end{bonus}


\end{document}
