Veranstaltungsübersicht -- Wintersemester 2018/2019 (Archiv)

Abstract: In 1985, Babai and Sós asked whether there exists a constant c>0 such that every finite group of order n has a product-free set of size at least cn, where a product-free set of a group is a subset that does not contain three elements x,y and z satisfying xy=z. Gowers showed that the answer is no in the early 2000s, by linking the existence of product-free sets of large density to the existence of low dimensional unitary representations.

In this talk, I will provide an answer to the aforementioned question by model theoretic means. Furthermore, I will relate some of Gowers' results to the existence of nontrivial definable compactifications of nonstandard finite groups.

We investigate some types of non-ccc tree forcings for adding splitting reals. In particular we focus on some questions concerning the ideals and the regularity properties associated with such splitting trees. We aim to provide a proof for a positive answer to the following question posed by Spinas: Can one prove in ZFC that the additivity of the splitting tree ideal is less than the bounding number?

I will present a notion of "almost" order-preserving collapsing function, mapping large ordinals (uncountable/non-recursive) to smaller ones (countable/recursive). While this notion is inspired by impredicative ordinal analysis it does, I believe, lead to natural and elegant objects of set theory. I will show that the existence of collapsing functions is equivalent to the existence of admissible sets, and hence to Pi^1_1-comprehension. This result can also be read as a combinatorial characterization of the Church-Kleene ordinal. A preprint is available as arXiv:1809.06759

Für dreisortige Strukturen (A,B,C), wo B eine reine Erweiterung von A ist, und C der Quotient B/A, geben wir eine Quantorenlimination an, die Formeln phi(x,..) in Formeln psi(r(x,..),..) übersetzt, die nur noch über die Sorten A und C sprechen. Dabei sind die Terme r,.. einfache definierbare Funktionen von B nach A^eq und C.

Das ist Teil einer gemeinsamen Arbeit mit Aschenbrenner, Chernikov und Gehret. Als Folgerung ergibt sich dort zum Beispiel

Sei (K,O) ein henselscher Körper, dessen Restklassenkörper k die Charakteristik 0 hat. Dann ist (K,O) genau dann distal, wenn k und die Wertegruppe distal sind.

We work in a model of the theory of the real field with restricted analytic functions such that its value group has finite archimedean rank. An example is given by the field of Puiseux series over the reals. We show how one can extend the restricted logarithm to a global logarithm with values in the polynomial ring over the model with dimension the archimedean rank. The logarithms are determined by algebraic data from the model, namely by a section of the model and by an embedding of the value group into its Hahn group. If the archimedean rank of the value group coincides with the rational rank the logarithms are equivalent. We illustrate how one can embed such a logarithm into a model of the real field with restricted analytic functions and exponentiation. This allows us to define constructible functions with good lifting properties. As an application we establish a full Lebesgue measure and integration theory with values in the polynomial ring.

We shall begin by explaining the idea behind the so-called "arithmetic regularity lemma" pioneered by Green, which is a group-theoretic analogue of Szemerédi's celebrated regularity lemma for graphs with wide-ranging applications. We will then describe recent joint work with Caroline Terry (University of Chicago), which shows that under the natural model-theoretic assumption of stability the conclusions of the arithmetic regularity lemma can be significantly strengthened, leading to a characterisation of stable subsets of finite abelian groups. In the latter part of the talk, we survey related work by various authors including Alon, Conant, Fox, Pillay, Sanders, Sisask, Terry and Zhao, further exploring this topic from both a combinatorial and a model-theoretic perspective.

Abstract: Ein Submaß $\nu$ auf einer Booleschen Algebra $\mathcal{B}$ heißt ausschöpfend, wenn jede disjunkte Folge in $\mathcal{B}$ unter $\nu$ eine Nullfolge ist. Zwei Submaße heißen äquivalent, falls sie dieselben Nullfolgen haben. Eines der beiden Maharamprobleme ist die folgende Frage:

Ist jedes auschöpfende Submaß äquivalent zu einem endlich additiven Maß?

Dieses Problem geht auf eine Frage zurück, die John von Neumann 1937 im “Scottish Book” stellte, nämlich ob jede vollständige schwach $\omega$-distributive Algebra mit höchstens abzählbaren Antiketten ein positives $\sigma$-additives Wahrscheinlichkeitsmaß trägt.

2008 gab Michel Talagrand eine negative Antwort auf das Problem von Maharam und damit auch auf von Neumanns Frage. In seinem Beweis konstruiert Talagrand zunächst ein pathologisches Submaß, also ein Submaß, das kein nichttriviales Maß dominiert.

Ziel dieses Vortrags ist, dieses Submaß zu betrachten und zu zeigen, dass eine ähnliche Konstruktion auf der Cantoralgebra nicht pathologisch ist.

Abstract: I will present a new technique in nonstandard analysis that has been recently applied in Ramsey Theory of numbers.

To illustrate the methods, I will present nonstandard proofs of fundamental results, such as Ramsey's Theorem and Hindman's Theorem. I will also present a couple of simple examples of new results about partition regularity of Diophantine equations.

In the second part of the talk, I will briefly discuss the (discrete) topological dynamics as given by the hypernatural numbers of nonstandard analysis endowed with the shift operator, and present a new proof of van der Waerden's Theorem: In any finite coloring of the natural numbers there exist monochromatic arithmetic progressions of arbitrary length.

Eine Theorie ist äquational, falls jede Formel boolsche Kombination von Gleichungen ist. Eine Formel ist eine Gleichung, falls die Familie endlicher Durschnitte ihrer Instanzen die Absteigenden-Ketten-Bedingung erfüllt. Jede äquationale Theorie ist stabil, aber Sela und Müller-Sklinos zeigten, dass die nicht-abelsche freie Gruppe nicht äquational ist. Jedoch gibt es bisher wenige Beispiele stabiler Theorien, welche nicht äquational sind.

In einer Zusammenarbeit mit Martin Ziegler produzieren wir sämtliche neuen nicht-äquationalen stabilen Theorien, welche auf den von Hrushovski und Sour konstruierten gefärbten Pseudoraum basiert sind.