CHARAKTERFORMELN FÜR KIPP-MODULN ÜBER KAC-MOODY-ALGEBREN

WOLFGANG SOERGEL

Zusammenfassung. We show how to express the characters of tilting modules in a (possibly parabolic) category O over a Kac-Moody algebra in terms of the characters of simple highest weight modules. This settles in lots of cases Conjecture 7.2 of [Soe97] describing the character of tilting modules for quantum groups at roots of unity.

Einleitung

In dieser Arbeit bestimme ich die Charaktere von unzerlegbaren Kipp-Moduln in der Kategorie O über einer affinen Kac-Moody-Al-gebra. Mit Hilfe einer von Kazhdan und Lusztig bewiesenen Äquivalenz von Kategorien erhält man damit auch die Charaktere von Kipp-Moduln für Quantengruppen, insbesondere ergibt sich die Vermutung 7.2 aus [Soe97] in vielen Fällen.

Den Schlüssel zur Bestimmung dieser Charaktere habe ich im Preprint [Ark97] gefunden. In dieser Arbeit baut Arkhipov die von Feigin eingeführte semi-infinite Kohomologie aus und zeigt insbesondere, daß die Kategorie aller Moduln mit Weyl-Filtrierung in positivem Level kontravariant äquivalent ist zur entsprechenden Kategorie in negativem Level. Unter dieser Äquivalenz müssen projektive Objekte zu Kipp-Moduln werden, und so liefern die Kazhdan-Lusztig-Vermutungen in positivem Level Charakterformeln für Kipp-Moduln in negativem Level.

In [Ark97] erscheint die oben erwähnte kontravariante Äquivalenz als Illustration einer sehr viel stärkeren und tieferen semi-infiniten Dualitätstheorie. Ich will in den folgenden Abschnitten zeigen, wie man diese kontravariante Äquivalenz direkt herleiten kann. Anschließend bespreche ich dann die Anwendung auf Kipp-Moduln.

1991 Mathematics Subject Classification. 17B70, 17B67, 17B37.

1. Der semi-reguläre Bimodul

Sei 𝔤 = ⨁_{i∈ℤ} 𝔤_{i} eine ℤ-graduierte Lie-Algebra über dem Körper k mit endlichdimensionalen homogenen Teilen, dim_{k} 𝔤_{i} < ∞ für alle i.

Definition 1.1. Ein Charakter γ : 𝔤_{0} → k heißt ein semi-infiniter Charakter für 𝔤 genau dann, wenn gilt:

1. Als Lie-Algebra wird 𝔤 erzeugt von 𝔤_{1}, 𝔤_{0} und 𝔤_{−1}.

2. γ([X, Y]) = tr(adXadY : 𝔤_{0} → 𝔤_{0}) ∀X ∈ 𝔤_{1}, Y ∈ 𝔤_{−1}.

Bemerkung 1.2. Voronov [Vor93] und Arkhipov [Ark97] arbeiten ohne die Voraussetzung (1) und fordern dann von γ, daß dγ der “kritische Kozykel von 𝔤” ist. Die Lie-Algebren, die das Ziel dieser Arbeit sind, werden jedoch von 𝔤_{1}, 𝔤_{0} und 𝔤_{−1} erzeugt. Da dieser Fall leichter zu behandeln ist, beschränke ich mich auf den in der obigen Definition abgesteckten Rahmen.

Wir setzen 𝔟 = 𝔤_{≥0}, 𝔫 = 𝔤_{<0} und bezeichnen die Einhüllenden von 𝔤, 𝔟, 𝔫 mit U, B, N. Sicher erben U, B und N eine ℤ-Graduierung von den zugehörigen Lie-Algebren. Wir betrachten den zu N graduiert dualen N-Bimodul N^{⊛} = ⊕_{i}N_{i}^{∗} mit der offensichtlichen Bimodul-Struktur gegeben durch (fn)(n_{1}) = f(nn_{1}), (nf)(n_{1}) = f(n_{1}n) ∀ f ∈ N^{⊛}, n, n_{1} ∈ N.

Theorem 1.3. Sei γ : 𝔤_{0} → k ein semi-infiniter Charakter für 𝔤. So gibt es einen ℤ-graduierten U-Bimodul S = S_{γ} mitsamt einer Inklusion von ℤ-graduierten N-Bimoduln ι : N^{⊛} ↪ S derart, daß gilt:

1. Die Abbildung U ⊗_{N} N^{⊛} → S, u ⊗ f ↦ uι(f) ist bijektiv.

2. Die Abbildung N^{⊛} ⊗_{N} U → S, f ⊗ u ↦ ι(f)u ist bijektiv.

3. Bis auf einen Twist um γ kommutiert die Inklusion ι : N^{⊛} ↪ S mit der adjungierten Operation von 𝔤_{0} auf beiden Räumen, in Formeln ι(f ∘ adH) + (adH)ι(f) = ι(f)γ(H) für alle H ∈ 𝔤_{0} und f ∈ N^{⊛}.

Bemerkungen 1.4. 1. Der Bimodul S ist ein semi-infinites Analogon der Einhüllenden Algebra, da analog zu U ≅ B ⊗_{k} N ≅ N ⊗_{k} B gilt S ≅ B ⊗_{k} N^{⊛} ≅ N^{⊛} ⊗_{k} B. Wir bezeichnen S als den “semiregulären Bimodul”. Er wird in größerer Allgemeinheit in [Vor93] als “standard semijective module” und in [Ark97] als “semiregular module” eingeführt. Die Darstellung in [Vor93] muß allerdings noch etwas nachgebessert werden.

2. Der semi-reguläre Bimodul S hat nur homogene Komponenten vom Grad ≥ 0.

3. Die Formel (3) sagt insbesondere Hι(ε) = ι(ε)(H + γ(H)) für alle H ∈ 𝔤_{0} und ε ∈ N_{0}^{⊛}, speziell also für ε die Augmentation von N.

4. Wenn man den Beweis des Theorems sorgfältig durchgeht und am Schluß den Dimensionsvergleich durch ein feineres Argument ersetzt erkennt man, daß es reicht dim_{k} 𝔤_{i} < ∞ für i < 0 vorauszusetzen.

Beweis. Zunächst konstruieren wir für einen beliebigen Charakter γ von 𝔤_{0} einen Vektorraum S = S_{γ} mit einer Linksoperation und einer Rechtsoperation von U.

Für zwei beliebige ℤ-graduierte Vektorräume M, M′ definiere man einen ℤ-graduierten Vektorraum Hom_{k}(M, M′) mit homogenen Komponenten Hom_{k}(M, M′)_{j} = {f ∈ Hom_{k}(M, M′) | f(M_{i}) ⊂ M′_{i+j}}. Es ist also zum Beispiel N^{⊛} = Hom_{k}(N, k), wenn wir k die ℤ-Graduierung k = k_{0} geben. Jetzt betrachten wir für einen beliebigen Charakter γ von 𝔤_{0} die folgende Sequenz von Isomorphismen von ℤ-graduierten k-Vektorräumen:

Hom_{B}(U, k_{γ} ⊗_{k} B) →^{∼} Hom_{k}(N, B) ←^{∼} N^{⊛} ⊗_{k} B →^{∼} N^{⊛} ⊗_{N} U

Hier bezeichnet Hom_{B} den Raum der B-Homomorphismen in Hom_{k}, k_{γ} ist die durch den Charakter γ : 𝔤_{0} → k und die Surjektion 𝔟 ↠ 𝔤_{0} definierte eindimensionale Darstellung von 𝔟, und k_{γ} ⊗_{k} B ist als 𝔟-Linksmodul das Tensorprodukt der beiden Darstellungen. Der erste Isomorphismus ist definiert durch die Restriktion auf N und die Identifikation k_{γ} ⊗_{k} B →^{∼} B, 1 ⊗ b ↦ b. Die übrigen Isomorphismen sind offensichtlich.

Wir setzen nun S_{γ} = N^{⊛}⊗_{k} B und erklären darauf eine U-Operation von links (bzw. von rechts) durch die ersten beiden Isomorphismen (bzw. den letzten Isomorphismus). Unser erstes Ziel ist zu zeigen, daß für einen semi-infiniten Charakter γ die Rechts- und die Linksoperation von U auf S_{γ} kommutieren. Leider verstehe ich den eigentlichen Grund dieses Phänomens nicht und bin deshalb gezwungen, es ohne Verständnis nachzurechnen.

Alle unsere Isomorphismen von oben sind verträglich mit der offensichtlichen Linksoperation von N und Rechtsoperation von B auf unseren Räumen. Daraus folgt, daß die Linksoperation von N kommutiert mit der Rechtsoperation von U, und die Rechtsoperation von B mit der Linksoperation von U. Es gilt also zu zeigen, daß

\begin{aligned}H((f ⊗ b)Y) & = & (H(f ⊗ b))Y, \\ X((f ⊗ b)Y) & = & (X(f ⊗ b))Y \end{aligned}

für alle H ∈ 𝔤_{0}, X ∈ 𝔤_{1}, Y ∈ 𝔤_{−1}, f ∈ N^{⊛}, b ∈ B. Wir können hier sogar b = 1 annehmen. Denn durch Rechtsmultiplikation mit X_{1} ∈ 𝔤_{1} bzw. H_{1} ∈ 𝔤_{0} und eine kurze Rechnung folgert man aus den Gleichungen mit b die entsprechenden Gleichungen mit bX_{1} bzw. bH_{1}. Zusammenfassend gilt es also nur noch zu zeigen, daß

\begin{aligned}H((f ⊗ 1)Y) & = & (H(f ⊗ 1))Y, \\ X((f ⊗ 1)Y) & = & (X(f ⊗ 1))Y \end{aligned}

für alle H ∈ 𝔤_{0}, X ∈ 𝔤_{1}, Y ∈ 𝔤_{−1}, f ∈ N^{⊛}.

Machen wir uns also ans Rechnen. Bezeichnet L_{Y} : N → N die Multiplikation mit Y ∈ 𝔤_{−1} von links, so ist (f ⊗ 1)Y = fL_{Y} ⊗ 1. Weiter gilt für H ∈ 𝔤_{0} nach unseren Definitionen

H(f ⊗ 1) = −f(adH) ⊗ 1 + f ⊗ (γ(H) + H)

wo natürlich adH : N → N durch (adH)(n) = Hn − nH gegeben ist. Damit gilt also

(H(f ⊗ 1))Y = −f(adH)L_{Y} ⊗ 1 + fL_{Y} ⊗ (γ(H) + H),
+fL_{[H,Y]} ⊗ 1,
H((f ⊗ 1)Y) = −fL_{Y} (adH) ⊗ 1 + fL_{Y} ⊗ (γ(H) + H),

und da (adH)L_{Y} = L_{Y} (adH) + L_{[H,Y]} stimmen diese Ausdrücke noch für beliebiges γ überein.

Um X(f ⊗ 1) anzugeben, wählen wir eine Basis (H_{i})_{i∈I} von 𝔤_{0} und definieren lineare Abbildungen H_{X}^{i}, F_{X} : N → N durch

nX = Xn + ∑_{i} H_{i}H_{X}^{i}(n) + F_{X}(n) ∀n ∈ N.

Nach unseren Definitionen erhalten wir

X(f ⊗ 1) = f ⊗ X + ∑_{i} fH_{X}^{i} ⊗ (γ(H_{i}) + H_{i}) + fF_{X} ⊗ 1.

Wir berechnen weiter

(Y n)X = X(Y n) + ∑ H_{i}H_{X}^{i}(Y n) + F_{X}(Y n)
Y (nX) = Y Xn + ∑ Y H_{i}H_{X}^{i}(n) + Y F_{X}(n)
= XY n + [Y, X]n + ∑ H_{i}Y H_{X}^{i}(n)
+ ∑[Y, H_{i}]H_{X}^{i}(n) + Y F_{X}(n)

und mit [Y, X] = ∑ c_{Y X}^{i}H_{i} ergeben sich die Formeln

\begin{aligned}H_{X}^{i}L_{Y} & = & L_{Y} H_{X}^{i} + c_{Y X}^{i}id_{N} \\ F_{X}L_{Y} & = & L_{Y} F_{X} + ∑_{i} L_{[Y,H_{i}]}H_{X}^{i}. \end{aligned}

Nun erhalten wir

X((f ⊗ 1)Y) = fL_{Y} ⊗ X + ∑_{i} fL_{Y} H_{X}^{i} ⊗ (γ(H_{i}) + H_{i})
+fL_{Y} F_{X} ⊗ 1
(X(f ⊗ 1))Y = f ⊗ XY + ∑_{i} fH_{X}^{i} ⊗ (γ(H_{i}) + H_{i})Y + fF_{X} ⊗ Y
= fL_{Y} ⊗ X + f ⊗ [X, Y]
+ ∑_{i} fH_{X}^{i}L_{Y} ⊗ (γ(H_{i}) + H_{i})
+ ∑_{i} fH_{X}^{i}L_{[H_{i},Y]} ⊗ 1
+fF_{X}L_{Y} ⊗ 1

und als Bedingung für X((f ⊗ 1)Y) = (X(f ⊗ 1))Y ergibt sich mit unseren Formeln 0 = ∑_{i} c_{Y X}^{i} · γ(H_{i}) + c_{[H_{i},Y]X}^{i}, in anderen Worten γ([X, Y]) = tr(adXadY : 𝔤_{0} → 𝔤_{0}). Damit ist also für jeden semiinfiniten Charakter γ unser S = S_{γ} ein U-Bimodul. Wir definieren ι : N^{⊛} ↪ S durch ι(f) = f ⊗ 1 und müssen nur noch die behaupteten Eigenschaften (1)–(3) nachweisen.

Von diesen folgen (2) und (3) sofort aus unseren Definitionen, und wir müssen nur noch (1) zeigen. Nun trägt ja S eine ℤ-Graduierung mit endlichdimensionalen homogenen Komponenten. Mit Dimensionsvergleich reicht es also zu zeigen, daß U ⊗_{N} N^{⊛} → S eine Surjektion ist, daß also ι(N^{⊛}) schon S als U-Linksmodul erzeugt. Die Formeln für X(f ⊗ 1), H(f ⊗ 1) zeigen aber, daß der von ι(N^{⊛}) erzeugte U-Linksmodul stabil ist unter der Rechtsoperation von B.

2. Die Kategorie aller Moduln mit endlicher Verma-Fahne ist ihre eigene opponierte Kategorie

Wir übernehmen die Notationen des vorhergehenden Abschnitts. Sei γ : 𝔤_{0} → k ein semi-infiniter Charakter für 𝔤 und S = S_{γ} der zugehörige semi-reguläre Bimodul. Bezeichne M bzw. K die Kategorie aller ℤgraduierten Darstellungen von 𝔤, die über N graduiert frei bzw. kofrei sind von endlichem Rang, d.h. die isomorph sind zu endlichen direkten Summen von eventuell in der Graduierung verschobenen Kopien von N bzw. N^{⊛}.

Theorem 2.1. Der Funktor S⊗_{U} definiert eine Äquivalenz von Kategorien S⊗_{U} : M →^{∼} K, unter der kurze exakte Sequenzen kurzen exakten Sequenzen entspechen.

Bemerkungen 2.2. 1. Die Existenz einer Äquivalenz M ≅ K ist ein

Resultat von Arkhipov [Ark97].

2. Ist 𝔥 ⊂ 𝔤_{0} eine abelsche Unter-Lie-Algebra derart, daß die adjungierte Operation von 𝔥 auf 𝔫 diagonalisierbar ist, so liefert unser Funktor auch eine Äquivalenz M_{𝔥} →^{∼} K_{𝔥} zwischen den Kategorien aller 𝔥-diagonalisierbaren Objekte von M bzw. K.

Beweis. Zunächst folgt aus S ≅ N^{⊛} ⊗_{N} U, daß S⊗_{U} ≅ N^{⊛}⊗_{N} in der Tat einen Funktor T : M → K definiert, der kurze exakte Sequenzen zu kurzen exakten Sequenzen macht. Weiter liefert die Rechtsmultiplikation einen Isomorphismus N^{opp} → End_{N}(N^{⊛}), und da ja auch S ≅ U ⊗_{N} N^{⊛} definiert Hom_{U}(S, ) ≅ Hom_{N}(N^{⊛}, ) in der Tat einen Funktor H : K → M, der kurze exakte Sequenzen zu kurzen exakten Sequenzen macht.

Unsere beiden Funktoren bilden in offensichtlicher Weise ein adjungiertes Paar (T, H). Um zu zeigen, daß sie zueinander inverse Äquivalenzen von Kategorien sind, müssen wir nur noch nachweisen, daß für alle M ∈ M bzw. K ∈ K die kanonische Abbildung M → HT M bzw. T HK → K ein Isomorphismus ist. Aber wir haben ja

\begin{aligned}HT M & = & Hom_{U}(S, S ⊗_{U} M) \\ & = & Hom_{N}(N^{⊛}, N^{⊛} ⊗_{N} M) \end{aligned}

und für einen freien N-Modul M von endlichem Rang ist sicher die kanonische Abbildung M → Hom_{N}(N^{⊛}, N^{⊛}⊗_{N} M) ein Isomorphismus. Ebenso haben wir

\begin{aligned}T HK & = & S ⊗_{U} Hom_{U}(S, K) \\ & = & N^{⊛} ⊗_{N} Hom_{N}(N^{⊛}, K) \end{aligned}

und für K = N^{⊛} oder, allgemeiner, K kofrei von endlichem Rang über N ist sicher die kanonische Abbildung N^{⊛} ⊗_{N} Hom_{N}(N^{⊛}, K) → K ein Isomorphismus.

In dem nun folgenden Korollar zeigt sich der Inhalt des Theorems besonders deutlich. Für einen ℤ-graduierten Vektorraum V = ⨁ V_{i} bezeichne V^{⊛} = Hom_{k}(V, k) seinen ℤ-graduierten Dualraum mit homogenen Komponenten (V^{⊛})_{i} = (V_{−i})^{∗}. Ist V eine ℤ-graduierte Darstellung von 𝔤, so macht die kontravariante Operation (Xf)(v) = −f(Xv) für alle f ∈ V^{⊛}, X ∈ 𝔤, v ∈ V auch V^{⊛} zu einer ℤ-graduierten Darstellung von 𝔤. Bezeichne M^{opp} die zu M opponierte Kategorie.

Korollar 2.3. Der Funktor M ↦ (S ⊗_{U} M)^{⊛} definiert eine Äquivalenz von Kategorien M →^{∼} M^{opp}, unter der kurze exakte Sequenzen kurzen exakten Sequenzen entsprechen, und unter der U ⊗_{B} E auf U ⊗_{B} (k_{−γ} ⊗ E^{∗}) abgebildet wird, für jede endlichdimensionale ℤgraduierte Darstellung E von 𝔤_{0}.

Beweis. Man beachte, daß die obigen Formeln uns eine zweite Linksoperation von 𝔫 auf N^{⊛} definieren, die im allgemeinen nicht mit der in Abschnitt 1 definierten Linksoperation von 𝔫 auf N^{⊛} übereinstimmt. Jedoch ist N^{⊛} versehen mit dieser zweiten 𝔫-Operation stets isomorph als ℤ-graduierter 𝔫-Modul zu N^{⊛} mit der ursprünglichen Operation, ein möglicher Isomorphismus ist die transponierte Abbildung zum prinzipalen Anti-Automorphismus von N.

Folglich definiert uns der Funktor V ↦ V^{⊛} eine Äquivalenz von Kategorien K →^{∼} M^{opp}. Der Rest des Beweises bleibt dem Leser überlassen.

Bemerkungen 2.4. 1. Man kann ohne große Schwierigkeiten zeigen, daß M genau aus denjenigen ℤ-graduierten 𝔤-Moduln besteht, die eine endliche Filtrierung mit Subquotienten der Form U ⊗_{B} E besitzen, mit endlichdimensionalen irreduziblen ℤ-graduierten 𝔤_{0}-Moduln E. Wir nennen deshalb M auch die Kategorie aller Moduln mit endlicher Verma-Fahne.

2. Man zeigt weiter ohne große Schwierigkeiten, daß M stabil ist unter direkten Summanden. Allgemeiner ist jeder Summand eines graduiert freien N-Moduls von endlichem Rang selbst graduiert frei von endlichem Rang, für jede ℤ-graduierte Algebra N, die keine Teile von positivem Grad hat und deren Komponente vom Grad Null genau der Grundkörper ist.

3. Unter den Voraussetzungen von Bemerkung 2.2 (2) liefert unser Funktor natürlich auch eine Äquivalenz M_{𝔥} →^{∼} M_{𝔥}^{opp}.

3. Alternativer Beweis im endlichdimensionalen Fall

Kashiwara hat den Autor darauf aufmerksam gemacht, daß eine Äquivalenz wie in Theorem 2.3 für endlichdimensionale Lie-Algebren billiger zu kriegen ist. Um zu erklären wie das geht, beginne ich mit

Theorem 3.1. Sei 𝔤 eine Lie-Algebra, 𝔟 ⊂ 𝔤 eine endlichdimensionale Unteralgebra, und seien B ⊂ U ihre Einhüllenden. Für jede endlichdimensionale Darstellung E von 𝔟 haben wir Isomorphismen von U-Rechtsmoduln

Ext_{U}^{n}(U ⊗_{B} E, U) = \{ \begin{matrix}(Λ^{max}𝔟^{∗} ⊗ E^{∗}) ⊗_{B} U falls n = dim 𝔟; \\ 0  sonst. \end{matrix}

Beweis. Für jede Darstellung V der endlichdimensionalen Lie-Algebra 𝔟 liefert die sogenannte “Poincaré-Dualität” [Kna88], VI. 3 einen Isomorphismus

H^{n}(𝔟; V) = H_{dim 𝔟−n}(𝔟; V ⊗ Λ^{max}𝔟^{∗}).

Wir erhalten damit

Ext_{U}^{n}(U ⊗_{B} E, U) = Ext_{B}^{n}(E, U)
= Ext_{B}^{n}(k, U ⊗ E^{∗})
= H_{dim 𝔟−n}(𝔟; U ⊗ E^{∗} ⊗ Λ^{max}𝔟^{∗}).

Nun beachte man, daß nach der Tensoridentität für jede Darstellung V der Lie-Algebra 𝔟 die Abbildung

\begin{aligned}φ : & U(𝔟) ⊗ V & → & U(𝔟) ⊗ V \\ & u ⊗ v & ↦ & u(1 ⊗ v) \end{aligned}

ein Vektorraumisomorphismus ist, der die Darstellung von 𝔟 “nur auf dem ersten Faktor” verkettet mit der Darstellung “auf dem Tensorprodukt nach der Leibniz-Regel”. Insbesondere ist U ⊗ E^{∗} ⊗ Λ^{max}𝔟^{∗} frei über B, und alle Homologiegruppen verschwinden bis auf

H_{0}(𝔟; U ⊗ E^{∗} ⊗ Λ^{max}b^{∗}) = k ⊗_{B} (E^{∗} ⊗ Λ^{max}b^{∗}) ⊗ U).

Wir haben das Tensorprodukt E^{∗}⊗U nur in dieser Reihenfolge geschrieben, um deutlich zu machen, daß 𝔟 durch die Leibniz-Regel operiert, die Rechtsoperation von U jedoch nur auf dem letzten Faktor wirkt.

Ist aber V eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra 𝔟, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus von U-Rechtsmoduln

k ⊗_{B} (V ⊗ U) = V ⊗_{B} U,

wo links die Tensoroperation von 𝔟 auf V ⊗U gemeint ist, und wir rechts V vermittels des prinzipalen Antiautomorphismus 𝔟 → 𝔟, X ↦ −X von 𝔟 als B-Rechtsmodul auffassen.

In der Tat induziert die Einbettung von 𝔟-Rechtsmoduln

k ⊗_{U(𝔟)} (V ⊗ U(𝔟)) ↪ k ⊗_{U(𝔟)} (V ⊗ U(𝔤))

einen Isomorphismus

(k ⊗_{U(𝔟)} (V ⊗ U(𝔟))) ⊗_{U(𝔟)} U(𝔤) →^{∼} k ⊗_{U(𝔟)} (V ⊗ U(𝔤)),

wie man durch geeignete Filtrierungen und Übergang zum assoziierten Graduierten zeigt. Benutzen wir nochmal unseren Verkettungsoperator φ von eben und rechnen ein wenig, so sehen wir, daß k ⊗_{U(𝔟)}(V ⊗U(𝔟)) als 𝔟-Rechtsmodul identifiziert werden kann mit V selbst, aufgefaßt als 𝔟-Rechtsmodul vermittels des prinzipalen Antiautomorphismus.

Der Satz ist bewiesen.

Sei nun wieder 𝔤 eine Lie-Algebra und 𝔟 ⊂ 𝔤 eine endlichdimensionale Unteralgebra. Wir betrachten die Kategorie \overline{M} ⊂ 𝔤-mod aller Objekte, die eine endliche Filtrierung haben mit Subquotienten der Form U(𝔤) ⊗_{U(𝔟)} E für E ∈ 𝔟-mod, dim E < ∞. Weiter betrachten wir den Funktor F, der Rechtsmoduln zu Linksmoduln macht mithilfe des prinzipalen Antiautomorphismus.

Theorem 3.2. Wir haben eine Äquivalenz von Kategorien

T = F ∘ Ext_{U}^{n}( , U(𝔤)) : \overline{M} → \overline{M}^{opp},

unter der kurze exakte Sequenzen kurzen exakten Sequenzen entsprechen, und die U(𝔤) ⊗_{U(𝔟)} E abbildet auf U(𝔤) ⊗_{U(𝔟)} (Λ^{max}𝔟^{∗} ⊗ E^{∗}), für beliebige endlichdimensionale Darstellungen E von 𝔟.

Beweis. Alle Aussagen folgen sofort aus dem vorhergehenden Satz, bis auf die Behauptung, daß wir so eine Äquivalenz von Kategorien erhalten. Dazu reicht es aus, eine natürliche Äquivalenz von Funktoren T ∘ T → id\overline{M} anzugeben. Aber ist A ein Ring und M ein A-Modul, so haben wir natürlich stets den Morphismus “Auswerten an” in das Biduale

M → Hom_{−A}(Hom_{A−}(M, A), A),

und für M frei von endlichem Rang ist das ein Isomorphismus. Das gilt natürlich auch für einen Komplex M^{•} freier Moduln von endlichem Rang, und unser Satz folgt.

4. Projektive Objekte in O

Wir entwickeln nun in großer Allgemeinheit einige wohlbekannte Resultate und brauchen stärkere Voraussetzungen als in den ersten beiden Abschnitten. Sei ab jetzt k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null und sei 𝔤 = ⨁_{i∈ℤ} 𝔤_{i} eine ℤ-graduierte Lie-Algebra über k mit dim_{k} 𝔤_{i} < ∞ ∀i ∈ ℤ derart, daß 𝔤_{0} reduktiv ist und 𝔤 ein halbeinfacher 𝔤_{0}-Modul unter der adjungierten Darstellung. Dann betrachten wir die Kategorie O aller ℤ-graduierten 𝔤-Moduln M = ⨁_{i∈ℤ} M_{i}, die lokal endlich sind unter 𝔤_{≥0} und halbeinfach unter 𝔤_{0}. Für M, N ∈ O ist also Hom_{O}(M, N) = {f ∈ Hom_{𝔤}(M, N) | f(M_{i}) ⊂ N_{i} ∀i ∈ ℤ}.

Wie zuvor setzen wir 𝔤_{≥0} = 𝔟 und U(𝔟) = B. Bezeichne Λ die Menge der Isomorphieklassen von irreduziblen endlichdimensionalen ℤgraduierten Darstellungen von 𝔤_{0}. Eine solche Darstellung E ∈ Λ lebt natürlich stets in genau einem Grad |E| ∈ ℤ, also E = E_{|E|}. Zu E ∈ Λ bilden wir den Verma-Modul Δ(E) = U ⊗_{B} E. Natürlich liegt Δ(E) in O, hat genau einen einfachen Quotienten L(E), und {L(E)}_{E∈Λ} ist ein Repräsentantensystem für die einfachen Objekte von O. Analog betrachten wir auch ∇(E) = Hom_{𝔤_{≤0}}(U, E) in O und man erkennt, daß L(E) der kleinste von Null verschiedene Untermodul von ∇(E) ist. Genauer betrachten wir für beliebiges n ∈ ℤ in O die Unterkategorie

O_{≤n} = {M ∈ O | M_{i} = 0 falls i > n}.

Man zeigt für beliebige E, F ∈ Λ:

Lemma 4.1. 1. Δ(E) ist eine projektive Decke von L(E) in O_{≤|E|}. 2. ∇(E) ist eine injektive Hülle von L(E) in O_{≤|E|}.

3. Hom_{O}(Δ(F), ∇(E)) = 0 falls F ≠ E. Für F = E ist dieser Raum eindimensional.

4. Ext_{O}^{1}(Δ(F), ∇(E)) = 0.

Beweis. Bleibt dem Leser überlassen.

Im allgemeinen hat ein einfaches Objekt in O keine projektive Decke, sondern nur in den gestutzten Kategorien O_{≤n}.

Theorem 4.2. 1. Jedes einfache Objekt L(E) ∈ O_{≤n} besitzt in O_{≤n} eine projektive Decke P_{≤n}(E), und diese projektive Decke hat eine endliche Δ-Fahne.

2. Für m > n hat der Kern jeder Surjektion P_{≤m}(E) ↠ P_{≤n}(E) eine endliche Δ-Fahne mit Subquotienten der Form Δ(F) für m ≥ |F | > n.

3. Genau dann besitzt L(E) eine projektive Decke P (E) in O, wenn P_{≤n}(E) ≅ P_{≤n+1}(E) ≅ … für n ≫ 0, und dann ist P (E) ≅ P_{≤n}(E).

Zum Beweis benötigen wir etwas abstrakte Theorie.

Lemma 4.3. Sei A eine abelsche Kategorie, p : P ↠ L eine Surjektion von einem unzerlegbaren projektiven Objekt auf ein einfaches Objekt. Ist E = End_{A}P von endlicher Länge als Rechtsmodul über sich selbst, so ist P eine projektive Decke von L.

Beweis. In der Tat sind Null und Eins die einzigen Idempotenten von E, da ja P unzerlegbar ist. Es folgt mit den üblichen Argumenten zur Fitting-Zerlegung, daß jedes Element von E nilpotent oder invertierbar ist. Ist nun i : U → P ein Morphismus mit p∘i ≠ 0, so gibt es aufgrund der Projektivität von P ein q : P → U mit p ∘ i ∘ q = p. Dann ist aber i ∘ q nicht nilpotent, also ein Isomorphismus, und folglich ist i surjektiv. Mithin ist ker p das größte echte Unterobjekt von P, was zu zeigen war.

Jetzt zeigen wir das Theorem.

Beweis. (1) Für jeden ℤ-graduierten 𝔟-Modul K = ⨁ K_{i} bezeichne τ_{≤n}K den Quotienten nach dem Untermodul aller homogenen Teile vom Grad > n, also τ_{≤n}K = ⨁_{i≤n} K_{i}. Für E ∈ Λ ist dann

Q = U ⊗_{B} τ_{≤n}(B ⊗_{U(𝔤_{0})} E)

projektiv in O_{≤n}. In der Tat, bezeichnet Hom_{𝔤,ℤ} den Raum aller 𝔤-Modulhomomorphismen, die bezüglich der ℤ-Graduierung homogen sind vom Grad Null, so gilt

Hom_{O}(Q, M) = Hom_{𝔤,ℤ}(Q, M)
= Hom_{𝔟,ℤ}(τ_{≤n}(B ⊗_{U(𝔤_{0})} E), M)
= Hom_{𝔟,ℤ}(B ⊗_{U(𝔤_{0})} E, M)
= Hom_{𝔤_{0},ℤ}(E, M)

für alle M ∈ O_{≤n}, und Hom_{𝔤_{0},ℤ}(E, M) ist ein exakter Funktor in M ∈ O aufgrund der Definition dieser Kategorie.

Sicher ist Q graduiert frei über N von endlichem Rang, und falls n ≥ |E| gibt es eine Surjektion Q ↠ L(E). Nach Lemma 4.3 können wir als P_{≤n}(E) jeden unzerlegbaren Summanden von Q wählen, der L(E) als Quotienten hat, und nach Bemerkung 2.4 (2) besitzt P_{≤n}(E) eine Δ-Fahne.

(2) Wir haben für m ≥ n sicher eine Surjektion

P_{≤m}(E) ↠ P_{≤n}(E),

und aufgrund der universellen Eigenschaften muß der Kern einer solchen Surjektion genau das Erzeugnis in P_{≤m}(E) der homogenen Komponenten vom Grad > n sein. Dieses Erzeugnis in einem graduiert freien N-Modul ist aber selbst graduiert frei (als Basis kann man die Vektoren vom Grad > n einer homogenen Basis des ganzen Moduls nehmen), unser Erzeugnis besitzt also nach Bemerkung 2.4 (2) eine Δ-Fahne.

(3) Besitzt L(E) eine projektive Decke P (E) in O, so ist P (E) erzeugt von einem Vektor (sogar von jedem Vektor außerhalb des größten echten Untermoduls), also P (E) ∈ O_{≤n} für n ≫ 0, also P (E) ≅ P_{≤m}(E) ∀m ≥ n.

Stabilisiert umgekehrt das projektive System der P_{≤n}(E) zu einem Objekt P (E), so müssen wir zeigen, daß P (E) projektiv ist in O. Natürlich ist so ein P (E) erzeugt von einem Element v. Sei nun M ↠ M′ eine Surjektion und f′ : P (E) → M′ ein Morphismus, den wir zu f : P (E) → M liften wollen. Dann wählen wir ein Urbild m ∈ M von m′ = f′(v) ∈ M′ und betrachten die Surjektion U(𝔤)m ↠ U(𝔤)m′. Hier liegen nun beide Moduln in O_{≤n} für n ≫ 0, und da P (E) ≅ P_{≤n}(E) finden wir den gewünschten Lift.

5. Reziprozität und Zerlegung von O in Blöcke

Um die übliche Reziprozität in voller Allgemeinheit zu formulieren, müssen wir Multiplizitäten in voller Allgemeinheit einführen.

Definition 5.1. Sei A eine abelsche Kategorie, M ∈ A ein Objekt, L ∈ A ein einfaches Objekt. Die Multiplizität [M : L] ∈ ℕ ∪ {∞} von L in M ist das Supremum über alle (endlichen) Filtrierungen F von M der Vielfachheit, mit der L als Subquotient der Filtrierung auftritt. Also in Formeln

[M : L] = sup_{F} #{i | F_{i}M/F_{i+1}M ≅ L}.

Die so definierte Multiplizität ist additiv, d.h. für jede kurze exakte Sequenz M′ ↪ M ↠ M′′ gilt [M : L] = [M′ : L] + [M′′ : L]. Insbesondere ist für ∇ ∈ O_{≤n} und E ∈ Λ stets [∇ : L(E)] = dim_{k} Hom_{O}(P_{≤n}(E), ∇). Andererseits ist für einen Modul P ∈ O mit einer endlichen Δ-Filtrierung nach Lemma 4.1 die Vielfachheit [P : Δ(F)] von Δ(F) als Subquotient genau dim_{k} Hom_{O}(P, ∇(F)). Zusammenfassend erhalten wir also die Reziprozitätsformel

[P_{≤n}(E) : Δ(F)] = [∇(F) : L(E)]

für E, F ∈ Λ und n ≥ max{|E|, |F |}.

Weil es mit den nun zur Verfügung stehenden Resultaten sehr schnell geht, will ich auch noch die Zerlegung von O in Blöcke besprechen, obwohl das für das eigentliche Hauptresultat dieser Arbeit unerheblich ist. Sicher gibt es auf Λ eine partielle Ordnung ≥ derart, daß [Δ(F) : L(E)] ≠ 0 ⇒ F ≥ E und [∇(F) : L(E)] ≠ 0 ⇒ F ≥ E. Sei ab jetzt ≥ die kleinste derartige partielle Ordnung und ∼ die von dieser partiellen Ordnung erzeugte Äquivalenzrelation. Für jede Äquivalenzklasse θ ∈ Λ/∼ betrachten wir die Kategorie

O_{θ} = {M ∈ O | [M : L(E)] ≠ 0 ⇒ E ∈ θ}.

Theorem 5.2. Der Funktor ∏_{θ∈Λ/∼} O_{θ} → O, (M_{θ})_{θ} ↦ ⨁_{θ} M_{θ} ist eine Äquivalenz von Kategorien.

Beweis. Für θ ∈ Λ/∼ und M ∈ O bezeichne M_{θ} ⊂ M den Untermodul, der von allen Bildern von Homomorphismen φ : P_{≤n}(E) → M mit E ∈ Λ erzeugt wird. Wir zeigen nun

1. M_{θ} ∈ O_{θ};

2. Ist f : M → N ein Morphismus in O, so gilt f(M_{θ}) ⊂ N_{θ};

3. M = ⨁_{θ} M_{θ}. Damit ist das Theorem dann bewiesen. Wir beginnen mit (1). Aufgrund der Definition unserer Äquivalenzrelation und nach der Reziprozitätsformel gilt P_{≤n}(E) ∈ O_{θ} für alle E ∈ θ. Bei einer kurzen exakten Sequenz in O liegt die Mitte in O_{θ} genau dann, wenn beide Enden in O_{θ} liegen, nach der Additivität der Multiplizitäten. Es reicht also zu zeigen, daß O_{θ} stabil ist unter beliebigen direkten Summen. Jeder einfache Subquotient von ⨁_{i∈I} M_{i} ist aber Quotient eines von einem Element erzeugten Untermoduls, und kommt damit auch schon in einer endlichen Summe vor. Damit ist (1) geklärt. Nun folgt (2) aus den Definitionen, und mit (2) ist klar, daß die Summe in (3) direkt ist. Wir überlassen dem Leser den Nachweis, daß diese Summe M ausschöpft.

Bemerkung 5.3. Sei E ∈ Λ gegeben. Gibt es nur endlich viele F ∈ Λ mit F ≥ E, so besitzt L(E) nach Theorem 4.2 (3) eine projektive Decke P (E) in O.

6. Kipp-Moduln in O

Definition 6.1. Unter einer Δ-Fahne in einem Objekt M ∈ O verstehen wir eine (möglicherweise unendliche) aufsteigende Filtrierung

0 = M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ …

derart, daß M = ⋃ M_{ν} und M_{ν}/M_{ν−1} ≅ Δ(F_{ν}) für alle ν ≥ 1, mit gewissen F_{ν} ∈ Λ.

Theorem 6.2. Zu jedem E ∈ Λ gibt es bis auf Isomorphismus genau ein unzerlegbares Objekt T = T (E) ∈ O derart, daß gilt:

1. Ext_{O}^{1}(Δ(F), T) = 0 für alle F ∈ Λ;

2. T besitzt eine Δ-Fahne, die mit T_{1} ≅ Δ(E) beginnt.

Definition 6.3. Dieses Objekt T (E) nennen wir auch den Kipp-Modul (englisch “tilting module”) mit Parameter E.

Bemerkung 6.4. Das Theorem ist eine Variation zu Resultaten von Ringel [Rin91], der seinerseits Resultate von Donkin [Don86] und Collingwood-Irving [CI89] in einem allgemeinen Kontext entwickelt.

Beweis. Wir beginnen mit

Lemma 6.5. 1. Für alle F, G ∈ Λ sind Hom_{O}(Δ(F), Δ(G)) und

Ext_{O}^{1}(Δ(F), Δ(G)) endlichdimensional.

2. Für alle G ∈ Λ und i ∈ ℤ gibt es höchstens endlich viele F ∈ Λ mit |F | = i und Hom_{O}(Δ(F), Δ(G)) oder Ext_{O}^{1}(Δ(F), Δ(G)) ungleich Null.

Beweis. Nach unseren Voraussetzungen sind alle homogenen Komponenten von Δ(G) endlichdimensional. Daraus folgen (1) und (2) für Hom. Sei weiter n größer als |F | und |G|. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz ker ↪ P_{≤n}(F) ↠ Δ(F) und erhalten eine Surjektion

Hom_{O}(ker, Δ(G)) ↠ Ext_{O}^{1}(Δ(F), Δ(G)).

Da hier ker eine endliche Δ-Fahne hat, folgt schon mal (1) für Ext^{1}. Schließlich sind alle Δ-Subquotienten einer Δ-Fahne von P_{≤n}(F) von der Form Δ(H), wo H ein Summand des ℤ-graduierten 𝔤_{0}-Moduls (τ_{≤n−|F |}U(𝔤_{>0})) ⊗_{k} F ist (und 𝔤_{0} auf dem ersten Faktor durch die adjungierte Operation operiert). Damit Hom_{O}(ker, Δ(G)) von Null verschieden sein kann, muß also ein solches H auch als direkter Summand im ℤ-graduierten 𝔤_{0}-Modul Δ(G) = U(𝔤_{<0})⊗_{k} G auftauchen, also auch in (τ_{≥|F |−|G|}U(𝔤_{<0})) ⊗_{k} G.

Wir wissen aber allgemein aus der Darstellungstheorie reduktiver Lie-Algebren, daß es für gegebene endlichdimensionale Darstellungen U_{1}, U_{2} und G bis auf Isomorphismus nur endlich viele einfache endlichdimensionale Darstellungen F gibt, für die U_{1} ⊗_{k} F und U_{2} ⊗_{k} G einen gemeinsamen Kompositionsfaktor besitzen.

Als nächstes zeigen wir

Proposition 6.6. Sei E ∈ Λ, m ≤ |E|. So gibt es bis auf Isomorphismus genau ein unzerlegbares Objekt T = T_{≥m}(E) in O derart, daß gilt

1. Ext_{O}^{1}(Δ(F), T) = 0 für alle F ∈ Λ mit |F | ≥ m;

2. Es gibt eine Inklusion Δ(E) ↪ T, deren Kokern eine endliche Δ-Fahne hat, in der als Subquotienten nur Δ(F) mit |E| > |F | ≥ m vorkommen.

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit. Sei T′ ein zweites Objekt, das unsere Bedingungen erfüllt. Wir betrachten das Diagramm

Δ(E) ↪ T ↠ coker
∥
Δ(E) ↪ T′ ↠ coker′.

Da nach (2) mit T′ und (1) mit T die relevante Ext-Gruppe verschwindet, finden wir ein α : T′ → T das dies Diagramm kommutativ ergänzt. Ebenso finden wir β : T → T′. Nun ist α∘β nicht nilpotent, also ein Isomorphismus, da T unzerlegbar war und dim_{k}(End_{O}T) < ∞. Dasselbe gilt für β ∘ α, und es folgt T ≅ T′.

Als nächstes zeigen wir die Existenz von T_{≥m}(E) durch Induktion über m von oben. Als Basis für unsere Induktion können wir T_{≥|E|}(E) = Δ(E) nehmen. Sei nun T_{≥m}(E) schon konstruiert. Wir bilden dann eine Folge T^{(i)} von Objekten aus O. Sie beginnt mit T^{(0)} = T_{≥m}(E). Ist T^{(i)} schon konstruiert, und gibt es eine nicht spaltende Erweiterung T^{(i)} ↪ T^{(i+1)} ↠ Δ(F) mit F ∈ Λ, |F | = m − 1, so nehmen wir als T^{(i+1)} eine solche Erweiterung. Andernfalls breche unsere Folge bei T^{(i)} ab.

Wir zeigen, daß jede solche Folge T^{(i)} abbricht, und zwar bei einem möglichen T_{≥m−1}(E). In der Tat ist nach dem obigen Lemma 6.5

e(T) = ∑_{F ∈Λ, |F |=m−1} dim_{k} Ext_{O}^{1}(Δ(F), T)

endlich für alle T ∈ O mit endlicher Δ-Fahne. Nun verschwindet ja die Ext-Gruppe Ext_{O}^{1}(Δ(F), Δ(G)) falls |F | = |G|, und damit überzeugt man sich, daß e(T^{(i+1)}) = e(T^{(i)}) − 1. Folglich bricht unsere Folge ab mit einem Objekt T^{(j)}, das sicher schon mal die Bedingungen (1) und (2) an T_{≥m−1}(E) aus der Proposition erfüllt. Statt zu zeigen, daß dies T^{(j)} tatsächlich unzerlegbar ist, nehmen wir bequemer einen unzerlegbaren direkten Summanden von T^{(j)}, dessen homogene Komponente vom Grad |E| nicht verschwindet, und haben ein mögliches T_{≥m−1}(E) gefunden.

Proposition 6.7. Sei E ∈ Λ und |E| ≥ n > m. So gibt es eine Inklusion T_{≥n}(E) ↪ T_{≥m}(E), und der Kokern jeder solchen Inklusion besitzt eine Δ-Fahne, in der nur Δ(F) mit n > |F | ≥ m als Subquotienten vorkommen.

Beweis. Betrachten wir in T_{≥m}(E) das Erzeugnis T′ aller homogenen Komponenten vom Grad mindestens n und bilden die kurze exakte Sequenz T′ ↪ T_{≥m}(E) ↠ koker, so besitzt T′ bzw. koker eine Δ-Fahne, in der nur Δ(F) mit |F | ≥ n bzw. n > |F | ≥ m vorkommen. Es folgt mühelos, daß T′ bis auf die Unzerlegbarkeit alle Forderungen an T_{≥n}(E) erfüllt. Also ist T_{≥n}(E) schon mal Summand von T′, und es folgt [T_{≥n}(E) : Δ(F)] ≤ [T_{≥m}(E) : Δ(F)]. Andererseits folgt aber aus unserer induktiven Konstruktion von T_{≥m}(E) auch die umgekehrte Ungleichung, für |F | ≥ n. Damit gilt für diese F sogar Gleichheit und wir folgern T′ ≅ T_{≥n}(E). Die Proposition ergibt sich nun mühelos.

Nach diesen Vorbereitungen können wir zumindest ein mögliches T = T (E) durch T = lim_{n→−∞} T_{≥n}(E) angeben. Wir bemerken gleich, daß jedes Element von EndT entweder nilpotent oder eine Einheit ist, denn T ist unzerlegbar und alle seine homogenen Komponenten sind von endlicher Dimension, so daß die üblichen Argumente über die Fitting-Zerlegung greifen. Um auch die Eindeutigkeit nachzuweisen stützen wir uns auf

Lemma 6.8. In O gibt es genügend injektive Objekte.

Beweis. Für M ∈ O ist der größte ℤ-graduierte 𝔤-Untermodul von Hom_{𝔤_{0}}(U, M), der in O liegt, ein injektives Objekt von O das M umfaßt.

Bemerkung 6.9. Aus allgemeinen Gründen [HS71] I.9.2 folgt dann, daß L(E) in O eine injektive Hülle I(E) besitzt. Man kann weiter zeigen, daß I(E) eine (möglicherweise unendliche) aufsteigende ∇-Fahne besitzt, und die Vielfachheiten hier durch [I(E) : ∇(F)] = [Δ(F) : L(E)] beschrieben werden. Wir werden diese Resultate nicht benutzen, geben aber der Vollständigkeit halber einen Beweis im Abschnitt 7.

Lemma 6.10. Sei J ∈ O gegeben, so daß Ext_{O}^{1}(Δ(F), J) = 0 ∀F ∈ Λ. So gilt auch Ext_{O}^{1}(M, J) = 0 für alle M ∈ O mit Δ-Fahne.

Beweis. Wir wählen eine kurze exakte Sequenz J ↪ I ↠ K mit I injektiv in O. Dann haben wir auch eine exakte Sequenz

Hom(M, J) ↪ Hom(M, I) → Hom(M, K) ↠ Ext^{1}(M, J),

die wie angedeutet mit einer Inklusion beginnt und mit einer Surjektion endet. Sei 0 = M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ … eine Δ-Fahne von M. Die ersten drei Terme unserer Sequenz dürfen wir dann umschreiben zu

lim_{←} Hom(M_{i}, J) ↪ lim_{←} Hom(M_{i}, I) → lim_{←} Hom(M_{i}, K),

und nach Annahme steht hier für jedes feste i eine kurze exakte Sequenz. Verwenden wir unsere Voraussetzungen an J ein zweites Mal, so erkennen wir, daß zusätzlich alle Abbildungen des projektiven Systems der Hom(M_{i}, J) surjektiv sind. Damit ist nach [AM69], 10.2 auch der projektive Limes über unsere kurzen exakten Sequenzen eine kurze exakte Sequenz und folglich Ext^{1}(M, J) = 0.

Wir zeigen nun die Eindeutigkeit von T = T (E). Sei T′ ∈ O ein zweites Objekt, das alle Bedingungen aus dem Theorem erfüllt. Wie eben betrachten wir das Diagramm

Δ(E) ↪ T ↠ T/T′_{1}
∥
Δ(E) ↪ T′ ↠ T′/T′_{1}

Nach dem Lemma gibt es einen Morphismus α : T′ → T, der das Diagramm kommutativ ergänzt. Analog finden wir β : T → T′. Dann ist α ∘ β nicht nilpotent und folglich ein Automorphismus von T. Da aber auch T′ unzerlegbar war folgt schließlich, daß α ein Isomorphismus ist.

Bemerkung 6.11. Für die Vielfachheit, mit der Δ(F) als Subquotient in einer Δ-Fahne von M ∈ O auftaucht, erhalten wir nach obigem Lemma die Formel [M : Δ(F)] = dim_{k} Hom_{O}(M, ∇(F)). Insbesondere hängt diese Vielfachheit nicht von der Wahl der Δ-Fahne ab.

Schließlich erhalten wir nun die gewünschte Charakterformel für Kipp-Moduln.

Theorem 6.12. Sei γ : 𝔤_{0} → k ein semi-infiniter Charakter für 𝔤. So gilt für alle E, F ∈ Λ die Formel

[T (E) : Δ(F)] = [∇(k_{−γ} ⊗ F^{∗}) : L(k_{−γ} ⊗ E^{∗})].

Beweis. Ist 𝔥 ⊂ 𝔤_{0} ein maximaler Torus, so wird unser M_{𝔥} aus Bemerkung 2.2 (2) genau die Kategorie O^{Δ} aller Objekte aus O mit einer endlichen Δ-Fahne. Unsere Äquivalenz O^{Δ} →^{∼} (O^{Δ})^{opp} aus Bemerkung 2.4 (3) muß P_{≤−n}(k_{−γ} ⊗ E^{∗}) überführen in T_{≥n}(E) für alle n ≤ |E|, nach der Definition der T_{≥n}. Für n ≤ |F | erhalten wir also

[T (E) : Δ(F)] = [T_{≥n}(E) : Δ(F)]
= [P_{≤−n}(k_{−γ} ⊗ E^{∗}) : Δ(k_{−γ} ⊗ F^{∗})]
= [∇(k_{−γ} ⊗ F^{∗}) : L(k_{−γ} ⊗ E^{∗}],

die letzte Gleichung nach der Reziprozitätsformel.

7. Injektive Objekte in O

Die Resultate dieses Abschnitts sind für den Rest der Arbeit nicht von Belang.

Theorem 7.1. 1. Jedes einfache Objekt L(E) ∈ O besitzt eine in-

jektive Hülle I(E) in O.

2. Die injektiven Hüllen I(E) der einfachen Objekte besitzen eine (möglicherweise unendliche) aufsteigende Filtrierung

0 = I_{0} ⊂ I_{1} ⊂ …

derart, daß I(E) = ⋃ I_{ν} und I_{ν+1}/I_{ν} ≅ ∇(F_{ν}) für geeignete Parameter F_{ν} ∈ Λ.

3. Die Vielfachheit [I(E) : ∇(F)], mit der ∇(F) in einer solchen Filtrierung auftritt, ist von der Wahl der Filtrierung unabhängig, und es gilt die Reziprozitätsformel

[I(E) : ∇(F)] = [Δ(F) : L(E)] ∀E, F ∈ Λ.

Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir zur Vereinfachung |E| = 0 an, wählen n > 0 und betrachten den ℤ-graduierten 𝔤-Modul

J = Hom_{𝔤_{0}}(U/U_{<−n}U, E).

Unser J ist der größte U-Untermodul von Hom_{𝔤_{0}}(U, E), der keine homogenen Komponenten vom Grad > n hat. Setzen wir A = U(𝔤_{>0}) und H = U(𝔤_{0}) und betrachten den durch Multiplikation gegebenen Isomorphismus H ⊗N ⊗A ≅ U, so entspricht H ⊗N_{<−n} ⊗A ≅ U_{<−n}U. Die homogenen Teile von U/U_{<−n}U sind also frei über H von endlichem Rang, und nach unseren Annahmen ist J ein halbeinfacher 𝔤_{0}-Modul. Sicher verschwindet J im Grad > n und liegt folglich in O_{≤n}. Für beliebiges M ∈ O_{≤n} gilt

Hom_{O}(M, J) = Hom_{𝔤,ℤ}(M, J)
= Hom_{𝔤,ℤ}(M, Hom_{𝔤_{0}}(U/U_{<−n}U, E))
= Hom_{𝔤,ℤ}(M, Hom_{𝔤_{0}}(U, E))
= Hom_{𝔤_{0},ℤ}(M, E).

Folglich ist J ein injektives Objekt von O_{≤n} und Hom_{O}(L(E), J) ≠ 0. Jeder unzerlegbare Summand von J, der L(E) enthält, ist damit eine injektive Hülle I_{≤n}(E) von L(E) in O_{≤n}. Nach Konstruktion ist J und somit auch I_{≤n}(E) graduiert kofrei von endlichem Rang über A, folglich besitzt I_{≤n}(E) eine endliche ∇-Fahne

0 = I_{0} ⊂ I_{1} ⊂ … ⊂ I_{k} = I_{≤n}(E).

Wir finden sogar eine solche Fahne derart, daß die Grade der höchsten Gewichte von I_{ν}/I_{ν+1} mit ν wachsen. Nun ist sicher der größte Untermodul von I_{≤n}(E), der in O_{≤n−1} liegt, auch eine injektive Hülle von L(E) in O_{≤n−1}. Natürlich ist dieser größte Untermodul genau das letzte der I_{ν}, das in O_{≤n−1} liegt.

Es gilt also für alle n eine Einbettung I_{≤n−1}(E) ↪ I_{≤n}(E), und der Kokern jeder solchen Einbettung hat eine endliche ∇-Fahne. Wir wählen nun schlicht solche Einbettungen für alle n und setzen

I(E) = lim_{n→∞} I_{≤n}(E).

Damit sind (1) und (2) gezeigt.

(3) Natürlich gilt dim_{k} Hom_{O}(Δ(F) : I(E)) = [Δ(F) : L(E)], insbesondere ist diese Dimension stets endlich. Ist nun andererseits eine ∇-Fahne wie in (2) gegeben, so müssen alle Homomorphismen Δ(F) → I(E) schon in einem I_{k} landen, für k ≫ 0. Damit darf ∇(F) nicht außerhalb von I_{k} als Subquotient auftauchen und (3) folgt.

8. Projektive Objekte und Kipp-Moduln in Kategorien ohne Graduierung

Für die Anwendungen, die das Ziel dieser Arbeit sind, ist es bequem, die ℤ-Graduierung auf den Moduln zu verstecken. Sei für diesen Abschnitt wie in den beiden vorhergehenden Abschnitten 𝔤 = ⨁_{i∈ℤ} 𝔤_{i} eine ℤ-graduierte Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k der Charakteristik Null mit dim_{k} 𝔤_{i} < ∞ für alle i, mit 𝔤_{0} reduktiv, und so daß 𝔤 halbeinfach ist unter ad𝔤_{0}. Wir fordern aber zusätzlich, daß es ein Element ∂ ∈ 𝔤_{0} gibt mit [∂, X] = iX ∀i ∈ ℤ, X ∈ 𝔤_{i}.

Wie zuvor sei 𝔟 = 𝔤_{≥0} und B = U(𝔟). Bezeichne Ō die Kategorie aller 𝔤-Moduln, die lokal endlich sind unter 𝔟 und halbeinfach unter 𝔤_{0}. Ich will kurz erklären, wie man Resultate für Ō aus den entsprechenden Resultaten für O ableiten kann. Zunächst liegt ∂ nach Annahme im Zentrum von 𝔤_{0}, jedes M ∈ Ō zerfällt also unter ∂ in Eigenräume M = ⨁_{a∈k} M^{a}. Betrachten wir für jedes a ∈ k die Kategorie

O_{a} = {M ∈ O | M^{a+i} = M_{i} ∀i ∈ ℤ},

so gilt natürlich O = ∏_{a∈k} O_{a}. Andererseits betrachten wir auch für ā ∈ k/ℤ die Unterkategorie

Ōā = {M ∈ Ō | M^{b} ≠ 0 ⇒ b ∈ ā}

und haben ganz analog Ō = ∏_{ā∈k/ℤ} Ōā. Nun liefert aber das Vergessen der Graduierung uns offensichtlich Äquivalenzen O_{a} →^{∼} Ōā, mit deren Hilfe wir dann unsere Resultate von O auf Ō übertragen können.

Um diese Resultate für Ō zu formulieren, brauche ich einige Notationen. Bezeichne Λ̄ die Menge aller Isomorphieklassen irreduzibler endlichdimensionaler Darstellungen von 𝔤_{0}. Für E ∈ Λ̄ betrachten wir in Ō den Verma-Modul Δ(E) = U ⊗_{B} E. Er hat genau einen einfachen Quotienten L(E). Wir betrachten weiter in Ō für E ∈ Λ̄ das Objekt ∇(E) = Hom_{U(𝔤_{≤0})}(U, E)^{𝔤_{0}−endl}, also den Raum aller 𝔤_{0}-endlichen Vektoren in besagtem Hom-Raum, und L(E) ist der Sockel von ∇(E). Auf Λ̄ sei ≤ die kleinste partielle Ordnung derart, daß [∇(E) : L(F)] ≠ 0 ⇒ E ≥ F und [Δ(E) : L(F)] ≠ 0 ⇒ E ≥ F. Bezeichne ∼ die von dieser partiellen Ordnung erzeugte Äquivalenzrelation auf Λ̄. Für θ̄ ∈ Λ̄/∼ setzen wir Ōθ̄ = {M ∈ Ō | [M : L(E)] ≠ 0 ⇒ E ∈ θ̄}.

Unsere Theoreme aus den vorhergehenden Abschnitten übersetzen sich wie folgt.

Theorem 8.1. Der Funktor (Mθ̄)θ̄ ↦ ⨁θ̄ Mθ̄ definiert eine Äquivalenz von Kategorien

∏_{θ̄∈Λ̄/∼} Ōθ̄ →^{∼} Ō.

Bemerkung 8.2. Dies Theorem verallgemeinert Resultate von [DGK82] und [RCW82].

Definition 8.3. Ein Kipp-Modul mit Parameter E ∈ Λ̄ ist ein unzerlegbares Objekt T = T (E) ∈ Ō derart, daß gilt

1. T besitzt eine Δ-Fahne, die mit T_{1} ≅ Δ(E) beginnt.

2. Ext1 ; Ō(Δ(F), T) = 0 ∀F ∈ Λ̄.

Theorem 8.4. Für jedes E ∈ Λ̄ gibt es in Ō einen Kipp-Modul T (E) mit Parameter E. Er ist wohlbestimmt bis auf Isomorphismus.

Bemerkungen 8.5. 1. [Pol91] Aus Theorem 7.1 folgt, daß es auch in Ō genügend Injektive gibt, daß eine injektive Hülle I(E) von L(E) eine ∇-Fahne hat, und daß die Vielfachheiten in einer solchen ∇- Fahne gegeben werden durch die Reziprozitätsformel

[I(E) : ∇(F)] = [Δ(F) : L(E)] ∀E, F ∈ Λ̄.

2. Weiter folgt aus Bemerkung 5.3, daß L(E) in Ō eine projektive Decke besitzt, falls es nur endlich viele F ∈ Λ̄ gibt mit F ≥ E. Für diese projektive Decke gilt dann analog [P (E) : Δ(F)] = [∇(F) : L(E)] ∀E, F ∈ Λ̄.

Sei ab jetzt γ : 𝔤_{0} → k ein semi-infiniter Charakter für 𝔤, sei also insbesondere 𝔤 erzeugt von 𝔤_{1}, 𝔤_{0} und 𝔤_{−1}. Bezeichne Ō^{Δ} die Kategorie aller Objekte von Ō mit einer (endlichen) Δ-Fahne.

Theorem 8.6. Es gibt eine Äquivalenz von Kategorien Ō^{Δ} → (Ō^{Δ})^{opp} unter der kurze exakte Sequenzen kurzen exakten Sequenzen entsprechen, und so daß Δ(E) übergeht in Δ(k_{−γ} ⊗ E^{∗}), für alle E ∈ Λ̄.

Falls L(E) in Ō eine projektive Decke P (E) besitzt, so geht P (E) über in T (k_{−γ}⊗E^{∗}) unter einer solchen Äquivalenz. In jedem Fall haben wir aber

Theorem 8.7. Für unsere Kipp-Moduln gilt die Charakterformel

[T (E) : Δ(F)] = [∇(k_{−γ} ⊗ F^{∗}) : L(k_{−γ} ⊗ E^{∗})] ∀E, F ∈ Λ̄.

9. Kac-Moody-Algebren als Spezialfall

Sei 𝔤 eine Kac-Moody-Algebra, 𝔥 ⊂ 𝔤 ihre Cartansche Unteralgebra, Π ⊂ 𝔥^{∗} die Menge der einfachen Wurzeln. Für α ∈ Π erzeugen die Gewichtsräume 𝔤_{α} und 𝔤_{−α} in 𝔤 eine zu 𝔰𝔩(2, ℂ) isomorphe Unteralgebra, und wir bezeichnen mit α^{∨} ∈ [𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] ⊂ 𝔥 den durch ⟨α, α^{∨}⟩ = 2 charakterisierten Vektor.

Betrachten wir zunächst auf 𝔤 die ℤ-Graduierung mit 𝔤_{0} = 𝔥 und 𝔤_{1} = ⨁_{α∈Π} 𝔤_{α}. Da die einfachen Wurzeln linear unabhänig sind, gibt es ∂ ∈ 𝔥 mit ⟨α, ∂⟩ = 1 ∀α ∈ Π, also [∂, X] = iX ∀X ∈ 𝔤_{i}, i ∈ ℤ.

Lemma 9.1. [Ark97] Sei ρ ∈ 𝔥^{∗} gegeben mit ⟨ρ, α^{∨}⟩ = 1 ∀α ∈ Π. So ist 2ρ ein semi-infiniter Charakter für 𝔤.

Beweis. Es gilt zu zeigen, daß 2ρ([X, Y]) = tr(adXadY : 𝔥 → 𝔥) für alle X ∈ 𝔤_{α}, Y ∈ 𝔤_{−β} und α, β ∈ Π. Falls α ≠ β verschwinden hier beide Seiten, falls α = β folgt die Gleichheit aus den Definitionen.

In unserem Fall ist natürlich Λ̄ = 𝔥^{∗} und [Δ(λ) : L(μ)] = [∇(λ) : L(μ)] ∀λ, μ ∈ 𝔥^{∗}. Für α ∈ Π bezeichne s_{α} : 𝔥^{∗} → 𝔥^{∗} die Involution s_{α}(λ) = λ−⟨λ, α^{∨}⟩α. Die von den s_{α} erzeugte Untergruppe W ⊂ Aut𝔥^{∗} heißt die Weylgruppe. Setzen wir S = {s_{α} | α ∈ Π}, so ist (W, S) ein Coxeter-System. Man definiert die dot-Operation von W auf 𝔥^{∗} durch die Formel x · λ = x(λ + ρ) − ρ. Sie ist von der Wahl von ρ unabhängig. In [Kas90] zeigt Kashiwara eine Vermutung von Deodhar, Gabber und Kac [DGK82], die besagt, daß die Kazhdan-Lusztig-Polynome P_{x,y} zu (W, S) Kompositionsfaktor-Multiplizitäten für 𝔤 liefern.

Theorem 9.2. [Kas90] Sei 𝔤 symmetrisierbar. Sei λ ∈ 𝔥^{∗} gegeben mit ⟨λ + ρ, α^{∨}⟩ ∈ {1, 2, … } ∀α ∈ Π. So gilt [Δ(x · λ) : L(ν)] = 0 für ν ∉ W · λ und

[Δ(x · λ) : L(y · λ)] = P_{x,y}(1) ∀x, y ∈ W.

Mit Theorem 8.7 folgt sofort die Verallgemeinerung des Hauptresultats von [CI89] auf symmetrisierbare Kac-Moody-Algebren.

Korollar 9.3. Sei 𝔤 symmetrisierbar. Sei μ ∈ 𝔥^{∗} gegeben mit ⟨μ + ρ, α^{∨}⟩ ∈ {−1, −2, … } ∀α ∈ Π. So gilt [T (y · μ) : Δ(ν)] = 0 für ν ∉ W · μ und

[T (y · μ) : Δ(x · μ)] = P_{x,y}(1) ∀x, y ∈ W.

Wir betrachten auch noch den parabolischen Fall. Sei Π_{f} ⊂ Π eine Menge von einfachen Wurzeln derart, daß die 𝔤_{α} mit ±α ∈ Π_{f} eine endlichdimensionale (notwendig halbeinfache) Unteralgebra von 𝔤 erzeugen. So besitzt 𝔤 auch eine ℤ-Graduierung derart, daß 𝔥 ⊂ 𝔤_{0}, 𝔤_{α} ⊂ 𝔤_{0} falls ±α ∈ Π_{f}, und 𝔤_{α} ⊂ 𝔤_{1} falls α ∈ Π − Π_{f}. Auch mit dieser ℤ-Graduierung sind unsere Bedingungen aus dem ersten Absatz von Abschnitt 8 erfüllt. Bezeichne ρ_{f} ∈ 𝔥^{∗} die Halbsumme der positiven Wurzeln von 𝔤_{0}.

Lemma 9.4. Es gibt einen Charakter γ = γ_{f} : 𝔤_{0} → ℂ, der auf 𝔥 mit 2ρ − 2ρ_{f} übereinstimmt. Jeder derartige Charakter γ ist ein semiinfiniter Charakter für 𝔤.

Beweis. Sicher ist 𝔤 auch mit unserer neuen Graduierung erzeugt von 𝔤_{1}, 𝔤_{0} und 𝔤_{−1}. Weiter gilt ⟨ρ, β^{∨}⟩ = ⟨ρ_{f}, β^{∨}⟩ = 1 ∀β ∈ Π_{f}, mithin verschwindet 2ρ − 2ρ_{f} auf [𝔤_{0}, 𝔤_{0}] ∩ 𝔥 und läßt sich in der Tat zu einem Charakter γ von 𝔤_{0} ausdehnen. Wir müssen nur noch nachweisen, daß

γ([X, Y]) = tr(adXadY : 𝔤_{0} → 𝔤_{0}) ∀X ∈ 𝔤_{1}, Y ∈ 𝔤_{−1}.

Gilt diese Formel mit einem Charakter γ für ein festes X ∈ 𝔤_{1} bei beliebigem Y ∈ 𝔤_{−1}, so gilt sie auch für [A, X] bei beliebigem Y ∈ 𝔤_{−1} und A ∈ 𝔤_{0}. Wir überlassen diese Rechnung dem Leser und müssen nur noch prüfen, daß

γ([X_{α}, X_{β}]) = tr(adX_{α}adX_{β} : 𝔤_{0} → 𝔤_{0})

für α ∈ Π − Π_{f}, β eine Wurzel von 𝔤 mit 𝔤_{β} ⊂ 𝔤_{−1}, und X_{β} ∈ 𝔤_{β}. Für β ≠ −α verschwinden in unserer Gleichung beide Seiten, und es bleibt der Fall β = −α. Wir setzen dann X_{β} = Y_{α} und zerlegen 𝔤_{0} = 𝔫_{0}^{+} ⊕ 𝔥 ⊕ 𝔫_{0}^{−} unter der adjungierten Operation von 𝔥. Alle drei Summanden sind stabil unter adX_{α}adY_{α}. Weiter ist [Y_{α}, 𝔫_{0}^{+}] = 0 = [X_{α}, 𝔫_{0}^{−}], da das Gewicht dieser Klammern nicht im Wurzelsystem von 𝔤 liegt. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit [X_{α}, Y_{α}] = α^{∨}. Es folgt

tr(adX_{α}adY_{α} : 𝔤_{0} → 𝔤_{0}) = tr(adX_{α}adY_{α} : 𝔥 → 𝔥)
+tr(ad(α^{∨}) : 𝔫_{0}^{−} → 𝔫_{0}^{−})
= 2 − 2ρ_{f}(α^{∨})
= ⟨2ρ − 2ρ_{f}, α^{∨}⟩.

Im parabolischen Fall können wir Λ̄ identifizieren mit der Menge

𝔥_{f}^{∗} = {λ ∈ 𝔥^{∗} | ⟨λ, α^{∨}⟩ ∈ ℕ ∀α ∈ Π_{f}},

indem wir E ∈ Λ̄ sein höchstes Gewicht λ(E) ∈ 𝔥^{∗} zuordnen. Für λ = λ(E) ∈ 𝔥_{f}^{∗} schreiben wir auch Δ^{f}(λ) statt Δ(E) und nennen dies Objekt den parabolischen Verma-Modul mit höchstem Gewicht λ. Analog definieren wir ∇^{f}(λ), T^{f}(λ) und L^{f}(λ). Bei L^{f}(λ) lassen wir den Index allerdings gleich wieder weg, da ja eh L^{f}(λ) = L(λ).

Sicher gilt auch hier [∇^{f}(λ) : L(μ)] = [Δ^{f}(λ) : L(μ)] ∀λ, μ ∈ 𝔥_{f}^{∗}. Um diese Multiplizitäten anzugeben nehmen wir λ = λ(E) ∈ 𝔥_{f}^{∗} und betrachten für den 𝔤_{0}-Modul E nach [BGG75] die Auflösung

0 → M_{r} → … → M_{1} → M_{0} → E → 0.

Hier ist also M_{i} = ⨁_{l(z)=i} Δ_{f}(z·λ), wo Δ_{f}(μ) den Verma-Modul von 𝔤_{0} mit höchstem Gewicht μ bezeichnet und die Summe über alle Elemente z der Länge i in der Weylgruppe W_{f} = ⟨s_{α} | α ∈ Π_{f}⟩ von 𝔤_{0} läuft. (Man beachte, daß z(λ + ρ_{f}) − ρ_{f} = z(λ + ρ) − ρ ∀z ∈ W_{f}, da ja ⟨ρ, α^{∨}⟩ = 1 = ⟨ρ_{f}, α^{∨}⟩ ∀α ∈ Π_{f}.)

Wenden wir auf diese exakte Sequenz den Funktor U⊗_{B} an, so erhalten wir eine exakte Sequenz

0 → U ⊗_{B} M_{r} → … → U ⊗_{B} M_{0} → Δ^{f}(λ) → 0

mit U ⊗_{B} M_{i} = ⨁_{l(z)=i} Δ(z · λ). Daraus folgt

[Δ^{f}(λ) : L(ν)] = ∑_{z∈W_{f}}(−1)^{l(z)}[Δ(z · λ) : L(ν)]

für alle λ ∈ 𝔥_{f}^{∗}, ν ∈ 𝔥^{∗}. (Die BGG-Auflösung kann bei diesem Argument durch die Weylsche Charakterformel ersetzt werden, wenn man sich die Mühe macht, passende Grothendieck-Gruppen einzuführen.)

Bezeichne nun W^{f} ⊂ W die Menge der kürzesten Vertreter für die Rechtsnebenklassen von W_{f}. Die Multiplikation liefert also eine Bijektion W_{f} × W^{f} →^{∼} W. Bezeichnet ℕΠ die Menge aller Linearkombinationen mit natürlichen Koeffizienten von einfachen Wurzeln, so können wir W^{f} auch beschreiben durch

W^{f} = {x ∈ W | x^{−1}Π_{f} ⊂ ℕΠ}.

Insbesondere gilt für λ ∈ 𝔥^{∗} mit ⟨λ, α^{∨}⟩ ∈ ℕ ∀α ∈ Π schon x · λ ∈ 𝔥_{f}^{∗} ∀x ∈ W^{f}.

Für x, y ∈ W^{f} bezeichne n_{x,y} ∈ ℤ[v] eines der beiden zugehörigen parabolischen Kazhdan-Lusztig-Polynome [Deo87], in der Normalisierung und Notation von [Soe97].

Proposition 9.5. Sei 𝔤 symmetrisierbar. Sei λ ∈ 𝔥^{∗} gegeben derart, daß ⟨λ, α^{∨}⟩ ∈ ℕ ∀α ∈ Π. So gilt [Δ^{f}(x · λ) : L(ν)] = 0 für ν ∉ W^{f} · λ und

[Δ^{f}(x · λ) : L(y · λ)] = n_{x,y}(1) ∀x, y ∈ W^{f}.

Beweis. Nach Deodhar [Deo87, Soe97] gilt für unsere parabolischen Polynome n_{x,y}(1) = ∑_{z∈W_{f}} (−1)^{l(z)}P_{zx,y}(1).

Für gewisse parabolische Kipp-Moduln T^{f}(λ) folgt damit auch eine Charakterformel. Bezeichne genauer w_{f} ∈ W_{f} das längste Element. Wir erklären eine neue Operation von W auf 𝔥^{∗} durch x▪λ = (w_{f}xw_{f})·λ.

Korollar 9.6. Sei 𝔤 symmetrisierbar. Sei μ ∈ 𝔥^{∗} gegeben derart, daß ⟨−w_{f}μ − 2ρ + 2ρ_{f}, α^{∨}⟩ ∈ ℕ ∀α ∈ Π. So gilt [T^{f}(y ▪ μ) : Δ^{f}(ν)] = 0 für ν ∉ W^{f} ▪ μ und

[T^{f}(y ▪ μ) : Δ^{f}(x ▪ μ)] = n_{x,y}(1) ∀x, y ∈ W^{f}.

Beweis. Hier müssen wir nur rechnen. Zunächst gilt ja ρ−ρ_{f} = w_{f}(ρ− ρ_{f}) = w_{f}ρ + ρ_{f}, also w_{f}ρ = ρ − 2ρ_{f}. Weiter ist −w_{f}λ(E) das höchste Gewicht von E^{∗}. Sei γ = 2ρ − 2ρ_{f} wie eben. Ist x ▪ μ das höchste Gewicht von E, so ist das höchste Gewicht von k_{−γ} ⊗ E^{∗} genau x · λ für λ = −w_{f}μ − 2ρ + 2ρ_{f}. Der Leser mag das selbst nachrechnen. Das Korollar folgt, insbesondere gilt auch y ▪ μ ∈ 𝔥_{f}^{∗} ∀y ∈ W^{f}.

10. Übersetzung in Resultate für Quantengruppen

Für die Anwendungen auf Quantengruppen an Einheitswurzeln ist der Fall von besonderer Bedeutung, daß 𝔤 die Affinisierung einer einfachen komplexen Lie-Algebra ist und Π_{f} alle Wurzeln bis auf die “affine Wurzel” enthält. Um die nötigen Notationen bereitzustellen beginne ich mit einer kurzen Wiederholung zur Affinisierung einer einfachen komplexen Lie-Algebra 𝔤̀.

Man bildet zunächst die Schleifen-Algebra (oder loop algebra) L𝔤̀ = 𝔤̀ ⊗_{ℂ} ℂ[t, t^{−1}]. Ihre Elemente fassen wir auf als Abbildungen von der Kreislinie S^{1} nach 𝔤̀ und schreiben sie

X = X(t) = ∑ X_{i}t^{i}.

Bezeichne κ̀ : 𝔤̀ × 𝔤̀ → ℂ die Killing-Form. Man betrachtet die zentrale Erweiterung 𝔤̃ = L𝔤̀ ⊕ ℂz von L𝔤̀ mit Lie-Klammer

[X + az, Y + bz] = [X, Y] − res(κ̀(X, dY))z

für alle X, Y ∈ L𝔤̀ und a, b ∈ ℂ, wo d(∑ Y_{i}t^{i}) = ∑ iY_{i}t^{i−1}dt und res(∑ a_{i}t^{i}dt) = a_{−1} zu verstehen ist. Eigentlich sollte man hier die Killing-Form nicht so bevorzugen, sondern vielmehr ℂz interpretieren als den Dualraum des eindimensionalen Raums aller 𝔤̀-invarianten Bilinearformen auf 𝔤̀.

Wir können schließlich die Derivation ∂ = t\frac{∂}{∂t} von L𝔤̀ durch die Vorschrift ∂(z) = 0 zu einer Derivation von 𝔤̃ fortsetzen, und indem wir diese Derivation zu 𝔤̃ adjungieren erhalten wir die sogenannte Affinisierung 𝔤 = 𝔤̃ ⊕ ℂ∂ von 𝔤̀ mit Lie-Klammer

[X + a∂, Y + b∂] = [X, Y] + a∂(Y) − b∂(X)

für alle X, Y ∈ 𝔤̃ und a, b ∈ ℂ.

Das Zentrum 𝔷 von 𝔤 ist genau die Gerade ℂz. Die Lie-Algebra 𝔤 versehen wir mit der ℤ-Graduierung 𝔤_{0} = 𝔤̀ ⊕ ℂz ⊕ ℂ∂, 𝔤_{i} = 𝔤 ⊗ t^{i} falls i ≠ 0. Es ist also 𝔤_{i} der Eigenraum von ad∂ zum Eigenwert i, und die semi-infiniten Charaktere γ : 𝔤_{0} → ℂ sind genau die linearen Abbildungen γ : 𝔤_{0} → ℂ mit γ(𝔤̀) = 0 und γ(z) = 1. Die Lie-Algebra 𝔤 ist eine affine Kac-Moody-Algebra, und die Graduierung entspricht einer Wahl Π_{f} ⊂ Π, bei der Π − Π_{f} nur aus einem Element α_{0} besteht.

In ihren Artikeln [KL93, KL94] betrachten Kazhdan und Lusztig für c ∈ ℂ eine gewisse durch Endlichkeitsbedingungen gegebene Unterkategorie der Kategorie Õ(z = c) aller 𝔤̃-Moduln, die von (z−c) annulliert werden, und auf denen 𝔤̃_{≥0} lokal endlich sowie 𝔤̃_{>0} lokal nilpotent operiert. Wir wollen nun unsere Resultate für Ō in Resultate für Õ(z = c) übersetzen und stützen uns dabei auf [Kac90].

Für jedes Objekt M aus Ō definiert ja der Casimir-Operator Ω einen lokal endlichen Endomorphismus Ω = Ω_{M} ∈ End_{𝔤}M, und für jeden Morphismus g : M → N gilt g ∘ Ω_{M} = Ω_{N} ∘ g. Für a ∈ ℂ bezeichne dann Ō(Ω ≃ a) die Unterkategorie aller Objekte von Ō, auf denen (Ω − a) lokal nilpotent operiert.

Proposition 10.1. [Pol91] Sei c ∈ ℂ, c ≠ −1/2. So induziert das Vergessen der Operation von ∂ eine Äquivalenz von Kategorien

Ō(Ω ≃ 0, z = c) →^{∼} Õ(z = c).

Bemerkungen 10.2. 1. Der Fall z = −1/2 ist in unseren Notationen gerade der “kritische Level”. Statt z benutzt Kac das “kanonische” zentrale Element K = 2hz mit h = h^{∨} der Coxeter-Zahl.

2. Unter den Voraussetzungen der Proposition definiert das Vergessen der Operation von ∂ allgemeiner Äquivalenzen

Ō(Ω ≃ a, z = c) →^{∼} Õ(z = c)

für alle a ∈ ℂ. In der Tat kann man den Eigenwert von Ω beliebig einregeln, indem man die Operation von ∂ um eine additive Konstante abändert, vergleiche [Kac90], 12.8.3.

Beweis. Für eine Darstellung M von 𝔤̃ derart, daß jedes m ∈ M annulliert wird von 𝔤̀ ⊗ t^{i} für i ≫ 0, definiert man wie in [Kac90], 12.8.4 den nullten Sugawara-Operator T_{0} : M → M. Operiert z durch einen Skalar c ≠ −1/2 auf M, so definiert die Vorschrift ∂ = −(2h(2c + 1))^{−1}T_{0} eine funktorielle Erweiterung von M zu einer Darstellung von 𝔤, siehe [Kac90], Corollary 12.8 (a). War hier M schon eine Darstellung von 𝔤, so gilt weiter nach [Kac90], 12.8.5 die Relation

T_{0} = −2h(2c + 1)∂ + Ω.

Wir definieren nun einen zu dem Funktor aus der Definition inversen Funktor. Auf M ∈ Õ(z = c) operiert ja T_{0} lokal endlich. Erweitern wir also unsere 𝔤̃-Operation auf M durch ∂ = −(2h(2c + 1))^{−1}T_{0} zu einer 𝔤-Operation, so operiert ∂ lokal endlich und Ω operiert durch Null. Definieren wir nun eine neue Operation von ∂ auf M als die Semisimplifizierung der ersten Operation von ∂, so erhalten wir eine neue Operation von 𝔤 auf M, und man sieht leicht, daß wir damit einen Funktor

Õ(z = c) → Ō(Ω ≃ 0, z = c)

definiert haben. Andererseits muß auf einem Objekt der Kategorie Ō(Ω ≃ 0, z = c) die Operation von ∂ gerade die Semisimplifizierung der Operation von −(2h(2c + 1))^{−1}T_{0} sein, nach der oben zitierten Relation zwischen T_{0}, ∂ und Ω. Damit ist unser Funktor wirklich invers zu dem Funktor aus der Proposition.

Sei ab jetzt 𝔤̀ vom Typ ADE. Wir arbeiten zur Vereinfachung mit dem kanonischen zentralen Element K = 2hz, der kritische Level ist also K = −h. In diesem Fall zeigen Kazhdan und Lusztig [KL93, KL94] für viele l ∈ ℂ − ℚ_{≤0} eine Äquivalenz von Kategorien

Õ^{e}(K = −h − l) ≅ U_{ζ}-mod^{e,1}.

Hier bezeichnet Õ^{e} die Kategorie aller Objekte endlicher Länge in Õ, wir setzten ζ = exp(−πi/l), und U_{ζ}-mod^{e,1} steht für die Kategorie aller endlichdimensionalen Darstellungen vom Typ 1 der Quantengruppe mit dividierten Potenzen U_{ζ}. Speziell ist für l ∈ ℤ_{≥h} der Block B ⊂ U_{ζ}-mod^{e,1} der trivialen Darstellung von U_{ζ} äquivalent zu dem Block von Ō, der L(μ) enthält mit μ = −((h + l)/2h)γ. (Das gilt für jede Wahl eines semi-infiniten Charakters γ = 2ρ − 2ρ_{f}.)

Um die Vermutung 7.2 aus [Soe97] über den Charakter der Kipp-Moduln für Quantengruppen an Einheitswurzeln im ADE-Fall bei l > 33 nachzuweisen gilt es damit, in Ō die Formel

[T^{f}(y ▪ μ) : Δ^{f}(x ▪ μ)] = n_{x,y}(1)

zu prüfen, für alle x, y ∈ W^{f}. Mit Korollar 9.6 reicht es zu zeigen, daß gilt ⟨−w_{f}μ − 2ρ + 2ρ_{f}, α^{∨}⟩ ∈ ℕ für alle α ∈ Π.

Nun ist eine mögliche Definition der Coxeter-Zahl ⟨ρ_{f}, α_{0}^{∨}⟩ = −h+1, wir erhalten also ⟨γ, α_{0}^{∨}⟩ = 2h. Weiter ist ⟨γ, α^{∨}⟩ = 0 ∀α ∈ Π_{f}. Da auch w_{f}γ = γ erhalten wir −w_{f}μ − 2ρ + 2ρ_{f} = ((h + l)/2h)γ − γ = ((l − h)/2h)γ, somit verschwindet dieses Gewicht auf allen Kowurzeln α^{∨} mit α ∈ Π_{f} und nimmt auf α_{0}^{∨} den Wert l − h ∈ ℕ an.

Ist 𝔤̀ nicht vom Typ ADE, so kann man dieses Argument weitgehend übernehmen. Das einzige Problem ist, daß die Kazhdan-Lusztig-Vermutungen für affine Lie-Algebren in positivem Level nur für ganze Gewichte bewiesen sind. Hier gilt es, noch Lücken in der Literatur zu stopfen.

Wie man ausgehend von den Charakterformeln für Kipp-Moduln im Hauptblock B auch Charakterformeln für Kipp-Moduln “auf den Wänden” erhält, wird in [Soe97] erklärt.

Literatur

[AM69] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969.

[Ark97] Sergej M. Arkhipov, Semi-infinite cohomology of associative algebras and bar duality, IMRN 17 (1997), 1–31.

[BGG75] Joseph N. Bernstein, Israel M. Gelfand, and Sergei I. Gelfand, Differential operators on the base affine space and a study of 𝔤-modules, Lie groups and their Representations (I. M. Gelfand, ed.), Halsted: New York, 1975, pp. 21–64.

[CI89] David H. Collingwood and Ron Irving, A decomposition theorem for certain self-dual modules in the category ≀, Duke math. J. 58 (1989), 89–102.

[Deo87] Vinay V. Deodhar, On some geometric aspects of Bruhat orderings ii. the parabolic analogue of Kazhdan-Lusztig polynomials, Journal of Algebra 111 (1987), 483–506.

[DGK82] Vinay V. Deodhar, Ofer Gabber, and Victor Kac, Structure of some categories of representations of infinite-dimensional Lie algebras, Adv. in Math. 45 (1982), 92–116.

[Don86] Stephen Donkin, Finite resolutions of modules for reductive algebraic groups, Journal of Algebra 101 (1986), 473–488.

[HS71] Peter J. Hilton and Urs Stammbach, A course in homological algebra, Graduate Texts, vol. 4, Springer, 1971.

[Kac90] Victor G. Kac, Infinite dimensional Lie algebras, 3 ed., Cambridge University Press, 1990.

[Kas90] Masaki Kashiwara, Kazhdan-Lusztig conjecture for a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra, The Grothendieck Festschrift II, Birkhäuser, 1990, Progress in Mathematics 87, pp. 407–433.

[KL93] David Kazhdan and George Lusztig, Tensor structures arising from affine Lie algebras, I, II, Journal of the AMS 6 (1993), 905–1011.

[KL94] David Kazhdan and George Lusztig, Tensor structures arising from affine Lie algebras, III, IV, Journal of the AMS 7 (1994), 335–453.

[Kna88] Anthony W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, vol. 34, Princeton University Press, 1988.

[Pol91] Patrick Polo, Projective versus injective modules over graded Lie algebras and a particular parabolic category O for affine Kac-Moody algebras, Preprint, 1991.

[RCW82] Alvany Rocha-Caridi and Nolan R. Wallach, Projective modules over graded Lie algebras, Mathematische Zeitschrift 180 (1982), 151–177.

[Rin91] Claus Michael Ringel, The category of modules with good filtrations over a quasi-hereditary algebra has almost split sequences, Mathematische Zeitschrift 208 (1991), 209–223.

[Soe97] Wolfgang Soergel, Kazhdan-Lusztig-Polynome und eine Kombinatorik für Kipp-Moduln, Representation Theory (An electronic Journal of the AMS) 1 (1997), 37–68, english 83–114.

[Vor93] Alexander A. Voronov, Semi-infinite homological algebra, Invent. Math. 113 (1993), 103–146.

Universität Freiburg, Mathematisches Institut, Eckerstraße 1, D-79104 Freiburg, Germany

E-mail address: soergel@mathematik.uni-freiburg.de