ÜBER DIE BEZIEHUNG VON SCHNITTKOHOMOLOGIE UND DARSTELLUNGSTHEORIE IN ENDLICHER CHARAKTERISTIK

WOLFGANG SOERGEL

Zusammenfassung. In dieser Arbeit untersuchen wir die Beziehung zwischen der rationalen Darstellungstheorie halbeinfacher algebraischer Gruppen über einem Körper k endlicher Charakteristik p und der Schnittkohomologie mit Koeffizienten in k von (komplexen) Schubert-Varietäten.

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 2 2. Argumente aus der Darstellungstheorie 4 2.1. Beschreibung einiger Endomorphismenringe 4 2.2. Quotientenkategorien 5 2.3. Die reguläre Subquotientenkategorie 7 2.4. Die semiregulären Subquotientenkategorien 8 2.5. Verschiebung 8 2.6. Homomorphismen zwischen Projektiven 9 2.7. Zerlegung mit und ohne Graduierung 11 2.8. Definition der Moduln D_{x} 12 2.9. Eigenschaften der Moduln D_{x} 13 2.10. Grothendieck-Gruppen 14 2.11. Beweis des ersten Theorems aus der Einleitung 15 3. Argumente aus der Topologie 16 3.1. Notationen 16 3.2. Die Kategorie K 17 3.3. Perverse Garben auf G/B und G/P_{s} 22 4. Topologie und Darstellungstheorie 23 4.1. Vorbemerkung 23 4.2. Äquivalenz von K und C 25 Literatur 27

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1. Einleitung

Sei k ein Körper positiver Charakteristik p und seien G ⊃ B ⊃ T eine halbeinfache spaltende einfach zusammenhängende algebraische Gruppe über k mitsamt einer Borelschen und einem maximalen Torus. Jedes Gewicht auf dem Torus λ ∈ X(T) führt zu einer induzierten Darstellung ind_{B}^{G}k_{λ} = H^{0}(G/B, O(λ)) = H^{0}(λ). Ist diese induzierte Darstellung nicht Null, so hat sie genau eine einfache Unterdarstellung L(λ) ⊂ H^{0}(λ), und jeder einfache G-Modul ist isomorph zu genau einem solchen L(λ). Für eine ausführlichere Diskussion dieser Begriffe und Resultate siehe zum Beispiel [Jan87].

Man möchte gerne die Multiplizität [H^{0}(λ) : L(μ)] ∈ ℕ berechnen, mit der L(μ) in einer Kompositionsreihe von H^{0}(λ) vorkommt, für Gewichte λ, μ mit H^{0}(λ) ≠ 0 ≠ H^{0}(μ). Für diese Multiplizitäten hat Lusztig Vermutungen [Lus80] aufgestellt. Es ist mittlerweile bewiesen [AJS94], daß diese Vermutungen für jedes vorgegebene Wurzelsystem in hinreichend großer Charakteristik stimmen. Bei Wurzelsystemen verschieden von A_{1}, A_{2}, A_{3}, B_{2}, G_{2} weiß man aber für keine einzige Charakteristik, ob sie hinreichend groß ist.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, dieses Problem an die Topologen oder Geometer weiterzureichen. Es ist ja klar, daß Schnittkohomologie von (komplexen) Schubert-Varietäten mit Koeffizienten in einem Körper hinreichend großer Charakteristik sich so verhält, als ob der Körper Charakteristik Null hätte. Wieder weiß man aber für keine einzige Charakteristik, ob sie hinreichend groß ist. Wir wollen erklären, wie eine Lösung dieses topologisch-geometrischen Problems zumindest einen Teil unseres darstellungstheoretischen Problems lösen würde.

Um das genauer zu formulieren brauchen wir mehr Notationen. Seien X(T) ⊃ R ⊃ R^{+} das Gewichtegitter, das Wurzelsystem R = R(G, T) und das System positiver Wurzeln R^{+} = −R(B, T). Insbesondere gilt H^{0}(λ) ≠ 0 genau dann, wenn λ dominant ist. Bezeichne h die Coxeterzahl unseres Wurzelsystems. Sei ρ ∈ X(T) die Halbsumme der positiven Wurzeln und (W, S) das Coxetersystem zu G ⊃ B. Insbesondere bezeichnet also W die (endliche) Weylgruppe.

Betrachten wir andererseits G ⊃ B eine halbeinfache komplexe algebraische Gruppe zum dualen Wurzelsystem R^{∨} mit einer Borelschen und identifizieren das zugehörige Coxetersystem mit (W, S) in offensichtlicher Weise. Bezeichne st = (p − 1)ρ ∈ X(T) das “Steinberg-Gewicht”. Hier und im folgenden versehen wir komplexe Varietäten stets mit ihrer natürlichen “metrischen” Topologie, nie mit der Zariski-Topologie. In Abschnitt 2.11 werden wir zeigen:

… SCHNITTKOHOMOLOGIE UND DARSTELLUNGSTHEORIE … 3

Theorem 1.1. Sei die Charakteristik unseres Körpers k größer als die Coxeter-Zahl unseres Wurzelsystems. Für festes y ∈ W sind folgende Aussagen äquivalent:

1. [H^{0}(st + xρ) : L(st + yρ)] = 1 für alle x ∈ W mit x ≤ y in der Bruhat-Ordnung.

2. Der Kohomologiering H^{•}(\overline{ByB/B}; k) mit Koeffizienten in k der komplexen Schubert-Varietät \overline{ByB/B} erfüllt Poincaré-Dualität.

Bemerkung 1.2. Man bezeichne eine (komplexe) Varietät X als “kglatt”, wenn H^{•}(X; k) Poincaré-Dualität erfüllt. Für Wurzelsysteme vom Typ ADE ist jede ℚ-glatte Schubert-Varietät schon glatt nach unveröffentlichten Resultaten von Peterson [Car94] und damit k-glatt für alle k. Im allgemeinen gilt das nicht. Es wäre interessant zu wissen, ob jede ℚ-glatte Schubert-Varietät zumindest k-glatt ist für alle k mit chark > Coxeterzahl.

Man betrachte weiter die nach unten beschränkte derivierte Kategorie D^{+}Sh_{k}(G/B) zur Kategorie Sh_{k}(G/B) aller Garben von k-Vektor-räumen auf der komplexen Varietät G/B. Bezeichne K ⊂ D^{+}Sh_{k}G/B die volle Unterkategorie, die aus allen Objekten der Form Rπ_{∗}(k_{BS}) mitsamt ihren direkten Summen und Summanden und deren [ ]-Verscho-benen besteht, wo k_{BS} die konstante Garbe k auf einer Bott-Samelson-Varietät BS bezeichnet und π : BS → G/B die Projektion. In Formeln ausgedrückt nehmen wir also alle Varietäten BS von der Form

BS = P_{s} ×^{B} P_{t} ×^{B} … ×^{B} P_{r} ×^{B} B/B

für eine beliebige Folge s, t, …, r ∈ S von einfachen Spiegelungen mit zugehörigen minimalen Parabolischen B ⊂ P_{s}, P_{t}, …, P_{r} ⊂ G.

Theorem 1.3. Sei p > h. So gilt:

1. Für jedes y ∈ W gibt es (bis auf Isomorphismus) genau ein unzerlegbares Objekt L_{y} ∈ K derart, daß L_{y}[−l(y)]|_{ByB/B} die konstante Garbe k auf der Bruhat-Zelle ByB/B ist und suppL_{y} ⊂ \overline{ByB/B}.

2. Die Dimensionen der Halme der Kohomologiegarben der L_{y} liefern Multiplizitäten, genauer gilt für alle x, y ∈ W die Formel

[H^{0}(st + xρ) : L(st + yρ)] = ∑_{i} dim_{k}(H^{i}L_{y})_{x}.

Bemerkungen 1.4. 1. Aus dem Theorem folgt, daß L_{y} selbstdual ist unter Verdier-Dualität. Für fast alle p (ich hoffe, für alle p > h) ist L_{y} gerade der Schnittkohomologie-Komplex IC(\overline{ByB/B}; k) mit Koeffizienten in k der Schubert-Varietät \overline{ByB/B}, ausgedehnt durch Null auf ganz G/B.

2. Wir werden zeigen, daß jedes unzerlegbare Objekt von K bis auf [ ]-Verschiebung zu genau einem der L_{y} isomorph ist.

Korollar 1.5. Für p > h sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

1. Für alle x, y ∈ W sind die Vielfachheiten [H^{0}(st+xρ) : L(st+yρ)] wie von Lusztig vermutet.

2. Für jede einfache Spiegelung s ∈ S und jedes x ∈ W mit xs > x ist das derivierte direkte Bild Rπ_{s∗}IC(\overline{BxB/B}; k) des Schnittkohomologie-Komplexes der Schubert-Varietät unter der Projektion π_{s} : G/B → G/P_{s} eine halbeinfache perverse Garbe auf G/P_{s}.

Die vorliegende Arbeit entstand aus dem Versuch, die Argumente von [Soe90] in endliche Charakteristik zu übertragen. Das gelingt weitgehend, aber beim Zerlegungssatz hapert es. Genau das spiegelt sich in den obigen Theoremen wieder.

2. Argumente aus der Darstellungstheorie

In diesem Abschnitt 2 wollen wir stets annehmen, daß die Charakteristik p von k größer ist als die Coxeterzahl h.

2.1. Beschreibung einiger Endomorphismenringe. Wir beschreiben die Endomorphismen der G-Moduln, die man erhält wenn man den Steinberg-Modul St = H^{0}(st) aus einigen Wänden rückt.

Bezeichne λ ↦ wλ die Operation der Weylgruppe W auf X(T). Bezeichne λ ↦ w · λ = w(λ + ρ) − ρ die zum Fixpunkt −ρ verschobene Operation. Bezeichne W_{p} ⊂ AffX(T) die von allen (w·) mit w ∈ W und den Verschiebungen (+μ) mit μ ∈ pℤR erzeugte Untergruppe affiner Transformationen von X(T). Wir nennen W_{p} die affine Weylgruppe und notieren ihre Operation auf X(T) auch λ ↦ w · λ, da sie die dot-Operation von W erweitert. Nach [Jan87] zerfällt die Kategorie G-Mod aller rationalen G-Moduln in

G-Mod = ∏_{Ω} G-Mod_{Ω},

wo Ω alle W_{p}-Orbiten in X(T) durchläuft und G-Mod_{Ω} aus allen G-Moduln besteht, deren sämtliche einfache Subquotienten unter den L(λ) mit λ ∈ Ω sind. Für je zwei W_{p}-Orbiten Ω, Γ ⊂ X(T) definiert man wie in [Jan87] den Verschiebungsfunktor T_{Ω}^{Γ} : G-Mod_{Ω} → G-Mod_{Γ}.

Jetzt nehmen wir die ganzen Gewichte im (geeignet verschobenen) unteren Abschluss des fundamentalen dominanten Alkovens, genauer die Menge

I = {λ ∈ X(T) | 0 ≤ ⟨λ, α̌⟩ < p ∀α ∈ R^{+}}

als bequeme Parametermenge für einen Teil der W_{p}-Orbiten, und bezeichnen für λ, μ ∈ I mit T_{λ}^{μ} den Verschiebungsfunktor vom W_{p}-Orbit von st + λ zum W_{p}-Orbit von st + μ.

Sei 𝔥 = Lie(T), U = U(𝔥) die symmetrische Algebra über 𝔥, U^{+} ⊂ U das von 𝔥 erzeugte Ideal und C = C(W, 𝔥) = U/(U^{+})^{W} U die Algebra der Koinvarianten. Für λ ∈ X(T) bezeichne W_{λ} seinen Stabilisator in der Weylgruppe. Es ist also W_{0} = W. In [AJS94], 19.8 zeigen wir:

Theorem 2.1.1. [AJS94] Für jedes λ ∈ I gibt es einen Isomorphismus can_{λ} : End_{G}T_{0}^{λ}St → C^{W_{λ}} unseres Endomorphismenrings mit dem Ring der W_{λ}-Invarianten in der Koinvariantenalgebra C.

Genauer seien λ, μ ∈ I gegeben mit W_{λ} ⊃ W_{μ}. So gibt es nach [Jan87] einen Isomorphismus iso : T_{λ}^{μ}T_{0}^{λ}St → T_{0}^{μ}St, und da die Endomorphismenringe unserer Moduln kommutativ sind, hängt die Abbildung End_{G}T_{0}^{λ}St → End_{G}T_{0}^{μ}St, f ↦ iso ∘ (T_{λ}^{μ}f) ∘ iso^{−1} nicht von der Wahl von iso ab. Wir kürzen die Notation etwas ab und schreiben diese Abbildung

T_{λ}^{μ} : End_{G}T_{0}^{λ}St → End_{G}T_{0}^{μ}St.

Genauer als im Theorem angegeben konstruieren wir in [AJS94], 19.8 sogar explizit Isomorphismen can_{λ} : End_{G}T_{0}^{λ}St → C^{W_{λ}} und unsere Konstruktion zeigt:

Theorem 2.1.2. [AJS94] Für λ, μ ∈ I mit W_{λ} ⊃ W_{μ} kommutiert das Diagramm

End_{G}T_{0}^{λ}St ⟶^{can_{λ}} C^{W_{λ}} ↓ ↓ End_{G}T_{0}^{μ}St ⟶^{can_{μ}} C^{W_{μ}} ,

wo die linke Vertikale unsere Abbildung T_{λ}^{μ} ist und die rechte Vertikale die offensichtliche Inklusion.

2.2. Quotientenkategorien. In diesem Abschnitt erinnern wir an einige Definitionen und Resultate über Quotientenkategorien, für eine ausführlichere Diskussion siehe [Gab62].

Definition 2.2.1. Eine volle Unterkategorie N einer abelschen Kategorie A heißt “Serresche Unterkategorie” genau dann, wenn für jede kurze exakte Sequenz M′ ↪ M→ →M′′ in A gilt M ∈ N ⇔ M′, M′′ ∈ N . In anderen Worten ausgedrückt ist N eine volle Unterkategorie und ist stabil unter Subquotienten und Erweiterungen.

Sei A eine abelsche Kategorie und N ⊂ A eine Serresche Unterkategorie. So definiert man die Quotientenkategorie A/N wie folgt: Die Objekte von A/N sind schlicht die Objekte von A, die Morphismen jedoch sind erklärt durch

Hom_{A/N} (M, N) = lim_{U,I} Hom_{A}(U, I),

wo sich der direkte Limes über alle Unterobjekte i : U ↪ M und alle Quotienten p : N → I erstreckt, für die coker(i) bzw. ker(p) in N liegen.

Man zeigt, daß A/N eine abelsche Kategorie ist, daß der offensichtliche Funktor Q : A → A/N exakt ist und daß QM ≅ 0 für alle M ∈ N . Ist andererseits B eine abelsche Kategorie und F : A → B ein exakter Funktor derart, daß F M ≅ 0 für alle M ∈ N , so faktorisiert F eindeutig über einen exakten Funktor F′ : A/N → B in F = F′ ∘ Q.

Definition 2.2.2. Eine Artinsche Kategorie ist eine abelsche Kategorie, deren Objekte sämtlich endliche Länge haben.

Um eine Serresche Unterkategorie einer Artinschen Kategorie anzugeben, muß man nur sagen, was ihre einfachen Objekte sein sollen.

Sei nun A eine Artinsche Kategorie mit einem projektiven Erzeuger. Insbesondere hat A dann nur endlich viele einfache Isomorphieklassen. Sei {L_{x}}_{x∈W} ein Repräsentantensystem für diese einfachen Isomorphieklassen. Jedes L_{x} hat eine projektive Decke P_{x}. Für jede Teilmenge T ⊂ W sei A_{T} ⊂ A die Serresche Unterkategorie aller Objekte “mit Träger in T ”, d.h. mit einfachen Objekten \{L_{x}\}_{x∈T} . Bezeichne M ↦ \overline{M} den Quotientenfunktor A → A/A_{T} . Für alle x ∈ W \T und M ∈ A ist Hom_{A}(P_{x}, M) = Hom_{A/A_{T}} (\overline{P_{x}}, \overline{M}). Insbesondere sind für x ∈ W \ T die \overline{P_{x}} projektive Decken der \overline{L_{x}}.

Für einen Ring R bezeichne Mod^{fl}-R die Kategorie aller Rechtsmoduln endlicher Länge. Ist A eine Artinsche Kategorie und P ∈ A ein projektiver Erzeuger, so ist bekanntlich [Bas68] Hom_{A}(P) : A → Mod^{fl}-End_{A}P eine Äquivalenz von Kategorien. Für T ⊂ W setzen wir P_{T} = ⨁_{x∈T} P_{x}. Im durch die universelle Eigenschaft von A/A_{T} erklärten kommutativen Diagramm

A = A
↓  ↓ Hom_{A}(P_{W \T} , )
A/A_{T} → Mod^{fl}-End_{A}P_{W \T}

ist nach unseren Vorüberlegungen dann insbesondere die untere Horizontale eine Äquivalenz von Kategorien.

Wir werden später folgende Terminologie benutzen:

Definition 2.2.3. Ein exakter Funktor F : A → B heißt ein “Quotientenfunktor” genau dann, wenn er eine Äquivalenz A/ ker F → B induziert.

Bemerkung 2.2.4. Sei F : A → B ein exakter Funktor zwischen Abelschen Kategorien. Seien N_{A} ⊂ A, N_{B} ⊂ B Serresche Unterkategorien und es gelte F (N_{A}) ⊂ N_{B}. So induziert F einen Funktor \overline{F} : A/N_{A} → B/N_{B}.

Nehmen wir weiter an, daß F einen linksadjungierten Funktor T besitzt, daß T exakt ist, und daß T (N_{B}) ⊂ N_{A}, so ist auch \overline{T} linksadjungiert zu \overline{F} .

2.3. Die reguläre Subquotientenkategorie. Wir setzen G-Mof = {M ∈ G-Mod | dim_{k}M < ∞}. Es gibt eine kontravariante Involution d : G-Mof → G-Mof derart, daß gilt dL ≅ L für jedes einfache Objekt L. Genauer nimmt man als dM die kontravariante Darstellung M^{∗} vertwistet mit einer Chevalley-Involution von G. Wir setzen V (λ) = dH^{0}(λ). Wir benützen die Ordnungsrelation ↑ auf X erklärt in [Jan87], II.6.4 und setzen

A = {M ∈ G-Mof | [M : L(λ)] ≠ 0 ⇒ λ ↑ st + ρ}.

Darin betrachten wir die Unterkategorie

N = {M ∈ A | [M : L(λ)] = 0 ∀λ ∈ st + W ρ}

und definieren schließlich den “regulären Subquotienten um den Steinbergpunkt” O = A/N . Bezeichne M ↦ \overline{M} den Quotientenfunktor A → O. Wir setzen

M_{x} = \overline{V (st + xρ)} ∈ O.

Jetzt listen wir einige Eigenschaften von O und den M_{x} auf.

1. Jedes Objekt von O hat endliche Länge. Alle Morphismenräume sind endlichdimensional.

2. Jedes M_{x} hat genau einen einfachen Quotienten L_{x}. Die {L_{x}}_{x∈W} bilden ein Repräsentantensystem für die einfachen Isomorphieklassen von O.

3. Es gibt eine kontravariante Involution d : O → O derart, daß dL_{x} ≅ L_{x} für alle x ∈ W.

4. Es gibt eine Teilordnung ≤ auf W derart, daß [M_{x} : L_{y}] ≠ 0 ⇔ y ≤ x. Ferner ist [M_{x} : L_{x}] = 1 für alle x ∈ W. (Natürlich ist diese Ordnung gerade die Bruhat-Ordnung, aber wir werden dieses Faktum nicht benutzen.)

5. M_{e} ist die projektive Decke von L_{e} in O. Das folgt daraus, daß V (st + ρ) die projektive Decke von L(st + ρ) in A ist.

6. \overline{T_{0}^{ρ}St} = P_{w_{∘}} ist die projektive Decke von L_{w_{∘}} in O. Dies P_{w_{∘}} hat eine Filtrierung, in der jedes M_{x} mit x ∈ W genau einmal als Subquotient auftaucht. Weiter liefert can_{ρ} einen kanonischen Isomorphismus can : End_{O}P_{w_{∘}} → C.

2.4. Die semiregulären Subquotientenkategorien. Für jede einfache Spiegelung s ∈ S sei α ∈ R^{+} die zugehörige einfache Wurzel und ϖ_{α} das Fundamentalgewicht. Wir betrachten μ = μ(s) = ρ − ϖ_{α} ∈ I. Dies Gewicht liegt auf der s-Wand, W_{μ} = ⟨s⟩. Ähnlich wie zuvor nehmen wir

A^{s} = {M ∈ G-Mof | [M : L(λ)] ≠ 0 ⇒ λ ↑ st + μ}

betrachten darin die Unterkategorie

N^{s} = {M ∈ A^{s} | [M : L(λ)] = 0 ∀λ ∈ st + W μ}

und bilden den Quotienten O^{s} = A^{s}/N^{s}. Darin liegen die Standardobjekte

M_{x}^{s} = \overline{V (st + xμ)}.

Es ist M_{x}^{s} = M_{xs}^{s} für x ∈ W. Jedes M_{x}^{s} hat genau einen einfachen Quotienten L_{x}^{s}.

Wir werden insbesondere brauchen, daß \overline{T_{0}^{μ}St} = P_{w_{∘}}^{s} die projektive Decke von L_{w_{∘}}^{s} in O^{s} ist. Es hat P_{w_{∘}}^{s} eine Filtrierung, in der jedes M_{x}^{s} mit x ∈ W/⟨s⟩ genau einmal als Subquotient auftaucht. Weiter liefert can_{μ} einen kanonischen Isomorphismus

can^{s} : End_{O^{s}}P_{w_{∘}}^{s} → C^{s}.

2.5. Verschiebung. Seien s ∈ S, μ = μ(s) wie vorhin. Die Verschiebungsfunktoren auf die Wand und aus der Wand T_{ρ}^{μ} und T_{μ}^{ρ} induzieren Funktoren zwischen unseren Subquotientenkategorien, die wir mit T^{s} : O → O^{s} und T_{s} : O^{s} → O bezeichnen. Aus bekannten Eigenschaften der T_{ρ}^{μ}, T_{μ}^{ρ} folgen viele Eigenschaften der T^{s}, T_{s}.

1. Die Funktoren T^{s}, T_{s} sind exakt und sowohl rechts- als auch linksadjungiert zueinander.

2. Es ist T^{s}M_{x} ≅ M_{x}^{s} und falls y < ys in der Bruhat-Ordnung gibt es eine kurze exakte Sequenz

M_{y} ↪ T_{s}M_{y}^{s}→ →M_{ys}.

3. Es ist T_{s}P_{w_{∘}}^{s} ≅ P_{w_{∘}}, wir erhalten eine von der Wahl dieses Isomorphismus unabhängige Abbildung T_{s} : End_{O^{s}}P_{w_{∘}}^{s} → End_{O}P_{w_{∘}} und das Diagramm

End_{O^{s}}P_{w_{∘}}^{s} ⟶^{can^{s}} C^{s}
T_{s} ↓  ↓
End_{O}P_{w_{∘}}  ⟶^{can} C

kommutiert mit der Inklusion als der rechten Vertikalen.

4. Die Verschiebung durch die Wand

θ_{s} = T_{s}T^{s} : O → O

ist ein exakter selbstadjungierter Funktor. Ist y ∈ W mit y < ys, so gibt es eine kurze exakte Sequenz

M_{y} ↪ θ_{s}M_{y}→ →M_{ys}.

5. Es gibt genug projektive Objekte in O, und jedes ist direkter Summand eines Objekts der Form θ_{s} … θ_{t}M_{e}. In der Tat ist M_{e} projektiv nach 2.3.5, und die θ_{s} sind exakt und selbstadjungiert, somit sind alle θ_{s} … θ_{t}M_{e} projektiv. Ist nun x = t … s eine reduzierte Zerlegung, so gibt es nach dem vorhergehenden Punkt eine Surjektion θ_{s} … θ_{t}M_{e} ↠ M_{x} ↠ L_{x}. Das zeigt, was wir brauchen.

6. Bezeichne P_{x}→ →L_{x} die projektive Decke in O. Jedes P_{x} hat eine Filtrierung mit Subquotienten der Form M_{y}. Bezeichnet (P_{x} : M_{y}) die Multiplizität, mit der M_{y} als Subquotient auftritt, so gilt die Reziprozitätsformel (P_{x} : M_{y}) = [M_{y} : L_{x}].

7. Für alle s ∈ S, M ∈ O gilt [θ_{s}M : L_{w_{∘}}] = 2[M : L_{w_{∘}}]. In der Tat wissen wir nach 2.3.6 daß (P_{w_{∘}} : M_{x}) = 1 ∀x ∈ W. Mit 2.5.4 folgt aus dem Vergleich der Charaktere θ_{s}P_{w_{∘}} ≅ P_{w_{∘}} ⊕ P_{w_{∘}}. Jetzt ist

[θ_{s}M : L_{w_{∘}}] = dimHom_{O}(P_{w_{∘}}, θ_{s}M)
= dimHom_{O}(θ_{s}P_{w_{∘}}, M)
= 2dimHom_{O}(P_{w_{∘}}, M)
= 2[M : L_{w_{∘}}].

8. Es ist [M_{x} : L_{w_{∘}}] = (P_{w_{∘}} : M_{x}) = 1 für alle x ∈ W. Genauer gilt sogar socM_{x} = L_{w_{∘}} für alle x ∈ W. In der Tat reicht es zu zeigen: Hom_{O}(L_{y}, M_{x}) ≠ 0 ⇒ y = w_{∘}. Das folgt mit Induktion von oben über die Länge von x. Für x = w_{∘} ist die Aussage klar. Sei xs < x. So haben wir eine kurze exakte Sequenz M_{xs} ↪ θ_{s}M_{x}→ →M_{x} und es folgt:

Hom_{O}(L_{y}, M_{xs}) ≠ 0 ⇒ Hom_{O}(L_{y}, θ_{s}M_{x}) ≠ 0
⇒ Hom_{O}(θ_{s}L_{y}, M_{x}) ≠ 0
⇒ [θ_{s}L_{y} : L_{w_{∘}}] ≠ 0
⇒ y = w_{∘}.

2.6. Homomorphismen zwischen Projektiven. Unser kanonischer Isomorphismus can : End_{O}P_{w_{∘}} → C liefert uns einen exakten Funktor

𝕍 = Hom_{O}(P_{w_{∘}}, ) : O → C-Mod^{fl}.

Wir wollen zeigen Theorem 2.6.1. Sind M, Q ∈ O und ist Q projektiv, so induziert 𝕍 einen Isomorphismus

Hom_{O}(M, Q) → Hom_{C}(𝕍M, 𝕍Q).

Beweis. Wir gehen in Schritten vor.

Q = P_{w_{∘}}: In diesem Fall ist Q = \overline{T_{0}^{ρ}St} auch die injektive Hülle von M_{w_{∘}} = L_{w_{∘}}. Für M ∈ C-Mod^{fl} ist auch der Dualraum M^{∗} = Hom_{k}(M, k) ein C-Modul. Dank unseren Einschränkungen an die Charakteristik ist C der Kohomologiering der glatten Mannigfaltigkeit C = H^{•}(G/B; k), siehe [Dem73], und Poincaré-Dualität liefert uns einen Isomorphismus C ≅ C^{∗} in C-Mod^{fl}. Folglich ist C nicht nur projektive Decke, sondern auch injektive Hülle von k ∈ C-Mod^{fl}.

Da 𝕍Q = C sind in unserem Fall beide Seiten des behaupteten Isomorphismus Hom_{O}(M, Q) → Hom_{C}(𝕍M, 𝕍Q) exakt in M. Nach dem Fünferlemma reicht es dann, diesen Isomorphismus für einfaches M zu zeigen. Das überlassen wir dem Leser.

Q = M_{e}: Betrachten wir nochmal unseren Isomorphismus von eben und nehmen auf beiden Seiten den Teil, der vom maximalen Ideal C^{+} ⊂ C annulliert wird. Wir erhalten einen Isomorphismus Hom_{O}(M, N) → Hom_{C}(𝕍M, k), wo N ⊂ P_{w_{∘}} das größte von C^{+} annullierte Unterobjekt ist und wir rechts k = socC benutzen. Wir müssen nur noch zeigen, daß N = M_{e}. Offensichtlich haben wir eine kurze exakte Sequenz M_{e} ↪ P_{w_{∘}}→ →coker und coker hat eine Filtrierung mit Subquotienten M_{x}.

Da socM_{x} = L_{w_{∘}} für alle x folgt für jedes Unterobjekt U ⊂ coker, das nicht Null ist, schon [U : L_{w_{∘}}] ≠ 0. Nun gilt sicher M_{e} ⊂ N. Wäre M_{e} ≠ N, so wäre das Bild von N in coker nicht Null, folglich [N : L_{w_{∘}}] ≥ 2. Aber Hom_{O}(P_{w_{∘}}, N) ⊂ End_{O}P_{w_{∘}} ist ein Ideal, das von C^{+} annulliert wird, somit 1 ≥ dimHom_{O}(P_{w_{∘}}, N) = [N : L_{w_{∘}}]. Dieser Widerspruch zeigt, daß in der Tat M_{e} = N.

Q beliebig: Jedes projektive Q ∈ O ist direkter Summand eines Objekts der Form θ_{s} … θ_{t}M_{e}, somit dürfen wir Q = θ_{s} … θ_{t}M_{e} annehmen. Jetzt folgt mit dem letzten Abschnitt von 2.2 für jedes M ∈ O :

Hom_{O}(M, θ_{s} … θ_{t}M_{e}) = Hom_{O}(θ_{t} … θ_{s}M, M_{e})
= Hom_{C}(𝕍θ_{t} … θ_{s}M, 𝕍M_{e})
= Hom_{C}(\overline{θ_{t}} … \overline{θ_{s}}𝕍M, 𝕍M_{e})
= Hom_{C}(𝕍M, \overline{θ_{s}} … \overline{θ_{t}}𝕍M_{e})
= Hom_{C}(𝕍M, 𝕍θ_{s} … θ_{t}M_{e})

Weiter zeigen wir:

Theorem 2.6.2. i.) Für alle x ∈ W gilt 𝕍M_{x} = k.

ii.) Für alle M ∈ O, s ∈ S gilt 𝕍θ_{s}M ≅ C ⊗_{C^{s}} 𝕍M.

Beweis. i.) ist klar nach 2.5.8. Für ii.) betrachten wir das adjungierte Paar (T_{s}, T^{s}) von Funktoren zwischen O und O^{s}. Betrachten wir ebenso den Quotientenfunktor

𝕍^{s} = Hom_{O^{s}}(P_{w_{∘}}^{s}, ) : O^{s} → C^{s}-Mod^{fl}.

Da T_{s}P_{w_{∘}}^{s} ≅ P_{w_{∘}} gilt [T^{s}M : L_{w_{∘}}^{s}] = [M : L_{w_{∘}}] für M ∈ O. Weiter ist [T_{s}M : L_{w_{∘}}] = 2[M : L_{w_{∘}}^{s}] für M ∈ O^{s}, zum Beispiel weil das für alle Standardobjekte M = M_{x}^{s} gilt.

Mithin liefert das adjungierte Paar (T_{s}, T^{s}) ein adjungiertes Paar (\overline{T_{s}}, \overline{T^{s}}) von Funktoren zwischen den Quotientenkategorien C-Mod^{fl} und C^{s}-Mod^{fl}. Mit 2.5.3 folgt, daß \overline{T^{s}} = res : C-Mod^{fl} → C^{s}-Mod^{fl} schlicht der Restriktionsfunktor ist. Somit ist notwendig \overline{T_{s}} = C⊗_{C^{s}} und es folgt 𝕍θ_{s}M ≅ 𝕍T_{s}T^{s}M ≅ \overline{T_{s}} \overline{T^{s}}𝕍M ≅ C ⊗_{C^{s}} 𝕍M.

2.7. Zerlegung mit und ohne Graduierung. Sei C eine endlichdimensionale graduierte k-Algebra – wir erlauben sogar Teile von negativem Grad. Sei C-mod^{fl} die Kategorie aller graduierten endlichdimensionalen C-Moduln, bezeichne hom_{C} die Morphismen in dieser Kategorie, und sei v : C-mod^{fl} → C-Mod^{fl} das Vergessen der Graduierung. Für M = ⨁ M^{n} ∈ C-mod^{fl} erkläre man das in der Graduierung verschobene M⟨ν⟩ ∈ C-mod^{fl} durch (M⟨ν⟩)^{n} = M^{n−ν}. Es ist also v(M⟨ν⟩) = vM und Hom_{C}(vM, vN) = ⨁_{ν} hom_{C}(M, N⟨ν⟩).

Definition 2.7.1. Sei M ∈ C-Mod^{fl}. Wir sagen “M liftet” genau dann, wenn es M̃ ∈ C-mod^{fl} gibt so daß vM̃ ≅ M.

Proposition 2.7.2. Seien M, N ∈ C-Mod^{fl} gegeben derart daß (1) N, M ⊕N liften und (2) N direkt unzerlegbar ist. So liftet auch M, genauer finden wir zu jedem Lift { \atop M ⊕ N} von M ⊕ N einen Lift M̃ von M, der ein direkter Summand von { \atop M ⊕ N} ist.

Beweis. Die Inklusion i : N ↪ M ⊕ N und die Projektion p : M ⊕ N→ →N zerfallen auf Lifts dieser Objekte in homogene Komponenten i = ∑ i_{ν}, p = ∑ p_{ν}. Da wir N unzerlegbar angenommen hatten, ist End_{C}N lokal. Da id = p ∘ i = ∑ p_{ν} ∘ i_{−ν} ein Isomorphismus ist, muß schon für ein ν die Abbildung p_{ν} ∘ i_{−ν} ein Isomorphismus sein. Sei u ∈ end_{C} Ñ ihr Inverses. So ist i_{−ν} eine Spaltung der Projektion u∘p_{ν} : { \atop M ⊕ N} → Ñ⟨ν⟩ und ker(u ∘ p_{ν}) ist ein Lift von M.

Andererseits beachte man:

Lemma 2.7.3. Je zwei Lifts eines unzerlegbaren C-Moduls endlicher Dimension M sind isomorph bis auf Verschiebung der Graduierung.

Beweis. Seien M̃, M̃′ zwei Lifts von M. Die Identität auf M zerfällt in homogene Komponenten in Hom_{C}(M̃, M̃′). Da M unzerlegbar ist, muß eine dieser homogenen Komponenten ein Isomorphismus sein.

2.8. Definition der Moduln D_{x}. Sei nun C wieder die Koinvariantenalgebra mit der geraden Graduierung C = ⨁ C^{2ν}. Betrachten wir die additive Unterkategorie C ⊂ C-mod^{fl} gebildet von allen C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨ν⟩ mit s, …, t ∈ S, ν ∈ ℤ und ihren direkten Summen und Summanden.

Theorem 2.8.1. 1. Es gibt eine Familie {D_{x}}_{x∈W} von unzerlegbaren Objekten in C-mod^{fl} derart, daß für jede reduzierte Zerlegung x = t … s (s, …, t ∈ S) gilt

C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩ ≅ D_{x} ⊕ Rest,

wo Rest eine direkte Summe von D_{y}⟨ν⟩ ist mit y < x, ν ∈ ℤ.

2. Ist {D′_{x}}_{x∈W} eine andere solche Familie, so ist D′_{x} ≅ D_{x} ∀x ∈ W.

3. Die D_{x} bleiben unzerlegbar, wenn man ihre Graduierung vergißt.

4. {D_{x}⟨ν⟩}_{x∈W,ν∈ℤ} ist ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen unzerlegbarer Objekte von C.

Wir beweisen dies Theorem zusammen mit dem folgenden Theorem, das ihm eigentlich erst seinen Sinn gibt:

Theorem 2.8.2. Es ist 𝕍P_{x} ≅ vD_{x} für alle x ∈ W.

Beweis der beiden Theoreme. Zunächst zeigen wir den ersten Teil des ersten Theorems zusammen mit dem zweiten Theorem durch Induktion über die Länge von x. Für x = e ist alles trivial. Für x = t … s (reduzierte Zerlegung) gilt nach 2.5, 4, 6 und 2.3, 4

θ_{s} … θ_{t}P_{e} ≅ P_{x} ⊕ Rest

wo Rest eine Summe von P_{y} mit y < x ist. Es folgt

\begin{aligned}C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k & = & 𝕍θ_{s} … θ_{t}P_{e} \\ & ≅ & 𝕍(P_{x}) ⊕ 𝕍(Rest). \end{aligned}

Nach Induktion ist 𝕍(Rest) eine Summe von vD_{y} mit y < x. Jedes von diesen vD_{y} liftet nach Induktionsannahme. Nach Proposition 2.7.2 liftet damit auch 𝕍P_{x}, und sogar zu einem direkten Summanden von C ⊗_{C^{s}} C …⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩. Das zeigt den ersten Teil des ersten Theorems sowie das zweite Theorem.

Wir müssen noch dem Rest des ersten Theorems zeigen. 2 folgt leicht mit dem Satz von Krull-Schmid. 3 folgt daraus, daß End_{C}D_{x} = End_{O}P_{x} lokal ist. Teil 4 folgt mit Krull-Schmidt und Lemma 2.7.3, sobald wir wissen, daß in C-Mod die Unterkategorie bestehend aus endlichen Summen von D_{x} stabil ist unter C⊗_{C^{s}} für alle s ∈ S. Das folgt aber, da C ⊗_{C^{s}} D_{x} = 𝕍θ_{s}P_{x} und da θ_{s}P_{x} projektiv ist, also eine Summe von unzerlegbaren Projektiven.

2.9. Eigenschaften der Moduln D_{x}. Nach [Dem73] ist ja unsere Koinvariantenalgebra C = H^{•}(G/B; k) genau der Kohomologiering der Fahnenmannigfaltigkeit G/B. Für die Homologie liefern die Bruhat-Zellen BxB/B eine kanonische Basis, und die dazu duale Basis der Kohomologie bezeichnen wir mit {p_{x}}_{x∈W} . Jedes s ∈ S mit zugehöriger einfacher Wurzel α liefert uns einen Demazure-Operator ∂_{s} : S → S, f ↦ (f − sf)/α̌. Er induziert eine Abbildung ∂_{s} : C → C auf den Koinvarianten, und es ist bekannt zum Beispiel nach [BGG73], 3.14(i), daß

∂_{s}p_{x} = \{ \begin{matrix}p_{xs} & xs < x; \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Die Einschränkung H^{•}(G/B; k) → H^{•}(\overline{BxB/B}; k) hat den Kern I_{x} = ∑_{y≰x} kp_{y} ⊂ C. Wir wollen zeigen:

Proposition 2.9.1. Für alle x ∈ W gilt dimD_{x}^{−l(x)} = dimD_{x}^{l(x)} = 1 und Ann_{C}D_{x} = I_{x}.

Beweis. Zunächst zeigen wir:

f ∈ Ann_{C}(C ⊗_{C^{s}} M) ⇔ f, ∂_{s}f ∈ Ann_{C}M.

In der Tat kann man jedes Element von C ⊗_{C^{s}} M eindeutig in der Form 1 ⊗ m_{1} + α̌ ⊗ m_{2} schreiben, weiter ist 2f = (f + sf) + (α̌(∂_{s}f)) die Zerlegung von 2f ∈ C nach C = C^{s} ⊕ α̌C^{s}, und damit gilt

\begin{aligned}2f(1 ⊗ m_{1} + α̌ ⊗ m_{2}) = & 1 ⊗ ((f + sf)m_{1} + (α̌)^{2}(∂_{s}f)m_{2}) \\ & + α̌ ⊗ ((∂_{s}f)m_{1} + (f + sf)m_{2}). \end{aligned}

Man erhält die Behauptung sofort. Dieselbe Rechnung zeigt auch f ∈ Ann_{C}(1 ⊗ m) ⇔ f, ∂_{s}f ∈ Ann_{C}(m).

Sei nun x = t … s eine reduzierte Zerlegung. Mit Induktion folgt Ann_{C}(C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k) = I_{x} und sogar Ann_{C}(1 ⊗ 1 … ⊗ 1) = I_{x}. Nun sind die beiden extremen Komponenten der Grade l(x) und −l(x) von C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩ eindimensional, und da (C/I_{x})^{2l(x)} ≠ 0 liegt die oberste homogene Komponente im Erzeugnis der untersten. Die Proposition folgt nun mit Induktion über die Länge von x.

Als nächstes zeigen wir:

Lemma 2.9.2. Sei M ∈ C-mod^{fl}, s ∈ S. So ist (C ⊗_{C^{s}} M)^{∗} ≅ C ⊗_{C^{s}} (M^{∗})⟨−2⟩.

Beweis. Wieder kann man jedes Element von C ⊗_{C^{s}} M eindeutig in der Form 1 ⊗ m_{1} + α̌ ⊗ m_{2} schreiben. Jetzt definieren wir eine Paarung

(C ⊗_{C^{s}} M) × (C ⊗_{C^{s}} (M^{∗})) → k, (v, w) ↦ ⟨v, w⟩

durch ⟨(1⊗m+α̌⊗n), (1⊗f +α̌⊗g)⟩ = f(n)+g(m) für alle m, n ∈ M, f, g ∈ M^{∗}. Sie ist nicht ausgeartet und man prüft ⟨cv, w⟩ = ⟨v, cw⟩ für c ∈ C^{s} und c = α̌, mithin für alle c ∈ C.

Proposition 2.9.3. Die Moduln D_{x} sind selbstdual, D_{x} ≅ D_{x}^{∗}.

Beweis. Wir wissen ja inzwischen: Ist x = t … s eine reduzierte Zerlegung und M ⊂ C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩ ein direkter Summand mit M^{l(x)} = k oder M^{−l(x)} = k, so ist M ≅ D_{x}. Nun ist aber nach dem vorhergehenden Lemma C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩ selbstdual.

Theorem 2.9.4. Für x ∈ W sind äquivalent:

1. D_{x} ≅ (C/I_{x})⟨−l(x)⟩.

2. Der Kohomologiering H^{•}(\overline{BxB/B}; k) = C/I_{x} mit Koeffizienten in k der Schubert-Varietät \overline{BxB/B} erfüllt Poincaré-Dualität.

Beweis. 1 ⇒ 2. Sicher hat C/I_{x} genau einen einfachen Quotienten, und im Lichte der vorhergehenden Proposition impliziert 1, daß C/I_{x} auch genau einen einfachen Untermodul hat, soc(C/I_{x}) = k. Daraus folgt 2 sofort.

2 ⇒ 1. Wir betrachten die Inklusion

(C/I_{x})⟨−l(x)⟩ ↪ C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩

mit 1 ↦ 1 ⊗ 1 … ⊗ 1. Nach Annahme bzw. Lemma 2.9.2 sind beide Seiten selbstdual, somit ergibt sich eine Surjektion

C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩→ →(C/I_{x})⟨−l(x)⟩.

Da I_{x} schon der Annullator der linken Seite ist, muß diese Surjektion spalten. Dann folgt aber sofort D_{x} ≅ (C/I_{x})⟨−l(x)⟩.

Um das erste Theorem aus der Einleitung zeigen zu können, brauchen wir noch etwas Vorbereitungen.

2.10. Grothendieck-Gruppen. Jeder Abelschen Kategorie A ordnen wir ihre Grothendieck-Gruppe [A] zu, und jedes Objekt A ∈ A liefert ein Element [A] ∈ [A]. Andererseits definieren wir zu jeder additiven Kategorie A ihre spaltende Grothendieck-Gruppe ⟨A⟩ wie folgt: ⟨A⟩ ist die freie Abelsche Gruppe erzeugt von den Objekten von A mit Relationen A′ + A′′ = A wann immer es eine spaltende kurze exakte Sequenz A′ ↪ A ↠ A′′ gibt. Jedes Objekt A ∈ A liefert ein Element ⟨A⟩ ∈ ⟨A⟩. Jeder (ko- oder kontravariante) exakte bzw. additive Funktor F : A → B liefert einen Gruppenhomomorphismus F : [A] → [B] bzw. F : ⟨A⟩ → ⟨B⟩.

Betrachten wir nun unsere Kategorie O. Sicher ist {[L_{x}]}_{x∈W} eine ℤ-Basis von [O]. Für M ∈ O sind die Koeffizienten von [M] in dieser Basis schlicht die Jordan-Hölder-Multiplizitäten, d.h. [M] = ∑_{x}[M : L_{x}][L_{x}]. Nun hat die Übergangsmatrix [M_{y} : L_{x}] obere Dreiecksform mit Einsen auf der Diagonalen, folglich ist auch {[M_{x}]}_{x∈W} eine ℤ-Basis von [O]. Die Koeffizienten von [M] in dieser Basis schreiben wir (M : M_{x}), d.h.

[M] = ∑_{x}(M : M_{x})[M_{x}]. Hat M eine Vermafahne (d.h. eine Filtrierung derart, daß sämtliche Subquotienten gewisse M_{x} sind), so ist (M : M_{x}) genau die Multiplizität, mit der M_{x} als Subquotient vorkommt.

Elemente des Gruppenrings ℤ[W] schreiben wir in der Form ∑_{x} n_{x}x mit n_{x} ∈ ℤ. Wir erklären einen Isomorphismus

\begin{matrix}A : [O] & → & ℤ[W] \\ [M] & ↦ & ∑(M : M_{x})x. \end{matrix}

Das ist ein Isomorphismus Abelscher Gruppen, und aus 2.5 folgt sogar A[θ_{s}M] = A[M](1 + s) für alle M ∈ O, s ∈ S. Schließlich betrachten wir die additive Kategorie pO aller projektiven Objekte von O. Aus 2.5 folgt, daß die offensichtliche Abbildung ⟨pO⟩ → [O], ⟨P ⟩ ↦ [P] ein Isomorphismus ist. Die Komposition dieses Isomorphismus mit A nennen wir auch A : ⟨pO⟩ → ℤ[W]. Die θ_{s} bilden projektive Objekte auf projektive Objekte ab. Es folgt, daß auch A⟨θ_{s}P ⟩ = A⟨P ⟩(1 + s) für alle P ∈ pO, s ∈ S.

2.11. Beweis des ersten Theorems aus der Einleitung. Zur Argumentation brauchen wir das folgende kommutative Diagramm:

⟨pO⟩ →^{𝕍} ⟨vC⟩ →^{dim} ℤ
A ↓ B ↓ ||
ℤ[W] = ℤ[W] →^{tr} ℤ

Die Abbildung B wird schlicht durch die Bedingung definiert, daß das erste Quadrat kommutiert. Die Abbildung dim ist erlärt durch dim⟨M⟩ = dim_{k} M für alle M ∈ vC. Die Abbildung tr ist definiert durch tr(∑ n_{x}x) = ∑ n_{x}. Der Leser mag selber prüfen, daß auch das zweite Quadrat kommutiert. Ferner folgt aus 2.6.2 die Formel B⟨C ⊗_{C^{s}} M⟩ = B⟨M⟩(1 + s) für s ∈ S, M ∈ vC. Theorem 1.1 folgt mit 2.9.4 und 2.5.6 aus

Theorem 2.11.1. Sei y ∈ W. So sind folgende Aussagen äquivalent: 1. (P_{y} : M_{x}) = 1 für alle x ∈ W mit x ≤ y in der Bruhat-Ordnung.

2. D_{y} ≅ (C/I_{y})⟨−l(y)⟩.

Beweis. Aus 1 folgt ∑_{x≤y} x = A⟨P_{y}⟩ = B⟨vD_{y}⟩, somit ♯{x ∈ W | x ≤ y} = dim_{k} D_{y}, und dann muß mit einem Dimensionsvergleich die Inklusion (C/I_{y})⟨−l(y)⟩ ↪ D_{y} mit 1 ↦ 1 ⊗ 1 … 1 ein Isomorphismus sein.

Gilt andererseits (P_{y} : M_{x}) > 1 für ein x, so folgt dim_{k}(C/I_{y}) < dim_{k} D_{y} mit demselben Argument.

Für spätere Anwendungen geben wir noch eine Formel für die Dimension der Hom-Räume zwischen Objekten von C. Bezeichne

⟨ , ⟩ : ℤ[W] × ℤ[W] → ℤ

die Bilinearform, für die die Gruppenelemente eine Orthonormalbasis bilden, ⟨x, y⟩ = δ_{x,y} für x, y ∈ W.

Lemma 2.11.2. Für alle D, D′ ∈ S gilt die Formel

dim_{k} Hom_{C}(D, D′) = ⟨B(D), B(D′)⟩.

Beweis. Natürlich reicht es, für P, P′ ∈ pO die entsprechende Formel dim_{k} Hom_{O}(P, P′) = ⟨A(P), A(P′)⟩ zu zeigen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir hier P = P_{x}, P′ = P_{y} annehmen, und dann gilt in der Tat

dim_{k} Hom_{O}(P_{x}, P_{y}) = [P_{y} : L_{x}]
= ∑_{z}(P_{y} : M_{z})[M_{z} : L_{x}]
= ∑_{z}(P_{y} : M_{z})(P_{x} : M_{z}).

3. Argumente aus der Topologie

In diesem Teil 3 sei k ein beliebiger Körper.

3.1. Notationen. Als Quellen für die folgenden Allgemeinheiten siehe [Bor84, KS90]. Für jeden toplogischen Raum X bezeichne ShX = Sh_{k}X die Kategorie aller Garben von k-Vektorräumen auf X. Wir betrachten weiter die nach unten beschränkte derivierte Kategorie D^{+}ShX und die Kohomologiegarbenfunktoren H : D^{+}ShX → ShX. Morphismen in D^{+}ShX schreiben wir kurz Hom_{D}. Jede stetige Abbildung f : X → Y induziert Funktoren f_{∗}, f_{!} : ShX → ShY sowie f^{−1} : ShY → ShX. Diese haben alle derivierte Funktoren. Wir ändern die Notationen und setzen f_{∗} = R^{+}f_{∗}, f_{!} = R^{+}f_{!} sowie f^{∗} = R^{+}f^{−1}. So haben wir also triangulierte Funktoren f_{∗}, f_{!} : D^{+}ShX → D^{+}ShY sowie f^{∗} : D^{+}ShY → D^{+}ShX und eine Adjunktion (f^{∗}, f_{∗}). Wir werden weiter Verdier-Dualität brauchen. Die gibt es nicht in voller Allgemeinheit, deshalb ziehen wir uns nun in einen bequemen Rahmen zurück.

Sei X eine komplexe algebraische Varietät und X(ℂ) der zugehörige analytische Raum (mit der “metrischen” Topologie). Man betrachte die Kategorie der “algebraisch konstruierbaren Garben” Sh_{ac}X(ℂ) = {F ∈ ShX(ℂ) | Es gibt eine Zerlegung X = ⋃_{α} X_{α} in (endlich viele) lokal abgeschlossene Untervarietäten derart, daß j_{α}^{∗}F ∈ ShX_{α}(ℂ) lokal konstant ist von endlichem Rang, für alle Inklusionen j_{α} : X_{α}(ℂ) ↪ X(ℂ)}. Hier hätten wir auch j_{α}^{−1}F schreiben können, aber da wir nun schon einmal j_{α}^{−1} in j_{α}^{∗} umbenannt haben, wollen wir auch dabei bleiben. Schließlich ordnen wir jeder komplexen Varietät X zu die triangulierte k-Kategorie

D(X) = \{F ∈ D^{+}ShX(ℂ) | \begin{matrix}H^{ν}F ∈ Sh_{ac}X(ℂ) für alle ν, \\ H^{ν}F = 0 für |ν| ≫ 0. \end{matrix} \}

Morphismen in D(X) schreiben wir kurz Hom_{D}. Für F, E ∈ D(X) können wir RHom(F, E) ∈ D(X) bilden. Ist weiter f : X → Y ein Morphismus von komplexen Varietäten, so führen f_{∗}, f_{!}, f^{∗} unsere D(X), D(Y) ineinander über. Weiter hat f_{!} : D(X) → D(Y) einen Rechtsadjungierten f^{!} : D(Y) → D(X). Ich will schließlich folgende Notation benutzen: Es sei \underline{pt} ∈ Sh_{ac}(pt) ⊂ D(pt) die konstante Garbe k auf einem Punkt, und \underline{X} ∈ D(X) die konstante Garbe \underline{X} = c^{∗}\underline{pt}, wo c : X → pt die konstante Abbildung bezeichnet. Weiter sei 𝔻F = RHom(F, c^{!}\underline{pt}) das Verdier-Duale zu F. Es gilt 𝔻^{2} = id und 𝔻f^{!} = f^{∗}𝔻, 𝔻f_{!} = f_{∗}𝔻.

3.2. Die Kategorie K. In der Einleitung hatten wir K eingeführt als die volle Unterkategorie K ⊂ D(G/B) bestehend aus allen Objekten π_{∗}\underline{BS} mitsamt deren [ ]-Verschobenen und direkten Summanden, für alle Projektionen

π : BS ⟶ G/B

von einer Bott-Samelson-Varietät auf die Fahnenmannigfaltigkeit. Für unsere Zwecke ist die folgende eher technische Beschreibung von K besser. Wir hätten das folgende Lemma auch als Definition von K nehmen können und bräuchten es dann nicht zu beweisen. Mit dem Beweis bezahlen wir für größere Eleganz in der Einleitung.

Lemma 3.2.1. K ⊂ D(G/B) ist die kleinste volle Unterkategorie derart daß

1. K enthält mit einem Objekt auch alle isomorphen Objekte.

2. K enthält die Wolkenkratzergarbe auf der punktförmigen Bruhat-Zelle, j_{e∗}\underline{B/B} ∈ K für j_{e} : B/B ↪ G/B.

3. F ∈ K ⇒ π_{s}^{∗}π_{s∗}F ∈ K ∀s ∈ S, für π_{s} : G/B → G/P_{s}.

4. F ∈ K ⇒ F[n] ∈ K ∀n ∈ ℤ.

5. K ist stabil unter direkten Summen und direkten Summanden, d.h. sind F, E ∈ D(G/B) gegeben, so gilt: F ⊕ E ∈ K ⇔ F, E ∈ K.

Beweis. Das Lemma folgt leicht, sobald wir wissen, daß gilt π_{∗}\underline{BS} ≅ π_{t}^{∗}π_{t∗} … π_{s}^{∗}π_{s∗}j_{∗}\underline{B/B} für t, …, s ∈ S und π : BS = P_{s} ×^{B} … P_{t} ×^{B} B/B → G/B das Aufmultiplizieren. Um das zu zeigen benennen wir t, …, s um in s_{r}, …, s_{1} und schreiben kurz P_{s_{i}} = P_{i}. In diesen Notationen liefern die Abbildungen

\begin{matrix}f_{i} : Y = G ×^{B} P_{1} ×^{B} P_{2} … ×^{B} P_{r}/B → G/B \\ f_{i} : [(g, p_{1}, …, p_{r})] ↦ gp_{1} … p_{i}B (i = 0, …, r) \end{matrix}

einen Isomorphismus

Y ⟶^{∼} \{(x_{0}, …, x_{r}) ∈ (G/B)^{r+1} | \begin{matrix}x_{i−1} und x_{i} haben \\ dasselbe Bild in G/P_{i} \\ für i = 1, …, r \end{matrix} \}

Schreiben wir Y = Y (1, 2, …, r) so haben wir in hoffentlich selbsterklärender Notation ein Diagramm von kartesischen Quadraten, das für r = 3 die folgende Form hat:

Y (1, 2, 3) → Y (2, 3) → Y (3) → G/B
↓ ↓ ↓ ↓ π_{t}
Y (1, 2) → Y (2) → G/B →_{π} G/P_{3}
↓ ↓ ↓
Y (1) → G/B → G/P_{2}
↓  ↓ π_{s}
G/B →_{π_{s}} G/P_{1}

Eigentlicher Basiswechsel impliziert nun

f_{r∗}f_{0}^{∗} = π_{t}^{∗}π_{t∗} … π_{s}^{∗}π_{s∗}.

Beachten wir schließlich noch, daß die linke Vertikale unseres Diagramms auch Teil eines kartesischen Quadrats

BS ↪ Y (1, …, r)
↓  ↓
B/B ↪  G/B

ist, so ergibt sich mühelos die Behauptung.

Bemerkung 3.2.2. F ∈ K ⇒ 𝔻F ∈ K. In der Tat ist 𝔻π_{s∗} = 𝔻π_{s!} = π_{s∗}𝔻 da π_{s} eigentlich ist, und 𝔻π_{s}^{∗} = π_{s}^{!}𝔻 = π_{s}^{∗}[2]𝔻 da π_{s} glatt ist mit Faser der reellen Dimension 2.

Um K zu studieren, brauchen wir einige Hilfskategorien. Wir setzen D_{B}(G/B) = {F ∈ D(G/B) | H^{ν}j_{x}^{∗}F ist eine konstante Garbe auf BxB/B, für alle x ∈ W, ν ∈ ℤ} und

D(G/B)^{ev} = {F ∈ D(G/B) | H^{ν}F ≠ 0 ⇒ ν ist gerade}

und betrachten

D_{B}(G/B)^{ev} = D_{B}(G/B) ∩ D(G/B)^{ev}.

Sei weiter H = H(W, S) = ⨁_{x∈W} ℤ[t, t^{−1}]T_{x} die Hecke-Algebra wie in [KL79] oder [Soe97], mit t = q^{1/2} = v^{−1}. Man definiere h : D_{B}(G/B) → H durch

h(F) = ∑_{ν,x} rkH^{ν}(j_{x}^{∗}F)t^{ν}T_{x}.

Offensichtlich ist h(F[1]) = t^{−1}h(F). Weniger offensichtlich ist das folgende

Lemma 3.2.3. Sei F ∈ D_{B}(G/B)^{ev} und s ∈ S. So ist auch π_{s}^{∗}π_{s∗}F ∈ D_{B}(G/B)^{ev} und es gilt h(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = h(F)(T_{s} + 1).

Beweis. Wir wiederholen einen Beweis aus [Spr82]. Springer schreibt ihn MacPherson zu. Man betrachte das kartesische Diagramm

BxP_{s}/B →^{j} G/B
π ↓  ↓ π_{s}
BxP_{s}/P_{s} →^{j} G/P_{s}

und nehme an, daß gilt xs > x. So haben wir eine Zerlegung der oberen linken Ecke

BxsB/B ↪^{u} BxP_{s}/B ↩^{i} BxB/B

in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge, mit Inklusionen u und i. Für jedes F ∈ D(G/B) liefert eigentlicher Basiswechsel j_{x}^{∗}(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = i^{∗}π^{∗}π_{∗}j^{∗}F und j_{xs}^{∗}(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = u^{∗}π^{∗}π_{∗}j^{∗}F. Nun führt das ausgezeichnete Dreieck π^{∗}π_{∗}(u_{!}u^{!}, id, i_{∗}i^{∗})j^{∗}F durch Anwenden von i^{∗}, u^{∗} zu zwei ausgezeichneten Dreiecken, die wir nach einigen Umformungen schreiben können als

\begin{matrix}(π ∘ i)^{∗}(π ∘ u)_{!}j_{xs}^{∗}F → j_{x}^{∗}(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) → (π ∘ i)^{∗}(π ∘ i)_{∗}j_{x}^{∗}F →^{[1]} \\ (π ∘ u)^{∗}(π ∘ u)_{!}j_{xs}^{∗}F → j_{xs}^{∗}(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) → (π ∘ u)^{∗}(π ∘ i)_{∗}j_{x}^{∗}F →^{[1]} . \end{matrix}

Jetzt ist (π ∘ i) ein Isomorphismus und (π ∘ u) ist die Projektion von einem affinen Raum BxsB/B auf einen anderen BxP_{s}/P_{s} mit Faser ℂ, folglich ist (π ∘ u)_{!}\underline{BxsB/B} ≅ \underline{BxP_{s}/P_{s}}[−2]. Wenn wir nun F ∈ D_{B}(G/B)^{ev} annehmen, so gilt mit unseren beiden ausgezeichneten Dreiecken π_{s}^{∗}π_{s∗}F ∈ D_{B}(G/B)^{ev} und

rkH^{ν−2}j_{xs}^{∗}F + rkH^{ν}j_{x}^{∗}F = rkH^{ν}j_{x}^{∗}(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = rkH^{ν}j_{xs}^{∗}(π_{s}^{∗}π_{s∗}F).

Aus diesen Gleichungen folgt aber mit einer einfachen Rechnung in der Hecke-Algebra h(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = h(F)(T_{s} + 1).

Korollar 3.2.4. 1. Jedes F ∈ K läßt sich schreiben als F = F′ ⊕

F′′[1] mit F′, F′′ ∈ D_{B}(G/B)^{ev}.

2. Für F ∈ K, s ∈ S gilt h(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = h(F)(T_{s} + 1).

Beweis. Bleibt dem Leser überlassen.

Ich betrachte nun wie in [KL79] auf der Hecke-Algebra H die Involution i : H → H mit i(t) = t^{−1}, i(T_{x}) = (T_{x^{−1}})^{−1}.

Lemma 3.2.5. F ∈ K ⇒ h(𝔻F) = ih(F).

Beweis. Es reicht, folgende drei Aussagen zu zeigen: (1) Die Formel gilt für j_{e∗}\underline{B/B} und (2) stimmt die Formel für F, so auch (a) für F[1] und (b) für π_{s}^{∗}π_{s∗}F. Hier sind (1) und (2)(a) trivial, und wir müssen nur (2)(b) prüfen. In der Tat ist aber

h(𝔻π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = h(π_{s}^{!}π_{s!}𝔻F) = h(π_{s}^{∗}π_{s∗}𝔻F[2]) = (ih(F))(T_{s} + 1)t^{−2}

und

ih(π_{s}^{∗}π_{s∗}F) = i(h(F)(T_{s} + 1)) = h(𝔻F)(T_{s} + 1)t^{−2}

was zu zeigen war.

Für beliebiges X betrachte man den Hyperkohomologie-Funktor

c_{∗} = ℍ^{•} = ⨁_{ν} Hom_{D}(\underline{X}[ν], ) : D(X) → k-mod^{fl}.

Proposition 3.2.6. Für alle F, E ∈ K induziert Hyperkohomologie eine Injektion

Hom_{D}(F, E) → Hom_{k}(ℍ^{•}F, ℍ^{•}E).

Beweis. Sei ganz allgemein X ein topologischer Raum. Ist F ∈ D^{+}ShX, so berechnet sich die Hyperkohomologie ℍ^{•}F wie folgt: Man nehme eine injektive Auflösung F → I^{•} und dann ist ℍ^{•}F die Kohomologie des Komplexes Γ(I^{•}) der globalen Schnitte. Ist nun X = X_{0} ⊃ X_{1} ⊃ … ⊃ X_{r} = ∅ eine Filtrierung durch abgeschlossene Teilmengen, so ist Γ(I^{•}) filtriert durch Schnitte mit Träger in den X_{i},

0 = Γ_{X_{r}}(I^{•}) ⊂ … ⊂ Γ_{X_{0}}(I^{•}) = Γ(I^{•}).

Demnach ist ℍ^{•}F der Grenzwert einer Spektralsequenz mit E_{1}-Term

E_{1}^{p,q} = ℍ_{X_{p}−X_{p+1}}^{p+q}(F)

der lokalen Hyperkohomologie von F längs X_{p} − X_{p+1}. Ist v : Y → X eine lokal abgeschlossene Einbettung algebraischer Varietäten und F ∈ D(X), so wird ℍ_{Y}^{•} F = ℍ^{•}v^{!}F in unserem Formalismus.

Betrachten wir nun auf X = G/B die Filtrierung durch die

X_{p} = ⋃_{l(x)+p≤dimX} BxB/B.

Sei j_{p} : (X_{p} − X_{p+1}) ↪ X die Inklusion. Für F ∈ K degeneriert unsere Spektralsequenz

ℍ^{p+q}j_{p}^{!}F ⇒ ℍ^{•}F

schon an diesem E_{1}-Term: Das liegt daran, daß wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit 𝔻F ∈ D_{B}(G/B)^{ev} annehmen dürfen, und dann verschwinden alle E_{1}-Terme mit p + q ungerade und deshalb auch alle Differentiale.

Seien nun F, E ∈ K und f ∈ Hom_{D}(F, E). Verschwindet ℍ^{•}f, so ist notwendig 0 = j_{p}^{!}f ∈ Hom_{D}(j_{p}^{!}F, j_{p}^{!}E) für alle p, denn unsere Spektralsequenz degeneriert. Bezeichne i_{p} : X_{p} ↪ X die Inklusion. Wir haben eine Zerlegung

X_{p} − X_{p+1} ↪^{u} X_{p} ↩^{i} X_{p+1}

in eine offene und eine abgeschlossene Teilmenge und ein ausgezeichnetes Dreieck

(i_{!}i^{!}, id, u_{∗}u^{∗})i_{p}^{!}

aus dem wir folgern, daß i_{p+1}^{!}f = 0 = j_{p+1}^{!}f ⇒ i_{p}^{!}f = 0. Mit Induktion folgt also aus j_{p}^{!} = 0 ∀p, daß f = i_{0}^{!}f = 0.

Als nächstes berechnen wir die Dimension von Morphismenräumen zwischen Objekten aus K. Wir können auf der Hecke-Algebra einen involutiven Antiautomorphismus j : H → H erklären durch die Vorschrift j(t) = t^{−1}, j(T_{x}) = (T_{x})^{−1}. Zu zwei Elementen A, B ∈ H erkläre man ⟨A, B⟩(t) ∈ ℤ[t, t^{−1}] als den Koeffizienten von T_{e} im Produkt Aj(B).

Theorem 3.2.7. Für F, E ∈ K gilt

∑_{ν} dim_{k}Hom_{D}^{ν}(F, E)t^{−ν} = ⟨h(F), h(E)⟩(t).

Beweis. Für E = j_{e∗}B/B folgt das aus den Definitionen und der Adjunktion (j_{e}^{∗}, j_{e∗}). Um daraus den allgemeinen Fall zu erhalten müssen wir nur zeigen, daß unsere Formel gilt für ein Paar F, π_{s}^{∗}π_{s∗}E[2] genau dann, wenn sie für das Paar π_{s}^{∗}π_{s∗}F, E richtig ist.

Nun ist aber (π_{s}^{∗}, π_{s∗}) ein adjungiertes Paar und ebenso (π_{s!}, π_{s}^{!}) = (π_{s∗}, π_{s}^{∗}[2]), mithin auch (π_{s}^{∗}π_{s∗}, π_{s}^{∗}π_{s∗}[2]). Folglich ist die linke Seite unserer Formel im Theorem dieselbe für beide Paare. Wir müssen also nur zeigen, daß gilt

⟨a, bt^{−2}(T_{s} + 1)⟩ = ⟨a(T_{s} + 1), b⟩

für alle a, b ∈ H. In der Tat ist aber j(t^{−2}(T_{s} + 1)) = T_{s} + 1.

3.3. Perverse Garben auf G/B und G/P_{s}. Sei P(X) ⊂ D(X) die Kategorie der perversen Garben. Bezeichne H^{i} : D(X) → P(X) die perversen Kohomologie-Funktoren. Bezeichne P_{B}(G/P_{s}) die perversen Garben auf G/P_{s}, die glatt sind längs der B-Orbiten. Bezeichne weiter P_{P_{s}^{−1}}(G/B) die perversen Garben auf G/B, die glatt sind längs aller Strata BxP_{s}/B für x ∈ W. Wir wollen zeigen:

Theorem 3.3.1. Sei chark ≠ 2. So erklären die Funktoren π_{s}^{!}[−1] und H^{1}π_{s!} eine Äquivalenz von Kategorien P_{P_{s}^{−1}}(G/B) ≅ P_{B}(G/P_{s}).

Beweis. Zunächst zeigen wir, daß H^{1}π_{s!} : P(G/B) → P(G/P_{s}) rechtsadjungiert ist zu π_{s}^{!}[−1] : P(G/P_{s}) → P(G/B). In der Tat gilt für F ∈ P(G/B), E ∈ P(G/P_{s}) eine Gleichung

Hom_{D}(F, π_{s}^{!}[−1]E) = Hom_{D}(π_{s!}[1]F, E) = Hom_{D}(H^{1}π_{s!}[1]F, E),

die zweite Gleichheit da H^{i}π_{s!}[1]F = 0 für i > 0. Jetzt brauchen wir

Lemma 3.3.2. Sei chark ≠ 2. So gibt es eine Zerlegung π_{s∗}\underline{G/B} ≅ \underline{G/P_{s}} ⊕ \underline{G/P_{s}}[−2].

Beweis. Wir haben vollständig kanonische Morphismen

\underline{G/P_{s}} →^{a} π_{s∗}π_{s}^{∗}\underline{G/P_{s}} = π_{s∗}\underline{G/B} = π_{s!}π_{s}^{!}\underline{G/P_{s}}[−2] →^{b} \underline{G/P_{s}}[−2].

Nun wählen wir ganz unkanonisch eine kompakte reelle Form K ⊂ G mit maximalem Torus T = K ∩ B. So wird G/B = K/T und s ∈ S operiert auf K/T und läßt die Fasern von π_{s} stabil. Somit liefert s eine Involution auf π_{s∗}\underline{G/B} und sogar eine Involution in der Kategorie der Komplexe von Garben auf π_{s∗}I^{•}, wo ich mit I^{•} die kanonische welke Auflösung von \underline{G/B} im Sinne von Godement bezeichne. Nun zerfällt π_{s∗}I^{•} und damit auch π_{s∗}\underline{G/B} in Eigenräume unter dieser Involution, d.h. π_{s∗}\underline{G/B} = E^{+} ⊕E^{−}. Bezeichne p_{+}, p_{−} bzw. i_{+}, i_{−} die Projektionen bzw. Einbettungen dieser Zerlegung. Man überzeugt sich, daß 0 = p_{−} ∘ a = b ∘ i_{+} und daß p_{+} ∘ a sowie b ∘ i_{−} Isomorphismen sind. Das Lemma folgt.

Lemma 3.3.3. Sei chark ≠ 2. So gibt es natürliche Isomorphismen π_{s!}π_{s}^{!}F ≅ F ⊕ F[2] für F ∈ D(G/P_{s}).

Beweis. Wir finden

π_{s!}π_{s}^{!}F = RHom(\underline{G/P_{s}}, π_{s!}π_{s}^{!}F)
= π_{s∗}RHom(\underline{G/B}, π_{s}^{!}F)
= RHom(\underline{π_{s∗}G/B}, F)
= F ⊕ F[2]

wo der dritte Schritt Verdier-Dualität ist und der letzte das vorhergehende Lemma.

Bemerkung 3.3.4. Genauer haben wir also gezeigt: Jede Wahl einer Zerlegung

π_{s∗}\underline{G/B} ≅ \underline{G/P_{s}} ⊕ \underline{G/P_{s}}[−2]

liefert eine natürliche Äquivalenz zwischen den Funktoren F ↦ π_{s!}π_{s}^{!}F und F ↦ F ⊕ F[2].

Es folgt, daß für jedes F ∈ P(G/P_{s}) die Adjunktions-Abbildung (H^{1}π_{s!})(π_{s}^{!}[−1])F → F ein Isomorphismus ist.

Weiter brauchen wir:

Lemma 3.3.5. Der Funktor H^{1}π_{s!} : P_{P_{s}^{−1}}(G/B) → P_{B}(G/P_{s}) ist exakt.

Beweis. Es reicht zu zeigen, daß für F ∈ P_{P_{s}^{−1}}(G/B) gilt H^{2i}(π_{s!}F) = 0 ∀i. Es reicht das für alle einfachen Objekte von P_{P_{s}^{−1}}(G/B) zu zeigen, d.h. für alle IC(\overline{BxB/B}) = π_{s}^{!}[−1]IC(\overline{BxP_{s}/P_{s}}) mit x ∈ W, xs < x. Für diese Objekte folgt es aber aus dem vorhergehenden Lemma.

Schließlich zeigen wir, daß für alle F ∈ P_{P_{s}^{−1}}(G/B) die Adjunktions-Abbildung F → (π_{s}^{!}[−1])(H^{1}π_{s!})F ein Isomorphismus ist. Das ist offensichtlich für alle F von der Form π_{s}^{!}[−1]E mit E ∈ P_{B}(G/P_{s}), also für alle einfachen F. Es folgt für alle F mit dem Fünferlemma.

Korollar 3.3.6. Sei E ∈ P_{B}(G/P_{s}). So ist π_{s}^{!}[−1]E ∈ P(G/B), und E ist halbeinfach genau dann, wenn π_{s}^{!}[−1]E halbeinfach ist.

4. Topologie und Darstellungstheorie

Sei ab jetzt wieder die Charakteristik von k größer als die Coxeter-Zahl. (Im folgenden Unterabschnitt 4.1 ist diese Bedingung noch nicht nötig.)

4.1. Vorbemerkung. Ist X ein topologischer Raum, so können wir seinen Kohomologiering auffassen als die Endomorphismenalgebra der konstanten Garbe in der derivierten Kategorie,

H^{•}X = End_{D}^{•}\underline{X} = ⨁_{ν} Hom_{D}(\underline{X}, \underline{X}[ν]).

Ebenso können wir die Hyperkohomologie von einem Komplex von Garben F ∈ D^{+}ShX auffassen als

ℍ^{•}F = Hom_{D}^{•}(\underline{X}, F) = ⨁_{ν} Hom_{D}(\underline{X}, F[ν]).

Die Verknüpfung von Morphismen in der derivierten Kategorie macht also ℍ^{•}F in natürlicher Weise zu einem H^{•}X-Rechtsmodul. Ist f : X → Y eine stetige Abbildung und F ∈ D^{+}ShX, so haben wir natürlich

ℍ^{•}f_{∗}F = Hom_{D}^{•}(\underline{Y} , f_{∗}F) = Hom_{D}(\underline{X}, F) = ℍ^{•}F

vermittels \underline{X} = f^{∗}\underline{Y}, und man erkennt, daß die H^{•}Y -Operation auf ℍ^{•}f_{∗}F durch Restriktion vermittels H^{•}Y → H^{•}X aus der H^{•}X-Ope-ration auf ℍ^{•}F hervorgeht.

Ist andererseits F ∈ D^{+}ShY gegeben, so haben wir einen offensichtlichen Morphismus

ℍ^{•}F ⊗_{H^{•}Y} H^{•}X → ℍ^{•}f^{∗}F

oder, etwas anders geschrieben,

Hom_{D}^{•}(\underline{Y} , F) ⊗_{End}_{D}^{•}_{\underline{Y}} End_{D}^{•}\underline{X} → Hom_{D}^{•}(\underline{X}, f^{∗}F)
γ ⊗ a  ↦ f^{∗}(γ) ∘ a.

Wir zeigen, daß diese Abbildung in einem ganz speziellen Fall ein Isomorphismus ist.

Proposition 4.1.1. Sei chark ≠ 2. Sei π_{s} : G/B → G/P_{s} unsere Projektionsabbildung. So ist für alle F ∈ D(G/P_{s}) die gerade erklärte Abbildung

ℍ^{•}F ⊗_{H^{•}(G/P_{s})} H^{•}(G/B) → ℍ^{•}(π_{s}^{∗}F)

ein Isomorphismus von ℤ-graduierten ℍ^{•}(G/B)-Rechtsmoduln .

Beweis. Für diesen Beweis kürzen wir π_{s} : G/B → G/P_{s} mit π : X → Y ab. Da π glatt ist mit komplex eindimensionaler Faser gilt π^{∗} ≅ π^{!}[−2]. Es reicht also zu zeigen, daß die Abbildung

Hom_{D}^{•}(\underline{Y} , F) ⊗_{End}_{D}^{•}_{\underline{Y}} End_{D}^{•}(π^{!}\underline{Y}) → Hom_{D}^{•}(π^{!}\underline{Y} , π^{!}F),
γ ⊗ a  ↦ π^{!}(γ) ∘ a

ein Isomorphismus ist. Unter Verwendung der Adjunktion (π_{!}, π^{!}) reicht es sogar zu zeigen, daß

Hom_{D}^{•}(\underline{Y} , F) ⊗_{End}_{D}^{•}_{\underline{Y}} Hom_{D}^{•}(π_{!}, π^{!}\underline{Y} , \underline{Y}) → Hom_{D}^{•}(π_{!}π^{!}\underline{Y} , F)
γ ⊗ b  ↦ γ ∘ b

ein Isomorphismus ist. Hier können wir nun aber das Ergebnis π_{!}π^{!}\underline{Y} ≅ \underline{Y} ⊕ \underline{Y} [2] aus 3.3.2 verwenden.

4.2. Äquivalenz von K und C. Sei wieder C = H^{•}(G/B; k) die Koinvariantenalgebra alias der Kohomologiering der Fahnenmannigfaltigkeit. Sicher ist Hyperkohomologie ein Funktor ℍ^{•} : D(G/B) → C-mod^{fl}. Wir wollen zeigen:

Theorem 4.2.1. Hyperkohomologie induziert eine Äquivalenz von Kategorien ℍ^{•} : K → C.

Beweis. Wir gehen in Schritten vor.

1. Nach 4.1.1 haben wir für alle s ∈ S, F ∈ D(G/B) einen Isomorphismus graduierter C-Moduln ℍ^{•}π_{s}^{∗}π_{s∗}F ≅ C ⊗_{C^{s}} ℍ^{•}F her. Nun ist sicher ℍ^{•}(j_{e∗}\underline{B/B}) = k und aus den Definitionen folgt mühelos, daß ℍ^{•} einen Funktor von K nach C induziert.

2. Wir zeigen als nächstes, daß ℍ^{•} : K → C volltreu ist. Da unser Funktor nach Proposition 3.2.5 jedenfalls treu ist, müssen wir nur für alle F, E ∈ K zeigen, daß

dim_{k}Hom_{D}^{•}(F, E) = dim_{k}Hom_{C}(ℍ^{•}F, ℍ^{•}E).

Wir behaupten dazu ein kommutatives Diagramm

⟨K⟩ ⟶^{h} H
ℍ^{•} ↓  ↓ t = 1
⟨vC⟩ ⟶^{B} ℤ[W],

in der Tat landet die Klasse von π_{t}^{∗}π_{t∗} … π_{s}^{∗}π_{s∗}j_{e∗}\underline{B/B} auf dem oberen wie auf dem unteren Weg bei demselben Element (t + 1) … (s+1), für alle t, …, s ∈ S. Die Gleichheit der Dimensionen ist nun eine Konsequenz von 2.11.2, 3.2.6.

3. Schließlich gilt es zu zeigen, daß jedes Objekt aus C isomorph ist zur Hyperkohomologie eines Objekts aus K. Es reicht, für alle x ∈ W ein L_{x} ∈ K zu finden derart, daß ℍ^{•}L_{x} ≅ D_{x}. Wir machen eine Induktion über die Länge von x. Sicher können wir L_{e} = j_{e∗}\underline{B/B} nehmen. Um L_{x} zu konstruieren wählen wir eine reduzierte Zerlegung x = t … s (s, …, t ∈ S) und betrachten π_{s}^{∗}π_{s∗} … π_{t}^{∗}π_{t∗}L_{e}[l(x)]. Wir wissen, daß

\begin{aligned}ℍ^{•}(π_{s}^{∗}π_{s∗} … π_{t}^{∗}π_{t∗}L_{e}[l(x)]) = & C ⊗_{C^{s}} C … ⊗_{C^{t}} k⟨−l(x)⟩ \\ & = D_{x} ⊕ Rest, \end{aligned}

wo Rest eine Summe von D_{y}⟨ν⟩ ist mit y < x, ν ∈ ℤ. Nach Induktionsannahme ist Rest = ℍ^{•}L_{Rest} für geeignetes L_{Rest} ∈ K. Da wir schon wissen, daß ℍ^{•} : K → C volltreu ist, erhalten wir eine Zerlegung der Identität auf L_{Rest} in id = p ∘ i,

L_{Rest} →^{i} π_{s}^{∗}π_{s∗} … π_{t}^{∗}π_{t∗}L_{e}[l(x)] →^{p} L_{Rest}.

Vervollständigen wir i zu einem ausgezeichneten Dreieck

L_{Rest} →^{i} π_{s}^{∗}π_{s∗} … π_{t}^{∗}π_{t∗}L_{e}[l(x)] → L_{x} →^{d}

so verschwindet die Randabbildung d = (p ∘ i) ∘ d = p ∘ (i ∘ d). Also ist die Mitte isomorph zu L_{Rest} ⊕ L_{x} und ℍ^{•}L_{x} ≅ D_{x}.

Korollar 4.2.2. {L_{x}[ν]}_{x∈W,ν∈ℤ} ist ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen unzerlegbarer Objekte von K.

Wir können die L_{x} auch so charakterisieren:

Proposition 4.2.3. Die folgenden Bedingungen an L ∈ K sind gleichbedeutend:

1. L ist unzerlegbar, suppL ⊂ \overline{BxB/B} und j_{x}^{∗}L ≅ \underline{BxB/B}[l(x)].

2. L ≅ L_{x}.

Beweis. Für jede reduzierte Zerlegung x = t … s erfüllt das Objekt F = π_{s}^{∗}π_{s∗} … π_{t}^{∗}π_{t∗}L_{e}[l(x)] schon die Bedingungen j_{x}^{∗}F ≅ \underline{BxB/B}[l(x)] und suppF ⊂ \overline{BxB/B}. Die Proposition ist nun klar.

Korollar 4.2.4. 𝔻L_{x} ≅ L_{x} ∀x ∈ W.

Beweis. Bleibt dem Leser überlassen.

Wir zeigen nun Teil 2 im Theorem 1.3 aus der Einleitung.

Theorem 4.2.5. Für alle x, y ∈ W gilt

[M_{x} : L_{y}] = ∑_{i} dim(H^{i}L_{y})_{x}.

Beweis. Wir erinnern zunächst einmal an die Reziprozitätsformel [M_{x} : L_{y}] = (P_{y} : M_{x}). Dann betrachten wir das kommutative Diagramm

⟨K⟩ →^{ℍ^{•}} ⟨vC⟩ ⟶^{𝕍} ⟨pO⟩
↓ h ↓ B ↓ A
H ⟶^{t=1} ℤ[W] = ℤ[W]

nach dem Beweis von 4.2.1 und Abschnitt 2.11. Wir wissen schon, daß ℍ^{•}L_{x} ≅ D_{x} ≅ 𝕍P_{x}. Es folgt, daß h(L_{x}) an der Stelle t = 1 genau zu A(P_{x}) spezialisiert.

Schließlich gilt es noch, Korollar 1.5 aus der Einleitung zu zeigen.

Beweis. 2 ⇒ 1. Aus 2 folgt induktiv, daß alle L_{x} einfach perverse Garben sind, aufgrund der Charakterisierung der Schnittkohomologie in [BBD82] gilt also h(L_{x}) ∈ H_{x} + ∑_{y} vℤ[v]H_{y} in den Notationen von [Soe97]. Wir wissen aber schon nach 4.2.4, 3.2.4 daß h(L_{x}) = h(𝔻L_{x}) = ih(L_{x}) und damit folgt h(L_{x}) = C′_{x} mit C′_{x} wie in [KL79]. Die Vermutung von Lusztig besagen aber in unserem Fall (nach ihrer Übersetzung vermittels der Reziprozitätsformel) gerade A(P_{x}) = C′_{x}(1).

1 ⇒ 2. Bleibt dem Leser überlassen.

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