APPENDIX ZU “KAZHDAN-LUSZTIG-POLYNOME UND EINE KOMBINATORIK FÜR KIPP-MODULN”

WOLFGANG SOERGEL

Zusammenfassung. This is a brief exposition of part of Lusztig’s new work [Lus97] in the spirit of the paper, to which this is an appendix.

9. Existenz und Eindeutigkeit für selbstduale Basen

In diesem Abschnitt möchte ich erklären, inwieweit die Existenz und Eindeutigkeit unserer selbstdualen Basen in Wirklichkeit eine sehr allgemeine Tatsache ist. Sei (W, ≤) eine partiell geordnete Menge derart, daß unterhalb von jedem Element höchstens endlich viele andere Elemente liegen. Sei LW der freie L-Modul über W und d eine schieflineare Involution auf LW, also ein ℤ-linearer Endomorphismus mit d^{2} = id und d(vf) = v^{−1}d(f). Ein Element f ∈ LW mit d(f) = f nennen wir selbstdual.

Wir nehmen nun zusätzlich an, daß gilt

d(x) ∈ x + ∑_{y<x} Ly

für alle x ∈ W. So haben wir folgende allgemeine

Proposition 9.1. [Lus93] Es gibt für jedes x ∈ W genau ein selbstduales Element \underline{x} ∈ LW von der Form \underline{x} ∈ x + ∑_{y} vℤ[v]y. Für dies selbstduale Element \underline{x} gilt sogar \underline{x} ∈ x + ∑_{y<x} vℤ[v]y.

Beweis. Wir zeigen zunächst die Existenz. Für eine Teilmenge T ⊂ W definieren wir ihren “unteren Abschluß” T^{∧} ⊂ W durch

T^{∧} = {x ∈ W | ∃t ∈ T mit t ≥ x}.

Für f = ∑ f_{x}x ∈ LW definieren wir den Träger supp f ⊂ W durch supp f = {x | f_{x} ≠ 0}. Jetzt zeigen wir durch Induktion von oben

Behauptung 9.2. Für alle n gibt es \underline{x}_{n} ∈ x + ∑_{y<x} vℤ[v]y derart, daß im unteren Abschluß des Trägers von x_{n} − dx_{n} höchstens n Elemente liegen.

1991 Mathematics Subject Classification. 5E99, 17B37.

Natürlich können wir unsere Induktion bei m = card{y | y < x} mit \underline{x}_{m} = x starten und am Schluß ist \underline{x}_{0} unser gesuchtes \underline{x}. Sei nun ein mögliches \underline{x}_{n} bereits gefunden. Ist \underline{x}_{n} −d\underline{x}_{n} = 0, so können wir \underline{x}_{0} = \underline{x}_{n} nehmen und sind fertig. Sonst wählen wir z ∈ supp(\underline{x}_{n} −d\underline{x}_{n}) maximal. Schreiben wir dann \underline{x}_{n} − d\underline{x}_{n} = ∑_{y} f_{y}y, so wechseln beide Seiten unter d ihr Vorzeichen und es folgt \overline{f_{z}} = −f_{z}. Wir können also f_{z} schreiben als f_{z} = g_{z} − \overline{g_{z}} mit g_{z} ∈ vℤ[v], und man überzeugt sich leicht, daß ein mögliches \underline{x}_{n−1} gegeben wird durch \underline{x}_{n−1} = \underline{x}_{n} − g_{z}z. Das zeigt die Behauptung und die Existenz unserer \underline{x}.

Die Eindeutigkeit folgt sofort aus

Behauptung 9.3. Für f ∈ ∑_{y} vℤ[v]y folgt aus f = df schon f = 0.

Schreiben wir f = ∑ f_{y}y und wählen z maximal mit f_{z} ≠ 0, so folgt aus f = df schon f_{z} = \overline{f}_{z} im Widerspruch zu f_{z} ∈ vℤ[v]. Das zeigt die Behauptung, und die Proposition ist bewiesen.

Fordern wir von der partiell geordneten Menge W nur, daß alle ihre Intervalle endlich sind, so betrachten wir allgemeiner den L-Modul L̂W = {f : W → L | Es gibt eine endliche Teilmenge T ⊂ W mit supp f ⊂ T^{∧}}. Elemente von L̂W schreiben wir als formale unendliche Linearkombination f = ∑^{∞} f(x)x.

Sei nun d eine schieflineare Involution auf L̂W mit der Stetigkeitseigenschaft supp(df) ⊂ (supp f)^{∧} ∀f ∈ L̂W. Gilt zusätzlich d(x) ∈ x + ∑_{y<x}^{∞} Ly ∀x ∈ W, so haben wir in Verallgemeinerung der obigen Proposition 9.1 folgende

Proposition 9.4. [Lus93] Es gibt für jedes x ∈ W genau ein selbstduales \underline{x} ∈ L̂W von der Form \underline{x} ∈ x + ∑^{∞} vℤ[v]y, und dies \underline{x} ist sogar von der Form \underline{x} ∈ x + ∑_{y<x} vℤ[v]y.

Beweis. Der Beweis ist mutatis mutandis derselbe wie eben, um den Koeffizienten von \underline{x} an der Stelle z ∈ W zu bestimmen müssen wir nur induktiv das Intervall {y | x ≥ y ≥ z} abarbeiten.

10. Die parabolischen periodischen Hecke-Moluln

In diesem Abschnitt stelle ich Resultate aus [Lus97] vor. Sei Δ_{ι} ⊂ Δ eine Teilmenge der einfachen Wurzeln. Wir bezeichnen mit W_{ι} ⊂ W die von Spiegelungen zu Wurzeln aus Δ_{ι} erzeugte Untergruppe und mit W_{(ι)} ⊂ W die Untergruppe, die von allen Spiegelungen an Spiegelebenen erzeugt wird, auf denen eine Wurzel aus Δ_{ι} senkrecht steht. Es ist also W_{ι} ⊂ W_{(ι)}, genauer gilt W_{ι} = W_{(ι)} ∩ W. Die Alkoven zu W_{(ι)} nennen wir “Δ_{ι}-Streifen” oder kurz “ι-Streifen” in Verallgemeinerung der α-Streifen aus Abschnitt 4. Der ι-Streifen, der den fundamentalen dominanten Alkoven A^{+} enthält, heißt auch der “fundamentale dominante ι-Streifen.” Wir setzen A^{ι} = {A ∈ A | A liegt im fundamentalen dominanten ι-Streifen} und können die parabolischen periodischen Hecke-Moduln einführen.

Lemma 10.1. [Lus97] Auf dem freien L-Modul P^{ι} = ⨁_{A∈A^{ι}} LA über A^{ι} gibt es genau eine Rechtsoperation von H derart, daß für alle s ∈ S, A ∈ A^{ι} gilt

A · \underline{H}_{s} = \begin{cases}As + vA & falls As ≻ A, As ∈ A^{ι}; \\ As + v^{−1}A & falls As ≺ A, As ∈ A^{ι}; \\ (v + v^{−1})A & falls As ∉ A^{ι}. \end{cases}  (1)

Bemerkung 10.2. Wir benutzen die Notation A·\underline{H}_{s}, um die Operation von H auf P^{ι} zu unterscheiden von der Operation auf P.

Beweis. Wir betrachten zunächst den L-Modul P^{∗} aller Abbildungen f : A → L. Seine Elemente fassen wir auf als unendliche formale Linearkombination f = ∑_{A∈A}^{∞} f(A)A und haben so eine offensichtliche Einbettung P ↪ P^{∗}. Unsere H-Rechtsoperation auf P läßt sich in offensichtlicher Weise auf P^{∗} ausdehnen. Formal ist P^{∗} = Hom_{L}(P, L), aufgefaßt als H-Rechtsmodul mithilfe unseres Antiautomorphismus i : H → H.

Bezeichne F_{ι} ⊂ F die Menge der Spiegelebenen zu Spiegelungen von W_{(ι)}. Wir definieren für je zwei Alkoven A, B ∈ A ihre “relative ι-Höhe” d_{ι}(A, B) ∈ ℤ durch

d_{ι}(A, B) = card{H ∈ F_{ι} | A ⊂ H^{−}, B ⊂ H^{+}}
− card{H ∈ F_{ι} | A ⊂ H^{+}, B ⊂ H^{−}}.

Natürlich hängt diese Zahl nur von den ι-Streifen von A und B ab. Anschließend definieren wir die L-lineare Abbildung

\begin{aligned}sum = sum_{ι} : & P^{ι} ↪ P^{∗} \\ & A ↦ ∑_{x∈W_{(ι)}}^{∞} v^{d_{ι}(xA,A)}xA \end{aligned}

für alle A ∈ A^{ι} und das Lemma folgt sofort aus

Behauptung 10.3. Ist für A ∈ A^{ι}, s ∈ S das Element A · \underline{H}_{s} ∈ P^{ι} definiert durch die Fallunterscheidung in unserem Lemma, so gilt

sum(A · \underline{H}_{s}) = (sum A)\underline{H}_{s}.

Zeigen wir also diese Behauptung. Nun, ist R_{ι} ⊂ R das von Δ_{ι} ⊂ Δ erzeugte Unterwurzelsystem, so gilt w(R^{+} − R_{ι}) = R^{+} − R_{ι} ∀w ∈ W_{ι}.

Sind also A, As ∈ A^{ι}, so gilt As ≻ A ⇒ xAs ≻ xA ∀x ∈ W_{(ι)}. Das erledigt die beiden ersten Fälle in unserer Fallunterscheidung. Im letzten Fall ist As = zA für geeignetes z ∈ W_{(ι)} und wir können schreiben

sum A = ∑_{xA≻xAs}^{∞} v^{d_{ι}(xA,A)}(xA + v(xAs)).

Nun gilt aber für B ∈ A mit B ≻ Bs in der Tat (B + vBs)\underline{H}_{s} = (v + v^{−1})(B + vBs) und wir folgern

(sum A)\underline{H}_{s} = (v + v^{−1}) sum A = sum(A · \underline{H}_{s}).

Zur späteren Verwendung notieren wir noch

Lemma 10.4. Die Abbildung sum = sum_{ι} : P^{ι} ↪ P^{∗} ist ein Homomorphismus von H-Rechtsmoduln.

Beweis. Das ist nur eine Umformulierung der Behauptung 10.3.

Für jedes ganze Gewicht λ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens definieren wir E_{λ}^{ι} ∈ P^{ι} durch die Formel

E_{λ}^{ι} = ∑_{A∈A^{ι},λ∈Ā} v^{f(A)}A,

wo Ā ausnahmsweise den Abschluss von A bezeichnet, f : {A ∈ A^{ι} | λ ∈ Ā} → ℕ gegeben ist durch f(λ + xA^{+}) = l(x) − m, und m gerade so gewählt wird, daß die Funktion f den Wert Null annimmt, also m = min{l(x) | x ∈ W, λ + xA^{+} ∈ A^{ι}}.

Sei P_{∘}^{ι} ⊂ P^{ι} der von allen E_{λ}^{ι} erzeugten H-Untermodul.

Proposition 10.5. Es gibt auf P_{∘}^{ι} genau eine H-schieflineare Involution P_{∘}^{ι} → P_{∘}^{ι}, P ↦ \overline{P} derart, daß gilt \overline{E_{λ}^{ι}} = E_{λ}^{ι} für alle ganzen Gewichte λ im Abschluß des dominanten ι-Streifens.

Beweis. Verschoben.

Um die Existenz von kanonischen selbstdualen Basen zu garantieren, arbeiten wir im “nach unten vervollständigten” Hecke-Modul

P̂^{ι} = {f : A^{ι} → L | Es gibt C ∈ A^{ι} so daß f(A) ≠ 0 ⇒ A ⪯ C}.

Für je zwei C_{1}, C_{2} ∈ A^{ι} gibt es C ∈ A^{ι} mit C_{1} ⪯ C, C_{2} ⪯ C. Also ist P̂^{ι} ein L-Untermodul im Raum aller Funktionen von A^{ι} nach L. Wir schreiben Elemente f ∈ P̂^{ι} als formale Linearkombinationen f = ∑^{∞} f_{A}A mit f_{A} = f(A). Unsere Rechtsoperation von H auf P^{ι} setzen wir in der offensichtlichen Weise auf P̂^{ι} fort. Für f ∈ P̂^{ι} definieren wir den Träger supp f ⊂ A^{ι} durch supp f = {A ∈ A^{ι} | f(A) ≠ 0} und für jede Teilmenge T ⊂ A^{ι} bezeichnet T^{∧} = {A ∈ A^{ι} | ∃C ∈ T mit A ⪯ C} ihren unteren Abschluß.

Theorem 10.6. 1. Es gibt auf P̂^{ι} genau eine H-schieflineare Involution P̂^{ι} → P̂^{ι}, P ↦ \overline{P} derart, daß gilt supp \overline{P} ⊂ (supp P)^{∧} für alle P ∈ P̂^{ι} und \overline{E_{λ}^{ι}} = E_{λ}^{ι} für alle ganzen Gewichte λ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens.

2. Für alle A ∈ A^{ι} gibt es genau ein (unter dieser Involution) selbstduales \underline{P} _{A}^{ι} ∈ P̂^{ι} von der Form \underline{P} _{A}^{ι} ∈ A + ∑_{B}^{∞} vℤ[v]B.

Bemerkungen 10.7. 1. Unsere Proposition 10.5 folgt sofort aus Teil 1 des Theorems, ist aber ein wichtiger Teilschritt im Beweis desselben.

2. Eine zentrale offene Frage der hier vorgestellten Theorie ist, ob die selbstdualen \underline{P} _{A}^{ι} schon endliche Summen sind, ob also gilt \underline{P} _{A}^{ι} ∈ P^{ι} ∀A ∈ A^{ι}.

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit in Teil 1. Wir finden ja für alle A ∈ A^{ι} eine Folge s, t, …, r ∈ S so, daß A ≻ As ≻ Ast ≻ … ≻ Ast … r wobei alle diese Alkoven im fundamentalen dominanten ι-Streifen liegen und Ast … r = λ+A^{+} für ein geeignetes ganzes Gewicht λ. Dann ist natürlich D_{A} = E_{λ} · (\underline{H}_{r} … \underline{H}_{s}) ∈ P_{0}^{ι} selbstdual und von der Form D_{A} ∈ A + ∑_{B≺A} LB. Indem wir uns von oben nach unten hangeln können wir nun jedes P ∈ P̂^{ι} schreiben als unendliche formale Linearkombination P = ∑^{∞} p_{A}D_{A} mit p_{A} ∈ L und haben notwendig \overline{P} = ∑^{∞} \overline{p_{A}}D_{A}. Mithin ist die Dualität durch unsere Bedingungen eindeutig festgelegt. Wir erhalten zusätzlich \overline{A} ∈ A + ∑_{B≺A}^{∞} LB für alle A ∈ A^{ι} und können somit Proposition 9.4 anwenden, um Teil 2 des Theorems aus Teil 1 zu folgern.

Das eigentliche Problem ist also der Nachweis der Existenz unserer Involution in Teil 1. Wir werden nach einigen Vorarbeiten darauf zurückkommen.

Sei T_{(ι)} ⊂ W_{(ι)} die Menge der Translationen aus W_{(ι)}. Es gibt einen Homomorphismus d = d_{ι} : T_{(ι)} → ℤ mit d(λ) = d_{ι}(λ) = d_{ι}(A, λ+A) für alle A ∈ A. Nebenbei bemerkt landet d sogar in den geraden ganzen Zahlen.

Wir definieren nun einen Homomorphismus von H-Rechtsmoduln Sum : P_{∘} → P^{∗} durch die Vorschrift

\begin{aligned}Sum & : & P_{∘} → P^{∗} \\ & & P ↦ ∑_{λ∈T_{(ι)}}^{∞} v^{−d(λ)}⟨λ⟩P. \end{aligned}

Offensichtlich gilt Sum E_{μ} ∈ sum P^{ι} für alle μ ∈ X und folglich Sum P_{∘} ⊂ sum P^{ι}. Mithin können wir einen Homomorphismus von H-Rechtsmoduln

re Sum : P_{∘} → P^{ι}

definieren durch die Vorschrift sum ∘re Sum = Sum .

Sei w_{ι} ∈ W_{ι} das längste Element. Der Schlüssel zur Definition der Dualität auf P_{∘}^{ι} ist folgendes

Lemma 10.8. Der Kern von re Sum : P_{∘} → P^{ι} ist stabil unter P ↦ ⟨w_{ι}⟩\overline{P}.

Beweis. Verschoben.

Beweis von Proposition 10.5. Aus dem Lemma folgt, daß die schieflineare Dualität P ↦ ⟨w_{ι}⟩\overline{P} eine schieflineare Dualität auf dem Bild von re Sum in P^{ι} induziert. Nun ist aber das Bild von re Sum gerade P_{∘}^{ι}. Bezeichnen wir genauer für ein ganzes Gewicht λ ∈ X mit λ^{ι} das dazu unter W_{(ι)} konjugierte Gewicht im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens, so gilt

re Sum E_{λ} = v^{−d_{ι}(λ+A^{+},A^{+})}E_{λ^{ι}}^{ι}

und wir sehen, daß unter der induzierten Dualität E_{μ}^{ι} selbstdual ist für alle μ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens.

Beweis von Lemma 10.8. Das Lemma würde natürlich sofort folgen aus einer Formel der Gestalt ⟨w_{ι}⟩\overline{Sum P} = Sum⟨w_{ι}⟩\overline{P}. Leider ist die linke Seite hier nicht definiert, denn wir kennen weder eine Dualität noch eine Operation von W auf P^{∗}. Wir werden der linken Seite dennoch einen Sinn geben und so das Lemma zeigen.

Zunächst erinnern wir an die Definition der Dualität auf P_{∘}. Diese setzt sich ja zusammen als \overline{P} = v^{r}⟨w_{∘}⟩cP, wo die H-schieflineare Involution c sich offensichtlich auf P^{∗} ausdehnen läßt zu

c : ∑^{∞} g_{A}A ↦ ∑^{∞} \overline{g_{A}}(w_{∘}A).

Natürlich reicht es für unsere Zwecke auch, wenn wir einer Formel der Gestalt v^{r}⟨w_{ι}w_{∘}⟩c(Sum P) = Sum⟨w_{ι}⟩\overline{P} Sinn geben können.

Nun lassen sich zwar die Operatoren ⟨s_{β}⟩ : P_{∘} → P_{∘} nicht mehr sinnvoll auf P^{∗} ausdehnen, sie lassen sich aber immer noch ausdehnen zu Endomorphismen der H-Rechtsmoduln

P_{β}^{∗} = {∑^{∞} f_{A}A | Für jede β-Kette K ⊂ A gilt ∑_{A∈K} f_{A}A ∈ P_{β}}

(Vergleiche hierzu den Beweis von Proposition 6.6.) Wir schreiben dann w_{ι}w_{∘} = s_{β(l)} … s_{β(1)} als unverkürzbares Produkt von einfachen Spiegelungen an den einfachen Wurzeln β(i) ∈ Δ und zeigen folgende Behauptung 10.9. Sei P ∈ P_{∘}. So gilt ⟨s_{β(i)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩c(Sum P) ∈ P_{β(i+1)}^{∗} für i = 0, 1, …, l − 1 und

v^{r}⟨s_{β(l)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩c(Sum P) = Sum⟨w_{ι}⟩\overline{P} .

Diese Behauptung ist nun eine präzise Aussage, aus der offensichtlich unser Lemma folgt. Es reicht natürlich, die Behauptung für P = E_{μ} mit μ ∈ X zu prüfen. Wir erhalten

\begin{aligned}Sum E_{μ} & = & ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{−d(λ)}E_{λ+μ} \\ v^{r}c(Sum E_{μ}) & = & ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{d(λ)}E_{w_{∘}(λ+μ)} \end{aligned}

und für i = 0, 1, …, l − 1 folgt induktiv die Formel

⟨s_{β(i)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩v^{r}c(Sum E_{μ}) = ∑_{λ∈T_{ι}} v^{d(λ)}E_{s_{β(i)}...s_{β(1)}w_{∘}(λ+μ)}

sowie, da β(i + 1) ∉ s_{β(i)} … s_{β(1)}w_{∘}R_{ι}, der erste Teil der Behauptung. Schließlich erhalten wir so

⟨s_{β(l)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩v^{r}c(Sum E_{μ}) = ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{d(λ)}E_{w_{ι}(λ+μ)}
= ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{−d(λ)}⟨λ⟩⟨w_{ι}⟩E_{μ}
= Sum⟨w_{ι}⟩\overline{E}_{μ},

und da d(w_{ι}λ) = −d(λ) ist das genau der zweite Teil der Behauptung.

Damit ist die Proposition 10.5 bewiesen. Um auch das Theorem 10.6 zu zeigen, müssen wir allerdings nochmal auf diesen Beweis zurückkommen und ihm eine etwas feinere Aussage abgewinnen.

Für einen Alkoven A ∈ A bezeichne b(A) ∈ V seinen Schwerpunkt. Für P ∈ P^{∗} schreiben wir kurz bsupp(P) für die Menge b(supp P) aller Schwerpunkte von Alkoven im Träger von P.

Lemma 10.10. Sei K ⊂ V eine konvexe Teilmenge, die stabil ist unter Verschiebung mit Wurzeln aus R_{ι}. So ist die Menge aller P ∈ P_{0}^{ι} mit bsupp(P) ⊂ K stabil unter unserer Involution auf P_{0}^{ι}.

Beweis. Sei α ∈ Δ, R ∈ P_{α}^{∗} und T ⊂ V eine konvexe Teilmenge mit bsupp(R) ⊂ T. So folgt aus den Definitionen sofort bsupp(⟨s_{α}⟩R) ⊂ s_{α}T, wir brauchen sogar nur anzunehmen, daß T jede Gerade mit Richtungsvektor α in einem Intervall trifft. Um das Lemma zu folgern, schreiben wir P = re Sum Q für Q ∈ P_{0}. Natürlich gilt dann bsupp(Sum Q) ⊂ K und mit der Behauptung 10.9 folgt

bsupp(Sum⟨w_{ι}⟩\overline{Q}) ⊂ K.

Das Lemma ergibt sich sofort.

Mit diesem Lemma ist nun der Weg frei zum noch ausstehenden Beweis der Existenz der Involution in Theorem 10.6.

Beweis von Theorem 10.6, Schluss. Sei κ ∈ V^{∗} eine Linearform mit κ(α) = 0 ∀α ∈ Δ_{ι} und κ(α) > 0 ∀α ∈ Δ − Δ_{ι}. Betrachten wir nun die Halbräume K_{t} = {v | κ(v) ≤ t} und erklären auf P̂^{ι} die Struktur einer (additiven) topologischen Gruppe durch die Vorschrift, daß die Untergruppen {P ∈ P̂^{ι} | bsupp(P) ⊂ K_{t}} ein fundamentales System von Umgebungen der Null bilden soll. Diese Topologie hängt von der Wahl von κ ab und ist nur ein Hilfsvehikel für diesen Beweis.

Leider ist P̂^{ι} nicht vollständig für unsere Topologie. Bezeichne P̃^{ι} seine Vervollständigung. Wir können und werden P̃^{ι} identifizieren mit der Menge aller Abbildungen f : A^{ι} → L derart, daß für beliebig kleine t immer nur endlich viele Alkoven von supp f ihren Schwerpunkt außerhalb von K_{t} haben. Die Multiplikation von rechts mit Elementen der Hecke-Algebra ist offensichtlich stetig und läßt sich daher stetig auf P̃^{ι} ausdehnen. Weiter liegt P_{0}^{ι} dicht in P̃^{ι}, für jedes P ∈ P̃^{ι} gibt es ja höchstens endlich viele A ∈ supp P mit b(A) ∉ K_{t}, und indem wir uns über diese endliche Menge E nach unten hangeln können wir schreiben P = ∑_{A∈E} c_{A}D_{A} + Rest für geeignetes c_{A} ∈ L, D_{A} ∈ P_{0}^{ι} der Form D_{A} = A + ∑_{B≺B} LB und Rest ∈ P̃^{ι} mit bsupp(Rest) ⊂ K_{t}.

Das Lemma 10.10 sagt uns nun, daß unsere Involution auf P_{0}^{ι} stetig ist. Sie läßt sich also in eindeutiger Weise stetig auf die Komplettierung P̃^{ι} fortsetzen, und ist dort H-schieflinear. Wir bezeichnen diese Involution auf P̃^{ι} auch mit P ↦ \overline{P} und müssen nur noch zeigen, daß supp \overline{P} ⊂ (supp P)^{∧} für alle P ∈ P̃^{ι}. (Dann folgt automatisch auch, daß P̂^{ι} ⊂ P̃^{ι} stabil ist unter P ↦ \overline{P}.)

Wir haben ja schon beim Beweis der Eindeutigkeit gesehen, daß es für jedes A ∈ A^{ι} ein selbstduales D_{A} ∈ P_{0}^{ι} von der Form D_{A} ∈ A + ∑_{B≺A} LB gibt. Wählen wir solche D_{A}, so können wir jedes P ∈ P̃^{ι} entwickeln als eine konvergierende Summe P = ∑^{∞} c_{A}D_{A}, für beliebig kleines t gibt es also stets nur endlich viele A mit c_{A} ≠ 0 und b(A) ∉ K_{t}. Dann ist natürlich notwendig \overline{P} = ∑^{∞} \overline{c_{A}}D_{A}, und das zeigt supp \overline{P} ⊂ (supp P)^{∧}. Das Theorem ist bewiesen.

Literatur

[Lus93] George Lusztig, Introduction to quantum groups, Progress in Mathematics, vol. 110, Birkhäuser, 1993.

[Lus97] George Lusztig, Periodic W -graphs, Representation Theory 1 (1997), 207–

Universität Freiburg, Mathematisches Institut, Eckerstraße 1, D-79104 Freiburg, Germany

E-mail address: soergel@mathematik.uni-freiburg.de