KAZHDAN-LUSZTIG-POLYNOME UND EINE KOMBINATORIK FÜR KIPP-MODULN

WOLFGANG SOERGEL

Zusammenfassung. This article gives a selfcontained treatment of the theory of Kazhdan-Lusztig polynomials with special emphasis on affine reflection groups. There are only few new results but quite some new proofs. We close with a conjectural character formula for tilting modules, which formed the starting point of these investigations. As a later addition, we include a brief treatment of Lusztig’s new periodic W-graphs and Bernstein’s generators and relations for the affine Hecke algebra. (Version vom 12.3.2001.)

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 2 2. Die gewöhnlichen Kazhdan-Lusztig-Polynome 2 3. Die parabolischen Polynome 7 4. Die periodischen Polynome 16 5. Einige Formeln für affine Spiegelungsgruppen 25 6. Die generischen Polynome 29 7. Beziehung zu Kippmoduln 34 8. Das Beispiel B_{2} 37 9. Existenz und Eindeutigkeit für selbstduale Basen 38 10. Die parabolischen periodischen Hecke-Moluln 39 11. Bernstein’s Darstellung der affinen Hecke-Algebra 45 12. Notationen 48 Literatur 50

1991 Mathematics Subject Classification. 5E99, 17B37.

1. Einleitung

Bei dem Versuch, Kazhdan-Lusztig-Vermutungen für Kipp-Moduln aufzustellen, habe ich mich in die Literatur über Kazhdan-Lusztig-Polynome vertieft, insbesondere in die Arbeiten von Kazhdan-Lusztig [KL79], Lusztig [Lus80a], Andersen [And86], Kato [Kat85], Kaneda [Kan87] und Deodhar [Deo87, Deo91]. Es erschien mir sinnvoll, diese Quellen neu zu fassen, um sie leichter zugänglich zu machen. Damit beschäftigen sich die ersten Abschnitte dieser Arbeit. Das einzig neue Resultat hier ist Theorem 5.1, neu sind jedoch manche Beweise und auch die Darstellung als Ganzes (die im Ansatz allerdings auch schon in [Mil] und [Lus91] zu finden ist). Insbesondere kommen die sogenannten R-Polynome in meiner Darstellung nicht mehr explizit vor. Im letzten Abschnitt erreiche ich dann mein ursprüngliches Ziel und gebe eine Vermutung für den Charakter eines Kipp-Moduls an. Es folgt ein graphisch dargestelltes Beispiel und ein Verzeichnis der wichtigsten Notationen. Eine Darstellung der Grundlagen dieses Artikels, die die Resultate des folgenden Abschnitts einschließt, findet man in [Hum90]. Für den dritten Abschnitt vergleiche man auch [Deo94].

Ich danke Henning Haahr Andersen, der mir seine Notizen mit verwandten Überlegungen zur Verfügung stellte, und Corinne Blondel, Michèle Couillens, Caroline Gruson, Jens Carsten Jantzen, Friedrich Knop und George Lusztig für ihre hilfreichen Kommentare zu vorläufigen Fassungen.

2. Die gewöhnlichen Kazhdan-Lusztig-Polynome

Sei (W, S) ein Coxeter-System, l : W → ℕ die zugehörige Längenfunktion und ≤ die Bruhat-Ordnung auf W. Insbesondere bedeutet x < y also x ≤ y, x ≠ y. Bezeichne L = ℤ[v, v^{−1}] den Ring der Laurentpolynome über ℤ in einer Variablen v. Auf dem freien L-Modul

H = H(W, S) = ⨁_{x∈W} LT_{x}

über W gibt es genau eine Struktur einer assoziativen L-Algebra derart, daß T_{x}T_{y} = T_{xy} falls l(x)+l(y) = l(xy) und T_{s}^{2} = v^{−2}T_{e}+(v^{−2}−1)T_{s} für alle s ∈ S, siehe [Bou81], IV, §2, Exercice 23. Diese assoziative Algebra H heißt die Hecke-Algebra von (W, S). Sie ist unitär mit Eins-Element T_{e}, wir kürzen deshalb auch oft T_{e} = 1 ab.

Die Hecke-Algebra kann auch beschrieben werden als die assoziative L-Algebra mit den Erzeugern {H_{s}}_{s∈S} (für H_{s} = vT_{s}), den quadratischen Relationen

(H_{s} + v)(H_{s} − v^{−1}) = 0 alias H_{s}^{2} = 1 + (v^{−1} − v)H_{s}

sowie den sogenannten Zopf-Relationen H_{s}H_{t} … H_{s} = H_{t}H_{s} … H_{t} bzw. H_{s}H_{t}H_{s} … H_{t} = H_{t}H_{s}H_{t} … H_{s} wenn gilt st … s = ts … t beziehungsweise sts … t = tst … s für s, t ∈ S. Alle H_{s} sind invertierbar, genauer prüft man leicht die Formel H_{s}^{−1} = H_{s} + (v − v^{−1}).

Wir arbeiten von nun an mit H_{x} = v^{l(x)}T_{x}. Sicher gilt auch H_{x}H_{y} = H_{xy} falls l(x)+l(y) = l(xy). Mit den H_{s} sind also auch alle H_{x} Einheiten in H. Wir können involutive Automorphismen a, b : H → H definieren durch die Vorschrift

\begin{matrix}a(v) = −v, & a(H_{y}) = (−1)^{l(y)}H_{y}, \\ b(v) = −v^{−1}, & b(H_{x}) = H_{x}, \end{matrix}

und involutive Antiautomorphismen δ, i : H → H durch die Vorschrift

\begin{matrix}δ(v) = v^{−1}, & δ(H_{x}) = H_{x}^{−1}, \\ i(v) = v, & i(H_{x}) = H_{x^{−1}}. \end{matrix}

Diese vier Involutionen kommutieren paarweise und definieren mithin eine Operation von (ℤ/2ℤ)^{4} auf H, die für nichtkommutatives W sogar treu ist. Insbesondere ist d = iδ : H → H ein involutiver Automorphismus von H, die sogenannte Dualität, und man prüft leicht

d(H_{x}) ∈ H_{x} + ∑_{y<x} LH_{y},

indem man H_{x} als ein Produkt von H_{s} mit s ∈ S schreibt. Der Automorphismus d spielt in der Theorie der Kazhdan-Lusztig-Polynome eine fundamentale Rolle. Wir schreiben oft d(H) = \overline{H}, es gilt also \overline{v} = v^{−1} und \overline{H}_{x} = (H_{x^{−1}})^{−1}. Wir nennen H ∈ H selbstdual genau dann, wenn gilt \overline{H} = H.

Theorem 2.1 ([KL79]). Für alle x ∈ W gibt es genau ein selbstduales \underline{H}_{x} ∈ H mit \underline{H}_{x} ∈ H_{x} + ∑_{y} vℤ[v]H_{y}.

Bemerkung 2.2. In [KL79] wird unser \underline{H}_{x} mit C′_{x} bezeichnet. Weiter arbeiten Kazhdan und Lusztig mit der Variablen q = v^{−2} und mit der L-Basis der T_{x}.

Wir geben für dies Theorem zwei Beweise, um verschiedene Aspekte dieser zentralen Aussage zu beleuchten.

Erster Beweis. Wir wissen ja schon, daß gilt \overline{H_{s}} = H_{s}^{−1} = H_{s}+(v−v^{−1}) für alle s ∈ S. Insbesondere ist H_{s} + v selbstdual, und sobald wir die Eindeutigkeit der \underline{H}_{x} gezeigt haben, können und werden wir H_{s} + v mit \underline{H}_{s} abkürzen.

Die Rechtsmultiplikation von (H_{s} +v) auf H wird beschrieben durch die Formeln

H_{x}(H_{s} + v) = \begin{cases}H_{xs} + vH_{x} & falls xs > x; \\ H_{xs} + v^{−1}H_{x} & falls xs < x. \end{cases}

Wir beginnen nun mit dem Beweis der Existenz und zeigen dazu durch Induktion über die Bruhat-Ordnung die stärkere

Behauptung 2.3. Es gibt für alle x ∈ W ein selbstduales \underline{H}_{x} ∈ H mit \underline{H}_{x} ∈ H_{x} + ∑_{y<x} vℤ[v]H_{y}.

Sicher können wir die Induktion mit \underline{H}_{e} = H_{e} = 1 beginnen. Sei nun x ∈ W gegeben und sei die Existenz von \underline{H}_{y} bekannt für alle y < x. Falls x ≠ e finden wir s ∈ S mit xs < x und nach Induktionsvoraussetzung gilt

\underline{H}_{xs}(H_{s} + v) = H_{x} + ∑_{y<x} h_{y}H_{y}

für geeignete h_{y} ∈ ℤ[v]. Wir bilden

\underline{H}_{x} = \underline{H}_{xs}(H_{s} + v) − ∑_{y<x} h_{y}(0)\underline{H}_{y},

und unsere Induktion läuft. Damit wissen wir, daß es die in der Behauptung beschriebenen \underline{H}_{x} gibt. Die Eindeutigkeit der \underline{H}_{x} folgt leicht aus

Behauptung 2.4. Für H ∈ ∑_{y} vℤ[v]H_{y} folgt aus H = \overline{H} schon H = 0.

Sicher gilt H_{x} ∈ \underline{H}_{x} + ∑_{y<x} L\underline{H}_{y} für \underline{H}_{x} wie in der schon gezeigten Behauptung 2.3 und folglich \overline{H_{x}} ∈ H_{x} + ∑_{y<x} LH_{y} für alle x ∈ W. Schreiben wir nun H = ∑ h_{y}H_{y} und wählen z maximal mit h_{z} ≠ 0, so folgt aus H = \overline{H} schon h_{z} = \overline{h}_{z} im Widerspruch zu h_{z} ∈ vℤ[v]. Das zeigt die Behauptung, und das Theorem ist bewiesen.

Zweiter Beweis. Das Theorem folgt sofort aus der sehr allgemeinen Proposition 9.1.

In einer abelschen Gruppe E mit Involution d bezeichne E^{+} ⊂ E die Untergruppe der selbstdualen Elemente E^{+} = {e ∈ E | de = e}.

Proposition 2.5. 1. H^{+} ist ein freier Modul über L^{+} = ℤ[(v+v^{−1})]

mit Basis \underline{H}_{x}, x ∈ W.

2. Als L^{+}-Unteralgebra von H wird H^{+} erzeugt von den \underline{H}_{s}, s ∈ S.

Beweis. Offensichtlich bilden die \underline{H}_{x} eine L-Basis von H, und ∑ h_{x}\underline{H}_{x} ist selbstdual genau dann, wenn alle h_{x} es sind. Die induktive Konstruktion der \underline{H}_{x} zeigt sogar, daß alle \underline{H}_{x} in der ℤ-Unteralgebra von H liegen, die von den \underline{H}_{s} mit s ∈ S erzeugt wird.

Definition 2.6. Wir definieren für x, y ∈ W die h_{y,x} ∈ L durch die Gleichung

\underline{H}_{x} = ∑_{y} h_{y,x}H_{y}.

Die folgende Proposition erklärt den Zusammenhang zwischen diesen h_{y,x} und den üblichen Kazhdan-Lusztig-Polynomen P_{y,x}.

Proposition 2.7. Für alle x, y ∈ W mit y ≤ x gibt es ein Polynom P_{y,x} ∈ ℤ[q] derart, daß gilt

v^{l(y)−l(x)}h_{y,x} = P_{y,x}(v^{−2})

Wir haben P_{y,x}(0) = 1 für alle y ≤ x, es gilt P_{x,x} = 1, und für x ≠ y ist der Grad von P_{y,x} stets echt kleiner als (l(x) − l(y))/2.

Beweis. Wir erinnern uns an den involutiven Automorphismus a : H → H mit a(v) = −v, a(H_{y}) = (−1)^{l(y)}H_{y}. Da a mit d kommutiert, folgt a(\underline{H}_{x}) = (−1)^{l(x)}\underline{H}_{x} und damit v^{l(y)−l(x)}h_{y,x} ∈ ℤ[v^{2}, v^{−2}].

Als nächstes weisen wir v^{l(y)−l(x)}h_{y,x} ∈ 1+v^{−1}ℤ[v^{−1}] nach. Dazu ist es übersichtlicher, in der Basis der T_{y} = v^{−l(y)}H_{y} und mit C_{x} = v^{−l(x)}\underline{H}_{x} zu arbeiten. In dieser Notation müssen wir dann also zeigen

C_{x} ∈ ∑_{y≤x} T_{y} + ∑_{z} v^{−1}ℤ[v^{−1}]T_{z}

Das geht durch Induktion über die Länge von x. Für x = e ist die Behauptung klar. Falls x ≠ e finden wir s ∈ S mit xs < x und können schreiben C_{x} = C_{xs}C_{s} − ∑_{y<x} h_{y}(0)v^{l(y)−l(x)}C_{y} wie im ersten Beweis von 2.1. Nun prüft man leicht

T_{z}C_{s} = \{ \begin{matrix}T_{zs} + T_{z} & zs > z; \\ v^{−2}T_{zs} + v^{−2}T_{z} & zs < z. \end{matrix}

Aus unserer Induktionsannahme folgt also

C_{x} ∈ (∑_{y≤xs} T_{y}) C_{s} + ∑_{z} v^{−1}ℤ[v^{−1}]T_{z},

und da weiter gilt {z | z ≤ x} = {z, zs | z ≤ xs und z < zs} folgt unsere Behauptung. Die Abschätzung für den Grad der P_{y,x} schließlich ist die Übersetzung der Bedingung, daß die h_{y,x} für y ≠ x Polynome in v ohne konstanten Term sein sollen.

Bezeichne ab jetzt μ(y, x) ∈ ℤ den Koeffizienten von v in h_{y,x}. Die Berechnung der \underline{H}_{x} wird vereinfacht durch

Proposition 2.8 ([KL79]). Für x ∈ W und s ∈ S gilt

\underline{H}_{x}\underline{H}_{s} = \{ \begin{matrix}\underline{H}_{xs} − ∑_{y<x,ys<y} μ(y, x)\underline{H}_{y} & falls xs > x; \\ (v + v^{−1})\underline{H}_{x} & falls xs < x. \end{matrix}

Insbesondere haben wir h_{ys,x} = vh_{y,x} falls xs < x und ys < y.

Beweis. Der Fall xs > x folgt aus der im ersten Existenzbeweis gegebenen induktiven Konstruktion der \underline{H}_{x}. Der Fall xs < x folgt mit vollständiger Induktion aus dem Fall xs > x.

Die ursprüngliche Definition der Kazhdan-Lusztig-Polynome in [KL79] war näher an der Charakterisierung, die wir im Folgenden geben. Betrachten wir nochmal unser Theorem 2.1. Bis auf Vorzeichen gibt es ja keinen Grund, dort v über v^{−1} zu bevorzugen.

Theorem 2.9 ([KL79]). Für alle x ∈ W gibt es genau ein selbstduales \underline{H̃}_{x} ∈ H mit ˜ \underline{H}_{x} ∈ H_{x} + ∑_{y} v^{−1}ℤ[v^{−1}]H_{y}.

Beweis. Man kann diese Aussage ähnlich beweisen wie die analoge Aussage 2.1. Wir ziehen jedoch einen anderen Beweis vor, der gleichzeitig die enge Beziehung zwischen \underline{H̃}_{x} und \underline{H}_{x} zeigt. Dazu betrachten wir den Automorphismus ab : H → H, v ↦ v^{−1}, H_{x} ↦ (−1)^{l(x)}H_{x} besonders bequem, wir können und müssen also \underline{H̃}_{x} = (−1)^{l(x)}ab(\underline{H}_{x}) nehmen und erhalten zusätzlich zur Existenz von \underline{H̃}_{x} noch die Formel

\underline{H̃}_{x} = ∑_{y}(−1)^{l(x)+l(y)}\overline{h}_{y,x}H_{y}.

Wir beenden diesen Abschnitt mit einer expliziten Formel für endliches W.

Proposition 2.10 ([KL79]). Sei W endlich, w ∈ W das längste Element, und r = l(w) seine Länge. So gilt \underline{H}_{w} = ∑_{y∈W} v^{r−l(y)}H_{y}.

Beweis. Bezeichne R die rechte Seite. Aus unseren Formeln für die Operation von \underline{H}_{s} folgt

\{H ∈ H | H\underline{H}_{s} = (v + v^{−1})H ∀s ∈ S\} = LR.

Damit gilt \overline{R} ∈ LR und dann sofort \overline{R} = R, mithin R = \underline{H}_{w}.

Jeder mit der Materie vertraute Leser wird hier die Inversionsformeln aus [KL79] für endliche Coxeter-Gruppen vermissen. Wir behandeln sie im folgenden Abschnitt in einem allgemeineren Kontext, siehe 3.15. Zum Abschluß führen wir noch die sogenannten Zellen ein.

Definition 2.11 ([KL79]). 1. Ein Rechtsideal von H heißt ein rechtes Zellideal genau dann, wenn es als L-Modul aufgespannt wird von gewissen \underline{H}_{y}.

2. Das kleinste rechte Zellideal, das ein gegebenes H ∈ H enthält, heißt auch das von H erzeugte rechte Zellideal.

3. Gegeben x, y ∈ W schreiben wir kurz y ≺_{R} x für die Aussage, daß \underline{H}_{y} zum von \underline{H}_{x} erzeugten rechten Zellideal gehört.

4. Gegeben x, y ∈ W kürzen wir x ≺_{R} y ≺_{R} x mit x ∼_{R} y ab. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelationen auf W heißen Rechtszellen.

5. Gegeben eine Rechtszelle C ⊂ W ist ⨁_{y∈C} L\underline{H}_{y} in natürlicher Weise ein H-Rechtsmodul, nämlich als Quotient von ⨁_{y≺_{R}C} L\underline{H}_{y} nach ⨁_{y≺_{R}C,y∉C} L\underline{H}_{y}, mit der hoffentlich selbsterklärenden Notation y ≺_{R} C. Dieser H-Modul heißt auch der Zellmodul der Rechtszelle C.

Analog definiert man linke und beidseitige Zellideale, Relationen ≻_{L}, ≻_{LR}, ∼_{L}, ∼_{LR}, Linkszellen und beidseitige Zellen. Mithilfe von 2.8 folgt, daß ≺_{R} auch beschrieben werden kann als die kleinste reflexive transitive Relation auf W derart, daß gilt

1. xs ≺_{R} x für s ∈ S mit xs > x;

2. y ≺_{R} x falls μ(y, x) ≠ 0 und ∃s ∈ S mit xs > x, ys < y.

Proposition 2.12 ([KL79]). Gegeben x ≻_{R} y und t ∈ S folgt aus tx < x schon ty < y.

Beweis. Aus tx < x folgt ja \underline{H}_{t}\underline{H}_{x} = (v + v^{−1})\underline{H}_{x} und damit \underline{H}_{t}H = (v + v^{−1})H für alle H im von \underline{H}_{x} erzeugten Rechtsideal von H. Schreiben wir nun H = ∑ h_{z}\underline{H}_{z}, so folgt aus h_{z} ≠ 0 schon tz < z durch Induktion von oben über die Bruhatordnung. Zusammen folgt tz < z für alle z ≺_{R} x.

Alternativer Beweis. Erlauben wir uns einen Vorgriff auf den folgenden Abschnitt, so können wir auch kürzer argumentieren: Verschwindet \underline{H}_{x} unter der Projektion ξ : H ↠ N aus dem Beweis von 3.8, so auch das ganze von \underline{H}_{x} erzeugte rechte Zellideal.

3. Die parabolischen Polynome

Sei S_{f} ⊂ S eine Teilmenge, W_{f} = ⟨S_{f}⟩ ⊂ W ihr Erzeugnis, W^{f} ⊂ W die Menge der Repräsentanten minimaler Länge für die Rechtsnebenklassen W_{f}\W. Insbesondere definiert also die Multiplikation eine Bijektion W_{f} × W^{f} →^{∼} W. Bezeichne H_{f} = H(W_{f}, S_{f}) ⊂ H die Hecke-Algebra von (W_{f}, S_{f}). Wir erinnern an die quadratische Relation (H_{s} +v)(H_{s} −v^{−1}) = 0 in der Hecke-Algebra. Halten wir u ∈ {−v, v^{−1}} fest, so definiert die Vorschrift H_{s} ↦ u ∀s ∈ S_{f} eine Surjektion von L-Algebren

φ_{u} : H_{f} ↠ L

Auf diese Weise wird L ein H_{f}-Bimodul, den wir mit L(u) bezeichnen. Wir induzieren und definieren die beiden H-Rechtsmoduln

\begin{aligned}M & = & M^{f} & = & L(v^{−1}) ⊗_{H_{f}} H, \\ N & = & N^{f} & = & L(−v) ⊗_{H_{f}} H. \end{aligned}

In beiden Moduln bilden die M_{x} = 1 ⊗ H_{x} bzw. N_{x} = 1 ⊗ H_{x} mit x ∈ W^{f} eine L-Basis. Die Operation von \underline{H}_{s} für s ∈ S nimmt in diesen Basen folgende Form an:

M_{x}\underline{H}_{s} = \{ \begin{matrix}M_{xs} + vM_{x} & falls xs ∈ W^{f}, xs > x; \\ M_{xs} + v^{−1}M_{x} & falls xs ∈ W^{f}, xs < x; \\ (v + v^{−1})M_{x} & falls xs ∉ W^{f}, \end{matrix}

N_{x}\underline{H}_{s} = \{ \begin{matrix}N_{xs} + vN_{x} & falls xs ∈ W^{f}, xs > x; \\ N_{xs} + v^{−1}N_{x} & falls xs ∈ W^{f}, xs < x; \\ 0 & falls xs ∉ W^{f}. \end{matrix}

Um das einzusehen verwendet man, daß aus x ∈ W^{f}, xs ∉ W^{f} schon folgt xs = rx mit r ∈ S_{f}. (Insbesondere impliziert xs < x schon xs ∈ W^{f}.) In der Tat folgt ja sogar für beliebige x ∈ W und r, s ∈ S aus rx > x und rxs < xs schon rxs = x.

Man prüft leicht für alle s ∈ S_{f} die Formel

φ_{u}(\underline{H}_{s}) = \{ \begin{matrix}(v + v^{−1}) & falls u = v^{−1}; \\ 0 & falls u = −v. \end{matrix}

Da die \underline{H}_{s} mit s ∈ S_{f} ganz H_{f} als L-Algebra erzeugen, folgt φ_{u}(\overline{H}) = \overline{φ_{u}(H)} ∀H ∈ H_{f}. Mithin definiert die Vorschrift h ⊗ H ↦ \overline{h} ⊗ \overline{H} einen Homomorphismus von additiven Gruppen, die sogenannte Dualität

d : M → M, M ↦ \overline{M}

mit \overline{M_{e}} = M_{e} und \overline{MH} = \overline{M} \overline{H} für alle M ∈ M, H ∈ H. Analoges gilt für N.

Wir führen nun eine für unsere Zwecke bequeme Sprechweise ein. Sei φ : A → A′ ein Ringhomomorphismus, M ein A-Modul und M′ ein A′- Modul. Ein Homomorphismus additiver Gruppen ψ : M → M′ heißt “φ-linear” genau dann, wenn ψ(rm) = φ(r)ψ(m) ∀r ∈ A, m ∈ M.

Eine d-lineare Abbildung von Moduln über H bzw. L nennen wir auch H-schieflinear bzw. L-schieflinear. Besitzt ein Modul eine feste schieflineare Involution d, so nennen wir die unter dieser Involution stabilen Elemente “selbstdual”. Es heißt also zum Beispiel N ∈ N selbstdual genau dann, wenn gilt \overline{N} = N.

Theorem 3.1 ([Deo87]). 1. Für alle x ∈ W^{f} gibt es genau ein selbst-

duales \underline{M}_{x} ∈ M mit \underline{M}_{x} ∈ M_{x} + ∑_{y} vℤ[v]M_{y}.

2. Für alle x ∈ W^{f} gibt es genau ein selbstduales \underline{N}_{x} ∈ N mit \underline{N}_{x} ∈ N_{x} + ∑_{y} vℤ[v]N_{y}.

Beweis. Wir zeigen 1, der Beweis von 2 ist identisch. Um die Existenz der \underline{M}_{x} nachzuweisen, machen wir eine Induktion über die Länge von x und zeigen stärker, daß wir sogar mögliche \underline{M}_{x} von der Form

\underline{M}_{x} = M_{x} + ∑_{y<x} m_{y,x}M_{y}

finden können. Sicher dürfen wir unsere Induktion mit \underline{M}_{e} = M_{e} beginnen. Sei nun \underline{M}_{y} konstruiert für alle y ∈ W^{f} mit y < x, und sei s ∈ S gegeben mit xs < x, xs ∈ W^{f}. Dann gilt

\underline{M}_{xs}\underline{H}_{s} = M_{x} + ∑_{z<x} m_{z}M_{z}

für geeignete m_{z} ∈ ℤ[v]. Nach Induktion sind mögliche \underline{M}_{z} für z < x bereits bekannt. Wir bilden

\underline{M}_{x} = \underline{M}_{xs}\underline{H}_{s} − ∑_{z} m_{z}(0)\underline{M}_{z}

und haben auch ein mögliches \underline{M}_{x} gefunden. Aus der Existenz dieser \underline{M}_{x} folgert man wie im Beweis von Theorem 2.1 zunächst \overline{M_{x}} ∈ M_{x} + ∑_{y<x} LM_{y} und dann die Eindeutigkeit der \underline{M}_{x}.

Wir erinnern an die Notation E^{+} ⊂ E für die Untergruppe der unter d selbstdualen Elemente E^{+} = {e ∈ E | de = e}.

Proposition 3.2. 1. Es gilt M^{+} = M_{e}H^{+} und die \underline{M}_{x} bilden eine

L^{+}-Basis von M^{+}.

2. Es gilt N^{+} = N_{e}H^{+} und die \underline{N}_{x} bilden eine L^{+}-Basis von N^{+}.

Beweis. Wir zeigen 1, der Beweis von 2 ist identisch. Zunächst liegen ja nach der induktiven Beschreibung der \underline{M}_{x} alle \underline{M}_{x} in M_{e}H^{+}. Andererseits bilden die \underline{M}_{x} eine L-Basis von M, und ein M = ∑ m_{x}\underline{M}_{x} ist selbstdual genau dann, wenn alle m_{x} es sind.

Definition 3.3. Wir definieren für x, y ∈ W^{f} die m_{y,x}, n_{y,x} ∈ ℤ[v] durch \underline{M}_{x} = ∑_{y} m_{y,x}M_{y} und \underline{N}_{x} = ∑_{y} n_{y,x}N_{y}.

Insbesondere haben wir also m_{x,x} = n_{x,x} = 1, und wenn y nicht kleinergleich x ist, verschwinden m_{y,x} und n_{y,x}.

Proposition 3.4. Seien x, y ∈ W^{f} mit y ≤ x.

1. Es gilt n_{y,x} ∈ v^{l(x)−l(y)}ℤ[v^{−2}].

2. Es gilt m_{y,x} ∈ v^{l(x)−l(y)}(1 + v^{−2}ℤ[v^{−2}]).

Beweis. Wir erinnern an unseren involutiven Automorphismus a : H → H. Offensichtlich gilt a∘φ_{u} = φ_{u}∘a für u ∈ {−v, v^{−1}}, mithin induziert a involutive a-lineare Automorphismen a : N → N bzw. a : M → M mit a(c ⊗ H) = a(c) ⊗ a(H), und es gilt

a(N_{x}) = (−1)^{l(x)}N_{x}, a(M_{x}) = (−1)^{l(x)}M_{x}

Offensichtlich vertauscht a : N → N mit unserer schieflinearen Involution d : N → N, wir folgern a(\underline{N}_{x}) = (−1)^{l(x)}\underline{N}_{x} und damit n_{y,x} ∈ v^{l(x)−l(y)}ℤ[v^{2}, v^{−2}]. Ebenso folgt m_{y,x} ∈ v^{l(x)−l(y)}ℤ[v^{2}, v^{−2}].

Die Grad-Abschätzung deg n_{y,x} ≤ l(x) − l(y) folgt aus der induktiven Konstruktion der \underline{N}_{x}. Die Tatsache, daß m_{y,x} genau den Leitterm v^{l(x)−l(y)} hat, wird auch induktiv aus der Konstruktion der \underline{M}_{x} hergeleitet, ähnlich wie wir das im Fall S_{f} = ∅ für die \underline{H}_{x} bereits durchgeführt hatten.

Bemerkungen 3.5. 1. Wir betrachten wieder die Variable q = v^{−2} ∈ L. Die Proposition zeigt, daß v^{l(y)−l(x)}n_{y,x} und v^{l(y)−l(x)}m_{y,x} in ℤ[q] liegen, und daß v^{l(y)−l(x)}m_{y,x} als Polynom in q konstanten Term 1 hat. Die v^{l(y)−l(x)}m_{y,x} bzw. v^{l(y)−l(x)}n_{y,x} sind Deodhars [Deo87] parabolische Polynome P_{τ,σ}^{J} für Deodhars Fälle u = −1 bzw. u = q, falls τ = y^{−1}W_{f}, σ = x^{−1}W_{f}, und W_{J} = W_{f}. Der Vergleich mit Deodhars Definition wird dem Leser aber (wenn überhaupt) erst mit Hilfe von Theorem 3.9 gelingen.

2. Mögliche Interpretationen der parabolischen Polynome im Rahmen der Darstellungstheorie faßt Theorem 3.11.4 in [BGS96] zusammen. Bis auf die Transformation v = t und für W_{Q} = W_{f} sind die dortigen Polynome (P^{Q}(t))_{x,y} genau unsere m_{x,y}, und die (P_{Q}(t))_{x,y} stimmen bis auf einen Parameterwechsel mit unseren n_{x,y} überein, vergleiche 3.15.

3. (22.3.1999 [Cou99].) Allgemeiner liefert jeder Homomorphismus von L-Algebren H_{f} → L eine induzierte Darstellung von H, die in ähnlicher Weise behandelt werden kann wie unsere parabolischen Hecke-Moduln. In dieser Situation sind dann jedoch nicht mehr alle Koeffizienten von Kazhdan-Lusztig-Polynomen positiv.

Proposition 3.6. Für x ∈ W^{f} und s ∈ S gilt

\underline{M}_{x}\underline{H}_{s} \{ \begin{matrix}∈ \underline{M}_{xs} + ∑_{y<x, ys<y} ℤ\underline{M}_{y} & falls xs > x; \\ = (v + v^{−1})\underline{M}_{x} & falls xs < x. \end{matrix}

Insbesondere haben wir m_{ys,x} = vm_{y,x} falls xs < x, ys < y und ys ∈ W^{f}.

Beweis. Der Fall xs > x folgt aus der im ersten Existenzbeweis gegebenen induktiven Konstruktion der \underline{M}_{x}. Der Fall xs < x folgt mit vollständiger Induktion aus dem Fall xs > x.

Proposition 3.7. Für x ∈ W^{f} und s ∈ S gilt

\underline{N}_{x}\underline{H}_{s} \{ \begin{matrix}∈ \underline{N}_{xs} + ∑_{y<x, ys<y, ys∈W^{f}} ℤ\underline{N}_{y} & falls xs > x; \\ = (v + v^{−1})\underline{N}_{x} & falls xs < x, xs ∈ W^{f}; \\ ∈ ∑_{y<x, ys<y, ys∈W^{f}} ℤ\underline{N}_{y} & falls xs < x, xs ∉ W^{f}. \end{matrix}

Beweis. Der Fall xs > x folgt aus der im ersten Existenzbeweis gegebenen induktiven Konstruktion der \underline{N}_{x}. Der Fall xs < x, x ∈ W^{f} folgt mit vollständiger Induktion aus dem Fall xs > x. Der Fall xs < x, xs ∉ W^{f} folgt aus den Definitionen.

Die m_{y,x}, n_{y,x} hängen wie folgt mit den gewöhnlichen Kazhdan-Lusztig-Polynomen zusammen.

Proposition 3.8 ([Deo87]). Seien x, y ∈ W^{f}.

1. Ist W_{f} endlich und w_{f} ∈ W_{f} das längste Element, so gilt die Beziehung m_{y,x} = h_{w_{f} y,w_{f} x}.

2. Für beliebiges S_{f} gilt n_{y,x} = ∑_{z∈W_{f}} (−v)^{l(z)}h_{zy,x}.

Beweis. 1. Wir betrachten die Einbettung von L-Moduln

\begin{matrix}L(v^{−1}) & → & H_{f} \\ 1 & ↦ & \underline{H}_{w_{f}} . \end{matrix}

Sie kommutiert natürlich mit der Dualität, und nach 2.8 ist sie auch mit der Rechtsoperation von H_{f} verträglich. Folglich definiert sie eine Einbettung von H-Rechtsmoduln

ζ : M ↪ H,

die ebenfalls mit der Dualität verträglich ist. Wir setzen r = l(w_{f}). Nach Proposition 2.10 gilt

ζ(M_{x}) = ∑_{z∈W_{f}} v^{r−l(z)}H_{zx}

und damit erhalten wir ζ(\underline{M}_{x}) = \underline{H}_{w_{f} x}, woraus wir sogar stärker folgern m_{y,x} = v^{r−l(z)}h_{zy,w_{f} x} für alle y, x ∈ W^{f}, z ∈ W_{f}.

2. Wir betrachten die offensichtliche Surjektion

ξ : H ↠ N = L(−v) ⊗_{H_{f}} H

mit ξ(H) = 1 ⊗ H. Sie vertauscht mit der Dualität, und man prüft mühelos, daß ξ(H_{zx}) = (−v)^{l(z)}N_{x} für alle z ∈ W_{f}, x ∈ W^{f}. Es folgt

ξ(\underline{H}_{x}) = \begin{cases}\underline{N}_{x} & falls x ∈ W^{f}; \\ 0 & sonst, \end{cases}

und die behauptete Formel ergibt sich sofort.

Auch bei der Definition von \underline{N}_{x}, \underline{M}_{x} kann man sich fragen, ob man nicht v durch v^{−1} ersetzen kann. Die Antwort gibt folgendes

Theorem 3.9 ([Deo91]). 1. Für alle x ∈ W^{f} gibts genau ein selbstduales \underline{Ñ}_{x} ∈ N mit \underline{Ñ}_{x} ∈ N_{x}+∑_{y} v^{−1}ℤ[v^{−1}]N_{y}. Dies \underline{Ñ}_{x} kann beschrieben werden durch die Formel \underline{Ñ}_{x} = ∑_{y}(−1)^{l(x)+l(y)}\overline{m}_{y,x}N_{y}.

2. Für alle x ∈ W^{f} gibt es genau ein selbstduales \underline{M̃}_{x} ∈ M mit \underline{M̃}_{x} ∈ M_{x} + ∑_{y} v^{−1}ℤ[v^{−1}]M_{y}. Dies \underline{M̃}_{x} kann beschrieben werden durch die Formel \underline{M̃}_{x} = ∑_{y}(−1)^{l(x)+l(y)}\overline{n}_{y,x}M_{y}.

Beweis. Wir beginnen mit der Beziehung b ∘ φ_{−v} = φ_{v^{−1}} ∘ b und leiten daraus eine b-lineare Bijektion

\begin{aligned}b : & N & → & M \\ & c ⊗ H & ↦ & b(c) ⊗ b(H) \end{aligned}

ab, die N_{x} auf M_{x} abbildet. Der Bequemlichkeit halber verknüpfen wir b : N → M noch mit a : M → M und erhalten so einen ab-linearen Isomorphismus ab : N → M mit ab(N_{x}) = (−1)^{l(x)}M_{x}. Sicher vertauscht dies ab auch mit den Dualitäten auf unseren Moduln, d ∘ ab = ab ∘ d. Da ab(v) = v^{−1} können und müssen wir also \underline{M̃}_{x} = (−1)^{l(x)}ab(\underline{N}_{x}) sowie \underline{Ñ}_{x} = (−1)^{l(x)}(ab)^{−1}\underline{M}_{x} nehmen.

Als nächstes diskutieren wir Umkehrformeln. Dazu betrachten wir die L-Moduln

\begin{aligned}M^{∗} & = & Hom_{L}(M, L) \\ N^{∗} & = & Hom_{L}(N , L) \end{aligned}

und erklären auf diesen Räumen eine L-schieflineare Involution F ↦ \overline{F} durch die Vorschrift \overline{F} (M) = \overline{F (\overline{M})}. Weiter definieren wir M_{x}^{∗} ∈ M^{∗} durch M_{x}^{∗}(M_{y}) = δ_{x,y} und setzen M^{x} = (−1)^{l(x)}M_{x}^{∗}. Ganz genauso definieren wir N_{x}^{∗} ∈ N^{∗} durch N_{x}^{∗}(N_{y}) = δ_{x,y} und setzen N^{x} = (−1)^{l(x)}N_{x}^{∗}. Warum ich es vorziehe, mit den M^{x} bzw. N^{x} zu arbeiten, wird erst später klar werden. Vorerst hat das bedauerlicherweise nur den Effekt, alle Formeln komplizierter zu machen.

Wir schreiben die Elemente von M^{∗} als formale Linearkombinationen F = ∑^{∞} m^{z}M^{z} mit m^{z} = (−1)^{l(z)}F (M_{z}) ∈ L. Das Zeichen ∞ über der Summe soll daran erinnern, daß formale unendliche Summen erlaubt sind. Analog notieren wir die Elemente von N^{∗}. Nun ist \overline{M^{x}} ∈ M^{x} + ∑_{z>x}^{∞} LM^{z} und für \overline{N^{x}} gilt Entsprechendes, denn die Matrizen der Dualität auf M und M^{∗} (bzw. N und N^{∗}) sind bis auf Vorzeichen transponiert zueinander.

Theorem 3.10. 1. Für alle x ∈ W^{f} gibt es genau ein selbstduales

\underline{M}^{x} ∈ M^{∗} mit \underline{M}^{x} ∈ M^{x} + ∑^{∞} vℤ[v]M^{z}.

2. Für alle x ∈ W^{f} gibt es genau ein selbstduales \underline{N}^{x} ∈ N^{∗} mit \underline{N}^{x} ∈ N^{x} + ∑^{∞} vℤ[v]N^{z}.

Beweis. Wir zeigen nur 1, der Beweis von 2 ist identisch. Für die Eindeutigkeit müssen wir wieder zeigen, daß F = 0 das einzige selbstduale Element von ∑^{∞} vℤ[v]M^{z} ist. Aber sei F = ∑^{∞} m^{z}M^{z}. Ist F ≠ 0, so finden wir y minimal mit m^{y} ≠ 0. Dann gilt \overline{m^{y}} = m^{y} und mit m^{y} ∈ vℤ[v] ergibt sich ein Widerspruch.

Um die Existenz zu zeigen definieren wir schlicht \underline{M}^{x} ∈ M^{∗} durch die Vorschrift

\underline{M}^{x}(\underline{M}_{y}) = (−1)^{l(x)}δ_{x,y}

und müssen nur die Eigenschaften prüfen. Selbstdualität ist evident. Schreiben wir \underline{M}^{x} = ∑_{z}^{∞} m^{z,x}M^{z}, so gilt offensichtlich

∑_{z}(−1)^{l(z)+l(x)}m^{z,x}m_{z,y} = δ_{x,y}

Die Übergangsmatrix m_{z,y} ist aber eine untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen und Einträgen aus vℤ[v] unterhalb der Diagonalen, mithin gilt dasselbe für ihre Inverse, und es folgt m^{z,x} ∈ vℤ[v] falls z ≠ x sowie m^{x,x} = 1 (und sogar zusätzlich m^{z,x} ≠ 0 ⇒ z ≥ x).

Wir führen genauso auch die n^{z,x} ∈ ℤ[v] ein durch die Gleichung \underline{N}^{x} = ∑^{∞} n^{z,x}N^{z} und erhalten auch die Umkehrformeln

∑_{z}(−1)^{l(z)+l(x)}n^{z,x}n_{z,y} = δ_{x,y}.

Im Fall S_{f} = ∅ schreiben wir H^{∗}, H_{x}^{∗}, H^{x}, \underline{H}^{x}, h^{z,x} statt M^{∗}, M_{x}^{∗}, M^{x}, \underline{M}^{x}, m^{z,x}. Die h^{z,x} mit \underline{H}^{x} = ∑^{∞} h^{z,x}H^{z} sind also die renormierten inversen Kazhdan-Lusztig-Polynome,

∑_{z}(−1)^{l(z)+l(x)}h^{z,x}h_{z,y} = δ_{x,y}.

Ganz ähnlich wie in Proposition 3.8 lassen sich auch die parabolischen inversen Polynome m^{x,y}, n^{x,y} in den gewöhnlichen inversen Polynomen h^{x,y} ausdrücken. Genauer haben wir

Proposition 3.11. 1. Es gilt n^{y,x} = h^{y,x} ∀x, y ∈ W^{f}.

2. Ist W_{f} endlich, w_{f} ∈ W_{f} das längste Element und r = l(w_{f}) seine Länge, so gilt für alle x, y ∈ W^{f} die Beziehung

m^{y,x} = ∑_{z∈W_{f}}(−v)^{r−l(z)}h^{zy,w_{f} x}.

Beweis. 1. Wir transponieren die im Beweis von 3.8.2 betrachtete Abbildung ξ und erhalten

ξ^{∗} : N^{∗} → H^{∗}.

Aus der Formel für ξ(H_{zx}) folgern wir

ξ^{∗}(N^{x}) = ∑_{z∈W_{f}} v^{l(z)}H^{zx}

und die Formel für ξ(\underline{H}_{zx}) liefert ξ^{∗}(\underline{N}^{x}) = \underline{H}^{x}. Wenden wir also ξ^{∗} auf die Gleichung \underline{N}^{x} = ∑_{y}^{∞} n^{y,x}N^{y} an, so ergibt sich

\underline{H}^{x} = ∑_{y}^{∞} ∑_{z∈W_{f}} v^{l(z)}n^{y,x}H^{zy}

und es folgt sogar feiner v^{l(z)}n^{y,x} = h^{zy,x} für alle x, y ∈ W^{f} und z ∈ W_{f}.

2. Wir transponieren die im Beweis von 3.8 1 betrachtete Abbildung ζ und erhalten

ζ^{∗} : H^{∗} → M^{∗}.

Aus der Formel für ζ(M_{x}) folgt sofort ζ^{∗}(H^{zx}) = (−v)^{r−l(z)}(−1)^{r}M^{x} für alle x ∈ W^{f}, z ∈ W_{f}. Aus der Formel ζ(\underline{M}_{x}) = \underline{H}_{w_{f} x} folgt sofort

ζ^{∗}(\underline{H}^{tx}) = \begin{cases}(−1)^{r}\underline{M}^{x} & falls t = w_{f}; \\ 0 & sonst, \end{cases}

wieder für alle x ∈ W^{f}, t ∈ W_{f}. Wenden wir also ζ^{∗} an auf die Gleichung \underline{H}^{w_{f} x} = ∑^{∞} h^{zy,w_{f} x}H^{zy} summiert über z ∈ W_{f}, y ∈ W^{f}, so ergibt sich

\underline{M}^{x} = ∑_{y}^{∞} ∑_{z∈W_{f}}(−v)^{r−l(z)}h^{zy,w_{f} x}M^{y}

und unsere Formel ist bewiesen. Etwas feiner können wir auch ζ^{∗} auf \underline{H}^{tx} mit t ≠ w_{f} anwenden und erhalten ∑_{z∈W_{f}} (−v)^{−l(z)}h^{zy,tx} = 0 für alle x, y ∈ W^{f}.

Offensichtlich wird unser M^{∗} ein H-Linksmodul durch die Vorschrift (HF)(M) = F (MH) ∀H ∈ H, F ∈ M^{∗}, M ∈ M. Wir erinnern an den involutiven Antiautomorphismus i auf H mit i(v) = v, i(H_{x}) = H_{x^{−1}}.

Proposition 3.12. Es gibt i-lineare Abbildungen i : N → N^{∗} und i : M → M^{∗} mit N_{x} ↦ N_{x}^{∗} bzw. M_{x} ↦ M_{x}^{∗}.

Beweis. Ich behaupte zunächst die Formeln

\underline{H}_{s}M_{x}^{∗} = \{ \begin{matrix}M_{xs}^{∗} + vM_{x}^{∗} & falls xs ∈ W^{f}, xs > x; \\ M_{xs}^{∗} + v^{−1}M_{x}^{∗} & falls xs ∈ W^{f}, xs < x; \\ (v + v^{−1})M_{x}^{∗} & falls xs ∉ W^{f}. \end{matrix}

In der Tat, die Matrix der Operation von \underline{H}_{s} auf M in der Basis der M_{x} zerfällt in Einer-Blöcke sowie Zweier-Blöcke der Gestalt ( \begin{matrix}v & 1 \\ 1 & v^{−1} \end{matrix} ). Sie ist also ihre eigene Transponierte, und das liefert die behaupteten Formeln. Wir folgern die Existenz einer i-linearen Abbildung M → M^{∗} mit M_{x} ↦ M_{x}^{∗}. Der Beweis im N -Fall läuft analog.

Bemerkung 3.13. Wir werden im weiteren Verlauf besonders oft die iab-lineare Abbildung ψ = iab : N → M^{∗} benützen, mit ab : N → M wie im Beweis von 3.9. Sie ist insbesondere L-schieflinear und es gilt ψ(N_{x}) = (−1)^{l(x)}M_{x}^{∗} = M^{x}.

Natürlich bleiben alle unsere Überlegungen und Formeln gültig, wenn wir N, N mit M, M vertauschen. Der Vollständigkeit halber schließe ich hier noch die Umkehrformeln von Douglass für endliches W an.

Proposition 3.14 ([Dou90]). Sei W endlich und seien w ∈ W bzw. w_{f} ∈ W_{f} die längsten Elemente. So gilt

∑_{z}(−1)^{l(x)+l(z)}m_{z,x}n_{w_{f} zw,w_{f} yw} = δ_{x,y}.

Bemerkung 3.15. Als Spezialfall erhält man so die Umkehrformeln von Kazhdan-Lusztig [KL79]

∑_{z}(−1)^{l(x)+l(z)}h_{z,x}h_{zw,yw} = δ_{x,y}.

Beweis. Setzen wir S_{g} = wS_{f}w, so definiert die Abbildung x ↦ w_{f}wx eine ordnungsumkehrende Bijektion W^{g} →^{∼} W^{f}. Folglich haben wir eine H-schieflineare Abbildung

N^{g} → N , N_{x}^{g} ↦ N_{w_{f} wx},

wo wir weiter mit N = N^{f} arbeiten. Verknüpfen wir diese Abbildung mit ψ : N → M^{∗} aus 3.13, so ergibt sich eine baδ-lineare Abbildung

N^{g} → M^{∗}, N_{x}^{g} ↦ M^{w_{f} wx}.

Diese Abbildung vertauscht sogar mit den Dualitäten auf unseren Moduln, denn N_{e}^{g} ist selbstdual und ebenso M^{w_{f} w}, da ja w_{f}w das maximale Element von W^{f} ist. Da baδ(v) = v geht unter unserer Abbildung notwendig \underline{N}_{x}^{g} in \underline{M}^{w_{f} wx} über, und wir folgern

m^{w_{f} wy,w_{f} wx} = n_{y,x}^{g} = n_{wyw,wxw}.

Jetzt müssen wir nur noch die Variablen transformieren und erhalten

m^{y,x} = n_{w_{f} yw,w_{f} xw}.

4. Die periodischen Polynome

Für die im Folgenden zitierten Begriffe verweise ich auf die Standard-Referenz [Bou81]. Seien V ⊃ R ⊃ R^{+} ⊃ Δ ein reeller Vektorraum, ein Wurzelsystem, ein System positiver Wurzeln und die zugehörige Menge von einfachen Wurzeln. Sei W ⊂ GL(V) die Weylgruppe und W = W ⋉ℤR die affine Weylgruppe. Für μ ∈ V bezeichne W_{μ} bzw. W_{μ} seinen Stabilisator in W bzw. W. Es ist also W = W_{0}. Die Gruppe W wird von ihren (affinen) Spiegelungen erzeugt und wir bezeichnen mit F die Menge aller Spiegelebenen zu Spiegelungen aus W. Für F ∈ F bezeichne s_{F} ∈ W die Spiegelung an F.

Die Zusammenhangskomponenten des Komplements aller Spiegelebenen V −⋃_{F ∈F} F heißen “Alkoven”. Wir bezeichnen die Menge aller Alkoven mit A. Die offensichtliche Operation von W auf A ist frei und transitiv. Sei weiter

C = {τ ∈ V | ⟨τ, α^{∨}⟩ > 0 ∀α ∈ R^{+}}

die dominante Weylkammer. Wir bezeichnen mit A^{+} ∈ A den fundamentalen dominanten Alkoven, d.h. denjenigen Alkoven, der in C liegt und dessen Abschluß den Nullvektor enthält.

Sei S ⊂ W die Menge aller Spiegelungen, die eine Wand von A^{+} punktweise festhalten. So ist (W, S) ein Coxeter-System. Wir betrachten weiter die Bijektion W →^{∼} A, w ↦ wA^{+}. Die offensichtliche Rechtsoperation von W auf sich selbst entspricht dann einer Rechtsoperation von W auf A, notiert A ↦ Aw. Für A ∈ A, s ∈ S kann man sich As wie folgt veranschaulichen: Man betrachte die Wand von A^{+}, die von s festgehalten wird. Genau eine Wand von A ist zu dieser konjugiert unter der Operation von W auf V. Und As berührt A genau in dieser Wand.

Jede Spiegelebene F ∈ F teilt V in zwei Halbebenen

V − F = F^{+} ∪ F^{−},

wo wir mit F^{+} diejenige Halbebene bezeichnen, die jedes Translat der dominanten Weylkammer trifft, also F^{+} ∩ (τ + C) ≠ ∅ ∀τ ∈ V. Für A ∈ A, s ∈ S schreiben wir As ≻ A (bzw. As ≺ A) genau dann, wenn As ⊂ F^{+} (bzw. As ⊂ F^{−}) für die Spiegelebene F ∈ F, die As von A trennt.

Wir können nun den “periodischen” Hecke-Modul P definieren. Als L -Modul ist P schlicht der freie Modul mit Basis A,

P = ⨁_{A∈A}LA.

Lemma 4.1 ([Lus80a]). Es gibt auf P eine Rechtsoperation von H derart, daß für alle s ∈ S gilt:

A\underline{H}_{s} = \begin{cases}As + vA & falls As ≻ A; \\ As + v^{−1}A & falls As ≺ A. \end{cases}

Bemerkung 4.2. Um den Modul M aus [Lus80a] mit diesem P zu identifizieren, benötigt man eine Längenfunktion δ : A → ℤ im Sinne von Lusztig. Unser A hier hieße in Lusztig’s Notationen q^{−δ(A)/2}A. Außerdem operiert bei mir H von rechts.

Beweis. Zunächst betrachten wir für s ∈ S die L-lineare Abbildung ρ_{s} : P → P mit

ρ_{s}(A) = \begin{cases}As + vA & falls As ≻ A; \\ As + v^{−1}A & falls As ≺ A. \end{cases}

Für μ ∈ ℤR betrachten wir auch ⟨μ⟩ : P → P, A ↦ μ + A. Offensichtlich gilt ⟨μ⟩ ∘ ρ_{s} = ρ_{s} ∘ ⟨μ⟩ für alle μ ∈ ℤR, s ∈ S.

Nun erhalten wir ja offensichtlich eine Rechtsoperation von H auf P durch Strukturtransport über die L-lineare Bijektion H → P mit H_{x} ↦ xA^{+} ∀x ∈ W. Diese Rechtsoperation schreiben wir P ∗ H für P ∈ P, H ∈ H. Die Abbildung P → P, P ↦ P ∗ H schreiben wir auch ρ^{∗}(H).

Bezeichne A^{+} ⊂ A die Menge aller Alkoven, die in der dominanten Weylkammer liegen, also A^{+} = {A ∈ A | A ⊂ C}. Für x ∈ W, s ∈ S mit xA^{+}, xsA^{+} ∈ A^{+} ist x > xs gleichbedeutend zu xA^{+} ≻ xA^{+}s. Für alle A ∈ A, s ∈ S mit A, As ∈ A^{+} gilt mithin

ρ_{s}(A) = A ∗ \underline{H}_{s}.

Sei μ ∈ C ∩ ℤR. Für jeden Alkoven A liegt nμ + A in C, falls n ≫ 0. Wir folgern

ρ_{s}(A) = ⟨−nμ⟩ ∘ ρ_{s} ∘ ⟨nμ⟩(A)
= ⟨−nμ⟩ ∘ ρ^{∗}(\underline{H}_{s}) ∘ ⟨nμ⟩(A),

falls n ≫ 0. Für alle H ∈ H, P ∈ P ist also ⟨−nμ⟩ ∘ ρ^{∗}(H) ∘ ⟨nμ⟩(P) unabhängig von n für n ≫ 0. Diesen Ausdruck nennen wir P H und haben damit die gewünschte Rechtsoperation von H auf P definiert.

Bezeichne X ⊂ V das Gitter der ganzen Gewichte. Für λ ∈ X definieren wir E_{λ} ∈ P durch die Formel

E_{λ} = ∑_{z∈W} v^{l(z)}(λ + zA^{+}).

Sei P_{∘} ⊂ P der von allen E_{λ} erzeugte H-Untermodul.

Theorem 4.3 ([Lus80a]). 1. Es gibt auf P_{∘} genau eine H-schiefli-neare Involution P_{∘} → P_{∘}, P ↦ \overline{P} derart, daß \overline{E_{λ}} = E_{λ} für alle λ ∈ X.

2. Für alle A ∈ A gibt es genau ein (unter dieser Involution) selbstduales \underline{P}_{A} ∈ P_{∘} mit \underline{P}_{A} ∈ A + ∑_{B} vℤ[v]B. Die \underline{P}_{A} bilden eine L-Basis von P_{∘}.

Bemerkung 4.4. 1. Für A, B ∈ A definieren wir p_{B,A} ∈ ℤ[v] durch die Gleichung \underline{P}_{A} = ∑ p_{B,A}B. Bezeichne d(B, A) ∈ ℤ die gewichtete Zahl der Spiegelebenen H ∈ F, die B und A trennen, wo wir H mit Gewicht 1 bzw. Gewicht (−1) zählen falls B ⊂ H^{−} bzw. B ⊂ H^{+}. Lusztig’s Polynome Q_{B,A} (siehe [Lus80a]) stehen mit unseren p_{B,A} in der Beziehung p_{B,A} = v^{−d(B,A)}Q_{B,A}. Ich nenne die p_{B,A} die “periodischen” Polynome.

2. Parametrisieren wir die einfachen Moduln, Baby-Vermas und projektiven Objekte in einem regulären Block von G_{1}T -Moduln in der üblichen Weise durch Alkoven, so liefert Lusztig’s Vermutung für die Multiplizitäten in der Radikal-Filtrierung bzw. für die Multiplizitäten einer graduierten Δ̃-Fahne der projektiven Decke Q̃_{A} von Δ̃_{A} in der Koszul-graduierten Darstellungskategorie die Formeln

∑[\overline{ra}d^{i}Δ_{w_{0}B} : L_{w_{0}A}]v^{i}B = ∑(Q̃_{w_{0}A} : Δ̃_{w_{0}B}⟨i⟩)v^{i}B = \underline{P}_{A}

Nebenbei bemerkt ist Q̃_{A}⟨−|R^{+}|⟩ in unserer Kategorie der Kippmodul T̃Â mit Untermodul Δ̃Â und Quotient ˜∇Â, und mit späteren Resultaten ergibt sich so für Kippmoduln

∑(T̃_{A} : Δ̃_{B}⟨i⟩)v^{−i}B = ∑(T̃_{A} : ˜∇_{B}⟨i⟩)v^{i}B = \underline{P}_{A},

immer unter Annahme der Lusztig-Vermutung.

Der Beweis des Theorems benötigt einige Vorbereitungen und wird erst gegen Ende dieses Abschnitts gegeben. Wir wiederholen zunächst Lusztig’s Konstruktion einer Operation von W auf P_{∘}.

Proposition 4.5 ([Lus80a]). Für alle w ∈ W gibt es einen Homomorphismus von H-Rechtsmoduln ⟨w⟩ : P_{∘} → P_{∘} derart, daß ⟨w⟩E_{λ} = E_{wλ} für alle λ ∈ X.

Bemerkung 4.6. Natürlich ist ⟨w⟩ durch diese Bedingung eindeutig bestimmt und wir erhalten so eine Operation von W auf P_{∘}. Weiter ist für w = μ ∈ ℤR dies ⟨μ⟩ offensichtlich die Einschränkung auf P_{∘} unserer Verschiebung ⟨μ⟩ von eben.

Beweis. Für α ∈ R^{+} bezeichne F_{α} ⊂ F die Menge der Spiegelebenen, die auf α senkrecht stehen. Es ist also F = ⋃_{α∈R^{+}} F_{α} eine Partition von F. Die Zusammenhangskomponenten von V − ⋃_{F ∈F_{α}} F heißen die “α-Streifen”. Jeder α-Streifen U ist von der Form U = F^{+} ∩ G^{−} für wohlbestimmte F, G ∈ F_{α}. Wir setzen F = ∂^{−}U und G = ∂^{+}U. Schließlich definieren wir für A ∈ A, α ∈ R^{+} die Alkoven α↑A = s_{G}A, α ↓ A = s_{F} A, falls A im α-Streifen U liegt und F = ∂^{−}U, G = ∂^{+}U wie eben. Für α ∈ Δ eine einfache Wurzel betrachten wir nun den L-Untermodul P_{α} ⊂ P, der von allen A + v(α ↓ A) mit A ∈ A erzeugt wird. Sicher bilden diese Ausdrücke sogar eine L-Basis von P_{α}. Wir können also für alle F ∈ F_{α} eine L-lineare Abbildung

⟨s_{F} ⟩ : P_{α} → P_{α}

definieren durch ⟨s_{F} ⟩(A + v(α↓A)) = v(s_{F} A) + α↑(s_{F} A).

Lemma 4.7 ([Lus80a]). P_{α} ist ein H-Untermodul von P und ⟨s_{F} ⟩ : P_{α} → P_{α} ist H-linear.

Beweis. Wir müssen zeigen, daß für alle A ∈ A, s ∈ S gilt:

(i) (A + v(α↓A))\underline{H}_{s} ∈ P_{α}. (ii) ⟨s_{F} ⟩\{(A + v(α↓A))\underline{H}_{s}\} = \{⟨s_{F} ⟩(A + v(α↓A))\}\underline{H}_{s}. Sei U der α-Streifen von A. Sei G ∈ F die Spiegelebene, die As von A trennt. Wir unterscheiden drei Fälle.

1. G ist keine Wand von U. So ist G ∈ F_{β} mit β ∈ R^{+} − {α}. Insbesondere gilt s_{F} (G^{+}) = (s_{F} G)^{+}. Man folgert leicht (i) und (ii).

2. G = ∂^{+}U, bleibt ganz dem Leser überlassen.

3. G = ∂^{−}U, desgleichen. Das Lemma ist bewiesen.

Lemma 4.8 ([Lus80a]). Es gilt E_{λ} ∈ P_{α} für alle α ∈ Δ und ⟨s_{F} ⟩E_{λ} = E_{s_{F} λ} für alle F ∈ F_{α}.

Beweis. Bleibt dem Leser überlassen.

Insbesondere gilt also P_{∘} ⊂ P_{α} für alle α ∈ Δ und ⟨s_{F} ⟩P_{∘} ⊂ P_{∘}. Für w ∈ W finden wir dann ⟨w⟩ : P_{∘} → P_{∘} wie folgt: Wir schreiben w = s_{F} ⋯ s_{G} mit F, …, G ∈ ⋃_{α∈Δ} F_{α} und setzen ⟨w⟩ = ⟨s_{F} ⟩∘⋯∘⟨s_{G}⟩.

Für das Folgende ist es wichtig zu wissen, daß wir die H-lineare Operation von W auf P_{∘} zu einer L-linearen Operation der “erweiterten affinen Weylgruppe” W̃ = W ⋉ X ausdehnen können.

Für beliebiges μ ∈ X betrachten wir dazu die L-lineare Abbildung ⟨μ⟩ : P → P mit A ↦ μ + A ∀A ∈ A. Sie vertauscht im Allgemeinen nicht mit der Rechtsoperation von H. Bezeichnet \underline{H}_{s} für einen Moment die Abbildung P → P, P ↦ P \underline{H}_{s}, so haben wir vielmehr

⟨μ⟩ ∘ \underline{H}_{s} = \underline{H}_{[μ]s} ∘ ⟨μ⟩

für eine geeignete Permutation [μ] : S → S der einfachen Spiegelungen, und es gilt [μ+ν] = [μ]∘[ν] für alle μ, ν ∈ X sowie [μ] = id für μ ∈ ℤR, insbesondere also [wμ] = [μ] = [−μ]^{−1} für beliebiges w ∈ W, μ ∈ X.

Lemma 4.9. Es gibt eine L-lineare Operation φ : W̃ → Aut P_{∘} von W̃ auf P_{∘} derart, daß φ(w) = ⟨w⟩ für alle w ∈ W und φ(μ) = ⟨μ⟩ für alle μ ∈ X.

Bemerkung 4.10. Sobald das Lemma bewiesen ist, werden wir für beliebiges w ∈ W̃ stets φ(w) mit ⟨w⟩ abkürzen.

Beweis. Es reicht zu zeigen, daß die Abbildung ⟨w⟩⟨μ⟩⟨w^{−1}⟩⟨−wμ⟩ auf P_{∘} die Identität ist, für alle μ ∈ X, w ∈ W. Diese Abbildung vertauscht aber mit der Rechtsoperation der \underline{H}_{s} und bildet die E_{λ} auf sich selber ab.

Wir können nun Teil 1 von Theorem 4.3 zeigen.

Proposition 4.11 ([Lus80a]). Es gibt genau eine H-schieflineare Abbildung P_{∘} → P_{∘}, P ↦ \overline{P} derart, daß \overline{E_{λ}} = E_{λ} ∀λ ∈ X.

Beweis. Die Eindeutigkeit ist klar, wir müssen also nur eine solche Abbildung konstruieren. Sei w_{0} ∈ W das längste Element und r = l(w_{0}) seine Länge. Bezeichne c : P → P die L-schieflineare Abbildung mit c(A) = w_{0}A. Für alle s ∈ S gilt A ≻ As ⇔ w_{0}A ≺ w_{0}As. Folglich gilt c(A\underline{H}_{s}) = c(A)\underline{H}_{s} für alle s ∈ S und c ist sogar H-schieflinear. Offensichtlich gilt auch c(E_{λ}) = v^{−r}E_{w_{0}λ}. Insbesondere folgt c(P_{∘}) ⊂ P_{∘}, wir definieren \overline{P} = v^{r}c⟨w_{0}⟩P und sind fertig.

Diese Dualität kommutiert auch mit der Operation von W̃.

Proposition 4.12. Es gilt \overline{⟨w⟩P} = ⟨w⟩\overline{P} für alle w ∈ W̃, P ∈ P_{∘}.

Beweis. Bezeichne d : P_{∘} → P_{∘} unsere Dualtität P ↦ \overline{P}. Es gilt zu zeigen, daß ⟨w⟩d = d⟨w⟩ für alle w ∈ W̃. Es reicht zu zeigen, daß ⟨μ⟩d⟨−μ⟩d bzw. ⟨w⟩d⟨w^{−1}⟩d die Identität sind, für alle μ ∈ X bzw. w ∈ W. Diese Abbildungen vertauschen aber mit der Rechtsoperation der \underline{H}_{s} und bilden die E_{λ} auf sich selber ab.

Wir zeigen nun die Existenz der \underline{P}_{A}. Dazu betrachten wir die partielle Ordnung ⪯ auf A , die von den Relationen

A ⪯ s_{F} A falls A ∈ A, F ∈ F, A ⊂ F^{−}

erzeugt wird. Die Aussage A ⪯ B soll also bedeuten: Es gibt eine Folge von Alkoven A = A_{0}, A_{1}, …, A_{n} = B und eine Folge von Spiegelebenen F_{i} ∈ F derart, daß A_{i} ⊂ F_{i}^{−} und A_{i+1} = s_{F_{i}}A_{i} für i = 0, …, n − 1. Daß ⪯ in der Tat eine Ordnungsrelation ist, erkennt man zum Beispiel so: Man bezeichne für einen Alkoven A ∈ A mit b(A) ∈ V seinen Schwerpunkt. So folgt aus A ⪯ B schon b(A) ∈ b(B) + ℝ_{≤0}R^{+}. Also folgt aus B ⪯ A ⪯ B schon b(A) = b(B) und damit A = B.

Offensichtlich ist unsere neue Notation mit der alten Notation A ≺ As für s ∈ S verträglich. Offensichtlich ist diese partielle Ordnung auf A auch invariant unter Verschiebung mit μ ∈ X. Sie hat weiter folgende Eigenschaft:

Lemma 4.13 ([Lus80a]). Seien A, B ∈ A und s ∈ S. So folgt aus B ⪯ A ≺ As schon Bs ⪯ As.

Beweis. Die Bruhat-Ordnung auf W definiert natürlich über unsere Bijektion W → A, w ↦ wA^{+} auch eine partielle Ordnung ≤ auf A. Weit im Innern von C stimmen nun ⪯ und ≤ überein. Das kann man genauer so formulieren:

Behauptung 4.14. Sei μ ∈ X ∩ C gegeben. Für A, B ∈ A sind gleichbedeutend:

1. A ⪯ B.

2. nμ + A ≤ nμ + B für n ≫ 0, d. h. für alle n ab einer geeigneten unteren Schranke, die von A, B und μ abhängt.

Diese Behauptung folgt aus der Definition der Bruhat-Ordnung. In der Tat bedeutet ja A ≤ B genau, daß es eine Folge von Alkoven A = A_{0}, A_{1}, … A_{n} = B und eine Folge von Spiegelebenen F_{i} ∈ F gibt derart, daß A_{i+1} = s_{F_{i}}A_{i} und daß A_{i} und A^{+} nicht von F_{i} getrennt werden. Sind also A, B ∈ A^{+} und ist F ∈ F eine Hyperebene mit B = s_{F} A, so gilt

A ⪯ B ⇔ A ⊂ F^{−}
⇔ A und A^{+} werden nicht von F getrennt
⇔ A ≤ B.

Die Äquivalenz von 1 und 2 im allgemeinen folgt leicht aus diesem speziellen Fall. Mit der Behauptung folgt aber das Lemma leicht aus der analogen Eigenschaft der Bruhat-Ordnung.

Sei Π ⊂ V die fundamentale Box

Π = {τ ∈ V | 0 < ⟨τ, α^{∨}⟩ < 1 ∀α ∈ Δ}.

Für λ ∈ X schreiben wir kurz λ + Π = Π_{λ}. Für jeden Alkoven A ∈ A gibt es genau ein λ = λ(A) ∈ X mit A ⊂ Π_{λ}.

Lemma 4.15. Sei λ ein dominantes Gewicht, also λ ∈ X ∩ \overline{C}. So gilt B ⪯ λ + B für jeden Alkoven B.

Beweis. Wir wählen τ ∈ B und betrachten das Geradenstück von τ nach λ + τ. Es treffe der Reihe nach die Alkoven B = A_{0}, A_{1}, A_{2}, …, A_{n} = λ + B. Durch geeignete Wahl von τ können wir sicher erreichen, daß je zwei aufeinanderfolgende Alkoven unserer Folge nur von einer Wand getrennt werden, A_{i+1} = A_{i}s_{i} mit s_{i} ∈ S. Aus λ ∈ \overline{C} folgt nun A_{i} ≺ A_{i+1}, mithin B ⪯ λ + B.

Wir können nun in Teil 2 von Theorem 4.3 die Existenz zeigen. Wir zeigen sogar etwas genauer die folgende

Proposition 4.16 ([Lus80a]). Für jedes A ∈ A gibt es ein selbstduales \underline{P}_{A} ∈ P_{∘} derart, daß \underline{P}_{A} ∈ A + ∑_{B≺A} vℤ[v]B und ⟨w⟩\underline{P}_{A} = \underline{P}_{A} für alle w ∈ W_{λ(A)}.

Beweis. Natürlich reicht es aus, solche \underline{P}_{A} für A ⊂ Π zu konstruieren. Wir machen eine Induktion über die geordnete Menge aller Alkoven aus Π und können schon mal mit

\underline{P}_{A^{+}} = E_{0} = ∑_{z∈W} v^{l(z)}(zA^{+})

anfangen. Sei nun A ⊂ Π ein Alkoven und seien mögliche \underline{P}_{B} für B ≺ A, B ⊂ Π schon konstruiert. Falls A ≠ A^{+} finden wir s ∈ S mit As ≺ A und As ⊂ Π. Offensichtlich ist \underline{P}_{As}\underline{H}_{s} selbstdual und wir haben nach Lemma 4.13 und der Definition von A\underline{H}_{s}

\underline{P}_{As}\underline{H}_{s} = ∑_{B⪯A} p_{B}B

mit p_{A} = 1 und p_{B} ∈ ℤ[v] für alle B. Es könnten aber gewisse p_{B} mit B ≠ A auch noch konstante Terme haben. Um diese störenden Terme unter Kontrolle zu kriegen, müssen wir etwas weiter ausholen.

Zunächst definieren wir nach [Lus80a] eine neue Operation von W̃ auf A, notiert B ↦ w ∗ B, durch die Vorschrift

w ∗ (λ + A) = (wλ) + A

für alle λ ∈ X, A ⊂ Π.

Lemma 4.17. Sei P ∈ P_{∘} von der Form P = ∑ p_{B}B mit p_{B} ∈ ℤ[v] für alle B. Sei w ∈ W̃. So ist ⟨w⟩P = ∑ q_{B}B mit q_{B} ∈ ℤ[v] und p_{B}(0) = q_{w∗B}(0) für alle B.

Beweis. Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit w = s_{F} mit F ∈ F_{α} für α ∈ Δ. Ich behaupte, daß die Aussage dann sogar für alle P ∈ P_{α} gilt. Das hinwiederum folgt sofort aus den Definitionen.

In unserer Situation folgern wir nun, daß p_{B}(0) = p_{z∗B}(0) für alle z ∈ W. Für jeden Alkoven B finden wir aber z ∈ W mit B′ = z ∗ B ∈ A^{+}. Aus p_{B} ≠ 0 und B ≠ A folgt p_{B′} ≠ 0 und B′ ≠ A, mithin B′ ≺ A. Aus B′ ∈ A^{+} folgt andererseits, daß B′ = λ + B′′ für geeignetes λ ∈ X ∩ \overline{C} und B′′ ⊂ Π. Mit Lemma 4.15 folgt B′′ ≺ A, nach Induktionsannahme kennen wir also ein mögliches \underline{P}_{B′′}, und indem wir dies \underline{P}_{B′′} um λ verschieben, auch ein mögliches \underline{P}_{B′}. Wir betrachten nun

\underline{P}_{A} = \underline{P}_{As}\underline{H}_{s} − ∑_{B∈A^{+},B≠A} p_{B}(0) ∑_{z}⟨z⟩\underline{P}_{B},

wo in der zweiten Summe z über (ein Repräsentantensystem für) die Nebenklassen W/W_{λ(B)} läuft. Damit ist der Induktionsschritt geleistet und die Existenz der \underline{P}_{A} gezeigt.

Wir müssen nur noch die Eindeutigkeit der \underline{P}_{A} nachweisen. Nach Proposition 4.16 wissen wir ja sogar, daß es eine Familie selbstdualer Elemente \{\underline{P}_{A}\}_{A∈A} in P_{∘} gibt mit

1. ⟨w⟩\underline{P}_{A} = \underline{P}_{w∗A} ∀A ∈ A, w ∈ W̃.

2. \underline{P}_{A} ∈ A + ∑_{B≺A} vℤ[v]B.

In der Tat kann man eine solche Familie gewinnen, indem man gewisse \underline{P}_{A} wie in der Proposition für A ⊂ Π wählt und durch Verschiebung dieser \underline{P}_{A} die \underline{P}_{A} für A ⊄ Π definiert. Wir zeigen nun

Proposition 4.18 ([Lus80a]). 1. Eine solche Familie \{\underline{P}_{A}\}_{A∈A} ist

schon eine L-Basis von P_{∘}.

2. Für P ∈ P_{∘} ∩ ∑ vℤ[v]B folgt aus P = \overline{P} schon P = 0.

Bemerkung 4.19. Aus 2 folgt natürlich die in Theorem 4.3 behauptete Eindeutigkeit der \underline{P}_{A}. Aus den vorhergehenden Überlegungen oder auch aus Lemma 4.17 folgt dann die Formel ⟨w⟩\underline{P}_{A} = \underline{P}_{w∗A}.

Beweis. Wir beginnen mit 1. Die \underline{P}_{A} sind offensichtlich linear unabhängig. Wir müssen zeigen, daß sie P_{∘} als L-Modul erzeugen. Es gilt also zu zeigen, daß für alle λ ∈ X, H ∈ H das Element E_{λ}H im Erzeugnis der \underline{P}_{A} liegt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir hier λ = 0 annehmen. Sicher reicht es also, wenn wir zeigen, daß jedes W -invariante Q ∈ P_{∘} (also Q mit ⟨z⟩Q = Q ∀z ∈ W) im Erzeugnis der \underline{P}_{A} liegt. Wir schreiben dazu

Q = ∑_{B∈A} q_{B}B.

Ist Q ≠ 0, so gibt es B ∈ A^{+} mit q_{B} ≠ 0. (Um das zu sehen, kann man zum Beispiel das kleinste n ∈ ℤ mit v^{n}Q ∈ ∑_{B} ℤ[v]B wählen und Lemma 4.17 auf v^{n}Q anwenden.) Wir machen nun eine Induktion über #{A ∈ A^{+} | ∃B ∈ A^{+} mit q_{B} ≠ 0 und B ⪰ A}. Sei C ∈ A^{+} maximal mit q_{C} ≠ 0. Wir betrachten

Q′ = Q − ∑_{z}⟨z⟩q_{C} \underline{P}_{C},

wo z über (ein Repräsentantensystem für) die Nebenklassen W/W_{λ(C)} läuft. So ist Q′ wieder W -invariant, und wir wissen per Induktion, daß Q′ im Erzeugnis der \underline{P}_{A} liegt. Damit ist 1 gezeigt.

Wir zeigen nun 2. Sicher ist jedes selbstduale P von der Form P = ∑_{A∈A} c_{A}\underline{P}_{A} mit \overline{c}_{A} = c_{A}. Andererseits ist nach Annahme P = ∑ p_{A}A mit p_{A} ∈ vℤ[v]. Wäre P ≠ 0, so gäbe es ein maximales A mit p_{A} ≠ 0. Dann wäre aber p_{A} = c_{A}, also \overline{p}_{A} = p_{A} und aus p_{A} ∈ vℤ[v] folgte p_{A} = 0. Mit diesem Widerspruch ist die Proposition und damit auch Theorem 4.3 vollständig bewiesen.

Die Berechnung der p_{B,A} wird vereinfacht durch

Proposition 4.20 ([Lus80a]). Für A ∈ A und s ∈ S gilt

\underline{P}_{A}\underline{H}_{s} \{ \begin{matrix}∈ \underline{P}_{As} + ∑_{B≺As, Bs≺B} ℤ\underline{P}_{B} & falls As ≻ A; \\ = (v + v^{−1})\underline{P}_{A} & falls As ≺ A. \end{matrix}

Insbesondere haben wir p_{Bs,A} = vp_{B,A} falls As ≺ A und Bs ≺ B.

Beweis. Im ersten Fall As ≻ A folgt die Behauptung aus der im Beweis von 4.16 gegebenen induktiven Konstruktion von \underline{P}_{A}. Um den zweiten Fall As ≺ A zu behandeln, setzen wir P = \underline{P}_{A}\underline{H}_{s} − (v + v^{−1})\underline{P}_{A}. Aus der Gleichung \underline{H}_{s}^{2} = (v + v^{−1})\underline{H}_{s} folgt P \underline{H}_{s} = 0. Nach Konstruktion ist P von der Form P = ∑ p_{B}B mit p_{B} ∈ ℤ[v], und da P außerdem selbstdual ist, folgt P = ∑ p_{B}(0)\underline{P}_{B}. Wäre P ≠ 0 so gäbe es ein maximales D mit p_{D} ≠ 0, und für dieses D wäre sogar p_{D} = p_{D}(0) konstant. Wir schreiben nun

P \underline{H}_{s} = ∑ q_{B}B

und folgern q_{Ds} = p_{D} ≠ 0 falls Ds ≻ D, q_{D} = p_{Ds} + v^{−1}p_{D} ≠ 0 falls Ds ≺ D, im Widerspruch zu P \underline{H}_{s} = 0. Also gilt P = 0 und die Proposition ist bewiesen.

Ich will noch eine Symmetrie der \underline{P}_{A} diskutieren, die wir später brauchen werden. Wie im Beweis von Proposition 4.11 sei w_{0} ∈ W das längste Element und r seine Länge. Wir definieren eine Bijektion A → A, A ↦ Ǎ wie folgt: Wir schreiben A = λ + B mit λ ∈ X, B ⊂ Π und setzen Ǎ = λ + w_{0}B. Die inverse Bijektion notieren wir A ↦ Â.

Lemma 4.21 ([Lus80a]). \underline{P}_{A} ∈ v^{r}(Ǎ + ∑_{B≻Ǎ} v^{−1}ℤ[v^{−1}]B).

Beweis. Wir dürfen A ⊂ Π annehmen. Dann ist aber \underline{P}_{A} = \overline{\underline{P}_{A}} = v^{r}c⟨w_{0}⟩\underline{P}_{A} = v^{r}c\underline{P}_{A}, und das Lemma folgt aus der Definition von c.

Wir werden auch die folgende Aussage über den Träger von \underline{P}_{A} brauchen.

Proposition 4.22 ([Lus80a]). Seien A, B ∈ A mit p_{B,A} ≠ 0. So gilt xB ⪯ A ∀x ∈ W_{λ(A)}.

Beweis. Das folgt mit Induktion aus der im Beweis von Proposition 4.16 gegebenen induktiven Konstruktion der \underline{P}_{A}.

5. Einige Formeln für affine Spiegelungsgruppen

Wir übernehmen die Notationen des vorhergehenden Abschnitts und setzen S_{0} = {s ∈ S | s fixiert den Nullvektor}. Damit haben wir auch die Notationen M = M^{0}, N = N^{0}, M^{∗}, N^{∗} etc. von Abschnitt 3 zur Verfügung. Insbesondere wird W_{0} = W die (endliche) Weylgruppe und die Bijektion W → A, w ↦ wA^{+} induziert eine Bijektion W^{0} → A^{+}. Wir benutzen diese Bijektion um unsere ausgezeichneten Elemente von N , M^{∗}, etc. umzubenennen, und setzen N_{x} = N_{A}, \underline{N}_{x} = \underline{N}_{A}, n_{x,y} = n_{A,B}, M^{x} = M^{A}, etc. für x, y ∈ W^{0} und A, B ∈ A^{+} mit xA^{+} = A und yA^{+} = B.

Bezeichnet A^{++} die Menge aller Alkoven, die in ρ + C liegen (mit ρ der Halbsumme aller positiven Wurzeln), so definiert A ↦ Â eine Bijektion A^{+} →^{∼} A^{++}. Ich erinnere an die L-schieflineare Abbildung ψ : N → M^{∗} aus Bemerkung 3.13 mit ψ(N_{A}) = M^{A}. Die einzige wesentliche Aussage dieser Arbeit, die ich nicht in der Literatur finden konnte, ist folgendes

Theorem 5.1. Für alle A ∈ A^{+} gilt \underline{M}^{A} = v^{r}ψ\underline{N} Â, in anderen Worten m^{B,A} = v^{r}\overline{n}_{B,Â}.

Diese Aussage wurde von der Theorie der Kippmoduln suggeriert, wie am Schluß dieser Arbeit näher ausgeführt wird. Ihr Beweis braucht einige Vorbereitungen. Wir betrachten die L-lineare “Restriktionsabbildung” res : P → N gegeben durch

res A = \{ \begin{matrix}N_{A} & falls A ∈ A^{+}; \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Wir betrachten weiter in P den H-Untermodul

P_{∘}^{sgn} = {P ∈ P_{∘} | ⟨z⟩P = (−1)^{l(z)}P ∀z ∈ W }.

Proposition 5.2. Die Restriktion res : P → N induziert einen Homomorphismus von H-Rechtsmoduln res : P_{∘}^{sgn} → N .

Beweis. Wir müssen zeigen, daß res mit allen \underline{H}_{s} (s ∈ S) vertauscht. Aus der Formel für die Operation von W auf P_{∘} sehen wir, daß für P = ∑ p_{A}A in P_{∘}^{sgn} gilt p_{A} = −vp_{As} falls A ∈ A^{+}, s ∈ S mit As ∉ A^{+}. Die Proposition folgt.

Wir definieren weiter die H-lineare Abbildung

\begin{aligned}alt : & P_{∘} & → & P_{∘}^{sgn} \\ & P & ↦ & ∑_{x∈W}(−1)^{l(x)}⟨x⟩P. \end{aligned}

Unser Theorem folgt nun sofort aus der folgenden feineren Aussage:

Theorem 5.3. 1. Für alle A ∈ A^{++} gilt \underline{N}_{A} = res alt \underline{P}_{A}. 2. Für alle A ∈ A^{+} gilt \underline{M}^{A} = v^{r}ψ res alt \underline{P} Â.

Bemerkung 5.4. Die zweite Aussage ist eine Umformulierung des Hauptresultats von [Kan87] und damit eine Präzisierung der Resultate in [And86]. In der Tat, da ⟨x⟩\underline{P}_{A} = \underline{P}_{x∗A} haben wir

alt \underline{P}_{A} = ∑_{x∈W}(−1)^{l(x)}\underline{P}_{x∗A}

Beweis. Wir beginnen mit 2 und kürzen zur Vereinfachung die L-schief-lineare Abbildung (v^{r}ψ res alt) mit φ : P_{∘} → M^{∗} ab. Bezüglich H ist φ wie ψ eine iab-lineare Abbildung. Nun wird \underline{M}^{A} charakterisiert durch eine Grad-Bedingung und die Selbstdualität. Nach Lemma 4.21 erfüllt φ(\underline{P} Â) die Grad-Bedingung. Wir müssen also nur noch zeigen, daß die φ(\underline{P} Â) ∈ M^{∗} selbstdual sind.

Nach unseren Definitionen ist F ∈ M^{∗} selbstdual genau dann, wenn (\overline{H}F)(M_{A^{+}}) = \overline{(HF)(M_{A^{+}})} für alle H ∈ H. Dieses Kriterium werden wir prüfen für alle F = φ(\underline{P}_{A}) mit A ∈ A. Sicher können wir schreiben \underline{P}_{A}H = ∑ c_{B}\underline{P}_{B} und folgern \underline{P}_{A}\overline{H} = ∑ \overline{c}_{B}\underline{P}_{B}. Dann ergibt sich

(iab(H)φ(\underline{P}_{A}))(M_{A^{+}}) = ∑ \overline{c}_{B}φ(\underline{P}_{B})(M_{A^{+}}),
(diab(H)φ(\underline{P}_{A}))(M_{A^{+}}) = ∑ c_{B}φ(\underline{P}_{B})(M_{A^{+}}),

und wir müssen folglich nur zeigen, daß alle φ(\underline{P}_{B})(M_{A^{+}}) unter der Substitution v ↦ v^{−1} invariant sind. Ich behaupte viel stärker die Formel

φ(\underline{P}_{B})(M_{A^{+}}) = \begin{cases}(−1)^{l(z)} & falls B = z ∗ Â^{+} mit z ∈ W; \\ 0 & sonst. \end{cases}

Um das einzusehen betrachten wir nochmal die \underline{P}_{B} = ∑ p_{C,B}C und zeigen

Lemma 5.5. Sei B ∈ A mit p_{A^{+},B} ≠ 0. So ist entweder B = Â^{+} oder λ(B) liegt auf einer Spiegelebene von W.

Beweis. Um neue Notationen zu vermeiden zeigen wir die äquivalente Aussage, daß für B ⊂ Π und λ ∈ X aus p_{λ+A^{+},B} ≠ 0 und λ ≠ −ρ schon folgt W_{λ} ≠ 1. (Hier ist ρ ∈ X wie üblich die Halbsumme der positiven Wurzeln.) In der Tat betrachten wir das x ∈ W mit x(λ+A^{+}) ⊂ C und erhalten mit Proposition 4.22 und der Definition von Π die Beziehungen

x(λ + A^{+}) ⪯ B ⪯ ρ + w_{0}A^{+}.

Für einen Alkoven C ⊂ C mit C ⪯ ρ+w_{0}A^{+} ist aber klar, daß entweder alle seine Ecken aus X auf Wänden der dominanten Weylkammer liegen oder C = ρ + w_{0}A^{+}. Das heißt für uns, entweder gilt W_{xλ} ≠ 1 und mithin W_{λ} ≠ 1 oder λ = −ρ, x = w_{0}.

Unsere Formel für φ(\underline{P}_{B})(M_{A^{+}}) ergibt sich nun aus der Beobachtung, daß alt(\underline{P}_{B}) = 0 und erst recht φ(\underline{P}_{B}) = 0 falls λ(B) auf einer Spiegelebene von W liegt. Damit ist 2 gezeigt.

Wir nehmen nun 1 in Angriff. Sei H^{+} ⊂ H der von v + v^{−1} und allen \underline{H}_{s} mit s ∈ S erzeugte Teilring alias der Ring der selbstdualen Elemente von H. Der Beweis von 1 benutzt folgendes

Lemma 5.6. Alle \underline{M}^{A} liegen in dem von \underline{M}^{ρ+w_{0}A^{+}} erzeugten H^{+}- Untermodul von M^{∗}.

Beweis. Zunächst mal folgt aus 2, daß m^{Â,A} = v^{r} und deg_{v}m^{B,A} < r, falls B ≠ Â. Wir betrachten weiter A ∈ A^{+}, s ∈ S mit As ≺ A (aber nicht notwendig As ∈ A^{+}) und schreiben

δab(\underline{H}_{s})\underline{M}^{A} = ∑ q_{B}M^{B}.

Nach Theorem 3.13 wissen wir, daß

δab(\underline{H}_{s})M^{B} = \begin{cases}M^{Bs} + v^{−1}M^{B}, & falls Bs ∈ A^{+}, Bs ≻ B; \\ M^{Bs} + vM^{B}, & falls Bs ∈ A^{+}, Bs ≺ B; \\ 0 & falls Bs ∉ A^{+}. \end{cases}

Es ist also q_{B} ∈ ℤ[v] für alle B ∈ A^{+} und wir folgern

δab(\underline{H}_{s})\underline{M}^{A} = ∑ q_{B}(0)\underline{M}^{B}.

In der Tat läßt sich jedes Element von M^{∗} eindeutig als formale L-Linearkombination der \underline{M}^{B} schreiben, bei einem selbstdualen Element sind dann alle Koeffizienten selbstdual, und bei einem Element aus ∑^{∞} ℤ[v]M^{B} liegen alle Koeffizienten in ℤ[v]. Ist also ∑^{∞} q_{B}M^{B} selbstdual und liegen alle q_{B} in ℤ[v], so gilt ganz allgemein

∑^{∞} q_{B}M^{B} = ∑^{∞} q_{B}(0)\underline{M}^{B}.

Ich bezeichne nun für q ∈ L mit q̂(ν) den Koeffizient von v^{ν}, also q = ∑_{ν} q̂(ν)v^{ν} und q̂(0) = q(0). Wir folgern weiter q̂B̂(r) = q_{B}(0) für alle B ∈ A^{+} und q̂_{B}(r) = 0 falls B ∉ A^{++}. Es ergibt sich also

δab(\underline{H}_{s})\underline{M}^{A} = ∑ q̂_{B}(r)\underline{M} B̌.

Ausgedrückt in anderen Variablen haben wir damit folgendes bewiesen: Sind D ∈ A^{++} und s ∈ S gegeben mit Ds ≻ D, und schreiben wir

δab(\underline{H}_{s})\underline{M} Ď = ∑_{B∈A^{+}} q_{B}M^{B},

so gilt

δab(\underline{H}_{s})\underline{M} Ď = ∑_{B∈A^{++}} q̂_{B}(r)\underline{M} B̌.

Andererseits wissen wir aber nach 2 auch, daß m^{B,Ď} ≠ 0 ⇒ B ⪯ D und m^{D,Ď} = v^{r} für alle D ∈ A^{++}. Wir erhalten also genauer

δab(\underline{H}_{s})\underline{M} Ď = \underline{M}^{(Ds)^{∨}} + ∑_{\begin{matrix}B∈A^{++} \\ B≺Ds \end{matrix}} q̂_{B}(r)\underline{M} B̌.

Ausgehend von dieser Formel zeigt man dann leicht durch Induktion über A^{++}, daß alle \underline{M} Ǎ mit A ∈ A^{++} in dem von \underline{M}^{(ρ+A^{+})^{∨}} erzeugten H^{+}-Untermodul von M^{∗} liegen.

Um 1 zu zeigen brauchen wir noch

Lemma 5.7. \underline{N}_{ρ+A^{+}} = ∑_{z∈W} v^{l(z)}N_{ρ+zA^{+}}.

Beweis. Man betrachte allgemeiner für alle λ ∈ (ρ + ℤR) ∩ C den Ausdruck F_{λ} = ∑_{z∈W} v^{l(z)}N_{λ+zA^{+}}. Es gilt zu zeigen, daß \underline{N}_{ρ+A^{+}} = F_{ρ}. Sicher reicht es, wenn wir F_{ρ} = \overline{F_{ρ}} nachweisen. Dazu betrachten wir die Menge

S_{ρ} = \{s ∈ S | ρ ∈ \overline{A} ⇒ ρ ∈ \overline{As} ∀A ∈ A\},

wo ausnahmsweise mit \overline{A} bzw. \overline{As} der Abschluß von A bzw. As gemeint ist. Wir zeigen nun, daß F_{ρ} ∈ N das einzige Element F = ∑ f_{A}N_{A} von N ist derart, daß

1. F \underline{H}_{s} = (v + v^{−1})F ∀s ∈ S_{ρ}

2. f_{A} ≠ 0 ⇒ A ⩽ ρ + A^{+}

3. f_{A} = 1 für A = ρ + A^{+} Hier bezeichnet ⩽ die Ordnung auf A^{+}, die sich durch Übertragung der Bruhat-Ordnung von W^{0} ergibt.

Zunächst erkennt man sehr schnell, daß Bedingung 1 genau von allen L-Linearkombinationen der F_{λ} mit λ ∈ (ρ+ℤR)∩C erfüllt wird. Damit ist dann klar, daß nur F_{ρ} den Bedingungen 1–3 genügt. Nun sind diese Bedingungen aber selbstdual, d. h. sie werden auch von \overline{F_{ρ}} erfüllt, und wir folgern \overline{F_{ρ}} = F_{ρ}.

Nun liegen nach Lemma 5.6 alle (res alt \underline{P}_{A}) in dem von (res alt \underline{P}_{ρ+A^{+}}) erzeugten H^{+}-Untermodul von N, und (res alt \underline{P}_{ρ+A^{+}}) ist nach Lemma 5.7 selbstdual in N. Dann sind aber alle (res alt \underline{P}_{A}) selbstdual in N, und da sie offensichtlich auch dieselben Grad-Bedingungen erfüllen wie \underline{N}_{A}, so folgt schließlich \underline{N}_{A} = res alt \underline{P}_{A} ∀A ∈ A^{++}.

6. Die generischen Polynome

Wenn wir weit genug im Inneren der dominanten Weylkammer sind, so hängen die m_{B,A} nur von der relativen Position der Alkoven A und B ab. Genauer zeigen wir

Theorem 6.1 ([Lus80a]). 1. Für alle A, B ∈ A gibt es q_{B,A} ∈ ℤ[v] derart, daß gilt q_{B,A} = m_{λ+B,λ+A} falls λ hinreichend weit im Inneren der dominanten Weylkammer liegt, das heißt falls λ ∈ X ∩ (nρ + C) für geeignetes n = n(A, B) ∈ ℤ.

2. Für die periodischen Polynome p_{B,C} gelten die Inversionsformeln

∑_{B}(−1)^{d(A,B)}q_{w_{0}B,w_{0}A} p_{B,C} = δ_{A,C},

wo (−1)^{d(A,B)} genau die Parität der Zahl von affinen Spiegelebenen ist, die A und B trennen.

Bemerkung 6.2. Die “generischen Kazhdan-Lusztig-Polynome” P̂_{A,B} in [Kat85] stehen mit den q_{A,B} in der Beziehung P̂_{A,B} = v^{−d(A,B)}q_{A,B}.

Um das Theorem zu beweisen arbeiten wir im “nach unten vervollständigten” Hecke-Modul

P̂ = {f : A → L | Es gibt C ∈ A so daß f(A) ≠ 0 ⇒ A ⪯ C}.

Für je zwei C_{1}, C_{2} ∈ A gibt es C ∈ A mit C_{1} ⪯ C, C_{2} ⪯ C. Also ist P̂ ein L-Untermodul im Raum aller Funktionen von A nach L. Wir schreiben Elemente von f ∈ P̂ als formale Linearkombinationen f = ∑^{∞} f_{A}A mit f_{A} = f(A), wo wieder der obere Index ∞ uns daran erinnern soll, daß wir auch gewisse unendliche formale Linearkombinationen zulassen. Unsere Rechtsoperation von H auf P setzen wir in der offensichtlichen Weise nach P̂ fort. Für λ ∈ ℤR können wir auch ⟨λ⟩ : P → P in offensichtlicher Weise zu ⟨λ⟩ : P̂ → P̂ fortsetzen. Für α ∈ R^{+} definieren wir einen Operator

ϑ_{α} : P̂ → P̂

als die formale Summe

ϑ_{α} = (1 + v^{2}⟨−α⟩ + v^{4}⟨−2α⟩ + v^{6}⟨−3α⟩ + ⋯).

Offensichtlich vertauscht ϑ_{α} mit der Rechtsoperation von H. Ebenso offensichtlich vertauschen die ϑ_{α} untereinander. Wir definieren

η = ∏_{α∈R^{+}} ϑ_{α} : P̂ → P̂.

Dies η ist ein enger Verwandter von Kostants Partitionsfunktion. Es liefert uns eine weitere Beziehung zwischen den periodischen und den generischen Polynomen, nämlich das folgende

Theorem 6.3 ([Kat85]). η\underline{P}_{A} = ∑_{B} q_{B,A}B.

Beweis. Wird nachgeholt.

Schließlich können wir uns noch fragen, ob man nicht auch alternative periodische Polynome definieren könnte, indem man in der Definition von \underline{P}_{A} die Rollen von v und v^{−1} vertauscht. Man stellt fest, daß es die so definierten \underline{P̃}_{A} erst in P̂ gibt. Genauer setzen wir unsere Hschieflineare Dualität P ↦ \overline{P} wie folgt auf P̂ fort: Wir schreiben P ∈ P̂ in eindeutiger Weise als formale Summe P = ∑_{A}^{∞} p_{A}\underline{P}_{A} mit p_{A} ∈ L, wo wir mit den höchsten Alkoven beginnen, in denen P lebt, und uns von dort nach unten hangeln. Dann definieren wir schlicht \overline{P} = ∑_{A}^{∞} \overline{p}_{A}\underline{P}_{A}. Man erkennt mühelos, daß \overline{A} ∈ A + ∑_{B≺A}^{∞} LB für A ∈ A.

Theorem 6.4. 1. \underline{P}_{A} ist das einzige selbstduale Element von P̂, das

in A + ∑_{B}^{∞} vℤ[v]B liegt.

2. \underline{P̃}_{A} = ∑(−1)^{d(A,B)}\overline{q}_{B,A}B ist das einzige selbstduale Element von P̂, das in A + ∑_{B}^{∞} v^{−1}ℤ[v^{−1}]B liegt.

Bemerkung 6.5. Hier kommt 1 aus [Lus80a] und 2 aus [Kat85].

Wir machen uns nun daran, die drei vorangegangenen Theoreme zu beweisen. Bezeichne Alt = ⟨−ρ⟩ ∘ alt ∘⟨ρ⟩ : P_{∘} → P_{∘} die Antisymmetrisierung um −ρ, also

Alt(P) = ∑_{x∈W_{−ρ}}(−1)^{l(x)}⟨x⟩P.

Weiter definieren wir die L-lineare Restriktion

\begin{aligned}Res : & P̂ & → & M \\ & ∑_{A}^{∞} f_{A}A & ↦ & ∑_{A∈A^{+}} f_{A}M_{A}. \end{aligned}

Sie ist nicht mit der Operation von H verträglich. Es gilt aber

Proposition 6.6. Die Verknüpfung Res ∘η ∘ Alt : P_{∘} → M ist ein Homomorphismus von H-Rechtsmoduln.

Beweis. Es reicht sicher zu zeigen, daß diese Abbildung mit allen \underline{H}_{s} kommutiert. Das folgt mit unseren Definitionen mühelos aus folgender

Behauptung 6.7. Seien A, B ∈ A benachbarte Alkoven mit A ∈ A^{+}, B ∉ A^{+}. So gilt für f = ∑^{∞} f_{C}C ∈ η ∘ Alt(P_{∘}) schon f_{B} = vf_{A}.

Wir zeigen also diese Behauptung. Unsere Annahme besagt ja, daß A und B sich längs einer Wand der dominanten Weylkammer berühren. Sei β ∈ Δ die zu dieser Wand gehörige einfache Wurzel. Unter einer β-Kette in A verstehen wir eine minimale nichtleere Teilmenge, die mit einem Alkoven A auch β ↑A und β ↓A enthält. Nun betrachten wir in P̂ den H-Untermodul

P̂_{β} = {∑_{A∈A}^{∞} f_{A}A ∈ P̂ | Für jede β-Kette K ⊂ A gilt ∑_{A∈K}^{∞} f_{A}A ∈ P_{β}}.

Sicher gilt ϑ_{α}P̂_{β} ⊂ P̂_{β} für α ∈ R^{+}, α ≠ β. Bezeichne s̃_{β} ∈ W_{−ρ} die Spiegelung an der β-Wand durch (−ρ). So läßt sich ⟨s̃_{β}⟩ : P_{β} → P_{β} in offensichtlicher Weise zu ⟨s̃_{β}⟩ : P̂_{β} → P̂_{β} fortsetzen, und wir haben ⟨s̃_{β}⟩ ∘ ϑ_{α} = ϑ_{s_{β}(α)} ∘ ⟨s̃_{β}⟩ für alle α ∈ R^{+}, α ≠ β. Nun wählen wir ein Repräsentantensystem Rep ⊂ W_{−ρ} für die Nebenklassen {e, s̃_{β}}\W_{−ρ} und können schreiben

η ∘ Alt = ∏_{α∈R^{+}} ϑ_{α} ∘ (1 − ⟨s̃_{β}⟩) ∏_{x∈Rep}(−1)^{l(x)}⟨x⟩
= ϑ_{β} ∘ (1 − ⟨s̃_{β}⟩) ∏_{\begin{matrix}α∈R^{+} \\ α≠β \end{matrix}} ϑ_{α} ∏_{x∈Rep}(−1)^{l(x)}⟨x⟩.

So ist unsere Behauptung von oben zurückgeführt auf die viel einfachere Behauptung 6.8. Seien A, B ∈ A benachbarte Alkoven, die nur von der β-Wand der dominanten Weylkammer getrennt werden. Liegt A oberhalb dieser Wand, so gilt für alle f = ∑^{∞} f_{C}C ∈ ϑ_{β}(1 − ⟨s̃_{β}⟩)P̂_{β} schon f_{B} = vf_{A}.

Diese Behauptung kann man auf jeder β-Kette separat prüfen, und damit müssen wir die Behauptung nur für

f = ϑ_{β}(1 − ⟨s̃_{β}⟩)(C + v(β ↓C))

mit C ∈ A zeigen. In diesem Fall folgt sie aber explizit aus unseren Definitionen.

Korollar 6.9. \underline{M}_{A} = Res ∘η ∘ Alt \underline{P}_{A} für alle A ∈ A^{+}.

Bemerkung 6.10. Diese Formel ist Theorem 4.2 von Kato [Kat85]. Man beachte, daß Alt \underline{P}_{A} = ∑_{x∈W_{−ρ}}(−1)^{l(x)}⟨xλ(A)⟩\underline{P}_{A} und folglich

η Alt \underline{P}_{A} = ∑_{x∈W_{−ρ}}(−1)^{l(x)}⟨xλ(A)⟩η\underline{P}_{A}

Aus dem Korollar folgt also insbesondere Teil 1 von Theorem 6.1 (in dem die generischen Polynome q_{B,A} definiert werden) sowie Theorem 6.3.

Beweis. Für A = A^{+} sind beide Seiten M_{A^{+}} = \underline{M}_{A^{+}} und die Formel ist klar. Nun wissen wir aber schon nach Theorem 5.3 und Lemma 5.6, daß Alt \underline{P}_{A} ∈ (Alt \underline{P}_{A^{+}})H^{+} für alle A ∈ A. In der Tat, mit Verschiebung um ρ reicht es zu zeigen, daß alt \underline{P} Â ∈ (alt \underline{P}_{ρ+A^{+}})H^{+} für alle A ∈ A^{+}. Nach Theorem 5.3.2 und seinem Beweis definiert v^{r}ψ res eine iab-lineare Injektion alt P_{∘} ↪ M^{∗} mit alt \underline{P} Â ↦ \underline{M}^{A} für alle A ∈ A^{+}, und so reicht es zu zeigen, daß \underline{M}^{A} ∈ (\underline{M}^{ρ+w_{∘}A})H^{+} für alle A ∈ A^{+}. Das ist aber genau Lemma 5.6.

Mit Alt \underline{P}_{A} ∈ (Alt \underline{P}_{A^{+}})H^{+} folgt nun, daß

Res ∘η ∘ Alt \underline{P}_{A} ∈ \underline{M}_{A^{+}}H^{+}

selbstdual ist für alle A ∈ A. Andererseits gilt offensichtlich

Res ∘η ∘ Alt \underline{P}_{A} ∈ M_{A} + ∑_{B} vℤ[v]M_{B}

für alle A ∈ A^{+} und das Korollar ist bewiesen.

Wir zeigen nun Theorem 6.4.

Beweis. Wir überlassen hier alles dem Leser bis auf den Nachweis, daß die für \underline{P̃}_{A} behauptete Formel in der Tat ein selbstduales Element von P̂ definiert. Bezeichne ξ : P̂ → P̂ die L-schieflineare Abbildung mit ξ(∑_{A}^{∞} p_{A}A) = ∑_{A}^{∞}(−1)^{d(A^{+},A)}\overline{p}_{A}A. Es gilt zu zeigen, daß ξη\underline{P}_{A} ∈ P̂ selbstdual ist. Wir führen diesen Beweis durch Widerspruch. Wir schreiben also

ξη\underline{P}_{A} − \overline{ξη\underline{P}_{A}} = ∑^{∞} f_{C}C

und wählen B ∈ A mit f_{B} ≠ 0. Indem wir das Paar (A, B) hinreichend weit in die positive Weylkammer verschieben, dürfen wir annehmen, daß η Alt \underline{P}_{A} und η\underline{P}_{A} auf allen Alkoven C mit C ⪰ B übereinstimmen. Nach Korollar 6.9 stimmt auf diesen Alkoven also auch Res η\underline{P}_{A} überein mit \underline{M}_{A} und res ξη\underline{P}_{A} mit ϕ^{−1}\underline{M}_{A}, wo ϕ wie in Abschnitt 3 die L-schieflineare Abbildung ϕ : N → M mit ϕ(N_{x}) = (−1)^{l(x)}M_{x} bezeichnet und wir unser altes res : P → N in der offensichtlichen Weise nach P̂ erweitert haben.

Nun kennen wir aber nach Theorem 5.3 die Formel \underline{N}_{D} = res alt \underline{P}_{D} für D ∈ A^{++}, insbesondere gilt \underline{N}_{D} = res \underline{P}_{D} für alle D ⊂ C, die hinreichend fern von allen Wänden der dominanten Weylkammer liegen. Indem wir das Paar (A, B) unter Umständen noch weiter in die dominante Weylkammer hineinschieben, dürfen wir zusätzlich annehmen, daß alle Alkoven C mit A ⪰ C ⪰ B schon so fern von allen Wänden liegen, daß \underline{N}_{C} = res \underline{P}_{C}. Schreiben wir nun

ξη\underline{P}_{A} = ∑_{C}^{∞} p_{C} \underline{P}_{C},
ϕ^{−1}\underline{M}_{A} = ∑ n_{C} \underline{N}_{C},

so folgt p_{C} = n_{C} für A ⪰ C ⪰ B. Da aber ϕ^{−1}\underline{M}_{A} = ±\underline{Ñ}_{A} selbstdual ist (nach dem Schluß vom Beweis des Theorems 3.9), müssen alle n_{C} selbstdual sein, damit auch alle p_{C} für A ⪰ C ⪰ B, und daraus folgt schließlich der gewünschte Widerspruch f_{B} = 0.

Zum Abschluß zeigen wir noch Teil 2 von Theorem 6.1.

Beweis. Wir beginnen mit der nahezu tautologischen Formel

∑_{B}(−1)^{d(A,B)}m_{B,A}m^{B,C} = δ_{A,C}

Liegt das Paar (C, A) hinreichend weit im Inneren der dominanten Weylkammer, so gilt m_{B,A} = q_{B,A} für alle B ⪰ C, also alle B mit m^{B,C} ≠ 0. Andererseits gilt dann auch m^{B,C} = v^{r}\overline{p}_{B,Ĉ} = p_{w_{0}B,w_{0}C}, die erste Gleichung nach Theorem 5.3, die letzte Gleichung da \underline{P} Ĉ selbstdual ist, da also nach Konstruktion der Dualität auf P_{∘} gilt \underline{P} Ĉ = v^{r}c⟨w_{0}⟩\underline{P} Ĉ = v^{r}c\underline{P}_{w_{0}C}, wo wir w_{0} ∗ Ĉ = w_{0}C verwandt haben.

Damit sind alle drei Theoreme dieses Abschnitts vollständig bewiesen.

7. Beziehung zu Kippmoduln

Sei h die Coxeter-Zahl unseres Wurzelsystems R und l ⩾ h ungerade. Für eine primitive l-te Einheitswurzel ζ bildet man nach Lusztig die Quantengruppe mit dividierten Potenzen U_{ζ}. Sei U_{ζ}-mof die Kategorie aller endlichdimensionalen Darstellungen von U_{ζ}, und sei B ⊂ U_{ζ}-mof der “Hauptblock”, d. h. der kleinste Summand, der die triviale Darstellung enthält. B ist eine k-Kategorie für k = ℚ(ζ).

Die einfachen Objekte von B sind in natürlicher Weise parametrisiert durch die Menge A^{+} aller Alkoven in der dominanten Weylkammer. Zu A ∈ A^{+} bezeichne L_{A} ∈ B das zugehörige einfache Objekt. L_{A} ist der Sockel bzw. der eindeutig bestimmte einfache Quotient der Standard-Moduln ∇_{A} bzw. Δ_{A}. Zum Beispiel ist L_{A^{+}} = ∇_{A^{+}} = Δ_{A^{+}} = k die triviale Darstellung. In B gibt es genügend projektive Objekte. Die projektive Decke von L_{A} bezeichne ich mit P_{A}. Unter einer ∇-Fahne (bzw. Δ-Fahne) eines Objekts von B versteht man eine Filtrierung, bei der alle Subquotienten die Form ∇_{A} bzw. Δ_{A} haben, für geeignete A ∈ A^{+}.

Definition 7.1. Ein Objekt T ∈ B heißt “Kippmodul” genau dann, wenn T sowohl eine ∇-Filtrierung als auch eine Δ-Filtrierung besitzt.

Ich wiederhole nun ohne Beweis einige Tatsachen aus der Theorie der Kippmoduln. Als Standard-Referenz für den völlig analogen Fall der Darstellungen algebraischer Gruppen in positiver Charakteristik vergleiche man [Don93]. Zunächst ist jeder Summand eines Kippmoduls selbst ein Kippmodul. Des weiteren gibt es für jedes A ∈ A^{+} genau einen unzerlegbaren Kippmodul T_{A}, der eine Δ-Fahne besitzt, die mit Δ_{A} ⊂ T_{A} beginnt. Die Eindeutigkeit folgt hier recht schnell aus folgender Eigenschaft der Standardobjekte:

Ext_{B}^{n}(Δ_{A}, ∇_{B}) = \begin{cases}k & falls A = B und n = 0; \\ 0 & sonst. \end{cases}

Man kann auf B eine Dualität einführen, d.h. einen involutiven exakten kontravarianten k-Funktor d : B → B, der die einfachen Isomorphieklassen erhält und die Standardobjekte vertauscht, dΔ_{A} ≅ ∇_{A}. Es ist bekannt, daß die Kippmoduln unter einer solchen Dualität selbstdual sind, also dT_{A} ≅ T_{A}. Insbesondere ist T_{A} auch der einzige unzerlegbare Kippmodul, der eine ∇-Fahne besitzt, die mit T_{A} ↠ ∇_{A} endet.

Die vorliegende Arbeit ist motiviert durch das Problem, die Multiplizität (T_{A} : ∇_{B}) zu bestimmen, mit der der Standardmodul ∇_{B} als Subquotient in einer ∇-Fahne von T_{A} auftritt. Dazu habe ich folgende

Vermutung 7.2. (T_{A} : ∇_{B}) = n_{B,A}(1).

Bemerkungen 7.3. 1. Ich habe mittlerweile einen Beweis für diese Vermutung gefunden [Soe97]. Er ist allerdings sehr weit entfernt vom unten geschilderten Grund für die Vermutung. Eine Interpretation für die Koeffizienten der n_{B,A} hat auch Andersen in [And96] vorgeschlagen.

2. Aus der Vermutung folgen auch Charakterformeln für die unzerlegbaren Kipp-Moduln “auf den Wänden”. Genauer zeigen wir, daß für einen unzerlegbaren Kipp-Modul T auf Wänden und Ψ die Verschiebung aus allen Wänden auch ΨT unzerlegbar ist.

Bezeichne dazu Φ die Verschiebung auf die Wände, d.h. den zu Ψ adjungierten Funktor. Seien A(1), …, A(r) die Alkoven, in deren Abschluß das höchste Gewicht von T liegt. So ist ΦΨT ≅ T ⊕ … ⊕ T (r Kopien), da beide Seiten Kipp-Moduln sind und die Charaktere übereinstimmen. Daraus folgt schon mal, daß nur die T_{A(i)} als unzerlegbare Summanden von ΨT in Frage kommen.

Sei nun A(1) die größte Alkove unter den A(i). Da wir das höchste Gewicht von ΨT kennen, wissen wir auch, daß T_{A(1)} als Summand in ΨT vorkommen muß. Schließlich folgt mit Fall 2 in 3.7 aus obiger Vermutung, daß (T_{A(1)} : ∇_{A(i)}) = 1 für i = 1, …, r. Andererseits gilt auch (ΨT : ∇_{A(i)}) = 1 für i = 1, …, r. Deshalb ist in ΨT für andere Summanden T_{A(i)} kein Platz mehr, und wir erhalten ΨT ≅ T_{A(1)}.

Die meisten unzerlegbaren Kippmoduln sind ja bereits projektiv, genauer gilt P_{A} ≅ TÂ nach [And92], 5.8. Für die projektiven Objekte werden die fraglichen Multiplizitäten schon durch die Reziprozitätsformel (P_{A} : Δ_{B}) = [∇_{B} : L_{A}] gegeben. Die Lusztig-Vermutung besagt aber, daß in der Grothendieck-Gruppe von B die Gleichung

L_{A} = ∑_{B}(−1)^{d(B,A)}m_{B,A}(1)∇_{B}

gilt. (Man verwendet Proposition 3.8, um zu sehen, daß diese Vermutung in der Tat mit der von Lusztig in [Lus80b] formulierten Vermutung übereinstimmt.) Wir können diese Gleichung invertieren und erhalten

∑_{A} m^{C,A}(1)L_{A} = ∇_{C}

Aus der Lusztig-Vermutung folgt damit (P_{A} : Δ_{B}) = m^{B,A}(1). Als ersten Test unserer Vermutung gilt es also, die Formel m^{B,A}(1) = n_{B,Â}(1) zu zeigen. Das ist eine leichte Konsequenz aus Theorem 5.1.

Die eigentliche Motivation für obige Vermutung kommt aber aus der Philosophie der “ℤ-graduierten Darstellungskategorie”, wie ich im Folgenden kurz darlegen will. Man kann hoffen, daß die Kategorie B eine ℤgraduierte Version B̃ im Sinne von [BGS96], 4.3 besitzt. Die ∇_{A}, Δ_{A}, L_{A} sollten dann ℤ-graduierte Versionen ˜∇_{A}, Δ̃_{A}, L̃_{A} ∈ B̃ besitzen, es sollte auf B̃ eine “Verschiebung der ℤ-Graduierung” M ↦ M⟨i⟩ geben (für i ∈ ℤ), die Dualität sollte zu einer Dualität d̃: B̃ → B̃ liften mit d̃(M⟨i⟩) = (d̃M)⟨−i⟩, d̃( ˜∇_{A}) = Δ̃_{A}, und wir hätten feiner als zuvor

Extn ; B̃(Δ̃_{A}, ˜∇_{B}⟨i⟩) = \begin{cases}k & falls A = B und i = n = 0; \\ 0 & sonst. \end{cases}

Weiter liefert jedes s ∈ S einen exakten Funktor Θ_{s} : B → B, die sogenannte “Verschiebung durch die Wand”. Er vertauscht mit der Dualität Θ_{s}d = dΘ_{s} und ist einfach zu berechnen auf den Standardmoduln: Für A ∈ A^{+} gibt es kurze exakte Sequenzen

∇_{A} ↪ Θ_{s}∇_{A} ↠ ∇_{As} falls As ≻ A, As ∈ A^{+};
∇_{As} ↪ Θ_{s}∇_{A} ↠ ∇_{A} falls As ≺ A, As ∈ A^{+},

und es gilt Θ_{s}∇_{A} = 0 falls As ∉ A^{+}.

Man kann nun hoffen, daß auch Θ_{s} eine graduierte Version Θ̃_{s} : B̃ → B̃ besitzt, die mit d̃ kommutiert und so beschaffen ist, daß wir wieder für A ∈ A^{+} kurze exakte Sequenzen

˜∇_{A}⟨1⟩ ↪ Θ̃_{s} ˜∇_{A} ↠ ˜∇_{As}  falls As ≻ A, As ∈ A^{+};
˜∇_{As} ↪ Θ̃_{s} ˜∇_{A} ↠ ˜∇_{A}⟨−1⟩ falls As ≺ A, As ∈ A^{+}

haben, bzw. daß Θ̃_{s} ˜∇_{A} = 0 falls As ∉ A^{+}. Diese Hoffnungen werden wesentlich gestützt durch die Tatsache, daß sie sich in der analogen Situation der G_{1}T -Moduln bis auf die Existenz von d̃ beweisen lassen, siehe [AJS94].

Wir versuchen nun induktiv graduierte Versionen T̃_{A} der Kippmoduln zu bilden. Die ˜∇-Fahne der T̃_{A} soll also mit T̃_{A} ↠ ˜∇_{A} enden. Wir beginnen mit T̃_{A^{+}} = ˜∇_{A^{+}} = L̃_{A^{+}}. Ist T̃_{A} schon konstruiert, so wählen wir s ∈ S mit As ≻ A und bilden Θ̃_{s}T̃_{A}. Dies Objekt ist sicher ein Kippmodul und besitzt sogar eine ˜∇-Fahne, die mit ˜∇_{As} endet. Es sollte aber im allgemeinen nicht unzerlegbar sein, sondern vielmehr zerfallen als

Θ̃_{s}T̃_{A} = T̃_{As} ⊕ ⨁_{B}T̃_{B},

wo die Summe über eine gewisse Multimenge von Alkoven B ≺ As geht. Man kann nun erwarten, daß alle Homomorphismen in B̃ (also alle B-Homomorphismen “vom Grad Null”) von T̃_{B} nach Θ̃_{s}T̃_{A} spalten, und diese Annahme führt genau auf obige Vermutung. Denn betrachten wir mal die Grothendieckgruppe [B̃] von B̃ und definieren den Homomorphismus h : [B̃] ⟶ N durch h( ˜∇_{A}⟨i⟩) = v^{i}N_{A}. Nach unseren Formeln ist h(Θ̃_{s}M̃) = h(M̃)\underline{H}_{s} für alle s ∈ S. Nehmen wir nun an, wir wüßten schon per Induktion, daß h(T̃_{A}) = \underline{N}_{A}. Sicher haben wir

dim HomB̃(T̃_{B}, Θ̃_{s}T̃_{A}) = ∑_{i,C}(T̃_{B} : Δ̃_{C}⟨i⟩)(Θ̃_{s}T̃_{A} : ˜∇_{C}⟨i⟩)
= (Θ̃_{s}T̃_{A} : ˜∇_{B}),

da per Induktion T̃_{B} = d̃T̃_{B}, also (T̃_{B} : Δ̃_{C}⟨i⟩) = (T̃_{B} : ˜∇_{C}⟨−i⟩) = 0 falls i > 0 oder i = 0, B ≠ C. Nun ist h(Θ̃_{s}T̃_{A}) = \underline{N}_{A}\underline{H}_{s} = ∑_{B} m_{B}N_{B} und per Definitionem (Θ̃_{s}T̃_{A} : ˜∇_{B}) = m_{B}(0), mithin

h(T̃_{As}) = h(Θ̃_{s}T̃_{A}) − ∑_{B≺As} dim HomB̃(T̃_{B}, Θ̃_{s}T̃_{A})h(T̃_{B})
= \underline{N}_{A}\underline{H}_{s} − ∑_{B≺As} m_{B}(0)\underline{N}_{B}
= \underline{N}_{As},

was zu erklären war.

Ich möchte noch anfügen, daß aus der Formel h(T̃_{A}) = \underline{N}_{A} auch die Unzerlegbarkeit von T_{A} folgt. Denn ähnlich wie oben rechnet man nach, daß dann E = End_{B} T_{A} eine ℤ-Graduierung

E = ⨁_{i} HomB̃(T̃_{A}⟨i⟩, T̃_{A})

besitzt, die im Grad Null mit der homogenen Komponente E_{0} = k beginnt und keine negativen Komponenten hat. Eine endlichdimensionale k-Algebra, die eine solche Graduierung zuläßt, ist aber stets lokal. Mithin ist unter unseren Annahmen T_{A} unzerlegbar.

8. Das Beispiel B_{2}

In den folgenden Tafeln zeige ich am Beispiel des Wurzelsystems B_{2} den Algorithmus, der die \underline{N}_{A} berechnet. Ein Element ∑ n_{A}N_{A} ∈ N wird dargestellt durch ein Bild, bei dem im Alkoven A das Laurentpolynom n_{A} steht. Wir setzten S = {k, l, a} mit a wie affin, l wie lang, und k wie kurz, also im Bild

BILD FEHLT

Wir beginnen unsere Rechnung mit einem Bild von \underline{N}_{A^{+}}. Jedes Bild, in dem nur ein Alkoven A mit einer 1 gefüllt ist, gibt das entsprechende \underline{N}_{A} an. Rechtsmultiplikation mit \underline{H}_{s} wird bildlich durch ⟶^{\underline{H}_{s}} dargestellt. In dem so entstehenden \underline{N}_{A}\underline{H}_{s} können noch zusätzliche Einsen stehen, die dann durch Subtraktion der entsprechenden \underline{N}_{B} mit B ≺ As beseitigt werden müssen. Diesen Vorgang symbolisiert ein gestrichelter Pfeil − − − →.

BILD FEHLT

Das letzte Muster ist genau res alt E_{ρ} und bestätigt so Theorem 5.3.1.

9. Existenz und Eindeutigkeit für selbstduale Basen

In diesem Abschnitt möchte ich erklären, inwieweit die Existenz und Eindeutigkeit unserer selbstdualen Basen in Wirklichkeit eine sehr allgemeine Tatsache ist. Sei (W, ≤) eine partiell geordnete Menge derart, daß unterhalb von jedem Element höchstens endlich viele andere Elemente liegen. Sei LW der freie L-Modul über W und d eine schieflineare Involution auf LW, also ein ℤ-linearer Endomorphismus mit d^{2} = id und d(vf) = v^{−1}d(f). Ein Element f ∈ LW mit d(f) = f nennen wir selbstdual.

Wir nehmen nun zusätzlich an, daß gilt

d(x) ∈ x + ∑_{y<x} Ly

für alle x ∈ W. So haben wir folgende allgemeine

Proposition 9.1. [Lus93] Es gibt für jedes x ∈ W genau ein selbstduales Element \underline{x} ∈ LW von der Form \underline{x} ∈ x + ∑_{y} vℤ[v]y. Für dies selbstduale Element \underline{x} gilt sogar \underline{x} ∈ x + ∑_{y<x} vℤ[v]y.

Beweis. Wir zeigen zunächst die Existenz. Für eine Teilmenge T ⊂ W definieren wir ihren “unteren Abschluß” T^{∧} ⊂ W durch

T^{∧} = {x ∈ W | ∃t ∈ T mit t ≥ x}

Für f = ∑ f_{x}x ∈ LW definieren wir den Träger supp f ⊂ W durch supp f = {x | f_{x} ≠ 0}. Jetzt zeigen wir durch Induktion von oben

Behauptung 9.2. Für alle n gibt es \underline{x}_{n} ∈ x + ∑_{y<x} vℤ[v]y derart, daß im unteren Abschluß des Trägers von x_{n} − dx_{n} höchstens n Elemente liegen.

Natürlich können wir unsere Induktion bei m = card{y | y < x} mit \underline{x}_{m} = x starten, und am Schluß ist \underline{x}_{0} unser gesuchtes \underline{x}. Sei nun für den Induktionsschritt ein mögliches \underline{x}_{n} bereits gefunden. Ist \underline{x}_{n} − d\underline{x}_{n} = 0, so können wir \underline{x}_{0} = \underline{x}_{n} nehmen und sind fertig. Sonst wählen wir z ∈ supp(\underline{x}_{n} − d\underline{x}_{n}) maximal. Schreiben wir dann \underline{x}_{n} − d\underline{x}_{n} = ∑_{y} f_{y}y, so wechseln beide Seiten unter d ihr Vorzeichen und es folgt \overline{f_{z}} = −f_{z}. Wir können also f_{z} schreiben als f_{z} = g − \overline{g} mit g ∈ vℤ[v], und man überzeugt sich leicht, daß ein mögliches \underline{x}_{n−1} gegeben wird durch \underline{x}_{n−1} = \underline{x}_{n} − gz. Das zeigt die Behauptung und die Existenz unserer \underline{x}. Die Eindeutigkeit folgt sofort aus

Behauptung 9.3. Für f ∈ ∑_{y} vℤ[v]y folgt aus f = df schon f = 0.

Schreiben wir f = ∑ f_{y}y und wählen z maximal mit f_{z} ≠ 0, so folgt aus f = df schon f_{z} = \overline{f}_{z} im Widerspruch zu f_{z} ∈ vℤ[v]. Das zeigt die Behauptung, und die Proposition ist bewiesen.

Fordern wir von der partiell geordneten Menge W nur, daß alle ihre Intervalle endlich sind, so betrachten wir allgemeiner den L-Modul L̂W = {f : W → L | Es gibt eine endliche Teilmenge T ⊂ W mit supp f ⊂ T^{∧}}. Ein Element f ∈ L̂W schreiben wir als die formale unendliche Linearkombination f = ∑^{∞} f(x)x.

Sei nun d eine schieflineare Involution auf L̂W mit der Stetigkeitseigenschaft supp(df) ⊂ (supp f)^{∧} ∀f ∈ L̂W. Gilt zusätzlich d(x) ∈ x + ∑_{y<x}^{∞} Ly ∀x ∈ W, so haben wir in Verallgemeinerung der obigen Proposition 9.1 folgende

Proposition 9.4. [Lus93] Es gibt für jedes x ∈ W genau ein selbstduales \underline{x} ∈ L̂W von der Form \underline{x} ∈ x + ∑^{∞} vℤ[v]y, und dies \underline{x} ist sogar von der Form \underline{x} ∈ x + ∑_{y<x} vℤ[v]y.

Beweis. Der Beweis ist mutatis mutandis derselbe wie eben, um den Koeffizienten von \underline{x} an der Stelle z ∈ W zu bestimmen müssen wir nur induktiv das Intervall {y | x ≥ y ≥ z} abarbeiten.

10. Die parabolischen periodischen Hecke-Moluln

In diesem Abschnitt stelle ich Resultate aus [Lus97] vor. Sei Δ_{ι} ⊂ Δ eine Teilmenge der einfachen Wurzeln. Wir bezeichnen mit W_{ι} ⊂ W die von Spiegelungen zu Wurzeln aus Δ_{ι} erzeugte Untergruppe und mit W_{(ι)} ⊂ W die Untergruppe, die von allen Spiegelungen an Spiegelebenen erzeugt wird, auf denen eine Wurzel aus Δ_{ι} senkrecht steht. Es ist also W_{ι} ⊂ W_{(ι)}, genauer gilt W_{ι} = W_{(ι)} ∩ W. Die Alkoven zu W_{(ι)} nennen wir “Δ_{ι}-Streifen” oder kurz “ι-Streifen” in Verallgemeinerung der α-Streifen aus Abschnitt 4. Der ι-Streifen, der den fundamentalen dominanten Alkoven A^{+} enthält, heißt auch der “fundamentale dominante ι-Streifen.” Wir setzen A^{ι} = {A ∈ A | A liegt im fundamentalen dominanten ι-Streifen} und können die parabolischen periodischen Hecke-Moduln einführen.

Lemma 10.1. [Lus97] Auf dem freien L-Modul P^{ι} = ⨁_{A∈A^{ι}} LA über A^{ι} gibt es genau eine Rechtsoperation von H derart, daß für alle s ∈ S, A ∈ A^{ι} gilt

A · \underline{H}_{s} = \begin{cases}As + vA & falls As ≻ A, As ∈ A^{ι}; \\ As + v^{−1}A & falls As ≺ A, As ∈ A^{ι}; \\ (v + v^{−1})A & falls As ∉ A^{ι}. \end{cases}  (1)

Bemerkung 10.2. Wir benutzen die Notation A·\underline{H}_{s}, um die Operation von H auf P^{ι} zu unterscheiden von der Operation auf P.

Beweis. Wir betrachten zunächst den L-Modul P^{∗} aller Abbildungen f : A → L. Seine Elemente fassen wir auf als unendliche formale Linearkombination f = ∑_{A∈A}^{∞} f(A)A und haben so eine offensichtliche Einbettung P ↪ P^{∗}. Unsere H-Rechtsoperation auf P läßt sich in offensichtlicher Weise auf P^{∗} ausdehnen. Formal ist P^{∗} = Hom_{L}(P, L), aufgefaßt als H-Rechtsmodul mithilfe unseres Antiautomorphismus i : H → H.

Bezeichne F_{ι} ⊂ F die Menge der Spiegelebenen zu Spiegelungen von W_{(ι)}. Wir definieren für je zwei Alkoven A, B ∈ A ihre “relative ι-Höhe” d_{ι}(A, B) ∈ ℤ durch

d_{ι}(A, B) = card{H ∈ F_{ι} | A ⊂ H^{−}, B ⊂ H^{+}}
− card{H ∈ F_{ι} | A ⊂ H^{+}, B ⊂ H^{−}}.

Natürlich hängt diese Zahl nur von den ι-Streifen von A und B ab. Anschließend definieren wir die L-lineare Abbildung

\begin{aligned}sum = sum_{ι} : & P^{ι} ↪ P^{∗} \\ & A ↦ ∑_{x∈W_{(ι)}}^{∞} v^{d_{ι}(xA,A)}xA \end{aligned}

für alle A ∈ A^{ι} und das Lemma folgt sofort aus

Behauptung 10.3. Ist für A ∈ A^{ι}, s ∈ S das Element A · \underline{H}_{s} ∈ P^{ι} definiert durch die Fallunterscheidung in unserem Lemma, so gilt

sum(A · \underline{H}_{s}) = (sum A)\underline{H}_{s}

Zeigen wir also diese Behauptung. Nun, ist R_{ι} ⊂ R das von Δ_{ι} ⊂ Δ erzeugte Unterwurzelsystem, so gilt w(R^{+} − R_{ι}) = R^{+} − R_{ι} ∀w ∈ W_{ι}. Sind also A, As ∈ A^{ι}, so gilt As ≻ A ⇒ xAs ≻ xA ∀x ∈ W_{(ι)}. Das erledigt die beiden ersten Fälle in unserer Fallunterscheidung. Im letzten Fall ist As = zA für geeignetes z ∈ W_{(ι)} und wir können schreiben

sum A = ∑_{xA≻xAs}^{∞} v^{d_{ι}(xA,A)}(xA + v(xAs)).

Nun gilt aber für B ∈ A mit B ≻ Bs in der Tat (B + vBs)\underline{H}_{s} = (v + v^{−1})(B + vBs) und wir folgern

(sum A)\underline{H}_{s} = (v + v^{−1}) sum A = sum(A · \underline{H}_{s})

Zur späteren Verwendung notieren wir noch

Lemma 10.4. Die Abbildung sum = sum_{ι} : P^{ι} ↪ P^{∗} ist ein Homomorphismus von H-Rechtsmoduln.

Beweis. Das ist nur eine Umformulierung der Behauptung 10.3.

Für jedes ganze Gewicht λ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens definieren wir E_{λ}^{ι} ∈ P^{ι} durch die Formel

E_{λ}^{ι} = ∑_{A∈A^{ι},λ∈Ā} v^{f(A)}A,

wo Ā ausnahmsweise den Abschluss von A bezeichnet, f : {A ∈ A^{ι} | λ ∈ Ā} → ℕ gegeben ist durch f(λ + xA^{+}) = l(x) − m, und m gerade so gewählt wird, daß die Funktion f den Wert Null annimmt, also m = min{l(x) | x ∈ W, λ + xA^{+} ∈ A^{ι}}.

Sei P_{∘}^{ι} ⊂ P^{ι} der von allen E_{λ}^{ι} erzeugten H-Untermodul.

Proposition 10.5. Es gibt auf P_{∘}^{ι} genau eine H-schieflineare Involution P_{∘}^{ι} → P_{∘}^{ι}, P ↦ \overline{P} derart, daß gilt \overline{E_{λ}^{ι}} = E_{λ}^{ι} für alle ganzen Gewichte λ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens.

Beweis. Verschoben.

Um die Existenz von kanonischen selbstdualen Basen zu garantieren, arbeiten wir im “nach unten vervollständigten” Hecke-Modul

P̂^{ι} = {f : A^{ι} → L | Es gibt C ∈ A^{ι} so daß f(A) ≠ 0 ⇒ A ⪯ C}

Für je zwei C_{1}, C_{2} ∈ A^{ι} gibt es C ∈ A^{ι} mit C_{1} ⪯ C, C_{2} ⪯ C. Also ist P̂^{ι} ein L-Untermodul im Raum aller Funktionen von A^{ι} nach L. Wir schreiben Elemente f ∈ P̂^{ι} als formale Linearkombinationen f = ∑^{∞} f_{A}A mit f_{A} = f(A). Unsere Rechtsoperation von H auf P^{ι} setzen wir in der offensichtlichen Weise auf P̂^{ι} fort. Für f ∈ P̂^{ι} definieren wir den Träger supp f ⊂ A^{ι} durch supp f = {A ∈ A^{ι} | f(A) ≠ 0} und für jede Teilmenge T ⊂ A^{ι} bezeichnet T^{∧} = {A ∈ A^{ι} | ∃C ∈ T mit A ⪯ C} ihren unteren Abschluß.

Theorem 10.6. 1. Es gibt auf P̂^{ι} genau eine H-schieflineare Involution P̂^{ι} → P̂^{ι}, P ↦ \overline{P} derart, daß gilt supp \overline{P} ⊂ (supp P)^{∧} für alle P ∈ P̂^{ι} und \overline{E_{λ}^{ι}} = E_{λ}^{ι} für alle ganzen Gewichte λ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens.

2. Für alle A ∈ A^{ι} gibt es genau ein (unter dieser Involution) selbstduales \underline{P} _{A}^{ι} ∈ P̂^{ι} von der Form \underline{P} _{A}^{ι} ∈ A + ∑_{B}^{∞} vℤ[v]B.

Bemerkungen 10.7. 1. Unsere Proposition 10.5 folgt sofort aus Teil 1 des Theorems, ist aber ein wichtiger Teilschritt im Beweis desselben.

2. Eine zentrale offene Frage der hier vorgestellten Theorie ist, ob die selbstdualen \underline{P} _{A}^{ι} schon endliche Summen sind, ob also gilt \underline{P} _{A}^{ι} ∈ P^{ι} ∀A ∈ A^{ι}.

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit in Teil 1. Wir finden ja für alle A ∈ A^{ι} eine Folge s, t, …, r ∈ S so, daß A ≻ As ≻ Ast ≻ … ≻ Ast … r wobei alle diese Alkoven im fundamentalen dominanten ι-Streifen liegen und Ast … r = λ+A^{+} für ein geeignetes ganzes Gewicht λ. Dann ist natürlich D_{A} = E_{λ} · (\underline{H}_{r} … \underline{H}_{s}) ∈ P_{0}^{ι} selbstdual und von der Form D_{A} ∈ A + ∑_{B≺A} LB. Indem wir uns von oben nach unten hangeln können wir nun jedes P ∈ P̂^{ι} schreiben als unendliche formale Linearkombination P = ∑^{∞} p_{A}D_{A} mit p_{A} ∈ L und haben notwendig \overline{P} = ∑^{∞} \overline{p_{A}}D_{A}. Mithin ist die Dualität durch unsere Bedingungen eindeutig festgelegt. Wir erhalten zusätzlich \overline{A} ∈ A + ∑_{B≺A}^{∞} LB für alle A ∈ A^{ι} und können somit Proposition 9.4 anwenden, um Teil 2 des Theorems aus Teil 1 zu folgern.

Das eigentliche Problem ist also der Nachweis der Existenz unserer Involution in Teil 1. Wir werden nach einigen Vorarbeiten darauf zurückkommen.

Sei T_{(ι)} ⊂ W_{(ι)} die Menge der Translationen aus W_{(ι)}. Es gibt einen Homomorphismus d = d_{ι} : T_{(ι)} → ℤ mit d(λ) = d_{ι}(λ) = d_{ι}(A, λ+A) für alle A ∈ A. Nebenbei bemerkt landet d sogar in den geraden ganzen Zahlen.

Wir definieren nun einen Homomorphismus von H-Rechtsmoduln Sum : P_{∘} → P^{∗} durch die Vorschrift

\begin{aligned}Sum & : & P_{∘} → P^{∗} \\ & & P ↦ ∑_{λ∈T_{(ι)}}^{∞} v^{−d(λ)}⟨λ⟩P. \end{aligned}

Sicher gilt Sum E_{μ} ∈ sum P^{ι} für alle μ ∈ X und folglich Sum P_{∘} ⊂ sum P^{ι}. Mithin können wir einen Homomorphismus von H-Rechts-moduln

re Sum : P_{∘} → P^{ι}

definieren durch die Vorschrift sum ∘re Sum = Sum .

Sei w_{ι} ∈ W_{ι} das längste Element. Der Schlüssel zur Definition der Dualität auf P_{∘}^{ι} ist folgendes

Lemma 10.8. Der Kern von re Sum : P_{∘} → P^{ι} ist stabil unter P ↦ ⟨w_{ι}⟩\overline{P}.

Beweis. Verschoben.

Beweis von Proposition 10.5. Aus dem Lemma folgt, daß die schieflineare Dualität P ↦ ⟨w_{ι}⟩\overline{P} eine schieflineare Dualität auf dem Bild von re Sum in P^{ι} induziert. Nun ist aber das Bild von re Sum gerade P_{∘}^{ι}. Bezeichnen wir genauer für ein ganzes Gewicht λ ∈ X mit λ^{ι} das dazu unter W_{(ι)} konjugierte Gewicht im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens, so gilt

re Sum E_{λ} = v^{−d_{ι}(λ+A^{+},A^{+})}E_{λ^{ι}}^{ι}

und wir sehen, daß unter der induzierten Dualität E_{μ}^{ι} selbstdual ist für alle μ im Abschluß des fundamentalen dominanten ι-Streifens.

Beweis von Lemma 10.8. Das Lemma würde natürlich sofort folgen aus einer Formel der Gestalt ⟨w_{ι}⟩\overline{Sum P} = Sum⟨w_{ι}⟩\overline{P}. Leider ist die linke Seite hier nicht definiert, denn wir kennen weder eine Dualität noch eine Operation von W auf P^{∗}. Wir werden der linken Seite dennoch einen Sinn geben und so das Lemma zeigen.

Zunächst erinnern wir an die Definition der Dualität auf P_{∘}. Diese setzt sich ja zusammen als \overline{P} = v^{r}⟨w_{∘}⟩cP, wo die H-schieflineare Involution c sich offensichtlich auf P^{∗} ausdehnen läßt zu

c : ∑^{∞} g_{A}A ↦ ∑^{∞} \overline{g_{A}}(w_{∘}A)

Natürlich reicht es für unsere Zwecke auch, wenn wir einer Formel der Gestalt v^{r}⟨w_{ι}w_{∘}⟩c(Sum P) = Sum⟨w_{ι}⟩\overline{P} Sinn geben können.

Nun lassen sich zwar die Operatoren ⟨s_{β}⟩ : P_{∘} → P_{∘} nicht mehr sinnvoll auf P^{∗} ausdehnen, sie lassen sich aber immer noch ausdehnen zu Endomorphismen der H-Rechtsmoduln

P_{β}^{∗} = {∑^{∞} f_{A}A | Für jede β-Kette K ⊂ A gilt ∑_{A∈K} f_{A}A ∈ P_{β}}

(Vergleiche hierzu den Beweis von Proposition 6.6.) Wir schreiben dann w_{ι}w_{∘} = s_{β(l)} … s_{β(1)} als unverkürzbares Produkt von Spiegelungen an den einfachen Wurzeln β(i) ∈ Δ und zeigen folgende

Behauptung 10.9. Sei P ∈ P_{∘}. So gilt ⟨s_{β(i)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩c(Sum P) ∈ P_{β(i+1)}^{∗} für i = 0, 1, …, l − 1 und

v^{r}⟨s_{β(l)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩c(Sum P) = Sum⟨w_{ι}⟩\overline{P}

Diese Behauptung ist nun eine präzise Aussage, aus der offensichtlich unser Lemma folgt. Es reicht natürlich, die Behauptung für P = E_{μ} mit μ ∈ X zu prüfen. Wir erhalten

\begin{aligned}Sum E_{μ} & = & ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{−d(λ)}E_{λ+μ} \\ v^{r}c(Sum E_{μ}) & = & ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{d(λ)}E_{w_{∘}(λ+μ)} \end{aligned}

und für i = 0, 1, …, l − 1 folgt induktiv die Formel

⟨s_{β(i)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩v^{r}c(Sum E_{μ}) = ∑_{λ∈T_{ι}} v^{d(λ)}E_{s_{β(i)}...s_{β(1)}w_{∘}(λ+μ)}

sowie da β(i + 1) ∉ s_{β(i)} … s_{β(1)}w_{∘}R_{ι} der erste Teil der Behauptung. Schließlich erhalten wir so

⟨s_{β(l)}⟩ ∘ … ∘ ⟨s_{β(1)}⟩v^{r}c(Sum E_{μ}) = ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{d(λ)}E_{w_{ι}(λ+μ)}
= ∑_{λ∈T_{(ι)}} v^{−d(λ)}⟨λ⟩⟨w_{ι}⟩E_{μ}
= Sum⟨w_{ι}⟩\overline{E}_{μ},

und da d(w_{ι}λ) = −d(λ) ist das genau der zweite Teil der Behauptung.

Damit ist die Proposition 10.5 bewiesen. Um auch das Theorem 10.6 zu zeigen, müssen wir allerdings nochmal auf diesen Beweis zurückkommen und ihm eine etwas feinere Aussage abgewinnen.

Für einen Alkoven A ∈ A bezeichne b(A) ∈ V seinen Schwerpunkt. Für P ∈ P^{∗} schreiben wir kurz bsupp(P) für die Menge b(supp P) aller Schwerpunkte von Alkoven im Träger von P.

Lemma 10.10. Sei K ⊂ V eine konvexe Teilmenge, die stabil ist unter Verschiebung mit Wurzeln aus R_{ι}. So ist die Menge aller P ∈ P_{∘}^{ι} mit bsupp(P) ⊂ K stabil unter unserer Involution auf P_{∘}^{ι}.

Beweis. Sei α ∈ Δ, R ∈ P_{α}^{∗} und T ⊂ V eine konvexe Teilmenge mit bsupp(R) ⊂ T. So folgt aus den Definitionen sofort bsupp(⟨s_{α}⟩R) ⊂ s_{α}T, wir brauchen dazu sogar nur anzunehmen, daß T jede Gerade mit Richtungsvektor α in einem Intervall trifft. Um das Lemma zu folgern, schreiben wir P = re Sum Q für Q ∈ P_{∘}. Natürlich gilt dann bsupp(Sum Q) ⊂ K und mit der Behauptung 10.9 folgt

bsupp(Sum⟨w_{ι}⟩\overline{Q}) ⊂ K

Das Lemma ergibt sich sofort.

Mit diesem Lemma ist nun der Weg frei zum noch ausstehenden Beweis der Existenz der Involution in Theorem 10.6.

Beweis von Theorem 10.6, Schluss. Sei κ ∈ V^{∗} eine Linearform mit κ(α) = 0 ∀α ∈ Δ_{ι} und κ(α) > 0 ∀α ∈ Δ − Δ_{ι}. Wir betrachten die Halbräume K_{t} = {ν | κ(ν) ≤ t} und erklären auf P̂^{ι} die Struktur einer (additiven) topologischen Gruppe durch die Vorschrift, daß die Untergruppen {P ∈ P̂^{ι} | bsupp(P) ⊂ K_{t}} ein fundamentales System von Umgebungen der Null bilden sollen. Unsere Topologie hängt von der Wahl von κ ab und ist nur ein Hilfsvehikel für diesen Beweis.

Leider ist P̂^{ι} nicht vollständig für unsere Topologie. Bezeichne P̃^{ι} seine Vervollständigung. Wir können und werden P̃^{ι} identifizieren mit der Menge aller Abbildungen f : A^{ι} → L derart, daß für beliebig kleine t immer nur endlich viele Alkoven im Träger von f ihren Schwerpunkt außerhalb von K_{t} haben. Die Multiplikation von rechts mit Elementen der Hecke-Algebra ist offensichtlich stetig und läßt sich daher stetig auf P̃^{ι} ausdehnen. Weiter liegt P_{∘}^{ι} dicht in P̃^{ι}, für jedes P ∈ P̃^{ι} gibt es ja höchstens endlich viele A ∈ supp P mit b(A) ∉ K_{t}, und indem wir uns über diese endliche Menge E nach unten hangeln können wir schreiben P = ∑_{A∈E} c_{A}D_{A} + Rest für geeignetes c_{A} ∈ L, D_{A} ∈ P_{∘}^{ι} der Form D_{A} = A + ∑_{B≺B} LB und Rest ∈ P̃^{ι} mit bsupp(Rest) ⊂ K_{t}.

Das Lemma 10.10 sagt uns nun, daß unsere Involution auf P_{∘}^{ι} stetig ist. Sie läßt sich also in eindeutiger Weise stetig auf die Komplettierung P̃^{ι} fortsetzen, und ist dort H-schieflinear. Wir bezeichnen diese Involution auf P̃^{ι} auch mit P ↦ \overline{P} und müssen nur noch zeigen, daß supp \overline{P} ⊂ (supp P)^{∧} für alle P ∈ P̃^{ι}. (Dann folgt automatisch auch, daß P̂^{ι} ⊂ P̃^{ι} stabil ist unter P ↦ \overline{P}.)

Wir haben ja schon beim Beweis der Eindeutigkeit gesehen, daß es für jedes A ∈ A^{ι} ein selbstduales D_{A} ∈ P_{∘}^{ι} von der Form D_{A} ∈ A + ∑_{B≺A} LB gibt. Wählen wir solche D_{A}, so können wir jedes P ∈ P̃^{ι} entwickeln als eine konvergierende Summe P = ∑^{∞} c_{A}D_{A} mit c_{A} ≠ 0 ⇒ A ∈ (supp P)^{∧}, für beliebig kleines t gibt es also stets nur endlich viele A mit c_{A} ≠ 0 und b(A) ∉ K_{t}. Dann ist natürlich notwendig \overline{P} = ∑^{∞} \overline{c_{A}}D_{A}, und das zeigt supp \overline{P} ⊂ (supp P)^{∧}. Das Theorem ist bewiesen.

11. Bernstein’s Darstellung der affinen Hecke-Algebra

Man betrachtet den periodischen Modul P für die affine Hecke-Algebra H. Er ist ein freier Rechtsmodul vom Rang 1. Genauer gilt

Lemma 11.1. Für jeden Alkoven A ∈ A definiert die Multiplikation H → P, H ↦ AH einen Isomorphismus von L-Moduln.

Beweis. Bleibt dem Leser überlassen.

Dieses Lemma sagt uns insbesondere, daß jede Wahl eines Alkoven A ∈ A einen Isomorphismus

i_{A} : H →^{∼} End_{−H} P

definiert, der charakterisiert ist durch (i_{A}H)(A) = AH. Wir verwenden im folgenden meist i_{A^{+}}. Nun betrachten wir den Gruppenring L[ℤR] über dem Wurzelgitter mit Koeffizienten in den Laurentpolynomen. Zu λ ∈ ℤR bezeichnen wir mit e^{λ} ∈ L[ℤR] das zugehörige Element des Gruppenrings. Die Operation von ℤR auf P durch Verschiebung λ ↦ ⟨λ⟩ definiert eine Einbettung L[ℤR] ↪ End_{−H} P. Verknüpfen wir sie mit (i_{A^{+}})^{−1}, so erhalten wir eine Einbettung

L[ℤR] ↪ H

Wir fassen oft L[ℤR] vermittels dieser Einbettung als Teilring von H auf. In Formeln ist also e^{λ} ∈ H charakterisiert durch λ + A^{+} = A^{+}e^{λ}. Gegeben ein dominantes λ, in Formeln λ ∈ ℤR ∩ C, ist es nicht schwer, eine explizite Formel für e^{λ} ∈ H anzugeben: Ist x ∈ W das Element der affinen Weylgruppe mit A^{+}x = λ+A^{+} und schreiben wir x = sr … t als reduzierten Ausdruch in einfachen Spiegelungen, so gilt offensichtlich A^{+} ≺ A^{+}s ≺ A^{+}sr ≺ … A^{+}x und mithin A^{+}H_{x} = A^{+}x = λ + A^{+}, in anderen Worten e^{λ} = H_{x}. Für λ ∈ ℤR beliebig schreibt man eben λ = λ_{1} − λ_{2} mit λ_{1}, λ_{2} ∈ C, erhält x_{1}, x_{2} ∈ W mit A^{+}x_{i} = λ_{i} + A^{+} für i = 1, 2, und es ergibt sich

e^{λ} = H_{x_{1}}H_{x_{2}}^{−1} = H_{x_{2}}^{−1}H_{x_{1}}

Insbesondere gilt für unseren Antiautomorphismus δ : H → H notwendig δ(e^{λ}) = e^{−λ}, wohingegen für unsere Automorphismen a, b gilt a(e^{λ}) = e^{λ}, b(e^{λ}) = e^{λ}, da ja Verschiebungen die Orientierung erhalten.

Theorem 11.2 (Bernstein). 1. Die affine Hecke-Algebra H kann beschrieben werden als die assoziative L-Algebra mit Erzeugenden e^{λ}, λ ∈ ℤR und H_{s}, s ∈ S_{f} sowie den folgenden Relationen:

Gitterrelationen: e^{λ}e^{μ} = e^{λ+μ}, e^{0} = 1 ∀λ, μ ∈ ℤR;

Quadratische Relationen: H_{s}^{2} = 1 + (v^{−1} − v)H_{s} ∀s ∈ S_{f}; Zopfrelationen: H_{s}H_{t} … H_{s} = H_{t}H_{s} … H_{t} bzw. H_{s}H_{t} … H_{t} =

H_{t}H_{s} … H_{s} falls gilt st … s = ts … t bzw. st … t = ts … s; Verträglichkeitsrelationen: Für α ∈ Δ eine einfache Wurzel und

s = s_{α} gilt

e^{λ}H_{s} − H_{s}e^{sλ} = (v^{−1} − v)\frac{e^{λ} − e^{sλ}}{1 − e^{−α}}

2. Die Multiplikation induziert Isomorphismen L[ℤR] ⊗_{L} H_{f} →^{∼} H,

a ⊗ H ↦ j(a)H und H_{f} ⊗_{L} L[ℤR] →^{∼} H, H ⊗ a ↦ Hj(a).

Bemerkung 11.3. Der Quotient in der Verträglichkeitsrelation ist im Gruppenring des Wurzelgitters ℤ[ℤR] = ⨁_{λ∈ℤR} ℤe^{λ} zu verstehen, der im Übrigen ein Polynomring ist über ℤ in den Variablen e^{α} für α ∈ Δ. Um zu sehen, daß der fragliche Quotient im Polynomring existiert, dürfen wir oBdA ⟨λ, α^{∨}⟩ = n > 0 annehmen, und dann folgt die Existenz des Quotienten aus der Formel

e^{λ} − e^{sλ} = e^{λ}(1 − e^{−nα}) = e^{λ}(1 + e^{−α} + … + e^{−(n−1)α})(1 − e^{−α})

Beweis. Wir müssen zunächst zeigen, daß die e^{λ} und H_{s} die angegebenen Relationen erfüllen. Hier ist nur die Verträglichkeitsrelation nicht auf Anhieb klar. Um auch sie nachzuweisen, müssen wir mehr Endomorphismen von P explizit angeben.

Sei α eine einfache Wurzel. Für einen Alkoven A bezeichne ⟨A, α^{∨}⟩ ∈ ℤ die größte ganze Zahl m ∈ ℤ mit m ≤ ⟨τ, α^{∨}⟩ ∀τ ∈ A. Wir erinnern an die Linksoperation von L[ℤR] = ⨁_{λ∈ℤR} Le^{λ} durch Verschiebung auf P und behaupten

Lemma 11.4. Für jede einfache Wurzel α ∈ Δ definiert die Vorschrift

V_{α} : A ↦ s_{α}A + (v^{−1} − v)\frac{1 − e^{−⟨A,α^{∨}⟩α−α}}{1 − e^{−α}} A

einen Endomorphismus des H-Rechtsmoduls P.

Beweis. Es gilt zu zeigen, daß unsere Abbildung vertauscht mit den Rechtsmultiplikationenn ·\underline{H}_{t}, für alle t ∈ S. Das ist evident, falls A und At im selben α-Streifen liegen. Nehmen wir also an, A und At liegen nicht im selben α-Streifen. Wir kürzen ⟨A, α^{∨}⟩ = m ab und betrachten die Fälle A ≻ At und A ≺ At separat. Im ersten Fall gilt ⟨At, α^{∨}⟩ = m − 1 und A\underline{H}_{t}) = v^{−1}A + At und wir erhalten

V_{α}(A\underline{H}_{t}) = v^{−1}s_{α}A + v^{−1}(v^{−1} − v)\frac{1−e^{−mα−α}}{1−e^{−α}} A
+s_{α}At + (v^{−1} − v)\frac{1−e^{−mα}}{1−e^{−α}} At
(V_{α}A)\underline{H}_{t} = s_{α}At + vs_{α}A + v^{−1}(v^{−1} − v)\frac{1−e^{−mα−α}}{1−e^{−α}} A
+(v^{−1} − v)\frac{1−e^{−mα−α}}{1−e^{−α}} At

Jetzt beachten wir, daß sich die letzten Terme fast wegheben, es bleibt nur ein (v^{−1} − v)e^{−mα}At ganz unten stehen. Da aber e^{−mα}At = s_{α}A kommt dieser Term gerade recht und wir erkennen V_{α}(A\underline{H}_{t}) = (V_{α}A)\underline{H}_{t}. Im zweiten Fall rechnet man ähnlich.

Mit der Notation s = s_{α} gilt aber V_{α}(A^{+}) = sA^{+}+(v^{−1}−v)A^{+} = A^{+}\underline{H}_{s} und wir folgern sofort V_{α} = i_{A^{+}}(\underline{H}_{s}). Um die Verträglichkeitsrelation in der Hecke-Algebra nachzuweisen, müssen wir also nur prüfen

e^{λ}V_{α} − V_{α}e^{sλ} = (v^{−1} − v)\frac{e^{λ} − e^{sλ}}{1 − e^{−α}}

und es reicht sogar zu zeigen, daß beide Seiten auf A^{+} denselben Wert annehmen. Nun gilt aber

e^{λ}V_{α}A^{+} = e^{λ}A^{+}\underline{H}_{s} = e^{λ}(A^{+}s + (v^{−1} − v)A^{+})
V_{α}e^{sλ}A^{+} = s(e^{sλ}A^{+}) + (v^{−1} − v)\frac{1−e^{−⟨sλ,α^{∨}⟩α−α}}{1−e^{−α}} e^{sλ}A^{+}
= e^{λ}A^{+}s + (v^{−1} − v)\frac{e^{sλ}−e^{λ−α}}{1−e^{−α}} A^{+}
= e^{λ}A^{+}s + (v^{−1} − v)\frac{e^{sλ}−e^{λ}}{1−e^{−α}} A^{+} + (v^{−1} − v)e^{λ}A^{+}

und die Differenz liefert das gewünschte Resultat.

Damit ist gezeigt, daß unsere Elemente e^{λ} und H_{s} der Hecke-Algebra die behaupteten Relationen in der Tat erfüllen. Man sieht sofort, daß das Anwenden auf A^{+} eine Bijektion L[ℤR] ⊗_{L} H_{f} →^{∼} P definiert, folglich ist Multiplikation eine Bijektion L[ℤR] ⊗_{L} H_{f} →^{∼} H, und durch Anwenden von δ sieht man, daß das für die umgekehrte Reihenfolge der Faktoren ebenso richtig ist. Damit ist 2 gezeigt, und 1 folgt, da unsere Relationen offensichtlich ausreichen, um jeden Ausdruck in den Erzeugern in die Form ∑ e^{λ}H_{λ} zu bringen, mit H_{λ} einer L-Linearkombination von Monomen in den H_{s} für s ∈ S_{f}.

12. Notationen

(W, S) eine Coxeter-Gruppe,

ab Abschnitt 3 die affine Weyl-Gruppe

W̃ die erweiterte affine Weyl-Gruppe W ⋉ X (W_{f}, S_{f}) eine parabolische Untergruppe von W W^{f} die kürzesten Repräsentanten der

Rechtsnebenklassen W_{f}\W

W_{λ} die Isotropiegruppe von λ in W W = W_{0} die endliche Weylgruppe W_{λ} die Isotropiegruppe von λ in W ρ die Halbsumme der positiven Wurzeln C die dominante Weylkammer A die Menge aller Alkoven A^{+} die Menge aller Alkoven

in der dominanten Weylkammer C

A^{++} die Menge aller Alkoven in ρ + C A^{+} der fundamentale dominante Alkoven A^{ι} die Menge aller Alkoven

im fundamentalen dominanten ι-Streifen

F die Menge aller affinen Spiegelebenen F^{+}, F^{−} offener positiver und negativer Halbraum zu

einer Spiegelebene F ∈ F ⪯ Lusztig’s Ordnung auf den Alkoven d(A, B) gewichtete Zahl der Spiegelebenen,

die A und B trennen, siehe 4.4

β ↑ A, β ↓ A definiert im Beweis von Proposition 4.5 X das Gewichtegitter l(x) die Länge des Elements x einer Coxeter-Gruppe w_{0} das längste Element von W r die Länge von w_{0} Π die fundamentale Box Π_{λ} die verschobene Box λ + Π λ(A) die untere Ecke der Box, die A enthält Ǎ entsteht, wenn man A mit w_{0} um λ(A) dreht Â A ↦ Â ist invers zu A ↦ Ǎ H die Hecke-Algebra d ihre Standard-Involution d : H ↦ \overline{H} i, δ zwei involutive Antiautomorphismen von H

definiert ganz zu Anfang

a, b zwei involutive Automorphismen von H

definiert ganz zu Anfang

φ-linear definiert vor Theorem 3.1 L der Ring der Laurent-Polynome L = ℤ[v, v^{−1}] \underline{H}_{s} selbstduale Erzeuger \underline{H}_{s} = v(T_{s} + 1) von H

Einige Hecke-Moduln mit Dualität, Standard-Basis, selbstdualer Basis und Übergangskonstanten

(H, H_{x}, \underline{H}_{x}, h_{x,y}) die Hecke-Algebra selbst, H_{x} = v^{l(x)}T_{x} (M, M_{x}, \underline{M}_{x}, m_{x,y}) Deodhars parabolische Versionen, (N , N_{x}, \underline{N}_{x}, n_{x,y}) für x, y ∈ W^{f} (M^{∗}, M^{x}, \underline{M}^{x}, m^{x,y}) Die dazu dualen Hecke-Moduln, (N^{∗}, N^{x}, \underline{N}^{x}, n^{x,y}) für x, y ∈ W^{f}

Ab Abschnitt 4 identifizieren wir W^{0} ≅ A^{+} und schreiben M_{A}, \underline{M}_{A}, m_{A,B} … für M_{x}, \underline{M}_{x}, m_{x,y} …

(P, A, \underline{P}_{A}, p_{A,B}) Lusztig’s periodischer Hecke-Modul,

A läuft über A

P_{∘} Untermodul von P, der eine Dualität besitzt (P^{ι}, A, \underline{P} _{A}^{ι}, ) Lusztig’s parabolischer periodischer Hecke-Modul,

A läuft über A^{ι}

P_{∘}^{ι} Untermodul von P^{ι}, der eine Dualität besitzt q_{A,B} die (renormierten) generischen Polynome w ∗ A eine neue Operation von W̃ auf A,

w ∗ (λ + B) = (wλ) + B für λ ∈ X, B ⊂ Π ⟨w⟩ Operation von w ∈ W̃ auf P_{∘}, siehe 4.10

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Universität Freiburg, Mathematisches Institut, Eckerstraße 1, D-79104 Freiburg, Germany

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