\section{Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 16/17}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[19.10] 
  Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
  Klassifikation der Gruppen mit h"ochstens vier Elementen \ref{FdKL}
  zu Fu"s. Klassifikation der Gruppen $F$  mit f"unf Elementen
  durch Theorie:
  Untergruppen, Untergruppen von $\DZ$ nach \ref{UGZ},
  Nebenklassen \ref{ReKa} und Lagrange: $F$ hat nur die beiden
  Untergruppen $1$ und $F$.
  Bijektion $\op{Grp}(\DZ,G)\sira G,$ $\varphi\mapsto \varphi(1)$ f"ur
  jede Gruppe $G$.
  Also f"ur $|G|=5$ Surjektion $\DZ\sra G$ durch $1\mapsto g$ mit $g\neq e$.
  Universelle Eigenschaft surjektiver Gruppenhomomorphismen.
\item[21.10]
  Normalteiler 
  \ref{NoTei} und Quotient danach. Isomorphies"atze.
  Ordnung von Gruppenelementen, Struktur zyklischer Gruppen.
  Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch. Kleiner Fermat f"ur
  Kongruenzen von Potenzen modulo Primzahl.
  Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
  Satz "uber den gr"o"sten gemeinsamen Teiler. 
  %Gruppenwirkungen \ref{GWi}, 
%Bahnformel \ref{BaFo} 
  %und Konjugationsklassen \ref{KonKa}.
\item[26.10]
  Chinesischer Restsatz mit zwei Resten. RSA-Verschl"usselung.
  Einfache Gruppen, Satz von Jordan-H"older. Operationen
  von Gruppen und Monoiden auf Mengen. Operation durch Konjugation
  ganz kurz. Noch nicht Bahnformel.
\item[28.10]
  Bahnen als homogene R"aume. Bahnformel.
  Operation durch Konjugation. Konjugationsklassen in
  der W"urfelgruppe und der Ikosaedergruppe.
   Die Ikosaedergruppe ist einfach \ref{ie}.
 \item[2.11]
   Struktur von $p$-Gruppen. Gruppen mit $p^2$ Elementen sind abelsch.
   Sylow-S"atze bewiesen. Noch nachholen: Jeder Primteiler der Ordnung
   einer abelschen Gruppe ist die Ordnung eines Elements \ref{ZABv}, \ref{ZAB}.
 \item[4.11]
   Jeder Primteiler der Ordnung
   einer abelschen Gruppe ist die Ordnung eines Elements \ref{ZABv}, \ref{ZAB}.
   Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen durch
   Multimengen von Primpotenzen, ohne Beweis.
   Gruppen mit $6$ Elementen mit Beweis.
   Gruppen mit $8$ Elementen ohne Beweis.
   Dann Konstruktion der nat"urlichen Zahlen im Rahmen der Mengenlehre.
   Konstruktion der Addition, noch ohne Beweis der Eigenschaften.
 \item[9.11]
   Konstruktion und Eigenschaften der Addition.
   Ringe, Ringhomomorphismen. Universelle Eigenschaft surjektiver
   Ringhomomorphismen. Ideale.
   Konstruktion von Restklassenringen, noch nicht ganz fertig.
 \item[11.11]
   Konstruktion von Restklassenringen.
   Von Teilmengen erzeugte Ideale. Quotientenringe von
   Polynomringen nach von normierten Polynomen erzeugten Hauptidealen.
   Konstruktion von $\DC$ als Quotient $\DR[X]/\langle X^2+1\rangle$.
   Teilringe. Von Teilmengen erzeugte Teilringe. Algebraische
   Unabh"angigkeit. Produkte von Ringen. Abstrakter chinesischer Restsatz.
   Interpolation als Beispiel. 
 \item[16.11]
   Euklidische Ringe, Faktorielle Ringe, Hauptidealringe, Beispiele,
   deren Beziehung untereinander. Quotienten von Hauptidealringen.
   Noch nicht der Ring der Gau"s'schen Zahlen.
 \item[18.11]
   Gau"s'sche Zahlen und Summen von zwei Quadraten.
   Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines K"orpers sind
   zyklisch. Konstruktion des Quotientenk"orpers. Bewertung auf dem
   Quotientenk"orper eines faktoriellen Rings an einem irreduziblen Element.
 \item[23.11]
   Polynomringe "uber faktoriellen Ringen, Bewertung von Polynomen,
   Lemma von Gau"s.
   Zwei teilerfremde Polynome in zwei Variablen haben h"ochstens
   endlich viele gemeinsame Nullstellen. Kreisteilungspolynome haben
   ganze Zahlen als Koeffizienten. Noch nicht Irreduzibilit"at von
   Kreisteilungspolynomen.
  \item[25.11] Irreduzibilit"at von
    Kreisteilungspolynomen. Eisensteinkriterium.
    Symmetrische Polynome, Hauptsatz.
  \item[30.11] Diskriminante eines Polynoms vom Grad Drei.
    Allgemeine Diskriminante. Schranke von B\'{e}zout mit Beweis.
  \item[2.12] Konstruktion der
    ganzen Zahlen aus den nat"urlichen Zahlen.
    Konstruktion der reellen Zahlen. 
 \item[7.12] K"orpererweiterungen. Algebraische und transzendente Elemente. Minimalpolynom.
 \item[9.12] Endliche und algebraische K"orpererweiterungen. Quadratische K"orpererweiterungen.
  \item[14.12]
    Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Angefangen mit
    endlichen K"orpern. Gezeigt, da"s deren Kardinalit"at stets
    Charakteristik hoch Grad "uber dem Primk"orper ist.
  \item[16.12]
    Endliche K"orper und deren Unterk"orper.
    Zerf"allungsk"orper definiert, Satz "uber Eindeutigkeit formuliert,
    aber noch nicht bewiesen. Satz "uber Ausdehnung
    von K"orperhomomorphismen auf primitive algebraische
    Erweiterungen bewiesen, aber kurz. Beweis nochmal!
  \item[21.12]
    Ausdehnungen von K"orperhomomorphismen.
    Maximalzahl, Existenz. Eindeutigkeit des Zerf"allungsk"orpers.
    Normale Erweiterungen, Definition und Anschauung.
    Formuliert, aber nicht bewiesen, da"s Zerf"allungsk"orper
    normal sind.
  \item[23.12]
    Ich will nur die Ableitung einf"uhren mit Summen- und Produktregel und zeigen, da"s mehrfache Nullstellen Nullstellen
    der Ableitung sind. Dann habe "uber den Koordinatisierungssatz geredet
    und gezeigt, wie man in  jeder Desargues-Ebene Richtungsvektoren
    einf"uhrt. Nicht gezeigt, da"s diese eine kommutative Gruppe bilden.
  \item[11.1] Ableitung von Polynomen und Separabilit"at von Polynomen und
    K"orpererweiterungen. Noch nicht den Satz "uber die Zahl von
    Ausdehnungen von K"orperhomomorphismen auf separable
    Erweiterungen fertig bewiesen.
  \item[13.1]
    Satz "uber separable K"orpererweiterungen fertig bewiesen.
    Satz vom primitiven Element, Charakterisierung endlicher primitiver
    K"orpererweiterungen. Konstruktion und Eindeutigkeit
    des algebraischen Abschlusses.
  \item[18.1]
    Galoisgruppe, Galois-Erweiterungen.
    Galois-Erweiterungen "uber Fixk"orper. Transitive treue Operation
    der Galoisgruppe eines Zerf"allungsk"orpers eines
    irreduziblen Polynoms auf den Nullstellen. Noch nicht:
    Invarianten eines Quotientenk"orpers. 
  \item[20.1] Galoisgruppe der allgemeinen Gleichung.
    Anschauung f"ur die Galoisgruppe. Galois-Korrespondenz, aber noch keine
    Anwendungen dazu.
  \item[25.1]
    Biquadratische Erweiterungen. Beweis mit Galoistheorie, da"s
    $\DC$ algebraisch abgeschlossen ist.
    Irreduzibilit"at von Kreisteilungspolynomen.
  \item[27.1]
    Galoisgruppen von Kreisteilungsk"orpern und hinreichendes Kriterium
    f"ur die Konstruierbarkeit regelm"a"siger $n$-Ecke mit Zirkel und
    Lineal. Euler'sche $\varphi$-Funktion.
  \item[1.2]
    Erweiterungen durch Radikale: Zyklische Erweiterungen, Translationssatz,
    Zusammenhang zwischen Radikalerweiterungen und endlichen Galoiserweiterungen
    mit aufl"osbarer Galoisgruppe. Noch nicht Aufl"osbarkeit von Gleichungen
    gleichbedeutend zur Aufl"osbarkeit ihrer Galoisgruppe.
  \item[3.2]
    Aufl"osbarkeit von Gleichungen
    gleichbedeutend zur Aufl"osbarkeit ihrer Galoisgruppe.
    Unm"oglichkeit der Aufl"osung kubischer Gleichungen nur durch
    reelle Wurzeln aus positiven reellen Zahlen selbst im Fall von drei
    reellen L"osungen.
  \item[8.2]
    Herleitung der Cardano'schen Formeln aus der Galoistheorie.
    Quadratisches Reziprozit"atsgesetz, Legendre-Symbol, Beispiele.
    Quadratische Erweiterungen in Kreisteilungsk"orpern zu
    Einheitswurzeln von ungerader Primzahlordnung. Beides noch ohne Beweis.
\item[10.2]
   Beweis quadratisches Reziprozit"atsgesetz.
   Beweis  quadratische Erweiterungen in Kreisteilungsk"orpern zu
   Einheitswurzeln von ungerader Primzahlordnung.
\end{enumerate}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXALLES"
%%% End: