\section{Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 19/20}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[22.10] 
  Gruppen \eref{Gr}{GR} und Gruppenhomomorphismen \eref{Hommm}{GR}. Monoide, Magmas \eref{DeMa}{GR}.
  Klassifikation der Gruppen mit h"ochstens vier Elementen \eref{FdKL}{AL} 
  zu Fu"s. Klassifikation der Gruppen $F$  mit f"unf Elementen
  durch Theorie:
  Untergruppen \glqq richtige\grqq\ Definition.
  Untergruppen von $\DZ$ nach \eref{UGZ}{LA1},
  Nebenklassen \eref{ReKa}{LA2} und Lagrange \eref{UGL}{LA2}: $F$ hat nur die beiden
  Untergruppen $1$ und $F$.
\item[24.10]
    Bijektion $\op{Grp}(\DZ,G)\sira G,$ $\varphi\mapsto \varphi(1)$
   nach \eref{GHZ}{GR} f"ur
  jede Gruppe $G$.
  Also f"ur $|G|=5$ Surjektion $\DZ\sra G$ durch $1\mapsto g$ mit $g\neq e$.
  Universelle Eigenschaft surjektiver Gruppenhomomorphismen \eref{QUE}{LA2}.
  Normalteiler 
  \eref{NoTei}{LA2} und Quotient danach. Isomorphies"atze.
  Ordnung von Gruppenelementen, Struktur zyklischer Gruppen.
  Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch. Kleiner Fermat f"ur
  Kongruenzen von Potenzen modulo Primzahl.
\item[29.10]
  Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung \eref{EPFE}{LA1}.
  Satz "uber den gr"o"sten gemeinsamen Teiler. Euklidischer Algorithmus.
  Chinesischer Restsatz mit zwei Resten.
  Beide Klassifikationen endlich erzeugter abelscher Gruppen
  angegeben. Elementarteilersatz bewiesen.
\item[31.10]
  Beide Klassifikationen endlich erzeugter abelscher Gruppen
  bewiesen. Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines
  K"orpers sind zyklisch.  Operationen
  von Gruppen und Monoiden auf Mengen. Bahnen als homogene R"aume. Bahnformel.
\item[5.11] Operation durch Konjugation.
  Endliche Untergruppen der Drehgruppe bis auf Konjugation.
  Einfache Gruppen. Klassengleichung. Konjugationsklassen in
  der Ikosaedergruppe. Die Ikosaedergruppe ist einfach \ref{ie}.
  Kompositionsreihen und Satz von Jordan-H"older, noch ohne Beweis. 
\item[7.11]
  Beweis Jordan-H"older. Struktur von $p$-Gruppen.
  Sylows"atze. Gruppen mit $6$ und $15$ Elementen. Gruppen mit $8$
  Elementen ohne Beweis.
\item[12.11]
  Die nat"urlichen Zahlen axiomatisch, \eref{eue}{LA1} bis \eref{nAs}{LA1},
  nicht K"urzungsregel \eref{KurZ}{LA1}, nicht Anordnung \eref{ONZ}{LA1},
  aber noch \eref{Potg}{LA1} und Definition der
  Multiplikation.
\item[14.11] Leonardo vertritt mich.
 Ringe und Restklassenringe $\DZ/m\DZ$ ohne Diffie-Hellmann. 
 Quotient eines Rings nach einem Ideal \ref{RUE}.
\item[19.11]
  Teilringe und Notationen f"ur ihre Erzeugung.
  Notationen für Erzeugung von Idealen. Beispiele
  f"ur Restklassenringe, insbesondere $\DR[X]/\langle P\rangle$ f"ur
  Polynome vom Grad zwei und allgemeinere Polynome. Abstrakter
  chinesischer Restsatz und Bezug zur Interpolation. Quotientenk"orper
  eines kommutativen Integrit"atsbereichs und seine universelle Eigenschaft.
  Damit $\DQ$ aus $\DZ$ konstruiert.
 \item[21.11]
   Euklidische Ringe, Faktorielle Ringe, Hauptidealringe, Beispiele,
   deren Beziehung untereinander. Quotienten von Hauptidealringen.
   Der Ring der Gau"s'schen Zahlen ist euklidisch.
 \item[26.11]
   Gau"s'sche Zahlen und Summen von zwei Quadraten.
   Polynomringe "uber faktoriellen Ringen noch ohne Beweis.
   \item[28.11]
     Polynomringe "uber faktoriellen Ringen. Gemeinsame
     Nullstellen von zwei teilerfremden Polynomen in zwei Variablen.
     Kreisteilungspolynome, Eisensteinkriterium, Irreduzibilit"at des
     $p$-ten Kreisteilungspolynoms f"ur $p$ prim.
   \item[3.12] Symmetrische Polynome, Hauptsatz.
     Diskriminante eines Polynoms vom Grad Drei.
     Nicht allgemeine Diskriminante.
     Schranke von B\'{e}zout mit Beweisskizze.
\item[5.12] K"orpererweiterungen. Algebraische und transzendente Elemente. Minimalpolynom.
  Endliche  K"orpererweiterungen, Grad einer K"orpererweiterung.
  Elemente von endlicher K"orpererweiterung sind algebraisch.
\item[10.12]  Quadratische K"orpererweiterungen.
  Multiplikativit"at des Grades.
 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
\item[12.12]
  Endliche K"orper und deren Unterk"orper.
    Zerf"allungsk"orper definiert, Satz "uber Eindeutigkeit formuliert,
    aber noch nicht bewiesen. Satz "uber Ausdehnung
    von K"orperhomomorphismen auf primitive algebraische
    Erweiterungen bewiesen, aber kurz. Beweis nochmal!
  \item[17.12]
    Eindeutigkeit des Zerf"allungsk"orpers.
    Normale Erweiterungen. Angek"undigt: Algebraischer Abschlu"s.
 \item[19.12]
   Algebraischer Abschlu"s.
 \item[7.1] Separable Polynome.
   Definition separabler K"orpererweiterungen. 
   Noch nicht, da"s von separablen Elementen erzeugte K"orpererweiterungen
   separabel sind. 
 \item[9.1] Charakterisierung separabler K"orpererweiterungen.
   Unm"oglichkeit einer "Uberdeckung eines K"orpers durch endlich viele echte
   Teilk"orper. Satz vom primitiven Element, K"orpererweiterungen mit nur
   endlich vielen Zwischenk"orpern, Unterscheidung von
   K"orperhomomorphismen an einem einzigen Element.
 \item[14.1] Galoiserweiterungen und ihre Beschreibung als
   Erweiterungen "uber dem Fixk"orper. Beispiele f"ur Galoisgruppen.
 \item[16.1] Galoisgruppe der allgemeinen Gleichung.
  Anschauung. Galois-Korrespondenz.
\item[21.1]  Biquadratische Erweiterungen. Beweis mit Galoistheorie, da"s
    $\DC$ algebraisch abgeschlossen ist.
    Irreduzibilit"at von Kreisteilungspolynomen.
    Galoisgruppen von Kreisteilungsk"orpern.
\item[23.1]
    Hinreichendes Kriterium
    f"ur die Konstruierbarkeit regelm"a"siger $n$-Ecke mit Zirkel und
    Lineal. Euler'sche $\varphi$-Funktion. Reziprozit"atsgesetz. Beweis
    bis zu $\alpha^2=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p$ f"ur ein
    gewisses explizites $\alpha$ im
    $p$-ten Kreisteilungsk"orper. Legendre-Symbole bereits eingef"uhrt. 
  \item[28.1] Beweis von Reziprozit"atsgesetz und Erg"anzungssatz.
    Jacobi-Symbole, ihre Eigenschaften und ihr Nutzen. Zyklische Erweiterungen,
    der Beweis eines Lemmas aus der linearen Algebra steht aber noch aus, ebenso
    das Korollar "uber Erweiterungen von Primzahlordnung.
  \item[30.1]
    Lemma aus der linearen Algebra. Erweiterungen von Primzahlordnung.
    Translationssatz. Radikalerweiterungen. Hauptsatz noch nicht bewiesen
    "uber aufl"osbare Galoisgruppen und aufl"osbare Gleichungen.
  \item[4.2]
    Hauptsatz
    "uber aufl"osbare Galoisgruppen und aufl"osbare Gleichungen.
    Beispiel einer Gleichung f"unften Grades, die sich nicht durch
    Radikale l"osen l"a"st. Cardano'sche Formeln. Begonnen mit deren
    Herleitung aus der Galoistheorie.
  \item[6.2]
    Herleitung der Cardano'schen Formeln aus der Galoistheorie.
    Notwendigkeit des Ausgreifens in die komplexen Zahlen.
  \item[11.2] Ansage: Tutoren werden gesucht.
    Mehr zu Zahlbereichen: Konstruktion $\DZ$ aus $\DN$ und
    $\DR$ aus $\DQ$.
 \item[13.2] Quaternionen?
\end{enumerate}





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