\section{Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 25/26}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen.
Die Planung geht aus vom Tagebuch aus dem Wintersemester 24/25, umgeschrieben
auf die neuen Termine, 
und wird dann nach und nach das Tagebuch der aktuellen Vorlesung.
\begin{enumerate}
\item[14.10]
  Untergruppen von $\DZ$ nach \eref{UGZ}{LA1}.
  Satz "uber den gr"o"sten
  gemeinsamen Teiler nach \eref{ggT}{LA1}.
  Primfaktorzerlegung nach \eref{pfz}{LA1}.
  Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung \eref{EPFE}{LA1}.
\item[16.10]
  Euklidischer Algorithmus \eref{EukA}{LA1}.
   Magmas und ihre Homomorphismen \eref{DeMa}{GR}. Monoide
 und ihre Homomorphismen, speziell $(\DN,+)\ra M$. 
  Gruppen \eref{Gr}{GR} und Gruppenhomomorphismen \eref{Hommm}{GR},
 speziell $(\DZ,+)\ra G$. 
  Klassifikation der Gruppen mit h"ochstens vier Elementen \eref{FdKL}{AL} 
  zu Fu"s. Ziel: Klassifikation der Gruppen $F$  mit f"unf Elementen
  durch Theorie. 
  Untergruppen \glqq richtige\grqq\ Definition.
  Nebenklassen \eref{ReKa}{LA2} und Lagrange \eref{UGL}{LA2}:
  Eine f"unfelementige Gruppe $F$ hat nur die beiden
  Untergruppen $1$ und $F$.
 Bijektion $\op{Grp}(\DZ,G)\sira G$, $\varphi\mapsto \varphi(1)$
   nach \eref{GHZ}{GR} f"ur
  jede Gruppe $G$.
\item[21.10]
  Urbild von Untergruppe ist Untergruppe. Bild von Untergruppe ist Untergruppe.
  Kern und Bild von Gruppenhomo. 
 Erzeugung von Untergruppen. 
 Also f"ur $|G|=5$ Surjektion $\DZ\sra G$ durch $1\mapsto g$ mit $g\neq e$.
 Universelle Eigenschaft surjektiver Gruppenhomomorphismen \eref{QUE}{LA2}.
  Normalteiler 
  \eref{NoTei}{LA2} und Quotient danach. Kern-Bild-Isomorphiesatz.
  Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch. 
\item[23.10]
  Noertherscher Isomorphiesatz \eref{NoI}{LA2}.
  Ordnung von Gruppenelementen \eref{Ogr}{LA2}, Struktur zyklischer Gruppen.
  Kleiner Fermat f"ur
  Kongruenzen von Potenzen modulo Primzahl \eref{FerK}{LA2}.
  Chinesischer Restsatz \eref{CR}{LA2}.
  RSA-Verschl"usselung \eref{RSAm}{LA2}.
\item[28.10]
  Zerlegung des Torsionsanteils einer abelschen Gruppe
  nach Primtorsion \eref{ZABv}{LA2}.
  Zerlegung endlicher abelscher Gruppen nach Primtorsion
  \eref{ZAB}{LA2}.
  Cauchy f"ur abelsche Gruppen \eref{ZABc}{LA2}. 
   Nicht zyklische endliche abelsche Gruppen \eref{nzaG}{LA2}. Gruppen von
   Einheitswurzeln \eref{MZ}{LA2}. Operationen
  von Gruppen  auf Mengen:
 Definition, Bahnen, Bahnzerlegung.
 \item[30.10]   Operationen
  von Gruppen  auf Mengen: Bahnenraum, Isotropiegruppe, 
  Bahnen als Nebenklassenmengen \eref{ci}{LA2}. Bahnformel \eref{BF}{LA2}.
  Operation durch Konjugation \eref{OpKo}{LA2}. Endliche Untergruppen der Drehgruppe \eref{KED}{LA2}: M"ogliche Bahnpolordnungen bestimmt.
  Nur teilweise ausgef"uhrt, wie der Beweis dann zu Ende gebracht wird.
   \item[4.11]
  Einfache Gruppen \eref{EifG}{AL}. Klassengleichung. Konjugationsklassen in
  der Ikosaedergruppe. Die Ikosaedergruppe ist einfach \ref{ie}.
  Kompositionsreihen und Satz von Jordan-H"older. Nichttriviale $p$-Gruppen
  haben nichttriviales Zentrum. Gruppen von Primquadratordnung \ref{efPQ}.
\item[6.11] 
  Struktur von $p$-Gruppen, insbesondere nilpotente Gruppen \ref{nilp}.
  Sylows"atze \ref{SaSy}. Gruppen mit $6$ Elementen. Satz von Cauchy.
 \item[11.11] 
  Ringe \eref{Ring}{LA1}.
  Ringhomomorphismen \eref{Riho}{LA1}. $|\op{Ring}(\DZ,R)|=1$
  \eref{UEZz}{LA1}. Charakteristik \eref{charK}{LA1}.
  Frobenius-Homomorphismus \eref{Frob}{LA1}.
  Universelle Eigenschaft surjektiver
  Ringhomomorphismen \eref{QUEr}{AL}. Ideale.
  Quotientenring eines Rings nach einem Ideal \ref{RUE}. 
\item[13.11]
  Restklassenringe von $\DZ$ \eref{Rkr}{LA1}.
  Teilbarkeitskriterium nach 3 oder 9 "uber die Quersumme. Teilen, Einheiten,
  k"urzbare und nichtk"urzbare Elemente, Integrit"atsbereich.
  Endlicher Integrit"atsbereich ist K"orper.
  Polynome, Einsetzen in Polynome. Grad eines Polynoms. Der Polynomring "uber
  einem Integrit"atsbereich ist ein Integrit"atsbereich. 
\item[18.11]
  Notation f"ur Erzeugung von Idealen \eref{EzId}{AL}.
  Ideale und Teilerbeziehungen \eref{ITB}{AL}.  
  Faktorringe von Polynomringen \eref{BQP}{AL}.
  Komplexe Zahlen als Faktorring \eref{kzq}{AL}.
 Polynomdivision mit Rest \eref{TPR}{LA1}.
   Abspalten von Linearfaktoren f"ur Nullstellen.
   Abstrakter chinesischer
   Restsatz \eref{ACR}{AL} und Interpolation.
   Einsetzen als Restklassenbildung \eref{eRK}{AL}.
 \item[20.11]
    Teilringe und Notationen f"ur ihre Erzeugung.
   Euklidische Ringe \ref{FarF}, faktorielle Ringe, Hauptidealringe, Beispiele,
   deren Beziehung untereinander. Insbesondere Faktoriali"at von Polynomringen
   mit K"orperkoeffizienten.
 \item[25.11]
   Quotienten von Hauptidealringen \ref{QFRH}.  Der Ring der Gau"s'schen Zahlen ist euklidisch, mithin faktoriell.
   Gau"s'sche Zahlen und Summen von zwei Quadraten.
  Beweis \ref{eqP},
   welche Primzahlen  in $\DZ[\op{i}]$ genau zerfallen.
   Beweis Satz \ref{SvzQ} "uber Summen von zwei Quadraten.
 \item[27.11] Bruchk"orper eines Integrit"atskrings.
   Sollte als "Ubung die Wohldefiniertheit der Addition geben.
   Bewertungen auf Bruchk"orpern faktorieller Ringe \ref{pBew}.
   Minimalbewertung von Polynomen, Lemma von Gau"s.
   $R$ faktoriell impliziert $R[X]$ faktoriell formuliert,
   aber noch nicht bewiesen. Etwas Zerlegung von $X^n -1 $ in $\DZ[X]$
   diskutiert, aber nur kurz vor Schlu"s.
 \item[2.12] $R$ faktoriell impliziert $R[X]$ faktoriell beweisen.
   Kreisteilungspolynome.
   Eisensteinkriterium. Irreduzibilit"at der primen Kreisteilungspolynome.
 \item[4.12] Symmetrische Polynome \ref{SyPo}. Diskriminante von Polynomen vom
   Grad drei, aber nicht alles vorgerechnet.
 \item[9.12] Beginn K"orpererweiterungen \ref{Kiou}.
   Kleinster Unterk"orper \ref{Char}. K"orpererweiterung,
   Notation und Begrifflichkeiten \ref{KoEr}. Algebraische und transzendente
   Elemente von K"orpererweiterungen \ref{algK}. Satz "uber das Minimalpolynom
   \ref{Irr}. Grad einer K"orpererweiterung. Turmregel \ref{et}, noch ohne Korollare.
 \item[11.12]  Damian Sercombe vertritt mich und liest auf Englisch.
   Korollare \ref{KG}, \ref{AlA} zur Turmregel und Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bis
   $Q\subset K$ im Beweis von Theorem \ref{Kons}.
 \item[16.12] Beweis $Q\supset K$, Korollare. Beginn
   Konstruktion der nat"urlichen Zahlen \eref{NatZ}{LA1}.
 \item[18.12] Zahlbereiche. Ich will einerseits nat"urliche Zahlen
   diskutieren wie in \eref{NatZ}{LA1} folgende,
   aber hier werde ich nicht alles ausf"uhren. 
   Stattdessen Konstruktion der ganzen Zahlen \eref{KzN}{LA1}
   und der reellen Zahlen \eref{ReZ}{AN1}.
 \item[8.1] Endliche K"orper \ref{KeK}.
   Beginn Zerf"allungsk"orper \ref{EZK} noch
   ohne Beweis. "Ubergang zum Begriff einer K"orpererweiterung als
   K"orperhomomorphismus diskutiert. Noch nicht $\op{Kring}^K(L,M)$
   erkl"art.
 \item[13.1] Beweis Zerf"allungsk"orper \ref{EZK}.
   Beweis Maximalzahl an Ausdehnungen \ref{ZFK}.
   Lineare Unabh"angigkeit von Charakteren \ref{LUC} nicht behandelt.
   Algebraische und
   normale K"orpererweiterungen \ref{normal}, \ref{CaNo}. Noch nicht
   (3)$\RA$(1) beim Beweis von \ref{CaNo}. Noch nicht Vergr"o"sern
   zu normaler Erweiterung \ref{VNE}.
   \item[15.1] Implikation
   (3)$\RA$(1) im Beweis von \ref{CaNo}. Vergr"o"sern
     zu normaler Erweiterung \ref{VNE}. Beginn der Diskussion von
     Vielfachheiten von Nullstellen \ref{MNS} folgende, gekommen bis
     zur Definition separabler Elemente \ref{DefS}.
   \item[20.1] Definition separabler K"orpererweiterungen \ref{DefSep}
     bis \ref{Kose}. Nicht Diskriminante als Determinante \ref{FoDis}.
     Satz vom primitiven Element \ref{EU} folgende, insbesondere Nicht"uberdeckbarkeit eines K"orpers durch endlich viele echte Unterk"orper.
     Galoisgruppe Definition
     und Beispiele $\DC/\DR$ und Erweiterungen endlicher K"orper \ref{GaFq}.
   \item[22.1] $\op{Gal} (\DQ (\sqrt[3]{2})/\DQ)=1$, Absch"atzung \ref{GAB}.
     Definition Galoiserweiterung \ref{DeGA}. Nicht Galoisgruppe
     der allgemeinen Gleichung \ref{StU}. Daf"ur Anschauung zur Galoisgruppe.
   \item[27.1] Galoiskorrespondenz \ref{GK} und Anwendungen, insbesondere
     Beweis mit Galoistheorie \ref{FSAA},
     da"s $\DC$ algebraisch abgeschlossen ist.
     Galoisgruppen von Kreisteilungsk"orpern \ref{GKT} bestimmt.
   \item[29.1] Konstruierbarkeit regelm"a"siger $n$-Ecke \ref{KRN}.
     Diskussion der Euler'schen $\varphi$-Funktion \ref{BEFI}.
     Quadratisches Reziprozit"atsgesetz wird ausgelassen, es geht dann weiter
     mit Radikalerweiterungen \ref{RadE} und wir kommen vermutlich so ungef"ahr
     bis zu Erweiterungen von Primzahlgrad \ref{APW}.
   \item[3.2] Translationssatz der Galoistheorie \ref{TS}. Aufl"osbarkeit
     von Gleichungen der Radikale \ref{AUF}. Nichtexistenz
     einer gewissen Art von L"osungsformeln f"ur Gleichungen f"unften Grades.
;7600;1c1;7600;1c   \item[5.2] Algebraischer Abschlu"s \ref{AaA}. Diese Konstruktion
     nimmt in Vorlesungen zur Algebra oft eine grundlegende Rolle ein.
     Ich habe sie dahingegen in dieser Vorlesung
     nach Kr"aften vermieden.
>61;7600;1c   \item[13.2] von 10:15 bis 12:00 Fragestunde zur Algebra im H"orsaal im Otto-Krayer-Haus an der Ecke von Albertstra"se und Stefan-Meier-Stra"se 
     zur Hilfe bei der Vorbereitung der Klausur.
\end{enumerate}

\newpage
\section{Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 24/25}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen.
Die Planung geht aus vom Tagebuch aus dem Wintersemester 19/20 
und wird dann nach und nach das Tagebuch der aktuellen Vorlesung.
\begin{enumerate}
\item[15.10] 
  Magmas und ihre Homomorphismen \eref{DeMa}{GR}. Monoide
 und ihre Homomorphismen.
 Gruppen \eref{Gr}{GR} und Gruppenhomomorphismen \eref{Hommm}{GR}. 
  Klassifikation der Gruppen mit h"ochstens vier Elementen \eref{FdKL}{AL} 
  zu Fu"s. Klassifikation der Gruppen $F$  mit f"unf Elementen
  durch Theorie:
  Untergruppen \glqq richtige\grqq\ Definition.
  Untergruppen von $\DZ$ nach \eref{UGZ}{LA1}, Satz "uber den gr"o"sten
  gemeinsamen Teiler nach
  \eref{ggT}{LA1}.
\item[17.10] 
  Primfaktorzerlegung nach \eref{pfz}{LA1}. Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung \eref{EPFE}{LA1}.
   Euklidischer Algorithmus.
  Erzeugung von Untergruppen. 
   Nebenklassen \eref{ReKa}{LA2} und Lagrange \eref{UGL}{LA2}: Eine f"unfelementige Gruppe $F$ hat nur die beiden
  Untergruppen $1$ und $F$.
 Bijektion $\op{Grp}(\DZ,G)\sira G,$ $\varphi\mapsto \varphi(1)$
   nach \eref{GHZ}{GR} f"ur
  jede Gruppe $G$.
  Also f"ur $|G|=5$ Surjektion $\DZ\sra G$ durch $1\mapsto g$ mit $g\neq e$.
\item[22.10]
   Universelle Eigenschaft surjektiver Gruppenhomomorphismen \eref{QUE}{LA2}.
  Normalteiler 
  \eref{NoTei}{LA2} und Quotient danach. Isomorphies"atze.
  Ordnung von Gruppenelementen, Struktur zyklischer Gruppen \eref{szg}{LA2}.
  Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch. Kleiner Fermat f"ur
  Kongruenzen von Potenzen modulo Primzahl.
\item[24.10]
  Chinesischer Restsatz \eref{CR}{LA2}.
  RSA-Verschl"usselung \eref{RSAm}{LA2}. Zerlegung des Torsionsanteils einer abelschen Gruppe
  nach Primtorsion \eref{ZABv}{LA2}.
  Zerlegung endlicher abelscher Gruppen nach Primtorsion
  \eref{ZAB}{LA2}.
  Cauchy f"ur abelsche Gruppen \eref{ZABc}{LA2}. 
  Noch nicht: Nichtzyklische abelsche Gruppen \eref{nzaG}{LA2}, Gruppen von
  Einheitswurzeln \eref{MZ}{LA2}.  Auch
  Klassifikationen endlich erzeugter abelscher Gruppen
   \eref{ek}{LA2} und \eref{zk}{LA2} sowie Elementarteilersatz erst mal weggelassen. 
 \item[29.10]   Operationen
  von Gruppen  auf Mengen aber nur das N"otigste:
 Definition, Bahnen, Bahnzerlegung, Bahnenraum, Isotropiegruppe, 
  Bahnen als Nebenklassenmengen \eref{ci}{LA2}. Bahnformel \eref{BF}{LA2}.
  Endliche Untergruppen der Drehgruppe \eref{KED}{LA2}: M"ogliche Bahnpolordnungen bestimmt.
  Nicht genau ausgef"uhrt, wie der Beweis dann zu Ende gebracht wird.
\item[31.10]
  Operation durch Konjugation \eref{OpKo}{LA2}. Nocheinmal R"uckschau auf endliche Untergruppen der Drehgruppe. 
  Einfache Gruppen \eref{EifG}{AL}. Klassengleichung. Konjugationsklassen in
  der Ikosaedergruppe. Die Ikosaedergruppe ist einfach \ref{ie}.
  Kompositionsreihen und Satz von Jordan-H"older. Nichttriviale $p$-Gruppen
  haben nichttriviales Zentrum.
\item[5.11] 
  Struktur von $p$-Gruppen, insbesondere nilpotente Gruppen \ref{nilp}.
  Sylows"atze. Gruppen mit $6$ Elementen. %Gruppen mit $8$
  %Elementen ohne Beweis.
\item[7.11]  
  Nachklapp: Gruppen mit $15$ Elementen.
  Die nat"urlichen Zahlen axiomatisch, \eref{eue}{LA1} bis \eref{nAs}{LA1},
  nicht K"urzungsregel \eref{KurZ}{LA1}, nicht Anordnung \eref{ONZ}{LA1},
  aber noch \eref{Potg}{LA1} und Definition der
  Multiplikation.
\item[12.11] 
  Ringe \eref{Ring}{LA1}.
  Ringhomomorphismen. $|\op{Ring}(\DZ,R)|=1$. Charakteristik.
  Frobenius-Homomorphismus. Universelle Eigenschaft surjektiver
  Ringhomomorphismen. Ideale.
  Faktorring eines Rings nach einem Ideal \ref{RUE}.
  Teilbarkeitskriterium nach 3 oder 9 "uber die Quersumme.
\item[14.11]
  Restklassenringe von $\DZ$ \eref{Rkr}{LA1}. Teilen, Einheiten,
  k"urzbare und nichtk"urzbare Elemente, Integrit"atsbereich.
  Endlicher Integrit"atsbereich ist K"orper. Noation f"ur Erzeugung von Idealen.
  Polynome, Einsetzen in Polynome. Polynomdivision mit Rest.
  Abspalten von Linearfaktoren f"ur Nullstellen.
  Endliche Gruppen von Einheitswurzeln \eref{MZ}{LA2}. 
 \item[19.11]
   Teilringe und Notationen f"ur ihre Erzeugung.
   Euklidische Ringe \ref{FarF}, Faktorielle Ringe, Hauptidealringe, Beispiele,
   deren Beziehung untereinander. Insbesondere Faktoriali"at von Polynomringen. 
 \item[21.11]
    Faktorringe von Hauptidealringen. Abstrakter
  chinesischer Restsatz und Bezug zur Interpolation. Beispiele
  f"ur Faktorringe, insbesondere $\DR[X]/\langle P\rangle$ f"ur
  Polynome vom Grad zwei und allgemeinere Polynome.
   Der Ring der Gau"s'schen Zahlen ist euklidisch, mithin faktoriell.
   Gau"s'sche Zahlen und Summen von zwei Quadraten.
   Noch nicht gezeigt, welche Primzahlen genau zerfallen. Noch nicht Satz "uber
   Summen von zwei Quadraten bewiesen. 
 \item[26.11]  Beweis \ref{eqP},
   welche Primzahlen  in $\DZ[\op{i}]$ genau zerfallen.
   Beweis Satz \ref{SvzQ} "uber Summen von zwei Quadraten. 
  Quotientenk"orper
  eines kommutativen Integrit"atsbereichs \eref{QoK}{LA1}
  und seine universelle Eigenschaft.
  Damit $\DQ$ aus $\DZ$ konstruieren. Partialbruchzerlegung \eref{PBZ}{LA1}. 
   \item[28.11] 
    Polynomringe "uber faktoriellen Ringen
  \ref{pBew}.   Gemeinsame
     Nullstellen von zwei teilerfremden Polynomen in zwei Variablen.
     Kreisteilungspolynome, Eisensteinkriterium, Irreduzibilit"at des
     $p$-ten Kreisteilungspolynoms f"ur $p$ prim.
   \item[3.12] Symmetrische Polynome, Hauptsatz.
     Diskriminante eines Polynoms vom Grad Drei.
     Nicht allgemeine Diskriminante.
     Nicht Schranke von B\'{e}zout mit Beweisskizze.
   \item[5.12]  K"orpererweiterungen \eref{Kiou}{AL} folgende.
     Algebraische und transzendente Elemente. Minimalpolynom.
  Endliche  K"orpererweiterungen, Grad einer K"orpererweiterung.
  Elemente von endlicher K"orpererweiterung sind algebraisch.
  Quadratische K"orpererweiterungen.
  Multiplikativit"at des Grades \eref{et}{AL}. Noch nicht \eref{KG}{AL}.
\item[10.12] 
  Noch ab \eref{KG}{AL} fertig argumentieren.
  Konstruktionen mit Zirkel und Lineal \eref{Kons}{AL}.
\item[12.12]
  Endliche K"orper \eref{KeK}{AL} und deren Unterk"orper \eref{EEK}{AL}.
  Zerf"allungsk"orper definiert, Satz "uber Eindeutigkeit \eref{EZK}{AL}
  formuliert,
    aber noch nicht bewiesen.
 \item[17.12]
    Satz "uber Ausdehnung
    von K"orperhomomorphismen auf primitive algebraische
    Erweiterungen bewiesen. Eindeutigkeit des Zerf"allungsk"orpers.
    Obere Schranke f"ur die Zahl der Ausdehnungen von K"orperhomomorphismen.
    Satz von Artin "uber die Unabh"angigkeit von Charakteren.
    Normale Erweiterungen, Satz noch nicht bewiesen.
  \item[19.12] 
    Beweis des Satzes "uber normale Erweiterungen. Mehrfache Nullstellen und
    Separabilit"at. Noch nicht ab \ref{VN}.
  \item[7.1]
    Ab \ref{VN} weiter mit Separabilit"at. Nicht Diskriminante als Determinante
    \ref{FoDis}. Satz vom primitiven Element \ref{EU} folgende,  bis
    zur "Uberdeckung durch Teilk"orper \ref{UTKoe}
    einschlie"slich. Aber \ref{EUV} "Uberdeckung
    durch Untervektorr"aume noch nicht gemacht.
  \item[9.1]
    Lemma \ref{EUV} bewiesen. Satz vom primitiven Element \ref{PE}.
    Galoiserweiterungen \ref{GalT} bis zum Satz \ref{CG} "uber die
    Charakterisierung von Galoiserweiterungen.
  \item[14.1]  Anschauung. Operation der Galoisgruppe auf Nullstellen.
    Beispiele f"ur Polynome vom Grad drei. 
  \item[16.1]  Galoisgruppe der allgemeinen Gleichung.
    Galoiskorrespondenz. Biquadratische Erweiterungen.
    Fundamentalsatz der Algebra mit Galoistheorie. 
\item[21.1]
  Galoisgruppen der Kreisteilungsk"orper und Konstruktion
  regelm"a"siger $n$-Ecke mit Zirkel und Lineal. Euler'sche $\varphi$-Funktion
  und Fermat'sche Primzahlen. Erster Teil des Satzes \ref{ZEW} "uber zyklische
  Erweiterungen gezeigt.
\item[23.1] Zweiter Teil des Satzes \ref{ZEW} "uber zyklische
  Erweiterungen gezeigt. Translationssatz. 
  Radikalerweiterungen. Noch nicht Satz \ref{FEWW} "uber Radikalerweiterungen und Galoiserweiterungen.
\item[28.1] Radikalerweiterungen und Galoiserweiterungen.
  Aufl"osbareit durch Radikale. Eine nicht durch Radikale aufl"osbare Gleichung
  f"unften Grades. Algebraischer Abschluß. Eindeutigkeit bewiesen, Existenz nur
  vage erl"autert.
\item[30.1]
Cardano'sche Formeln. 
    Herleitung aus der Galoistheorie.
\item[4.2] Quadratisches Reziprozit"atsgesetz. Quadratwurzeln in
  primen Kreisteilungsk"orpern. Noch nicht Erg"anzungssatz. 
\item[6.2] Erg"anzungssatz, gleichzeitig nochmal
  Beweis des Reziprozit"atsgesetzes wiederholen. Ausblick?  
Notwendigkeit des Ausgreifens in die komplexen Zahlen?
Quaternionen?
\end{enumerate}


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