\section{Die Vorlesung Analysis 3 im WS 15/16}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen.
\begin{enumerate}
\item[20.10]
Integrale stetiger Funktionen "uber kompakte Quader, auch mit Riemannsummen.
Stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager, deren Fortsetzung durch Null,
deren Integral. Formulierung der Transformationsformel f"ur
stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager. Erste Beispiele.
\item[22.10]
Beweis der Transformationsformel f"ur
stetige Funktionen mit kompaktem Tr"ager. 
Motivation. Zerlegung der Eins.
\item[27.10]
"Aquivalenz von je zwei Normen auf endlichdimensionalem
reellen Vektorraum. Differential f"ur Abbildungen einer halboffenen
Teilmenge eines endlichdimensionalen
reellen affinen Raums in einen weiteren endlichdimensionalen
reellen affinen Raum. Untermannigfaltigkeiten "uber Pl"attungen als
Definition. Karten und Koordinatensysteme. Untermannigfaltigkeiten als Bilder
noch ohne Beweis. 
\item[29.10]
Untermannigfaltigkeiten als Bilder
mit Beweis. Differenzierbarkeit der Kartenwechsel. 
Integration von Funktionen mit kompaktem Tr"ager
"uber in $\DR^n$ eingebettete Mannigfaltigkeiten.
Approximation des Integrals durch Riemannsummen.
\item[3.11]
Fastfaltigkeiten, Integrationskarten, Integration "uber Fastfaltigkeiten,
Oberfl"ache der Kugel.
\item[5.11]
Vektorfelder und Kovektorfelder, Schreibweise, Verwandtschaft, Zur"uckholen.
Das Differential einer Funktion als Kovektorfeld. Zur"uckholen vertauscht mit
dem Differential. Zur"uckholen in Koordinaten.
\item[10.11]
Wegintegral "uber Kovektorfeld und seine Eigenschaften.
Beziehung zu Wegintegralen "uber Vektorfelder und Flu"s
durch eine Kurve. Am Schlu"s noch alternierende 
Multilinearformen. Satz "uber das Dachprodukt formuliert,
aber noch nicht
bewiesen. Satz "uber Basisformen noch nicht formuliert.
\item[12.11]
Dachprodukt, Formeln in der "au"seren Algebra.
Determinante und R"uckzug, Satz "uber Basisformen.
Felder von $p$-Formen, R"uckzug von $p$-Formen, anschauliche Bedeutung.
\item[17.11]
R"uckzug von Volumenformen und Determinante. Orientierung von
Mannigfaltigkeiten und Fastfaltigkeiten. Integration von Formen 
"uber orientierte Fastfaltigkeiten. Beispiel der Hemisph"are.
Noch nicht: Beschreibung durch Riemann-Summen, alternative Interpretation
f"ur Fastfaltigkeiten kleiner Dimension und kleiner Kodimension.
\item[19.11]
 Beschreibung des Formen-Integrals
durch Riemann-Summen, alternative Interpretation
f"ur Fastfaltigkeiten kleiner Dimension und kleiner Kodimension,
insbesondere Flu"s durch Hyperfl"ache.
"Au"sere Ableitung und Formel\-sammlung dazu noch ohne Beweis.
Interpretation von Divergenz und Rotation als "au"sere Ableitung.
\item[24.11]
Anschauliche Bedeutung der "au"seren Ableitung.
Beweis der Formeln der Formelsammlung.
Randfaltigkeiten und Beweis des Stokes'schen Integralsatzes.
\item[26.11]
Stokes'scher Integralsatz f"ur Eckfaltigkeiten.
Beispiele. Green'sche Formel. Ableitung der klassischen S"atze von
Gau"s und Stokes und Wegintegral "uber ein Feld mit Potential.
Abschlu"s des ersten Teils der Vorlesung.
\item[1.12]
Mengenalgebren, $\sigma$-Algebren, Borelmengen, Me"sr"aume, Ma"se.
Charakterisierung des Lebesgue-Ma"ses. Unm"oglichkeit eines
translationsinvariaten Ma"ses auf der Potenzmenge der reellen Zahlengeraden,
das dem Einheitsintervall das Ma"s Eins zuordnet.
Noch nicht dessen Regularit"at.
\item[3.12]
Regularit"at f"ur die Anschauung, Beweis kommt viel sp"ater.
Pr"ama"se, Konstruktion des Pr"ama"ses zum Lebesguema"s
und zu Stieljes-Ma"sen auf der reellen Geraden.
Ma"sfortsetzungssatz und Beschreibung der
kanonischen Fortsetzung noch ohne Beweis.
N"achstes Mal mit der Definition eines "au"seren Ma"ses beginnen.
\item[8.12]
"Au"sere Ma"se, Zerlegerlemma, Beweis des Ma"sfortsetzungssatzes von
Caratheodory. Vervollst"andigung von Ma"sr"aumen. Stieltjes-Ma"se nicht
behandelt. 
\item[10.12] Stieltjes-Ma"se. Me"sbarkeit.
Summen, Produkte und Grenzwerte 
me"sbarer Funktionen. Definition des 
Integrals me"sbarer nichtnegativer reeller Stufenfunktionen.
Noch nicht dessen Linearit"at.
\item[15.12]
Integral me"sbarer nichtnegativer Funktionen und Satz 
"uber monotone Konvergenz. Integrierbare Funktionen,
deren Integral, Linearit"at des Integrals,
Satz "uber dominierte Konvergenz.
\item[17.12]
Produktma"s, S"atze von Tonelli und Fubini.
Noch nichts au"ser der reinen Theorie.
Noch nicht Cavalieri, Beziehung zum Riemann-Integral.
\item[22.12]
Cavalieri, Beziehung zum Riemann-Integral, partielle Integration.
Regularit"at von Borelma"sen auf dem $\DR^n$, jedoch
 nicht auf abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffr"aumen.
\item[7.1]
Transformationsformel. Bildma"s, Integral "uber Bildma"s.
Produkt von Ma"s mit me"sbarer nichtnegativer Funktion. 
Regularit"at von Borelma"sen auf offenen Teilmengen des
 $\DR^n$, jedoch
 nicht auf abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffr"aumen.
N"utzliche Nullmengen. Fl"ache unter der Glockenkurve.
Nicht Fl"achenma"s von Fastfaltigkeiten, 
nur kurz m"undlich was dazu gesagt.
\item[12.1]
Integrierbarkeit und Integral komplexwertiger Funktionen.
R"aume quadratintegrierbarer Funktionen und Fouriertransformation.
R"aume integrierbarer Funktionen, fast "uberall definierte Funktionen,
Raum der ${\op{L}}^p$-Funktionen. Noch nicht $\|\;\|_p$-Norm.
\item[14.1]
Die $\|\;\|_p$-Norm ist eine Norm. Die ${\op{L}}^p$-R"aume
sind vollst"andig. Hilbertr"aume, Hilbertbasen. Noch nicht
der Satz "uber Hilbertbasen. 
\item[19.1]
Satz "uber Hilbertbasen. Die differenzierbaren Funktionen mit kompakten
Tr"ager auf einer offenen Teilmenge der $\DR^n$ liegen 
dicht in den ${\op{L}}^p$
Funktionen f"ur $p < \infty$. Konvergenz 
der Fourier-Reihe in ${\op{L}}^2([0,2\pi])$.
\item[21.1]
Einparameteruntergruppen der multiplikativen Gruppe der
komplexen Zahlen. Charaktere der Kreisgruppe. Produkttopologie.
Noch nicht topologische Gruppen. 
\item[26.1]
Topologische Gruppen und ihre Charaktere. Charaktere von $\DR,\DZ,\DZ/m\DZ$
und von der Kreisgruppe. Fouriergruppen 
erkl"art als topologische Gruppen, die isomorph sind zu endlichen Produkten der
eben aufgez"ahlten Beispiele. Definition, Existenz und Eindeutigkeit ihrer
Haar-Ma"se bewiesen. Die Charaktere bilden eine Hilbertbasis des 
Raums der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer
kompakten Fouriergruppe f"ur das normierte Haarma"s. 
\item[28.1]
Standardisierte Fouriertransformation. Formelsammlung. 
Die  Fouriertransformation erh"alt den Schwarzraum. Fouriertransformierte
integrierbarer Funktionen verschwinden im Unendlichen. Abstrakte
Fouriertransformation eines Ma"ses und seine Beziehung zur
standardisierten Fouriertransformation. Nat"urlichkeit, aber noch nicht
Produktvertr"aglichkeit.
\item[2.2]
Paarung, duale Paarung, exakte Paarung von Fouriergruppen.
Zugeh"orige abstrakte Fouriertransformationen, Fourierreihe und  Fouriertransformation
als Beispiele. Abstrakte Inversionsformel, konkrete Variante f"ur $\DR$,
abstrakte und konkrete Poissonformel, Herleitung der Inversionsformel aus der
Poissonformel (bis auf letzten Schliff). 
\item[4.2]
Herleitung der Inversionsformel aus der
Poissonformel. Interpretation der Poissonformel als Nat"urlichkeit.
Fourierisomorphismus f"ur quadratintegrierbare Funktionen. 
Gleichheit der verschiedenen Varianten der Fouriertransformation
im Dualraum des Schwartzraums.
\item[9.2]
Falten von Ma"sen. Assoziativit"at. Verhalten unter Fouriertransformation.
Beweis des zentralen Grenzwertsatzes begonnen. Gekommen bis zur 
punktweisen Konvergenz der charakteristischen Funktionen.
\item[11.2]
Beweis zentraler Grenzwertsatz beendet.
Translationsinvariante abgeschlossene Teilr"aume des Raums
der quadratintegrierbaren Funktionen auf der reellen Geraden. 
\end{enumerate}


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