\section{Die Vorlesung Algebraische Topologie im SS 17}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
 \item[25.4] 
  Ziele der Algebraischen Topologie, 
  Voller Simplex, Simplizialkomplexe und Polyeder, 
  simpliziale Abbildungen, kombinatorische Fl"achen.
\item[28.4] 
  Triangulierung, Definition der Fundamentalgruppe, 
  Zerschneidungen, Vielecke, Fl"achenworte, 
  Klassifikation von Fl"achen (nur m"undlich angesprochen).
\item[2.5]
  Simplizialketten und simpliziale Homologie
  eines Simplizialkomplexes. Nicht: Homologie eines
  vollen Simplex, Azyklizit"at von Simplizes, persistente Homologie.
\item[4.5]
  Singul"are Homologie. Berechnung f"ur Punkte und
  konvexe Teilmengen eines $\DR^n$. Zerlegung nach Wegzusammenhangskomponenten.
  Nullte Homologie. Noch nicht Funktorialit"at.
\item[9.5]
  Funktorialit"at und Homotopie-Invarianz.
  Kategorien und Funktoren.
  Homotopiekategorie von
  R"aumen und Komplexen. 
\item[11.5]
  Relative Homologie, lange exakte Homologiesequenz,
  Ausschneidung noch  ohne Beweis, erste Anwendung
  auf relative Homologie des Standardsimplex zu seinem Rand, Beweis unfertig.
\item[16.5]
  Homologie von Simplizes relativ zu ihrem Rand mit explizitem Erzeuger,
  Homologie von Sph"aren, Brouwer'scher Fixpunktsatz, lange exakte
  Homologiesequenz eines Tripels.
  Transformationen, Yoneda-Lemma ohne Beweis.
\item[18.5]
  Unterteilungsoperatoren, Satz "uber feine Ketten,
  Beweis des Ausschneidungssatzes, Mayer-Vietoris-Sequenz, auch
  f"ur relative Homologie, Anwendungen.

\item[23.5] Simpliziale Ketten, Abbildung in die
Simplizialketten, ordnungsvertr"agliche simpliziale
$q$-Ketten und Vergleich zwischen deren Homologie und der
singul"aren Homologie. Noch nicht Vergleich der Homologie
zwischen ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten und
allen simplizialsingul"aren Ketten.
\item[30.5] Vergleich der Homologie
zwischen ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten und
allen simplizialsingul"aren Ketten. Endlichkeitsaussagen.
Eulercharakteristik.
Simplizialer Fixpunktsatz. Satz "uber simpliziale
Approximation ohne Beweis. Erste Ann"aherung an den
Lefschetz'schen Fixpunktsatz ohne Beweis. 
\item[1.6.] Formulierung Jordan-Brouwer, Definition augmentierter Komplex
 und reduzierte Homologie, Eigenschaften und Beziehung zur gew"ohnlichen Homologie,
 Homologie des Komplements von Sph"aren in Sph"aren mit Beweis,
 noch nicht Beweis von Jordan-Brouwer.
\item[13.6.]
Beweis von Jordan-Brouwer, Invarianz von Gebieten.
\item[15.6.]
  Anklebesequenz und ihre Konsequenzen, Homologie der komplex projektiven R"aume,
  Eulercharakteristik von Zellkomplexen.
 \item[20.6.] Homologie und Orientierung von Vektorr"aumen,
topologische Mannigfaltigkeiten und Orientierung dieser,
Lemma "uber die Gleichheit von Orientierung zusammenh"angender
 Mannigfaltigkeiten, die auf einem Punkt "ubereinstimmen.
 
 \item[22.6.] Orientierungsgarbe, Trivialisierung dieser f"ur
 den reellen Raum, kartesisches Diagramm f"ur die Einbettung
 einer offenen Teilmenge, Schnitte "uber Teilmengen, Hohe
 Homologie von Mannigfaltigkeiten: Formulierung des
 allgemeinen Satzes und Beweis bis zu Schritt 2.

\item[27.6.] Hohe Homologie von
  Mannigfaltigkeiten, zu Ende.
\item[29.6.]
  Homologie mit Koeffizienten. Tensorprodukt
  "uber Ringen.
  Vertauschbarkeit mit direkten Summen 
  formuliert, aber noch nicht gezeigt.
 \item[4.7.]
   Vertauschbarkeit des Tensorprodukts mit direkten Summen.
   Rechtsexaktheit des Tensorprodukts. Tensorieren "uber $\DZ$
   mit torsionsfreien Gruppen ist exakt.
   Universelles Koeffiziententheorem f"ur Homologie mit torsionsfreien
   Koeffizienten. Tensorprodukt von Komplexen. Torsionsprodukt $\ast_\DZ$ und
   lange exakte Torsionssequenz. Berechnung von $A\ast (\DZ/n\DZ)$.
 \item[6.7.]
   Universelles Koeffiziententheorem der Homologie.
   Beispiel der reell projektiven R"aume.
   Hauptlemma der homologischen Algebra.
   K"unneth-Formel und Eilenberg-Zilber noch ohne Beweis.
   Basis eines Funktors. Noch nicht Satz "uber
   azyklische Modelle.
 \item[11.7.]
Beweis des Satzes  "uber
   azyklische Modelle. Eilenberg-Zilber und K"unneth-Formel.
 \item[13.7.]
   Verschmelzungskategorien.
   Universelle und stark universelle Verschmelzungen. Beispiele.
   Superfall vermurkst.
 \item[18.7.]
   Superfall repariert. Verschmelzungskategorien der
   Komplexe und der Homotopiekomplexe.
   Kohomologie und Cup-Produkt. Noch nicht dessen
   Assoziativit"at etc gezeigt. Erst recht noch kein universelles Koeffiziententheorem der Kohomologie. Ebensowenig Verschmelzung und
   Kreuzprodukt. 
 \item[20.7]
  Kreuzprodukt von Homologie und Kohomologie,
   deren Eigenschaften.
   Darstellbare Verschmelzungskategorien und internes Hom. Der
   Kohomologiering.
 \item[25.7]
   Cap-Produkt und Poincar\'e-Dualit"at.
   Limites und Kolimites. Kohomologie mit kompaktem Tr"ager.
 \item[27.7]
   Beweis der Poincar\'e-Dualit"at.
    Tucholsky's \glqq Zur soziologischen Psychologie der L"ocher\grqq\
   verlesen. Meine Klein'sche Flasche mitbringen.
\end{enumerate}


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