\section{Ab hier noch nicht in der Vorlesung dran} \subsection{Wohin? Tensorprodukt von Darstellungen} \begin{Definition}[\textbf{Tensorprodukt von Darstellungen}] Gegeben zwei Darstellungen $V,W$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ macht ihr Tensorprodukt $V\otimes_{k} W$ zu einer Darstellung vermittels der Regel $$g(v \otimes w) = g v \otimes gw$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Nat"urlich ist $V \otimes_{k} W$ sogar in nat"urlicher Weise eine Darstellung von $G\times G$. Die Darstellung in der Definition entsteht daraus durch Einschr"anken vermittels der diagonalen Einbettung $G \hookrightarrow G \times G$. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Operiert eine Gruppe auf einem Vektorraum $V$, so operiert sie in nat"urlicher Weise auch auf dem Vektorraum $\op{Bil}(V)$ aller Bilinarformen auf $V$. Der nat"urliche Isomorphismus $$\op{Bil} (V) \overset{\sim}{\ra} (V \otimes V)^{\ast}$$ ist dann ein Isomorphismus von Darstellungen. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Sind $V,W$ endlichdimensionale stetige Darstellungen einer Liegruppe $G$, so wird die Operation der Liealgebra auf $\op{Hom} (V,W)$ beziehungsweise $V\otimes W$ gegeben durch die Formel $$\begin{array}{ccl} (Xf) (v) &=& X (f(v)) - f(Xv)\\ X (v\otimes w) &=& (Xv) \otimes w + v \otimes (Xw) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Speziell wird die Operation der Liealgebra auf der kontragradienten Darstellung $V^{\ast}$ gegeben durch $(Xf)(v) = -f(Xv)$. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen nur die zweite Formel. Es gilt, das Differential der Verkn"upfung $$G \ra \op{End}V \times \op{End} W \ra \op{End} (V\otimes W)$$ im neutralen Element zu berechnen. Die zweite Abbildung ist bilinear, ihr Differential wird folglich durch \ref{??} gegeben. Damit ergibt sich als Differential $$X \mapsto (d\rho_{V} (X), d \rho_{W} (X)) \mapsto d\rho_{V} (X) \otimes \op{id}_{W} + \op{id}_{V}\otimes d\rho_{W} (X)$$ \end{proof} \subsection{Wohin? Invariante Orientierung homogener R"aume} \begin{Proposition}\emph{Wohin? N"otig?} Sei $G$ ein Liegruppe und $H \subset G$ eine zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe. So gibt es auf $G/H$ genau zwei $G$-invariante Orientierungen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen eine Orientierung auf $T_{eH} (G/H)$. F"ur jedes $g \in G$ liefert Verschieben mit $g$ eine Orientierung auf $T_{gH}(G/H)$. Diese Orientierung h"angt nur von der Nebenklasse $gH$ ab, da Verschieben mit $h \in H$ die Orientierung auf $T_{eH} (G/H)$ erh"alt. Mithilfe lokaler Schnitte der Projektion $G \twoheadrightarrow G/H$ erkennt man leicht, da"s unsere Orientierungen auch stetig vom Fu"spunkt abh"angen. \end{proof} \subsection{Klassifikation kompakter Liegruppen, Schrott} \begin{Satz} Jede kompakte Untergruppe einer $\op{GL}(n,\Bbb{R})$ ist eine Untermannigfaltigkeit ohne Rand des $\Bbb{R}^{n\cdot n}$ und kann beschrieben werden als die simultane Nullstellenmenge einer endlichen Familie von Polynomen in den Matrixeintr"agen. \end{Satz} \begin{Bemerkung} In Formeln gibt es also f"ur jede kompakte Untergruppe $K \subset \op{GL} (n,\Bbb{R})$ Polynome $f_{1}, \ldots , f_{r} \in \Bbb{R} [X_{ij}]^{n}_{i,j=1}$ in den $n^{2}$ Ver"anderlichen $X_{ij}$ derart, da"s gilt $K = \{ A \in \op{M}(n \times n, \Bbb{R}) \mid f_{1} (A) = \ldots = f_{r}(A) =0\}$. Zum Beispiel ist die orthogonale Gruppe $\op{O}(n) = \{A \in \op{GL} (n, \Bbb{R})\mid A A^{\top} =E\}$ die simultane Nullstellenmenge der $n^{2}$ Polynome $$X_{r1}X_{1s}+ X_{r2}X_{2s}+ \ldots + X_{rn} X_{ns} - \delta_{rs} \quad\text{ f"ur }1 \leq r, s \leq n.$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} F"ur diejenigen, die bereits etwas "uber Spiegelungsruppen Bescheid wissen, sei hier kurz der Zusammenhang angerissen. Bezeichne $S^{1} = \{z \in \Bbb{C} \mid |z| = 1\}$ den Einheitskreis. \end{Bemerkung}\begin{Satz}\label{KKLLl}%\label{KKLL} Sei $K\subset \op{GL}(n,\Bbb{R})$ eine kompakte Untergruppe. \begin{enumerate} \item Jede zusammnenh"angende kommutative Untergruppe von $K$ l"a"st sich zu einer maximalen zusammenh"angenden kommutativen Untergruppe von $K$ vergr"o"sern. \item Je zwei maximale kommutative zusammenh"angende Untergruppen $T\subset K$ sind zueinander konjugiert und es existieren f"ur sie stetige Gruppenisomorphismen $S^{1} \times \ldots \times S^{1} \overset{\sim}{\ra} T$. Man nennt diese Untergruppen die \emph{\bf maximalen Tori}\index{maximal!Torus}\index{Torus!maximaler} von $K$. \item In der abelschen Gruppe $\op{Top}(T,S^{1})$ aller stetigen Abbildungen von $T$ nach $S^{1}$ ist die Menge der stetigen Gruppenhomomorphismen eine endlich erzeugte Untergruppe $\frak{X}(T) \cong \Bbb{Z} \times \ldots \times \Bbb{Z}$. \item Bezeichnet $N = N_{K}(T)$ den Normalisator von $T$ in $K$, so operiert $N$ auf $\frak{X}(T)$ und sein Bild ist eine endliche Gitterspiegelungsgruppe $W \subset \op{Ab}^{\times} (\frak{X}(T))$. \item Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Kompakte zusammen-}\\ \text{-h"angende Liegruppen,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\ra} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Endliche Gitterspiegelungsgrup-}\\ \text{-pen mit stabiler Wurzelwahl,}\\ \text{bis auf Isomorphismus} \end{array} \right\} \end{array}$$ \end{enumerate} \end{Satz} \section{Weiteres zu Liegruppen} \subsection{Mu"s woanders hin, Sammelsurium}\begin{Bemerkung} Hier sind die Darstellungen ungerader Dimension von reellem Typ und die Darstellungen gerader Dimension von quaternionalem Typ. In der Tat gibt es in jeder Dimension bis auf Isomorphismus nur eine irreduzible Darstellung, also ist jede einfache komplexe Darstellung isomorph zu ihrer kontragredienten Darstellung und es gibt keine einfachen Darstellungen von komplexem Typ. Den Darstellungen ungerader Dimension bleibt also gar nichts anderes "ubrig als reell zu sein. Die einfache zweidimensionale komplexe Darstellung andererseits ist von quaterionalem Typ nach \ref{??}. Folglich kommt auch ihr Tensorprodukt $V(2)\otimes_\DC V(2n+1)\cong V(2)\otimes_\DR V(2n+1)_\DR$ mit jeder einfachen Darstellung ungerader Dimension her von einer Darstellung "uber $\Bbb{H}$ und folglich besitzt auch dieses Tensorprodukt einen schieflinearen "aquivarianten Automorphismus $J$ mit $J^2=-\op{id}$. Dasselbe gilt dann auch f"ur seine isotypischen Komponenten, und mit \ref{??} erkennen wir so, da"s alle einfachen Darstellung gerader Dimension von quaterionalem Typ sind. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{SUL} Ist $G$ eine kompakte Liegruppe, so ist jeder Liealgebrenhomomorphismus $\frak{su} (2) \ra \op{Lie} G$ das Differential eines Homomorphismus von Liegruppen $\op{SU}(2) \ra G$. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Das ist ein Spezialfall eines allgemeinen Resultats, nach dem f"ur je zwei Liegruppen $H,G$ mit $H$ einfach zusammenh"angend das Differential eine Bijektion $\op{Grpto} (H,G) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alg}_{\Bbb{R}} (\op{Lie} H, \op{Lie} G)$ liefert. Wir geben jedoch f"ur den oben angegebenen Fall einen eigenst"andigen Beweis, um die Theorie kompakter Liegruppen in gr"o"serer Eigenst"andigkeit entwickeln zu k"onnen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Da jede kompakte Liegruppe nach \ref{??} eine treue unit"are endlichdimensionale Darstellung besitzt, reicht es aus zu zeigen, da"s jeder Homomorphismus von Liealgebren $\frak{su}(2) \ra \frak{u}(n)$ das Differential eines Homomorphismus von Liegruppen $\op{SU}(2) \ra \op{U} (n)$ ist. Wir wissen aber aus \ref{??}, da"s sich in der Tat jede endlichdimensionale unit"are Darstellung der Liealgebra $\frak{su}(2)$ zu einer Darstellung der Liegruppe $\op{SU} (2)$ integrieren l"a"st. \end{proof} \begin{Bemerkung} F"ur die Killingform auf $\frak{so} (3;\Bbb{R})$ haben wir $\kappa (E_i, E_j) = - 2 \delta_{ij}$. Folglich ist $E^2_1 + E^2_2 + E^2_3$ ein skalares Vielfaches des Casimir-Operators. Auf den ${\cal C}^{\infty}$-Funktionen auf der Kugelschale wirkt das wie ein skalares Vielfaches des Laplace-Operators, der den Funktionswert an einer Stelle vergleicht mit dem Durchschnitt der Funktionswerte in einer kleinen Umgebung. Man "uberlege sich das f"ur einen Pol und folgert es aus der Drehinvarianz unseres Operators f"ur jede Stelle. Die isotypischen Komponenten von ${\cal C}^{\infty}(S^2)$ sind also die Eigenr"aume des Laplace-Operators. Diese isotypischen Komponenten bestehen aus polynomialen Funktionen, da diese bereits dicht liegen nach Stone-Weierstra"s etc. Um die Nullgewichtsr"aume bez"uglich der infinitesimalen Rotation um die $z$-Achse in den isotypischen Komponenten zu erhalten, m"ussen wir also auf die Basis $z^0,z^1,z^2, \ldots$ bez"uglich der Metrik \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \langle f,g \rangle &=& \int_{S^2} \overline{f(z)} g(z) dS\\ & =& \int^1_-1 \overline{f(z)} g (z) \frac{dz}{\sqrt{1-z^2}} \end{array} \end{displaymath} die Gram-Schmid'sche Orthonormalisierung anwenden. \emph{Gleiche ab mit \ref{KuFu}}. \end{Bemerkung} \begin{comment} \begin{Bemerkung} Sei $k$ irgendein K"orper und $E_{ij} \in \op{M}(n\times n,k)$ die Standardmatrix mit einer 1 in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte und Nullen sonst. Es gilt also $E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}$ und $[E_{ij},E_{kl}]= \delta_{jk}E_{il}-\delta_{li}E_{kj}$. Bezeichne im Folgenden $\partial_i$ die partielle Ableitung nach der Variablen $X_i$. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{GL} Die lineare Abbildung $$\begin{array}{cccc} \rho : &\frak{g}\frak{l} (n,k) & \ra & \frak{g}\frak{l} (k[X_{1},\ldots , X_{n}])\\ &E_{ij} & \mapsto & X_{i}\partial_{j} \end{array}$$ ist eine Darstellung von $\frak{g}\frak{l}(n,k)$ im Polynomring $k[X_{1},\ldots , X_{n}]$. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Die Lie-Gruppe $\op{GL}(n,\Bbb{R})$ operiert in offensichtlicher Weise auf $\Bbb{R}^{n}$ und dann auch auf dem Raum $\Bbb{R} [X_{1}, \ldots , X_{n}]$ der polynomialen Funktionen auf dem $\Bbb{R}^{n}$. Unsere Formeln beschreiben im Fall $k =\Bbb{R}$ die Verkn"upfung des Liealgebrenautomorphismus $A\mapsto -A^\top$ mit dem Differential dieser Operation. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Man pr"ufe f"ur alle $p\in k[X_{1},\ldots , X_{n}]$ die Formel $X_{i}\partial_{j}X_{k}\partial_{l}(p) = \delta_{jk} X_{i}\partial_{l} (p) + X_{i}X_{k}\partial_{j}\partial_{l}(p)$. Es folgt $[X_{i}\partial_{j},X_{k}\partial_{l}] = \delta_{jk}X_{i}\partial_{l} - \delta_{li} X_{k}\partial_{j}$. \end{proof} \end{comment} \begin{Bemerkung} Die Notation $e,h,f$ f"ur die Standardbasis der Liealgebra $\frak{sl}(2,\Bbb{C})$ wie wir sie oben eingef"uhrt hatten ist ein weit verbreiteter Standard. Manchmal hei"st $e$ ein \defind{Erzeugungsoperator} und $f$ dual ein \defind{Vernichtungsoperator}. Eine andere gebr"auchliche Notation anstelle von $e,h,f$ ist $x,h,y$. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\emph{Sp"ater}. Jede endlichdimensionale Darstellung von $\frak{sl}(2,\Bbb{C})$ ist {\bf selbstdual}, als da hei"st isomorph zu ihrer kontragredienten Darstellung. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Sei $\frak{g}$ eine Liealgebra "uber dem K"orper $k$. F"ur eine Linearform $\lambda\in \frak{g}^\ast$ auf $\frak{g}$ ist die Abbildung $\rho_\lambda: \frak{g}\ra \frak{g}\frak{l}(k)$, $X\mapsto \lambda(X)$ eine Darstellung genau dann, wenn $\lambda$ auf dem von allen Kommutatoren $[x,y]$ erzeugten Untervektorraum $[\frak{g}, \frak{g}] \subset \frak{g}$ verschwindet. Wir bezeichnen diese Darstellung dann mit $k_\lambda$ und erhalten so eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} (\frak{g}/[\frak{g},\frak{g}])^\ast&\overset{\sim}{\rightarrow}&\left\{\begin{array}{c} \text{eindimensionale Darstellungen von $\frak{g}$,}\\ \text{bis auf Isomorphismus}\end{array} \right\} \\[4mm] \lambda& \mapsto & k_\lambda \end{array}$$ Diejenigen Linearformen auf $\frak{g}$, die auf $[\frak{g},\frak{g}]$ verschwinden, nennt man auch die {\bf Charaktere von} $\frak{g}$. \index{Charakter!einer Liealgebra} Diese Bezeichnung wird jedoch auch noch f"ur viele andere verwandte aber verschiedene Konzepte benutzt. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ist $U\subset V$ eine Unterdarstellung, so gibt es genau eine Darstellung von $\frak{g}$ auf $V/U$ derart, da"s $\op{can} : V\ra V/U$ ein Homomorphismus von Darstellungen wird. Man nennt $V/U$ die \defind{Quotientendarstellung}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Nehmen wir hier speziell $W = k$ die Einsdarstellung, so hei"st $V^{\ast} = \op{Hom}_{k} (V,k)$ die \defnoind{kontragrediente Darstellung}\index{Darstellung!kontragradiente, von Liealgebra} zu $V$. Explizit wird die Operation von $\frak{g}$ auf $V^{\ast}$ gegeben durch die Formel $$ (xf) (v) = - f(x v) \quad \forall x \in \frak{g}, \;f\in V^{\ast},\; v \in V$$ Offensichtlich ist dann die kanonische Abbildung $V \ra (V^\ast)^\ast$ ein Homomorphismus von Darstellungen. Nehmen wir umgekehrt $V =k$ die Einsdarstellung, so ist auch die offensichtliche Abbildung $W \sira \op{Hom}_{k} (k, W)$ ein Isomorphismus von Darstellungen. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Ist $\lambda:\frak{g}\ra k$ eine eindimensionale Darstellung einer Liealgebra $\frak{g}$, so wird die kontragrediente Darstellung gegeben durch $-\lambda$, in Formeln $(k_\lambda)^\ast\cong k_{-\lambda}$. \end{Ubung} \subsection{Die adjungierte Darstellung}\label{ADJ} \begin{Beispiel} Die f"ur jede eingebettete Liegruppe in \ref{??} erkl"arte Abbildung $\op{Ad}:G\ra \op{Aut}(\op{Lie}G)$ ist eine Darstellung von $G$, genannt die \defnoind{adjungierte Darstellung}.\index{adjungiert!Darstellung!von Matrix-Liegruppe}\index{Darstellung!adjungierte!von Matrix-Liegruppe} \end{Beispiel} \begin{Definition} F"ur jede Liealgebra $\frak{g}$ betrachtet man die Abbildung $$\begin{array}{rcl} \op{ad} = \op{ad}_{\frak{g}}: \frak{g}& \ra & \op{End} \frak{g}\\ x & \mapsto & \op{ad} x = [x,\;] \end{array}$$ Ausgeschrieben gilt also $(\op{ad} x)(y) = [x,y]$ f"ur alle $y \in \frak{g}$. Die Jacobi-Identit"at zeigt, da"s wir so einen Homomorphismus von Liealgebren $\op{ad} : \frak{g} \ra \frak{gl} (\frak{g})$ erhalten. Man nennt $(\frak{g},\op{ad})$ die \defnoind{adjungierte Darstellung}\index{Darstellung!adjungierte, von Liealgebra} von $\frak{g}$. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Ist $\frak{g}$ die Liealgebra einer Liegruppe $G$, so ensteht die adjungierte Darstellung der Liealgebra durch Differenzieren aus der adjungierten Darstellung der Liegruppe. \end{Bemerkung} \subsection{Liegruppen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s alle Elemente einer kompakten Untergruppe von $\op{GL} (n;\Bbb{C})$ diagonalisierbare Matrizen sind, deren s"amtliche Eigenwerte Norm 1 haben. \end{Ubung} \begin{Beispiel} $\Bbb{R}^{n}$ ist eine Lie-Gruppe mit der Addition als Verkn"upfung. Dasselbe gilt f"ur jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Offene Teilmengen des $\Bbb{R}^{n}$ tragen stets in nat"urlicher Weise die Struktur einer $\cal{C}^{\infty}$-Mannigfaltigkeit. Mit dieser Struktur ist $G= \op{GL}(n,\Bbb{R}) \subset \Bbb{R}^{n^{2}}$ eine Lie-Gruppe. Dasselbe gilt f"ur $G=\op{GL}(n,\Bbb{C}) \subset \Bbb{R}^{(2n)^{2}}$. \end{Beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{M"archen: Lie-Gruppen und Liealgebren} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Satz}[Ein-Parameter-Untergruppen] Ist $G$ eine Liegruppe und $\op{T}_e G$ ihr Tangentialraum im neutralen Element $e\in G$, so erhalten wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccl} \left\{ \begin{array}{c} \mbox{Glatte Gruppenhomomorphismen}\\ \varphi :\Bbb{R} \ra G \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow}& \op{T}_{e}G\\[4mm] \varphi & \mapsto & \dot{\varphi} (0) \end{array}$$ indem wir jedem glatten Gruppenhomomorphismus $\varphi : \Bbb{R} \ra G$ seine Geschwindigkeit $\dot{\varphi} (0)$ zum Zeitpunkt Null zuordnen. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ein glatter Gruppenhomomorphismus $\varphi : \Bbb{R} \ra G$ hei"st auch eine \defind{Ein-Parameter-Untergruppe} von $G$, deshalb der Name des Satzes. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} \ref{AGH} bestimmt insbesondere die Ein-Parameter-Untergruppen der additiven Gruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Abbildung $$\begin{array}{ccl} \Bbb{R} & \ra & \op{GL}(n,\Bbb{R})\\ t & \mapsto & \exp (tA) = 1 + tA + \frac{t^{2}A^{2}}{2 !} + \ldots \end{array}$$ ist die Ein-Parameter-Untergruppe mit Geschwindigkeitsvektor $A$ zum Zeitpunkt $t=0$, f"ur alle $A \in \op{M}(n\times n, \Bbb{R}) = \op{T}_{e} \op{GL}(n,\Bbb{R})$. Analoges gilt f"ur $\op{GL} (n,\Bbb{C})$ und $\op{GL} (n,\Bbb{H})$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Tangentialraum an $S^{1}$ am neutralen Element $1$ ist die imagin"are Achse, $\op{T}_{1}S^{1} = \Bbb{R} \op{i}$. Die Ein-Parameter-Untergruppen der $S^{1}$ sind die Abbildungen $ \Bbb{R} \ra S^{1}$, $t \mapsto \exp (a\op{i}t) $ mit $a \in \Bbb{R}$. Ganz genauso geht es mit der Gruppe $S^{3}$. Wir haben als Ein-Parameter-Untergruppen die Abbildungen $$\begin{array}{ccl} \Bbb{R} & \ra & S^{3}\\ t & \mapsto &\exp (tq) \end{array}$$ f"ur $q$ rein imagin"ar, also $\overline{q} = -q$. In der Tat folgt aus $\overline{q} =-q$ schon $$\begin{array}{ccl} \| \exp (tq)\|^{2} & = & \exp (tq) \cdot \overline{\exp (tq)}\\ & = & \exp (tq)\cdot \exp (t\overline{q})\\ &=& \exp (tq) \exp (-tq)\\ &=&1 \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Definition} Die Liealgebra $\op{Lie} G$ der Lie-Gruppe $G$ ist der Vektorraum $\op{T}_{e}G$ mit der Lie-Klammer $$[A,B]=\lim_{t\ra 0} \frac{1}{t^{2}} \left(\varphi_{A}(t)\varphi_{B}(t) -\varphi_{B} (t) \varphi_{A}(t) \right),$$ wobei die Differenz nat"urlich nur in einer Karte um das neutrale Element gebildet werden kann als ein Element des den Definitionsbereich der Karte umfassenden Vektorraums, der Grenzwert unter der kanonischen Identifikation dieses Vektorraums mit dem Tangentialraum am neutralen Element jedoch unabh"angig ist von der Karte. \end{Definition} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Exponentialabbildung im Fall der Gruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale ein Diffeomorphismus ist. Hinweis: Die Logarithmusreihe liefert eine inverse Abbildung. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Man pr"uft leicht, da"s $\frak{g}=\op{End}V$ mit der Lie-Klammer $[X,Y]=XY-YX$ zu einer reellen Liealgebra wird. Unter der Liealgebra $$\op{Lie} G$$ unserer abgeschlossenen Untergruppe $G\As\op{Aut}V$ verstehen wir den Vektorraum $\op{T}_{e}G$ mit der induzierten Lie-Klammer. Um die Bedeutung des Konzepts einer Liealgebra zu erkl"aren, gebe ich ohne Beweis und sogar ohne vollst"andige Definitionen zwei grundlegende S"atze an. Wir notieren die Kategorie der Liegruppen mit $\op{Lgrp}$ und die Kategorie der Liealgebren "uber einem K"orper $k$ mit $\op{Lalg}_{k}$. \end{Bemerkung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: