\section{Affine R"aume} \subsection{Affine R"aume und affine Abbildungen}\label{AfRa} \begin{Definition}\label{daff} Ein {\bf affiner Raum}\index{affin!Raum|main} oder kurz {\bf Raum}\index{Raum!affiner|main} "uber einem K"orper $K$ ist ein Tripel $$E=(E,\vec{E},a)$$ bestehend aus einer Menge $E$, einer abelschen Untergruppe $\vec{E}\subset \op{Ens}^\times \! E$ der Gruppe der Permutationen von $E$ sowie einer Abbildung $a:K\times \vec{E}\ra \vec{E}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Die Menge $E$ ist nicht leer und das Auswerten liefert f"ur alle $p\in E$ eine Bijektion $\vec{E}\sira E$, $\vec{v}\mapsto \vec{v}(p)$; \item Mit der Abbildung $a:K\times \vec{E}\ra \vec{E}$ als der Multiplikation mit Skalaren wird $\vec{E}$ ein $K$-Vektorraum. \end{enumerate} Die Elemente von $E$ hei"sen die {\bf Punkte}\index{Punkt!von affinem Raum|main} unseres affinen Raums. Die Elemente von $\vec{E}$ hei"sen {\bf Translationen}\index{Translation!von affinem Raum|main} oder {\bf Richtungsvektoren}\index{Richtungsvektor|main} unseres affinen Raums. Den Vektorraum $\vec{E}$ nennen wir den {\bf Richtungsraum}\index{Richtungsraum|main} unseres affinen Raums und notieren ihn auch $\vec E=\op{Richt}(E)$.\index{Richt@$\op{Richt}$ Richtungsraum} Das Resultat der Operation einer Trans\-la\-tion $\vec{v}\in \vec{E}$ auf einem Punkt $p\in E$ notieren wir $\vec{v}+p\pdef\vec{v}(p)$\index{+@$+$ Verschieben von Punkt um Richtungsvektor} oder auch $p+\vec{v}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation und Terminologie}] Die leere Menge kann in unseren Konventionen nie ein affiner Raum sein. Unser Richtungsraum wird in manchen Quellen der {\bf Differenzraum}\index{Differenzraum, von affinem Raum} genannt. Vielfach findet man auch die begriffliche Variante eines {\bf affinen Raums "uber einem vorgegebenen Vektorraum}.\index{affin!Raum, "uber Vektorraum|main} Darunter versteht man dann eine Menge $E$ mit einer \glqq freien transitiven Wirkung\grqq\ des vorgegebenen Vektorraums. Ich ziehe die oben gegebene Definition vor, da sie jeden Bezug auf einen bereits vorgegebenen Vektorraum vermeidet und den Raum unserer Anschauung dadurch meines Erachtens "uberzeugender modelliert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Notation des Richtungsraums mit einem Pfeil steht in Konflikt zu unserer Notation aus \eref{rPFf}{AN2}, nach der das Versehen mit einem Pfeil bei Mannigfaltigkeiten die Wahl einer Orientierung andeutet. Was im Einzelfall jeweils gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{reREv} Unter der {\bf Dimension}\index{Dimension!eines affinen Raums|main} eines affinen Raums verstehen wir die Dimension seines Richtungsraums. Ein affiner Raum "uber dem K"orper $\DR$ der reellen Zahlen hei"st auch ein {\bf reeller affiner Raum} oder kurz {\bf reeller Raum}.\index{reell!Raum|main}\index{Raum!reeller|main} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein affiner Raum hat die Dimension Null genau dann, wenn er aus einem einzigen Punkt besteht. Affine R"aume der Dimension Eins hei"sen {\bf affine Geraden}.\index{Gerade!affine} Affine R"aume der Dimension Zwei hei"sen {\bf affine Ebenen}.\index{Ebene!affine} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einige Formeln f"ur affine R"aume}] Ist $E$ ein affiner Raum, so liefert nach Annahme f"ur jedes $p\in E$ das Anwenden der Richtungsvektoren auf besagten Punkt eine Bijektion $\vec{E}\sira E$, $\vec{v}\mapsto \vec{v}+p$ und es gilt $\vec{0}+p=p$ sowie $\vec{u}+(\vec{v}+p)=(\vec{u}+\vec{v})+p$ f"ur alle $\vec{u}, \vec{v}\in \vec{E}$ und $p\in E$. Flapsig gesprochen ist also ein affiner Raum ein \glqq Vektorraum, bei dem man den Ursprung vergessen hat\grqq. Gegeben $p,q\in E$ erkl"aren wir \index{)8b@$p-q$ bei affinem Raum}$$p-q\in \vec{E}$$ als denjenigen Richtungsvektor $\vec{u}\in \vec{E}$ mit $p=\vec{u}+q$. Das erkl"art auch die alternative Bezeichnung des Richtungsraums als \glqq Differenzraum\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative Notationen f"ur affine R"aume}] In Schulb"uchern verwendet man f"ur die Punkte eines affinen Raums meist Gro"sbuchstaben $A,B,\ldots$ und schreibt\index{)6a@$\overrightarrow{AB}$ {\it Richtungsvektor}} $$\overrightarrow{AB}$$ f"ur den Richtungsvektor, der $A$ nach $B$ schiebt und den wir hier $B-A$ notieren. In einem didaktischen Kontext mag statt $p-q$ auch $p\leftarrow q$ eine sinnvolle Notation sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorr"aume als affine R"aume}] Jeder Vektorraum $V$ kann als ein affiner Raum $V_{\op{a}}$\index{a@$V_{\op{a}}$ Vektorraum $V$ aufgefa"st als affiner Raum} aufgefa"st werden, indem wir als Translationen\label{VRAR} die durch die Addition von festen Vektoren gegebenen Abbildungen nehmen, so da"s unsere Gruppe von Translationen das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus $V\hra \op{Ens}^\times(V_{\op{a}})$, $v\mapsto (v+)$ wird. Die Vektorraumstruktur auf der Gruppe der Translationen erkl"aren wir dabei dadurch, da"s dieser Gruppenhomomorphismus einen Vektor\-raum\-isomorphismus auf sein Bild liefern soll. Insbesondere erhalten wir damit einen Isomorphismus\index{trans@$\op{trans}$} $$\op{trans}:V\sira \vec{V}_{\op{a}}=\op{Richt}(V_{\op{a}})$$ zwischen unserem Vektorraum und dem Richtungsraum des dazu gebildeten affinen Raums. Es ist "ublich und praktisch, in der Notation zwischen einem Vektorraum, dem zugeh"origen affinen Raum und dessen Richtungsraum nicht zu unterscheiden und sie in Sprache und Notation so behandeln, als seien sie schlicht gleich und als sei der Isomorphismus $\op{trans}$ schlicht die Identit"at. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Raum unserer Anschauung als affiner Raum}] Es scheint mir besonders sinnf"allig, den schmutzigen \glqq Raum unserer Anschauung\grqq\ mathematisch als einen dreidimensionalen reellen\label{ANRA} affinen Raum\index{E@$\mathbb{E}$ Anschauungsraum} $$\mathbb{E}$$ % modellieren, den wir den {\bf Anschauungsraum}\index{Anschauungsraum} % nennen wollen. zu modellieren. Dieses Modell werden wir in \eref{BeGr}{LA2} folgende noch um die Vorgabe einer ausgezeichneten \glqq Bewegungsgruppe\grqq\ und je nach Kontext einer ausgezeichneten \glqq Orientierung\grqq\ erweitern und so den \glqq Anschauungsraum\grqq\ formal als ein Gebilde der Mengenlehre definieren. Die endg"ultige Definition mu"s aber noch auf die Einf"uhrung dieser Begriffe warten. Der Buchstabe $\mathbb{E}$ soll an das franz"osische Wort \glqq espace\grqq\ f"ur \glqq Raum\grqq\ erinnern. Unser \glqq Raum unserer Anschauung\grqq\ ist der \glqq Raum der klassischen Mechanik\grqq. Manche Punkte dieses Raums k"onnen wir uns direkt als Kirchturmspitzen, Zimmerecken und dergleichen denken, die "Ubrigen gilt es sich vorzustellen. Die \glqq affinen Geraden\grqq\ entsprechen unseren Sichtlinien. Wir ignorieren dabei, da"s die Erde sich um sich selber dreht und dabei gleichzeitig um die Sonne rast, die sich hinwiederum mit unvorstellbarer Geschwindigkeit um das Zentrum der Milchstra"se bewegt, und ich k"onnte noch eine Weile so weitermachen. Den zum Raum unserer Anschauung geh"origen Richtungsraum denke ich mir als die Gesamtheit aller \glqq Parallelverschiebungen des Raums der Anschauung\grqq. In \ref{ARG} werden Sie lernen, in welchem Sinne die Bedingung, da"s unsere Sichtlinien gerade den \glqq affinen Geraden\grqq\ entsprechen sollen, die Struktur als reeller affiner Raum bereits eindeutig festlegt. Da"s wir als Grundk"orper f"ur die Modellierung des Raums der Anschauung den K"orper der reellen Zahlen nehmen, hat analytische Gr"unde: Im Kern liegen sie darin, da"s f"ur diesen K"orper der Zwischenwertsatz \eref{ZWS}{AN1} gilt. Deshalb modellieren reelle Vektorr"aume, insbesondere wenn es sp"ater auch um Drehungen, Winkel im Bogenma"s und dergleichen gehen wird, unsere geometrische Anschauung besser als etwa Vektorr"aume "uber den rationalen Zahlen. "Uberspitzt k"onnte man sagen, da"s im Gegensatz zu fr"uher, als die mathematische Modellierung der Ebene mithilfe der euklidischen Axiome an den Anfang gestellt wurde, die Mathematik seit dem Anfang des 20.-ten Jahrhunderts mit der Modellierung der Gerade beginnt, genauer mit der Axiomatik des K"orpers der reellen Zahlen \eref{ReZ}{AN1}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Man mag sich die Schreibfl"ache einer in jeder Richtung unbegrenzten Tafel als einen zweidimensionalen reellen affinen Raum denken. Da"s dieses Beispiel schmutzig ist, versteht sich von selbst. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die schmutzige Menge aller {\bf Zeitpunkte\index{Zeitpunkt} der klassischen Mechanik} mag man mathematisch als einen eindimensionalen reellen affinen Raum $$\mathbb{T}$$ modellieren.\index{T@$\mathbb{T}$ Zeit} Dieses Modell f"ur die \glqq Zeit\grqq\ werden wir in \ref{OrTe} noch durch die Vorgabe einer ausgezeichneten \glqq Orientierung\grqq\ erweitern. Der Buchstabe $\mathbb{T}$ soll an das lateinische Wort \glqq tempus\grqq\ f"ur \glqq Zeit\grqq\ erinnern. Ein Richtungsvektor dieses affinen Raums w"are etwa die Vorschrift: Man warte von einem vorgegebenen Zeitpunkt sieben Ausschl"age eines bestimmten Pendels ab, dann erreicht man den um besagte Translation verschobenen Zeitpunkt. Die Elemente des Richtungsraums $\vec{\mathbb{T}}$ dieses affinen Raums mag man sich als {\bf Zeitspannen}\index{Zeitspanne} denken, wobei jedoch auch \glqq negative Zeitspannen\grqq\ zugelassen sind.\label{tempp} Die Flugbahn einer Fliege etwa w"urden wir durch eine Abbildung $\mathbb{T} \ra \mathbb{E}$ oder genauer, da Fliegen ja sterblich sind, durch die Abbildung von einer geeigneten Teilmenge $I\subset \mathbb{T}$ nach $\mathbb{E}$ beschreiben. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ein Vektor des Homomorphismenraums $\op{Hom}(\vec{\mathbb T},\vec{\mathbb E})$ vom Vektorraum der Zeitspannen in den Richtungsraum des Anschauungsraums modelliert,\label{vg} was man in der Physik eine {\bf vektorielle Geschwindigkeit}\index{Geschwindigkeit!vektorielle} nennt. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{AffA} Eine Abbildung $\varphi:E\ra F$ zwischen affinen R"aumen "uber demselben K"orper hei"st eine \defnoind{affine Abbildung},\index{affin!Abbildung|main} wenn es eine lineare Abbildung zwischen den zugeh"origen Richtungsr"aumen $\vec{\varphi}:\vec{E}\ra \vec{F}$ gibt mit $$\varphi(p)-\varphi(q)= \vec{\varphi}(p-q)\;\;\forall p,q\in E$$ % $$\varphi(\vec{u}+e)= % \vec{\varphi}(\vec{u})+\varphi(e)\;\;\forall\; % \vec{u}\in \vec{E},\;e\in E$$ Diese lineare Abbildung $\vec{\varphi}$ ist dann durch $\varphi$ eindeutig bestimmt und hei"st der \defind{lineare Anteil} oder \defind{Richtungsanteil} $\op{Richt}(\varphi)\pdef \vec{\varphi}$ unserer affinen Abbildung. Die\index{Aff@$\op{Aff}$ affine Abbildungen} Menge aller affinen Abbildungen von einem affinen Raum $E$ in einen weiteren affinen Raum $F$ "uber demselben Grundk"orper $K$ notieren wir $$\op{Aff}(E,F)=\op{Aff}_K(E,F)$$ Die Menge der affinen Abbildungen von $E$ auf sich selber notieren wir abk"urzend $\op{Aff}(E)\pdef \op{Aff}(E,E)$. Eine bijektive affine Abbildung hei"st ein {\bf Isomorphismus von affinen R"aumen}.\index{Isomorphismus!von affinen R"aumen} Die Menge aller Isomorphismen von $E$ nach $F$ notieren wir $\op{Aff}^\times(E,F)$. Ein Isomorphismus von einem affinen Raum auf sich selbst hei"st ein {\bf Automorphismus} oder auch eine {\bf Affinit"at}\index{Affinit"at} des besagten affinen Raums.\index{Automorphismus!von affinem Raum} Die Gruppe aller Affinit"aten eines affinen Raums $E$ notieren wir $\op{Aff}^\times (E)\pdef \op{Aff}^\times (E,E)$.\index{Aff@$\op{Aff}^\times$ Affinit"aten} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine Abbildungen zwischen Vektorr"aumen}] Eine Abbildung $\varphi:V_{\op{a}}\ra W_{\op{a}}$ zwischen Vektorr"aumen ist affin als Abbildung zwischen den dazu gebildeten affinen R"aumen genau dann, wenn es eine lineare Abbildung $\vec \varphi:V\ra W$ und einen Punkt $w\in W$ gibt mit $$\varphi(v)=w+\vec \varphi(v)$$ f"ur alle $v\in V$. Jede affine Abbildung $\varphi:\DR^n\ra \DR^m$ hat also die Gestalt $v\mapsto Av+b$ f"ur $A\in \op{Mat}(m\times n;\DR)$ und $b\in \DR^m$. Dabei ist $A=[\vec{\varphi}]$ die Matrix des Richtungsanteils und $b=\varphi(0)$ das Bild des Ursprungs. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine Selbstabbildungen einer Gerade}] Die affinen Abbildungen einer Gerade auf sich selber sind anschaulich gesprochen alle Streckungen von einem gegebenem Fixpunkt aus, alle Verschiebungen und alle konstanten Abbildungen, die man auch als Streckungen mit Streckfaktor Null auffassen kann. Im reellen Fall sind im Graphenbild aus der Schule die affinen Abbildungen $\DR\ra\DR$ genau diejenigen Abbildungen, deren Graph eine Gerade ist und die auf der Schule meist als \glqq lineare Abbildungen\grqq\ bezeichnet\index{lineare Abbildung!schulische Konvention} werden. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Verkn"upfung affiner Abbildungen ist affin und der lineare Anteil einer Verkn"upfung affiner Abbildungen ist die Verkn"upfung ihrer linearen Anteile, in Formeln $\vec\varphi\circ\vec\rho=\overrightarrow{\varphi\circ\rho}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{UbAA} Eine Abbildung $\varphi:E\ra F$ zwischen affinen R"aumen ist genau dann affin, wenn es einen Punkt $p\in E$ und eine lineare Abbildung $\vec{\varphi}:\vec{E}\ra \vec{F}$ zwischen den zugeh"origen Richtungsr"aumen gibt mit $$\varphi(p+\vec v)=\varphi(p) +\vec{\varphi}(v)\;\;\forall \vec v\in \vec{E}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Affine Abbildungen mit der Identit"at als linearem Anteil}] Die Richtungsvektoren eines affinen Raums sind genau alle seine affinen Selbstabbildungen, deren linearer Anteil die Identit"at ist. In Formeln gilt f"ur einen affinen Raum $E$ also $$\vec E=\{\varphi\in\op{Aff}(E)\mid \vec\varphi=\op{id}_{\vec E}\}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Affine Abbildungen mit Null als linearem Anteil}] Die affinen Abbildungen mit verschwindendem linearen Anteil sind genau die konstanten Abbildungen. Gegeben affine R"aume $E,F$ "uber demselben K"orper gilt also in Formeln $$\{\varphi\in\op{Aff}(E,F)\mid \vec\varphi=0\} \;=\;\{\varphi\in\op{Ens}(E,F)\mid \varphi\text{ ist konstant}\} $$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PSP} Gegeben ein affiner Raum $E$ und ein Punkt $p\in E$ zeige man, da"s die Abbildung $E\ra E$ gegeben durch $p+\vec v\mapsto p-\vec v\;\;\forall \vec v\in\vec E$ affin ist. Sie hei"st die {\bf Punktspiegelung an $p$}.\index{Punktspiegelung} Allgemeiner zeige man, da"s f"ur alle Skalare $\lambda$ aus dem Grundk"orper die Abbildung $E\ra E$ gegeben durch $p+\vec v\mapsto p+\lambda\vec v$ affin ist. Sie hei"st die {\bf Streckung} oder auch {\bf Homothetie mit Zentrum $p$ und Streckfaktor $\lambda$}.\index{Streckung}\index{Homothetie} \end{Ubung} \begin{Ubung} Beschreiben Sie in schmutzigen Worten affine Abbildungen $\mathbb{T}\ra \mathbb{E}$ des affinen Raums der Zeiten in den Anschauungsraum. Nat"urlich ist das keine mathematische "Ubung im eigentlichen Sinne! \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt affiner R"aume}] Gegeben affine R"aume $X_1,\ldots , X_n$ gibt es auf ihrem kartesischen Produkt $X_1\times\ldots\times X_n$ genau eine Struktur als affiner Raum derart, da"s alle Projektionen\label{PARr} $\op{pr}_i$ affin sind. Des weiteren liefern dann die linearen Anteile der Projektionen %\ref{Isopp} einen Isomorphismus $$(\vec{\op{pr}_1},\ldots,\vec{\op{pr}_n}):\op{Richt}(X_1\times\ldots\times X_n)\sira \vec X_1\times\ldots\times \vec X_n$$ zwischen dem Richtungsraum des Produkts und dem Produkt der Richtungsr"aume der Faktoren. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Bezeichnet $\mathbb E$ den Raum unserer Anschauung, mutig gedacht f"ur einen fest auf der Sonne stehenden Beobachter, so mag man jede m"ogliche Konstellation von Erde und Mond als einen Punkt von $\mathbb E\times\mathbb E$ modellieren. \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Vor"ubung f"ur affine Teilr"aume}] Gegeben ein injektiver Homomorphismus von affinen R"aumen $\varphi:F\hra E$ zeige man, da"s sein linearer Anteil $\vec \varphi$ einen Vektorraumisomorphismus\label{vueb} $\vec \varphi:\vec F\sira \{\vec v\in\vec E\mid \vec v+\varphi(F)=\varphi(F)\}$ induziert. \end{Ubung} \subsection{Affine Teilr"aume}\label{ATR} \begin{Definition}\label{Dat} %\label{ATRL} Sei $E$ ein affiner Raum. Eine Teilmenge $F\subset E$ hei"st ein {\bf affiner Teilraum}\index{affin!Teilraum}, wenn $F$ so mit der Struktur eines affinen Raums $(F,\vec{F},b)$ versehen werden kann, da"s die Einbettung eine affine Abbildung ist. "Ubung \ref{vueb} zeigt, da"s diese Struktur als affiner Raum auf unserer Teilmenge $F$ dann eindeutig bestimmt ist und da"s die Richtungsvektoren von $F$ genau die Einschr"ankungen derjenigen Richtungsvektoren von $E$ sind, die $F$ stabilisieren. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben $F\subset E$ ein affiner Teilraum eines affinen Raums bezeichnen wir mit $\vec F$ sowohl den Richtungsraum von $F$ als auch sein Bild in $\vec F\subset \vec E$ unter dem Richtungsanteil der Einbettung und nennen auch dieses Bild den\label{RrT} {\bf Richtungsraum von $F$}.\index{Richtungsraum!eines affinen Teilraums} Offensichtlich gilt dann $F=p+\vec{F}$ f"ur jeden Punkt $p\in F$. Umgekehrt ist auch f"ur jeden Punkt $p\in E$ und jeden Untervektorraum $W\subset \vec E$ die Teilmenge $p+W$ ein affiner Teilraum von $E$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die affinen Teilr"aume des $\DR^3$ sind genau: Alle einelementigen Teilmengen, alle Geraden $G=p+\DR\vec{v}$ mit $\vec{v}\neq \vec{0}$, alle Ebenen $P=p+\DR\vec{v}+\DR\vec{w}$ mit $\vec{v},\vec{w}$ linear unabh"angig sowie der ganze $\DR^3$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{ahyen}%\label{ahye} Eine Teilmenge eines affinen Raums hei"st eine {\bf Gerade}\index{Gerade!affine} oder genauer eine {\bf affine Gerade}, wenn sie ein affiner Teilraum der Dimension Eins ist. Eine Teilmenge eines affinen Raums hei"st eine {\bf Ebene}\index{Ebene!affine} oder genauer eine {\bf affine Ebene}, wenn sie ein affiner Teilraum der Dimension Zwei ist. Eine Teilmenge eines affinen Raums hei"st {\bf kollinear},\index{kollinear} wenn sie in einer Geraden enthalten ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SchA} Ein nichtleerer Schnitt von affinen Teilr"aumen eines affinen Raums ist stets wieder ein affiner Teilraum. Weiter ist in diesem Fall der Richtungsraum des Schnitts der Schnitt der Richtungsr"aume, wenn wir alle diese Richtungsr"aume wie in \ref{RrT} als Teilmengen des Richtungsraums unseres urspr"unglichen Raums betrachten. Sie m"ogen den Beweis als "Ubung \ref{SchRM} ausschreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine nichtleere Teilmenge $T\neq\emptyset$ eines affinen Raums gibt es nach \ref{SchA} einen\label{ErzAj} kleinsten affinen Teilraum $\langle T\rangle_{\op{aff}}$, der sie umfa"st. Wir bezeichnen ihn als den {\bf von unserer Teilmenge erzeugten}\index{erzeugt!affiner Teilraum} affinen Teilraum. Ein {\bf Erzeugendensystem eines affinen Raums}\index{Erzeugendensystem!von affinem Raum} ist eine nichtleere Teilmenge, die ihn erzeugt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s in unserer Terminologie insbesondere auch in einem einpunktigen affinen Raum die leere Teilmenge kein Erzeugendensystem ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Beschreibung affiner Erzeugnisse}] Man mag den von einer nichtleeren Teilmenge $T\neq \emptyset$ eines affinen Raums $E$ erzeugten affinen Teilraum $\langle T\rangle_{\op{aff}}$ auch beschreiben als $$\langle T\rangle_{\op{aff}}=T+\langle p-q\mid p,q\in T\rangle_{\op{lin}}$$ In Worten nehme man also den Untervektorraum des Richtungsraums von $\vec E$, der von allen zwei Punkte unserer Teilmenge ineinander "uberf"uhrenden Vektoren erzeugt wird, und lasse seine Vektoren auf Punkte unserer Teilmenge los: Alle Punkt, die man so erhalten kann, bilden einen affinen Teilraum, da ja offensichtlich gilt $T+\langle p-q\mid p,q\in T\rangle_{\op{lin}}=t+\langle p-q\mid p,q\in T\rangle_{\op{lin}}$ f"ur alle $t\in T$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Interpretation linearer Gleichungssysteme}] W"ahlen wir im Anschauungsraum $\mathbb E$ einen festen Punkt $p$ als {\bf Ursprung} und eine angeordnete Basis $\vec v_1$, $\vec v_2$, $\vec v_3$ seines Richtungsraums, so erhalten wir eine Bijektion $$\DR^3\sira \mathbb E$$ vermittels der Abbildungsvorschrift $(x,y,z)\mapsto p+x\vec v_1 + y\vec v_2 + z\vec v_3$. Die Abbildungen $\mathbb E\ra \DR$, die jedem Punkt die Komponenten seines Urbilds unter dieser Identifikation zuordnen, hei"sen auch {\bf Koordinaten}\index{Koordinaten!affine} und in ihrer Gesamtheit ein {\bf Koordinatensystem auf}\index{Koordinatensystem!affines} $\mathbb E$. Unter jeder derartigen Identifikation des $\DR^3$ mit dem Raum unserer Anschauung kann man sich die L"osungsmenge einer homogenen linearen Gleichung in drei Unbekannten als eine Ebene durch den Ursprung denken, wenn man einmal von der \glqq Nullgleichungen\grqq\ absieht, und die L"osungsmenge einer nicht notwendig homogenen linearen Gleichung in drei Unbekannten als eine affine Ebene, wenn man wieder von dem Fall der \glqq Nullgleichung\grqq\ absieht, bei denen die Koeffizienten von $x,y,z$ alle drei verschwinden. Die L"osungsmenge eines linearen Gleichungssystems ohne Nullgleichung kann man sich demnach veranschaulichen als den Schnitt einiger affiner Ebenen, eben der L"osungsmengen seiner einzelnen Gleichungen. So sieht man auch anschaulich ein, da"s die L"osungsmenge eines linearen Gleichungssystems ohne Nullgleichung mit zwei Gleichungen in drei Ver"anderlichen im Allgemeinen einen eindimensionalen L"osungsraum haben wird, da sich eben zwei Ebenen im Raum im Allgemeinen in einer Gerade schneiden, da"s aber als L"osungsraum auch die leere Menge in Frage kommt, als Schnitt zweier paralleler Ebenen, und eine Ebene, wenn n"amlich die L"osungsr"aume unserer beiden Gleichungen "ubereinstimmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ahye} Eine Teilmenge eines affinen Raums hei"st eine {\bf Hyperebene}\index{Hyperebene!affine} oder genauer eine {\bf affine Hyperebene}, wenn sie ein echter affiner Teilraum ist, der zusammen mit einem einzigen weiteren Punkt unseren ganzen affinen Raum affin erzeugt. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Wir denken uns affine Teilr"aume stets mit derjenigen nach dem vorhergehenden % Lemma eindeutig bestimmten Struktur eines affinen Raums versehen, f"ur % die die Einbettung affin ist. % \end{Bemerkungl} % \begin{proof} % Sei % $(F,\vec{F}, b)$ eine Struktur als affiner Raum auf $F$ derart, da"s % die Einbettung $\varphi:F\hra E$ eine affine Abbildung ist. % Das bedeutet, da"s es eine % lineare Abbildung $\vec{\varphi}:\vec{F}\ra \vec{E}$ gibt mit % der Eigenschaft % $\varphi(t+\vec{w})=\varphi(t)+\vec{\varphi}(\vec{w})$ % f"ur alle $t\in F$ und % $\vec{w}\in \vec{F}$. % Gegeben $s,t\in F$ % mu"s der Richtungsvektor $\vec{w}\in \vec{F}$, % der $s$ nach $t$ schiebt, unter $\vec{\varphi}$ der % Richtungsvektor $\vec{\varphi}(\vec{w})\in \vec{E}$ werden, % der $\varphi(s)=s$ nach $\varphi(t)=t$ schiebt, in Formeln % $\vec{\varphi}(s-t)=\varphi(s)-\varphi(t)$, % wobei $s-t $ in $\vec{F}$ zu verstehen ist und % $\varphi(s)-\varphi(t)$ in $\vec{E}$. % Wir erkennen so, da"s $\vec{\varphi}$ injektiv sein mu"s, % da"s $\vec{\varphi}(\vec{F})$ genau aus allen % Richtungsvektoren von $\vec{E}$ bestehen mu"s, die alle Punkte aus % $F$ wieder in Punkte aus $F$ verschieben, und da"s % die inverse Abbildung zu $\vec{\varphi}:\vec{F}\sira \vec{\varphi}(\vec{F})$ % stets als die Einschr"ankung einer Permutation von $E$ zu einer % Permutation von $F $ beschrieben werden kann. % Das besagt aber, % da"s unsere Struktur $(F,\vec{F}, b)$ als affiner Raum auf $F$ % durch unsere Bedingungen in der Tat bereits eindeutig festgelegt wird. % \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Eine Teilmenge eines affinen Raums $F\subset E$ % ist ein affiner Teilraum genau dann, wenn es einen % Untervektorraum $W\subset \vec{E}$ des Richtungsraums von $E$ % und einen Punkt $e\in E$ gibt mit $F=e+W$. % Da"s alle affinen Teilr"aume Teilmengen dieser Gestalt sind, % folgt unmittelbar aus der Definition. Da"s alle Teilmengen dieser Gestalt % auch in der Tat affine Teilr"aume sind, erkennt man etwa daran, % da"s Abbildungen $W\hra E$ der Gestalt $\vec{w}\mapsto e+\vec{w}$ % stets affin sind. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Zwei affine Teilr"aume $T,S\subset E$ eines affinen Raums $E$ hei"sen {\bf parallel}\index{parallel!affine Teilr"aume},\label{paral} wenn sie disjunkt sind und im Richtungsraum $\vec{E}$ gilt $\vec{T}\subset \vec{S}$ oder $\vec{S}\subset \vec{T}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Konventionen scheinen in der Literatur nicht ganz eindeutig zu sein. Die hier gegebene Definition von Parallelit"at hat den Vorteil, die "ublichen Definitionen f"ur die Parallelit"at von Geraden oder Ebenen im zweidimensionalen wie im dreidimensionalen Raum zu liefern. Allerdings hat sie den Nachteil, da"s ein Punkt zu jedem Teilraum parallel ist, der ihn nicht enth"alt, was meinem Sprachempfinden eigentlich zuwiderl"auft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Begriff \glqq parallel\grqq\ kommt aus dem Griechischen und hei"st \glqq nebeneinander\grqq. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Bilder affiner Teilr"aume}] Gegeben $\varphi:E\ra F$ eine affine Abbildung ist f"ur jeden affinen Teilraum $A\subset E$ sein Bild ein affiner Teilraum $\varphi(A)\subset F$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Urbilder affiner Teilr"aume}] Gegeben $\varphi:E\ra F$ eine affine Abbildung ist f"ur jeden affinen Teilraum $B\subset F$ sein Urbild $\varphi^{-1}(B)$ entweder leer oder ein affiner Teilraum von $E$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fasern linearer Abbildungen}] Gegeben eine lineare Abbildung $f: V \ra W$ gilt f"ur alle $v\in V$ die Identit"at\label{FLA} $f^{-1}(f(v))=v+\op{ker}f$ von Teilmengen von $V$. F"ur alle $w\in W$ ist mithin die Faser $f^{-1}(w)$ entweder leer oder ein affiner Teilraum von $V_{\op{a}}$. \end{Ubung} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFAA} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Fasern der durch $(x,y)\mapsto x+y$ gegebenen linearen Abbildung $\DR^2\ra\DR$ zu den Werten $0,1$ und $3$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Ubung} Durch je zwei verschiedene Punkte eines affinen Raums geht genau eine Gerade, als da hei"st, es gibt genau einen affinen Teilraum der Dimension Eins, der unsere beiden Punkte enth"alt. Bringt man also Kimme und Korn in eine Sichtlinie mit dem Ziel, so ist das Gewehr bereits auf das Ziel ausgerichtet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Durch je drei Punkte eines affinen Raums, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, geht genau eine Ebene. Insbesondere wird also ein dreibeiniger Hocker nie kippeln. \end{Ubung} \begin{Ubung} Der von einer nichtleeren endlichen Teilmenge $T$ eines affinen Raums erzeugte Teilraum hat h"ochstens die Dimension $|T|-1$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Richtungsraum eines Schnitts}] Gegeben ein affiner Raum $E$ und affine Teilr"aume $F,G\subset E$ mit nichtleerem Schnitt $F\cap G\neq\emptyset$ ist der Richtungsraum ihres Schnitts der Schnitt ihrer Richtungsr"aume, in Formeln\label{SchRM} $$\op{Richt}(F\cap G)=\op{Richt}(F)\cap \op{Richt}(G)$$ Man zeige immer unter der Annahme, da"s besagter Schnitt nicht leer ist, dasselbe auch allgemeiner f"ur den Schnitt eines beliebigen Systems affiner Teilr"aume. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Erzwungene Schnitte}] Gegeben ein affiner Raum $E$ und affine Teilr"aume $F,G\subset E$ gilt $$\vec F+\vec G=\vec E\;\RA\; F\cap G\neq\emptyset$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Dimension eines affinen Erzeugnisses}] %\label{DFA} Gegeben zwei endlichdimensionale affine Teilr"aume $A,B$ eines affinen Raums $E$ gilt f"ur die Dimension des affinen Erzeugnisses $C$ ihrer Vereinigung die Formel\label{DFAn} $$\op{dim}C= \left\{\begin{array}{ll} \op{dim}A +\op{dim}B-\op{dim}(A\cap B) &\text{falls }A\cap B\neq\emptyset;\\ \op{dim}A +\op{dim}B -\op{dim}(\vec{A}\cap \vec{B}) +1 &\text{falls }A\cap B=\emptyset. \end{array}\right.$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kodimension eines Schnitts}] Ist $E$ ein endlichdimensionaler affiner Raum und vereinbaren wir die Notation $\op{codim}(A\subset E)\pdef \op{dim}E-\op{dim}A$ f"ur die Dimensionsdifferenz, die sogenannte {\bf Kodimension von $A$ in $E$},\index{Kodimension!bei affinen R"aumen}\index{codim@$\op{codim}$ Kodimension!bei affinen R"aumen} so gilt unter der Annahme $A\cap B\neq\emptyset$ die Absch"atzung $$\op{codim}((A\cap B)\subset E)\leq \op{codim}(A\subset E)+ \op{codim}( B\subset E)$$ Die Kodimension des Schnitts ist also h"ochstens die Summe der Kodimensionen der sich schneidenden Teilr"aume. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} In der kommutativen Algebra \eref{KDSa}{KAG} k"onnen Sie lernen, wie man diese Absch"atzung f"ur die Kodimension eines Schnitts auf Nullstellenmengen polynomialer Gleichungssysteme verallgemeinern kann, wenn der Grundk"orper algebraisch abgeschlossen ist. So etwas wie zwei Sph"aren im Raum, die sich in einem Punkt ber"uhren, kann es also im Komplexen nicht geben: Da kann der Schnitt der Nullstellenmengen zweier Polynome in drei Variablen $f,g\in \DC[X,Y,Z]$ nie isolierte Punkte haben. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung} Eine Abbildung $f:E\ra F$ von affinen R"aumen ist genau dann affin, wenn ihr Graph $\Gamma(f)\subset E\times F$ ein affiner Teilraum des \hyperref[PARr]{Produkts} unserer beiden R"aume ist. \end{Ubung} \subsection{Affine R"aume und ihre Geraden} %%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierung affiner Abbildungen im Reellen}] Eine injektive Abbildung von einem mindestens zweidimensionalen reellen affinen Raum\label{IAGe} in einen weiteren reellen affinen Raum ist affin genau dann, wenn das Bild jeder Geraden wieder eine Gerade ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieselbe Charakterisierung gilt allgemeiner "uber jedem Grundk"orper, dessen einziger K"orperautomorphismus die Identit"at ist. Wir diskutieren mehr dazu in \ref{BLN}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zum schmutzigen Raum unserer Anschauung}] Die affinen Geraden des Raums unserer Anschauung denke ich mir als Sichtlinien: Drei Punkte liegen auf einer Geraden genau dann,\label{ARG} wenn man sich so hinstellen kann, da"s man sie hintereinander sieht. Der vorhergehende Satz \ref{IAGe} zeigt, da"s im Fall reeller affiner R"aume ab der Dimension Zwei die Kenntnis aller Geraden auch umgekehrt bereits die Struktur als reeller affiner Raum festlegt: Haben n"amlich zwei Strukturen als affiner reeller Raum auf derselben Menge dieselben Geraden, und gibt es in besagtem Raum mehr als nur eine Gerade, so ist nach \ref{IAGe} die Identit"at auf unserer Menge ein Morphismus von affinen R"aumen zwischen unserer Menge einmal mit der einen Struktur als affiner Raum und ein andermal mit der anderen Struktur als affiner Raum. Dann aber m"ussen diese beiden Strukturen bereits "ubereinstimmen. Anschaulich gesprochen legt also im Raum unserer Anschauung \glqq die Kenntnis der Sichtlinien bereits fest, welche Abbildungen als Parallelverschiebungen anzusehen sind\grqq. Explizit kann man das wie folgt einsehen: Zun"achst legt die Kenntnis der Sichtlinien alias Geraden fest, welche Teilmengen die Bezeichung als \glqq Ebene\grqq\ verdienen; Dann vereinbart man, zwei Geraden \glqq parallel\grqq\ zu nennen, wenn sie in einer Ebene liegen und sich nicht schneiden; Und schlie"slich kann man dann Parallelverschiebungen charakterisieren als diejenigen bijektiven Abbildungen, die jede Gerade bijektiv auf sich selbst oder aber bijektiv in eine parallele Gerade "uberf"uhren. An dieser Stelle m"ochte ich Sie am liebsten wieder einmal davon "uberzeugen, da"s das Abstrakte das eigentlich Konkrete ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen den Satz zun"achst unter der Annahme, da"s sowohl unser Ausgangsraum als auch der Raum, in den abgebildet wird, beide die Dimension Zwei haben. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir dann annehmen, da"s es sich bei beiden R"aumen um den $\DR^2$ handelt, und indem wir unsere Abbildung noch mit einer geeigneten Verschiebung verkn"upfen, d"urfen wir sogar annehmen, da"s sie den Ursprung festh"alt. Diesen Fall behandeln wir als eigenst"andiges Lemma. \begin{Lemma} Eine injektive Abbildung $\Phi : \Bbb{R}^2 \rightarrow \Bbb{R}^2$ mit $\Phi (0) =0$, unter der das Bild jeder affinen Geraden\label{LinE} wieder eine affine Gerade ist, mu"s linear sein. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Indem wir eine geeignete lineare Abbildung dahinterhalten, d"urfen da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unser $\Phi$ die Vektoren $\op{e}_1$ und $ \op{e}_2$ der Standardbasis festh"alt. Unter dieser Zusatzannahme zeigen wir nun, da"s $\Phi$ sogar die Identit"at ist. Zun"achst gibt es sicher Abbildungen $\psi_1, \psi_2 : \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ mit $\Phi (a\!\op{e}_i)= \psi_i (a) \op{e}_i$. Da wir $\Phi$ injektiv angenommen haben, m"ussen unter $\Phi$ parallele alias sich nicht schneidende Geraden parallel bleiben. Die Gerade durch $a\!\op{e}_1$ und $a\!\op{e}_2$ f"ur $a\neq 0,1$ ist parallel zu der durch $\op{e}_1$ und $\op{e}_2$, also ist f"ur $a\neq 0,1$ auch die Gerade durch $\Phi (a\!\op{e}_1)=\psi_1 (a) \op{e}_1$ und $\Phi (a\!\op{e}_2)=\psi_2 (a) \op{e}_2$ parallel zu der durch $\Phi (\op{e}_1)=\op{e}_1$ und $\Phi (\op{e}_2)=\op{e}_2$. Es folgt $\psi_1(a) = \psi_2(a)$ f"ur $a\neq 0,1$. F"ur $a=0,1$ ist das eh klar und wir notieren diese Abbildung nun $\psi\pdef \psi_1=\psi_2$. Nat"urlich gilt $\psi (0) =0$ und $\psi (1) =1$. Da man die Addition von linear unabh"angigen Vektoren durch Parallelogramme darstellen kann, gilt $\Phi (v + w)= \Phi (v) + \Phi (w)$ falls $v$ und $w$ linear unabh"angig sind. Wir erhalten f"ur $a \in \Bbb{R}$ damit \begin{displaymath} \begin{array}{lcr} \Phi (\op{e}_1 + a\op{e}_2) & =& \op{e}_1 + \psi (a) \op{e}_2 \end{array} \end{displaymath} wegen der linearen Unabh"angigkeit im Fall $a\neq 0$ und im Fall $a= 0$ wegen $\psi (0) =0$. Daraus folgt sofort die Erste der beiden Gleichungen \begin{eqnarray*} \Phi (\op{e}_1 + (a+b)\op{e}_2) & =& \op{e}_1 + \psi (a+b) \op{e}_2\\ \Phi (\op{e}_1 + a\op{e}_2 +b \op{e}_2) & =& \op{e}_1 + \psi (a)\op{e}_2 + \psi (b) \op{e}_2 \end{eqnarray*} Die Zweite folgt hier, indem wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $b\neq 0$ annehmen und erst den letzten Summanden abspalten. Es folgt sofort $\psi (a+b) =\psi (a)+\psi(b)$. Da f"ur $a,b \in \Bbb{R}$ mit $a \neq 0$ und $b \neq 0, 1$ die Gerade durch $\op{e}_1 $ und $a \!\op{e}_2$ parallel ist zu der durch $b\!\op{e}_1$ und $ba\!\op{e}_2$ folgt auch $\psi (ba) = \psi (b) \psi (a)$ erst f"ur alle $ a,b\neq 0, 1$, dann aber wegen $\psi (0) =0$ und $\psi (1) =1$ sogar f"ur alle $ a,b \in \Bbb{R}$. Da nach \eref{ER}{AN1} oder besser \eref{EnR}{AN1} die Identit"at der einzige K"orperhomomorphismus $\psi : \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ ist, folgt $\psi = \op{id}$. Da wie bereits erw"ahnt gilt $\Phi (v + w)= \Phi (v) + \Phi (w)$ falls $v$ und $w$ linear unabh"angig sind, folgt sofort $\Phi =\op{id}$. \end{proof}\noindent Um nun Satz \ref{IAGe} zu zeigen, sei $\Phi : E \hookrightarrow F$ unsere injektive Abbildung von reellen affinen R"aumen, unter der das Bild jeder Geraden eine Gerade ist. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $E$ und $F$ reelle Vektorr"aume sind und da"s gilt $\Phi(\vec 0)=\vec 0$. Unter diesen st"arkeren Annahmen zusammen mit der Annahme $\op{dim}E\geq 2$ folgern wir nun sogar die Linearit"at von $\Phi$. Gegeben $v,w \in E$ linear unabh"angig kann offensichtlich die von $v$ und $w$ aufgespannt Ursprungsebene dargestellt werden als die Vereinigung des Ursprungs mit allen affinen Geraden, die durch einen Punkt von $\DR v$ und einen Punkt von $\DR w$ laufen, so da"s also in Formeln ausgedr"uckt gilt $$\langle v, w\rangle= \bigcup_{u\in\DR v,\; x\in \DR w} \langle u, x\rangle_{\op{aff}}$$ Gegeben $v,w \in E$ linear unabh"angig m"ussen auch $ \Phi(v)$ und $\Phi(w)$ linear unabh"angig sein, da sonst die zwei verschiedenen Geraden $\DR v$ und $\DR w$ bijektiv auf dieselbe Gerade abgebildet w"urden im Widerspruch zur Injektivit"at von $\Phi$. Da $\Phi$ Geraden auf Geraden abbildet, folgt $\Phi(\langle v, w\rangle)=\langle\Phi( v),\Phi( w)\rangle$. Von der mithin von $\Phi$ induzierten Bijektion $$\Phi: \langle v, w\rangle \sira \langle\Phi( v),\Phi( w)\rangle$$ wissen wir aber nun bereits, da"s sie linear sein mu"s, da"s also in Formeln ausgedr"uckt gilt $\Phi( u + x)=\Phi( u)+\Phi( x)$ und $\Phi(\lambda u)=\lambda\Phi( u)$ f"ur alle $u,x\in \langle v, w\rangle$ und $\lambda\in \DR$. Da aber in einem Vektorraum der Dimension mindestens Zwei je zwei Vektoren $u,x$ in einem gemeinsamen zweidimensionalen Teilraum liegen, zeigt das bereits die Linearit"at von $\Phi$ selbst. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{BLN} Geht man den Beweis von Lemma \ref{LinE} nocheinmal durch, so erkennt man, da"s er auch die folgende feinere Aussage zeigt: Sind $K,L$ K"orper und ist $\Phi : K^2 \hra L^2$ eine Injektion mit $\Phi (0) =0$, unter der das Bild jeder affinen Geraden wieder eine affine Gerade ist, so ist $\Phi$ ein Gruppenhomomorphismus und es gibt einen K"orperisomorphismus $\psi:K\sira L$ mit $\Phi(\lambda\vec{v})=\psi(\lambda)\Phi(\vec{v})$ f"ur alle $\lambda\in K$ und $\vec{v}\in K^2$. Salopp gesprochen ist also unsere Abbildung $\Phi$ \glqq linear bis auf einen K"orperisomorphismus\grqq. Geht man den Beweis von Lemma \ref{LinE} ein drittes Mal durch, so erkennt man, da"s er dasselbe sogar zeigt f"ur Schiefk"orper $K,L$ mit der Ma"sgabe, da"s wir unter Geraden in $K^2$ Teilmengen der Gestalt $p+vK$ verstehen f"ur $p,v\in K^2$ mit $v\neq 0$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Von der Geometrie zur Algebra}] Geht man den Beweis von Satz \ref{IAGe} im Lichte von \ref{BLN} nocheinmal durch, so erkennt man, da"s er auch die folgende feinere Aussage zeigt: %% Sei $E$ ein zweidimensionaler affiner %% Raum "uber einem K"orper. Man zeige, %% da"s man den K"orper zur"uckgewinnen %% kann aus den Daten bestehend aus der %% Menge $E$ und der Teilmenge %% $\cal{G}\subset\cal{P}(E)$, die genau aus allen %% affinen Geraden von $E$ besteht. Haben zwei Strukturen $(E,\vec{E},a)$ und $(E,\vec{E}',a')$ auf ein- und derselben Menge $E$ als zweidimensionaler affiner Raum "uber K"orpern $K$ beziehungsweise $K'$ dieselben Geraden, so gilt $\vec{E}=\vec{E}'$ und es gibt genau einen K"orperisomorphismus $\varphi:K\sira K'$ mit $a(\lambda,\vec{v})=a'(\varphi(\lambda),\vec{v})$ f"ur alle $\lambda\in K$ und $\vec{v}\in \vec{E}$. Flapsig gesagt kennt also ein wei"ses Blatt Papier zusammen mit einem Lineal bereits den K"orper $\DR$ der reellen Zahlen! Gegeben eine Menge $E$ von \glqq Punkten\grqq\ und eine Teilmenge $\cal{G}\subset \cal{P}(E)$ ihrer Potenzmenge, deren Elemente $G\in \cal{G}$ \glqq Geraden\grqq\ hei"sen, kann man auch eine Liste von geometrisch sinnvollen Forderungen angeben, die genau dann erf"ullt sind, wenn unsere Menge $E$ so mit der Struktur eines zweidimensionalen affinen Raums "uber einem K"orper versehen werden kann, da"s $\cal{G}$ aus allen zugeh"origen affinen Geraden besteht. Die einfachsten dieser Forderungen sind, da"s durch je zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade gehen soll und da"s sich je zwei Geraden in h"ochstens einem Punkt schneiden. Die zus"atzlichen Forderungen werden in \eref{IzG}{EL} besprochen. In dieser Weise lassen sich die K"orperaxiome \eref{KAx}{GR} sogar geometrisch rechtfertigen. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMMG}\\[4mm] \noindent Wie man auf einer Gerade der Papierebene mit zwei verschiedenen als Null und Eins ausgezeichneten Punkten zwei beliebige Punkte multipliziert, wenn man nur ein Lineal zur Verf"ugung hat, das aber \glqq unendlich lang\grqq\ ist in dem Sinne, da"s man durch einen gegebenen Punkt die zu einer gegebenen Gerade parallele Gerade zeichnen kann. \end{figure} \subsection{Baryzentrische Koordinaten*} \begin{Bemerkungl}\label{Swwe} Gegeben ein affiner Raum $E$ "uber einem K"orper $K$ der Charakteristik Null $\op{char}K=0$ und eine nichtleere endliche Teilmenge $\emptyset\neq T\subset E$ erkl"art man den {\bf Schwerpunkt $\op{Bar}(T)$ von $T$}\index{Schwerpunkt} als den eindeutig bestimmten Punkt $\op{Bar}(T)=s\in E$ mit \begin{equation*} \sum_{e\in T} (e-s) = \vec{0} \end{equation*} Das ist gleichbedeutend dazu, da"s f"ur einen und jeden Punkt $p\in E$ gilt $$ \sum_{e\in T} (e-p)= \sum_{e\in T} (e-p) - \sum_{e\in T} (e-s)$$ und mit offensichlichen weiteren Umformungen sehen wir, da"s es auch "aquivalent ist zur Identit"at $$ \sum_{e\in T} (e-p)=|T|(s-p) $$ Da"s zeigt einerseits die Eindeutigkeit des Schwerpunkts und andererseits auch dessen Existenz, da wir ja einen Schwerpunkt $s$ von $T$ finden k"onnen, indem wir von einem beliebigen Punkt $p\in E$ ausgehen und $ s \pdef p + |T|^{-1}\sum_{e\in T}(e-p) $ nehmen. Nach griechisch \glqq $\beta\alpha\rho\upsilon\varsigma$\grqq\ f"ur \glqq schwer\grqq\ hei"st der Schwerpunkt auch das {\bf Baryzentrum}.\index{Baryzentrum} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Sww} Gegeben ein K"orper $K$, ein affiner Raum $E$ "uber $K$, Punkte $e_0, \ldots, e_n \in E$ und Skalare $\lambda_0, \ldots, \lambda_n \in K$ mit $\lambda_0 + \ldots + \lambda_n \neq 0$ erkl"art man allgemeiner den {\bf Schwerpunkt $$s=\op{Bar}((e_0,\lambda_0), \ldots,(e_n,\lambda_n))$$ der Punkte $e_i$ mit den Gewichten $\lambda_i$}\index{Schwerpunkt} durch die Bedingung $ \sum_{i=0}^n \lambda_i(e_i-s)=\vec 0$. Ich lasse hier die Indize bei Null beginnen, um besonders deutlich zu machen, da"s der Fall einer leeren Familie ausgeschlossen ist, auch wenn das unsere Bedingung $\sum\lambda_i\neq 0$ bereits impliziert. Um die Existenz und Eindeutigkeit des Schwerpunkts mit Gewichten zu zeigen, pr"uft man wie zuvor f"ur jeden Punkt $p\in E$, da"s die Schwerpunkteigenschaft von $s\in E$ gleichbedeutend ist zur Identit"at $$ \sum_{i=0}^n \lambda_i(e_i-p)=\left(\sum_{i=0}^n\lambda_i\right)(s-p)$$ Daraus folgt analog wie im Fall ohne Gewichte die Existenz und Eindeutigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Affines Erzeugnis als Menge von Schwerpunkten}] Gegeben eine nichtleere Teilmenge $T\subset E$ eines affinen Raums kann ihr affines Erzeugnis offensichtlich beschrieben werden als die Menge aller Schwerpunkte zu gewichteten endlichen Teilmengen. Man erkennt das besonders leicht, indem man bei der zuvor gegebenen Beschreibung des Schwerpunkts $p\in T$ w"ahlt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften des Schwerpunkts}] Offensichtlich bleibt der Schwerpunkt derselbe, wenn man alle Gewichte mit demselben von Null verschiedenen K"orperelement $\alpha\in K^\times$ multipliziert, in Formeln $$\op{Bar}((e_0,\lambda_0), \ldots,(e_n,\lambda_n))=\op{Bar}((e_0,\alpha\lambda_0), \ldots,(e_n,\alpha\lambda_n))$$ Offensichtlich bleibt der Schwerpunkt derselbe, wenn man Punkte mit Gewicht Null wegl"a"st. Offensichtlich h"angt der Schwerpunkt auch im Fall einer nichtleeren gewichteten Punktfamilie nicht von der Reihenfolge ab. Wir k"onnen also sinnvoll $$\op{Bar}((e_i,\lambda_i)_{i\in I})$$ erkl"aren, wann immer $(e_i,\lambda_i)_{i\in I}$ eine nichtleere Familie von gewichteten Punkten ist und nur f"ur endlich viele $i\in I$ gilt $\lambda_i\neq 0$ und zus"atzlich $\sum _{i\in I}\lambda_i\neq 0$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildScP}\\[4mm] \noindent Zwei fette Punkte der Gewichte $3$ und $1$ und ihr Schwerpunkt $s$ nebst seiner Bestimmung mithilfe eines beliebigen weiteren Punktes $p$. \end{figure} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines affinen Raums hei"st {\bf affin unabh"angig},\index{affin!unabh"angig!als Teilmenge|main} wenn sie nicht leer ist und sich keiner ihrer Punkte als gewichteter Schwerpunkt von endlich vielen anderen ihrer Punkte schreiben l"a"st.\label{afu} \end{Definition} \begin{Definition} Eine Familie von Punkten eines affinen Raums hei"st {\bf affin unabh"angig}\index{affin!unabh"angig!als Familie} oder ganz pedantisch {\bf affin unabh"angig als Familie}, wenn sie nicht leer ist und wenn sich f"ur keinen Index der zugeh"orige Punkt als gewichteter Schwerpunkt der Punkte zu endlich vielen anderen Indizes schreiben l"a"st. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Affine und lineare Unabh"angigkeit}] Gegeben eine nichtleere Teilmenge $T$ eines affinen Raums $E$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Die Menge $T$ ist affin unabh"angig; \item Es gibt ein $p\in T$ derart, da"s die Menge der Vektoren $\{t-p\mid t\in T\backslash p\}$ in $\vec E$ linear unabh"angig ist; \item F"ur alle $p\in T$ ist die Menge $\{t-p\mid t\in T\backslash p\}$ in $\vec E$ linear unabh"angig. \end{enumerate} Analoges gilt f"ur Familien. \end{Lemma} \begin{proof} "Ubung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sind $e_0,\ldots,e_n$ paarweise verschiedene Elemente einer endlichen affin unabh"angigen Teilmenge eines affinen Raums $E$, so folgt aus $$\op{Bar}((e_0,\lambda_0), \ldots,(e_n,\lambda_n))=\op{Bar}((e_0,\mu_0), \ldots,(e_n,\mu_n))$$ bereits, da"s es $\alpha\in K^\times$ gibt mit $\mu_i=\alpha \lambda_i\;\forall i$. L"a"st sich ein Punkt als gewichteter Schwerpunkt zu geeigneten Gewichten auf einer affin unabh"angigen Teilmenge darstellen, so ist diese Darstellung mithin eindeutig, wenn wir zus"atzlich Gesamtgewicht Eins fordern. Ist also in Formeln $E$ ein affiner Raum und $T\subset E$ ein affin unabh"angiges Erzeugendensystem von $E$, so liefert das Bilden der gewichteten Schwerpunkte eine Bijektion $$\begin{array}{cll} \left\{\sum a_t t\in KT\mid \sum a_t=1\right\}&\sira& E\\[2mm] \sum a_t t&\mapsto&\op{Bar}((t,a_t)_{t\in T})\end{array}$$ F"ur $p=\op{Bar}((t,a_t))$ hei"sen die $a_t$ dann die {\bf baryzentrischen Koordinaten\index{baryzentrisch!Koordinaten} von $p$} in Bezug auf unser affin unabh"angiges Erzeugendensystem $T$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Zeigen Sie, da"s sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, dessen baryzentrische Koordinaten in Bezug auf die drei Ecken des Dreiecks jeweils $(1/3)$ sind, und da"s dieser Punkt alle drei Seitenhalbierenden in zwei St"ucke teilt, von denen eines doppelt so lang ist wie das Andere. K"ur: Rechnen Sie nach, da"s dieser Punkt auch der Schwerpunkt des Dreiecks ist, wenn sie es aus Papier ausschneiden. Das braucht aber eher analytische Fertigkeiten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bestimmen Sie in $\DR^3$ die baryzenrischen Koordinaten des Punktes $(1,1,1)$ in Bezug auf die drei Vektoren der Standardbasis und den Ursprung. \end{Ubung} \subsection{Lineare und affine Ungleichungen*} \begin{Definition} Gegeben Punkte $p,q$ in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper schreiben wir $$[p,q]\pdef\{ p+\lambda(q-p)\mid 0\leq \lambda\leq 1\}$$ und nennen diese Menge im Fall $p\neq q$ das die Punkte $p$ und $q$ verbindende {\bf Geradensegment}.\index{Geradensegment} \end{Definition} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper\label{DeKK} hei"st \defnoind{konvex}\index{konvex!in affinem Raum}, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze diese verbindende Geradensegment enth"alt. \end{Definition} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/Bild0011} \hfill \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildKoh} \\ \noindent Eine nicht konvexe Teilmenge der Ebene und eine endliche Teilmenge der Ebene, dargestellt durch fette Punkte, mit ihrer konvexen H"ulle, dargestellt als schraffierter Bereich. \end{figure} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Offensichtlich ist der Schnitt einer beliebigen Familie konvexer Teilmengen von $E$ wieder konvex. Gegeben eine Teilmenge $T\subset E$ bezeichnet man die kleinste\label{Konvx} konvexe Teilmenge des fraglichen affinen Raums, die $T$ umfa"st, auch als die {\bf konvexe H"ulle von $T$}.\index{konvexe H"ulle}\index{H"ulle!konvexe} \index{konv@$\op{konv}(T)$ konvexe H"ulle von $T$} Nat"urlich existiert solch eine kleinste konvexe Teilmenge, wir k"onnen sie etwa konstruieren als den Schnitt aller konvexen Teilmengen, die $T$ umfassen. Wir verwenden f"ur die konvexe H"ulle von $T$ die Notation $$\op{konv}(T)$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben zwei Punkte in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper ist ihre konvexe H"ulle genau das verbindende Geradensegment, in Formeln $[p,q]= \op{konv}(p,q)$. \end{Beispiel} \label{KoGe} \begin{Definition} Seien $V$ ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper und $T \subset V$ eine Teilmenge. Wir sagen, ein Vektor $v \in V$ {\bf l"a"st sich aus $T$ positiv linear kombinieren}, wenn er eine Darstellung $$v = \lambda_{1} t_{1} + \ldots + \lambda_{n}t_{n}$$ besitzt mit $\lambda_{i} > 0$ und $t_{i} \in T$ und $n\geq 0$. Die leere Linearkombination mit $n=0$ verstehen wir hier wie immer als den Nullvektor, der sich also in unseren Konventionen aus jeder Teilmenge positiv linear kombinieren l"a"st. Die Menge aller positiven Linearkombinationen aus Vektoren von $T$ notieren wir $\langle T\rangle_{>0}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Zum Beispiel ist die Menge der aus der Standardbasis des $\DR^2$ positiv linear kombinierbaren Vektoren der abgeschlossene positive Quadrant: Die Punkte im Inneren erhalten wir mit $n=2$, die vom Ursprung verschiedenen Punkte auf den R"andern mit $n=1$ und den Ursprung mit $n=0$. Statt $\alpha_{i} > 0$ h"atten wir in der Definition also gleichbedeutend auch $\lambda_{i} \geq 0$ schreiben k"onnen. Wenn wir aber im folgenden von einer {\bf positiven Linearkombination} reden, so meinen wir stets positive und nicht etwa nur nichtnegative Koeffizienten. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Satz von Caratheodory}] Seien $V\supset T$ ein Vektorraum "uber einem\index{Caratheodory, Satz von!lineare Version} angeordneten K"orper mit einer ausgezeichneten Teilmenge. L"a"st sich ein Vektor $v\in V$ aus\label{CaThl} $T$ positiv linear kombinieren, so l"a"st er sich bereits aus einer linear unabh"angigen Teilmenge von $T$ positiv linear kombinieren. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $v=\lambda_1 v_1+\ldots +\lambda_n v_n$ eine Darstellung von $v$ als positive Linearkombination von Elementen von $T$. Sie die $v_i$ linear abh"angig, so ist $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in k^n$ ein Punkt aus dem positiven Quadranten einer ganzen affinen Gerade von L"osungen. Der Punkt, an dem diese affine Gerade den positiven Quadranten verl"a"st, ist dann eine k"urzere Darstellung von $v$ als positive Linearkombination von Elementen von $T$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHSLU}\\[4mm] \noindent Eine Menge $T=\{e_1,e_2,e_3\}$ von drei Vektoren des Richtungsraums der Papierebene, die bis auf ihre Bezeichnung nichts mit der Standardbasis des $\DR^3$ zu tun haben, sowie ein Vektor $v$ au"serhalb der Menge ihrer positiven Linearkombinationen, der sich nach unserem Satz durch eine Hyperebene $\op{ker}\alpha$, in diesem Fall die gestrichelt eingezeichnete Gerade, von unserer Menge aller positiven Linearkombinationen abtrennen l"a"st. \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen}] Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper und $T \subset V$ ein endliches Erzeugendensystem, so gilt f"ur jeden Vektor\label{HLU} $v \in V$ genau eine der\index{Hauptsatz!"uber lineare Ungleichungen} beiden folgenden Aussagen: \begin{enumerate} \item Der Vektor $v$ l"a"st sich aus $T$ positiv linear kombinieren; \item Es gibt eine Linearform $\alpha \in V^{\top}$ mit $\alpha(t) \geq 0 \;\forall t\in T$ und $\alpha (v) <0$ und der Eigenschaft, da"s $\op{ker} \alpha $ von seinem Schnitt mit $T$ erzeugt wird. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Lassen wir in unserem Satz die Forderung fallen, da"s die endliche Teilmenge $T$ den Vektorraum $V$ erzeugt, so k"onnen wir ihn immer noch auf das Erzeugnis von $T$ anwenden und ein so gefundenes $\alpha$ dann irgendwie linear auf ganz $V$ fortsetzen. Wir k"onnen wir dann nur nicht mehr sicherstellen, da"s $\op{ker}\alpha$ von seinem Schnitt mit $T$ erzeugt wird.\label{HLUe} \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHLU}\\[4mm] \noindent Eine Menge von f"unf Vektoren der Ebene, eingezeichnet als Pfeile, nebst der Menge aller positiven Linearkombinationen von Teilmengen unserer f"unf Vektoren, eingezeichnet als der kreuzweise schraffierte Bereich, zu dem auch der gestrichelt eingezeichnete Rand hinzuzurechnen ist. Die beiden gestrichelt eingezeichneten Geraden sind die Kerne extremer St"utzen, in diesem Fall gibt es bis auf Multiplikation mit positiven Skalaren genau zwei extreme St"utzen. Einfach schraffiert die Bereiche, auf denen jeweils eine dieser extremen St"utzen nichtnegativ ist. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Der Satz und der hier gegebene Beweis stammen von Weyl \cite{Weyl-C}. Im Fall des Grundk"orpers $\DR$ geht er bereits auf Farkas zur"uck und hei"st mancherorts das {\bf Lemma von Farkas}. Eine\index{Farkas, Lemma von} algorithmische Darstellung des Beweises und mehr zur praktischen Bedeutung unseres Satzes in der linearen Optimierung findet man in \cite{Schrij}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen in Koordinaten}] Spezialisieren wir den Satz oder genauer \ref{HLUe} zu $V=\DR^n$, dessen Elemente wir als Spaltenvektoren auffassen, und besteht unsere endliche Menge $T$ aus den $m$ Spaltenvektoren einer Matrix $A\in\op{Mat}(n\times m;\DR)$, so folgt, da"s f"ur einen Spaltenvektor $v=b=(b_1,\ldots,b_n)^\top\in\DR^n$ genau eine der folgenden Aussagen gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt einen Spaltenvektor $x\in(\DR_{\geq 0})^m$ mit $b=Ax$; \item Es gibt $y=(y_1,\ldots,y_n)^\top \in \DR^{n}$ mit $y^\top A\in (\DR_{\geq 0})^m$ und $y^\top b <0$. \end{enumerate} Unser $\alpha$ ist in diesem Fall der Zeilenvektor $y^\top=(y_1,\ldots,y_n)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Variante zum Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen}] Besteht unsere endliche Menge $T$ aus den $m$ Spaltenvektoren einer Matrix $C\in\op{Mat}(n\times m;\DR)$ und ihren Negativen sowie den Vektoren der Standardbasis, so erhalten wir aus \ref{HLU}, da"s f"ur einen Spaltenvektor $b=(b_1,\ldots,b_n)^\top\in\DR^n$ genau eine der folgenden Aussagen gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt einen Spaltenvektor $x\in\DR^m$ mit $Cx\leq b$ in dem Sinne, da"s diese Ungleichung koordinatenweise richtig ist; \item Es gibt $y=(y_1,\ldots,y_n)^\top \in (\DR_{\geq 0})^{n}$ mit $y^\top C=0$ und $y^\top b <0$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Man denke sich einen Ikosaeder mit einer Ecke im Urprung, und denke sich $E$ als seine Eckenmenge. In diesem Fall h"atte die Menge der positiven Linearkombinationen von Vektoren aus $T$ die Gestalt eines eckigen Kegels mit f"unf Fl"achen, die "ubrigends genau die Kerne der \glqq extremen St"utzen von $T$\grqq\ aus dem gleich folgenden Beweis sind. \end{Beispiel} % \begin{Korollar}[\textbf{Satz von Caratheodory}] % Seien $V\supset T$ ein Vektorraum %endlicher Dimension "uber einem\index{Caratheodory, Satz von!lineare Version} % angeordneten K"orper mit einer ausgezeichneten %Teilmenge. L"a"st sich ein Vektor von $V$ aus\label{CaThl} % $T$ positiv linear kombinieren, so l"a"st er sich bereits %aus einer %Teilmenge von $T$ mit h"ochstens $\op{dim}V$ Elementen %positiv linear kombinieren. % \end{Korollar} % \begin{proof} % Dies Korollar %folgt unmittelbar aus dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen %\ref{HLU}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Fall positiver Linearkombinationen unendlicher Mengen}] Gegeben eine Gerade in der Ebene $\Bbb{R}^{2}$, die die Menge der Punkte mit rationalen Koordinaten $\Bbb{Q}^{2}$ nur im Nullpunkt trifft, betrachte man in $\Bbb{Q}^{2}$ einen der beiden zugeh"origen Halb\-r"aume mitsamt der Null. Dieser durch den Ursprung erg"anzte Halbraum ist eine konvexe Teilmenge $T$ von $\Bbb{Q}^{2}$, die von "uberhaupt keinem Punkt aus ihrem Komplement durch eine Gerade des $\DQ$-Vektor\-raums $\Bbb{Q}^{2}$ getrennt werden kann. Unser Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen ist also f"ur unendliches $T$ im allgemeinen nicht mehr richtig. Betrachten wir jedoch abgeschlossene konvexe Kegel $T$ im Sinne von \ref{DeKe} in reellen Banach-R"aumen, so gibt es f"ur jeden Vektor $v$ im Komplement eine stetige Linearform, die auf besagtem Kegel nichtnegativ ist, auf dem Vektor aber negativ: Dieser Satz ist eine Variante der grundlegenden Trennungss"atze aus der Funktionalanalysis, der sogenannten \glqq Trennungss"atze von Hahn-Banach\grqq. % und folgt zum Beispiel aus \ref{AKT}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Eine Linearform $\alpha \in V^{\top} \backslash 0$ mit $\alpha(t) \geq 0 \;\forall t\in T$ nennen wir eine {\bf St"utze} von $T$. Wird zus"atzlich $\op{ker} \alpha$ erzeugt von $(\op{ker} \alpha) \cap T$, so nennen wir $\alpha$ eine {\bf extreme St"utze} von $T$. Wir notieren $\op{Ex}(T)=\op{Ex}_V(T)$ die Menge der extremen St"utzen von $T$. Der Satz behauptet in diesen Notationen $$\langle T\rangle_{>0}= \{v\in V\mid \alpha(v)\geq 0\;\forall \alpha\in \op{Ex}(T)\}$$ Die Inklusion $\subset$ ist offensichtlich. Um auch $\supset$ zu zeigen, argumentieren wir mit vollst"andiger Induktion "uber die Dimension. Im Fall $\op{dim} V=0$ bestehen beide Seiten nur aus dem Nullvektor und unsere Aussage gilt. Im allgemeinen betrachten wir einen festen Vektor $v\in V$ und zeigen $$\big(\alpha(v)\geq 0\;\forall \alpha\in \op{Ex}(T)\big)\RA v\in \langle T\rangle_{>0}$$ durch eine Fallunterscheidung mit der Induktionsannahme.\\[2mm]\noindent Erster Fall: Es gibt eine extreme St"utze $\alpha\in\op{Ex}(T)$ mit $\alpha(v)=0$. In diesem Fall wenden wir die Induktionsannahme auf $(T\cap\op{ker}\alpha)\subset\op{ker}\alpha$ an. Dazu zeigen wir zun"achst, da"s jede extreme St"utze $\beta \in\op{Ex}_{ \op{ker} \alpha}(T\cap \op{ker} \alpha)$ Restriktion einer extremen St"utze $\hat\beta\in \op{Ex}(T)$ ist. Sicher l"a"st sich ja $\beta\in (\op{ker} \alpha)^\top$ ausdehnen zu einer Linearform $\tilde\beta\in V^\top$. Dann mu"s $\tilde\beta+\mu\alpha$ f"ur hinreichend gro"ses $\mu$ eine St"utze von $T$ sein und eine extreme St"utze von $T$, wenn wir $\mu$ dabei kleinstm"oglich w"ahlen. F"ur dieses $\mu$ ist $\hat\beta=\tilde\beta+\mu\alpha$ die gesuchte Ausdehnung von $\beta$ zu einer extremen St"utze von $T$. Insgesamt folgt mit der Induktionsannahme nun sogar $v\in \langle T \cap\op{ker} \alpha\rangle_{>0}$. \nichtfinal{Noch geometrisch erkl"aren! Die Kerne von $\tilde\beta+\mu\alpha$ schneiden $\op{ker}\alpha$ alle in $\op{ker}\beta$!} \\[2mm]\noindent Zweiter Fall: Es gibt keine extreme St"utze $\alpha\in\op{Ex}(T)$ mit $\alpha(v)=0$, aber es gibt zumindest "uberhaupt eine extreme St"utze $\beta\in\op{Ex}(T)$. In diesem Fall finden wir $t\in T$ mit $\beta(t)>0$ und betrachten das gr"o"ste $\lambda\in k$ mit $\alpha(v-\lambda t)\geq 0\;\forall \alpha\in\op{Ex}(T)$. Nach unseren Annahmen gibt es solch ein $\lambda$ und es gilt $\lambda>0$ und $v-\lambda t$ liegt im Kern einer extremen St"utze. Der bereits behandelte Fall liefert $v-\lambda t\in \langle T \rangle_{>0}$ und es folgt sofort $v\in \langle T \rangle_{>0}$. \\[2mm]\noindent Dritter Fall: Unsere Menge $T$ hat "uberhaupt keine extremen St"utzen $\op{Ex}(T)=\emptyset$. In diesem Fall m"ussen wir $\langle T \rangle_{>0}=V$ zeigen. Wir d"urfen $V\neq 0$ annehmen und w"ahlen unter allen $\alpha \in V^{\top} \backslash 0$ mit $\op{ker} \alpha=\langle T\cap \op{ker} \alpha\rangle$ ein $\alpha$ aus, f"ur das die Kardinalit"at von $T^{+}= T^{+}(\alpha)\pdef\{t \in T\mid\alpha (t) \geq 0\}$ gr"o"stm"oglich wird. Nach Annahme finden wir dennoch ein $t^{-} \in T$ mit $\alpha (t^{-}) < 0$ und d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\alpha (t^{-}) = -1$ annehmen. Dann betrachten wir die Projektion $\pi : v \mapsto v + \alpha (v)t^{-}$ von $V$ auf $\op{ker} \alpha$ l"angs $t^-$. H"atte $\pi (T^{+})$ eine extreme St"utze $\beta\in \op{Ex}_{ \op{ker}\alpha}(\pi (T^{+}))$, so k"onnten wir diese durch die Vorschrift $\hat\beta (t^{-})=0$ fortsetzen zu einer Linearform $\hat\beta \in V^{\top}$ mit $\hat\beta |T^{+} \geq 0$ und $\hat\beta (t^{-})=0$. Dann w"are auch $\op{ker} \hat\beta$ erzeugt von seinem Schnitt mit $T$, im Widerspruch zur Wahl von $\alpha$. Also hat $\pi (T^{+})$ keine extreme St"utze und nach Induktionsvoraussetzung l"a"st sich jeder Vektor aus $\op{ker} \alpha$ positiv linear aus $\pi (T^{+})$ kombinieren. Also l"a"st sich jedes $v\in V$ schon mal aus $T$ linear kombinieren unter der Einschr"ankung, da"s nur der Koeffizient vor $t^-$ negativ sein darf. Weiter gibt es aber auch mindestens ein $t^+\in T$ mit $\alpha (t^{+}) >0$, sonst w"are ja $-\alpha$ eine extreme St"utze von $T$. Schreiben wir $-t^+$ in unserer eingeschr"ankten Weise und wenden $\alpha$ an, so erkennen wir, da"s der Koeffizient von $t^-$ positiv sein mu"s. Nach geeigneter Umformung stellen wir $-t^-$ dar als positive Linearkombination von Elementen von $T^{+}$. Damit l"a"st sich nun offensichtlich jeder Vektor aus $V$ positiv linear aus $T$, ja sogar aus $T^{+} \cup \{t^{-}\}$ kombinieren. \nichtfinal{Noch geometrisch erkl"aren! Wohl affines Bild aussagekr"aftiger!} \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildkerA}\\[4mm] \noindent Ein Kegel im Raum mit vier $\DR_{>0}$-Bahnen von extremen St"utzen, deren Kerne von den vier Fl"achen unseres Kegels erzeugt werden. Die obere viereckige Fl"ache habe ich nur eingezeichnet, um das Bild plastischer aussehen zu lassen. Unser $\op{ker}\alpha$ aus dem Beweis ist die Vorderfl"ache. \end{figure}\begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildGaSi}\\[4mm] \noindent Ein Schnitt durch obige Figur, der zeigen soll, wie man im Beweis die fortgesetzte extreme St"utze $\gamma$ in $\op{ker}\alpha$ zu einer extremen St"utze $\gamma'$ verwackelt. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHLUa}\\[4mm] \noindent Eine Menge von neun Punkten der affinen Ebene, eingezeichnet als fette Punkte, nebst ihrer konvexen H"ulle, einem unregelm"a"sigen F"unfeck, zu dem auch der gestrichelt eingezeichnete Rand hinzuzurechnen ist. Man erkennt, da"s dieses F"unfeck wie in \ref{SHr} besprochen in der Tat genau der Schnitt derjenigen \glqq abgeschlossenen Halbebenen\grqq\ ist, die unsere neun Punkte umfassen und deren \glqq begrenzende Hyperebene\grqq, in unserem Fall jeweils eine der gestrichelt eingezeichneten Geraden, von ihrem Schnitt mit $T$ affin erzeugt wird. \end{figure} \begin{Proposition}[\textbf{Satz von Caratheodory im Affinen}] Ist $E\supset T$ ein affiner Raum "uber einem\index{Caratheodory, Satz von!im Affinen} angeordneten K"orper $k$ mit einer ausgezeichneten Teilmenge, so liegt jeder Punkt aus der konvexen H"ulle von $T$ bereits in der konvexen H"ulle einer\label{CaTh} endlichen affin unabh"angigen Teilmenge von $T$. \end{Proposition} \begin{proof} Jeder Punkt $p\in \op{konv}(T)$ der konvexen H"ulle von $T$ l"a"st sich schreiben als Schwerpunkt einer nichtleeren endlichen Teilmenge $p_0,\ldots,p_n$ mit positiven Gewichten $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ und $\lambda_0+\ldots+\lambda_n=1$. Sind unsere Punkte affin abh"angig, so geh"ort diese L"osung sogar zu einer ganzen affinen Gerade von L"osungen $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)\in k^{n+1}$, also von Tupeln mit der Summe Eins und mit $$p=\op{Bar}((p_i,\lambda_i))$$ Die Stelle, an der unsere affine Gerade den positiven Quadranten $(k_{>0})^{n+1}$ verl"a"st, ist dann eine Darstellung von $p$ als Schwerpunkt einer kleineren endlichen Teilmenge mit positiven Gewichten. \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCara}\\[4mm] \noindent Illustration zum Satz von Caratheodory. Die konvexe H"ulle der sieben fetten Punkte $T$ ist das schraffierte Siebeneck, und jeder Punkt aus diesem Siebeneck liegt in der Tat auf einem Dreieck, dessen drei Ecken Ecken unseres Siebenecks sind. \end{Bild} \begin{Korollar}[\textbf{Hauptsatz "uber affine Ungleichungen}] Ist $T$ ein endliches Erzeugendensystem eines affinen Raums $E$ "uber einem angeordneten K"orper $k$, so gilt f"ur jedes $p \in E$ genau eine der beiden folgenden Aussagen:\label{HLUa} \begin{enumerate} \item Der Punkt $p$ liegt in der konvexen H"ulle von $T$; \item Es gibt eine affine Abbildung $\alpha : E \rightarrow k$ mit $\alpha (e) \geq 0 \; \forall e \in T$ und $\alpha (p) < 0$ und der Eigenschaft, da"s die Nullstellenmenge von $\alpha$ von ihrem Schnitt mit $T$ erzeugt wird. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}\label{SHr} Ist also $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper und $T\subset E$ eine endliche Teilmenge, die unseren affinen Raum erzeugt, so ist die konvexe H"ulle von $T$ anschaulich gesprochen genau der Schnitt aller abgeschlossenen Halbr"aume, die $T$ umfassen und deren begrenzende Hyperebene von ihrem Schnitt mit $T$ erzeugt wird. Diese Formulierung ist meiner Anschauung besonders gut zug"anglich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge eines affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper, die die konvexe H"ulle einer endlichen Teilmenge ist, hei"st ein {\bf Polytop} oder genauer ein {\bf konvexes Polytop}.\index{Polytop!konvexes} Eine Teilmenge eines affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper, die man als Schnitt einer endlichen Familie abgeschlossener Halbr"aume schreiben kann, hei"st ein {\bf Polyeder}\label{FacPO} oder genauer ein {\bf konvexer Polyeder}.\index{Polyeder!konvexer} In einem endlichdimensionalen affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper ist in dieser Terminologie nach unserem Hauptsatz "uber affine Ungleichungen jedes Polytop ein Polyeder. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Terminologie, die bei Wikipedia angegeben wird, ist etwas anders. Insbesondere wird dort von Polytopen oder Polyedern nicht a priori die Konvexit"at gefordert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir identifizieren unseren affinen Raum mit einer affinen nichtlinearen Hyperebene in einem Vektorraum. Das Korollar folgt dann unmittelbar aus dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen \ref{HLU}. \end{proof} % \begin{Korollar} % Ist $E$ eine endliche Teilmenge eines affinen Raums $W$ "uber % einem angeordneten K"orper $k$, so sind gleichbedeutend f"ur $e\in E:$ % \begin{enumerate} % \item % Der Punkt $e$ geh"ort nicht zur konvexen H"ulle von $E\setminus e$. % \item % Es gibt eine affine Abbildung $\alpha:W\ra k$ mit $\alpha(e)=0$ aber % $\alpha(e')>0$ f"ur alle $e'\in E\setminus e$. % \end{enumerate} % \end{Korollar} % \begin{proof} % $2\RA 1$ ist klar und wir m"ussen nur $1\RA 2$ zeigen. % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, % $W$ sei als ein affiner aber nichtlinearer Teilraum eingebettet in % einen Vektorraum $V$. % Mit dem Hauptsatz \ref{HLU} finden wir % zun"achst eine St"utze $\beta$ von $E\setminus e$ % mit $\beta(e)<0$. Indem wir dies $\beta$ auf $W$ einschr"anken und % davon die Konstante $\beta(e)$ abziehen erhalten wir % unser $\alpha$. % \end{proof} \subsection{Endlich erzeugte Kegel*} \begin{Definition} Ein {\bf Kegel}\index{Kegel} in einem Vektorraum $V$ "uber einem angeordneten K"orper $k$ ist eine\label{DeKe} Teilmenge $C\subset V$, die den Ursprung enth"alt und stabil ist unter der Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren. Einen konvexen Kegel nennen wir einen {\bf Konvexkegel}.\index{Konvexkegel} Ein Kegel, der keine Gerade umfa"st, hei"st ein {\bf spitzer Kegel}.\index{Kegel!spitzer} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Auf Englisch sagt man {\bf cone}\index{cone!englisch f"ur Kegel} f"ur \glqq Kegel\grqq\ und {\bf strongly convex cone}\index{cone!strongly convex} f"ur \glqq spitzer Konvexkegel\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Teilmenge $C$ in einem Vektorraum $V$ "uber einem angeordneten K"orper $k$ ist genau dann ein Konvexkegel, wenn sie den Ursprung enth"alt und stabil ist unter Addition und unter der Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren. In Formeln ausgedr"uckt kann ein Konvexkegel also charakterisiert werden als eine Teilmenge $C\subset V$ mit den Eigenschaften $0\in C$ und $v,w\in C\RA v+w\in C$ und $v\in C\RA \lambda v\in C \;\forall \lambda\in k_{\geq 0}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{POKK} Nat"urlich ist jeder Schnitt von Kegeln wieder ein Kegel und jeder Schnitt von Konvexkegeln wieder ein Konvexkegel. Der kleinste Konvexkegel, der eine gegebene Menge von Vektoren umfa"st, hei"st der von dieser Menge {\bf erzeugte Konvexkegel}.\index{Konvexkegel!erzeugt von} Er besteht genau aus allen Vektoren, die sich aus unserer Menge positiv linear kombinieren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man beachte den Unterschied zwischen dem von einer Menge erzeugten Kegel und dem von derselben Menge erzeugten Konvexkegel. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Teilmenge $T \subset V$ eines Vektorraums "uber einem angeordneten K"orper definieren wir im Dualraum $V^{\top}$ unseres Vektorraums ihre \defind{Polarenmenge} $T^{\circ} \subset V^{\top}$ durch die Vorschrift $$T^{\circ} \pdef \{ \lambda \in V^{\top} \mid \lambda (e) \leq 1 \quad \forall e \in T\}$$ \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[width=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildDKe}\\[4mm] \noindent Ein Konvexkegel und sein dualer Kegel im Richtungsraum $\vec P$ der Papierebene $P$, den wir dazu vermittels eines unter allen Kongruenzbewegungen invarianten Skalarprodukts $\langle\;,\;\rangle$ durch $\op{can}:\vec P\sira\vec P^{\top}$, $v\mapsto\langle v,\;\rangle$ mit seinem Dualraum identifiziert haben, so da"s wir erhalten $$\op{can}^{-1}(C^{\circ})=\{v\mid\langle v,c\rangle\leq 0 \;\forall c\in C\}$$ Ein Punkt der Papierebene stellt dabei denjenigen Richtungsvektor dar, der vom \glqq Zentrum\grqq\ unseres Bildes zum entsprechenden Punkt schiebt. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Die Polarenmenge eines Kegels $C$ ist offensichtlich ein Konvexkegel und kann beschrieben werden durch die Formel $$C^{\circ} = \{ \lambda \in V^{\top} \mid \lambda (c) \leq 0 \quad \forall c \in C\}$$ Die Polarenmenge eines Kegels nennt man auch den \defnoind{dualen Kegel}.\index{Kegel!dualer}\index{dualer Kegel}\label{duKE} Da"s diese Terminologie sinnvoll ist, zeigt der folgende Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{von Farkas "uber duale Kegel}] Ist $C$ ein endlich erzeugter Konvexkegel\index{Farkas, Satz von} in einem endlichdimensionalen Vektorraum\label{PK} $V$ "uber einem angeordneten K"orper, so ist auch seine Polarenmenge $C^{\circ}\subset V^{\top}$ ein endlich erzeugter Konvexkegel und der Auswertungsisomorphismus $V \sira V^{\top\top}$ induziert eine Bijektion $$C \sira C^{\circ\circ}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ein Konvexkegel in einem Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper hei"st ein {\bf polyedrischer Konvexkegel},\index{Konvexkegel!polyedrischer} wenn er ein \hyperref[]{Polyeder} ist, wenn er also als Schnitt endlich vieler abgeschlossener Halbr"aume geschrieben werden kann. In einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper sind nach dem Satz von Farkas die endlich erzeugten Konvexkegel genau die\label{polyKK} polyedrischen Konvexkegel. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir identifizieren im folgenden $V^{\top\top}$ und $V$ vermittels des Auswertungsisomorphismus. F"ur jede Teilmenge $T \subset V$ gilt $T \subset T^{\circ\circ}$ und f"ur einen endlich erzeugten Konvexkegel $C$ haben wir nach dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen \ref{HLU} auch $C \supset C^{\circ\circ}$, mithin $C = C^{\circ\circ}$. Es bleibt nur zu zeigen, da"s auch $C^{\circ}$ ein endlich erzeugter Konvexkegel ist. Wir zeigen dazu erst einmal, da"s wir endlich viele Gleichungen $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \in V^{\top}$ finden k"onnen mit $$C = \{ v \in V \mid \lambda_{i} (v) \geq 0 \quad \forall i\}$$ Sei in der Tat $T \subset C$ ein endliches Erzeugendensystem unseres Konvexkegels $C$. Erzeugt $T$ schon ganz $V$ als Vektorraum, so folgt unsere Behauptung aus dem Hauptsatz "uber lineare Ungleichungen \ref{HLU}, genauer seiner allerletzten Aussage. Andernfalls gilt es eben, geeignete Linearformen, $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{s}$ auf dem von $C$ erzeugten Untervektorraum $W$ zu w"ahlen, diese auf $V$ fortzusetzen, und noch gen"ugend auf $W$ verschwindende Linearformen hinzuzunehmen. Die Linearformen $-\lambda_{1}, \ldots , -\lambda_{r} \in V^{\top}$ erzeugen nun per definitionem einen Konvexkegel $K \subset V^{\top}$ mit $K^{\circ} = C$. Wegen $K = K^{\circ\circ} = C^{\circ}$ folgt, da"s auch $C^{\circ}$ endlich erzeugt ist. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Charakterisierungen spitzer Konvexkegel}] F"ur einen endlich erzeugten Konvexkegel in einem endlichdimensionalen Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper sind gleichbedeutend:\label{GeK} \begin{enumerate} \item Unser Konvexkegel ist spitz; \item Es gibt eine Linearform auf unserem Vektorraum, die auf dem Konvexkegel mit Ausnahme des Ursprungs echt positiv ist; \item Die Polarenmenge unseres Konvexkegels erzeugt den Dualraum unseres Vektorraums. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung \glqq endlich erzeugt\grqq\ ist hier wesentlich. Zum Beispiel w"are die Menge aller Punkt in $\DQ^2$ echt unterhalb der $x$-Achse mitsamt dem Ursprung ein spitzer Konvexkegel, dessen Polarenmenge nicht den ganzen Dualraum erzeugt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur einen beliebigen Kegel $C$ umfa"st $C^{\circ}$ eine Gerade genau dann, wenn $C$ nicht den ganzen Raum erzeugt. Mit \ref{PK} folgt $(1) \Leftrightarrow (3)$. Die Implikation $(2) \Rightarrow (1)$ ist offensichtlich. Um schlie"slich $(3) \Rightarrow (2)$ zu zeigen w"ahlen wir nach \ref{PK} ein endliches Erzeugendensystem der Polarenmenge unseres Konvexkegels und betrachten die Summe seiner Elemente. Verschwindet diese Summe an einem Punkt des Kegels, so verschwinden dort "uberhaupt alle Linearformen auf unserem Vektorraum und damit ist besagter Punkt der Ursprung. \end{proof} \nichtfinal{ \begin{Satz}[\textbf{Perron-Frobenius}] Sei $Q\in \op{Mat}(n;\DR)$ eine reelle quadratische Matrix mit nur nichtnegativen Eintr"agen und sei $n>0$. So besitzt $Q$ reelle Eigenwerte, der gr"o"ste von diesen ist nichtnegativ und besitzt einen Eigenvektor, dessen Koordinaten alle positiv sind. (Nullmatrix?) \end{Satz} \begin{proof} Die Matrix $Q$ beschreibt einen Endomorphismus von $\DR^n$, der den positiven Quadranten $A\pdef \mathbb R_{\geq 0}^n$ in sich selber abbildet. Es gilt also in Formeln $Q(A)\subset A$. Weiter sind alle $Q^r(A)$ abgeschlossen, zum Beispiel, weil jeder endlich erzeugte Konvexkegel als Schnitt endlich vieler Halbr"aume geschrieben werden kann nach dem Satz von Farkas "uber duale Kegel \ref{PK}. Wir betrachten nun die affine Hyperebene $ H\pdef \{ (x_i)\in \DR^n \mid \sum x_i =1\} $ und darin die absteigende Folge von Kompakta $H_r\pdef H\cap Q^r(A)$. Jedes von ihnen ist die konvexe H"ulle der Schnitte der Geraden $Q^r\DR\op{e}_i$, soweit sie eben Geraden sind, mit $H$. Wir bilden das konvexe Kompaktum $$K\pdef \bigcap_{r=0}^\infty H_r$$ %Im Fall $K=\emptyset$ gibt es ein $r$ mit $H_r=\emptyset$ und es folgt %$Q^r=0$. Es besitzt nach \ref{ScEK} h"ochstens $n$ extreme Punkte und $Q$ induziert eine Bijektion $Q:\DR_{\geq 0}K\sira \DR_{\geq 0}K$ und eine Permutation der Halbgeraden durch die extremen Punkte. Um das zu beweisen reicht es zu zeigen, da"s $Q$ bez"uglich irgendeiner Norm kontrahierend wirkt auf der linearen Hyperebene $L$, die gegeben wird durch die Gleichung $\sum x_i =0$. Wir zeigen das bez"uglich der Norm $|x| = \sum |x_i|$. Sei $\delta$ der kleinste Eintrag von $Q$. Schreiben wir $Q = \delta U +R$ f"ur $U$ die Matrix mit einer Eins in jedem Eintrag, so hat $R$ nur nichtnegative Eintr"age. Damit erhalten wir f"ur $x\in L$ unschwer \begin{equation*} |Qx| = |Rx| = \sum_i \left|\sum_j R_{ij} x_j\right| \leq \sum_{i,j} R_{ij} |x_j| = \lambda |x| \end{equation*} f"ur $\lambda = 1 -n \delta$ die Summe der Eintr"age von $R$ in einer und jeder Spalte. Also ist $Q : H \ra H$ kontrahierend und hat genau einen Fixvektor $s,$ dessen Koordinaten alle positiv sein m"ussen. Alle anderen Eigenwerte von $Q$ m"ussen auch Eigenwerte der Einschr"ankung auf die lineare Ebene $L$ mit der Gleichung $\sum x_i =0 $ sein und sind folglich im Absolutbetrag beschr"ankt durch unsere Kontraktionskonstante $\lambda=1 -n \delta$.\end{proof}} \subsubsection*{"Ubungen} \nichtfinal{Unferrtig!\begin{Ubung} Gegeben $n\in \DN$ und in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum eine absteigende Folge von Konvexkegeln $K_r$, die jeweils von $n$ Vektoren erzeugt werden, ist auch ihr Schnitt $K_\infty$ ein von $n$ Vektoren erzeugter Konvexkegel. Hinweis: Man ziehe sich zun"achst zur"uck auf den Fall spitzer Konvexkegel. Dann findet man eine affine Hyperebene $H$, die\label{ScEK} unsere Konvexkegel in einem sie erzeugenden Kompaktum trifft. Jede Umgebung von jedem \glqq extremen Punkt\grqq\ von $K_\infty\cap H$ mu"s extreme Punkte von fast allen $K_r\cap H$ enthalten. Beweis fertig. \end{Ubung}} \begin{Ubung}[\textbf{Konvexe H"ulle und Baryzentrum}] Gegeben ein affiner Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper und eine Teilmenge $T\subset E$ ist die konvexe H"ulle von $T$ genau die Menge aller Schwerpunkte zu nichtleeren endlichen mit positiven Gewichten versehenen Teilmengen von $T$.\label{GeiK} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man schreibe in Formeln und beweise: Ein System von endlich vielen homogenen linearen Ungleichungen "uber einem angeordneten K"orper hat genau dann eine nichttriviale L"osung, wenn es keine nichttriviale lineare Abh"angigkeit mit nichtnegativen Koeffizienten zwischen unseren Linearformen gibt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lineare Fortsetzung positivlinearer Abbildungen}] Gegeben ein Konvexkegel in einem Vektorraum "uber einem angeordneten K"orper $C\subset V$, der den ganzen Vektorraum erzeugt, in Formeln $V=\langle C\rangle$, l"a"st sich jede\label{FoKe} Abbildung $\varphi:C\ra W$ in einen weiteren Vektorraum mit $\varphi(v+w)=\varphi(v)+\varphi(w)$ sowie $\varphi(\alpha v)=\alpha\varphi(v)$ f"ur alle $v,w\in C$ und $\alpha>0$ auf genau eine Weise zu einer linearen Abbildung $V\ra W$ fortsetzen. Wir nennen eine Abbildung $\varphi:C\ra W$ mit diesen Eigenschaften {\bf positivlinear}.\index{positivlinear} \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Duale Kegel unter K"orpererweiterung}] Seien $K\supset k$ ein angeordneter K"orper mit einem Teilk"orper, den wir mit der induzierten Anordnung versehen. Sei $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum, $C\subset V$ ein endlich erzeugter Konvexkegel, und $C_K\subset V_K$ der davon erzeugte Konvexkegel im zu Skalaren $K$ erweiterten Vektorraum $V_K=V\otimes_k K$. So stimmt der duale Kegel zum Kegel $C_K$ unter der kanonischen Identifikation $(V_K)^{\top}\sira (V^{\top})_K$ "uberein mit dem Erzeugnis in $(V^{\top})_K$ des dualen Kegels $C^{\circ}\subset V^{\top}$ von $C$. In Formeln gilt also $$(C_K)^{\circ}=(C^{\circ})_K$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben eine Teilmenge $T$ eines affinen Raums "uber einem angeordneten K"orper $k$ bezeichne $\op{konv}(T)$ ihre konvexe H"ulle.\index{konv@$\op{konv}$ konvexe H"ulle} Ist $T$ die Standardbasis des $k^{n}$ und $W\subset k^{n}$ ein affiner Teilraum, so zeige man, da"s ein Punkt $p$ extrem ist im Schnitt $W \cap \op{konv}(T)$ genau dann, wenn er f"ur mindestens eine Teilmenge $T^{\prime} \subset T$ der einzige Punkt von $W \cap \op{konv}(T^{\prime})$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein angeordneter K"orper. Gegeben Kegel $C,D$ in einem $k$-Vektorraum gilt f"ur die dualen Kegel offensichtlich $(C+D)^\circ=C^\circ\cap D^\circ$. F"ur endlich erzeugte Konvexkegel $C,D$ in einem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ folgere man mit dem Satz \ref{PK} "uber duale Kegel $$(C\cap D)^\circ=C^\circ+D^\circ$$ Gegeben endlich viele Linearformen\label{Ubdk} $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in V^\ast$ hat insbesondere der Konvexkegel $C\pdef\{v\mid \alpha_i(v)\geq 0\;\forall i\}$ als dualen Kegel $C^\circ$ den Kegel aller negativen Linearkombinationen der $\alpha_i$, in Formeln $$\textstyle C^\circ=\left.\left\{\sum_i x_i \alpha_i\right| x_i\leq 0\;\forall i\right\}$$ \end{Ubung} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildStDu}\\[4mm] \noindent Illustration zum starken Dualit"atssatz. Die Frage des Maximums wird "ubersetzt in eine Frage nach dem Enthaltensein von Kegeln und dualisiert durch "Ubergang zu den dualen Kegeln. Der duale Kegel zu einem Halbraum ist dabei ein Strahl. \end{Bild} \begin{Ubung}[\textbf{Starker Dualit"atssatz\index{Dualit"atssatz!der linearen Optimierung} der linearen Optimierung}] Ungleichungen zwischen Vektoren des $\mathbb R^n$ oder $\mathbb R^m$ sind im folgenden stets komponentenweise zu verstehen. Seien $A \in \op{Mat} (n \times m; \mathbb R)$ und $b \in \mathbb R^n$ und $c \in \mathbb R^m$ gegeben. Man zeige, da"s f"ur $d \in \mathbb R$ gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item Unser $d$ ist das Maximum der linearen Funktion $x \mapsto c^\top x$ auf der Menge $\{x \in \mathbb R^m \mid A x \leq b\}$; \item Unser $d$ ist das Kleinste aller $\delta \in \mathbb R$ mit\\ $\{x \in \mathbb R^m \mid c^\top x \leq \delta\} \supset \{x \in \mathbb R^m \mid A x \leq b\}$; \item Unser $d$ ist das Kleinste aller $\delta \in \mathbb R$ mit\\ $\{ (x, t) \in \mathbb R^{m+1} \mid (c^\top | - \delta) { x \choose t } \leq 0\} \supset \{(x,t) \in \mathbb R^{m+1} \mid {A \; -b\choose 0 \;\;-1}{ x \choose t } \leq 0\}$; \item Unser $d$ ist das Kleinste aller $\delta \in \mathbb R$ mit\\ $\mathbb R_{\geq 0} (-c^\top | \delta) \subset \{(y^\top |\gamma) {A \; -b\choose 0 \;\;-1} \mid (y,\gamma)\in \DR^{n+1}, (y,\gamma)\leq 0\}$; \item Unser $d$ ist das Kleinste aller $\delta \in \mathbb R$, f"ur das $y \geq 0$ und $\gamma \geq 0$ existieren mit \\ $(-c^\top| \delta) = (-y^\top A | y^\top b + \gamma)$; \item Unser $d$ ist das Minimum der linearen Funktion $y\mapsto y^\top b$ auf der Menge $\{y\in\DR^n\mid y \geq 0\text{ und } c^\top = y^\top A\}$. \end{enumerate} Beim "Ubergang zwischen 3 und 4 ben"otigt man "Ubung \ref{Ubdk}, die anderen "Uberg"ange sind elementar. Die "Aquivalenz von 1 und 6 hei"st der {\bf starke Dualit"atssatz}. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXLA1" %%% End: