\section{Kazhdan-Lusztig-Polynome im affinen Fall}

\subsection{Der erweiterte Satake-Isomorphismus}
\begin{Bemerkungl}\label{EwHe}
 Gegeben  $W\looparrowright X$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe 
 im Sinne von \eref{EGS}{ML} \nichtfinal{(ausf"uhren!)} 
 erkl"aren
 wir die {\bf affin erweiterte Gitterspiegelungsgruppe}\index{Gitterspiegelungsgruppe!affin erweiterte}
 als das semidirekte Produkt \eref{Spn}{AL}  
 $$\mathcal{W}=\mathcal{W}_X \pdef X \rtimes W$$
Gleichbedeutend ist das die von den Translationen um $\lambda\in X$ und
den Elementen von  $W$ erzeugte Untergruppe $\mathcal{W}\subset \op{Aff}^\times(X_\DQ)$ in der Gruppe aller Affinit"aten des
$\DQ$-Vektorraums $X_\DQ\pdef X\otimes_\DZ\DQ$. Die Einbettung $X\hra \mathcal{W}$ notieren
wir $\lambda\mapsto [\lambda]$.\index{)5]@$[\lambda]$ bei affin erweiterten  Spiegelungsgruppen} Wir nennen in diesem Kontext meist  $W$
  die {\bf Weylgruppe}\index{Weylgruppe!endliche Gitterspiegelungsgruppe}
  und $\mathcal W$ die {\bf Gitterweylgruppe}.\index{Gitterweylgruppe}
  Ist $X$ das Wurzelgitter eines Wurzelsystems und unsere Gitterspiegelungsgruppe  $W$ seine Weylgruppe, so kennen wir die
  zugeh"orige Gitterweylgruppe als die
  affine Weylgruppe unseres Wurzelsystems. Im folgenden nennen wir sie auch 
  die \defind{Wurzelgitterweylgruppe} unseres Wurzelsystems.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Operation auf der Menge der bepunkteten Alkoven}]
   Gegeben  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl $W\looparrowright X\supset R$ 
   im Sinne von \eref{EGS}{ML} k"onnen wir
   die affine Weylgruppe alias Wurzelgitterweylgruppe $\mathcal W(R)$ 
   des
   Wurzelsystems $R\subset \langle R\rangle_\DQ$ identifizieren  mit der Untergruppe $$\mathcal W(R)=\mathcal W_{\langle R\rangle}=\langle R\rangle \rtimes W\;\;\subset\;\; X \rtimes W=\mathcal{W}_X=\mathcal{W}$$ Diese Untergruppe ist
   offensichtlich ein Normalteiler und operiert nach \ref{AFSW} als
   affine Spiegelungsgruppe auf $X_\DQ$ mit den Spiegeln
   $H_{\al,n}\pdef \{v\mid \langle v, \alpha^\vee\rangle=n\}$ f"ur
  $\alpha\in R$ und
   $n\in \DZ$. Das System aller dieser Spiegel ist stabil unter
   unserer Gitterweylgruppe $\mathcal W$,
   folglich operiert auch unsere Gitterweylgruppe $\mathcal W$ auf der Menge $\mathcal A$ der
   zur Wurzelgitterweylgruppe geh"origen Alkoven. Unter einem {\bf bepunkteten Alkoven}\index{Alkoven!bepunkteter} verstehen wir in diesem Kontext
   ein Paar $(A,\lambda)$
   bestehend aus  einem Alkoven $A\in\mathcal A$ und 
   einem Punkt $\lambda \in X\cap \bar A$
   aus dem Gitter $X$ im Abschlu"s unseres Alkoven.
   Wir verwenden die Notation $A_\lambda\pdef (A,\lambda)$  f"ur
   bepunktete Alkoven und die Notation $\mathcal A_X$\index{A@$\mathcal A_X$ bepunktete Alkoven} f"ur die Menge aller  bepunkteten Alkoven. Die offensichtliche
   Operation von $\mathcal W$ auf der Menge $\mathcal A_X$ der bepunkteten Alkoven ist dann offensichtlich frei und transitiv.\label{ompa} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Isotropiegruppe des
      fundamentalen dominanten Alkoven}]
 Gegeben  $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 einem  System positiver Wurzeln  bezeichne
    $A^+\in\mathcal A$ den fundamentalen dominanten Alkoven.
   F"ur seine Isotropiegruppe $\Omega=\Omega_X\subset \mathcal W= \mathcal W_X$ liefert das Anwenden auf den Ursprung $0\in X$ eine Bijektion\label{IsoFD} 
   $$\Omega\sira X\cap \bar A^+$$
  Im Fall des Gewichtegitters $X$ eines Wurzelsystems sind
  die Elemente von  $X\cap \bar A^+$  unsere minusculen Gewichte aus
  \ref{miuc}. Nach \ref{AFSW} ist andererseits $(\mathcal W(R),\mathcal S)$ mit $\mathcal S$ der
  Menge der Spiegelungen an den W"anden von $A^+$ ein Coxetersystem und
 die Wurzelgitterweylgruppe  $\mathcal W_{\langle R\rangle}$ operiert frei und transitiv auf $\mathcal A$ und trifft insbesondere
   die Isotropiegruppe von $A^+$ nur im neutralen Element.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{L"angenfunktion der Gitterweylgruppe}]
 Seien $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 einem  System positiver Wurzeln.
Wir erweitern  unsere L"angenfunktion $l: \mathcal{W}_{\langle R\rangle} \rightarrow  \Bbb{N}$
von $\mathcal{W}_{\langle R\rangle}$ auf die ganze Gitterweylgruppe $\mathcal{W}$ durch die Vorschrift
$l(x) = d (A^+, x A^+)$ alias $l(w\eta) = l (\eta w) = l(w)$
f"ur $w \in \mathcal{W}$ und $\eta \in \Omega$.\label{lEW} 
Hier meint $d (A, B)$ wie beim Beweis von \ref{THG} die Zahl der Spiegel, die die Alkoven $A$ und $B$ trennen. Offensichtlich gilt $l(x)=l(x^{-1})$ f"ur alle $x\in\mathcal W$.
F"ur jedes dominante Gewicht $\lambda\in X\cap\bar C^+$ gilt weiter offensichtlich
$l([\lambda])=\sum_{\alpha\in R^+}\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle$ und unter Verwendung der
Notation $\rho^\vee\pdef \frac{1}{2}\sum_{\alpha\in R^+}\alpha^\vee$ damit
$$l([\lambda])=2\langle\lambda,\rho^\vee\rangle\quad \forall \lambda\in X\cap\bar C^+ $$
Weiter pr"uft man leicht $w[\lambda]w^{-1}=[w\lambda]\;\forall\lambda \in X, w\in  W$. Ist $w=s$ eine einfache Spiegelung der endlichen Weylgruppe,
so folgern wir nun  $l([\lambda])=l([s\lambda])$. Bis auf den Spiegel von $s$ und sein Translat unter $\lambda$ sind
n"amlich die Spiegel, die $\lambda + A^+$ von $A^+$ trennen, dieselben
wie die Spiegel, die $\lambda + sA^+$ von $sA^+$ trennen. 
Unsere Ausnahmen sind aber auch schnell in die Argumentation eingearbeitet:
Entweder sie sind gleich und trennen beide keins unserer Paare, oder sie
sind verschieden und je einer dieser Spiegel trennt je eines unserer Paare.
Wir folgern
$$l([\lambda])=l([w\lambda])\quad\forall\lambda \in X,  w\in W$$
Gegeben $\lambda\in X$ gibt es in
der Nebenklasse $[\lambda]W\subset\mathcal W$ offensichtlich
genau ein Element k"urzester L"ang. Wir  notieren es 
$\lfloor \lambda\rfloor$. Es entspricht unter der Bijektion
$\mathcal W\sira \mathcal A_X$ gegeben durch $x\mapsto xA^+_0$ demjenigen
durch $\lambda$ bepunkteten Alkoven $A_\lambda$, f"ur den $d(A,A^+)$ kleinstm"oglich ist.\index{)5floor@$\lfloor \lambda\rfloor$ bei affin erweiterten  Spiegelungsgruppen} Unseren allgemeinen Konventionen gem"a"s
meint hier $A_0^+$ den durch den Ursprung bepunkteten fundamentalen dominanten Alkoven. Auf $X\cap\bar A^+$ einschr"ankt ist
$\lambda\mapsto \lfloor \lambda\rfloor$ die Umkehrabbildung unserer
Bijektion $\Omega\sira X\cap \bar A^+$  aus \ref{IsoFD} f"ur $\Omega\subset \mathcal W$ die
Isotropiegruppe von $A^+$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Man mag   $\lfloor \lambda\rfloor$ auch beschreiben als
  $\lfloor \lambda\rfloor=[\lambda]w^{-1}$ f"ur $w\in W$ das k"urzeste
  Element der endlichen Weylgruppe derart, da"s $-w\lambda$ im Abschlu"s der dominanten
  Weylkammer liegt. So erkennt man, da"s unser $\lfloor \lambda\rfloor$
  mit Cherednik's $\pi_\lambda$ "ubereinstimmt.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
  Die Abbildung $\lambda \mapsto [\lambda]W$ induziert eine
  Bijektion $X\sira \mathcal W/W$.
  Die Abbildung $\lambda \mapsto W[\lambda]W$ induziert eine
  Bijektion $X^+\cap \bar C^+\sira W\backslash \mathcal W/W$.
  F"ur alle $\lambda \in X$ ist $\lfloor \lambda\rfloor$  das k"urzeste
  Element der Doppelnebenklasse $ W[\lambda]W$.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtsoperation auf der Menge der bepunkteten Alkoven}] 
 Seien $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 einem  System positiver Wurzeln.  Die Gitterweylgruppe ${\mathcal{W}}$ operiert nach \ref{ompa} frei
und transitiv auf ${\mathcal{A}}_X$.
Wir 
betrachten die Bijektion
${\mathcal{W}} \sira {\mathcal{A}}_X$ gegeben durch  $
x \mapsto x A^+_0$.
Die offensichtliche Rechtsoperation von ${\mathcal{W}}$ auf
sich selbst entspricht dann einer 
Rechtsoperation von ${\mathcal{W}}$ auf
${\mathcal{A}}_X$, die wir $A_\lambda \mapsto A_\lambda x$ notieren.
Nat"urlich kommutiert diese Rechtsoperation auf $\mathcal A_X$ dann mit der
offensichtlichen Linksoperation. 
F"ur $\eta \in \Omega$ haben wir $A_\lambda\eta=A_\mu$ f"ur ein
$\mu\in X\cap\bar A$,\label{RopA}  die
Rechtsoperation von $\Omega$ bedeutet also salopp gesprochen ein
\glqq Umbepunkten von bepunkteten Alkoven\grqq. 
F"ur $s \in \mathcal{S}\subset \mathcal W(R)$ eine Spiegelung an einer
Wand des fundamentalen dominanten Alkoven $A^+$
dahingegen haben wir $A_\lambda s=(tA)_{t\lambda}$
f"ur  $t$ die Spiegelung an derjenigen Wand von $A$,
die der $s$-Wand von $A^+$ entspricht unter demjenigen $x\in \mathcal W$ mit
$xA^+_0=A_\lambda$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Struktur von
      Gitterweylgruppen}] 
Operiert ganz allgemein eine Gruppe $G$ auf einer Menge $Z$ 
und ist die induzierte 
Operation einer Untergruppe $H\subset G$
 frei und transitiv und 
 ein Punkt $z\in Z$ gegeben und $G_z\subset G$ seine
Standgruppe, so induziert die Multiplikation eine Bijektion
$G_z\times H\sira G$. Ist $H$ zus"atzlich ein Normalteiler, 
so induziert die Einbettung  einen Gruppenisomorphismus\label{voiz} 
$G_z\sira G/H$ und die Multiplikation einen
Gruppenisomorphismus $H\rtimes G_z\sira G$.
 Sei nun wieder $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 einem  System positiver Wurzeln. Wenden wir
 unsere allgemeinen Erkenntnisse an auf $Z=\mathcal A$ und $z=A^+$ und
$G=\mathcal W$ und $H=\mathcal W_{\langle R\rangle}$, so erhalten wir $G_z=\Omega$ und 
folgern, da"s die Multiplikation  einen Isomorphismus
$\mathcal{W}_{\langle R\rangle} \rtimes 
\Omega \sira \mathcal{W}$ liefert und
die Einbettungen  Gruppenisomorphismen 
$$\Omega\sira  \mathcal{W}/\mathcal{W}_{\langle R\rangle}\sila
X/\langle R\rangle$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gitter-Hecke-Algebra}]
 Sei weiter  $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 einem  System positiver Wurzeln.
Die Isotropiegruppe $\Omega\subset\mathcal{W}$
von $A^+$ operiert auf unserem Coxetersystem  $(\mathcal W_{\langle R\rangle},\mathcal S)$ in offensichtlicher Weise. 
Ebenso operiert $\Omega$ dann auch auf der 
Hecke-Algebra $\mathcal{H}_{\langle R\rangle}$ "uber $\DZ[q]$ 
 des Coxetersystems $(\mathcal{W}_{\langle R\rangle},\cal{S})$ aus \eref{CuHA}{DHL}, der sogenannten {\bf affinen Hecke-Algebra},\index{affin!Hecke-Algebra}\index{Hecke-Algebra!affine}
und wir erhalten
einen Gruppenhomomorphismus
$\sigma : \Omega \rightarrow \op{Ring}^\times \mathcal{H}(\mathcal{W}_{\langle R\rangle},\cal{S})$. 
Wir erkl"aren die 
\defind{Gitter-Hecke-Algebra}  als den vertwisteten Gruppenring
\begin{displaymath}
\mathcal{H}=\mathcal{H}_X \pdef \mathcal{H}(\mathcal{W}_{\langle R\rangle},\cal{S})^\sigma \langle \Omega \rangle
\end{displaymath}
im Sinne von \eref{VTGR}{NAS}.
Gegeben $\eta\in \Omega$ vereinbaren wir die Notation $T_\eta\in\mathcal H$ f"ur sein
Bild im vertwisteten Gruppenring. Weiter vereinbaren wir f"ur $x\in \mathcal W$
die Notation 
$T_x \pdef T_{w} T_\eta$ mit  $x = w \eta$ der eindeutigen Darstellung von $x$  als Produkt von
$w \in \mathcal{W}_{\langle R\rangle}$ mit $\eta \in \Omega$. Dann bilden die 
$T_x$ f"ur $x \in \mathcal{W}$
eine $\DZ[q]$-Basis von $\mathcal{H}$ und
die Identit"at
\begin{displaymath}
T_x T_{y} = T_{xy} \quad \text{  f"ur alle } x,y \in \mathcal{W}
\text{  mit } l(x) + l(y) = l(xy)
\end{displaymath}
folgt leicht aus derselben Formel
in der  affinen Hecke-Algebra $\mathcal{H}(\mathcal W_{\langle R\rangle},\mathcal S)=\mathcal H_{\langle R\rangle}$,
die man in diesem Kontext auch die  \defind{Wurzelgitter-Hecke-Algebra} nennen mag.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Gitter-Hecke-Algebren}] 
 Seien $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$ eine endliche Gitterspiegelungsgruppe   mit stabiler Wurzelwahl und  einem
 System  positiver Wurzeln.
 Zu diesem Datum kann man wie in \ref{EwHe} "uber
jedem K"orper $k$ ein bis auf Isomorphismus eindeutiges Tripel
$G\supset B \supset T$ finden mit  einer geometrisch
zusammenh"angenden reduktiven algebraischen
Gruppe $G$ "uber $k$,  einer Borel $B$ und  einem spaltenden maximalen
Torus $T$ derart, da"s das zugeh"orige Datum
$$W (G,T) \looparrowright \mathfrak X (T)\supset{\op{ R}}(T,G)\supset{\op{ R}}(T,B)$$ isomorph ist
zu obigem Datum $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$. 
Man kann auch ein weiteres bis auf Isomorphismus eindeutiges Tripel
$G^\vee \supset B^\vee \supset T^\vee$ derselben Art finden, dessen
Datum isomorph ist zum Dualen $W\looparrowright X^\vee\supset R^\vee\supset R^{+\vee}$ des
vorgegebenen Datums. Betrachtet man dann
einen endlichen K"orper $k=\mathbb F$ und in $G^\vee  (\!(t)\!)\pdef G^\vee (\Bbb{F} (\!(t)\!))$
die sogenannte \defind{Iwahori-Untergruppe}
\begin{equation*}
I^\vee = \op{ev}^{-1} (B^\vee (\Bbb{F}))
\end{equation*}
f"ur $\op{ev}: G^\vee (\Bbb{F} \llbracket t\rrbracket) 
\rightarrow G^\vee (\Bbb{F})$
das Auswerten bei $t =0$, so ist die Hecke-Algebra
$\mathcal{H} ( G^\vee  (\!(t)\!), I^\vee)$ im Sinne von
\eref{NHA}{DHL} isomorph zur Spezialisierung unserer Gitter-Hecke-Algebra $\mathcal{H}=\mathcal{H}_X$ "uber $\DZ[q]$ 
zum Wert
$q = |\Bbb{F}|$.
Genauer kann man zeigen, da"s die von 
der Inklusion $\Bbb{F}[t,t^{-1}]\hra \Bbb{F} (\!(t)\!)$ induzierte 
Einbettung
$$
X =\op{Grp-Sch}_{\Bbb{F}} (\Bbb{G}_{m,\Bbb{F}}, T^\vee)\hra
 \op{Sch}_{\Bbb{F}} 
(\op{Spec} \Bbb{F} (\!(t)\!), T^\vee)=T^\vee (\Bbb{F} (\!(t)\!))
$$
einen Isomorphismus
$
\mathcal{W} \sira 
{\op{N}}_{G^\vee(\!(t)\!)} T^\vee (\Bbb{F}) /
T^\vee (\Bbb{F})
$
induziert und da"s $G^\vee (\!(t)\!)$ unter $I^\vee$ 
zerf"allt in Doppelnebenklassen
als $G^\vee (\!(t)\!) = \prod_{x \in \mathcal{W}} I^\vee x I^\vee$
und da"s wir einen Isomorphismus von 
$\mathcal{H} (G^\vee(\!(t)\!), I^\vee)$ mit unserer 
zu $q=|\mathbb F|$ spezialisierten Gitter-Hecke-Algebra $\mathcal{H}$
erhalten, indem wir die charakteristische Funktion $[I^\vee x I^\vee]$ der
Doppelnebenklasse von einem Repr"asentanten von $x \in \mathcal{W}$
auf $T_x \in \mathcal{H}$ abbilden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualit"at und selbstduale Basis nach Kazhdan-Lusztig}]
 Wir erweitern nun die Skalare zum Ring von Laurentpolynomen 
 $\mathcal{L}\pdef\DZ[v,v^{-1}]$ mit $v^{-2}=q$, verwenden aber weiter
 dieselbe Notation und Terminologie, betrachten also
 $$\mathcal H=\mathcal H_v\pdef \mathcal L\otimes_{\DZ[q]}\mathcal H$$
und nennen auch diese Variante die 
{\bf Gitter-Hecke-Algebra}.\index{Gitter-Hecke-Algebra!$v$-Variante}\label{gihev}  Darin betrachten wir f"ur alle $x\in \mathcal{W}$
die Elemente $$H_x\pdef v^{l(x)}T_x$$ und f"uhren einen
involutiven $\mathcal{L}$-schieflinearen Automorphismus $d: \mathcal{H}
\rightarrow \mathcal{H}$ ein durch die Vorschrift
$d(H_x)= (H_{x^{-1}})^{-1}$.
Um zu sehen, da"s die so erkl"arte $\mathcal{L}$-schieflineare Selbstabbildung
in der Tat ein involutiver schieflinearer Automorphismus von
$\mathcal{L}$-Ringalgebren ist, erinnern wir, da"s wir das im Fall
$\mathcal H_{\langle R\rangle}$ bereits gezeigt hatten und
da"s  f"ur $x =w\eta$ mit $w \in \mathcal{W}_{\langle R\rangle}$, $\eta \in
\Omega$  gelten mu"s
\begin{displaymath}
d (H_x) = (H_{\eta^{-1}} H_{w^{-1}})^{-1} = (H_{w^{-1}})^{-1} H_\eta
\end{displaymath}
alias $d(H_wH_\eta)=d(H_w)d(H_\eta)$. Da nun unsere Dualit"at auf der affinen Hecke-Algebra $\mathcal H_{\langle R\rangle}$ 
mit allen
durch Automorphismen des Coxetersystems 
gegebenen Automorphismen von $\mathcal{H}_{\langle R\rangle}$
vertauscht, induziert sie in der Tat eine Involution auf 
$\mathcal{H} =\mathcal{H}_{\langle R\rangle}
\langle \Omega \rangle^{\sigma}$ mit den gew"unschten Eigenschaften.
F"ur die selbstduale $\mathcal L$-Basis nach \ref{FFF} 
von $\mathcal{H}$ aus wohlbestimmten
Elementen 
$\underline{H}_x$ mit $d(\underline{H}_x)=\underline{H}_x$
und der Eigenschaft $$\underline{H}_x\in H_x +\sum_y v\DZ[v]H_y$$ 
haben wir dann
$\underline{H}_x = \underline{H}_w H_\eta$ f"ur $x = w\eta$ mit
$ w \in W$, $\eta \in \Omega$ und auch 
$\underline{H}_x = H_\eta \underline{H}_w$
f"ur $x = \eta w$ mit $w \in W, \eta \in \Omega$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{EwPh}
Seien  $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 einem  System positiver Wurzeln. Zur zugeh"origen
 Gitter-Hecke-Algebra $\mathcal{H}=\mathcal H_X$ aus \ref{gihev}
 erkl"aren wir nun 
den \glqq periodischen 
 Gitter-Hecke-Rechtsmodul\grqq  $$\mathcal{P}=\mathcal{P}_X=\mathcal{P}(W\looparrowright X\supset R\supset R^+)$$ Wir erkl"aren ihn "uber dem Ring von Laurentpolynomen 
$\mathcal{L}\pdef\DZ[v,v^{-1}]$ mit $v^{-2}=q$ 
und gehen dabei aus vom freien $\mathcal{L}$-Modul "uber der Menge
$\mathcal{A}_X$ der bepunkteten Alkoven
\begin{displaymath}
{\mathcal{P}} \pdef \bigoplus_{B 
\in {\mathcal{A}}_X}
\mathcal{L} B
\end{displaymath}
%und erkl"aren in der Gitter-Hecke-Algebra, bei der wir zus"atzlich
%die Koeffizienten erweitern durch $\mathcal L\otimes_{\DZ[q]}$, f"ur alle %$x\in \mathcal{W}$
%die Elemente $$H_x\pdef v^{l(x)}T_x$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Lemma}[\textbf{Periodischer Gitter-Hecke-Rechtsmodul}]
Seien  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
einem System\index{periodischer 
 Gitter-Hecke-Rechtsmodul} positiver Wurzeln $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$ gegeben. So gibt es auf dem freien $\mathcal L$-Modul $\mathcal{P}$
eine Rechtsoperation der Gitter-Hecke-Algebra
${\mathcal{H}}$ derart, da"s unter Verwendung unserer Rechtsoperation
 \ref{RopA} von $\mathcal W$ auf $\mathcal A_X$ 
    gilt 
$B_\lambda H_\eta =B_\lambda\eta$ f"ur alle $\eta \in \Omega$  und
da"s f"ur alle $s \in \mathcal{S}$ mit  $\succ$ und $\prec$
wie in \ref{suco} gilt
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
B_\lambda\underline{H}_s &=& \left\{ \begin{array}{lcr}
B_\lambda s + v B_\lambda & &B s \succ B;\\
B_\lambda s + v^{-1} B_\lambda & &B s \prec B.
\end{array} \right.
\end{array}
\end{displaymath}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sehr "ahnlich zum Beweis von \ref{LuPH} und dem Leser "uberlassen.
\end{proof}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bepunktete Alkoven als freie Hecke-Erzeuger}]
   F"ur jeden bepunkteten
   Alkoven $B_\lambda \in \cal{A}_X$ liefert das Anwenden $ H \mapsto
    B_\lambda H$ auf $B_\lambda$,\label{BLUu}  
    aufgefa"st als Element des Gitter-Hecke-Rechtsmoduls $\cal{P}$,  einen
    Isomorphismus von $\cal{L}$-Moduln $$\cal{H} \sira \cal{P} $$ Das sieht man leicht ein, der formale
Beweis bleibe dem Leser "uberlassen. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gitteroperation auf dem periodischen  Gitter-Hecke-Rechtsmodul}]
Gegeben  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$ mit stabiler Wurzelwahl und
einem  System positiver Wurzeln liefert jedes Gewicht $\mu \in X$  eine $\mathcal{L}$-lineare 
Abbildung $\langle \mu \rangle :
{\mathcal{P}} \rightarrow {\mathcal{P}}$ durch die Vorschrift 
$\langle \mu \rangle B \pdef [\mu] B$.
\nichtfinal{Vielleicht  $[\mu]$ statt $\langle \mu \rangle$? Mu"s noch bedacht werden.} Man pr"uft ohne
Schwierigkeiten, da"s diese  Abbildungen Homomorphismen von 
${\mathcal{H}}$-Rechtsmoduln
sind und $\mathcal P$ so zu einem
$\mathcal L\langle X\rangle$-$\mathcal H$-Bimodul wird. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einbettung des Gitters in die Gitter-Hecke-Algebra}]
Seien    eine endliche Gitterspiegelungsgruppe $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$ mit stabiler Wurzelwahl und
einem  System positiver Wurzeln gegeben.
Jeder freie Erzeuger als $\mathcal H$-Rechtsmodul unseres  $\mathcal L\langle X\rangle$-$\mathcal H$-Bimodul
$\mathcal P$ liefert einen Homomorphismus, ja sogar eine Einbettung 
von $\mathcal L$-Ringalgebren 
$\mathcal{L} \langle X \rangle \hookrightarrow {\mathcal{H}}$.
Im Fall des freien Erzeugers $A_0^+$ erhalten wir speziell 
diejenige  Einbettung
\begin{displaymath}
j : \mathcal{L} \langle X \rangle \hookrightarrow {\mathcal{H}}
\end{displaymath}
des Gruppenrings von $X$ "uber $\mathcal L$ in die
 Gitter-Hecke-Algebra, die charakterisiert wird durch 
\begin{displaymath}
 {A}^+_0 j(\mu)=[\mu]A^+_0
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Mit $\op{e}^\mu \pdef j(\mu)$ landen wir bei der alternativen Beschreibung der
  Gitter-Hecke-Algebra aus \ref{EWHE}. \nichtfinal{Vielleicht noch ausf"uhren.} 
\end{Bemerkunge}


%\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hecke-Untermodul mit Weyloperation}]
%Im erweiterten periodischen Hecke-Modul ${\mathcal{P}}_X$ betrachten
%wir f"ur alle $\eta \in \Omega$ und $\lambda \in X$ die
%Elemente
%\begin{displaymath}
%{E}_{\lambda, \eta}\pdef \sum_{z \in W} v^{l(z)} (\lambda + z\eta
%({A}^+,0))
%\end{displaymath}
%Sei ${\mathcal{P}}_{X,\circ}  \subset {\mathcal{P}}_X$ der von ihnen
%erzeugte ${\mathcal{H}}_X$-Untermodul. Wir erkl"aren auf
%${\mathcal{P}}_{X,\circ} $ eine Operation von ${\mathcal{W}}_X$
%durch ${\mathcal{H}}_X$-lineare Selbstabbildungen mit
%$\langle w \rangle {E}_{\lambda,\eta} = {E}_{w \lambda,\eta}$,
%indem wir den Beweis von \ref{uua} entsprechend anpassen.
%In \ref{wod} hatten wir bereits den Schatten dieser 
%Operation auf $\mathcal{P}_\circ $ gesehen.
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Periodischer Gitter-Hecke-Untermodul mit Weyloperation}]
  Wir betrachten im periodischen Gitter-Hecke-Rechtsmodul
  $\mathcal P$ den kleinsten $\mathcal H$-Un\-ter\-rechts\-mo\-dul
  $\mathcal P^\circ\subset \mathcal P$,\label{OPW} 
  der $A^+_0\underline{H}_{w_0}$ enth"alt und stabil ist unter der
  Linksoperation von $\mathcal L\langle X\rangle$. Ich behaupte,
  da"s es genau eine Fortsetzung der Linksoperation des Gitters $X$ auf dem $\mathcal H$-Rechtsmodul $\mathcal P^\circ$ zu einer Linksoperation der
  Gitterweylgruppe $\mathcal W$ gibt derart, da"s das Element $A^+_0\underline{H}_{w_0}$ von der endlichen Weylgruppe $W$ festgehalten wird.
  Die Eindeutigkeit ist offensichtlich. Man sieht auch leicht, da"s das
  Daranmultiplizieren von links und rechts an $A^+_0$ einen Isomorphismus
  $$\mathcal L\langle X\rangle\otimes_\mathcal L \underline{H}_{w_0}\mathcal H
  \sira \mathcal P^\circ$$
  induziert. Die Operation von $W$ auf $X$ liefert nun 
  eine Operation von $W$ auf $\mathcal L\langle X\rangle$ und diese
  hinwiederum eine Operation von $W$ auf $\mathcal P^\circ$ durch
  Rechtsmodulautomorphismen mit Fixpunkt $A^+_0\underline{H}_{w_0}$, von der
  man unmittelbar einsieht, da"s sie zusammen mit der Operation von $X$ zur
  gesuchten Operation von $\mathcal W$ auf $\mathcal P^\circ$ f"uhrt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Um  unser ehemaliges $\mathcal P^\circ$
 alias das 
 $\mathcal P^\circ$ von Lusztig
 zu erhalten, das wir hier neu $\mathcal P^{(\circ)}$ notieren,
 nehmen wir f"ur $X$ das Gitter der ganzen Gewichte
 unseres Wurzelsystems $R$ und 
 betrachten wir den kleinsten $\mathcal H (\mathcal W(R),\mathcal S)$-Unterrechtsmodul $\mathcal P^{(\circ)}\subset \mathcal P$, der $A^+_0\underline{H}_{w_0}$ enth"alt und
 mit einem Element $P$ auch $\langle \lambda\rangle P H_{-\bar\lambda}$
 f"ur alle
 $\lambda\in X$, mit der Notation $\bar\lambda \in\Omega$ f"ur das Bild
 von $\lambda$ in $X/\langle R\rangle$.
 Unsere ehemaligen Verschiebungen mit Elementen des Gewichtegitters
 sind in dieser Sprache die Abbildungen
 $$P\mapsto \langle \lambda\rangle P H_{-\bar\lambda}$$
 Unsere eben erkl"arte Operation von $W$ auf $\mathcal P^\circ$ stabilisiert
 $\mathcal P^{(\circ)}\subset \mathcal P^\circ$ wegen
 $$\langle w\rangle: \langle \lambda\rangle A^+_0\underline{H}_{w_0} H_{-\bar\lambda}\mapsto \langle w\lambda\rangle A^+_0\underline{H}_{w_0} H_{-\bar\lambda}$$ und wegen
 $\bar\lambda=\overline{w\lambda}$.
 Wir erhalten so eine Operation der Gitterweylgruppe $\mathcal W=W\ltimes X$ auf $\mathcal P^{(\circ)}$,  aber nur $\mathcal W(R)=W\ltimes \langle R\rangle$
 operiert durch 
 Automorphismen von $\mathcal H (\mathcal W(R),\mathcal S)$-Rechtsmoduln.
\end{Bemerkunge}
  


\begin{Bemerkungl}
Seien  $W\looparrowright X\supset R\supset R^+$  eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl und
 System positiver Wurzeln.
Wir bilden wie in \ref{EwHe} und \ref{EwPh} die  
    Gitter-Hecke-Algebra $\cal H$ und den
periodischen Gitter-Hecke-Modul-Rechtsmodul $\cal P$.
  In $\cal H$
betrachten wir 
in Verallgemeinerung von
\ref{SPH} den $\cal{L}$-Untermodul $${}^{0}\mathcal H^{0}=\underline{H}_{w_0}\mathcal H\cap \mathcal H\underline{H}_{w_0}$$ aller 
Elemente $H
  \in \mathcal{H}$ 
mit $\underline{H}_{s} H= H\underline{H}_{s} = (v +v^{-1}) H$
f"ur alle einfachen Spiegelungen der endlichen Weylgruppe 
  $s \in \cal{S}_{0}$. 
  Mit der in \ref{KGVV} 
erkl"arten renormalisierten 
Multiplikation $\ast=\ast_0$ wird ${}^{0}{\mathcal{H}}^{0}$ ein
Ring, die \defind{sph"arische
    Gitter-Hecke-Algebra}. Eine Basis "uber $\cal{L}$  bilden zum Beispiel die
$\underline{H}_{x}$,  wenn $x$ "uber
  die l"angsten Repr"asentanten der Doppelnebenklassen 
$W\backslash {\cal{W}} /W$
  l"auft. 
\end{Bemerkungl}

\nichtfinal{Bis hier revidiert in Monetier. $\mathcal W_X$ wird $\mathcal W$ und
  $\mathcal W$ wird $\mathcal W(R)$. Mittelfristig sollen alle Tilde-Symbole
  f"ur die Erweiterungen verschwinden. Sp"ater gucken!} 

\begin{Bemerkungl}
Die Rechtsoperation auf dem bepunkteten Alkoven 
$w_0A_0^+\in \cal{P}$ 
als Element des erweiterten periodischen Hecke-Moduls $\cal{P}$ 
liefert einen Isomorphismus
\begin{displaymath}
  \begin{array}{ccc}
\mathcal{H} &\sira &\mathcal{P}\\
 H &\mapsto& (w_0A^+_0) H
\end{array}
\end{displaymath}
Seine Restriktion auf ${}^0\mathcal{H}^0$
kann auch durch die Vorschrift
$ H \mapsto (w_0A^+_0) \underline{H}_{w_0}\ast_0H$ beschrieben
werden  f"ur die 
 renormalisierte
 Multiplikation $\ast_0$ gegeben durch $\ast_0\pdef (\ast/{b})$ mit $b\in\mathcal L$ bestimmt durch
 $\underline{H}_0\ast\underline{H}_0=b\underline{H}_0$.
 
induziert offensichtlich eine Injektion 
${}^0\mathcal{H}^0 \hookrightarrow \mathcal{P}
\underline{H}_{w_0}$.






Sie ist sicher  vertr"aglich mit der 
Rechtsoperation von ${}^0\mathcal{H}^0$ auf $\mathcal{P}
\underline{H}_{w_0}$,  die vermittels
 
 Gegeben $\lambda\in X$ bezeichne $\tilde{E}_\lambda=
\tilde{E}_{\lambda,1}\in \tilde{\mathcal{P}}$
den Lift von $E_\lambda$ nach $\tilde{\mathcal{P}}$,  bei dem
alle mit von Null verschiedenen Koeffizienten 
auftauchenden Alkoven mit $\lambda$ bepunktet sind.
Im erweiterten periodischen Heckemodul $\tilde{\mathcal{P}}$ gilt 
f"ur jeden bepunkteten
Alkoven $\tilde{A} = \lambda + x 
\tilde{A}^+$ mit $\lambda \in X $ im Wurzelgitter und $x \in W$ in der
endlichen Weylgruppe die Formel
\begin{displaymath}
\tilde{A} \underline{H}_{w_0} = v^{l(x) - l(w_0)}\tilde{E}_\lambda
\end{displaymath}
Das folgt  ohne M"uhe aus \ref{QSDH} und zeigt, da"s 
$\tilde{\mathcal{P}}
\underline{H}_{w_0}$ enthalten ist im Untermodul $\tilde{\mathcal{P}}_\circ$
aus \ref{OPW}.
Weiter k"onnen wir wegen $(w_0 \tilde{A}^+)\underline{H}_{w_0} = \tilde{E}_0$
unsere Injektion  auch in der Gestalt
$$
\begin{array}{ccc}
{}_0\tilde{\mathcal{H}}_0 &\hookrightarrow &\tilde{\mathcal{P}}
\underline{H}_{w_0}\\
H&\mapsto& \tilde{E}_0 \ast_0 H
\end{array}
$$ 
schreiben und erkennen so, 
da"s ihr Bild enthalten ist in den Invarianten
f"ur die in \ref{OPW} erkl"arte 
Operation der endlichen Weylgruppe $W$ auf 
$\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0} \subset
\tilde{\mathcal{P}}_\circ$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma} Sei $\tilde{\mathcal{P}}$ der erweiterte
periodische Hecke-Modul.\label{biME} 
  \begin{enumerate}
\item
Der Raum  $(\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0})^W$ ist
ein freier $\mathcal{L}\langle
X\rangle^W$-Modul mit Basis 
$\tilde{E}_0$.
  \item 
Der Raum $(\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0})^W$ ist 
ein freier ${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$-Rechtsmodul 
mit Basis $\tilde{E}_0$
f"ur die 
    Operation der erweiterten sph"arischen 
Hecke-Algebra durch $\ast_0$.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}
Die erste Aussage ist klar nach dem Vorhergehenden.
Wie bereits erw"ahnt  
bilden weiter die $\underline{H}_x$ mit $x$ den l"angsten
  Doppelnebenklassenrepr"asentanten eine $\mathcal{L}$-Basis von
  ${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$. 
Sicher erscheint weiter der  bepunktete
Alkoven $\tilde{A}x$ 
in $\tilde{A}^+\underline{H}_x=v^{-l(w_0)}\tilde{E}_0\ast_0 
\underline{H}_x$ mit
  dem Koeffizienten $1\in\cal{L}$. Mit einem Induktionsargument folgt, da"s
  $\tilde{E}_0$ auch ein Erzeugendensystem von
  $(\tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0})^W$ als 
${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$-Rechtsmodul ist,
  denn $\tilde{E}_0 \ast_0\underline{H}_x$ ist eine Summe
  von $\tilde{E}_\lambda$ mit einer $\cal{L}$-Linearkombination 
von $\tilde{E}_\mu$ f"ur 
$\mu$
  gr"o"ser $\lambda$ in einer geeigneten Teilordnung auf dem
Schnitt antidominanten Weylkammer mit dem Gitter $X$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Formal zeigt man ganz allgemein, da"s es f"ur jeden von Null verschiedenen
  kommutativen Ring $R$ und jeden freien $R$-Modul 
$M$ vom Rang Eins genau einen
  Ringisomorphismus $\psi: R\sira \op{End}_R M$ gibt mit $(\psi(r))(m)=rm$ f"ur
  alle $m\in M$. Der von beiden Seiten freie Bimodul 
vom Rang Eins aus \ref{biME} definiert also einen Isomorphismus zwischen
den von rechts und links operierenden Ringen, den
  sogenannten \defind{Satake-Isomorphismus}\label{SaIso} 
\begin{displaymath}
\psi: {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0 \overset{\sim}{\rightarrow} 
\mathcal{L} \langle X\rangle^W
\end{displaymath}
Er ist charakterisiert durch $m\ast_0 H=\psi(H)m$ f"ur alle 
$m\in (  \tilde{\mathcal{P}}\underline{H}_{w_0})^W$.
\end{Bemerkungl}

\nichtfinal{Die entscheidende Formel. Wohl l"angste Nebenklassenrepr"asentanten
  $\lceil\lambda\rceil$}  
\begin{Satz}[\textbf{Kazhdan-Lusztig-Basis und Weyl-Charaktere}]
Unter dem Satake-Isomorphismus \ref{SaIso} entsprechen die Elemente der selbstdualen Basis
von Kazh\-dan-Lusztig den Weyl-Charakteren. Betrachten wir genauer\label{xkl}  
f"ur jedes dominante Gewicht $\lambda$ aus dem Gitter
$X$ das Element $x\in\tilde{\mathcal W}$ der erweiterten affinen 
Weylgruppe mit $\tilde{A}^+x = w_0 (\lambda + \tilde{A}^+)$,  so haben wir unter
dem Satake-Isomorphismus
\begin{displaymath}
\underline{H}_x \mapsto \op{ch} L (\lambda)
\end{displaymath}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Insbesondere entspricht also unter dem Satake-Iso\-mor\-phis\-mus
die Dualit"at auf 
${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$ derjenigen Dualit"at auf
$\mathcal{L} \langle X\rangle^W$, 
die von der Substitution $v \mapsto
v^{-1}$ im Ring $\mathcal{L} = \Bbb{Z} [v,v^{-1}]$ 
der Laurentpolynome herkommt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\label{BSL2}
Das nebenstehende Bild 
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSat2}
%\\ \noindent Eine  Abbildung einer Menge mit
%f"unf in eine mit drei Elementen
\end{figure}
illustriert 
die Behauptung des Satzes f"ur die
dargestellte Gitterspiegelungsgruppe.
In diesem Fall hat $\Omega$ zwei Elemente und das nichttriviale Element
$\eta\in\Omega$ operiert von rechts auf $\tilde{A}$ durch 
Wechsel der Punktierung jedes Alkoven.
Ein l"angster $W$-Doppel\-neben\-klassen\-repr"asentant 
ist $st\eta=\eta ts$ und
das selbstduale Element dazu ist $\underline{H}_x=
\underline{H}_s\underline{H}_tH_\eta$.
Die Rechtsoperation auf dem Element 
$s\tilde{A}^+$ des erweiterten periodischen Hecke-Moduls schlie"slich
berechnet sich wie im Bild.
\end{Beispiel}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXSPW"
%%% End: