\section{Noch nicht "offentlich} \subsection{Der absolute maximale Torus} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der absolute maximale Torus}] Sei $G$ eine zusammenh"angende algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper. Gegeben $(B,T) $ und $(B',T') $ zwei Paare bestehend aus einer Borel'schen von $G$ mit einem maximalen Torus gibt es $g \in G$ mit $g B g^{-1} = B^\prime$ und $g T g^{-1} = T^\prime$. Je zwei solcher Elemente $g,h$ liefern weiter nach \ref{NZB} oder indirekter aber einfacher\label{absMT} \ref{BoWey} zwischen den beteiligten Tori denselben Isomorphismus $ \op{int} g = \op{int} h : T \overset{\sim}{\rightarrow} T^\prime $. Wir erkl"aren den {\bf absoluten maximalen Torus}\index{absoluter maximaler Torus}\index{Torus!maximaler absoluter} mit seinem System positiver Wurzeln $$(H, {\op{R}}^+ \subset \mathfrak X (H))$$ wie folgt: Elemente von $H$ sind "Aquivalenzklassen von Tripeln $(t, T, B)$ mit $T \subset B \subset G$ ein maximaler Torus in einer Borel'schen und $t \in T$. Zwei Tripel $(t, T, B)$ und $(t^\prime, T^\prime, B^\prime)$ hei"sen dabei "aquivalent genau dann, wenn es $g \in G$ gibt mit $gBg^{-1} = B^\prime$, $gT g^{-1} = T^\prime$ und $gtg^{-1} = t^\prime$. Das kanonische System positiver Wurzeln ${\op{R}}^+ \subset \mathfrak X (H)$ sei schlie"slich dadurch erkl"art, da"s es f"ur alle $(T,B)$ unter der Abbildung $T \overset{\sim}{\rightarrow} H$, $t \mapsto [t, T, B]$ dem System ${\op{P}}_T(\op{Lie}B_{\op{u}}/\op{Lie}{\op{R}}_{\op{u}}G)$ entspricht. Nach \ref{JZK} bilden die halbeinfachen Elemente des Zentrums eine abgeschlossene Untergruppe ${\op{Z}}(G)_{\op{s}}$, die nach \ref{AAZSTo} in jedem maximalen Torus enthalten ist. F"ur $z\in{\op{Z}}(G)_{\op{s}}$ h"angt $[z,T,B]$ offensichtlich nicht von $T$ und $B$ ab. wir erhalten so eine nat"urliche Einbettung des halbeinfachen Teils des Zentrums in den absoluten Torus $${\op{Z}}(G)_{\op{s}}\hra H$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der absolute maximale Torus, Variante}] Sei $G$ eine zusammenh"angende algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper. Hier kommt noch eine alternative Konstruktion des absoluten maximalen Torus: Wir betrachten die Menge aller Paare $(z,B)$ mit $B\subset G$ einer Borel'schen und $z\in B/B_{\op{u}}$ einem Element, modulo der "Aquivalenzrelation, die durch das simultane Konjugieren mit Elementen von $G$ gegeben wird. Da wegen der Starrheit von Tori die Operation von $B$ durch Konjugation auf $ B/B_{\op{u}}$ trivial ist, liefert die Abbildung $[t,T,B]\mapsto [tB_{\op{u}},B]$ einen Isomorphismus zwischen den entsprechenden Mengen von "Aquivalenzklassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der quasiaffine Grundraum}] Gegeben $G \supset B \supset B_{\op{u}}$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe, eine Borel'sche und ihr unipotentes Radikal interessieren wir uns f"ur das $B/B_{\op{u}}$-Hauptfaserb"undel\label{bas} $$G /B_{\op{u}} \ra G/B$$ Es ist sogar ein Hauptfaserb"undel f"ur den absoluten maximalen Torus $H$, den wir von rechts in der Weise operieren lassen k"onnen, da"s auf der Faser "uber $gB$ das $z\in gBg^{-1}/gB_{\op{u}}g^{-1}$ zum Repr"asentanten der Gestalt $(z,gBg^{-1})$ von rechts operiert.\label{K1} In manchen Quellen hei"st $G /B_{\op{u}}$ {\bf the basic affine space}.\index{basic affine space} Er ist jedoch nur eine quasiaffine Variet"at, im Fall der $\op{SL}(2;k)$ etwa das Komplement $k^2\backslash 0$ des Ursprungs in der Ebene, so da"s ich vorschlage, die Variet"at $G /B_{\op{u}}$ auf Deutsch den {\bf quasiaffinen Grundraum}\index{quasiaffiner Grundraum} zu nennen.\index{Grundraum!quasiaffiner} Etwas kanonischer kann man, nach einem hier unsch"adlichem "Ubergang zum reduktiven Quotienten $G/{\op{R}}_{\op{u}}G$, die Variet"at $\mathcal Y$ aller Paare $(B,\chi)$ betrachten mit $B$ einer Borelschen von $G$ und $\chi$ einem nichtausgearteten Charakter von $\op{Lie}B_{\op{u}}$. Ein Charakter hei"st dabei nichtausgeartet genau dann, wenn er auf keinem Wurzelraum zu einer einfachen Wurzel verschwindet. Wir erhalten so ein kanonisches $(H/{\op{Z}}(G))$-Hauptfaserb"undel $\mathcal Y \ra \mathcal B$ und f"ur jede Borel'sche $B$ konstruiert man leicht einen nat"urlichen Isomorphismus $G/B_{\op{u}}{\op{Z}}(G)\sira \mathcal Y$, der mit den Projektionen beider Seiten und dem kanonischen Isomorphismus $G/B\sira \mathcal B$ ein kommutatives Diagramm $$ \begin{array}{ccc} G/B_{\op{u}}{\op{Z}}(G)&\sira& \mathcal Y\\ \da&&\da\\ G/B&\sira& \mathcal B \end{array}$$ bildet. Das $H$-Hauptfaserb"undel $G/B_{\op{u}} \ra G/B$ selbst entzieht sich jedoch der \glqq Kanonifizierung\grqq. Ich h"atte gerne einmal ein Lemma mit Beweis, das diese vage Erkenntnis pr"azisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} Das Hauptfaserb"undel aus \ref{K1} liefert eine kanonische Konstruktion von $\cal{O} (\lambda)$ f"ur alle $\lambda \in \Bbb{Z} R$, da diese aus dem Fall mit trivialem Zentrum erhalten werden k"onnen. Ich h"atte gerne eine kanonische Konstruktion in voller Allgemeinheit. Gibt es zum Beispiel eine kanonische Wurzel $\cal{O} (-\rho)$ des kanonischen B"undels $\cal{O}(-2\rho)$? Es scheint, da"s es das nicht gibt. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe, so erhalten wir eine exakte Sequenz \begin{equation*} {\op{Z}} (G) \hookrightarrow G \rightarrow \op{Aut} G \sra \op{Aut} (H, {\op{R}}^+ ) \end{equation*} mit der Abbildung $g \mapsto \op{int} g$ links und der offensichtlichen Abbildung rechts. Mit $\op{Aut} (H, {\op{R}}^+)$ sind hier Automorphismen von $H$ gemeint, die ${\op{R}}^+$ stabilisieren, aber nicht notwendig punktweise festhalten. Man erkl"art die Gruppe der {\bf "au"seren Automorphismen}\index{"au"serer Automorphismus}\index{Automorphismus!"au"serer} einer Gruppe $G$ als den Quotienten $\op{Out} G \pdef \op{Aut} G / \op{int} (G)$.\index{Out@$\op{Out} G$ "au"sere Automorphismen} Unsere Sequenz liefert also einen Isomorphismus $\op{Out} G\sira \op{Aut} (H, {\op{R}}^+ )$. W"ahlen wir ein Paar $T \subset B$ bestehend aus einem maximalen Torus und einer Borel'schen dar"uber und w"ahlen wir dar"uberhinaus in jeder Wurzelgruppe $G^\alpha\cong k$ zu einer einfachen Wurzel ein vom neutralen Element verschiedenes Element $x_\alpha\in G^\alpha$, so erhalten wir eine Spaltung der Surjektion \begin{equation*} \op{Aut} G \twoheadrightarrow \op{Out} G \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jedem Automorphismus $\sigma$ von $(H, {\op{R}}^+ )$ derjenige Automorphismus von $G$ zugeordnet wird, der auf $T$ so operiert, da"s die durch $B$ festgelegte kanonische Identifikation $T\sira H$ "aquivariant ist, und f"ur den dar"uber hinaus gilt $x_\alpha\mapsto x_{\sigma(\alpha)}$ f"ur alle einfachen Wurzeln $\alpha\in {\op{R}}^+ $. Nat"urlich mu"s nun noch gezeigt werden, da"s solch ein Automorphismus auch wirklich existiert. \end{Bemerkungl} \subsection{Hauptfaserb"undel und assoziierte Faserb"undel} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine algebraische Gruppe. Unter einem {\bf Zariski-lokal trivialen algebraischen $G$-Linkshauptfaserb"undel} verstehen wir einen Morphismus $\pi : E \ra X$ von einer $G$-Variet"at $E$ in eine weitere Variet"at $X$ wird "uberdeckt durch offene Teilmengen $U \co X$ derart, da"s es $G$-"aquivariante Isomorphismen $\pi^{-1} (U) \sira G\times U $ gibt f"ur die\label{aLHF} $$\begin{array}{ccc} \pi^{-1}(U) & \sira &G\times U \\ \pi \downarrow \;\;& & \;\;\;\downarrow \op{pr}_{2}\\ U &=& U \end{array}$$ kommutiert. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben $k$ ein Kring und $A$ ein $k$-Kring % ist in dieser Notation also $\op{Der}_k(A,A)$ unser $\op{Der}_kA$ aus % \ref{Deri}. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung von Derivationen}] % $(k=\bar k)$. Im folgenden soll erkl"art werden, % inwiefern es sinnvoll ist, f"ur jede affine $k$-Variet"at $X$ % den $\mathcal O(X)$-Modul\index{T@$\mathcal T(X)$ algebraische Vektorfelder auf $X$} % $ \op{Der}_k \mathcal O(X)$ % als den Raum der % \glqq algebraischen Vektorfelder\grqq\ auf $X$ % anzusehen und f"ur $x\in X$ % den Raum % $ \op{Der}_k (\mathcal O(X),\mathcal O(X)/\mathcal I(x))$ % als den \glqq Tangentialraum\grqq\ von $X$ an der Stelle $x\in X$. % \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma} % Seien $k$ ein Kring, $A$ ein $k$-Kring und % $\frak m\subset A$ ein Ideal mit der Eigenschaft, da"s die Komposition % der nat"urlichen Abbildungen $k\ra A\ra A/\frak m$ ein Isomorphismus ist. % So induziert die Restriktion auf $\frak m\subset A$ gefolgt von % obigem Isomorphismus $k\sira A/\frak m$ einen Isomorphismus % $$\op{Der}_k(A,A/\frak m)\sira \op{Hom}_k(\frak m/\frak m^2,k)$$ % \end{Lemma} % \begin{Bemerkungl}%[\textbf{Tangentialraum ohne Derivationen}]$(k=\bar k).$ % Gegeben % eine bepunktete $k$-Pr"avariet"at $(X,x)$ % und $\frak m_x\subset \mathcal O_{X,x}$ der Kern des % Auswertungshomomorphismus erhalten wir auf diese % Weise insbesondere einen Isomorphismus von $k$-Vektorr"aumen % \begin{equation*} % {\op{T}}_x X \overset{\sim}{\rightarrow} (\frak m_x/\frak m_x^2)^\ast % \end{equation*} % % Gegeben eine affine bepunktete $k$-Variet"at $(X,x)$ % % erhalten wir ebenso einen Vektorraumisomorphismus % % \begin{equation*} % % \op{Der}_k (\mathcal O(X) , k_x) \overset{\sim}{\rightarrow} % % \end{equation*} % \end{Bemerkungl} % \begin{proof} % Gegeben eine Derivation $\partial$ und $f,g\in \frak m$ % haben wir sicher $\partial (fg)=0$ in $A/\frak m$. % Jede Derivation verschwindet also auf $\frak m^2$, und so erhalten wir % zumindest eine Abbildung wie im Lemma. Wegen $A=k1\oplus \frak m$ % und $\partial(1)=0$ ist diese Abbildung injektiv. % Sei $A\ra \frak m$ die zu unserer Zerlegung geh"orige Projektion. % Wenn wir zeigen k"onnen, % da"s das Vorschalten der Komposition % $A\ra \frak m\ra \frak m/\frak m^2$ % aus jeder $k$-linearen Abbildung $\partial:\frak m/\frak m^2\ra k$ % eine Derivation $D:A\ra A/\frak m$ macht, sind wir fertig. % Seien dazu $f,g\in \frak m$ und $\alpha,\beta\in k$ gegeben. % Es gilt zu zeigen % $$D ((f+\alpha)(g+\beta))=(f+\alpha) D(g+\beta) + (g+\beta) D(f+\alpha)$$ % Das bedeutet umgeformt die Gleichheit % $\partial( \alpha g+ \beta f+fg)=\alpha \partial g +\beta \partial f$, % und die ist offensichtlich wegen $\partial( fg)=0$. % \end{proof} \begin{Bemerkunge} Man sollte zeigen k"onnen, da"s die Eigenschaft, universell final zu sei, \'etale lokal ist. Dann sollte jeder Quotient linearer algebraischer Gruppen universell final sein, da ein Komplement der Liealgebra der herausgeteilten Gruppe einen \'etale lokalen Schnitt liefert. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Induktion f"ur Variet"aten mit Gruppenwirkung}] Seien eine algebraische Gruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe $B \As G$ gegeben. Es gebe eine lokal abgeschlossene Teilmenge $N \subset G$ derart, da"s die Multiplikation eine offene Einbettung $N \times B \hookrightarrow G$ liefert. So ist f"ur jede $B$-Variet"at $X$ das balancierte Produkt $$G \times_{/B} X$$ mit seiner finalen Struktur zur Projektion $G\times X \rightarrow G \times_{/B} X$ eine $G$-Variet"at und diese Projektion ist stabil offenfinal. \end{Proposition} \begin{Proposition}[\textbf{Induktion f"ur Variet"aten mit Gruppenwirkung}] Seien eine algebraische Gruppe mit einer abgeschlossenen Untergruppe $B \As G$ gegeben. Es gebe eine lokal abgeschlossene Teilmenge $N \subset G$ derart, da"s die Multiplikation eine offene Einbettung $N \times B \hookrightarrow G$ liefert. So ist f"ur jede $B$-Variet"at $X$ das balancierte Produkt $$G \times_{/B} X$$ mit seiner finalen Struktur zur Projektion $G\times X \rightarrow G \times_{/B} X$ eine $G$-Variet"at und diese Projektion ist stabil offenfinal. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung der Existenz von $N$ ist nat"urlich h"a"slich. Sie ist aber in der Praxis oft erf"ullt und erm"oglicht einen angenehm kurzen Beweis. \emph{Die Existenz von $N$ impliziert, da"s $G\sra G/B$ ein Zariski-lokal triviales $B$-Hauptfaserb"undel ist. Man sollte besser gleich f"ur alle Zariski-lokal trivialen $B$-Hauptfaserb"undel $P\sra Y$ und eine beliebige $B$-Variet"at $Z$ das balancierte Produkt $P\times_{/B} Z$ konstruieren wie Weidner in seiner Diss.} \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur alle $g \in G$ erhalten wir ein kartesisches Diagramm von Mengen \begin{displaymath} \xymatrix{\kart gN \times B \times X\ar[d]\ar[r] & G \times X\ar[d]\\ gN \times X \ar[r] & G\times_{/B} X } \end{displaymath} Nach Annahme ist die obere Horizontale eine offene Einbettung von $k$-Variet"aten. Versehen wir beide Mengen der unteren Horizontale mit der finalen Struktur f"ur die Vertikalen, so mu"s auch die untere Horizontale eine offene Einbettung von $k$-geringten R"aumen sein. Die finale Struktur auf $gN \times X$ ist aber die ges"attigte Produktstruktur, folglich ist $G \times_{/B} X$ eine Pr"avariet"at. Ebenso sieht man an obigen Diagrammen, da"s unsere Projektion $G \times X \rightarrow G \times_{/B} X$ stabil offenfinal ist. Damit zeigt das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \times (G \times X)\ar[d] \ar[r] & G \times X \ar[d]\\ G \times (G \times_{/B} X) \ar[r] & G \times_{/B} X } \end{displaymath} wegen der Finalit"at der linken Vertikale, da"s $G \times_{/B} X$ eine $G$-Pr"avariet"at ist. Um schlie"slich die Separiertheit zu zeigen, m"ussen wir nur pr"ufen, da"s das Urbild der Diagonale von $G \times_{/B} X$ in $(G \times X) \times (G\times X )$ abgeschlossen ist, also die Menge aller Tupel $(g_1, x_1, g_2, x_2)$, f"ur die es ein $b \in B$ gibt mit $(g_1,x_1) = (g_2b^{-1}, bx_2)$. Diese Menge kann aber auch beschrieben werden als das Urbild von $B \times \Delta_X$ unter dem Morphismus $G \times X \times G \times X \rightarrow G \times X \times X$, $ (g_1, x_1, g_2, x_2) \mapsto (g^{-1}_2 g_1, g_1x_1, g_2 x_2)$. Dieses Urbild schlie"slich ist abgeschlossen, wenn die Diagonale $\Delta_X \subset X \times X$ es ist. \end{proof} \subsection{Grothendieck-Springer-Aufl"osung} \begin{Bemerkungl} Seien $\frak{g}\supset \frak{h}$ eine komplexe halbeinfache Liealgebra mit einer Cartan'schen Unteralgebra. Der Chevalley-Isomorphismus liefert uns eine Einbettung $\cal{O}(\frak{h})^{W} \hookrightarrow \cal{O}(\frak{g})$ und somit einen Morphismus $\chi:\frak{g} \ra \frak{h}/W$, den man auch beschreiben kann durch die Abbildungsvorschrift $x \mapsto \overline{Gx} \cap \frak{h}$. Im Fall der Gruppe aller invertierbaren quadratischen Matrizen kann er identifiziert werden mit der Abbildung, die jeder Matrix ihr charakteristisches Polynom zuordnet. Er f"ugt sich ein in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \times_{/B} \mathfrak{b}\ar[d]_\vartheta \ar[r] & \mathfrak{g}\ar[d]^\chi\\ \mathfrak{h} \ar[r] & \;\;\mathfrak{h}/W } \end{displaymath} Die linke Vertikale soll die durch die "ubliche Projektion $\frak{b} \sra \frak{h}$ mit Kern $[\frak{b},\frak{b}]$ induzierte Abbildung sein. Sie faktorisiert in die Faserung $G \times_{/B} \mathfrak{b}\sra G \times_{/B} \mathfrak{h}$ mit Faser $[\frak{b},\frak{b}]$ gefolgt vom Isomorphismus $G \times_{/B} \mathfrak{h}\sira (G/B)\times \mathfrak{h}$, da die adjungierte Operation von $B$ auf $\frak{b}/[\frak{b},\frak{b}]$ trivial ist, gefolgt von der Projektion auf die zweite Komponente. Die obere Horizontale bildet $(g, x)$ ab auf $gx$ und hei"st die \defind{simultane Aufl"osung von Grothendieck}, da f"ur alle $t \in \frak{h}$ jeweils $\vartheta^{-1} (t)$ eine Aufl"osung der Faser $\chi^{-1} (Wt)$ des Bildes von $t$ ist. Im Fall $t=0$ ist speziell $\chi^{-1} (0) = \cal{N} \subset \frak{g}$ der nilpotente Kegel. Die durch die Killingform gegebene Identifikation $\frak{g}\sira \frak{g}^\ast$ induziert f"ur $\frak{n}=[\frak{b},\frak{b}]$ eine Identifikation $\frak{n}\sira (\frak{g}/\frak{b})^\ast$ und die Komposition $$\vartheta^{-1} (0) \sira G \times_{/B} \frak{n} \sira G \times_{/B} (\frak{g}/\frak{b})^{\ast} \sira {\op{T}}^{\ast} (G/B)$$ liefert einen Isomorphismus der Nullfaser von $\vartheta$ mit dem Kotangentialb"undel der Fahnenmannigfaltigkeit. Diese Abbildung hei"st die \defind{Springer-Aufl"osung} des nilpotenten Kegels. Mit $X$ der Fahnenmannigfaltigkeit alias die Variet"at aller Borel'schen Untergruppen von $G$ haben wir auch ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} G \times_{/B} \frak{g}&\sira& G/B\times \frak{g}&\sira& X\times \frak{g}\\ \cup&&\cup&&\cup\\ G \times_{/B} \frak{n}&\sira &\{(gB, x)\mid (\op{Ad}g)^{-1}(x)\in \frak{n} \}&\sira& \{(S,x)\mid x\in \op{Lie}S\} \end{array} $$ mit den Identifikationen $[g,x]\mapsto (gB,(\op{Ad}g)(x))$ und $(gB,x)\mapsto (gBg^{-1},x)$ in der oberen Horizontalen. Die Faser der Springerabbildung $G \times_{/B} \frak{n}\ra \mathcal N$ alias {\bf Springerfaser}\index{Springerfaser} "uber einem nilpotenten Element der Liealgebra wird so identifiziert mit der Nullstellenmenge des diesem Element entsprechenden Vektorfelds auf der Fahnenmannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \subsection{Weylgruppen-Darstellungen nach Springer} \emph{Noch ungeputzt.} Sei $\mathfrak g$ eine halbeinfache komplexe Lie-Algebra, $\mathfrak b \subset \mathfrak g$ eine Borel'sche und $\mathfrak h \subset \mathfrak b$ eine Cartan'sche. Unter dem durch die Killingform gegebenen Isomorphismus $\mathfrak g \overset{\sim}{\rightarrow} \mathfrak g^\ast$ entspricht der nilpotente Kegel $\mathcal N \subset \mathfrak g$ der Nullstellenmenge $\mathcal N^\ast \subset \mathfrak g^\ast$ aller $G$-invarianten regul"aren Funktionen ohne konstanten Term \begin{equation*} \mathcal N^\ast = Z ((\mathcal O (\mathfrak g^\ast)^G)^+) \end{equation*} alias der Nullfaser der Projektion $\mathfrak g^\ast \rightarrow \mathfrak g^\ast {\sslash} G$ im Sinne der geometrischen Invariantentheorie \ref{??}. Wir betrachten nun das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}^\ast (G/B)\ar[d]^\pi \ar@{=}[r] & G\times_{/B} \mathfrak b^{\perp}\ar[d] \ar@{^{(}->}^j[r] & G \times_{/B} \mathfrak n^\perp \ar[d]^\phi &\ar@{_{(}->}[l] G \times_{/B} \mathfrak n_{rs}^\perp \ar[d]^{\phi_{rs}} & \ar[l]_-\sim G \times_{/T} \mathfrak h_{rs}^\ast \ar[d]\\ \mathcal N^\ast \ar@{=}[r] &\mathcal N^\ast \ar@{^{(}->}^i[r] & \mathfrak g^\ast &\ar@{_{(}->}[l] \mathfrak g^\ast_{rs} & \ar[l]_-\sim G \times_{/{\op{N}}_{G}(T)} \mathfrak h^\ast_{rs} } \end{displaymath} Die Abbildung $\phi_{rs}$ ganz rechts ist offensichtlich eine Galois-"Uberlagerung mit Galois-Gruppe $W = {\op{N}}_G (T) / T$. Man zeigt nun, da"s $\phi$ im Sinne von \ref{??} eine kleine Abbildung ist und $\pi$ im Sinne von \ref{??} eine halbkleine Abbildung. Ersteres sagt uns \begin{equation*} \phi_\ast \underline{G \times_{/B} \mathfrak n^\perp} \left[ \dim (G \times_{/B} \mathfrak n^\perp) \right] \cong \mathcal I \mathcal C (\mathfrak g^\ast ; \mathcal L) \end{equation*} f"ur $\mathcal L$ das lokal konstante System $\mathcal L = \phi_{rs \ast} \underline{G \times _{/B} \mathfrak n_{rs}^\perp}$. Auf diesem lokal konstanten System operiert die Weylgruppe $W$, und damit operiert sie auch auf $\mathcal I \mathcal C (\mathfrak g^\ast ; \mathcal L)$ und a forteriori auf $\phi_\ast \underline{G \times _{/B} \mathfrak n^\perp}$. Diese Operation induziert eine Operation auf dem Halm am Ursprung $i^\ast \phi_\ast \underline{G \times _{/B} \mathfrak n^\perp} \in \op{Der} (\mathcal N^\ast)$, der mit eigentlichem Basiswechsel identifiziert werden kann mit $\pi_\ast j^\ast \underline{G \times _{/B} \mathfrak n^\perp} = \pi_\ast \underline{{\op{T}}^\ast G/B}$. Da andererseits $\pi$ halbklein und eigentlich ist, und da des weiteren alles $G$-"aquivariant ist, existiert eine Zerlegung \begin{equation*} \pi_\ast \underline{{\op{T}}^\ast G/B} \left[ \dim {\op{T}}^\ast G/B\right] \cong \bigoplus_{(Y,\tau)} \mathcal I \mathcal C (Y,\tau)^{m (Y,\tau)} \end{equation*} wo $Y$ "uber die $G$-Bahnen von $\mathcal N^\ast$ l"auft und $\tau$ "uber die irreduziblen $G$-"aquivarianten lokal konstanten Systeme auf $Y$ und $m (Y,\tau) \geq 0$ die jeweilige Vielfachheit ist. Man kann hoffentlich pr"ufen, da"s beim weiter auf einen Punkt herunterdr"ucken die "ubliche Weylgruppenoperation auf der Kohomologie \begin{equation*} H^\bullet (G/B ; \mathbb Q) = H^\bullet ({\op{T}}^\ast (G/B); \mathbb Q) \end{equation*} entsteht, die bekanntlich ein freier Modul vom Rang Eins "uber dem Gruppenring $\mathbb Q W$ ist. Andererseits erkennt man geometrisch $\sum m (Y,\tau)^2 = |W|$. Das zeigt, da"s unsere $W$-Operation einen Isomorphismus \begin{equation*} \DQ W \overset{\sim}{\rightarrow} \op{End} \left(\bigoplus_{(Y,\tau)} \mathcal I \mathcal C (Y,\tau)^{m (Y,\tau)}\right) \end{equation*} definiert. \subsection{Zu algebraischen Gruppen} \nichtfinal{Nicht jetzt, noch verlegen!} \begin{Bemerkungl} Seien $G\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. Die vorhergehende "Ubung \ref{AAKAWu} liefert uns eine linksexakte Sequenz ${\op{Z}}(G) \hra T \ra \prod_{\alpha\in R} k^\times$ mit dem Auswerten aller Wurzeln als rechtem Pfeil. Gehen wir zu den Charaktergruppen "uber, so erhalten wir mit \ref{UZRi} und \ref{ExTT} eine Sequenz $$ \langle R\rangle\hra \frak{X}(T) \sra \frak{X}({\op{Z}}(G)) $$ mit Komposition Null, die in der Mitte nur im Fall der Charakteristik Null exakt sein mu"s und f"ur die im Fall einer Charakteristik $p>0$ in der Mitte der Subquotient ${\op{ker}}/{\op{im}}$ eine endliche $p$-Gruppe ist. Genau dann hat also unsere Gruppe $G$ triviales Zentrum, wenn $\frak{X}(T)/\langle R\rangle$ im Fall der Charakteristik Null trivial und im Fall einer Charakteristik $p>0$ eine $p$-Gruppe ist, und genau dann ist das Zentrum diskret, wenn das von den Wurzeln erzeugte Gitter endlichen Index in der Charaktergruppe hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}$(k=\bar k)$ Gegeben eine halbeinfache Liealgebra in Charakteristik Null hatten wir bereits gezeigt, da"s die adjungierte Gruppe $G\pdef (\op{Aut}\mathfrak g)^\circ$ die Liealgebra $\mathfrak g$ hat. Eine M"oglichkeit, hier die universelle "Uberlagerung zu konstruieren, geht wie folgt: Man betrachtet die Darstellungen $L(\varpi_1),\ldots, L(\varpi_r)$ von $\mathfrak g$ zu den fundamentalen h"ochsten Gewichten und die Darstellung $\delta=n(1)\varpi_1+\ldots+n(r)\varpi_r$ der h"ochsten Wurzel und die Darstellung $T\pdef L(\varpi_1)^{\otimes n(1)}\otimes\ldots\otimes L(\varpi_r)^{\otimes n(r)}$ von $\mathfrak g$ und ihre eindeutige Zerlegung $T=\mathfrak g\oplus C$. Dann betrachten wir die Homomorphismen von algebraischen Gruppen $$\op{GL}(L(\varpi_1))\times\ldots\times \op{GL}(L(\varpi_r)) \ra \op{GL}(T)\leftarrow \op{GL}(\mathfrak g)\times \op{GL}(C) \ra \op{GL}(\mathfrak g)\leftarrow G$$ und bilden den Kolimes dieses Diagramms, also die Menge aller Tripel $(f,g,h)$ von Elementen der ersten, dritten und letzten Gruppe, die jeweils auf dasselbe Element in der zweiten und vierten Gruppe abgebildet werden. ???????? \end{Bemerkungl} Eine zusammenh"angende kommutative algebraische Gruppe "uber einem (algebraisch abgeschlossenen) K"orper $k$ positiver Charakteristik $p>0$ ist isomorph zu $(k^n,+)$ f"ur ein $n\in\DN$ genau dann, wenn sie den Exponenten $p$ hat. Vergleiche Springer, Humphreys und die Zitate dort. \begin{Bemerkungl} Gegeben eine rationale endlichdimensionale Darstellung $V$ einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe $G$ "uber einem algebraischen K"orper und $\varphi \in V^\ast$ ein zyklischer Vektor der kontragredienten Darstellung besteht das Komplement von $\bigcup_{g \in G} g (\op{ker} \varphi)$ genau aus den von Null verschiedenen Vektoren der eindimensioanlen Unterdarstellungen. In der Tat sagt ein Satz von Rosenlicht, auch gezeigt von Broughton, da"s jede regul"are Funktion ohne Nullstellen auf einer derartigen Gruppe bereits bis auf skalares Vielfaches ein Charakter ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bahnen in einer Darstellung und ihrer Dualen}] \nichtfinal{(Wohin?)} Seien "uber einem K"orper $k=\bar k$ der Charakteristik Null $G$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe und $V$ eine endlichdimensionale Darstellung von $G$. Hat $G$ in $V$ endlich viele Bahnen, so hat $G$ auch in der kontragredienten Darstellung $V^\ast$ nur endlich viele Bahnen und die Zahl der jeweiligen Bahnen stimmt "uberein. Um das zu zeigen, betrachte man die abgeleiteten Operationen der Liealgebra auf $V$ und $V^*$ sowie die Variet"at $$Z=Z(V)\pdef \{(v,\xi)\in V\times V^*\mid \langle Xv,\xi\rangle =0\quad\forall X\in\mathfrak g\}$$ Unter der "ublichen Identifikation $V\times V^*\sira {\op{T}}^*V$ entspricht $Z$ der Vereinigung der Konormalenb"undel \nichtfinal{(Gibts hier noch nicht!)} an die Bahnen von $G$ in $V$. Nun ist zumindest anschaulich klar, da"s $Z$ genau dann dieselbe Dimension hat wie $V$, wenn $G$ nur endlich viele Bahnen in $V$ hat, und da"s dann die Abschl"usse von deren Konormalenb"undeln genau die irreduziblen Komponenten von $Z$ sind. Offensichtlich liefert aber das Vertauschen der Komponenten unserer Paare einen Isomorphismus $Z(V)\sira Z(V^*)$. Die Behauptung folgt. \end{Bemerkunge} \subsection{Polarzerlegung} \begin{Satz}[\textbf{Polarzerlegung}] Sei $G/\DR$ eine geometrisch zusammenh"angende reelle reduktive algebraische Gruppe und $G(\DR)$ die Liegruppe ihrer reellen Punkte. So besitzt $G(\DR)$ maximal kompakte Untergruppen und je zwei von ihnen sind konjugiert. Ist weiter $K\subset G(\DR)$ eine maximal kompakte Untergruppe und $\mathfrak p\subset \mathfrak g$ ein $K$-stabiles Komplement von $\mathfrak k$, so induziert die Abbildung $(x,A)\mapsto x\op{exp}(A)$ einen Diffeomorphismus $$K\times \mathfrak p\sira G(\DR)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In der Literatur wird diese Aussage meist als die {\bf Cartan-Zerlegung}\index{Cartan-Zerlegung} zitiert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Noch ausschreiben. \end{proof} \subsection{Schrott zu Bilder und Fasern von Morphismen}\label{kBFM} \nichtfinal{Besser mit \eref{BFM}{KAG} \glqq flach impliziert offen\grqq\ und \eref{genFL}{KAG} \glqq generische Flachheit\grqq.} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ hei"st wie in \eref{soff}{KAG} eingef"uhrten Terminologie {\bf produktfest offen}, wenn f"ur jede affine Variet"at $Z$ der induzierte Morphismus $X\times Z\ra Y\times Z$ offen ist alias offene Teilmengen auf offene Teilmengen abbildet. Das gilt dann sogar f"ur jede beliebige Variet"at $Z$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus von Variet"aten $X\ra Y$ hei"st {\bf dominant},\index{dominant} wenn sein Bild dicht ist in $Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{BiOn}%\label{BiO} Gegeben $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen Varit"aten gibt es eine offene nichtleere Teilmenge $U \co X$ derart, da"s die Restriktion von $\varphi$ auf $U$ produktfest offen ist. \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} In diesem Abschnitt werden wir die etwas technische Eigenschaft, produktfest offen zu sein, noch nicht ben"otigen. Bei der Diskussion von Quo\-tien\-ten wird sie jedoch eine wesentliche Rolle spielen. Sobald man mit Schemata arbeitet, wird man statt mit dem Begriff \glqq produktfest offen\grqq\ besser mit dem Begriff der \glqq Flachheit\grqq\ operieren. Damit kann man sogar zeigen, da"s es f"ur einen beliebigen Morphismus von Variet"aten $\varphi : X \ra Y$ eine offene dichte Teilmenge $V\co Y$ gibt derart, da"s die Restriktion $\varphi^{-1}(V)\ra V$ produktfest offen ist. \nichtfinal{Vergleiche ??} \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Nach "Ubergang zu geeigneten offenen Teilmengen d"urfen wir $X$ und $Y$ affin annehmen. Gilt unsere Proposition f"ur $\varphi : X \ra Y$ und $\psi : Y \ra Z$, so auch f"ur die Komposition $\psi \circ \varphi : X \ra Z$. Es reicht also, die Proposition zu zeigen im Fall $ \cal{O}(X)=\cal{O}(Y) [f]$ f"ur ein $f \in \cal{O}(X)$ alias $\mathcal O(Y)[T]\sra \mathcal O(X)$ durch $T\mapsto f$. Ist $f$ nicht Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms mit Koeffizienten in $\cal{O}(Y)$, so gilt $\mathcal O(Y)[T]\sira \mathcal O(X)$ und wir haben ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} X & \sira & Y \times k\\ \varphi \downarrow\;\;\;& &\;\;\;\; \downarrow \op{pr}_{1}\\ Y &=&Y \end{array}$$ Die Projektionen von einem Produkt sind jedoch stets offen und sogar produktfest offen, da das Bild einer Teilmenge $M\subset Y\times k$ ja beschrieben werden kann als Vereinigung der \glqq horizontalen Schnitte\grqq\ $M_\lambda\pdef\{y\in Y\mid (y,\lambda)\in M\}$. Ist $f$ dahingegen Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms mit Koeffizienten in $\cal{O}(Y)$, so ist $f$ algebraisch "uber dem Quotientenk"orper $\cal{M}(Y)=\op{Quot} \cal{O}(Y)$ und hat ein Minimalpolynom $P \in \cal{M}(Y)[T]$, das per definitionem normiert ist. Sicher finden wir einen \glqq Hauptnenner der Koeffizienten unseres Polynoms\grqq\ $s \in \cal{O}(Y)$ mit $s \neq 0$ und $s P \in \cal{O}(Y)[T]$. Betrachten wir nun die Lokalisierungen $ \cal{O}(Y)_s$ und $\cal{O}(X)_s$, die durch formales Invertieren von $s$ entstehen, so ist die durch $T\mapsto f$ gegebene Surjektion sogar eine Bijektion $\cal{O}(Y)_s [T]/\langle P\rangle \sira \cal{O}(X)_s$, denn sie wird eine Injektion nach dem Invertieren aller von Null verschiedenen Elemente von $\cal{O}(Y)$ und die linke Seite ist frei "uber $\cal{O}(Y)_s$. Damit erhalten wir f"ur $V \pdef Y_s= \{y\in Y \mid s(y) \neq 0\} \co Y$ ein kommutatives Diagramm \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRSu}\\[4mm] \noindent Dieses Bild stellt einen Morphismus affiner Variet"aten $\varphi:X\ra Y$ dar im Fall, da"s Fall, da"s $\cal{O}(X)$ "uber $\cal{O}(Y)$ erzeugt ist von einem Element $f$, das nicht algebraisch unabh"angig ist "uber $\cal{O}(Y)$. Hier etwa ist $Y$ die gezackte Linie und $X$ besteht aus den geschwungenen Linien, und $\varphi$ meint die Restriktion der orthogonalen Projektion. Wenn wir zu einer geeigneten nichtleeren offenen Teilmenge $V=\{s\neq 0\}\co Y$ "ubergehen, so k"onnen wir sogar annehmen, da"s $\varphi^{-1}(V)$ identifiziert werden kann mit der Nullstellenmenge $U\As V\times k$ eines normierten Polynoms $P\in \cal{O}(V)[T]$. \end{Bild} $$\begin{array}{ccccccc} X &\lco & \varphi^{-1}(V) & \overset{\sim}{\leftarrow}& \{(y,\lambda) \mid P(y,\lambda)=0\} & \hookrightarrow &V \times k\\ \varphi \downarrow \;\;\;& &\varphi\downarrow \;\;\;& & \downarrow & & \;\;\;\;\;\downarrow \op{pr}_{1}\\ Y & \lco & V & = &V&=& V \end{array}$$ Hier haben wir $P(T) = T^{n}+ a_{n-1}T^{n-1} + \ldots a_{1} T+ a_{0}$ aufzufassen als Funktion auf $V \times k$ vermittels $P (y,\lambda) = \lambda^{n} + a_{n-1}(y)\lambda^{n-1}+\ldots + a_{1}(y) \lambda + a_{0} (y)$. Es reicht also, die Aussage der Proposition f"ur die zweite Vertikale von rechts zu zeigen. Damit reicht es zu zeigen, da"s f"ur jede affine Variet"at $V$ und jedes normierte Polynom $P \in \cal{O} (V) [T]$ die Projektion auf den ersten Faktor eine offene Abbildung \begin{displaymath} W \pdef\{ (y,\lambda) \in V \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; V \end{displaymath} induziert. Dazu m"ussen wir nur zeigen, da"s f"ur jedes $Q \in \cal{O} (V \times k) =\cal{O} (V)[T]$ das Bild von $\{(y,\lambda) \in W \mid Q (y,\lambda)\neq 0\}$ offen ist. Dieses Bild besteht aus allen $y \in V$ derart, da"s nicht alle Nullstellen von $P (y,T)$ auch Nullstellen von $Q (y,T)$ sind. Das sind aber nun offensichtlich genau alle $y\in V$ derart, da"s im Polynomring $k[T]$ das Polynom $P (y,T)$ kein Teiler von $Q (y,T)^{n}$ ist, f"ur $n$ wie oben der Grad in $T$ des Polynoms $P(y,T)$. Teilen wir im Polynomring $\cal{O} (V)[T]$ das Polynom $Q ^{n}$ mit Rest $R$ durch das normierte Polynom $P$, so sind das genau diejenigen $y$, f"ur die der Rest $R(y,T)$ bei $y$ nicht das Nullpolynom ist. Diese Bedingung an $y$ ist nun aber offensichtlich offen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{"uber Bilder von Morphismen}] Bei einem Morphismus von Variet"aten umfa"st das Bild stets eine offene%\label{BMDn} dichte Teilmenge seines Abschlusses.\label{BMDna}%\label{BMD} \end{Korollar} \begin{proof} Sei $\varphi : X \ra Y$ unser Morphismus. Es gilt zu zeigen, da"s $\varphi (X)$ eine offene dichte Teilmenge von $\overline{\varphi (X)}$ umfa"st. Wir d"urfen dazu $X$ irreduzibel annehmen und $Y$ durch $\overline{\varphi (X)}$ ersetzen. Nach \eref{BIr}{KAG} ist dann auch $Y$ irreduzibel und $\varphi : X \ra Y$ ist ein dominanter Morphismus von irreduziblen Variet"aten. Das Korollar folgt dann direkt aus \ref{BiOn}, indem wir in den dortigen Notationen $\varphi(U)\co Y$ betrachten. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Das folgt direkt aus dem Faktorisierungssatz \eref{FaSa}{KAG}. \end{proof} \nichtfinal{Jeder Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Variet"aten derart, da"s $\mathcal O(X)$ ein flacher $\mathcal O(Y)$-Modul ist, ist offen. Beweis: \eref{BFM}{KAG}.} %\begin{proof} % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $Y$ affin oder auch nur separiert. Dann ist der Graph von %$\varphi$ eine abgeschlossene irreduzible Teilmenge $\Gamma (\varphi) \As X \times Y$ und nach % \eref{KDSa}{KAG} \nichtfinal{(DAS IST ABER FALSCH!)} % gilt f"ur jede irreduzible Komponente $X'$ %des Schnitts $\Gamma (\varphi) \cap (X \times \{y\}) \cong %\varphi^{-1} (y)$ %die Absch"atzung %\begin{equation*} % \op{kdim} (X\times Y) - \op{kdim} X' \leq 2 \op{kdim} (X\times Y) - 2\op{kdim} (X)\qedhere %\end{equation*} %\end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{"uber generische Fasern von Morphismen}] Gegeben ein dominanter Morphismus von irreduziblen Varit"aten $\varphi : X \ra Y$ gibt es eine offene nichtleere Teilmenge $U \co X$ derart, da"s f"ur jede abgeschlossene irreduzible Teilmenge $Y'\As Y$ und jede irreduzible Komponente $U'\As U$ ihres Urbilds unter der Einschr"ankung $\varphi : U \ra Y$ unseres Morphismus gilt\label{FaMo} $$\op{cokdim}(U'\subset U)=\op{cokdim}(Y'\subset Y)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} In \eref{MMK}{KAG} zeigen wir, da"s es sogar $V\co Y$ gibt derart, da"s f"ur die Restriktion $\varphi^{-1}(V)\ra V$ das Urbild jeder irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge aus irreduziblen Komponenten derselben Kodimension besteht. Genauer zeigen wir das dort nur f"ur $X$ und $Y$ affin, aber es folgt leicht im allgemeinen. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Im wesentlichen gilt es, den Beweis von \ref{BiOn} nocheinmal durchzugehen und zu pr"ufen, da"s er auch diese Aussage liefert. Die einzige Schwierigkeit hierbei ist dann, die Aussage zu zeigen im Fall einer affinen Variet"at $V$ mit einem normierten Polynom $P \in \cal{O} (V) [T]$ f"ur die Projektion auf den ersten Faktor \begin{displaymath} W =\{ (y,\lambda) \in V \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; V \end{displaymath} In diesem Fall folgt unsere Aussage jedoch aus der anschlie"senden Proposition \ref{EGFF} und der Invarianz der Krulldimension unter ganzen Kringerweiterungen \eref{KDRE}{KAG} sogar f"ur $U=W$. In der Tat entspricht eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Y'\As V$ einem Primideal $\mathfrak p\subset \mathcal O(V)$, eine Komponente ihres Urbilds einem minimalen Primideal $\mathfrak q\subset\mathcal O(W)$ "uber $\mathfrak p$, und die anschlie"sende Proposition liefert eine ganze Kringerweiterung $\mathcal O(V)/\mathfrak p\hra \mathcal O(W)/\mathfrak q$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{EGFF} Seien $A$ ein Kring und $P \in A [T]$ ein normiertes Polynom. Seien $\mathfrak p \in \op{Spec} A$ ein Primideal und $\mathfrak q \in \op{Spec} (A [T]/ \langle P \rangle )$ minimal unter den Primidealen von $A [T]/ \langle P \rangle $, die $\mathfrak p$ umfassen. So gilt \begin{equation*} \mathfrak q \cap A = \mathfrak p \end{equation*} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In \eref{Hpi}{KAG} zeigen wir dasselbe allgemeiner f"ur eine beliebige modulfreie Kringerweiterung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $\mathfrak p =0$ und $A$ einen Integrit"atsbereich annehmen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir weiter $P$ nichtkonstant annehmen. Dann betrachten wir das kommutative Diagramm $$ \begin{array}{ccc} A [T] / \langle P \rangle &\hra& (\op{Quot} A) [T]/\langle P \rangle\\ \cup & &\cup \\ A &\hra &\op{Quot} A \end{array} $$ Im Quotienten oben rechts sind die minimalen Primideale die Hauptideale $\langle \bar Q_i \rangle$ f"ur $Q_i$ die irreduziblen Faktoren des Polynoms $P$ in $(\op{Quot} A) [T]$. Offensichtlich besteht der Schnitt der $\langle \bar Q_i \rangle $ aus nilpotenten Elementen. Die minimalen Primideale von $A[T] / \langle P \rangle$ m"ussen dann nach \eref{MiNi}{KAG} alle unter den Schnitten der $\langle \bar Q_i \rangle$ mit diesem Teilring zu finden sein. Also schneidet jedes minimale Primideal von $A [T]/\langle P \rangle$ den Teilring $A$ im Nullideal. \end{proof} \subsection{Noch mehr Schrott} \begin{Satz}[\textbf{Lieklammer des Endomorphismenmonoids}] Gegeben ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $V$ ist die kanonische Identifikation ${\op{T}}_1\op{End}(V)\sira \op{End}V$, $X\mapsto\bar{X}$ ein Isomorphismus von Liealgebren $$ \op{Lie}(\op{End}V)\sira \frak{gl}(V)$$ f"ur die Liealgebrenstruktur \glqq durch den Kommutator der linksinvarianten Fortsetzungen\grqq\ aus \ref{TGLV} links und die Liealgebrenstruktur \glqq durch den Kommutator\grqq\ aus \ref{glV} rechts. \end{Satz} \begin{proof} F"ur jede von Null verschiedene Linearform $\mu:V\ra k$ liefert die sogenannte Matrixkoeffizientenabbildung eine Einbettung $c:V\hra \mathcal O(\op{End}V)$ durch $c(v)\pdef c_{\mu,v}$ mit $c_{\mu,v}(x)\pdef\mu(xv)$. Sie ist ein Homomorphismus von Darstellungen, wenn wir $\mathcal O(\op{End}V)$ als die rechtsregul"are Darstellung von $G$ interpretieren, in Formeln also mit $\rho(g)f= g f$ gegeben durch $( g f)(x)=f(xg)$. F"ur $X\in\op{Lie}(\op{End}V)$ folgen aus \ref{DHDH} und \ref{dRd} die Identit"aten $$c(\bar{X}v)=c(Xv)=Xc(v)=\grave X c(v)$$ alias $ c\bar{X}=\grave X c$. Es folgt $c[\bar X,\bar Y]=[\grave X,\grave Y]c$ und f"ur das $Z\in {\op{T}}_1(\op{End}V)$ mit $\grave Z=[\grave X,\grave Y]$ gilt folglich $$c\bar Z=\grave Z c=[\grave X,\grave Y]c=c[\bar X,\bar Y]$$ Wegen der Injektivit"at von $c$ folgt schlie"slich $\bar Z=[\bar X,\bar Y]$ in $\frak{gl}(V)$. \end{proof} \subsection{Diagonalisierbare Gruppen, ALT} \begin{Definition} Eine affine algebraische Gruppe hei"st {\bf diagonalisierbar}, wenn sie als abgeschlossene\index{diagonalisierbar!algebraische Gruppe} Untergruppe in eine Gruppe von Diagonalmatrizen eingebettet werden kann. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine affine algebraische Gruppe "uber $k=\bar k$ hei"st also in Formeln diagonalisierbar, wenn sie isomorph ist zu einer abgeschlossenen Untergruppe $D \As T_n$ der Gruppe $T_n \As \op{GL} (n; k)$ der Diagonalmatrizen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine affine algebraische Gruppe "uber $k=\bar k$ hei"st ein {\bf Torus}\index{Torus!algebraische Gruppe}, wenn sie isomorph ist zu einem $T_n$ oder gleichbedeutend zu einem endlichen Produkt von Kopien von $k^\times$. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine algebraische Gruppe $G$ "uber $k=\bar k$ nennt man einen Homomorphismus von algebraischen Gruppen $G\ra k^\times$ in die multiplikative Gruppe des Grundk"orpers auch einen {\bf Charakter} oder genauer einen {\bf multiplikativen algebraischen Charakter von $G$}. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine algebraische Gruppe $G$ "uber $k$ wird die Menge\index{X@$\frak{X} (G)$ Charaktere!von algebraischer Gruppe} \begin{equation*} \frak{X} (G) \pdef \op{GrpVar} (G, k^\times) \end{equation*} aller ihrer Charaktere selbst eine Gruppe $\frak{X} (G)$ unter der punktweisen Multiplikation von Funktionen. Sie hei"st die {\bf Charaktergruppe von $G$}.\index{Charaktergruppe!einer algebraischen Gruppe} Man notiert die Verkn"upfung von $\frak{X} (G)$, obwohl sie eine Multiplikation von Funktionen ist, meist additiv. Ich verwende in diesem Kontext die beiden Notationen\index{+@$\dotplus$ Summe in Charaktergruppen} $$(\chi\dotplus \psi)(g)=(\chi+ \psi)(g) \pdef \chi (g) \psi (g) \quad \text{ f"ur alle } g \in G\text{ und } \chi, \psi \in \frak{X} (G).$$ Die Vorschrift $\mathfrak X$ ist in offensichtlicher Weise ein Funktor $\mathfrak X:\op{GrpVar}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$. Ich nenne diesen Funktor den {\bf Charakterfunktor}.\index{Charakterfunktor} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Notation}] Die allgemein "ubliche Notation $\chi+ \psi$ ist insofern gef"ahrlich, als nun $\chi+ \psi$ einerseits als eine Summe von $k$-wertigen Funktionen auf $G$ verstanden werden kann, die ihrerseits kein Charakter mehr w"are, andererseits aber auch als Summe in der Charaktergruppe. Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. Ich versuche zumindest zu Beginn, durch die Notation $\chi\dotplus \psi$ zu verdeutlichen, wenn die Summe in der Charaktergruppe gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktere von $k^\times$}] Nach "Ubung \ref{CHh} erhalten wir einen Gruppenisomorphismus $\DZ\sira\frak{X} (k^\times)$ durch die Vorschrift $n\mapsto (z\mapsto z^n)$. Eine elegante L"osung f"ur diese "Ubung besteht im "ubrigen in der Bemerkung, da"s es nicht mehr Charaktere geben kann, da die fraglichen Funktionen bereits eine $k$-Basis von $\mathcal O(k^\times)\cong k[t,t^{-1}]$ bilden und da unsere Charaktere nach Artin \eref{LUC}{AL} linear unabh"angig sein m"ussen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktere von Produkten}] Gegeben algebraische Gruppen $G,H$ liefern die Restriktionen unter den Einbettungen $G\hra G\times H$, $g\mapsto (g,1)$ und $H\hra G\times H$, $h\mapsto (1,h)$ einen Gruppenisomorphismus $$\frak{X} (G\times H)\sira \frak{X} (G)\times \frak{X} (H)$$ Die Umkehrabbildung wirft $(\chi,\xi)$ auf den Charakter $\chi\boxtimes\xi: (g,h)\mapsto \chi(g)\xi(h)$. Insbesondere erhalten wir einen Gruppenisomorphismus $$\DZ^n\sira \frak{X} (T_n)$$ durch $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mapsto \lambda_1\varepsilon_1+\ldots+\lambda_n\varepsilon_n$ mit $\varepsilon_i:T_n\ra k^\times$ der Projektion auf den $i$-ten Diagonaleintrag.\label{BgfA} \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Funktionen auf diagonalisierbaren Gruppen}] Gegeben eine diagonalisierbare affine algebraische Gruppe $D$ "uber $k=\bar k$ gilt:\label{LKJA} \begin{enumerate}\item Die Charaktergruppe $\frak{X} (D)$ ist endlich erzeugt und die Charaktere bilden eine $k$-Basis des Rings $\mathcal O(D)$ der regul"aren Funktionen. \item Ein Homomorphismus $K\ra D$ von diagonalisierbaren algebraischen Gruppen ist genau dann eine abgeschlossene Einbettung, wenn er auf den Charakteren eine Surjektion $\mathfrak X(D)\sra \mathfrak X(K)$ induziert. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Satz "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren \eref{LUC}{AL} ist $\frak{X} (D) \subset \mathcal O (D)$ stets eine "uber $k$ linear unabh"angige Teilmenge. Im Fall $D = T_n$ haben wir bereits in \ref{Bgf} einen Gruppenisomorphismus $\mathbb Z^n \sira \frak{X} (T_n)$ hergeleitet. Insbesondere ist $\frak{X} (T_n)$ eine endliche erzeugte abelsche Gruppe und eine Basis von $\mathcal O(T_n)\cong k[X^\alpha\mid \alpha\in\DZ^n]$. Ist $D \As T_n$ eine abgeschlossene Untergruppe, so zeigt die Surjektion $\mathcal O (T_n) \twoheadrightarrow \mathcal O (D)$, da"s die Bilder der Charaktere aus $\frak{X} (T_n)$ bereits $\mathcal O (D)$ als $k$-Vektorraum erzeugen. Wir folgern, da"s $\frak{X} (D)$ ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem von $\mathcal O(D)$ sein mu"s, in anderen Worten eine Basis. Wir folgern zus"atzlich, da"s auch das Bild von $\frak{X} (T_n)\ra \frak{X} (D)$ ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem von $\mathcal O(D)$ sein mu"s, in anderen Worten stimmt also dieses Bild mit $\frak{X} (D)$ "uberein und $\frak{X} (D)$ ist endlich erzeugt. Wir zeigen noch den zweiten Teil. Ist $K\As D$ eine abgeschlossene Untergruppe, so folgt aus $\frak{X} (T_n)\sra \frak{X} (D)$ und $\frak{X} (T_n)\sra \frak{X} (K)$ bereits $\frak{X} (D)\sra \frak{X} (K)$. Induziert umgekehrt ein Morphismus eine Surjektion auf den Charakteren, so nach dem ersten Teil auch auf den regul"aren Funktionen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der diagonalisierbaren Gruppen}] F"ur einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik Null liefert\label{diaGA} der Funktor $\frak{X}$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Diagonalisierbare affine}\\ \text{algebraische Gruppen "uber } k \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte abelsche}\\ \text{Gruppen} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] D & \mapsto & \frak{X} (D) \end{array} \end{displaymath} Im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers positiver Charakteristik $p > 0$ liefert derselbe Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Diagonalisierbare affine}\\ \text{algebraische Gruppen "uber } k \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte abelsche} \\ \text{Gruppen ohne $p$-Torsion} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] D & \mapsto & \frak{X} (D) \end{array} \end{displaymath} Der quasiinverse Funktor ordnet in beiden F"allen einer endlich erzeugten abelschen Gruppe $X$ die Gruppe $\op{Max} (kX)$ der maximalen Ideale des Gruppenrings $kX$ zu, aufgefa"st als kommutative Hopf-Algebra mit der Komultiplikation $$ \begin{array}{lccc} \Delta :& kX &\rightarrow& k X \otimes k X\\[2mm] &\chi& \mapsto& \chi \otimes \chi \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Unser quasiinverser Funktor oben liefert f"ur jeden Kring $k$ einen volltreuen Funktor \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Hopfalgebren}\\ \text{"uber } k \end{array} \right\} & \leftarrow &\left\{ \begin{array}{c} \text{Abelsche} \\ \text{Gruppen} \end{array} \right\}\\[4mm] kX & \leftmapsto & X \end{array} \end{displaymath} Er landet in den kommutativen kokommutativen Hopfalgebren und bildet endlich erzeugte abelsche Gruppen auf ringendliche Hopfalgebren ab. Er liefert weiter eine "Aquivalenz zwischen endlich erzeugten abelschen Gruppen und solchen Hopfalgebren "uber $k$, die isomorph sind zu Quotienten von Laurentpolynomen in mehreren Ver"anderlichen $k[t_1^{\pm 1},\ldots,t_n^{\pm 1}]$. In der Sprache der Gruppenschemata bedeutet das insbesondere f"ur jeden algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Diagonalisierbare affine}\\ \text{Gruppenschemata "uber } k \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte}\\ \text{abelsche Gruppen} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] D & \mapsto & \frak{X} (D) \end{array} \end{displaymath} \end{Bemerkungw} \begin{proof} Im Fall $\op{char} k =p > 0$ folgt aus $\chi (g)^p = 1 \; \forall g \in D$ aufgrund der Eindeutigkeit $p$-ter Wurzeln bereits $\chi (g) =1 \; \forall g \in D$, also hat in diesem Fall $\frak{X} (D)$ keine $p$-Torsion. Das zeigt schon mal, da"s $\frak{X} $ einen Funktor zwischen den im Satz beschriebenen Kategorien liefert. Es mu"s nun noch gezeigt werden, da"s er eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Da die Charaktergruppe $\frak{X} (D)$ nach unserem Lemma \ref{LKJ} bereits den Ring der regul"aren Funktionen $\mathcal O(D)$ als $k$-Vektorraum erzeugt, ist unser Funktor treu, als da hei"st injektiv auf Morphismenr"aumen. Da"s er surjektiv ist auf Isomorphieklassen, mag man aus seiner Vertr"aglichkeit mit Produkten zusammen mit der Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen \eref{zk}{LA2} folgern: Jede endliche zyklische Gruppe ohne $p$-Torsion erh"alt man ja nach \eref{MZ}{LA2} als Gruppe von Einheitswurzeln. Daf"ur, da"s unser Funktor surjektiv ist auf Morphismen, gebe ich zwei Beweise. Der Erste geht davon aus, da"s das klar ist f"ur Morphismen nach $k^\times$, denn die Identit"at auf $k^\times$ ist ein Erzeuger $\chi\in \mathfrak X(k^\times)\cong \DZ$ und f"ur eine beliebige algebraische Gruppe $G$ ist die Komposition $$\mathfrak X(G)=\op{GrpVar}(G,k^\times)\ra \op{Ab}(\mathfrak X(k^\times),\mathfrak X(G))\sira \mathfrak X(G)$$ der durch den Charakterfunktor gegebenen Abbildung mit dem durch Auswerten an $\chi$ gegebenen Isomorphismus die Identit"at auf $\mathfrak X(G)$. Da alle Beteiligten mit Produkten beziehungsweise Koprodukten entsprechend vertr"aglich sind, mu"s der Charakterfunktor dann auch Bijektionen $$\op{GrpVar}(G,T_n)\ra \op{Ab}(\mathfrak X(T_n),\mathfrak X(G))$$ induzieren. Gegeben eine diagonalisierbare Gruppe mit einer abgeschlossenen Einbettung $D \hookrightarrow T_n$ k"onnen wir unsere Surjektion $\frak X (T_n) \twoheadrightarrow \frak X (D)$ aus dem Beweis von \ref{LKJ} fortsetzen zu einer rechtsexakten Sequenz $\mathbb Z^m \rightarrow \mathbb Z^n \twoheadrightarrow \frak X (D)$. Sie mu"s von einer Sequenz von algebraischen Gruppen $D\hra T_n\stackrel{\varphi}{\ra} T_m$ herkommen, bei der die Verkn"upfung der triviale konstante Gruppenhomomorphismus ist. Man sieht unmittelbar, da"s $D \rightarrow \ker \varphi$ einen Isomorphismus auf Charakteren induziert und folglich nach \ref{LKJ} selbst ein Isomorphismus ist. F"ur jede weitere diagonalisierbare, ja jede beliebige algebraische Gruppe $G$ betrachten wir nun das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & \op{GrpVar} (G,D) \ar[d]\ar[r] & \op{GrpVar} (G,T_n) \ar[r]\ar[d]_\wr & \op{GrpVar} (G, T_m)\ar[d]_\wr\\ 0 \ar[r] & \op{Ab} (\frak X (D), \frak X (G)) \ar[r]& \op{Ab} (\frak X (T_n), \frak X (G)) \ar[r] & \op{Ab} (\frak X (T_m), \frak X (G)) } \end{displaymath} mit exakten Zeilen und folgern unschwer, da"s auch die erste Vertikale ein Isomorphismus sein mu"s. Eleganter ist jedoch der zweite Beweis der Surjektivit"at auf Morphismen mithilfe der Konstruktion eines quasiinversen Funktors. Da nach unserem Lemma $\frak{X} (D)$ sogar eine $k$-Basis von $\mathcal O(D)$ ist, liefert das Auswerten formaler Linearkombinationen einen nat"urlichen Isomorphismus $k\frak{X} (D)\sira \mathcal O(D)$ von $k$-Vek\-tor\-r"au\-men. Fassen wir $k\frak{X} (D)$ als Gruppenring der Gruppe $\frak{X} (D)$ auf, erkl"aren in anderen Worten das Produkt zweier Charaktere als $\chi \xi=(\chi\dotplus \xi)$, so ist das sogar ein Ringisomorphismus. Erkl"aren wir zus"atzlich eine Komultiplikation auf $k\frak{X} (D)$ durch $\chi\mapsto \chi\otimes\chi$, so ist unser Isomorphismus auch ein Isomorphismus von Koalgebren und damit von kommutativen Hopfalgebren. Umgekehrt k"onnen wir f"ur jede abelsche Gruppe $X$ den Gruppenring $kX$ zu einer Hopfalgebra machen, indem wir eine Komultiplikation auf $kX$ erkl"aren durch $\chi\mapsto \chi\otimes\chi$ f"ur alle $\chi\in X$. Ist $X$ endlich ezeugt, so ist $kX$ ringendlich "uber $k$. Hat $X$ keine $p$-Torsion, so gibt es wegen der bereits gezeigten Surjektivit"at auf Isomorphieklassen von Objekten eine diagonalisierbare Gruppe $D$ mit $X\cong \frak X(D)$ und folglich ist $kX\cong \frak X(D)\cong \mathcal O(D)$ nilpotentfrei. Mithin haben wir einen Funktor $X\mapsto \op{Max}kX$ in die Gegenrichtung konstruiert nebst einer Isotransformation $\tau_D:D\sira \op{Max}k\frak X(D)$. Da unser Funktor in der Gegenrichtung offensichtlich auch injektiv ist auf Morphismen, mu"s unser urspr"unglicher Funktor volltreu gewesen sein. \end{proof} \subsection{Separabelsach} \begin{Bemerkungl} Unter dem Separabilit"atsgrad $[L:K]_{\op{s}}$ einer algebraischen K"orpererweiterung verstehen wir wie \eref{SepG}{AL} den Grad "uber $K$ der maximalen separablen Teilerweiterung. \end{Bemerkungl} % \begin{Proposition}[\textbf{"uber Kardinalit"aten von Fasern}] %Ist $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen %Variet"aten gleicher Dimension und %$r\pdef [\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]_{\op{s}}$ der Separabilit"atsgrad, %so gibt es eine offene nichtleere Teilmenge %$V \co Y$ derart, da"s $\varphi : \varphi^{-1}(V) \ra V$ %produktfest offen ist und jede nichtleere %Faser dieses Morphismus\label{Karf} %genau $r$ Elemente hat. %\end{Proposition} %\begin{Bemerkunge} %Im Rahmen des Beweises werden wir sogar ein $V$ wie in der %Proposition finden, das affin %ist und ein affines Urbild hat.\label{OAFF} %\end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{"uber Kardinalit"aten von Fasern}] Ist $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen Variet"aten gleicher Dimension und $r\pdef [\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]_{\op{s}}$ der Separabilit"atsgrad, so gibt es eine offene nichtleere Teilmenge\label{OAFF} $V \co Y$ derart, da"s $\varphi : \varphi^{-1}(V) \ra V$ produktfest offen und endlich ist und da"s jede Faser dieses Morphismus\label{Karf} genau $r$ Elemente hat. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Sei in unserer Proposition \ref{Karf} zus"atzlich $V$ affin und normal und dar"uberhinaus $\mathcal M(X)/\mathcal M(Y)$ Galois. Betrachten wir den ganzen Abschlu"s $A\subset \mathcal M(X)$ von $\mathcal O(V)$ in $\mathcal M(X)$, so ist $A$ nach \eref{EgaA}{KAG} modulendlich "uber $\mathcal O(V)$ und die Galoisgruppe $\Gamma$ operiert darauf mit Invariantenring $A^\Gamma=\mathcal O(V)$. Andererseits ist auch $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))$ modulendlich und mithin ganz "uber $\mathcal O(V)$, folglich landet die nat"urliche Einbettung $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))\hra \mathcal M(X)$ in $A$. Punktez"ahlen zeigt, da"s die so erhaltene Einbettung $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))\hra A$ eine Bijektion auf den Maximalspektren induzieren mu"s, und der Hauptsatz von Zariski \ref{ZHSSS} zeigt dann weiter, da"s sie ein Isomorphismus $$\mathcal O(\varphi^{-1}(V))\sira A$$ sein mu"s. In anderen Worten stabilisiert $\Gamma$ also $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))$ und liefert eine fixpunktfreie Operation auf $\varphi^{-1}(V)$ und $\varphi$ induziert einen Isomorphismus $$\varphi^{-1}(V)/\Gamma\sira V$$ \end{Bemerkungw} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Gegeben ein Quotient $G\ra G/H$ mit $G/H$ irreduzibel finden wir, etwa mit lokalen Parametern, $X\As G$ irreduzibel mit $X\ra G/H$ ein dominanter separabler Morphismus von Variet"aten gleicher Dimension. Mit \ref{Karf} d"urfen wir annehmen, indem wir $X$ notfalls etwas verkleinern, da"s $X$ affin ist und $X\ra G/H$ produktfest offen mit affinem Bild $Y\co G/H$ und $X\ra Y$ endlich mit genau $r\pdef[\mathcal M(X):\mathcal M(G/H)]$ Punkten in jeder Faser. Die normale H"ulle unserer K"orpererweiterung ist dann eine endliche Erweiterung $M/\mathcal M(X)$ mit $M/\mathcal M(G/H)$ Galois und a forteriori $M/\mathcal M(X)$ Galois. Betrachten wir den ganzen Abschlu"s $B\subset M$ von $\mathcal O(X)$ und setzen $Z\pdef \op{Max}(B)$ und wenden unsere Resultate auf $Z\ra X$ an, so sollte folgen, da"s $Z\ra X$ und $Z\ra Y$ beides Quotienten affiner Variet"aten nach Operationen endlicher Gruppen sind. Jetzt sollte folgen, da"s das auch in $$Z\times H\ra X\times H\ra \pi^{-1}(V)\co G$$ f"ur den ersten Morphismus und die Verkn"upfung gilt, wo der zweite Morphismus von der Multiplikation in $G$ induziert wird. Damit will ich schlie"slich zeigen, da"s f"ur jede $H$-Variet"at $S$ der $k$-geringte Raum $G\times_{/H}S$ mit seiner finalen Struktur eine Variet"at ist, indem ich $\pi^{-1}(V)\times_{/H}S$ mit dem Quotienten von $Z\times S$ nach einer endlichen Gruppe identifiziere. K"onnte das ein Student ausschreiben? \end{Bemerkungl} } \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} ALLES SINNLOS! Sei $\varphi:X\ra Y$ ein surjektiver Morphismus von irreduziblen affinen Variet"aten "uber $k=\bar k$. Seien $\mathcal M(Y)\subset \mathcal M(X)\subset N$ die Quotientenk"orper und die normale H"ulle. Wir nehmen an, $\mathcal M(Y)\subset \mathcal M(X)$ sei eine endliche separable K"orpererweiterung, so da"s $\mathcal M(Y)\subset N$ eine Galoiserweiterung ist. Bezeichne $\Gamma$ die Galoisgruppe. Wir bezeichnen mit $$B\pdef \left[\bigcup_{\gamma\in \Gamma} \gamma\mathcal O(X)\right]$$ das Ringerzeugnis in $N$ der Galoiskonjugierten von $\mathcal O(X)$. Nat"urlich gilt $\op{Quot}B=N$ und $B$ ist $\mathcal O(Y)\subset B^\Gamma\subset B \supset \mathcal O(X)$. Ist $Y$ normal, so folgt $\mathcal O(Y)=\mathcal M(Y)\cap \mathcal O(X)$ aus \ref{ZhS}. %und damit $\mathcal O(Y)=B^\Gamma$. Nach \eref{Noe}{KAG} ist $B$ ganz "uber $B^\Gamma$. F"ur den ganzen Abschlu"s $C\subset N$ von $\mathcal O(Y)$ gilt also $C\subset B$. Nach \eref{EgaA}{KAG} oder alternativ auch \eref{EGAv}{KAG} ist $C$ modulendlich "uber $\mathcal O(Y)$. \end{Bemerkungl}} \begin{proof} Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $Y$ affin annehmen. W"ahlen wir eine endliche offene affine "Uberdeckung $X=X_1\cup\ldots\cup X_n$ und bezeichnen mit $U$ den Schnitt der $X_i$ und finden ein $V\co Y$, das es f"ur alle $X_i\ra Y$ tut und f"ur das zus"atzlich gilt $\varphi^{-1}(V)\cap X_i\subset U$, so tut es besagtes $V$ auch f"ur $X$. Damit folgt die Proposition aus dem anschlie"senden technischen Lemma \ref{affa}, das eine etwas st"arkere Aussage unter der Zusatzannahme formuliert, da"s unsere Variet"aten affin sind. \end{proof} % \begin{Lemma} % Seien $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen % affinen Variet"aten gleicher Dimension, $r\pdef %[\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]_{\op{s}}$ der % Separabilit"atsgrad, und $U\co X$ %eine offene nichtleere Teilmenge. So gibt es eine % offene nichtleere Teilmenge $V \co Y$ derart, da"s $\varphi : % \varphi^{-1}(V) \ra V$ produktfest offen ist und jede nichtleere Faser dieses % Morphismus genau $r$ Elemente hat und da"s zus"atzlich gilt\label{affa} %$\varphi^{-1}(V)\subset U$. % \end{Lemma} \begin{Lemma} Seien $\varphi : X \ra Y$ ein dominanter Morphismus von irreduziblen affinen Variet"aten gleicher Dimension, $r\pdef [\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]_{\op{s}}$ der Separabilit"atsgrad und $U\co X$ eine offene nichtleere Teilmenge. So gibt es eine offene nichtleere Teilmenge $V \co Y$ derart, da"s $\varphi : \varphi^{-1}(V) \ra V$ produktfest offen und endlich ist und jede Faser dieses Morphismus genau $r$ Elemente hat und da"s zus"atzlich gilt\label{affa} $\varphi^{-1}(V)\subset U$. \end{Lemma} % \begin{Bemerkunge} % Sicher k"onnen wir $V$ verkleinern zu einer %offenen affinen Teilmenge der Gestalt $V=Y_s$ mit $s\in\mathcal O(Y)$ nicht %Null, und dann ist sein Urbild in $X$ %die offene affine Teilmenge $X_s$. Damit folgt %dann auch oben unsere Erg"anzung \ref{OAFF}. % \end{Bemerkunge} \begin{proof} Der Vorteil der etwas technischen Formulierung in unserem Lemma liegt darin, da"s die Aussage damit \glqq stapelbar\grqq\ wird: Gilt unser Lemma f"ur zwei Morphismen $\varphi:X\ra Y$ und $\psi:Y\ra Z$ von affinen Variet"aten, so auch f"ur deren Verkn"upfung. Es reicht also, den Fall $\cal{O}(X)=\cal{O}(Y)[f]$ zu betrachten, und wir k"onnen zus"atzlich annehmen, da"s entweder $f$ separabel ist "uber $\cal{M}(Y)$ oder, im Fall positiver Charakteristik $p>0$, da"s gilt $f\not\in \cal{M}(Y)$ aber $f^p\in \cal{M}(Y)$. Zun"achst aber k"onnen wir beide F"alle noch zusammen behandeln. Das Minimalpolynom $P$ von $f$ hat Koeffizienten in einer Lokalisierung von $\cal{O}(Y)$ nach einem von Null verschiedenen Element $s$. K"onnen wir unser Lemma f"ur $X_s\ra Y_s$ zeigen, so folgt es f"ur den urspr"unglichen Morphismus. So landen wir beim Fall einer affinen irreduziblen Variet"at $Y$ mit einem normierten Polynom $P \in \cal{O} (Y) [T]$, das irreduzibel ist in $\cal{M} (Y) [T]$, und unser Morphismus wird die Projektion auf den ersten Faktor \begin{displaymath} X =\{ (y,\lambda) \in Y \times k\mid P (y,\lambda)=0\} \;\ra\; Y \end{displaymath} Ich zeige zun"achst, da"s es hier f"ur jede nichtleere offene Teilmenge $U\co X$ eine nichtleere offene Teilmenge $V\co Y$ gibt mit $\varphi^{-1}(V)\subset U$. In der Tat d"urfen wir sicher annehmen, da"s $U$ das Komplement der Nullstellenmenge eines Polynoms $Q \in \cal{O} (Y) [T]$ ist. Da $U$ nicht leer sein soll, kann $Q$ nicht auf ganz $X$ verschwinden. Also hat $Q$ einen von Null verschiedenen Leitkoeffizienten, und wir d"urfen, indem wir sonst unser $s$ von oben mit diesem Leitkoeffizienten multiplizieren, ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit auch $Q$ normiert annehmen. Die Punkte $y\in Y$ mit $\varphi^{-1}(y)\not\subset U$ sind genau die Nullstellen der Resultante $R\in\mathcal O(Y)$ von $P$ und $Q$ aus \eref{ReSU}{AL}. Ist diese Resultante nicht Null, so nehmen wir das Komplement ihrer Nullstellenmenge als unser $V$ und sind fertig. W"are aber die Resultante die Null von $\mathcal O(Y)$, so w"are sie auch die Null von $\mathcal M(Y)$. Mindestens eine Nullstelle von $P\in \cal{M} (Y) [T]$ in seinem Zerf"allungsk"orper w"are also auch Nullstelle von $Q$. Da aber $P$ als normiertes irreduzibles Polynom das Minimalpolynom einer jeden seiner Nullstellen ist, existiert dann nach \eref{Irr}{AL} ein Polynom $D\in \cal{M} (Y) [T]$ mit $DP=Q$. Das Teilen mit Rest von $Q$ durch das normierte Polynom $P$ f"uhrt aber zu demselben Ergebnis unabh"angig davon, ob wir Koeffizienten in $\cal{M} (Y)$ oder $\cal{O} (Y)$ durchf"uhren, und damit erhielten wir einen Widerspruch zu unserer Annahme $U\neq \emptyset$. Also ist unsere Resultante $R$ nicht die Nullfunktion, und nehmen wir als $V$ das Komplement ihrer Nullstellenmenge, so gilt $\varphi^{-1}(V)\subset U$. Jetzt erinnern wir, da"s wir uns ganz zu Anfang schon auf die Alternative $P=T^p-f^p$ oder $P$ separabel zur"uckgezogen hatten. Im ersten Fall ist der Separabilit"atsgrad Eins und jede Faser "uber $V$ besteht aus genau einem Punkt. Im zweiten Fall ist der Separabilit"atsgrad $r$ der Grad von $P$, die Diskriminante von $P$ ist nicht die Null von $\mathcal O(V)$, und jede Faser "uber dem Komplement der Nullstellenmenge der Diskriminante besteht aus genau $r$ Punkten. Da"s $\varphi:\varphi^{-1}(V)\ra V$ produktfest offen ist, hatten wir bereits im Beweis von \ref{BiOn} gesehen. Da"s es endlich ist, folgt aus der Konstruktion. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{BirGa} Ist ein Homomorphismus von irreduziblen algebraischen Gruppen birational, so ist er ein Isomorphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder dominante Morphismus von irreduziblen Variet"aten $\varphi : X \ra Y$ besitzt Fasern, die eine irreduzible Komponente der Dimension $\op{kdim}X-\op{kdim}Y$ haben.\label{FasDn} Hinweis: \ref{FaMo}. \end{Ubung} \subsection{Schrott} \begin{Beispiel}[\textbf{Algebraische infinitesimale Operation}] \nichtfinal{"Uberholt von \ref{infO}, das auch die Existenz linksinvarianter Fortsetzungen mit beweist.} Gegeben $G{\ssearrow} X$ eine Variet"at mit der Operation eines algebraischen Monoids\label{AiO} ist der Morphismus $G\times X\ra X$ gegeben durch $(g,x)\mapsto gx$ final, da er einen Schnitt besitzt, vergleiche \eref{QQHcA}{KAG}. F"ur jedes rechtsinvariante Vektorfeld $v\in \textup{\rm L\'{\i}e} G$ hat also das Feld $(v,0)$ auf $G\times X$ im Sinne von "Ubung \ref{VVCF} genau einen Vorw"artsverwandten $w$ auf $X$ und der ist ein algebraisches Vektorfeld. Explizit kann $w$ beschrieben werden durch ${\op{d}}_e(\cdot x):v_e\mapsto w_x$ f"ur das Differential ${\op{d}}_e(\cdot x):{\op{T}}_eG\ra {\op{T}}_xX$ an $(\cdot x):G\ra X$ gegeben durch $g\mapsto gx$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Jeder surjektive \'etale Morphismus %mit Fasern konstanter Kardinalit"at sollte universell final sein. Um das zu zeigen, sollte man wie folgt vorgehen k"onnen: (1) Galoiserweiterung, Ring unten Invarianten von Galoisgruppe seines ganzen Abschlusses oben, ok; (2) Offene Teilmenge oben, die surjektiv auf unten geht, mit Galoisgruppe auch klar; (3) Beliebigen Fall durch Bilden der normalen H"ulle auf diesen Fall zur"uckf"uhren. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Zusammenh"angende eindimensionale Gruppen}]$(k=\bar k)$. Jede zusammenh"angende eindimensionale affine algebraische Gruppe ist kommutativ\label{ZEGr} und isomorph zur multiplikativen Gruppe $k^\times$ oder zur additiven Gruppe $k$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Es gibt eine ganze einparametrige Familie eindimensionaler zusammenh"angender algebraischer Gruppen, die nicht affin sind: Die sogenannten {\bf elliptische Kurven}.\index{elliptische Kurve} \end{Bemerkunge} \begin{proof} Sei $G$ unsere Gruppe. Gegeben $g \in G$ betrachten wir den Morphismus $\varphi_g : G \rightarrow G, x \mapsto x g x^{-1}$. Nach Satz \ref{BMDn} "uber Bilder von Morphismen haben wir $\overline{\varphi_g (G)} = \{ g \}$ oder $\overline{\varphi_g (G)} = G$. Wenn wir den zweiten Fall zum Widerspruch f"uhren, ist die Kommutativit"at gezeigt. Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $G \As \op{GL} (n, k)$. Das charakteristische Polynom w"are konstant auf $\varphi_g (G)$, also auf $G$, also w"are $G$ unipotent, also aufl"osbar, also h"atten wir $(G,G) \neq G$. Da aber $(G,G) \subset G$ eine abgeschlossenen Untergruppe ist, folgt $(G,G) =1$ und $G$ ist doch kommutativ. Nach \ref{JZK} besteht $G$ dann entweder aus halbeinfachen oder aus unipotenten Elementen. Im ersten Fall ist $G$ diagonalisierbar nach "Ubung \ref{KHDi} und unser Resultate "uber diagonalisierbare Gruppen zeigen unmittelbar $G \cong k^\times$. Sonst ist $G$ unipotent. Nach \ref{DUGR} k"onnen wir $G$ dann als abgeschlossene Untergruppe in eine Gruppe $H$ aller unipotenten oberen Dreiecksmatrizen vorgegebener Gr"o"se einbetten. Wir finden leicht eine Filtrierung $H = H(0) \supset H(1) \supset \ldots \supset H(r) =1$ durch Normalteiler von $H$ mit sukzessiven Subquotienten die additive Gruppe $(k,+)$. Herunterschneiden liefert eine Filtrierung $ G \supset G(1) \supset \ldots \supset G(r) =1$ durch Normalteiler von $G$, deren sukzessive Subquotienten injektive Gruppenhomomorphismen \begin{equation*} G(i) / G (i+1) \hookrightarrow k \end{equation*} zulassen. Da $G$ zusammenh"angend ist, m"ussen auch alle diese Gruppenhomomorphismen zusammenh"angendes Bild haben. QUATSCH! MUSS NOCH REPARIERT WERDEN! Wir erhalten so einen bijektiven Gruppenhomomorphismus \begin{equation*} \varphi: G \rightarrow k \end{equation*} Dieser Gruppenhomomorphismus mu"s kein Isomorphimus von Variet"aten sein. Jedoch mu"s nach \ref{Karf} die zugeh"orige K"orpererweiterung $\mathcal M(G)/\mathcal M(k)$ endlich und rein inseparabel sein, also nach \eref{RIS}{AL} isomorph zur K"orpererweiterung von $\mathcal M(k)= k(T)$, die durch Adjunktion einer $p^r$-ten Wurzel der Variablen $T$ alias Identit"at entsteht. Da $G$ glatt ist und mithin $\mathcal O(G)$ nach \eref{DKG}{KAG} normal, mu"s $\mathcal O(G)$ den ganzen Abschlu"s von $k[T]$ in $\mathcal M(G)$ umfassen. Es gibt also $X\in \mathcal O(G)$ mit $X^{p^r}=T\circ \varphi$, und $\mathcal O(G)$ ist notwendig eine Lokalisierung von $k[X]$ nach einem von Null verschiedenen Element. Im Lichte dieser Erkenntnisse kann aber $\varphi:G\ra k$ nur bijektiv sein, wenn gilt $\mathcal O(G)=k[X]$, und dann ist $G$ nach \ref{EVKA} bereits isomorph zur additiven Gruppe $(k,+)$. \end{proof} Sei $\varphi : U \twoheadrightarrow k$ ein Homomorphismus mit $\mathcal M (U) / \mathcal M (k)$ separabel. So ist unsere Erweiterung primitiv und Galois mit Galoisgruppe $\Gamma = \op{ker} \varphi$ und wir haben $\mathcal O (k) = \mathcal O (U)^\Gamma$. Nach \ref{Noe} ist $\mathcal O (k)$ ganz "uber $\mathcal O (k)$, als normaler Ring ist $\mathcal O (U)$ also der ganze Abschlu"s von $\mathcal O (k)$ ind $\mathcal M (U)$. Sei $G$ eine eindimensionale zusammenh"angende algebraische Gruppe "uber $k$ und $H\As G$ eine endlche Untergruppe derart, da"s der Quotient $G/H$ isomorph ist zur additiven Gruppe $k$. So ist $\mathcal M(G)\supset \mathcal M(G/H)$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $H$ \begin{Lemma} Gegeben zusammenh"angende nilpotente algebraische Gruppen $H \subsetneq G$ gilt $\op{kdim} N_G (H) > \op{kdim} H$. \end{Lemma} \begin{proof} Wir finden $n$ mit $\mathcal C^n g \subsetneq H$ aber $\mathcal C^{n+1} G \subset H$. Im Quotienten $G/\mathcal C^{n+1} G$ ist also $H/\mathcal C^{n+1} G$ eine abgeschlossene Untergruppe, die nicht in der zentralen zusammenh"angenden Untergruppe $\mathcal C^n G/ \mathcal C^{n+1} G$ enthalten ist. Folglich umfa"st der Normalisator von $H / \mathcal C^{n+1} G$ die echte gr"o"sere zusammenh"angende Untergruppe $(\mathcal C G^n / \mathcal C^{n+1} G) \cdot (H / \mathcal C^{n+1} G)$ und das Lemma folgt. \end{proof} \subsection{Schur-Weyl-Dualit"at} \begin{Bemerkungl}\index{Schur-Weyl-Dualit"at} Gegeben ein komplexer Vektorraum $V$ kann man zeigen, da"s $V^{\otimes n}$ mit der offensichtlichen Operation von $\op{GL}(V)$ und der Tensoren permutierenden Operation von $\mathcal S_n$ ein duales Paar im Sinne von \ref{duaP} ist. Die Zerlegung \ref{ZduP} liefert so eine Bijektion zwischen den in $V^{\otimes n}$ auftretenden einfachen Darstellungen beider Gruppen. Ist $a\in \DC\mathcal S_n$ ein Element des Gruppenrings, das ein einfaches Linksideal $L$ erzeugt, so kann die zu $L$ geh"orige $\op{GL}(V)$-Darstellung nach \ref{projL} beschrieben werden als $aV^{\otimes n}$ mit seiner offensichtlichen $\op{GL}(V)$-Wirkung. Speziell k"onnen wir hier als unser $a$ den entsprechenden Young-Symmetrisator w"ahlen. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{F"ur Fritz} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit der ersten Frage. Gegeben ein Homomorphismus $\varphi:P\ra G$ von algebraischen Gruppen hat der Restriktionsfunktor $\op{res}_\varphi:\op{Mod}_G\ra \op{Mod}_P$ einen Rechtsadjungierten $\op{ind}_\varphi:\op{Mod}_P\ra \op{Mod}_G$. Als Rechtsadjungierter eines exakten Funktors macht er Injektive zu Injektiven. Explizit ist $$ \op{ind}_\varphi V =\{f : G \rightarrow V\mid f \text{ algebraisch $P$-equivariant}\}$$ Ist $\varphi$ die Einbettung einer abgeschlossenen Untergruppe $P\As G$, so haben wir auch die alternative Beschreibung $$ \op{ind}_\varphi V =\op{ind}_P^G V =\{\text{ algebraische Schnitte von } G \times_P V \twoheadrightarrow G/P\} $$ Ist $\psi$ dahingegen die Surjektion auf die einpunktige Gruppe $G\sra 1$, so ist unsere Induktion das Bilden der Invarianten $ \op{ind}_\psi V=\op{ind}_G^1 V =V^G $. In Deiner Situation k"onnen wir die Surjektion von $P$ auf die einpunktige Gruppe schreiben als die Komposition $P\hra G\sra 1$. Da $G$ reduktiv ist, ist das Bilden der $G$-Invarianten exakt. Die Grothendieck-Spektralsequenz liefert damit f"ur jede Darstellung $V$ von $P$ Isomorphismen $${\op{R}}^i\op{ind}_P^1V\sira \op{ind}_G^1({\op{R}}^i\op{ind}_P^GV)$$ Jetzt gilt es, $V=A^\ast\otimes B$ einzusetzen und zu beachten, da"s die oben im Grad Null gegebene Beschreibung der induzierten Darstellungen sich zu Isomorphismen ${\op{R}}^i\op{ind}_P^GV\sira {\op{H}}^i(G/P;G\times_PV)$ erweitern l"a"st. Das steht etwa bei [Jantzen, Representations of Algebraic Groups, second edition, 5.12]. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt die zweite Frage. Ich setze $Q\pdef P'$. Da $P/Q$ affin ist, ist nach dem Vorhergehenden der Induktionsfunktor exakt. Indem wir andernfalls $A$ durch $V\pdef A\otimes B^\ast$ ersetzen, d"urfen wir annehmen, da"s $B=k$ die Einsdarstellung ist. Die Adjunktion alias Frobenius-Reziprozit"at liefert einen Isomorphismus $$\op{Ext}^i_Q(\op{res}_P^QV,k )\sira \op{Ext}^i_P(V, \op{ind}_Q^P k) $$ Nach Annahme ist die linke Seite Null f"ur alle $i$ (oder alle $i>0$?), und dasselbe gilt f"ur die rechte Seite. Jetzt betrachten wir die kurze exakte Sequenz $k\hra \op{ind}_Q^Pk\sra\op{cok}$. Mit der langen exakten Sequenz gilt es also zu zeigen, da"s die $\op{Ext}^i_P(V, \op{cok}) $ verschwinden. Hier ist der Kokern so im wesentlichen $\mathcal O(U)/k$. Der erste Ansatz w"are, eine injektive Aufl"osung von $\op{cok}$ zu konstruieren, indem man bemerkt, da"s $W\hra \op{ind}_T^P\op{res}_P^TW$ jede $P$-Darstellung $W$ in eine injektive $P$-Darstellung einbettet, die nach der Tensoridentit"at auch $W\otimes\op{ind}_T^P\op{res}_P^Tk=W\otimes \mathcal O(P/T)$ geschrieben werden kann, und dann zu sehen, da"s die $T$-Gewichte h"ohere Erweiterungen verbieten. Mit etwas mehr Wissen mag es stattdessen aussichtsreicher sein zu versuchen, eine f"ur $\op{Hom}_P(V,\;)$ azyklische Aufl"osung von $\op{cok}$ zu konstruieren. Wenn man f"ur eine Darstellung $W$ von $P$ etwa $\op{Ext}^i_Q(V,\op{res}_P^QW)=0$ f"ur $i>0$ wei"s, so w"are $$W\hra \op{ind}_Q^P\op{res}_P^QW=W\otimes\mathcal O(P/Q)= W\otimes\mathcal O(U)$$ eine Einbettung in eine $\op{Hom}_P(V,\;)$-azyklische Darstellung und man mag hoffen, induktiv durchzukommen. Jetzt versuche ich mal, den Fall $P = TU$, also $Q=T$ in dieser Weise zu behandeln. Da w"urden wir ja finden, da"s die Einsdarstellung $k$ von $P$ eine injektive Aufl"osung hat, bei der im $0$-ten Schritt nur $T$-Gewichte aus $\mathcal O(U)$ vorkommen, also $T$-Gewichte aus $-\DN\rho$, und im $i$-ten Schritt nur $T$-Gewichte aus $-i\rho-\DN\rho$. Wenn also diese $T$-Gewichte in $V$ nicht vorkommen, so folgt bereits $\op{Ext}^i_P(V,k)=0$. Der erste Versuch w"are mal, ob man in Deiner Situation, die ich nun nicht so genau verstehe, genauso glatt durchkommt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ ist wegen Frobeniusreziprozit"at $\mathcal O(G)=\prod_L I_L\otimes L$ mit dem Produkt "uber alle irreduziblen Darstellungen und $I_L$ der injektiven H"ulle von $L$. Das Produkt ist allerdings zu verstehen in der Kategorie der algebraischen Darstellungen, mithin als die Menge aller f"ur die $G$-Operation algebraischen Vektoren im Vektorraumprodukt. Ist das in diesem Fall genau die direkte Summe von Darstellungen? Das soll sich mal ein Student angucken. \end{Bemerkungl} \subsection{Zu $K$-Bahnen auf Fahnenmannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \ref{BOAA}, da"s gegeben eine algebraische Variet"at mit einer Operation einer algebraischen Gruppe die Bahnen stets offen sind in ihrem Abschlu"s und damit Untervariet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $G$ eine affine algebraische Gruppe und $K, B \As G$ zwei abgeschlossene Untergruppen derart, da"s die Menge der Doppelnebenklassen $K \backslash G/B$ endlich ist. Sei weiter $P \As G$ eine abgeschlossene Untergruppe mit $P \supset B$ und $ P /B$ irreduzibel. So k"onnen wir f"ur jedes $z \in K \backslash G / P$ in der Faser "uber $z$ der Projektion zwischen den Mengen der Doppelnebenklassen \begin{equation*} \bar \pi_P : K \backslash G / B \twoheadrightarrow K \backslash G / P \end{equation*} ein Element $y \pdef P \circ z \in K \backslash G / B$ auszeichnen durch $Y \co \pi^{-1}_P (Z)$ mit der Notation $\pi_P : G/B \twoheadrightarrow G / P$ und den Notationen $Z \subset G / P$ sowie $Y \subset G/B$ f"ur die jeweiligen Urbilder von $z$ und $y$. In der Tat gibt es notwendig eine offene $K$-Bahn in $\pi_P^{-1} (Z)$, da Bahnen stets offen sind in ihrem Abschlu"s. Jede offene $K$-Bahn in $\pi_P^{-1} (Z)$ trifft aber eine und damit jede Faser von $ \pi_P^{-1} (Z) \rightarrow Z$ in einer offenen nichtleeren Teilmenge und ist wegen der Irreduzibilit"at von $P / B$ damit eindeutig bestimmt. Die Affinit"at unserer Gruppe $G$ haben wir hier nur vorausgesetzt, um die Existenz der Quotienten $G/B, G/P$ und $P/B$ aus \ref{QaaG} folgern zu k"onnen und nicht auf unbewiesene Tatsachen zur"uckgreifen zu m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $G$ eine affine algebraische Gruppe und $K, B \As G$ zwei abgeschlossene Untergruppen mit $|K \backslash G/B|<\infty$. Sei $P \As G$ eine abgeschlossene Untergruppe mit $P\supset B$ und $ P /B$ irreduzibel. Gilt zus"atzlich $\op{kdim} P/B = 1$, so sind f"ur eine $K$-Bahn $Y \subset G/B$ alle $K$-Bahnen in $YP=\pi_P^{-1}(\pi_P(Y))$ von der Kodimension Null oder Eins in $YP$. Damit sind in $YP$ alle $K$-Bahnen au"ser der offenen $K$-Bahn abgeschlossen und jede $K$-stabile Teilmenge von $YP$, die die offene Bahn enth"alt, ist auch ihrerseits offen. Jetzt gehen wir der Einfachheit halber zum Grundk"orper $\mathbb C$ "uber und betrachten die Menge $\op{Par}_{K \times B} (G)$ aller Paare $(Y,\gamma) $ mit $Y \subset G$ einer Doppelnebenklasse und $\gamma$ einem irreduziblen "aquivarianten lokal konstanten System darauf in Bezug auf die analytische Toplogie. Nehmen wir $\op{kdim} P/B = 1$ an und betrachten zwei Paare $(T, \gamma) $ und $(X, \delta)$, so schreiben wir $$(Y, \gamma) \overset{P}{\rightarrow} (X, \delta)$$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s gilt $X \co YP$ und $X \neq Y$ und da"s es zus"atzlich ein $(K \times B)$-"aquivariantes lokal konstantes System auf $X \sqcup Y$ gibt, das zu $\gamma$ und $\delta$ einschr"ankt. Von nun an vereinfachen wir unsere Notation und schreiben statt $(Y, \gamma)$ nur noch kurz $\gamma$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im weiteren betrachten wir speziell den Fall, da"s $G$ eine zusammenh"angende reduktive komplexe algebraische Gruppe ist, $B \subset G$ eine Borel'sche und $K \subset G$ die Fixpunktmenge einer Involution. Nach \ref{KbFl} gilt dann $|K\backslash G/B|<\infty$. Die Menge der abgeschlossenen Untergruppen $P \subset G$ mit $B \subset P$ und $\op{kdim} (P/B) =1$ notieren wir $S$. Diese Menge $S$ ist in nat"urlicher Bijektion zur Menge der einfachen Spiegelungen in der Weylgruppe. Eine Untergruppe $s \in S$ notieren wir je nach Kontext auch gerne $P_s \subset G$. Die {\bf Lusztig-Vogan-Teilordnung}\index{Lusztig-Vogan-Teilordnung} auf $\op{Par}_{K\times B} (G)$ erkl"aren wir als die kleinste Teilordnung $\leq $ derart, da"s f"ur die zugeh"orige Relation $<$ gilt: \begin{enumerate} \item Existiert $s \in S$ mit $\gamma \overset{s}{\rightarrow} \delta$, so haben wir $\gamma < \delta$; \item Existieren $\gamma^\prime < \delta^\prime$ und $s \in S$ mit $\gamma^\prime \overset{s}{\rightarrow} \gamma$ und $\delta^\prime \overset{s}{\rightarrow} \delta$, so haben wir $\gamma < \delta$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}Das ist die Definition [Vogan III, 5.8], wo diese Teilordnung als ``Bruhat $\mathcal G$-order'' bezeichnet wird, mit der Notation $\mathcal G$ f"ur die reelle reduktive Gruppe mit der Eigenschaft, da"s $G \supset K$ durch Komplexifizierung aus $\mathcal G \supset \mathcal K$ entsteht f"ur $\mathcal K \subset \mathcal G$ eine maximal kompakte Untergruppe. Allerdings hat sich in loc.cit. ein Tippfehler eingeschlichen, es mu"s in 5.8 b) statt $\gamma^\prime$ auch $\delta^\prime$ hei"sen. Der Hauptsatz [Vogan III, 5.10] besagt in diesen Notationen, da"s die mittlere Ausdehnung von $\gamma$ nur dann Subquotient als perverse Garbe des direkten Bildes von $\delta$ sein kann, wenn gilt $\gamma \leq \delta$ in der Lusztig-Vogan-Teilordnung. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{BKB} Sei $G$ eine affine algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k = \bar k$ der Charakteristik Null und sei $\theta$ ein involutiver Automorphismus von $G$. Sei $X$ ein homogener Raum von $G$ derart, da"s $X \times X$ unter der durch die Vorschrift $$g \ast_\theta (x,y) \pdef (\theta (g) x, gy)$$ gegebenen $G$-Operation in endlich viele Bahnen zerf"allt. So hat $G^\theta$ endlich viele Bahnen auf $X$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit demselben Beweis in Charakteristik $\op{char}k\neq 2$, wenn wir zus"atzlich annehmen, da"s die Quotientenabbildung unseres homogenen Raums separabel ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $\Delta : X \rightarrow X \times X$ die Diagonale. Sicher bildet $\Delta$ die Bahn $Z \pdef G^\theta x$ in die Bahn $Y \pdef G\ast_\theta (x,x)$ ab. Wir zeigen nun \begin{equation*} \diff_x \Delta : {\op{T}}_x Z \sira {\op{T}}_{(x,x)} Y \cap {\op{T}}_{(x,x)} \Delta (X) \end{equation*} Sobald das gezeigt ist, folgt $\op{kdim} Z \geq \op{kdim} (Y \cap \Delta (X))$, und damit mu"s jede irreduzible Komponente von $Z$ auch eine irreduzible Komponente von $Y \cap \Delta (X)$ sein und die Proposition ist bewiesen. Die Injektivit"at von $\diff_x \Delta$ ist offensichtlich. Nun liefert \ref{QaaG} eine kurze exakte Sequenz $\mathfrak g_x \hookrightarrow \mathfrak g \twoheadrightarrow {\op{T}}_x X$ f"ur $\mathfrak g \pdef \op{Lie} G$ und $\mathfrak g_x \pdef \op{Lie} G_x$. Es gilt also mit der Notation $\theta$ f"ur die von $\theta$ induzierte Involution der Liealgebra und der Notation $\bar A$ f"ur das Bild von $A$ in $\mathfrak g/\mathfrak g_x$ zu zeigen $$ \{ (\bar A, \bar A) \mid A \in \mathfrak g^\theta\} =\{(\overline{\theta (B)}, \bar B) \mid B \in \mathfrak g\} \cap \{(\bar C , \bar C )\mid C \in \mathfrak g\} $$ Die Inklusion $\subset$ ist klar. Liegt andererseits f"ur $B\in\mathfrak g$ unser $(\overline{\theta (B)}, \bar B)$ im Schnitt und schreiben wir $B = B^+ + B^-$ mit $\theta(B^\pm)=\pm B^\pm$, so folgt $\overline{B^-}=0$ und unser Element liegt auch im Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung. \end{proof} \begin{Korollar} Sei $(G, \theta)$ eine affine algebraische Gruppe "uber einem K"orper $k = \bar k$ der Charakteristik Null mit einer Involution. Sei $B \subset G$ eine Borel'sche. So zerf"allt die Fahnenmannigfaltigkeit $G/B$ unter $G^\theta$ in endlich viele Bahnen und diese sind affin eingebettet.\label{KbFl} \end{Korollar} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst, da"s es nur endlich viele Bahnen gibt. Nach \ref{BKB} m"ussen wir daf"ur nur zeigen, da"s $G/\theta (B) \times G/B$ unter der diagonalen $G$-Ope\-ra\-tion in endlich viele Bahnen zerf"allt. Wir wissen aber, da"s $\theta (B)$ auch eine Borel'sche ist und da"s je zwei Borel'sche konjugiert sind. Es reicht also zu zeigen, da"s $G/B \times G/B$ unter der diagonalen $G$-Operation in endlich viele Bahnen zerf"allt, und das wissen wir aus \ref{??}. Um nun noch zu zeigen, da"s die Einbettungen unserer Bahnen affine Morphismen sind, bemerken wir, da"s wir das f"ur die $G$-Bahnen auf $G/B \times G/B$ bereits aus \ref{??} wissen. Es folgt dann sofort f"ur die $G$-Bahnen auf $G/\theta (B) \times G/B$ und ebenso f"ur die $G$-Bahnen unter der Operation auf $G/B \times G/B$ vermittels $g\ast_\theta(x,y)\pdef (\theta(g)x,gy)$ und dann mit \eref{afME}{KAG} auch f"ur die Einbettung der Schnitte dieser Bahnen mit der Diagonale in die Diagonale. Daraus aber folgt dann unmittelbar die Affinit"at der Einbettungen der $G^\theta$-Bahnen in die Fahnenmannigfaltigkeit. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Seien $G\supset K\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe, eine abgeschlossene reduktive Untergruppe und ein maximaler Torus von $G$ und $K$. Gegeben in $K$ eine Borel $B_K$ mit $K\supset B_K\supset T$ l"a"st sich $B_K$ vergr"o"sern zu einer Borel $B\subset G$. F"ur diese Borel mu"s gelten $B\cap K=B_K$, denn sonst w"are dieser Schnitt eine unzusammenh"angende Untergruppe von $B$, die $T$ umfa"st, und die kann es nicht geben, weil die Borel ja ein Produkt der Wurzelgruppen ist. Noch weiter ausf"uhren! Sogar jede Borel "uber $T$ schneidet $K$ in einer Borel. \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Seien $G\supset K\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe, eine abgeschlossene reduktive Untergruppe und ein maximaler Torus von $G$ und $K$ und eine Borel $B$ von $G$ "uber $T$. Jede abgeschlossene $K$-Bahn $Y\As X\pdef G/B$ ist projektiv und folglich eine partielle Fahnenmannigfaltigkeit von $K$. Insbesondere besitzt sie $T$-Fixpunkte. Gegeben $x\in Y^T$ ist eine Borel $B$ "uber $T$ die $G$-Isotropiegruppe und folglich $Y$ eine volle Fahnenmannigfaltigkeit f"ur $K$. \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Jetzt untersuchen wir $Bx\cap Y$ f"ur $x\in X^T$. Wir wissen $Y=\bigsqcup_{y\in Y^T} B_K y$ und $X=\bigsqcup_{x\in X^T} Bx$ und es folgt $Bx\cap Y=B_K x$ falls $x\in Y^T$ und $Bx\cap Y=\emptyset$ falls $x\in X^T\backslash Y^T$. \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Sei $c\geq 0$ gegeben und $x\in X^T$. Gilt $Y\cap \overline{Bx}\neq \emptyset$ und $\op{dim}(Y\cap \overline{Bx}) = \op{dim}(\overline{Bx})-c$, so haben wir entweder $Y\cap Bx =\emptyset$ und $\op{dim}(Y\cap \overline{Bz}) = \op{dim}(\overline{Bz})-c+1$, oder ??? \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Der Punkt ist: Aus $Y\cap Bx \neq \emptyset$ und $\op{dim}(Y\cap Bx) = \op{dim}(Bx)-c$ folgt, da f"ur $z\in X^T$ mit $Bz$ im Abschlu"s von $Bx$ und $\op{dim}(Bz)=\op{dim}(Bx)-1$ auch $Bx\cup Bz$ glatt ist, da"s aus $Y\cap Bz\neq \emptyset$ folgt $\op{dim}(Y\cap Bz) \geq \op{dim}(Bz)-c$. \end{Bemerkungl}} \subsection{Quantengruppen} \begin{Bild} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{SkriptenBilder/BildASuZ}\\[4mm] \noindent Ich denke, Morphismen in verzopften Schmelzkategorien sollten durch Bilder obiger Art dargestellt werden, wobei die Wege von den Pfeilspitzen bis kurz vor die fetten \glqq Operatorpunkte\grqq, in die sie wieder geordnet hereinlaufen m"ussen, sich zus"atzlich noch verflechten d"urfen. So genau habe ich mir das aber noch nicht "uberlegt. \end{Bild} \subsection{Weil-Restriktion} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $R$ verwenden wir f"ur die Kategorie der $R$-Kring\-al\-ge\-bren alias $R$-Kringe die beiden alternativen Notationen $\op{Kring}^R=\op{Kralg}_R$. \index{Kralg@$\op{Kralg}_R$ Kringalgebren "uber $R$} Es erweist sich als praktisch, beide Notationen zur Verf"ugung zu haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Adjungierten einer Skalarerweiterung}] Gegeben ein Kringhomomorphismus $k\ra L$ hat der Funktor $L\otimes_k:\op{Kralg}_k\ra \op{Kralg}_L$ der Erweiterung der Skalare auf Kringalgebren stets den Rechtsadjungierten $\op{Kralg}_L\ra \op{Kralg}_k$, der eben durch das Restringieren der Skalare gegeben wird. Der partielle Linksadjungierte hei"st, wo er definiert ist, die {\bf Weil-Restriktion}\index{Weil-Restriktion} und wir notieren ihn\index{W@$\op{W}_L^{k}$ Weil-Restriktion} $$\op{Weil}_L^{k}=\op{W}_L^{k}$$ Ist\index{Weil@$\op{Weil}_L^{k}$ Weil-Restriktion} unter unserem Kringhomomorphismus der Oberring $L$ modulendlich und frei "uber dem Unterring $k$, so existiert die Weilrestriktion und kann auch recht explizit beschrieben werden. Noch expliziter gelingt es f"ur endliche K"orpererweiterungen und am besten im Fall endlicher Galoiserweiterungen. Das alles soll im folgenden ausgef"uhrt werden. Die Weilrestriktion im Fall \glqq allgemeiner Schemata\grqq\ ist delikater als im hier besprochenen Fall affiner Schemata. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weilrestriktion algebraischer Gruppen}] Als linksadjungierter Funktor kommutiert die Weilrestriktion mit Koprodukten. Ist insbesondere $L/k$ eine Kringerweiterung und ist $A$ ein Kogruppenobjekt in $\op{Kralg}_L$, so wird seine Weilrestriktion ${\op{W}}_L^k A$, wenn sie denn existiert, in nat"urlicher Weise ein Kogruppenobjekt in $\op{Kralg}_k$. Im Gegensatz dazu macht die gew"ohnliche Restriktion der Skalare keineswegs Kogruppenobjekte wieder zu Kogruppenobjekten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Weilrestriktion der Variet"at $\DC^\times$ von $\DC$ nach $\DR$}] Die multiplikative Gruppe $\mathbb C^\times$ kann beschrieben werden als die Nullstellenmenge $\{(z, w) \in \mathbb C^2 \mid z w =1\}$. Formal meinen wir damit die Kringalgebra $\mathbb C [{}^\prime z,w] / \langle zw -1\rangle$. Ihre Weilrestriktion zu $\mathbb R$ ist informell $\{ (x, y, u, v) \in \mathbb R^4 \mid (x + {\op{i}}y) (u + {\op{i}} v) = 1\}$. Formal ist sie die $\mathbb R$-Kringalgebra \begin{equation*} \mathbb R [{}^\prime x, y, u, v] / \langle xy - yv -1, x v + yu\rangle \end{equation*} In gr"o"serer Allgemeinheit wird diese Konstruktion in \ref{WRBB} erl"autert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Weilrestriktion symmetrischer Algebren}] Gegeben ein Homomorphismus $k\ra K$ von Kringen ist auch der duale Modul $K^\ast \pdef \op{Hom}_k (K,k)$ in nat"urlicher Weise ein $K$-Modul. Ist $K$ modulendlich und projektiv "uber $k$, so liefert \eref{BMA}{TS} mit \eref{BDDS}{TS} und \eref{PDUA}{TS} f"ur jeden $K$-Modul $M$ und jeden $k$-Modul $N$ einen kanonischen Isomorphismus \begin{equation*} \op{Hom}_k (K^\ast \otimes_K M,N) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hom}_K (M, K \otimes_k N) \end{equation*} Ist speziell $A$ eine $k$-Kringalgebra und steht ${\op{S}}_R V$ f"ur die symmetrische Algebra eines $R$-Moduls $V$, so erhalten wir nat"urliche Isomorphismen \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \op{Kralg}_K ({\op{S}}_KM, K \otimes_k A) & \overset{\sim}{\rightarrow} &\op{Hom}_K (M, K \otimes_k A)\\ &\overset{\sim}{\rightarrow} & \op{Hom}_k (K^\ast \otimes_K M,A)\\ & \overset{\sim}{\rightarrow}& \op{Kralg}_k ({\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M), A) \end{array} \end{displaymath} F"ur $K$ modulendlich und projektiv "uber $k$ erhalten wir so einen nat"urlichen Isomorphismus $$\op{Weil}_K^k({\op{S}}_K M)\sira {\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M)$$ Die von der nat"urlichen Kogruppenstruktur auf ${\op{S}}_K M$ induzierte Kogruppenstruktur auf der Weilrestriktion entspricht in diesem Fall unter unserem Isomorphismus der nat"urlichen Komultiplikation und Koeins auf ${\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M)$. Ich fand es allerdings etwas m"uhsam, das im Detail nachzupr"ufen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weilrestriktion beliebiger Kringalgebren}] Seien $k\hra K$ eine Kring\-erweiterung mit $K$ frei von endlichem Rang als $k$-Modul und $M$ ein $K$-Modul. Sei ein Element\label{WRBB} $f = \sum_\alpha c_\alpha m^\alpha$ der symmetrischen Algebra ${\op{S}}_KM$ gegeben, mit $\alpha \in \mathbb N^n$ Multiindizes und $m = (m_1, \ldots , m_n) \in M^n$ einem $n$-Tupel und Koeffizienten $c_\alpha \in K$. Sei weiter $A$ eine $k$-Kringalgebra. So geht $f$ unter einem Ringalgebrenhomomorphismus $\varphi \in \op{Kralg}_K ({\op{S}}_K M, K \otimes_k A)$ nach Null genau dann, wenn f"ur den zugeh"origen Homomorphismus $\Phi \in \op{Hom}_K (M, K \otimes_k A)$ gilt $\sum_\alpha c_\alpha (\Phi (m))^\alpha = 0$. Ist nun $b_1, \ldots, b_r$ eine $k$-Basis von $K$ und $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ die zugeh"orige duale Basis von $K^\ast$, so k"onnen wir \begin{equation*} \Phi : M \rightarrow K \otimes_k A \end{equation*} eindeutig schreiben als $\Phi (m) = b_1 \otimes \Phi_1 (m) + \ldots + b_r \otimes \Phi_r (m)$ mit $\Phi_\rho \in \op{Hom}_k (M, A)$ und unsere $K$-lineare Abbildung $\Phi$ entspricht der $k$-linearen Abbildung \begin{equation*} \tilde{\Phi} : K^\ast \otimes_K M \rightarrow A \end{equation*} mit $\tilde{\Phi} : \lambda_\rho \otimes m \mapsto \Phi_\rho (m)$. Die Identit"at $\sum_\alpha c_\alpha (\Phi (m))^\alpha = 0 $ ist dann gleichbedeutend zu $\sum_\alpha c_\alpha (b_1 \otimes \Phi_1 (m) + \ldots + b_r \otimes \Phi_r (m))^\alpha = 0$ und ist auch gleichbedeutend zu $r$ polynomialen Identit"aten mit Koeffizienten aus $k$ ausgewertet auf den $rn$ Elementen $\Phi_\rho (m_\nu)\in A$, die von der Darstellung der $c_\alpha$ und der Produkte $b_\sigma b_\tau$ in der Basis der $b_\rho$ abh"angen. So sehen wir, wie wir f"ur jedes Ideal $I \subset {\op{S}}_K M$ eine Weilrestriktion von $({\op{S}}_K M) / I$ konstruieren k"onnen als einen Quotienten ${\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M) / \hat I$. Jedes Element von $I$ liefert dabei $r$ Erzeuger von $\hat I$, n"amlich die eben diskutierten polynomialen Identit"aten, diesmal aber ausgewertet auf den $\lambda_\rho \otimes m_\nu$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ich erwarte, da"s es auch eine Weilrestriktion von Kringalgebren geben k"onnte im Fall, da"s $K/k$ nur projektiv von endlichem Rang ist. Ich habe mir das nicht so genau "uberlegt, es steht aber in Notizen von Milne zu algebraischen Gruppen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen und Weilrestriktion}] F"ur affine Schemata kommutiert die Weilrestriktion als nunmehr rechtsadjungierter Funktor mit Produkten. Gegeben ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum $V$ bezeichne $\op{ag}_K(V)$ das zugeh"orige affine Gruppenschema "uber $K$ mit $\mathcal O(\op{ag}_K(V))\pdef {\op{S}}_K(\op{Hom}_K(V,K))$ als Ring von regul"aren Funktionen und Komutiplikation $\Delta(\lambda)=\lambda\otimes 1 + 1\otimes\lambda$ f"ur alle $\lambda\in \op{Hom}_K(V,K)$. Ist $K/k$ eine endliche K"orpererweiterung, so erhalten wir einen nat"urlichen Isomorphismus $$\op{Weil}_K^k(\op{ag}_K(V))\sira \op{ag}_k(V)$$ Weiter induziert die Operation $\mathbb G_{\op{m},K}\times \op{ag}_K(V)\ra \op{ag}_K(V)$ der multiplikativen Gruppe eine Operation $\op{Weil}_K^k(\mathbb G_{\op{m},K})\times \op{ag}_k(V)\ra \op{ag}_k(V)$ ihrer Weilrestriktion. Restringieren wir diese weiter mit der Einheit der Adjunktion $\mathbb G_{\op{m},k}\ra \op{Weil}_K^k(K\times_k\mathbb G_{\op{m},k})=\op{Weil}_K^k(\mathbb G_{\op{m},K})$, so erhalten wir die nat"urliche Operation $\mathbb G_{\op{m},k}\times \op{ag}_k(V)\ra \op{ag}_k(V)$. Insbesondere ist jede rationale Darstellung $V$ einer affinen algebraischen Gruppe "uber $K$ auch eine Darstellung der Weilrestriktion, die mit der offensichtlichen Operation der Weilrestriktion der multiplikativen Gruppe kommutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Fall endlicher separabler K"orpererweiterungen}] Ist $K/k$ eine endliche K"orpererweiterung, so ist der $k$-Dualraum $K^\ast$ eindimensional als $K$-Vektorraum. Ist unsere K"orpererweiterung au"serdem noch separabel, so liefert die Spurpaarung $K \times K \rightarrow k, (x,y) \mapsto {\op{S}}^k_K (xy)$ nach \eref{SpurP}{KAG} einen nat"urlichen Isomorphismus $K \overset{\sim}{\rightarrow} K^\ast$ von $K$-Vektorr"aumen. Im Fall einer endlichen separablen Erweiterung $K/k$ kann also die Weilrestriktion der symmetrischen Algebra ${\op{S}}_K M$ eines $K$-Vektorraums $M$ in kanonischer Weise identifiziert werden mit ${\op{S}}_k M$. Wir erhalten daraus f"ur jeden $K$-Vektorraum $M$ einen nat"urlichen Isomorphismus $$\op{Weil}_K^k({\op{S}}_K M)\sira {\op{S}}_k M$$ Der nat"urliche Homomorphismus $ {\op{S}}_K M \rightarrow K \otimes_K {\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M) $ geschieht durch die Identifikation $ K \otimes_k {\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}_K (K \otimes_k K^\ast \otimes_K M) $ mithilfe der kanonischen Abbildung $M \rightarrow K \otimes_k K^\ast \otimes_K M\sira \op{End}_k (K) \otimes_K M$ gegeben durch $m \mapsto \op{id} \otimes m$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Fall endlicher Galoiserweiterungen}] Sei $K/k$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma \pdef \op{Gal} (K/k)$. Gegeben eine $k$-Kringalgebra $A$ erkl"aren wir eine neue $k$-Kringalgebra $A^\sigma$ durch die Vorschrift $\lambda (a^\sigma) \pdef (\sigma (\lambda) a)^\sigma$ f"ur alle $\lambda \in K$ und $a \in A$, wobei $A^\sigma$ derselbe Ring ist wie $A$ und $a^\sigma$ ein Element $a \in A$ bezeichnet, wenn es als Element von $A^\sigma$ aufgefa"st werden soll. Ist $B$ eine $k$-Kringalgebra, so erhalten wir einen Isomorphismus von $k$-Kringalgebren $K \otimes_k B \overset{\sim}{\rightarrow} (K \otimes_k B)^\sigma$ durch die Vorschrift $\lambda \otimes b \mapsto (\sigma (\lambda) \otimes b)^\sigma$. F"ur den inversen Isomorphismus gilt $i_\sigma : (\mu \otimes b)^\sigma \mapsto \sigma^{-1} (\mu) \otimes b$. Jeder Homomorphismus von $K$-Kringalgebren $\varphi : A \rightarrow K \otimes_k B$ liefert so Homomorphismen $i_\sigma \circ \varphi^\sigma : A^\sigma \rightarrow K \otimes_k B$ und damit $\Phi : T \rightarrow K \otimes_k B$ f"ur $T \pdef \bigotimes_{\sigma \in \Gamma} A^\sigma$ das Tensorprodukt alias Koprodukt aller dieser $K$-Kringalgebren. Weiter kommutieren die Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ A^\sigma\ar[d]^-{\op{id}} \ar[rr]^-{i_\sigma \circ \varphi^\sigma} && K \otimes_k B \ar[d]^-{\gamma^{-1} \otimes \op{id}}\\ A^{\sigma \gamma} \ar[rr]^-{i_{\sigma \gamma} \circ \varphi^{\sigma \gamma}} && K \otimes_k B } \end{displaymath} f"ur alle $\gamma \in \Gamma$. Betrachten wir nun die Linksoperation von $\Gamma$ auf $\op{Ens} (\Gamma, A)$ durch Vorschalten von $(\cdot \gamma)$ und die Abbildung $\op{Ens} (\Gamma, A) \rightarrow T$, $f \mapsto \otimes f (\sigma)^\sigma$, so induziert unsere Linksoperation eine Linksoperation von $\Gamma$ auf $T$ durch die Vorschrift $\tilde \gamma : \otimes f(\sigma)^\sigma \mapsto \otimes f (\sigma \gamma)^\sigma =\otimes f(\sigma)^{\sigma \gamma^{-1}}$ und f"ur jeden Tensor $t\in T$ gilt $\tilde \gamma (\lambda t) =\gamma (\lambda) \tilde \gamma (t)$. Weiter ist $\Phi : T \rightarrow K\otimes_k B$ f"ur diese Linksoperation links und die offensichtliche Linksoperation rechts ein $\Gamma$-"aquivarianter Ringhomomorphismus. Diese entsprechen aber in unserer Situation nach \ref{HS90} eineindeutig den Homomorphismen $T^\Gamma \rightarrow B$ von $k$-Kringalgebren. Alles in allem erhalten wir so nat"urliche Bijektionen \begin{displaymath} \op{Kralg}_K (A, K \otimes_k B) \sira \op{Kralg}_K^\Gamma (T , K\otimes_k B)\sira \op{Kralg}_k (T^\Gamma, B) \end{displaymath} und erkennen, da"s $T^\Gamma$ die Weilrestriktion von $A$ sein mu"s. Ist allgemeiner $K/k$ nur endlich separabel, so vergr"o"sern wir $k$ zu einer endlichen Galoiserweiterung $N/k$ und finden nat"urliche Bijektionen $$\op{Kralg}_k (A, K \otimes_k B) \sira \op{Kralg}_N^{\op{Gal}(N/K)} (N \otimes_K A, N \otimes_k B)$$ $$ \op{Kralg}_N (N \otimes_K A, N \otimes_k B) \sira \op{Ralg}^\Gamma_N (T, N \otimes_k B)\sira \op{Kralg}_k (T^\Gamma, B) $$ f"ur das nun zu $N \otimes_K A$ gebildete $T$. Es gilt damit nur noch, die $\op{Gal} (N/K)$-Ope\-ra\-tion unten wiederzufinden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Raum der $n$-Formen auf $\op{Spec} ({\op{S}}_K M)$ ist ja wohl kanonisch isomorph zu $({\op{S}}_K M) \otimes_K \bigwedge^n M$ und der Raum der $n$-Formen auf der Weil-Restriktion zu ${\op{S}}_k (K^\ast \otimes_K M) \otimes_k \bigwedge^n (K^\ast \otimes_K M)$. Nat"urlich k"onnen wir eine Differentialform zur"uckziehen unter \begin{equation*} K \times_k (\op{W}_K^k X) \rightarrow X \end{equation*} Im Fall $X = \op{Spec}({\op{S}}_K M)$ und mit einer Galois-Erweiterung $K/k$ bedeutet das wohl eine Abbildung $ ({\op{S}}_K M) \otimes_K M \rightarrow K \otimes_k (({\op{S}}_k M) \otimes_k M) $. \end{Bemerkunge} \subsection{Tensorielle Kategorien und Supergruppen} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. Unter einer {\bf tensoriellen $k$-Kategorie}\index{tensoriell!Kategorie} verstehen wir mit Deligne eine $k$-lineare Schmelzkategorie $\mathcal T$ im Sinne von \eref{adSM}{TS} mit universellen Verschmelzungen \eref{mkk}{TS} und Multihom \eref{Muhom}{TS}, in der alle Objekte starr \eref{starr}{TS} sind und in der die Endomorphismen des Einsobjekts einen eindimensionalen $k$-Vektorraum bilden und so da"s zus"atzlich die zugrundeliegene einfache Kategorie abelsch ist und das Tensorieren mit jedem Objekt ein exakter Funktor. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K"orper. Die Kategorie der endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aume ist eine tensorielle $k$-Kategorie. Dasselbe gilt f"ur die Kategorie der endlichdimensionalen $k$-Supervektorr"aume aus \eref{SUPV}{TS}. Dasselbe gilt f"ur die Kategorien der endlichdimensionalen Darstellungen eines beliebigen Gruppenobjekts in der opponierten Kategorie zur Kategorie der Kringobjekte einer dieser Schmelzkategorien alias affine Gruppenschemata beziehungsweise Supergruppenschemata "uber $k$ im Sinne von \ref{suDA}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K"orper mit $\op{char}(k)\neq 2$ und sei $G$ ein affines Supergruppenschema "uber $k$. Wie in \ref{GoG} erkl"art wird, ist dann die Menge $G(k)$ der Morphismen $\varepsilon:\mathcal O(G)\ra k$ von graduierten $k$-Ringalgebren in nat"urlicher Weise eine Gruppe und nach \ref{OperGG} operiert diese Gruppe auf jeder Superdarstellung von $G$. Gegeben ein Element $\varepsilon\in G(k)$ mit $\varepsilon^2=1$ derart, da"s $\op{int}(\varepsilon)$ auf $\mathcal O(G)$ die Vorzeicheninvolution induziert, kann man die tensorielle $k$-Kategorie $$\op{Rep}(G,\varepsilon)$$ aller endlichdimensionalen Superdarstellungen von $G$ betrachten,\label{reG} auf denen $\varepsilon$ als die Vorzeicheninvolution \eref{VZIN}{TS} operiert. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. Eine tensorielle $k$-Kategorie $\mathcal T$ hei"st {\bf endlich erzeugt}, wenn es ein Objekt gibt, aus dem alle anderen bis aus Isomorphismus entstehen durch iteriertes Anwenden von universellem Verschmelzen $\otimes$, Dualisieren, sowie dem Bilden endlichen direkten Summen, Unterobjekten und Quotienten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Deligne}] Gegeben sein ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ der Charakteristik Null und eine endlich erzeugte tensorielle $k$-Kategorie $\mathcal T$ derart, da"s es f"ur jedes Objekt $X\in\mathcal T$ ein $N\in \DN$ gibt derart, da"s die Schranke $l(X^{\otimes n})\leq N^n$ f"ur die L"angen der Tensorpotenzen von $X$ gilt. So gibt es im Sinne von \eref{MulF}{TS} eine $k$-lineare Schmelz"aquivalenz $$\mathcal T \sirra \op{Rep}(G,\varepsilon)$$ mit $G$ einem affinen $k$-Supergruppenschema und $\varepsilon\in G(k)$ wie in \ref{reG} und $\mathcal O(G)$ ringendlich "uber $k$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Deligne selbst behauptet, die Bedingung \glqq endlich erzeugt\grqq\ sei gar nicht n"otig, aber es war zu m"uhsam, das Argument auszuschreiben. Ich wei"s nicht, wie eindeutig das Paar $(G,\varepsilon)$ durch $\mathcal T$ bestimmt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bernstein hat mir erkl"art, da"s die kategorische Hecke-Algebra zur Schleifengruppe einer reduktiven Gruppe $G$ nach der Scheibengruppe gar nicht genau $\op{Rep}(G^\vee)$ ist, sondern eine Kategorie der Bauart $\op{Rep}(G^\vee,\varepsilon)$ mit einer zentralen Involution $\varepsilon\in G^\vee$, die so eine Art $\rho$ ist. Das entspricht vage der Tatsache, da"s Kohomologie ein Schmelzfunktor in die graduierten Parit"atsgruppen ist. Lusztig habe das ausgearbeitet. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAAG" %%% End: