\section{Lineare und affine algebraische Gruppen} \nichtfinal{Ich will im folgenden so viel wie m"oglich gleich f"ur algebraische Monoide machen. Das ist soweit getan.} \subsection{Einf"uhrung und Grundbegriffe} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf lineare algebraische Gruppe}\index{lineare algebraische Gruppe} "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ ist Untergruppe \begin{equation*} G \subset \op{GL} (n; k) \end{equation*} f"ur ein $n\in\DN$ derart, da"s es eine Menge $P \subset k [X_{ij}]$ von Polynomen in den Matrixeintr"agen mit simultaner Nullstellenmenge $G$ gibt, in Formeln also eine Menge $P$ von Polynomen mit $G = \{ A \in \op{GL} (n;k) \mid f(A) = 0 \; \forall f \in P\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Erste Beispiele sind die Untergruppen der invertierbaren Diagonalmatrizen, der oberen Dreiecksmatrizen, und der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen. Des weiteren die Gruppen von invertierbaren Block-oberen Dreiecksmatrizen beliebiger fester Blockstruktur, die spezielle lineare Gruppe $\op{SL} (n;k)$ und die orthogonale Gruppe $$\op{O} (n;k) \pdef \{ A \in \op{GL} (n;k) \mid A^\top A =I\}$$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notwendigkeit des Formalismus der algebraischen Variet"aten}] In dieser Vorlesung sollen lineare algebraische Gruppen \glqq unabh"angig von ihrer Einbettung\grqq\ studiert werden und wir bauen den Formalismus der \glqq affinen algebraischen Gruppen\grqq\ auf, der das pr"azisiert und erm"oglicht. In diesem Formalismus sind dann etwa $G = \op{GL} (1;k) = k^\times$ und $G =\{\op{diag}(\lambda,1)\mid \lambda\in k^\times\} \subset \op{GL} (2;k)$ als \glqq dieselbe\grqq\ affine algebraische Gruppe anzusehen. Des weiteren werden viele Argumente induktiv unter Zuhilfenahme von Quotienten algebraischer Gruppen nach geeigneten Untergruppen gef"uhrt. Dazu m"ussen diese Quotienten ihrerseits mit einer algebraischen Struktur versehen werden. Um all das zu pr"azisieren und formalisieren, arbeitet man mit abstrakten algebraischen Variet"aten, wie sie etwa in \eref{DeVah}{KAG} eingef"uhrt werden. Da die volle Kraft dieser Begrifflichkeit aber erst nach und nach ben"otigt wird, beginnen wir elementarer, erinnern zun"achst nur den Begriff einer \glqq naiven affinen $k$-Variet"at\grqq\ aus \eref{nAV}{KAG} folgende und arbeiten so lange wie m"oglich mit dieser einfacher zug"anglichen Begrifflichkeit. Ich empfehle jedoch, parallel auch die ausf"uhrlichere Diskussion der Grundlagen der algebraischen Geometrie in \eref{RRM}{KAG} folgende zu studieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein K"orper $k$ verstehen wir unter einer {\bf $k$-geringten Menge}\label{kgMAAG} ein Paar $$(X,\mathcal O(X))$$ bestehend aus einer Menge $X$ und einem $k$-Unterring $\mathcal O (X) \subset \op{Ens} (X,k)$ im $k$-Kring aller $k$-wertigen Funktionen auf $X$. Die Elemente von $\mathcal O(X)$ nennen wir die {\bf strukturierenden Funktionen}\index{strukturierend!Funktion}\index{Funktion!strukturierende} unserer $k$-geringten Menge $X$. Ein {\bf Morphismus} von $(X,\mathcal O(X))$ in eine weitere $k$-geringte Menge $(Y,\mathcal O(Y))$ ist eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ derart, da"s gilt $f\in\mathcal O(Y)\RA f\circ\varphi\in\mathcal O(X)$. Mit diesen Morphismen bilden die $k$-geringten Mengen eine Kategorie $$\op{Ensr}_k$$ Den durch Vorschalten von $\varphi$ erkl"arten Homomorphismus von $k$-Kringen nennen wir den {\bf Komorphismus zu $\varphi$} und notieren ihn $\varphi^\sharp: \mathcal O(Y)\ra\mathcal O(X)$. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine {\bf naive affine $k$-Variet"at}\index{affin!Variet"at!naive} oder k"urzer {\bf affine $k$-Variet"at} ist eine \hyperref[kgMAAG]{$k$-geringte Menge} $(X, \mathcal O (X))$\label{nAVAAG} derart, da"s ihr Ring von strukturierenden Funktionen $\mathcal O (X)$ ringendlich ist "uber $k$ und da"s wir eine Bijektion $$\begin{array}{cccc} \op{ev}:& X &\sira& \op{Kring}^k (\mathcal O (X), k)\\[1mm] & x&\mapsto& \delta_x \end{array}$$ von $X$ mit der Menge der $k$-linearen Ringhomomorphismen $\mathcal O (X) \rightarrow k$ erhalten, indem wir jedem Punkt $x \in X$ den durch das Auswerten bei $x$ gegebenen Ringhomomorphismus $\delta_x : \mathcal O (X) \rightarrow k$, $f \mapsto f (x)$ zuordnen.\index{d@$\delta_x$ Auswerten bei $x$} Die strukturierenden Funktionen einer affinen Variet"at nennen wir ihre {\bf regul"aren Funktionen}.\index{Funktion!regul"are!auf affiner Variet"at}\index{regul"ar!Funktion!auf affiner Variet"at} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] %\nichtfinal{Es wird sich bald erweisen, da"s unsere naiven affinen Variet"aten %% bis auf Isomorphismus genau unsere $k$-geringten Mengen $(X,\mathcal O(X))$ % zu algebraischen Teilmengen $X\As k^n$ sind.} Das Adjektiv \glqq affin\grqq\ dient dazu, in der Terminologie Platz zu lassen f"ur allgemeinere Variet"aten, wie sie in \eref{DeVah}{KAG} erkl"art werden. Das Adjektiv \glqq naiv\grqq\ bringt zum Ausdruck, da"s wir unsere naiven affinen Variet"aten als spezielle $k$-geringte Mengen betrachten und noch nicht, wie im Fall allgemeiner Variet"aten, als spezielle \glqq $k$-geringte R"aume\grqq. Dieser Unterschied wird sich jedoch als unwesentlich erweisen, weshalb wir auf das Adjektiv \glqq naiv\grqq\ im folgenden meist verzichten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Morphismus}\index{Morphismus!von affinen Variet"aten} von affinen $k$-Variet"aten verstehen wir einen Morphismus von $k$-geringten Mengen. Die affinen $k$-Variet"aten bilden damit\index{Varaff@$\op{Varaff}_k$ affine $k$-Variet"aten} eine volle Unterkategorie\label{varaff} $$\op{Varaff}_k\subset \op{Ensr}_k$$ in der Kategorie aller $k$-geringten Mengen. Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ notieren wir die Menge aller Morphismen von $X$ nach $Y$ statt $\op{Varaff}_k(X,Y)$ meist k"urzer $\op{Var}_k(X,Y)$\index{Var@$\op{Var}$ Morphismen von Variet"aten} und greifen damit der volltreuen Einbettung $\op{Varaff}_k\vra \op{Var}_k$ in die Kategorie aller $k$-Variet"aten vor, die wir zusammen mit der Definition allgemeiner Variet"aten in \eref{DeVah}{KAG} kennenlernen werden. Wenn wir hoffen, da"s der Grundk"orper aus dem Kontext hervorgeht, schreiben wir auch kurz $\op{Var}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich verwende das Wort {\bf Variet"at} nur f"ur $k$-Variet"aten "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$. Wenn das Wort \glqq Variet"at\grqq\ f"allt, ist also implizit zu verstehen, da"s der zugeh"orige Grundk"orper algebraisch abgeschlossen sein soll. Ich werde das nicht immer extra erw"ahnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. \label{BAVVAAG} \begin{enumerate} \item Jede endliche Menge $X$ wird mit $\mathcal O (X) \pdef \op{Ens} (X,k)$ eine affine Variet"at. \item Die Menge $X = k^n$ wird mit $\mathcal O (X) \pdef k [T_1, \ldots, T_n]$ eine affine Variet"at. \item(\textbf{Nullstellenmengen}). Gegeben eine affine Variet"at $(X,\mathcal O (X))$ und eine Teilmenge $ P \subset \mathcal O (X)$ des Rings ihrer regul"aren Funktionen wird die Menge der gemeinsamen Nullstellen \begin{equation*} Y = \mathcal Z (P) \pdef \{ x \in X \mid f (x) = 0 \quad \forall f \in P\} \end{equation*} mit den Einschr"ankungen $\mathcal O (Y) \pdef \{ f|_Y \mid f \in \mathcal O (X)\}$ regul"arer Funktionen von $X$ als den regul"aren Funktionen von $Y$ eine affine Variet"at. In der Tat kommt jeder $k$-lineare Ringhomomorphismus $\mathcal O (Y) \rightarrow k$ von einem $k$-linearen Ringhomomorphismus $\mathcal O (X) \rightarrow k$ her, der durch Auswerten $\delta_x$ an einem Punkt $x \in X$ gegeben wird, der dann notwendig bereits zu $Y$ geh"ort haben mu"s. Wir nennen diese Struktur die {\bf auf $Y$ induzierte Struktur}\index{induziert!Struktur einer Variet"at} einer affinen Variet"at. \item(\textbf{Nichtnullstellenmengen einzelner Funktionen}). Gegeben eine affine Variet"at $(X, \mathcal O (X))$ und eine regul"are Funktion $f \in \mathcal O (X)$ wird ihre Nichtnullstellenmenge $$X_f \pdef X \backslash \mathcal Z (f)= \{ x \in X \mid f (x) \neq 0\} $$ eine affine Variet"at mit $ \mathcal O(X_f)\pdef \overline{\mathcal O(X)} [\bar f^{-1}] \subset\op{Ens} (X_f,k)$ dem von den Restriktionen der regul"aren Funktionen aus $\mathcal O (X)$ zusammen mit der Funktion $1/\bar f$ f"ur $\bar f$ die Restriktion von $f$ erzeugten Teilring. In der Tat liefern die Homomorphismen von $k$-Kringen $\mathcal O(X)\sra \overline{\mathcal O(X)}\hra \mathcal O(X_f)$ Injektionen $$\op{Kring}^k(\mathcal O(X),k)\hla \op{Kring}^k(\overline{\mathcal O(X)}, k)\hla \op{Kring}^k(\mathcal O(X_f),k)$$ und das Bild der Komposition kann nur solchen Homomorphismen enthalten, die $f$ auf eine Einheit abbilden, die also eine Auswertung $\delta_x$ an einer Stelle $x\in X_f$ sind. Da umgekehrt alle diese Auswertungen auch im Bild liegen, ist $(X_f,\mathcal O(X_f))$ in der Tat eine affine Variet"at. \end{enumerate} \end{Beispiele} %\begin{Bemerkungw} % Seien $X$ eine affine Variet"at und $f,g\in\mathcal O(X)$. % In \ref{UEAAo} zeigen wir, da"s aus $X_f=X_g$ folgt % $\mathcal O(X_f)=\mathcal O(X_g)$ und da"s allgemeiner aus % $X_f\subset X_g$ f"ur alle $h\in\mathcal O(X_g)$ folgt $h|X_f\in \mathcal O(X_f)$.\label{Vorss} %\end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine R"aume als affine Variet"aten}] Jeder endlichdimensionale affine Raum $A$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ wird offensichtlich eine affine $k$-Variet"at, wenn wir $\mathcal O(A)\subset \op{Ens}(A,k)$ erkl"aren als die von allen affinen Abbildungen $A\ra k$ erzeugte $k$-Unterringalgebra. Jede affine Abbildung von endlichdimensionalen affinen R"aumen ist in Bezug auf diese Strukturen ein Morphismus von affinen Variet"aten und jede injektive affine Abbildung induziert einen Isomorphismus auf ihr Bild mit der induzierten Struktur als Nullstellenmenge gewisser regul"arer Funktionen.\label{akV} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Auf dem $k^n$ stimmt die Struktur einer affinen Variet"at als affiner Raum nach \ref{akV} "uberein mit unserer Struktur aus \ref{BAVVAAG} durch Polynome als regul"are Funktionen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Bedeutungen des Wortes \glqq affin\grqq}] Ungl"ucklich ist in diesem Zusammenhang die Verwendung des Wortes \glqq affin\grqq\ in zwei verschiedenen Bedeutungen: Jeder endlichdimensionale affine Raum tr"agt zwar in dieser Weise eine nat"urliche Struktur als affine Variet"at, aber es gibt durchaus andere affine Variet"aten, ja \glqq die meisten\grqq\ affinen Variet"aten sind keineswegs isomorph zu affinen R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Alle Definitionen und S"atze vom Beginn dieses Abschnitts bis hierher w"urden auch f"ur einen beliebigen Grundk"orper $k$ funktionieren. Allerdings m"u"ste man dann in Kauf nehmen, da"s etwa die reelle Gerade $X=\DR$ mit dem Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)=\DR[T,(T^2+1)^{-1}]$ auch eine naive affine $\DR$-Variet"at w"are, und das st"unde im Widerspruch zur allgemein "ublichen Terminologie.\label{reeg} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sei $k=\bar{k}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. In \eref{GAQK}{KAG} zeigen wir, da"s der Funktor der regul"aren Funktionen eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathcal O: \{\text{Affine $k$-Variet"aten}\}\sirra \{\text{Nilpotentfreie ringendliche $k$-Kringe}\}^{\op{opp}}$$ liefert und da"s jede affine Variet"at ismorph ist zur Nullstellenmenge nach \ref{BAVVAAG} einer endlichen Menge von regul"aren Funktionen alias Polynomfunktionen auf $k^n$. In meinen Augen sind diese Aussagen zentral f"ur das Verst"andnis sowohl der kommutativen Algebra als auch der algebraischen Geometrie. Wir werden sie in dieser Vorlesung jedoch nicht beweisen. Die nilpotentfreien ringendlichen $k$-Kringe nennt man auch {\bf affine $k$-Kringe}.\index{affin!$k$-Kring} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Nullstelleneinbettungen}] Gegeben $X$ eine affine Variet"at und $P\subset \mathcal O(X)$ eine Menge regul"arer Funktionen und $Y\pdef \mathcal Z(P)$ deren simultane Nullstellenmenge ist die Einbettung $Y\hra X$ ein Morphismus.\label{UEAAo} Ist weiter $\varphi:Z\ra X$ ein Morphismus von affinen Variet"aten mit $\varphi(Z)\subset Y$, so ist auch die induzierte Abbildung $\varphi:Z\ra Y$ offensichtlich ein Morphismus von affinen Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine Variet"at, ja eine beliebige $k$-geringte Menge $X$ sind die Nullstellenmengen $\mathcal Z(P)$ f"ur $P\subset \mathcal O(X)$ die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf $X$, der {\bf Zariski-Topologie}. In der Tat ist ein beliebiger Schnitt von Nullstellenmengen offensichtlich wieder eine Nullstellenmenge. Was endliche Vereinigungen angeht, haben wir $\mathcal Z(1)=\emptyset$ f"ur die Vereinigung "uber das leere Mengnsystem von Teilmengen von $X$ sowie $$\mathcal Z(P)\cup\mathcal Z(Q)=\mathcal Z(\{fg\mid f\in P, g\in Q\})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen Morphismus $\varphi:Z\ra X$ von affinen Variet"aten nennen wir eine {\bf abgeschlossene Einbettung},\index{Einbettung!abgeschlossene} wenn sein Bild eine abgeschlossene Teilmenge $\varphi(Z)\As X$ ist und die induzierte Abbildung ein Isomorphismus $Z\sira \varphi(Z)$ auf $\varphi(Z)$ mit seiner induzierten Struktur ist. Abgeschlossene Einbettungen haben eine zu Nullstelleneinbettungen analoge universelle Eigenschaft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern den {\bf Hilbert'schen Nullstellensatz} in seiner k"orpertheoretischen Form, nach der jede ringendliche K"orpererweiterung modulendlich ist. In anderen Worten ist jede K"orpererweiterung, bei der der Erweiterungsk"orper als Ring endlich erzeugt ist "uber dem Grundk"orper, bereits eine endiche K"orpererweiterung. Insbesondere ist jede ringendliche K"orpererweiterung eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers trivial.\label{HNSa} F"ur einen Beweis verweisen wir auf die kommutative Algebra \eref{KFa}{KAG}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kehrwerte nullstellenfreier regul"arer Funktionen}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $f\in \mathcal O(X)$ ohne Nullstelle ist auch $1/f$ regul"ar. Das zeigen wir, indem wir die gegenteilige Annahme zum Widerspruch f"uhren. Ist genauer $f\in\mathcal O(X)$ keine Einheit, so ist das von $f$ erzeugte Ideal nicht der ganze Ring und kann mithin nach \eref{EMI}{KAG} zu einem maximalen Ideal $\mathfrak m\subset \mathcal O(X)$ vergr"o"sert werden. Der Quotientenring $ \mathcal O(X)/\mathfrak m$ ist dann nach \eref{RMI}{KAG} ein K"orper. Jetzt sagt der Hilbert'sche Nullstellensatz \ref{HNSa}, da"s die Komposition $k\ra \mathcal O(X)\ra \mathcal O(X)/\mathfrak m$ eine endliche K"orpererweiterung sein mu"s. Wegen unserer Annahme $k=\bar k$ ist diese Komposition also ein Isomorphismus. So erhalten wir einen Homomorphismus $\mathcal O(X)\ra k$ von $k$-Kringen mit $f\mapsto 0$. Das aber bedeutet im Lichte unserer Definition \ref{nAVAAG} einer affinen Variet"at, da"s $f$ ein Nullstelle auf $X$ gehabt haben mu"s.\label{Nsdfg} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Beispiel der $\DR$-geringten Menge $X\pdef \DR$ mit $\mathcal O(X)\pdef \DR[T]$ zeigt, da"s es f"ur die im vorhergehenden aufstellte Behauptung wesentlich ist, da"s wir "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper arbeiten. In der Tat hat die Funktion $f\pdef T^2+1$ in diesem Fall keine Nullstelle auf $X$, aber $1/f$ geh"ort dennoch nicht zu $\mathcal O(X)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Nichtnullstelleneinbettungen}] Gegeben $X$ eine affine Variet"at und $f\in \mathcal O(X)$ eine regul"are Funktion ist die Einbettung $X_f\hra X$ offensichtlich ein Morphismus.\label{UEAAo} Ist weiter $\varphi:Z\ra X$ ein Morphismus von affinen Variet"aten mit $\varphi(Z)\subset X_f$, so ist auch die induzierte Abbildung $\varphi:Z\ra X_f$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. In der Tat ist $ (1/f)\circ \varphi =1/\varphi^\sharp(f)$ nach \ref{Nsdfg} eine regul"are Funktion auf $Z$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Insbesondere folgt aus der universellen Eigenschaft f"ur jede affine Variet"at $X$ und $f,g\in\mathcal O(X)$ mit $X_g\subset X_f$ sofort $\op{res}\mathcal O(X_f)\subset \mathcal O(X_g)$. Wir sehen insbesondere, da"s aus $X_f= X_g$ bereits $\mathcal O(X_g)= \mathcal O(X_f)$ folgt. Das bedeutet insbesondere, da"s unsere Notation vern"unftig war. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte affiner Variet"aten}] F"ur das folgende vergleiche man auch \eref{PnaV}{KAG}. Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ wird das kartesische Produkt der zugrundeliegenden Punktmengen $X \times Y$ zu einer affinen Variet"at durch die Vorschrift \begin{equation*} \mathcal O (X \times Y)=\mathcal O_{\op{prod}} (X \times Y) \pdef[f \boxtimes g\mid f \in \mathcal O (X), g \in \mathcal O (Y)] \end{equation*} Hier meint $f \boxtimes g$ die Funktion $(f \boxtimes g)(x,y) \pdef f (x) g (y)$ auf $X\times Y$ und die eckigen Klammern meinen den von all diesen Funktionen in $\op{Ens} (X \times Y, k)$ erzeugten Teilring. Er ist sicher ringendlich "uber $k$. Nach \eref{TeIn}{LA2} induziert die Abbildung $f \otimes g \mapsto f \boxtimes g$ eine Injektion $\op{Ens} (X, k) \otimes_k \op{Ens} (Y,k) \hookrightarrow \op{Ens} (X \times Y, k)$ und das liefert unmittelbar einen Ringisomorphismus $$\mathcal O (X) \otimes_k \mathcal O (Y) \sira \mathcal O (X \times Y)$$ Da aber nach \eref{KoPR}{LA2} f"ur zwei beliebige $k$-Kringalgebren $A,B$ jeder Ring\-al\-ge\-bren\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $A \otimes_k B \rightarrow k$ die Form $a \otimes b \mapsto \phi (a) \psi (b)$ hat f"ur wohlbestimmte Ringalgebrenhomomorphismen $\phi : A \rightarrow k$, $\psi : B \rightarrow k$, folgt auch die Zweite unserer Bedingungen an eine affine Variet"at. Die beiden Projektionen $\op{pr}_X : X\times Y \ra X $ und $\op{pr}_Y : X\times Y \ra Y $ sind dann Morphismen von affinen Variet"aten und $(X \times Y, \op{pr}_X, \op{pr}_Y)$ ist ein Produkt in der Kategorie der affinen Variet"aten im Sinne von \eref{PrKao}{LA2}. Die einpunktige Variet"at ist ein finales Objekt in dieser Kategorie, in der mithin alle endlichen Produkte existieren.\label{PnaVl} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Auf dem $k^n$ stimmt die Struktur einer affinen Variet"at als Produkt von $n$ Kopien von $k$ im Sinne von \ref{PnaVl} mit unserer Struktur aus \ref{BAVVAAG} durch Polynome als regul"are Funktionen "uberein. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein {\bf affines algebraisches Monoid}\index{algebraisch!Monoid, affines} "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ ist ein Monoid $G$ mit der Struktur einer affinen $k$-Variet"at, f"ur das die Verkn"upfung $G \times G \rightarrow G$ ein Morphismus von affinen Variet"aten ist. \end{Definition} \begin{Definition} Eine {\bf affine algebraische Gruppe}\index{algebraisch!Gruppe, affine} %oder abk"urzend auch {\bf affine Gruppe}\index{affin!Gruppe, algebraische} "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ ist eine Gruppe $G$ mit der Struktur einer affinen $k$-Variet"at, f"ur die die Verkn"upfung $G \times G \rightarrow G$ und die Inversenbildung $G \rightarrow G$ Morphismen von affinen Variet"aten sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Homomorphismus} von affinen algebraischen Gruppen oder Monoiden ist ein Morphismus von affinen Variet"aten, der gleichzeitig ein Monoidhomomorphismus ist. Die Menge aller Homomorphismen zwischen zwei affinen algebraischen Monoiden $G,H$ notieren wir $\op{MonVar}(G,H)$\index{MonVar@$\op{MonVar}$ Homomorphismen von affinen algebraischen Monoiden} und im Gruppenfall $\op{GrpVar}(G,H)$.\index{GrpVar@$\op{GrpVar}$ Homomorphismen von affinen algebraischen Gruppen} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Allgemeine lineare Gruppe}]$(k=\bar k)$. Das Monoid der quadratischen Matrizen $ \op{Mat}(n; k)$ ist ein algebraisches Monoid. Die allgemeine lineare Gruppe $G=\op{GL}(n;k)$ ist mit ihrer Struktur als Nichtnullstellenmenge der regul"aren Funktion $\op{det}:\op{Mat}(n; k)\ra k$ eine affine algebraische Gruppe. \end{Proposition} \begin{proof} Die Multiplikation $\op{mult}:\op{Mat}(n;k)\times \op{Mat}(n;k)\ra \op{Mat}(n;k)$ ist offensichtlich ein Morphismus. Genauer gilt $T_{ij}\circ \op{mult}= \sum_l T_{il}\boxtimes T_{lj}$. Die Multiplikation $\op{mult}:G\times G\ra \op{Mat}(n;k)$ ist ein Morphismus, da die Einbettung $G\hra \op{Mat}(n;k)$ ein Morphisms ist. Die Multiplikation $\op{mult}:G\times G\ra G$ ist dann auch ein Morphismus nach der universellen Eigenschaft von Nichtnullstelleneinbettungen oder auch wegen $\op{det}^{-1}\circ \op{mult}= \op{det}^{-1}\boxtimes \op{det}^{-1}$. Die Cramer'sche Regel zeigt, da"s auch das Invertieren $G\ra G$ ein Morphismus ist. \end{proof} \begin{Beispiele} Gegeben ein affines algebraisches Monoid $G$ und ein abgeschlossenes Untermonoid $H\As G$ ist auch $H$ mit der induzierten Struktur einer affinen Variet"at aufgrund der universellen Eigenschaft von Nullstellenmengen ein affines algebraisches Monoid. Zum Beispiel bilden f"ur alle $n,r$ "uber jedem algebraisch abgeschlossenen K"orper die $n\times n$-Matrizen vom Rang $\leq r$ zusammen mit der Einheitsmatrix ein algebraisches Monoid. \end{Beispiele} \begin{Beispiele} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ und eine abgeschlossene Untergruppe $H\As G$ ist auch $H$ mit der induzierten Struktur einer affinen Variet"at eine affine algebraische Gruppe aufgrund der universellen Eigenschaft von Nullstellenmengen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Funktionen auf speziellen linearen Gruppen}] Die offensichtliche Abbildung ist ein Isomorphismus $k[T_{ij}]/\langle \op{det}-1\rangle\sira\mathcal O(\op{SL}(n;k))$, aber ich kenne daf"ur keinen vollst"andig elementaren Beweis. Die Schwierigkeit besteht darin zu zeigen, da"s der Restklassenring auf der linken Seite nilpotentfrei ist. Eine m"ogliche Argumentation wird in \eref{IrSL}{KAG} erkl"art. Es mag eine gute "Ubung sein, das hier zumindest im Fall $n=2$ explizit zu pr"ufen. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Der Abschlu"s jedes Untermonoids eines algebraischen Monoids ist wieder ein algebraisches Monoid. Der Abschlu"s jeder Untergruppe einer algebraischen Gruppe ist wieder eine Untergruppe.\label{UGAm} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $G$ unser algebraisches Monoid und $H \subset G$ unser Untermonoid. F"ur alle $h \in H$ impliziert $hH \subset H$ bereits $H \bar H \subset \bar H$, denn die Linkstranslation mit $h$ ist stetig. Damit wissen wir $Hg \subset \bar H$ f"ur alle $g \in \bar H$ und folgern $\bar H g \subset \bar H$, denn die Rechtstranslation mit $g$ ist stetig. Zusammengenommen ist also $\bar H$ abgeschlossen unter der Verkn"upfung und $1\in H$ gilt nach Annahme eh. Ebenso folgt im Gruppenfall aus $\op{inv} (H) \subset H$ sofort $\op{inv} (\bar H) \subset \bar H$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Eine Untergruppe einer algebraischen Gruppe verstehen wir a priori als eine Untergruppe der zugrundeliegenden gew"ohnlichen Gruppe. Eine abgeschlossene Untergruppe denken wir uns im Zweifelsfall stets mit ihrer induzierten Struktur als alebraische Gruppe versehen. Unsere abgeschlosenen Untergruppen sind zwar kategorische Unterobjeke in der Kategorie der algebraischen Gruppen, aber in positiver Charakteristik besitzen die meisten algebraischen Gruppen durchaus noch weitere, nicht zu Untergruppen in diesem Sinne isomorphe kategorische Unterobjekte. So ist zum Beispiel f"ur jede algebraische Gruppe $G$ in positiver Charakteristik der Frobenius $G\ra G^{[1]}$ aus \eref{FroTA}{KAG} ein Monomorphismus aber kein Isomorphismus und $G^{[1]}$ ist in nat"urlicher Weise wieder eine algebraische Gruppe. In Charakteristik Null verschwinden diese Ph"anomene, dort ist nach \ref{iHHR} sogar jede bijektive Abbildung von homogenen R"aumen ein Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Koprodukt affiner Variet"aten}] Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ ist auch die disjunkte Vereinigung $X\sqcup Y$ mit $$\mathcal O(X\sqcup Y)\pdef \{f:X\sqcup Y\ra k\mid f|_X\in \mathcal O(X)\text{ und }f|_Y\in \mathcal O(Y)\}$$ eine affine Variet"at. Die Einbettungen $\op{in}_X: X\ra X\sqcup Y$ sowie $\op{in}_Y: Y\ra X\sqcup Y$ sind dann Morphismen von Variet"aten und diese Daten bilden zusammen ein Koprodukt in der Kategorie der affinen Variet"aten. Diese Kategorie besitzt mithin endliche Koprodukte. Das leere Koprodukt in unserer Kategorie ist die leere Variet"at. Die Restriktionen liefern zusammen einen Isomorphismus $$\mathcal O(X\sqcup Y)\sira \mathcal O(X)\times \mathcal O(Y)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Die regul"aren Funktionen einer affinen $k$-Variet"at $X$ sind genau die Morphismen von Variet"aten $X\ra k$, in Formeln $\mathcal O(X)=\op{Var}(X,k)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale Ringalgebra $A$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ mit ihrer Zariskitopologie als endlichdimensionaler $k$-Vektorraum bilden die Einheiten stets eine Zariski-offene Teilmenge $A^\times \co A$.\label{EZO} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen offener Teilmengen der Gerade}] Jeder Isomorphismus von Variet"aten $k\sira k$ hat die Gestalt $t\mapsto at + b$ f"ur $a\in k^\times$ und $b\in k$. Jeder Isomorphismus von Variet"aten $k^\times\sira k^\times$ hat die Gestalt $t\mapsto at^\varepsilon$ f"ur $a\in k^\times$ und $\varepsilon\in \{1,-1\}$. Die Variet"aten $k\backslash E$ f"ur $E\subset k$ endlich mit zwei oder mehr Elementen haben nur endlich viele Automorphismen. Hinweis: \eref{FRFFm}{AL}.\label{AutoV} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bijektive Morphismen m"ussen keine Isomorphismen sein}] Es gibt durchaus bijektive Morphismen zwischen affinen Variet"aten,\label{BNIa} die keine Isomorphismen von Variet"aten sind. Als Beispiele betrachte man im Fall einer Charakteristik $\op{char}k=p>0$ die Abbildung $k\ra k$, $t\mapsto t^p$ und im Fall $\op{char}k$ beliebig die Abbildung $k\ra {\mathcal Z}(X^3-Y^2)$, $t\mapsto (t^2,t^3)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder endlichdimensionale $k$-Vektorraum $V$ ist mit der Addition als Verkn"upfung eine affine algebraische Gruppe.\label{vGGL} \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ ist $\op{GL} (V)$ mit der Struktur einer $k$-Variet"at als Komplement der Nullstellenmenge einer regul"aren Funktion auf dem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $\op{End} V$ eine affine algebraische Gruppe.\label{AGGL} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Morphismus $\varphi:Z\ra X$ von affinen Variet"aten ist genau dann eine abgeschlossene Einbettung, wenn sein Komorphismus eine Surjektion $\varphi^\sharp:\mathcal O(X)\sra \mathcal O(Z)$ ist.\label{AIKS} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an \eref{Spn}{AL}: Sind $N$ und $B$ Gruppen und $\tau:B\ra \op{Grp^\times}N$ ein Gruppenhomomorphismus alias eine Operation von $B$ auf $N$ durch Gruppenautomorphismen, notiert $(\tau(a))(n)=(^an)$, so kann man $N\times B$ mit einer Gruppenstruktur versehen vermittels der Vorschrift $(m,a)(n,b)=(m\;(^an),ab)$ Diese Gruppe hei"st das oder genauer ein {\bf semidirektes Produkt}\index{Produkt!von Gruppen!semidirektes}\index{semidirektes Produkt} von $N$ mit $B$ und wird auch notiert als $N\rtimes B=N\rtimes_\tau B$. Man zeige: Sind hier $B$ und $N$ algebraische Gruppen und ist $B\times N\ra N$, $(a,n)\mapsto (^an)$ ein Morphismus von Variet"aten, so ist auch das semidirekte Produkt eine algebraische Gruppe, wenn wir es als Variet"at mit der Produktstruktur betrachten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Es sei $k^\times$ die multiplikative Gruppe und $k$ die additive Gruppe. Man zeige: Alle Homomorphismen von der einen in die andere sind konstant, in Formeln $|\op{GrpVar}(k,k^\times)|=1=|\op{GrpVar}(k^\times,k)|$. Sp"ater wird das auch direkt aus der Jordan-Zerlegung folgen. Man zeige weiter: Jeder Endomorphismus von $k^\times$ ist ein Potenzieren, in Formeln haben wir eine Bijektion $\DZ\sira\op{GrpVar}(k^\times,k^\times)$, $n\mapsto (z\mapsto z^n)$. Jeder Endomorphismus von $k$ in Charakteristik Null ist ein Multiplizieren, in Formeln haben wir eine Bijektion $k\sira\op{GrpVar}(k,k)$, $\lambda\mapsto (a\mapsto \lambda a)$.\label{CHh} In Charakteristik $p$ bilden die fraglichen Endomorphismen einen $k$-Vektorraum unter Nachschalten von $(\lambda\cdot)$ und die Potenzen des Frobeniushomomorphismus bilden eine Basis dieses $k$-Vektorraums. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s auf der affinen Variet"at $k$ die Addition die einzige Verkn"upfung ist, die sie zu einer algebraischen Gruppe mit neutralem Element Null macht.\label{EVKA} Man zeige, da"s auf der affinen Variet"at $k^\times$ die Multiplikation die einzige Verkn"upfung ist, die sie zu einer algebraischen Gruppe mit neutralem Element Eins macht. Man zeige, da"s auf der affinen Variet"at $k\backslash E$ f"ur $E\subset k$ endlich mit zwei oder mehr Elementen keine Struktur als algebraische Gruppe gibt. Hinweis: Man erinnere die Automorphismen offener Teilmengen der Geraden aus "Ubung \ref{AutoV}. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben $A\subset X$ und $B\subset Y$ Teilmengen von affinen Variet"aten ist der Abschlu"s von $A\times B$ in $X\times Y$ das Produkt der Abschl"usse, in Formeln\label{AbPO} $\overline{A\times B}=\bar A\times \bar B$. Man folgere ein weiteres Mal, da"s der Abschlu"s jeder Untergruppe einer affinen algebraischen Gruppe wieder eine Untergruppe ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Quotienten nach endlichen Normalteilern}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ und ein endlicher Normalteiler $N\subset G$ zeige man, da"s $G/N$ mit seiner Struktur als affine Variet"at nach \eref{Qz2b}{KAG} auch eine affine algebraische Gruppe wird.\label{QeN} \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Jede endlichdimensionale Ringalgebra "uber $k$ ist mit der Multiplikation als Verkn"upfung und der Struktur als affine Variet"at aus \ref{akV} ein algebraisches Monoid und ihre Einheitengruppe ist die Nichtnullstellenmenge einer regul"aren Funktion\label{EHGRR} und mit der Struktur als affine Variet"at nach \ref{BAVVAAG} eine algebraische Gruppe. Hinweis: \eref{EiHe}{KAG}. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Bemerkunge} Mag ein Master-Student die Strukturen als Monoid untersuchen auf $k\backslash E$ mit $|E|<\infty$? Als assoziatives Magma? Bereits $x*y=(xy)^5$ scheint assoziativ, hat aber kein neutrales Element. Sercombe: One can prove this directly -- both the bialgebra and Hopf algebra statements -- by a "graded" argument like I was sort of attempting to do in your office: see \url{https://math.stackexchange.com/questions/3819344/is-there-a-consistent-way-to-get-all-possible-coproducts}. \end{Bemerkunge}} \subsection{Verkn"upfungen auf Objekten} \begin{Definition}\label{VkOO} Sei ${\cal C}$ eine Kategorie mit endlichen Produkten und nach unseren Konventionen \eref{AsPP}{LA2} insbesondere auch einem finalen Objekt, das wir mit $\op{pt}$ bezeichnen. Eine \defnoind{Verkn"upfung}\index{Verkn"upfung!auf Objekt einer Kategorie} auf einem Objekt $G\in {\cal C}$ ist ein Morphismus $$m:G\times G\ra G$$ und ein Objekt mit Verkn"upfung $(G,m)$ hei"st ein {\bf Magma in $\mathcal C$}\index{Magma!in Kategorie}. Solch eine Verkn"upfung hei"st \defind{assoziativ} beziehungsweise \defnoind{kommutativ},\index{kommutativ!Verkn"upfung auf Objekt} wenn von den beiden folgenden Diagrammen das Linke beziehungsweise das Rechte kommutiert, mit $\tau:G\times G\ra G\times G$ der Vertauschung der beiden Faktoren und der offensichtlichen Vertikalen ganz links: $$ \xymatrix{ (G \times G) \times G \ar[r]^-{m \times \op{id}} \ar[d]& G \times G \ar[r]^{m}& G\ar@{=}[d]\\ G \times (G\times G) \ar[r]^-{\op{id}\times m} & G \times G\ar[r]^{m} & G } \hspace{2cm} \xymatrix{ G \times G \ar[r]^-{m } \ar[d]_{\tau}& G\ar@{=}[d]\\ G\times G \ar[r]^-{m} & G }$$ Ein \defind{neutrales Element} f"ur eine Verkn"upfung auf einem Objekt $G$ ist ein Morphismus $e:\op{pt}\ra G$ des finalen Objekts nach $G$ derart, da"s mit der Notation $\op{fin}$ f"ur den einzigen Morphismus $\op{fin}:G\ra \op{pt}$ das Diagramm $$ \xymatrix{ G \ar[rr]^{(\op{id}, e \circ \op{fin})}\ar[d]_{(e \circ \op{fin}, \op{id})}\ar[drr]^{\op{id}} && G\times G\ar[d]^{m}\\ G \times G \ar[rr]^{m} && G }$$ kommutiert. So ein neutrales Element ist, wenn es "uberhaupt existiert, eindeutig bis auf die Wahl des finalen Objekts, als da hei"st: Ist $e':\op{pt}'\ra G$ ein weiteres neutrales Element, so gilt $e'=e\circ \op{fin}$ f"ur den einzigen Morphismus $\op{fin}:\op{pt}'\ra\op{pt}$. Wir "uberlassen diesen Nachweis dem Leser. Ein \defind{Monoidobjekt} von $\cal{C}$ ist ein Objekt mit Verkn"upfung $(G,m)$ derart, da"s die Verkn"upfung assoziativ ist und ein neutrales Element existiert. Existiert zus"atzlich ein Morphismus {\bf Inversenbildung} $i:G\ra G$ derart, da"s auch das Diagramm $$ \xymatrix{ G \ar[r]^{(\op{id},i)}\ar[d]_{(i, \op{id})}\ar[dr]^{e\circ \op{fin}} & G \times G\ar[d]^{m}\\ G \times G \ar[r]^{m} & G } $$ kommutiert, so nennen wir unser Objekt mit Verkn"upfung $(G,m)$ ein \defind{Gruppenobjekt}. Wieder "uberlassen wir dem Leser den Nachweis, da"s es h"och\-stens einen Morphismus $i:G\ra G$ mit dieser Eigenschaft geben kann, vergleiche "Ubung \ref{InvEi}. Ich hoffe, da"s sich von selbst versteht, was Homomorphismen zwischen Objekten mit Verkn"upfung oder auch zwischen Monoidobjekten derselben Kategorie sind. Wir erhalten so insbesondere f"ur jede Kategorie mit endlichen Produkten $\cal{C}$ die\index{Ab@$\op{Ab}\cal{C}$ abelsche Gruppenobjekte von $\mathcal C$}\index{Abmon@$\op{Abmon}\cal{C}$ abelsche Monoidobjekte von $\mathcal C$} Kategorien\index{Grp@$\op{Grp}\cal{C}$ Gruppenobjekte von $\mathcal C$}\index{Mon@$\op{Mon}\cal{C}$ Monoidobjekte von $\mathcal C$} $$\begin{array}{rl} \op{Mon}\cal{C} & \text{der Monoidobjekte,}\\ \op{Abmon}\cal{C} & \text{der abelschen alias kommutativen Monoidobjekte,}\\ \op{Grp}\cal{C} & \text{der Gruppenobjekte und }\\ \op{Ab}\cal{C} & \text{der abelschen alias kommutativen Gruppenobjekte. } \end{array}$$ Eine \defnoind{Operation}\index{Operation!eines Gruppenobjekts}\index{Operation!eines Monoidobjekts} oder \defnoind{Wirkung}\index{Wirkung!eines Gruppenobjekts}\index{Wirkung!eines Monoidobjekts} eines Monoidobjekts $G$ einer Kategorie $\cal{C}$ auf einem Objekt $X\in \cal{C}$ ist ein Morphismus $a:G\times X\ra X$ derart, da"s die beiden folgenden Diagramme kommutieren: $$ \xymatrix{ (G \times G) \times X \ar[r]^-{m \times \op{id}}\ar[d]& G \times X \ar[r]^{a}& X\ar@{=}[d]\\ G \times (G\times X) \ar[r]^-{\op{id}\times a} & G \times X \ar[r]^{a}& X } \hspace{2cm} \xymatrix{ X\ar[d]_{(e \circ \op{fin}, \op{id})}\ar[dr]^{\op{id}} & \\ G \times X \ar[r]^{a} & X }$$ Die Notation $a$ soll an das Wort \defind{action} erinnern, mit dem man Operationen auf englisch und franz"osisch bezeichnet. \end{Definition} \begin{Beispiele} Ein Monoidobjekt in der Kategorie der Mengen ist ein Monoid, ein Gruppenobjekt eine Gruppe, ein Objekt mit $G$-Operation eine $G$-Menge. Ein Gruppenobjekt in der Kategorie der topologischen R"aume hei"st eine {\bf topologische Gruppe},\index{topologisch!Gruppe} ein Objekt mit $G$-Operation ein \defnoind{$G$-Raum}. Ein Gruppenobjekt in der Kategorie der separablen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten hei"st eine \defind{Liegruppe}, ein Objekt mit $G$-Operation eine {\bf $G$-Mannigfaltig\-keit}.\index{Mannigfaltigkeit!$G$-Mannigfaltig\-keit} Ein Gruppenobjekt in der Kategorie der affinen algebraischen Variet"aten hei"st eine {\bf affine algebraische Gruppe}, ein Objekt mit $G$-Operation eine \defnoind{affine $G$-Variet"at}. Ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Variet"aten hei"st eine \defnoind{algebraische Gruppe},\index{algebraisch!Gruppe} ein Objekt mit $G$-Operation eine \defnoind{$G$-Variet"at}.\index{Variet"at!$G$-Variet"at} Ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Schemata hei"st ein \defind{Gruppenschema}, ein Objekt mit $G$-Operation ein \defnoind{$G$-Schema}.\index{Schema!$G$-Schema} In der Kategorie der Schemata ist die volle Unterkategorie der affinen Schemata abgeschlossen unter Produkten und sozusagen per definitionem "aquivalent zur opponierten Kategorie $\op{Kring}^{\op{opp}}$ der Kategorie $\op{Kring}$ der kommutativen Ringe. Gruppenobjekte in dieser Kategorie hei"sen {\bf affine Gruppenschemata}\index{Gruppenschema!affines} oder {\bf kommutative Hopfalgebren "uber $\DZ$ mit Antipode}, wie wir sie gleich ausf"uhrlicher diskutieren werden. In der Kategorie der Garben von Mengen "uber einem gegebenen topologischen Raum ist ein Gruppenobjekt eine {\bf Garbe von Gruppen} und ein abelsches Gruppenobjekt eine {\bf abelsche Garbe}. Ein Monoidobjekt in der Kategorie $\op{Cat}$ der Kategorien schlie"slich hei"st eine {\bf strikte Tensorkategorie}. %Dieses Konzept werden %wir in \ref{STKa} genauer betrachten. \end{Beispiele} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} In noch gr"o"serer Allgemeinheit k"onnen wir\label{aSGs} Monoidobjekte und Abmonoidobjekte sogar in sogenannten \glqq Schmelzkategorien\grqq\ erkl"aren, vergleiche \eref{StrS}{TS}. An die Stelle der Multiplikation tritt dann eine Zweiverschmelung $G\curlyvee G\ra G$ und an die Stelle des neutralen Elements eine Leerverschmelzung $\curlyvee\ra G$. Die Abmo\-no\-id\-ob\-jek\-te einer Schmelzkategorie \glqq mit stabil universellen Verschmelzungen\grqq\ bilden hinwiederum eine Kategorie mit endlichen Koprodukten, wie in \eref{stMMx}{TS} ausgef"uhrt wird. In der dazu opponierten Kategorie k"onnen wir damit hinwiederum Gruppenobjekte $G$ sinnvoll definieren. Das zugrundeliegende Abmonoidobjekt notieren wir auch in dieser Allgemeinheit $\mathcal O(G)$. Gehen wir speziell von der Schmelzkategorie der abelschen Gruppen aus, so erhalten wir wieder unsere affinen Gruppenschemata von eben. Gehen wir dahingegen von der Schmelzkategorie der \glqq Parit"atsgruppen\grqq\ alias \glqq Super-$\DZ$-Moduln\grqq\ nach \eref{MudSS}{TS} aus, so erhalten wir \glqq affine Supergruppenschemata\grqq. \end{Bemerkungw}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anwendung von Funktoren auf Gruppenobjekte}] Nat"urlich mu"s jeder mit endlichen Produkten vertr"agliche Funktor zwischen Kategorien mit endlichen Produkten Monoidobjekte zu Monoidobjekten machen, Gruppenobjekte zu Gruppenobjekten, und so weiter. Allgemeiner reicht es sogar aus zu fordern, da"s f"ur unseren Funktor $F$ und unser Objekt mit Verkn"upfung $G$ und $n\leq 3$ die offensichtlichen Morphismen Isomorphismen $F(G^{\times n})\sira (FG)^{\times n}$ sind. Zum Beispiel wird jede topologische Gruppe durch das Vergessen der Topologie zu einer gew"ohnlichen Gruppe alias einem Gruppenobjekt in der Kategorie der Mengen, und jede affine algebraische Gruppe ist auch eine algebraische Gruppe, da eben der Einbettungsfunktor der Kategorie der affinen Variet"aten in die Kategorie aller Variet"aten mit endlichen Produkten vertr"aglich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Anwendung von Yonedafunktoren auf Gruppenobjekte}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten ist f"ur jedes Objekt $A\in \mathcal C$ der Mengenfunktor $\mathcal C(A,\;):\mathcal C\ra \op{Ens}$ vertr"aglich mit Produkten und macht folglich Gruppenobjekte zu Gruppen.\label{GoG} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $k$ erinnern wir aus \eref{VTEP}{LA2} den mit endlichen Produkten vertr"aglichen Funktor $$\{\text{Endliche Mengen}\}\ra \{\text{$k$-Kringe}\}^{\op{opp}}$$ gegeben durch $X\mapsto \op{Ens}(X,k)$. Er macht insbesondere endliche Gruppen zu Gruppenobjekten in $k\op{-Kring}^{\op{opp}}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben $k=\bar{k}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper erinnern wir aus \ref{PnaVl}, da"s der durch $X\mapsto \mathcal O(X)$ gegebene Funktor \begin{equation*} \{\text{Naive affine $k$-Variet"aten}\} \ra \{\text{$k$-Kringe}\}^{\op{opp}} \end{equation*} mit endlichen Produkten vertr"aglich ist. Er macht also affine algebraische Gruppen zu Gruppen\-objekten in $k\op{-Kring}^{\op{opp}}$. Im folgenden will ich diskutieren, wie Gruppenobjekte in $k\op{-Kring}^{\op{opp}}$ konkret aussehen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppenobjekte in opponierten Kringalgebren}] Nach \eref{KoPR}{LA2} kann f"ur jeden K"orper $k$ ein Koprodukt von je zwei Objekten $A,B$ in der Kategorie aller $k$-Kringe konstruiert werden als $A\otimes_k B$, und $k$ selbst ist in $k$-Kring ein initiales Objekt. Im "ubrigen gilt beides sogar f"ur jeden Kring $k$, aber so allgemein brauchen wir hier nicht zu werden. Ein Mo\-no\-id\-ob\-jekt von $k\op{- Kring}^{\op{opp}}$ ist demnach per definitionem ein Paar $(A, \Delta)$ bestehend aus einem $k$-Kring $A$ und einem Morphismus von $k$-Kringen $ \Delta : A \rightarrow A\otimes_k A $ derart, da"s \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[r]^-{\Delta}\ar@{=}[d] &A \otimes A \ar[r]^-{\Delta \otimes \op{id}} &(A \otimes A)\otimes A\ar[d]\\ A \ar[r]^-{\Delta} &A \otimes A \ar[r]^-{\op{id} \otimes \Delta} &A \otimes (A \otimes A) } \end{displaymath} kommutiert und da"s ein Morphismus von $k$-Kringen $\varepsilon : A \rightarrow k$ existiert, f"ur den das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A\ar[r]^-{\Delta}\ar[d]_{\Delta}\ar[dr]_{\op{id}} &A \otimes A\ar[d]^-{(\varepsilon, \op{id})}\\ A\otimes A \ar[r]_-{(\op{id},\varepsilon)} &A } \end{displaymath} kommutiert. Hier meint etwa $(\varepsilon, \op{id}) : A \otimes A \rightarrow A$ die Abbildung $a \otimes b \mapsto \varepsilon (a) b$ aus dem Koprodukt im Sinne von \eref{KoPro}{LA2}. Nach dem Vorhergehenden ist hier $\varepsilon$ eindeutig bestimmt, wenn es existiert. Solch ein Monoidobjekt ist weiter ein Gruppenobjekt genau dann, wenn es zus"atzlich einen Morphismus $S : A \rightarrow A$ gibt derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[d]_-{\Delta}\ar[r]^-{\Delta} \ar[dr]^-{{\op{in}}\circ\varepsilon} &A \otimes A\ar[d]^-{(S, \op{id})}\\ A\otimes A \ar[r]_-{(\op{id}, S)} &A } \end{displaymath} kommutiert. Hier meint etwa $(\op{id},S) : A \otimes A \rightarrow A$ wieder die Abbildung aus dem Koprodukt $a \otimes b \mapsto a S (b)$ und $\op{in}:k\ra A$ den eindeutigen Morphismus des initialen Objekts $k$ nach $A$. Ein Gruppenobjekt $(A, \Delta)$ in der Kategorie $k\op{- Kring}^{\op{opp}}$ nennt man eine {\bf kommutative Hopf-Algebra "uber $k$}.\index{Hopf-Algebra!kommutative} Die Abbildung $\Delta : A \rightarrow A \otimes A$ hei"st ihre {\bf Komultiplikation},\index{Komultiplikation!in Hopf-Algebra} die Abbildung $\varepsilon : A \rightarrow k$ die {\bf Ko-Eins},\index{Ko-Eins} die Abbildung $S : A \rightarrow A$ die {\bf Antipode}.\index{Antipode} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Allgemeine Hopfalgebren diskutieren wir in \eref{HoAlg}{TSK}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraische Gruppen und kommutative Hopfalgebren}] Das oben bereits angedeutete Beispiel besagt explizit, da"s man von einer affinen algebraischen Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar{k}$ ausgehend eine kommutative Hopfalgebra erh"alt, indem man auf $A \pdef \mathcal O (G)$ als Komultiplikation\label{agkh} die Komposition \begin{equation*} \Delta: \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G \times G) \sira \mathcal O (G) \otimes_k \mathcal O (G) \end{equation*} des Komorphismus $m^\sharp$ der Verkn"upfung von $G$ mit dem Isomorphismus der Produktvertr"aglichkeit von $\mathcal O$ betrachtet. Die Koeins ist dann das Auswerten am neutralen Element und die Antipode der Komorphismus $S = i^\sharp : \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ zum Invertieren. Noch einfacher wird in derselben Weise auch f"ur jede endliche Gruppe $G$ und jeden K"orper $k$ der $k$-Kring $k G = \mathcal O (G) = \op{Ens} (G,k)$ zu einer kommutativen Hopfalgebra "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $k=\bar{k}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so erinnern wir aus \eref{GAQK}{KAG}, da"s das Bilden der regul"aren Funktionen $\mathcal O $ sogar eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \{\text{Affine $k$-Variet"aten}\} \sirra \{\text{Affine $k$-Kringe}\}^{\op{opp}} \end{equation*} induziert. Unter einem affinen $k$-Kring versteht man dabei eine ringendliche nilpotentfreie Kringalgebra "uber $k$. Nat"urlich mu"s unsere "Aquivalenz $\mathcal O$ Gruppenobjekte mit Gruppenobjekten identifizieren. Da das Koprodukt affiner $k$-Kringe in der Kategorie aller $k$-Kringe stets wieder affin ist, erhalten wir mit Unterschlagung des Grundk"orpers in der Notation eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \{\text{Affine algebraische Gruppen}\} \sirra \{\text{Affine Hopfalgebren}\}^{\op{opp}} \end{equation*} Die Spezifikation \glqq affin\grqq\ auf der rechten Seite bezieht sich dabei auf die zugrundeliegende $k$-Kringalgebra, die eben affin sein soll, also ringendlich und nilpotentfrei. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Die algebraische Gruppe $\op{PSL}(2;k)$}]$(k=\bar k)$. Wir betrachten die algebraische Gruppe $\op{SL}(2;k)$ mit dem Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(\op{SL}(2;k)) = k [ T_1, T_2, T_3, T_4]/\langle T_1 T_4 - T_2T_3 -1\rangle$. Es sei $A \subset \mathcal O(\op{SL}(2;k))$ die von allen $T_i T_j$ mit $ i,j \in \{1, 2,3, 4\}$ erzeugte\label{PSL2} Unterringalgebra von $\mathcal O(\op{SL}(2;k)) $. Man zeige: \begin{enumerate} \item[(a)] Die Struktur einer Hopfalgebra auf $\mathcal O(\op{SL}(2;k)) $ induziert eine Struktur einer Hopfalgebra auf $A$. Damit gibt es eine algebraische Gruppe $\op{PSL}(2;k)$\index{PSL@$\op{PSL}(2;k)$ als algebraische Gruppe} mit der Eigenschaft $\mathcal O(\op{PSL}(2;k)) = A$; \item[(b)] Der von der Inklusion $A \subset \mathcal O(\op{SL}(2;k))$ induzierte Homomorphismus $\phi:\op{SL}(2;k) \rightarrow \op{PSL}(2;k)$ hat den Kern $\op{ker} \phi = \{I, -I\}$; \item[(c)] Im Fall $\op{char} k =2$ ist $\phi$ ein Isomorphismus von abstrakten Gruppen, aber nicht von algebraischen Gruppen. \end{enumerate} Im Fall $\op{char}k\neq 2$ erhalten wir so den Quotienten aus \ref{QeN} von $\op{SL}(2;k)$ nach dem Normalteiler $\{I, -I\}$. Im Fall $\op{char}k= 2$ eerhalten wir den Quotienten von $\op{SL}(2;k)$ nach einem normalen \glqq infinitesimalen Untergruppenschema\grqq, aber diese Allgemeinheit werden wir vorerst meiden. In \ref{PGL2} werden wir eine isomorphe Gruppe nocheinmal auf andere Weise konstruieren und $\op{PGL}(2;k)$ nennen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ein Element $f$ einer Hopf-Algebra hei"st {\bf primitiv},\index{primitiv!in Hopfalgebra} wenn gilt $\Delta(f)=f\otimes 1 + 1\otimes f$. Man zeige, da"s die primitiven Elemente im Ring der regul"aren Funktionen $\mathcal O(G)$ auf einer affinen algebraischen Gruppe $G$ genau die Homomorphismen in die additive Gruppe $f:G\ra k$ sind. Man folgere\label{priE} im Fall eines K"orpers $k$ der Charakteristik Null, da"s die primitiven Elemente der symmetrischen Algebra ${\op{S}}V$ genau die Bilder der Elemente von $V$ sind. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Ein kommutatives Monoid wird durch seine Ver\-kn"up\-fung ein Monoidobjekt in der Kategorie der Monoide. Man zeige, da"s jedes Monoidobjekt in der Kategorie der Monoide von dieser Gestalt ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit der Inversenbildung}] Man zeige, da"s eine Inversenbildung f"ur ein Monoidobjekt eindeutig ist, wenn sie existiert. Hinweis: Gegeben zwei Inversenbildungen $i,j:G\ra G$ betrachte man den Morphismus $(i,\op{id},j):G\ra G\times G\times G$ und verwende die Assoziativit"at.\label{InvEi} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Involutivit"at der Inversenbildung}] Man zeige, da"s eine Inversenbildung $i$ f"ur ein Monoidobjekt stets die Eigenschaft $i^2=\op{id}$ hat. Hinweis: Man betrachte den Morphismus $(\op{id},i,i^2):G\ra G\times G\times G$ und verwende die Assoziativit"at.\label{InvIi} \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir k"onnen die Definition \ref{VkOO} von Gruppenobjekten dahingehend abschw"achen, da"s wir statt die Existenz eines Morphismus \glqq Inversenbildung\grqq\ nur die Existenz von zwei Morphismen \glqq Bilden des Linksinversen\grqq\ und\label{LiRei} \glqq Bilden des Rechtsinversen\grqq\ fordern. Aus dem Rest der Axiome folgt dann bereits, da"s sie "ubereinstimmen m"ussen. \end{Ubung} \subsection{Einbettungen in Matrizenr"aume} \begin{Satz}[\textbf{Affine algebraische Gruppen sind linear}] Jede abgeschlossene Untergruppe der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen\label{aagl} $k$-Vektor\-raums ist eine affine algebraische Gruppe und jede affine algebraische Gruppe ist isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe dieser Art. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung abgeschlossen bezieht sich hier auf die Zariskitopologie. Ganz allgemein hei"st eine Gruppe {\bf linear}\index{linear!Gruppe} genau dann, wenn sie als Untergruppe in die Automorphismengruppe eines Vektrorraums eingebettet werden kann. Unsere affinen algebraischen Gruppen werden aufgrund des obigen Satzes auch und sogar meist {\bf lineare algebraische Gruppen}\index{linear!algebraische Gruppe} genannt.\index{algebraisch!Gruppe, lineare} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Affine algebraische Monoide sind linear}] Jedes abgeschlossene Untermonoid des Endomorphismenmonoids eines endlichdimensionalen\label{aagm} $k$-Vektor\-raums ist ein affines algebraische Monoid und jede affine algebraische Monoid ist isomorph zu einem abgeschlossenen Untermonoid dieser Art. \end{Satz} \begin{Beispiel} Die affine algebraische Gruppe $k^\times$ ist bereits ganz $\op{Gl}(1;k)$ und damit isomorph zu einer abeschlossenen Untergruppe von $\op{Gl}(1;k)$. Das ist ein triviales Beispiel f"ur Satz \ref{aagl}. Die affine algebraische Gruppe $k^\times$ ist auch isomorph zur Untergruppe der Diagonalmatrizen mit Determinante Eins $\{\op{diag}(t,t^{-1})\}\As \op{Mat}(2;k)$. Das ist ein nicht ganz so triviales Beispiel f"ur Satz \ref{aagm}. \end{Beispiel} \begin{proof} Die erste Aussage in beiden S"atzen folgt unmittelbar aus der universellen Eigenschaft der induzierten Struktur auf abgeschlossenen Teilmengen einer affinen Variet"at. Um die zweite Aussage zu beweisen, konzentrieren wir uns auf den zweiten Satz, der hier eine st"arkere Aussage macht, und betrachten f"ur ein algebraisches Monoid $G$ die Komposition $\Delta$ von Homomorphismen von $k$-Ringalgebren \begin{equation*} \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G\times G) \sila \mathcal O (G) \otimes_k \mathcal O (G) \end{equation*} mit dem Komorphismus $\op{mult}^\sharp$ der Multiplikation $\op{mult}:G\times G\ra G$ auf den regul"aren Funktionen an erster Stelle dem Inversen des Isomorphismus \ref{PnaVl} oder alternativ \eref{PAf}{KAG} an zweiter Stelle. Genau dann haben wir also $\Delta f = \sum^n_{i=1} g_i \otimes h_i$, wenn f"ur alle $x,y \in G$ gilt $f(xy) = \sum^n_{i=1} g_i (x) h_i (y)$. Erkl"aren wir die Rechtsverschiebung $\rho (y) : \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ durch die Vorschrift $(\rho (y) f)(x) = f(xy)$, so liegen alle $\rho (y) f$ also in dem von den Funktionen $g_i$ aufgespannten Teilraum und wir folgern, da"s f"ur alle $f\in\mathcal O(G)$ der von den Translaten von $f$ aufgespannte Teilraum $V\pdef \langle \rho (y) f \mid y \in G \rangle $ endlichdimensional ist. Zusammenfassend liegt jede regul"are Funktion $f \in \mathcal O (G)$ in einem endlichdimensionalen unter allen Rechtsverschiebungen invarianten Teilraum $V$. Weiter liefert die Operation von $G$ durch Rechtsverschiebung auf jedem endlichdimensionalen unter Rechtsverschiebung invarianten Teilraum $V$ f"ur jeden Vektor $f\in V$ einen Morphismus von Variet"aten $G\ra V$, $y\mapsto\rho(y)f=\sum h_i(y)g_i$. A priori ist diese Abbildung zwar ein Morphismus nach $W\pdef \langle g_1,\ldots, g_n\rangle$, aber da sie in $W\cap V$ landet und da jede injektive lineare Abbildung endlichdimensionaler Vektorr"aume eine abgeschlossene Einbettung ist, folgt die Aussage aus der universellen Eigenschaft abgeschlossener Einbettungen. Durch Anwenden dieser Erkenntnis auf die Vektoren einer Basis erhalten wir einen Homomorphismus von algebraischen Monoiden \begin{equation*} \rho : G \rightarrow \op{End} (V) \end{equation*} W"ahlen wir nun $V$ so gro"s, da"s $V$ ein Erzeugendensystem $f_1, \ldots , f_t$ des $k$-Krings $\mathcal O (G)$ umfa"st, so induziert unser Morphismus von algebraischen Monoiden $\rho$ eine Surjektion \begin{equation*} \mathcal O (\op{End} (V)) \twoheadrightarrow \mathcal O (G) \end{equation*} Betrachten wir in der Tat das Auswerten am neutralen Element $\delta_e : \mathcal O (G) \rightarrow k$ und die regul"aren Abbildungen $F_\tau : \op{End} (V) \rightarrow k$, $A \mapsto (Af_\tau )(e)$ f"ur $1\leq \tau\leq t$, so gilt $F_\tau (\rho (y)) = (\rho (y) f_\tau )(e) = f_\tau (y)$. Folglich haben wir $F_\tau\mapsto f_\tau$ und folglich liegen alle $f_\tau $ im Bild, das damit ganz $\mathcal O (G)$ sein mu"s. Nach \ref{AIKS} oder alternativ \eref{AbIM}{KAG} liefert unser Monoidhomomorphismus $\rho : G \rightarrow \op{End} (V)$ folglich einen Isomorphismus von $G$ mit einem abgeschlossenen Untermonoid von $\op{End} (V)$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Algebraische Untermonoide algebraischer Gruppen}] Gegeben $G$ eine algebraische Gruppe und $M\As G$ ein Zariski-abgeschlossenes Untermonoid ist $M$ bereits eine Untergruppe.\label{AUAG} \end{Satz} \begin{proof} Jedes $x\in M$ induziert einen Isomorphismus $(x\cdot):M\sira xM$ von $M$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge von $M$. Keine echte abgeschlossene Teilmenge einer Variet"at kann aber isomorph sein zur Variet"at selber, da jede Variet"at ein noetherscher topologischer Raum ist, vergleiche "Ubung \eref{EUV}{KAG}. Also gilt $xM=M$ und $M$ ist eine Gruppe. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Einheitengruppe affiner algebraischer Monoide}] In jedem affinen algebraischen Monoid bilden die Einheiten eine offene affine Teilmenge und k"onnen beschrieben werden als die Nichtnullstellenmenge einer regul"aren Funktion. \end{Korollar} \begin{proof} Sei $M$ unser Monoid. Nach \ref{aagm} finden wir einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und eine abgeschlossene Einbettung als Untermonoid $M\As \op{End}(V)$. Dann ist $M\cap \op{GL}(V)$ als abgeschlossenes Untermonoid einer algebraischen Gruppe bereits sebst eine algebraische Gruppe nach \ref{AUAG} und wir folgern $M^\times \supset M\cap \op{GL}(V)$ und dann auch sofort $M^\times = M\cap \op{GL}(V)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein affines algebraisches Monoid $G$ und ein Automorphismus $\varphi$ von $G$, der einen lokal endlichen Automorphismus $\varphi^\sharp$ von $\mathcal O(G)$ induziert, gibt es einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und eine abgeschlossene Einbettung $\rho:G\hra \op{End}(V)$ und ein Element $x\in\op{GL}(V)$ mit $\rho\circ \varphi=\op{int}_x\circ\rho$.\label{EinbA} Hinweis: Man vergr"o"sere den Teilraum $V\subset \mathcal O(G)$ aus dem vorherigen Beweis so, da"s er auch noch unter $\varphi^\sharp$ stabil ist. Unser $x$ wird dann das Inverse der Einschr"ankung von $\varphi^\sharp$ auf $V$. \end{Bemerkungl} \subsection{Algebraische Darstellungen} \begin{Bemerkungl} Seien $G$ ein Monoid und $k$ ein K"orper. Eine {\bf Darstellung von $G$ "uber $k$} ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$ und einem Monoidhomomorphismus $\rho:G\ra \op{End}(V)$. Wir verwenden dann auch die abk"urzenden Notationen $(\rho(x))(v)=x\cdot_\rho v=xv$. Gegeben eine Darstellung $V$ eines Monoids $G$ erkl"art man eine {\bf Unterdarstellung}\index{Unterdarstellung} als einen Untervektorraum $W\subset V$ mit $w\in W\RA xw\in W\;\forall x\in G$. Unser $\rho$ induziert dann einen Monoidhomomorphismus $G\ra \op{End}(W)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im folgenden gelten die Aussagen, bei denen ich nicht explizit Affinit"at fordere, auch im allgemeinen. F"ur die Beweise verwendet man \eref{PAff}{KAG}, nach dem auch f"ur beliebige Variet"aten $X,Y$ die Abbildung $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$ einen Isomorphismus $\mathcal O(X)\otimes \mathcal O(Y)\sira \mathcal O(X\times Y)$ induziert, und \eref{MAV}{KAG}, nach dem f"ur jede Variet"at $X$ und jede affine Variet"at $Y$ das Zur"uckholen regul"arer Funktionen eine Bijektion $\op{Var}(X,Y)\sira\op{Kring}^k(\mathcal O(Y),\mathcal O(X))$ induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $G$ ein algebraisches Monoid "uber $k=\bar k$.\label{algDa} Eine {\bf algebraische Darstellung von $G$}\index{algebraisch!Darstellung}\index{Darstellung!algebraische} ist eine Darstellung $(V,\rho)$ "uber $k$, in der jeder Vektor zu einer endlichdimensionalen Unterdarstellung $W\subset V$ geh"ort derart, da"s die induzierte Abbildung $G\ra \op{End}(W)$ ein Morphismus von Variet"aten ist. \end{Definition} \begin{Lemma}$(k=\bar k)$. Gegeben $V$ ein $k$-Vektorraum und $G$ ein algebraisches Monoid "uber $k$\label{RatD} liefert ein Monoidhomomorphismus $\rho:G \rightarrow \op{End} (V)$ genau dann eine algebraische Darstellung, wenn es eine lineare Abbildung \begin{equation*} \Delta_V : V \rightarrow \mathcal O (G) \otimes V \end{equation*} gibt derart, da"s gilt $\Delta_V( v)= \sum^n_{i=1} f_i \otimes v_i \;\RA\;\rho(x) v = \sum^n_{i=1} f_i (x) v_i\;\forall x\in G$. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $V$ endlichdimensional und $v_1,\ldots, v_n$ eine Basis und $\rho:G\ra\op{End}(V)$ ein Monoidhomomorphismus, so gibt es eindeutig bestimmte Funktionen $f_{ji}:G\ra k$ mit $\rho(x) v_j = \sum^n_{i=1} f_{ji} (x) v_i$. Das zeigt, da"s die Abbildung $\Delta_V$ aus dem Lemma, wenn es sie denn gibt, bereits durch $(V,\rho)$ eindeutig bestimmt ist. Ebenso sind unsere Funktionen $f_{ji}$ offensichtlich genau dann regul"ar, wenn $\rho:G\ra\op{End}(V)$ ein Morphismus von Variet"aten ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der "alteren Literatur hei"sen unsere algebraischen Darstellungen meist {\bf rationale Darstellungen}.\index{rational!Darstellung} Diese Terminologie erkl"art sich daraus, da"s man bereits zuvor {\bf polynomiale Darstellungen}\index{polynomial!Darstellung} \index{Darstellung!polynomiale} der Gruppen $\op{GL}(n;k)$ erkl"art hatte als Gruppenhomomorphismen $\op{GL}(n;k)\ra \op{GL}(m;k)$, bei denen die Matrixeintr"age der Bildmatrix polynomial von den Matrixeintr"agen der Ausgangsmatrix abh"angen, in unserer Terminologie also als algebraische Darstellungen des Monoids $ \op{Mat}(m;k)$. Bei rationalen Darstellungen durften dann im Gegensatz dazu auch Nenner auftreten, aber eben nur Potenzen der Determinante im Nenner, so da"s die Matrixeintr"age durchaus regul"are Funktionen auf der Gruppe sind. Die Verwendung des Wortes \glqq rational\grqq\ in diesem Zusammenhang halte ich im aktuellen terminologischen Kontext f"ur problematisch, weil sie einen Zusammenhang mit rationalen Funktionen suggeriert, der weit hergeholt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BSRD} F"ur jedes algebraische Monoid liefert die Rechtsverschiebung \begin{equation*} \rho : G \rightarrow \op{End} (\mathcal O (G)) \end{equation*} eine algebraische Darstellung von $G$. Ist allgemeiner $X$ eine $G$-Variet"at, also eine Variet"at mit einer $G$-Operation $G \times X \rightarrow X$, die ein Morphismus von Variet"aten ist, so liefert die Verschiebung von Funktionen mit denselben Argumenten wie im Beweis von \ref{aagl} eine algebraische Darstellung $$G^{\op{opp}} \rightarrow \op{End} (\mathcal O (X))$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine Darstellung hei"st {\bf irreduzibel}, wenn sie nicht Null ist, aber au"ser Null und sich selbst keine Unterdarstellung besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Darstellungen $V,W$ eines Monoids $G$ versteht man unter einem {\bf Homomorphismus von Darstellungen}\index{Homomorphismus von Darstellungen} eine lineare Abbildung $f:V\ra W$ mit $f(xv)=xf(v)$ f"ur alle $x\in G$ und $v\in V$. Die Darstellungen eines Monoids $G$ "uber einem K"orper $k$ werden so zu einer Kategorie. Wir notieren sie $$\op{Mod}_{k,G}=\op{Mod}_{G}$$ Ist $G$ ein algebraisches Monoid, so meinen wir mit dieser Notation meist abweichend die volle Unterkategorie der algebraischen Darstellungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Gegeben Darstellungen $V_1,\ldots,V_r,W$ eines Monoids $G$ verstehen wir unter einer {\bf Verschmelzung von Darstellungen}\index{Verschmelzung von Darstellungen} eine multilineare Abbildung $f:V_1\times\ldots\times V_r\ra W$ mit $f(xv_1,\ldots,xv_r)=xf(v_1,\ldots,v_r)$ f"ur alle $x\in G$ und $v_i\in V_i$. Die Darstellungen eines Monoids $G$ "uber einem K"orper $k$ bilden mit diesen Verschmelzungen und deren \glqq Multiverkn"upfung\grqq\ eine \glqq Schmelzkategorie\grqq\ im Sinne von \eref{Multik}{TSK}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Einordnung der Superdarstellungen}] Unsere Bemerkungen zu affinen Supergruppenschemata \ref{aSGs} haben eine nat"urliche Erg"anzung f"ur Darstellungen. Betrachten wir genauer wie dort\label{suDA} zu einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit stabil universellen Verschmelzungen die zugeh"orige Kategorie von Kringobjekten und ein Gruppenobjekt $G$ in deren opponierter Kategorie mit zugrundeliegendem Objekt $\mathcal O(G)\in\mathcal M$, so k"onnen wir eine \glqq Darstellung von $G$\grqq\ erkl"aren als ein Paar $(V,\Delta_V)$ bestehend aus einem Objekt $V\in\mathcal M$ nebst einem Morphismus $\Delta_V:V\ra \mathcal O(G)\otimes V$ in $\mathcal M$ derart, da"s gewisse mehr oder weniger offensichtliche Vertr"aglichkeiten gelten. Insbesondere erh"alt man so im Fall der Schmelzkategorie der Parit"atsgruppen sogenannte \glqq Superdarstellungen von affinen Supergruppenschemata\grqq. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $G$ ein affines algebraisches Monoid "uber $k$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. So geh"ort eine lineare Abbildung $\Delta_V:V\ra\mathcal O(G)\otimes V$ genau dann zu einer algebraischen Darstellung, wenn gilt\label{DRatj} $(\op{id}\otimes \Delta_V)\circ \Delta_V= (\Delta\otimes \op{id})\circ \Delta_V$ f"ur $\Delta:\mathcal O(G)\ra \mathcal O(G)\otimes \mathcal O(G)$ die Komultiplikation sowie $\op{id}_V=(\delta_1\otimes \op{id}_V)\circ \Delta_V$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede irreduzible Darstellung einer affinen algebraischen Gruppe l"a"st sich als Unterdarstellung in die regul"are Darstellung einbetten. Hinweis: Matrixkoeffizienten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Darstellung $V$ eines algebraischen Monoids $G$ ist algebraisch genau dann, wenn\label{lokAD} es f"ur jeden Vektor $v\in V$ eine offene Umgebung $U\co G$ des neutralen Elements gibt derart, da"s $Uv$ in $V$ einen endlichdimensionalen Teilraum $\langle Uv\rangle$ aufspannt und die Abbildung $U\ra \langle Uv\rangle$ gegeben durch $g\mapsto gv$ ein Morphismus von Variet"aten ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ eines algebraischen Monoids $G$ und Untervektorr"aume $U,W\subset V$ ist $\{g\in G\mid g(U)\subset W\}$\label{UDJ} eine abgeschlossene Teilmenge von $G$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ eines algebraischen Monoids $G$ und ein Untervektorraum $U\subset V$ und eine offene dichte Teilmenge $A\co G$ ist das Vektorraumerzeugnis $W$ von $\{au\mid a\in A, u\in U\}$ eine $G$-stabile Teilmenge von $V$.\label{UDI} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{UDR} Ist $V\sra W$ ein surjektiver Homomorphismus von Darstellungen eines affinen algebraischen Monoids $G$ und ist die Darstellung $V$ algebraisch, so ist auch die Darstellung $W$ algebraisch. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $V$ eine Darstellung eines Monoids $G$ und $W\subset V$ eine Unterdarstellung, so gibt es genau ein Struktur von $G$-Darstellung auf $V/W$ derart, da"s dis kanonische Projektion $V\sra V/W$ ein homomorphismus von Darstellungen ist. Wir nennen $V/W$ mit dieser Struktur die {\bf Quotientendarstellung}.\index{Quotientendarstellung} \end{Ubung} \begin{Ubung} Der Quotient einer Darstellung nach einer maximalen echten Unterdarstellung ist stets irreduzibel. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung $V$ einer algebraischen Gruppe oder eines algebraischen Monoids $G$ zeige man: \begin{enumerate} \item Der Komorphismus $\mathcal O (V) \rightarrow \mathcal O (G \times V) \sira \mathcal O (G) \otimes \mathcal O (V)$ zur Operation $G \times V \rightarrow V$ induziert eine lineare Abbildung $ V^\ast \rightarrow \mathcal O (G) \otimes V^\ast$; \item Diese lineare Abbildung ist der Komorphismus zur kontragredienten Darstellung von $G^{\op{opp}}$ auf $V^\ast$. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ODKo} Jede irreduzible algebraische Darstellung einer kommutativen algebraischen Gruppe ist eindimensional. Hinweis: Existenz simultaner Eigenvektoren \eref{ESuU}{LA2}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OvDK} Der Komorphismus $\Delta_V:V\ra \mathcal O(G)\otimes V$ ist ein Homomorphismus von Darstellungen f"ur die Operation durch Konjugation auf $\mathcal O(G)$. Hinweis: F"ur jede Darstellung $\rho:G\ra \op{GL}(V)$ einer Gruppe $G$ und jedes Element $t\in G$ gilt $(tgt^{-1})tv=t(gv)$. Die lineare Abbildung $\rho(t):V\ra V$ ist also ein Isomorphismus von der Darstellung $\rho$ zur Darstellung $\rho\circ(\op{int}t)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorprodukt algebraischer Darstellungen}] Gegeben algebraische Darstellungen $V,W$ eines affinen algebraischen Monoids $G$ ist auch der Vektorraum $V\otimes W$ eine algebraische Darstellung von $G$ unter der Operation $x(v\otimes w)\pdef xv\otimes xw$.\label{TPb} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben algebraische Darstellungen $(\rho,V),(\psi,W)$ einer affinen algebraischen Gruppe $G$ mit $\op{dim}V<\infty$ ist auch der Vektorraum $\op{Hom}(V,W)$ eine algebraische Darstellung von $G$ unter der Operation $(gf)= \psi(g)\circ f\circ \rho(g)^{-1}$ f"ur $f\in\op{Hom}(V,W)$. Ist speziell $W$ die Einsdarstellung von $G$, so\label{kogD} erhalten wir eine Darstellung von $G$ durch Automorphismen des Dualraums $V^\ast$ von $V$, die sogenannte {\bf kontragrediente Darstellung}. \index{kontragrediente Darstellung}\index{Darstellung!kontragrediente} \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Die "Ubung \ref{TPb} zum Tensorprodukt bedeutet, \label{DmkR} da"s die Schmelzkategorie der algebraischen Darstellungen eines affinen algebraischen Monoids stabil universelle Verschmelzungen besitzt im Sinne von \eref{Multik}{TSK}. Ist unser Monoid eine Gruppe, bilden die endlichdimensionalen algebraischen Darstellungen nach "Ubung \ref{kogD} sogar eine Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom. Das gilt auch f"ur beliebige algebraische Darstellungen, aber dann m"ussen wir das \glqq interne Hom\grqq\ sorgf"altiger konstruieren als die maximale algebraische Unterdarstellung $(V{\Rrightarrow} W)\subset \op{Hom}(V,W)$. Ein injektiver Morphismus $L\hra V$ mu"s jedoch in dieser Allgemeinheit keinen surjektiven Morphismus $(L{\Rrightarrow} k)\sra (V{\Rrightarrow}k)$ induzieren, wie das Beispiel \ref{uniAG} zeigt. \end{Bemerkungw} \begin{Ubunge} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit stabil universellen Verschmelzungen\label{OperGG} und ein Gruppenobjekt $G\in \op{Kring}_{\mathcal M}^{\op{opp}}$ mit zugrundeliegendem Objekt $\mathcal O(G)\in\op{Kring}_{\mathcal M}$ k"onnen wir nach \ref{GoG} die Gruppe $G({\op{I}})$ betrachten. Man zeige, da"s f"ur jede Darstellung $V$ von $G$ die Gruppe $G({\op{I}})$ in nat"urlicher Weise auf $V$ operiert. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anf"ange des Tannaka-Formalismus}] Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $G$ eine affine algebraische Gruppe "uber $k$. Wir betrachten den Schmelzfunktor $$F:\op{Mod}_G\ra \op{Mod}_k$$ des Vergessens der Gruppenwirkung. Wir behaupten, da"s wir einen Gruppenisomorphismus $$\tau: G\sira \op{SCat}(\op{Mod}_G,\op{Mod}_k)^\times(F)$$ zwischen $G$ und der Automorphismengruppe des Schmelzfunktors $F$ erhalten durch die Vorschrift $g\mapsto \tau(g)$, bei der die Isotransformation von Schmelzfunktoren $\tau(g):F \ra F$ hinwiederum gegeben durch die Gesamtheit der linearen Abbildungen $\tau(g)_V:F(V) \ra F(V)$ f"ur $V\in \op{Mod}_G$, die gerade die durch die Operation von $G$ auf $V$ gegebenen linearen Abbildungen $(g\cdot):V\ra V$ sind. Es ist klar, da"s diese Vorschrift einen Gruppenhomomorphismus liefert. Um dessen Bijektivit"at zu zeigen, konstruieren wir eine Umkehrabbildung. Dazu betrachten wir die Darstellung $R\pdef \mathcal O(G)$ mit der $G$-Operation durch Rechtsverschiebung $(\rho(g)f)(x)=f(xg)$. Jeder Automorphismus $\tau$ des Schmelzfunktors $F$ liefert ja insbesondere einen Vektorraumisomorphismus $\tau_{R}: R\sira R$. Da die Multiplikation $\mathcal O(G)\times \mathcal O(G)\ra \mathcal O(G)$ eine $G$-"aquivariante bilineare Abbildung ist, ist sie eine Zweiverschmelzung $R\curlyvee R\ra R$, und damit mu"s $\tau_R$ ein Algebrenhomomorphismus sein. Da die Eins von $\mathcal O(G)$ invariant unter Rechtsverschiebung ist, ist sie eine Nullverschmelzung $\curlyvee\ra R$ und damit mu"s $\tau_R$ die Eins auf die Eins Abbilden alias ein Ringalgebrenhomomorphismus sein. Da die Linksverschiebungen $\lambda(z):\mathcal O(G)\ra \mathcal O(G)$ Homomorphismen von Darstellungen $R\ra R$ sind, mu"s $\tau_R$ mit ihnen allen kommutieren. Wie wir beim Beweis der Jordanzerlegung \ref{JZaG} gesehen haben, gibt es folglich $g\in G$ mit $\tau_R=\rho(g): \mathcal O(G)\ra \mathcal O(G)$. Es folgt $\tau_V=\tau_V(g)$ erst f"ur $V=R$, dann f"ur $V$ eine beliebige direkte Summe von Kopien von $R$, dann f"ur $V$ endlichdimensional, weil sich $V$ dann nach dem Beweis von \ref{JZaG} in eine direkte Summe von Kopien von $R=\mathcal O(G)$ einbetten l"a"st, und schli"slich f"ur $V$ beliebig, weil es eine Vereinigung von endlichdimensionalen Unterdarstellungen ist. Es ist ziemlich klar, da"s wir durch dieselbe Vorschrift dann auch einen Gruppenisomorphismus $$\tau: G\sira \op{SCat}(\op{Modf}_G,\op{Mod}_k)^\times(F)$$ von $G$ mit der Automorphismengruppe des auf endlichdimensionale Darstellungen eingeschr"ankten Schmelzfunktors $F$ erhalten. Wenn wir nun umgekehrt von einem Paar $(\mathcal M,E)$ aus einer $k$-li\-ne\-a\-ren Schmelzkategorie $\mathcal M$ und einem $k$-li\-ne\-a\-ren Schmelzfunktor $E:\mathcal M\ra \op{Mod}_k$ ausgehen, kann man sich fragen, unter welchen Bedingungen man die Gruppe $$ G\pdef \op{SCat}(\mathcal M,\op{Mod}_k)^\times(E)$$ so mit der Struktur einer affinen algebraischen Gruppe "uber $k$ versehen kann, da"s es eine "Aquivalenz von $k$-linearen Schmelzkategorien $\sigma:\op{Modf}_G\sirra \mathcal M$ gibt und einen Isomorphismus $E\circ \sigma\siRa F$ von Schmelzfunktoren. Das ist die Grundfrage der Tannaka-Theorie. \end{Bemerkungl} \subsection{Jordanzerlegung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen aus der Linearen Algebra}] Ein Endomorphismus eines Vektorraums hei"st nach \eref{DSHR}{LA2} \defind{lokal endlich}, wenn jeder Vektor in einem endlichdimensionalen unter unserem Endomorphismus stabilen Teilraum liegt. Ein Vektorraum "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper zerf"allt nach \eref{DSHR}{LA2} unter einem Endomorphismus in die direkte Summe seiner Haupt\-r"aume genau dann, wenn besagter Endomorphismus lokal endlich ist. Ein Endomorphismus $x$ eines Vektorraums hei"st \defind{lokal nilpotent}, wenn jeder Vektor von einer Potenz von $x$ zu Null gemacht wird, wenn also unser Vektorraum die Vereinigung der Kerne der Potenzen von $x$ ist. Nat"urlich ist jeder lokal nilpotente Endomorphismus lokal endlich. Ein Endomorphismus $x$ eines Vektorraums hei"st \defind{lokal unipotent}, wenn $x-\op{id}$ lokal nilptent ist. Oft wird der Zusatz \glqq lokal\grqq\ in diesem Zusammenhang auch weggelassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplikative Jordanzerlegung von Automorphismen}] Ich erinnere an die multiplikative Jordanzerlegung \eref{MuJo}{LA2}: Jeder lokal endliche Automorphismus $x$ eines Vektorraums "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper l"a"st sich auf genau eine Weise darstellen als\label{MuJon} ein Produkt\index{Jordanzerlegung!multiplikative} $$x=x_{\op{u}}x_{\op{s}}$$ mit $x_{\op{s}}$ halbeinfach alias \glqq semisimple\grqq\ alias diagonalisierbar, $x_{\op{u}}$ lokal unipotent alias $(x_{\op{u}}-\op{id})$ lokal nilpotent, und $x_{\op{u}}x_{\op{s}}=x_{\op{s}}x_{\op{u}}$. Ich erinnere weiter an die Funktorialit"atseigenschaften dieser Zerlegung. Sei $$\begin{array}{ccc} V & \overset {f}{\longrightarrow} & W \\ x \downarrow \;\;& &\;\; \downarrow y \\ V & \overset {f}{\longrightarrow} & W \end{array}$$ ein kommutatives Diagramm von Vektorr"aumen mit invertierbaren lokal endlichen Vertikalen. Sind dann $x = x_{\op{s}}x_{\op{u}}$ und $y =y_{\op{s}}y_{\op{u}}$ die multiplikativen Jordan-Zerlegungen von $x$ und $y$, so kommutieren auch die Diagramme \begin{center} $\begin{array}{ccc} V & \overset {f}{\longrightarrow} & W \\ x_{\op{s}} \downarrow \;\;\;& &\;\;\; \downarrow y_{\op{s}} \\ V & \overset {f}{\longrightarrow} & W \end{array}$\hspace{1cm} $\begin{array}{ccc} V & \overset {f}{\longrightarrow} & W \\ x_{\op{u}} \downarrow \;\;\;& &\;\;\; \downarrow y_{\op{u}} \\ V & \overset {f}{\longrightarrow} & W \end{array}$ \end{center}\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach dem Beweis von \ref{aagl} f"ur jedes $g \in G$ die Rechtsverschiebung $\rho (g) : \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ gegeben durch $(\rho (g) f) (x) = f (xg)$ f"ur alle $x \in G$ und $f \in \mathcal O (G)$ eine $k$-lineare lokal endliche Abbildung ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}$(k=\bar k)$. Ein Element einer affinen algebraischen Gruppe hei"st {\bf halbeinfach}\index{halbeinfach!in algebraischer Gruppe} beziehungsweise {\bf unipotent},\index{unipotent!Element!in algebraischer Gruppe} wenn es auf jeder algebraischen Darstellung besagter Gruppe durch einen halbeinfachen beziehungsweise einen unipotenten Automorphismus operiert. \end{Definition} % \begin{Definition}$(k=\bar k)$. % Sei % $G$ eine affine algebraische Gruppe "uber $k$. % Ein Element $g\in G$ hei"st % {\bf halbeinfach}\index{halbeinfach!in algebraischer Gruppe} % bzw.\ % {\bf unipotent}\index{unipotent!Element!in algebraischer Gruppe} % genau dann, wenn die zugeh"orige Rechtsverschiebung $\rho (g):\mathcal O (G) % \rightarrow \mathcal O (G)$ auf den regul"aren Funktionen % halbeinfach bzw.\ % unipotent ist. % \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Jordanzerlegung in affinen algebraischen Gruppen}] \begin{enumerate} \item Ge\-ge\-ben eine affine algebraische Gruppe $G$ gibt es f"ur jedes Element $g \in G$ eindeutig bestimmte $g_{\op{s}}, g_{\op{u}} \in G$ mit $g_{\op{s}}$ halbeinfach und $g_{\op{u}}$ unipotent und $ g = g_{\op{s}} g_{\op{u}}= g_{\op{u}} g_{\op{s}} $. Diese Elemente $g_{\op{s}}$ und $g_{\op{u}}$ hei"sen der \emph{\bf halbeinfache}\index{halbeinfach!Anteil!in algebraischer Gruppe} und der \emph{\bf unipotente Anteil von $g$};\index{unipotent!Anteil!in algebraischer Gruppe} \item Gegeben ein Homomorphismus $\varphi : G \rightarrow G^\prime$ von affinen algebraischen Gruppen gilt $\varphi (g_{\op{u}}) = \varphi (g)_{\op{u}}$ und $\varphi (g_{\op{s}}) =\varphi (g)_{\op{s}}$ f"ur alle $g \in G$. \end{enumerate} \label{JZaG}\index{Jordan-Zelegung!in algebraischen Gruppen} \end{Satz} \begin{Beispiel} Im Fall $G=\op{GL}(n;k)$ ist die konkrete multiplikative Jordanzerlegung aus der linearen Algebra die einzige Zerlegung, die "uberhaupt eine Chance hat, die Bedingungen des Satzes zu erf"ullen. Da im Satz auch die Existenz gezeigt wird, mu"s das in diesem Fall bereits die Jordanzerlegung in der affinen algebraischen Gruppe $\op{GL}(n;k)$ sein. Ist weiter $G\As\op{GL}(n;k)$ eine abgeschlossene Untergruppe, so mu"s nach dem zweiten Teil des Satzes die Jordanzerlegung in $G$ mit der Jordanzerlegung in $\op{GL}(n;k)$ zusammenfallen. Insbesondere mu"s $G$ mit jedem Element auch seinen unipotenten und halbeinfachen Anteil im Sinne der konkreten multiplikativen Jordanzerlegung enthalten und das mu"s dann bereits die Jordanzerlegung in der affinen algebraischen Gruppe $G$ sein. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} F"ur die Dauer des Beweises notieren wir die Jordanzerlegung in affinen algebraischen Gruppen abweichend von der Formulierung des Satzes noch $g=g_{u}g_{s}$ mit Indizes in einem anderen Schrifttyp als bei der konkreten Zerlegung $g=g_{\mathrm u}g_{\mathrm s}$ eines Automorphismus $g$ eines endlichdimensionalen Vektorraums. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Eine lineare Abbildung $\mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ kommt her von einem Homomorphismus von affinen Variet"aten genau dann, wenn sie ein Homomorphismus von Ring\-al\-ge\-bren ist. Eine bijektive lineare Abbildung $\mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ kommt her von einem Isomorphismus von affinen Variet"aten genau dann, wenn sie ein Isomorphismus von Algebren alias in unserer Terminologie vertr"aglich mit der Multiplikation ist, denn ein solcher Isomorphismus mu"s das Eins-Element automatisch erhalten. Ein Homomorphismus von affinen Variet"aten $G \rightarrow G$ ist die Rechtsmultiplikation mit einem Gruppenelement genau dann, wenn er mit den Linksmultiplikationen mit allen Gruppenelementen $z\in G$ vertauscht. K"urzen wir $\mathcal O (G) = A$ ab, so ist ein Vektorraumisomorphismus $r : A \sira A$ demnach ein $\rho (g)$ genau dann, wenn die beiden folgenden Diagramme kommutieren, das letztere f"ur alle $z\in G$: \begin{displaymath} \xymatrix{ A \otimes A \ar[r]^-{\op{mult}}\ar[d]_-{r \otimes r} &A \ar[d]^r &&A\ar[d]_-r \ar[r]^-{\lambda(z)} & A \ar[d]^r\\ A\otimes A \ar[r]^-{\op{mult}} & A && A \ar[r]^-{ \lambda(z)} & A } \end{displaymath} mit $\lambda(z): \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ der Rechtsoperation durch Linksverschiebung, gegeben durch $(\lambda(z)f)(x)=f(zx)$. Nach der Funktorialit"at der Jordanzerlegung \ref{MuJon} kommutieren diese Diagramme aber auch dann noch, wenn wir in den Vertikalen den halbeinfachen beziehungsweise den unipotenten Anteil nehmen. Die Eindeutigkeit der multiplikativen Jordanzerlegung \ref{MuJon} liefert unmittelbar $(r \otimes r)_{\op{s}} = r_{\op{s}} \otimes r_{\op{s}}$ und $(r \otimes r)_{\op{u}} = r_{\op{u}} \otimes r_{\op{u}}$. Es folgt, da"s mit $r = \rho (g)$ auch $\rho (g)_{\op{s}}$ und $\rho (g)_{\op{u}}$ die fraglichen Diagramme kommutieren lassen. Folglich gibt es $g_{s}, g_{u} \in G$ mit $\rho (g)_{\op{s}} = \rho (g_{s})$ und $\rho (g)_{\op{u}} = \rho (g_{u})$. Wegen $\rho (g) = \rho (g_{s}) \rho (g_{u}) = \rho (g_{u}) \rho(g_{s})$ folgt $g = g_{s} g_{u} = g_{u} g_{s}$. Jetzt zeigen wir, da"s $g_{s}, g_{u}$ auch im Sinne unserer Definition halbeinfach beziehungsweise unipotent sind. Es reicht daf"ur zu zeigen, da"s sie auf jeder endlichdimensionalen algebraischen Darstellung $V$ von $G$ durch halbeinfache beziehungsweise unipotente Automorphismen operieren. F"ur $\psi_1 , \ldots , \psi_n$ eine Basis von $V^\ast$ liefern aber die Matrixkoeffizientenabbildungen eine f"ur die $G$-Operation durch Rechtstranslation auf $\mathcal O(G)$ "aquivariante Einbettung \begin{eqnarray*} V &\hookrightarrow &\mathcal O (G)^n\\ v &\mapsto &(x\mapsto \psi_i (x v))^n_{i=1} \end{eqnarray*} In anderen Worten erhalten wir also f"ur alle $g \in G$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V\ar[d]_g \ar@{^{(}->}[r] &\mathcal O (G)^n \ar[d]^{\rho (g) \times \ldots \times \rho (g)}\\ V \ar@{^{(}->}[r] & \mathcal O (G)^n } \end{displaymath} Nun erkennt man aber auch ohne Schwierigkeiten die Identit"aten $(x \times y)_{\op{u}} = x_{\op{u}} \times y_{\op{u}}$ sowie $(x \times y)_{\op{s}} = x_{\op{s}} \times y_{\op{s}}$ f"ur $x : V \rightarrow V$ und $y : W \rightarrow W$ lokal endlich und invertierbar. Wenden wir also auf unser Diagramm die Funktorialit"at der konkreten Jordanzerlegung an, so folgt, da"s $g_s$ auf $V$ durch einen halbeinfachen Automorphismus operiert und $g_u$ durch einen unipotenten Automorphismus. Das zeigt die Existenz der multiplikativen Jordanzerlegung. Die Eindeutigkeit folgt unmittelbar aus der Eindeutigkeit der konkreten multiplikativen Jordanzerlegung von $\rho(g)$ im Sinne von \ref{MuJon}. Um den zweiten Teil zu zeigen, betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \ar[r]^-\varphi \ar[d]^-{\cdot g}& G^\prime\ar[d]^-{\cdot \varphi (g)}\\ G \ar[r]^\varphi & G^\prime } \end{displaymath} und das induzierte kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O(G) &\ar[l]_-{\circ \varphi} \mathcal O (G^\prime)\\ \mathcal O (G)\ar[u]_-{\rho (g)}& \ar[l]_-{\circ \varphi} \mathcal O (G^\prime) \ar[u]_-{\rho(\varphi (g))} } \end{displaymath} Wieder bleibt es kommutativ, wenn wir in den Vertikalen den unipotenten oder den halbeinfachen Anteil nehmen. Kehren wir dann wieder zu unseren Variet"aten zur"uck, so erhalten wir kommutative Diagramme \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \xymatrix{ G\ar[r]^-\varphi \ar[d]^{\cdot g_{u}} &G^\prime \ar[d]^{\cdot \varphi (g)_{u}}\\ G\ar[r]^-\varphi &G^\prime } & \;\;\;\;\;\; &\xymatrix{ G\ar[r]^-\varphi \ar[d]^{\cdot g_{s}} &G^\prime \ar[d]^{\cdot \varphi (g)_{s}}\\ G \ar[r]^-\varphi &G^\prime } \end{array} \end{displaymath} Setzen wir darin schlie"slich oben links das neutrale Element ein, so ergibt sich $\varphi (g_{u}) = \varphi (g)_{u}$ und $\varphi (g_{s}) =\varphi (g)_{s}$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der Menge der unipotenten Elemente}] Die unipotenten Elemente einer affinen algebraischen Gruppe $G$ bilden stets eine\label{EUpo} abgeschlossene Teilmenge $G_{\op{u}} \As G$. In der Tat d"urfen wir, um das zu zeigen, ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $G\As \op{GL}(n;k)$ annehmen, und dann sind die unipotenten Elemente gerade die Matrizen mit charakteristischem Polynom $(T-1)^n$. Die unipotenten Elemente bilden im allgemeinen keine Untergruppe und die Abbildung $g \mapsto g_{\op{u}}$ ist im allgemeinen kein Morphismus von Variet"aten. Ist jedoch $G=B$ zusammenh"angend und aufl"osbar, so ist $B_{\op{u}}\As B$ nach \ref{ZFTR} ein zusammenh"angender nilpotenter Normalteiler, und ist $G=N$ zusammenh"angend nilpotent oder kommutativ, so ist nach \ref{SNLI} beziehungsweise \ref{JZK} nicht nur $N_{\op{u}}\As N$ eine Untergruppe, sondern auch das Bilden des unipotenten Anteils ein Morphismus $N\ra N_{\op{u}}$ von algebraischen Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der Menge der halbeinfachen Elemente}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ mu"s die Menge $G_{\op{s}}$ der halbeinfachen Elemente weder offen noch abgeschlossen noch eine Untergruppe sein. Ist jedoch $G=N$ zusammenh"angend nilpotent oder kommutativ, so ist nach \ref{SNLI} beziehungsweise \ref{JZK} die Menge der halbeinfachen Elemente $N_{\op{s}}\As N$ eine abgeschlossene zentrale Untergruppe und das Bilden des halbeinfachen Anteils ein Morphismus $N\ra N_{\op{s}}$ von algebraischen Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Jordanzerlegung in kommutativen Gruppen}] Ist $K$ eine kommutative affine algebraische Gruppe, so bilden die unipotenten und die halb\-ein\-fa\-chen Elemente\label{JZK} jeweils abgeschlossene Untergruppen $K_{\op{u}},K_{\op{s}} \As K$ und die Multiplikation liefert einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen $$K_{\op{s}} \times K_{\op{u}} \sira K$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{KHDi} und \ref{diaG}, da"s $K_{\op{s}}$, wenn es zusammenh"angend ist, isomorph sein mu"s zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe $(k^\times,\cdot)$. Wir zeigen in \ref{upk}, da"s in Charakteristik Null $K_{\op{u}}$ isomorph sein mu"s zu einem endlichen Produkt von Kopien der additiven Gruppe $(k,+)$. Eine zusammenh"angende kommutative affine algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik Null ist also isomorph zu einem Produkt von endlich vielen Kopien von $(k^\times,\cdot)$ mit endlich vielen Kopien von $(k,+)$. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Als allererstes bemerken wir, da"s die Abbildung in unserer Proposition nach dem Satz "uber die Jordanzerlegung jedenfalls schon mal eine Bijektion von Mengen sein mu"s. Nach \ref{aagl} k"onnen wir nun $K$ als abgeschlossene Untergruppe in die Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ einbetten. % $K_{\op{s}}\subset K$ die Menge der % halbeinfachen Elemente von $K$ Nach "Ubung \eref{GEZ}{LA2} "uber die simultane Eigenraumzerlegung finden wir eine Zerlegung in Untervektorr"aume $V=V_1\oplus \ldots \oplus V_m$ und paarweise verschiedene Abbildungen $\lambda_i:K_{\op{s}}\ra k$ mit $$V_i=\{v\in V\mid gv=\lambda_i(g)v\;\;\forall g\in K_{\op{s}}\}$$ den simultanen Eigenr"aumen. Da unsere Gruppe kommutativ ist, m"ussen alle $g\in K$ jeden dieser simultanen Eigenr"aume $V_i$ stabilisieren. Nach "Ubung \eref{SimT}{LA2} "uber die simultane Trigonalisierbarkeit finden wir also eine Basis von $V$, bez"uglich derer alle Elemente von $K_{\op{s}}$ durch Diagonalmatrizen dargestellt werden und alle Elemente von $K$ durch obere Dreiecksmatrizen. In dieser Einbettung $K\As \op{GL}(n;k)$ ist dann aber offensichtlich, da"s $K_{\op{s}}$ und $K_{\op{u}}$ abgeschlossene Untergruppen von $K$ sind, da"s der halbeinfache Anteil von $g\in K$ genau sein diagonaler Anteil ist, und da"s $g\mapsto g_{\op{s}}$ ein Morphismus von algebraischen Gruppen sein mu"s. Weiter k"onnen wir dann eine inverse Abbildung zur Bijektion aus der Proposition explizit angeben als $g\mapsto (g_{\op{s}},gg_{\op{s}}^{-1})$. Da das auch ein Morphismus ist, folgt die Proposition. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Jordanzerlegung in endlichen Gruppen}] Jede endliche Gruppe kann "uber einem vorgegebenen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ auch als algebraische Gruppe aufgefa"st werden. Dann besteht $\DZ/m\DZ$ aus halbeinfachen Elementen f"ur $m$ teilerfremd zur Charakteristik von $p$, da es nach \eref{MZ}{LA2} als die Untergruppe von $k^\times$ der $m$-ten Einheitswurzeln realisiert werden kann. Ist dahingegen $m$ eine $p$-Potenz, so sind f"ur jede Einbettung unserer Gruppe in eine Matrizengruppe alle Eigenwerte $m$-te Einheitswurzeln, also Eins, und unsere Gruppe besteht folglich aus unipotenten Elementen. Im allgemeinen liefert f"ur $m=p^r n$ mit $n$ teilerfremd zu $p$ der chinesische Restsatz einen Isomorphismus $\DZ/m\DZ\sira \DZ/p^r\DZ\times \DZ/n\DZ$, und der liefert auch schon die Jordanzerlegung in dieser kommutativen Gruppe. Im allgemeinen zerlegt sich jedes Element wie in der von ihm erzeugten zyklischen Gruppe. Der folgende Satz \ref{uPG} liefert dann einen neuen Beweis unserer Erkenntnis \eref{pGD}{NAS}, da"s jede $p$-Gruppe in Charakteristik $p$ bis auf Isomorphismus nur eine einzige irreduzible Darstellung hat, n"amlich eben die Einsdarstellung. Aus \ref{DUGR} kann man sogar folgern, da"s jede $p$-Gruppe aufl"osbar ist. \end{Beispiel} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungw}[\textbf{Analytischer Untergruppensatz von W"ustholz}] Sei $G$ eine kommutative (n"otig?) zusammenh"angende (affine?) algebraische Gruppe "uber $\bar{\DQ}$. Sei $\mathfrak b\subset \op{Lie}G$ eine Unteralgebra mit $\op{exp}(\mathfrak b_\DC)\cap G(\bar{\DQ})\neq\{1\}$. So gibt es eine zusammenh"angende algebraische Untergruppe $H\As G$ mit $\op{Lie}H\subset \mathfrak b$ und $1\neq H$. Moral: Jede analytische Untergruppe, die einen nichttrivialen Punkt "uber $\bar\DQ$ enth"alt, umfa"st eine algebraische Untergruppe positiver Dimension. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Herleitung der Transzendenz der Kreiszahl}] In $G\pdef \bar{\DQ}^\times\times \bar{\DQ}$ betrachten wir in $\op{Lie}G=\bar{\DQ}^\times t\partial_t\oplus \bar{\DQ}^\times \partial_x$ die von $(t\partial_t,\partial_x)$ erzeugte eindimensionale Unteralgebra $\mathfrak b$. Aus $2\pi{\op{i}}\in\bar\DQ$ folgte $\op{exp}(2\pi{\op{i}}(t\partial_t,\partial_x))=(1,2\pi{\op{i}})\in G(\bar{\DQ})$ und damit m"u"ste es eine eindimensionale algebraische Untergruppe $H\As G$ geben mit $\op{Lie}H=\mathfrak b$. Das ist aber offensichtlich unm"oglich und es folgt die Transzendenz der Kreiszahl $2\pi{\op{i}}\not\in\bar\DQ$. \end{Beispiel}} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ubrl} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $G$ eine affine algebraische Gruppe "uber $k$. Man zeige, da"s f"ur $g\in G$ die Rechtsverschiebung $\rho (g): \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ lokal halbeinfach beziehungsweise unipotent ist genau dann, wenn die Linksverschiebung $\lambda (g): \mathcal O (G) \rightarrow \mathcal O (G)$ die entsprechende Eigenschaft hat. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{qwer} Man zeige, da"s jeder surjektive Homomorphismus von affinen algebraischen Gruppen $G\sra H$ Surjektionen $G_{\op{s}}\sra H_{\op{s}}$ und $G_{\op{u}}\sra H_{\op{u}}$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist die Menge der halbeinfachen Elemente der $\op{GL}(n;\DC)$ offen? Ist die Menge der halbeinfachen Elemente der $\op{GL}(n;\DC)$ dicht? \end{Ubung} \begin{Ubung} In jeder affinen algebraischen Gruppe gilt: Das Inverse eines halbeinfachen Elements ist halbeinfach. Das Inverse eine unipotenten Elements ist unpotent. Das Produkt von zwei kommutierenden halbeinfachen Elementen ist halbeinfach. Das Produkt von zwei kommutierenden unipotenten Elementen ist unipotent. Hinweis: Einbettung in eine allgemeine lineare Gruppe.\label{phe} \end{Ubung} \begin{Ubung} In jeder affinen algebraischen Gruppe ist der Abschlu"s jeder kommutativen Untergruppe, die aus halbeinfachen Elementen besteht, wieder eine kommutative Untergruppe, die aus halbeinfachen Elementen besteht.\label{Aphe} \end{Ubung} \subsection{Unipotente Gruppen} \begin{Definition} Eine affine algebraische Gruppe hei"st {\bf unipotent},\index{unipotent!algebraische Gruppe} wenn alle ihre Elemente unipotent sind. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Irreduzible Darstellungen unipotenter Gruppen}] Die einzige irreduzible algebraische Darstellung einer unipotenten Gruppe ist die Einsdarstellung.\label{uPG} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hat umgekehrt eine affine algebraische Gruppe bis auf Isomorphismus nur genau eine irreduzible algebraische Darstellung, so ist sie unipotent. Das m"ogen Sie als "Ubung \ref{charu} zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $k$ unser algebraisch abgeschlossener Grundk"orper. Sei $U$ unsere unipotente Gruppe und $\rho : U \rightarrow \op{GL} (V)$ eine irreduzible algebraische Darstellung. Da jede algebraische Darstellung lokal endlich ist, d"urfen wir $V$ endlichdimensional annehmen. Nach der Vertr"aglichkeit \ref{JZaG} der Jordanzerlegung mit Homomorphismen von affinen algebraischen Gruppen ist $ \rho (g)$ unipotent f"ur alle $g \in U$, woraus wir $\op{tr} (\rho (g)) = \op{dim} V$ folgern. Es folgt weiter sogar \begin{equation*} 0= \op{tr} (\rho (g) \rho (h) -\rho (g)) = \op{tr} (\rho (g)\circ (\rho (h)-\op{id})) \end{equation*} f"ur alle $g,h \in U$. Da $V$ einfach ist, m"ussen nach dem Satz von Burnside \eref{WBu}{NAS} die $\rho (g)$ f"ur $g\in U$ bereits $\op{End}_k (V)$ als $k$-Vektorraum erzeugen. Es folgt unmittelbar $\op{tr} (A (\rho (h) -\op{id})) = 0$ f"ur alle $A \in \op{End}_k V$ und damit $\rho (h) = \op{id}$ f"ur alle $h \in U$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Unipotente Untergruppen von $\op{GL} (V)$}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ und eine\label{DUGR} abgeschlossene unipotente Untergruppe $U \subset \op{GL} (V)$ gibt es stets eine Basis von $V$, bez"uglich derer alle Elemente von $U$ obere Dreiecksmatrizen sind mit Einsen auf der Diagonale. \end{Korollar} \begin{proof} Wir w"ahlen eine Folge $0=V_0 \subset V_1 \subset \ldots \subset V_n = V$ von Unterdarstellungen der Darstellung $V$ derart, da"s f"ur jeden Indes $i0$ eine "Aquivalenz von Kategorien wird unter Einschr"ankung auf die volle Unterkategorie der endlich erzeugten abelschen Gruppen ohne $p$-Torsion. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine algebraische Gruppe $G$ "uber $k=\bar k$ nennt man einen Homomorphismus von algebraischen Gruppen $G\ra k^\times$ in die multiplikative Gruppe des Grundk"orpers auch einen {\bf Charakter} oder genauer einen {\bf multiplikativen algebraischen Charakter von $G$}. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine algebraische Gruppe $G$ "uber $k$ wird die Menge\index{X@$\frak{X} (G)$ Charaktere!von algebraischer Gruppe} \begin{equation*} \frak{X} (G) \pdef \op{GrpVar} (G, k^\times) \end{equation*} aller ihrer Charaktere selbst eine Gruppe $\frak{X} (G)$ unter der punktweisen Multiplikation von Funktionen. Sie hei"st die {\bf Charaktergruppe von $G$}.\index{Charaktergruppe!einer algebraischen Gruppe} Man notiert die Verkn"upfung von $\frak{X} (G)$, obwohl sie eine Multiplikation von Funktionen ist, meist additiv. Ich verwende in diesem Kontext die beiden Notationen\index{+@$\dotplus$ Summe in Charaktergruppen} $$(\chi\dotplus \psi)(g)=(\chi+ \psi)(g) \pdef \chi (g) \psi (g) \quad \text{ f"ur alle } g \in G\text{ und } \chi, \psi \in \frak{X} (G).$$ Die Vorschrift $\mathfrak X$ ist in offensichtlicher Weise ein Funktor $\mathfrak X:\op{GrpVar}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$. Ich nenne diesen Funktor den {\bf Charakterfunktor}.\index{Charakterfunktor} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $k$ ein K"orper positiver Charakteristik $\op{char}k=p>0$, so gibt es in $k^\times$ keine nichttrivialen Elemente von $p$-Torsion, denn aus $a^p=1$ folgt bekanntich $(a-1)^p=0$ und so $a=1$. In Charakteristik $p>0$ k"onnen also die hier erkl"arten Charaktergruppen keine $p$-Torsion haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Notation}] Die allgemein "ubliche Notation $\chi+ \psi$ ist insofern gef"ahrlich, als nun $\chi+ \psi$ einerseits als eine Summe von $k$-wertigen Funktionen auf $G$ verstanden werden kann, die ihrerseits kein Charakter mehr w"are, andererseits aber auch als Summe in der Charaktergruppe. Was im Einzelfall gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. Ich versuche zumindest zu Beginn, durch die Notation $\chi\dotplus \psi$ zu verdeutlichen, wenn die Summe in der Charaktergruppe gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktere von $k^\times$}] Nach "Ubung \ref{CHh} erhalten wir einen Gruppenisomorphismus $\DZ\sira\frak{X} (k^\times)$ durch die Vorschrift $n\mapsto (z\mapsto z^n)$. Eine elegante L"osung f"ur diese "Ubung besteht im "ubrigen in der Bemerkung, da"s es nicht mehr Charaktere geben kann, da die fraglichen Funktionen bereits eine $k$-Basis von $\mathcal O(k^\times)\cong k[t,t^{-1}]$ bilden und da unsere Charaktere nach Artin \eref{LUC}{AL} linear unabh"angig sein m"ussen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Charaktere von Produkten}] Gegeben algebraische Gruppen $G,H$ liefern die Restriktionen unter den Einbettungen $G\hra G\times H$, $g\mapsto (g,1)$ und $H\hra G\times H$, $h\mapsto (1,h)$ einen Gruppenisomorphismus $$\frak{X} (G\times H)\sira \frak{X} (G)\times \frak{X} (H)$$ Die Umkehrabbildung wirft $(\chi,\xi)$ auf den Charakter $\chi\boxtimes\xi: (g,h)\mapsto \chi(g)\xi(h)$. Insbesondere erhalten wir einen Gruppenisomorphismus $$\DZ^n\sira \frak{X} (T_n)$$ durch $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mapsto \lambda_1\varepsilon_1+\ldots+\lambda_n\varepsilon_n$ mit $\varepsilon_i:T_n\ra k^\times$ der Projektion auf den $i$-ten Diagonaleintrag.\label{Bgf} \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Funktionen auf diagonalisierbaren Gruppen}] Gegeben eine diagonalisierbare affine algebraische Gruppe $D$ "uber $k=\bar k$ gilt:\label{LKJ} \begin{enumerate}\item Die Charaktergruppe $\frak{X} (D)$ ist endlich erzeugt und die Charaktere bilden eine $k$-Basis des Rings $\mathcal O(D)$ der regul"aren Funktionen; \item Ein Homomorphismus $C\ra D$ von diagonalisierbaren algebraischen Gruppen ist genau dann eine abgeschlossene Einbettung, wenn er auf den Charakteren eine Surjektion $\mathfrak X(D)\sra \mathfrak X(C)$ induziert. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} In \ref{CarE} k"onnen Sie zur "Ubung zeigen, da"s die Charaktergruppe jeder affinen algebraischen Gruppe endlich erzeugt ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Nach dem Satz "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren \eref{LUC}{AL} ist $\frak{X} (D) \subset \mathcal O (D)$ stets eine "uber $k$ linear unabh"angige Teilmenge. Im Fall $D = T_n$ haben wir bereits in \ref{Bgf} einen Gruppenisomorphismus $\mathbb Z^n \sira \frak{X} (T_n)$ hergeleitet. Insbesondere ist $\frak{X} (T_n)$ eine endliche erzeugte abelsche Gruppe und eine Basis von $\mathcal O(T_n)\cong k[X^\alpha\mid \alpha\in\DZ^n]$. Ist $D \As T_n$ eine abgeschlossene Untergruppe, so zeigt die Surjektion $\mathcal O (T_n) \twoheadrightarrow \mathcal O (D)$, da"s die Bilder der Charaktere aus $\frak{X} (T_n)$ bereits $\mathcal O (D)$ als $k$-Vektorraum erzeugen. Wir folgern, da"s $\frak{X} (D)$ ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem von $\mathcal O(D)$ sein mu"s, in anderen Worten eine Basis. Wir folgern zus"atzlich, da"s auch das Bild von $\frak{X} (T_n)\ra \frak{X} (D)$ ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem von $\mathcal O(D)$ sein mu"s, in anderen Worten stimmt also dieses Bild mit $\frak{X} (D)$ "uberein und $\frak{X} (D)$ ist endlich erzeugt. Wir zeigen noch den zweiten Teil. Ist $K\As D$ eine abgeschlossene Untergruppe, so folgt aus $\frak{X} (T_n)\sra \frak{X} (D)$ und $\frak{X} (T_n)\sra \frak{X} (K)$ bereits $\frak{X} (D)\sra \frak{X} (K)$. Induziert umgekehrt ein Morphismus eine Surjektion auf den Charakteren, so nach dem ersten Teil auch auf den regul"aren Funktionen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der diagonalisierbaren Gruppen}] Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Hat $k$ die Charakteristik $\op{char}k=0$, so liefert\label{diaG} der Funktor $\frak{X}$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Diagonalisierbare affine}\\ \text{algebraische Gruppen "uber } k \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte abelsche}\\ \text{Gruppen} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] D & \mapsto & \frak{X} (D) \end{array} \end{displaymath} Hat $k$ positive Charakteristik $\op{char}k=p>0$, so liefert derselbe Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Diagonalisierbare affine}\\ \text{algebraische Gruppen "uber } k \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte abelsche} \\ \text{Gruppen ohne $p$-Torsion} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] D & \mapsto & \frak{X} (D) \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Wir gehen in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Wir konstruieren zun"achst einmal eine Adjunktion von Funktoren $(\mathfrak X,\mathfrak D)$. Gegeben eine diagonalisierbare algebraische Gruppe $D$ "uber einem K"orper $k=\bar k$ und eine endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ betrachten wir dazu die Menge $\op{AH}=\op{AH}(D,X)$ aller Abbildungen $\varphi:D\times X\ra k^\times$, die Homomorphismen von algebraischen Gruppen werden, wenn wir die zweite Variable festhalten, und Homomorphismen von diskreten Gruppen, wenn wir die zweite Variable festhalten. Das K"urzel meint \glqq Adjunktionshelfer\grqq. Offensichtlich liefert das Exponentialgesetz der Mengenlehre Bijektionen $$\op{GrpVar}(D,\mathfrak D(X))\;\sila\;\op{AH}\;\sira\; \op{Ab}(X,\mathfrak X(D))=\op{Ab}^{\op{opp}}(\mathfrak X(D),X)$$ und wir erhalten so eine Adjunktion von Funktoren $(\mathfrak X,\mathfrak D)$. Sobald wir nach "Ubung \ref{CarE} wissen, da"s $\mathfrak X(G)$ f"ur jede affine algebraische Gruppe endlich erzeugt ist, liefert dasselbe Argument auch eine Adjunktion in dieser Allgemeinheit. \\[2mm]\noindent 2. Die Koeinheit der Adjunktion liefert stets eine Surjektion $\varepsilon^\circ:X\sra \mathfrak X(\mathfrak D(X))$, da ihr Bild nach Konstruktion den Ring der regul"aren Funktionen $\mathcal O(\mathfrak D(X))$ als $k$-Ringalgebra erzeugt. \\[2mm]\noindent 3. Der Kern $\op{ker}\varepsilon^\circ$ besteht genau aus allen Elementen mit $p$-Torsion. In der Tat ist jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ ein endliches Produkt von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung und von Kopien von $\DZ$. Es reicht, die Behauptung f"ur jeden der Faktoren zu pr"ufen, und das ist schnell gemacht. Hat $X$ keine $p$-Torsion, so ist die Koeinheit der Adjunktion mithin ein Isomorphismus $$ \varepsilon= \varepsilon_X:\mathfrak X(\mathfrak D(X))\sira X$$ 4. Der Funktor $\mathfrak X$ macht nur Isomorphismen zu Isomorphismen, denn gegeben $\varphi:C\ra D$ folgt aus $\mathfrak X\varphi:\mathfrak X (C)\sira \mathfrak X (D)$ mit der Beschreibung \ref{LKJ} der regul"aren Funktionen auf diagonalisierbaren Gruppen bereits $\varphi^\sharp:\mathcal O( D)\sira \mathcal O (C)$. F"ur die Einheit der Adjunktion $\eta:D\ra \mathfrak D(\mathfrak X(D))$ ist aber die Verkn"upfung $$\mathfrak X(D)\ra \mathfrak X(\mathfrak D(\mathfrak X(D))) \ra\mathfrak X(D) $$ von $\mathfrak X\eta_D$ mit $\varepsilon_{\mathfrak X(D)}$ die Identit"at nach der Dreiecksidentit"at f"ur adjungierte Funktoren. Da nun $\mathfrak X(D)$ keine $p$-Torsion hat, ist $\varepsilon_{\mathfrak X(D)}$ ein Isomorphismus. Dasselbe folgt f"ur $\mathfrak X\eta$ und damit f"ur $\eta$ und damit liefert unser Paar von adjungierten Funktoren in der Tat die behauptete "Aquivalenz. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern den Funktor $\op{Max}:\op{Kringo}_k^{\op{re}}\ra \op{Ens}$ aus \eref{MaxS}{KAG}, der jedem ringendlichen $k$-Kring die Menge seiner maximalen Ideale zuordnet. Gegeben eine endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ und ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ erhalten wir Bijektionen $$\op{Ab}(X,k^\times)\sila \op{Ralg}_k(kX,k)\sira \op{Max}(kX)$$ Von der Mitte nach links ordnen wir einem Ringalgebrenhomomorphismus seine Restriktion auf $X$ zu, von der Mitte nach rechts seinen Kern. Wir erinnern den verfeinerten Funktor des Maximalspektrums $\op{Max}:\op{Kringo}_k^{\op{re}}\ra \op{Varaff}_k$ aus \eref{MaxSS}{KAG} und pr"ufen unschwer, da"s unsere Bijektion sogar ein Isomorphismus von affinen $k$-Variet"aten ist. Weiter ist der Gruppenring sogar eine kommutative Hopf-Algebra mit der Komultiplikation $$\begin{array}{lccc} \Delta :& kX &\rightarrow& k X \otimes k X\\ &\chi& \mapsto& \chi \otimes \chi \end{array}$$ alias ein Gruppenobjekt in $\op{Kringo}_k^{\op{re}}$. F"ur die davon wegen der Vertr"aglichkeit von $\op{Max}$ mit endlichen Produkten \eref{AdOMa}{KAG} induzierte Gruppenstruktur auf dem Maximalspektrum ist unsere Bijektion ein Isomorphismus von affinen algebraischen Gruppen $$\op{Ab}(X,k^\times)\sira \op{Max}(kX)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Unser quasiinverser Funktor oben liefert f"ur jeden Kring $k$ einen volltreuen Funktor \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Hopfalgebren}\\ \text{"uber } k \end{array} \right\} & \leftarrow &\left\{ \begin{array}{c} \text{Abelsche} \\ \text{Gruppen} \end{array} \right\}\\[4mm] kX & \leftmapsto & X \end{array} \end{displaymath} Er landet in den kommutativen kokommutativen Hopfalgebren und bildet endlich erzeugte abelsche Gruppen auf ringendliche Hopfalgebren ab. Er liefert weiter eine "Aquivalenz zwischen endlich erzeugten abelschen Gruppen und solchen Hopfalgebren "uber $k$, die isomorph sind zu Quotienten von Laurentpolynomen in mehreren Ver"anderlichen $k[t_1^{\pm 1},\ldots,t_n^{\pm 1}]$. In der Sprache der Gruppenschemata bedeutet das insbesondere f"ur jeden algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Diagonalisierbare affine}\\ \text{Gruppenschemata "uber } k \end{array} \right\} & \sirra &\left\{ \begin{array}{c} \text{Endlich erzeugte}\\ \text{abelsche Gruppen} \end{array} \right\}^{\op{opp}}\\[4mm] D & \mapsto & \frak{X} (D) \end{array} \end{displaymath} \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $X$ ist nach \eref{zk}{LA2} isomorph zu einem Produkt von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung. Der Gruppenring $kX$ ist isomorph zum Tensorprodukt der Gruppenringe der Faktoren und ist nach \eref{TPNF}{KAG} nilpotentfrei genau dann, wenn alle Tensorfaktoren es sind. Nun haben wir jedoch $ k[t]/\langle t^q-1\rangle\sira k(\DZ/q\DZ)$ vermittels der Abbildung, die $t$ auf den nat"urlichen Erzeuger der zyklischen Gruppe in ihrem Gruppenring abbildet, und die linke Seite ist genau dann nilpotentfrei, wenn das Polynom $t^q-1$ keine mehrfachen Nullstellen in $k$ hat, als da hei"st, f"ur $q$ teilerfremd zur Charakteristik von $k$. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Sei $\Omega$ eine Menge. Ein {\bf $\Omega$-graduierter Vektorraum}\index{graduiert!Vektorraum, $\Omega$-graduierter} ist ein Vektorraum $V$ mitsamt einer Familie von Untervektorr"aumen $(V_\omega)_{\omega \in \Omega}$ derart, da"s gilt $V = \bigoplus_{w \in \Omega} V_\omega$. Ein Morphismus von $\Omega$-graduierten Vektorr"aumen $V,W$ ist eine lineare Abbildung $f : V \rightarrow W$ mit $f(V_\omega) \subset W_\omega \; \forall \omega \in \Omega$. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe $G$ und ein Gruppenhomomorphismus $\chi:G\ra k^\times$ in die multiplikative Gruppe des Grundk"orpers von $V$ erkl"art man den zugeh"origen {\bf Gewichtsraum}\index{Gewichtsraum}\label{Gewr} als $$V_\chi\pdef\{ v\in V\mid gv=\chi(g)v\;\forall g\in G\}$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungen von diagonalisierbaren Gruppen}] Gegeben eine diagonalisierbare affine algebraische\label{DDG} Gruppe $D$ mit Charaktergruppe $\frak{X} (D)$ liefert das Zerlegen in Gewichtsr"aume eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{algebraische Darstellungen}\\ \text{der Gruppe } D \end{array}\right\} & \sirra & \left\{ \begin{array}{c} \frak{X} (D)\text{-graduierte}\\\text{$k$-Vektorr"aume} \end{array}\right\}\\[4mm] (D \looparrowright V) &\mapsto & V= \bigoplus_{\chi \in \frak{X} (D)} V_\chi \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Das ist sogar eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien im Sinne von \eref{MulF}{TSK}, wenn wir Verschmelzungen von Darstellungen als "aquivariante multilineare Abbildungen\label{DDGs} verstehen wie in \eref{kmSKe}{TSK} und Verschmelzungen von $\mathfrak X(D)$-gra\-du\-ier\-ten Vektorr"aumen als homogene multilineare Abbildungen wie in \eref{grGR}{TSK}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Das folgt ohne weitere Schwierigkeiten aus dem Satz "uber simultane Diagonalisierbarkeit \eref{GEZ}{LA2}. Die Details bleiben dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Graduierungen auf Matrixalgebren}] Wir erhalten insbesondere f"ur jede $k$-Ringalgebra $A$ eine Bijektion zwischen algebraischen $k$-li\-ne\-a\-ren Operationen von $D$ auf dem $k$-Vektorraum $A$ durch Automorphismen von Ringalgebren und $\mathfrak X(D)$-Graduierungen auf dem $k$-Vektorraum $A$, die $A$ zu einer $\mathfrak X(D)$-graduierten Ringalgebra machen. Speziell entsprechen $\DZ$-Graduierungen auf der Ringalgebra $\op{End}_kV$ f"ur einen endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ Homomorphismen von algebraischen Gruppen $k^\times\ra \op{Ralg}_k^\times(\op{End}_kV)$. Nach \eref{AutM}{NAS} liefert nun zumindest in Charakteristik Null die Operation durch Konjugation\label{GrMA} einen Isomorphismus $\op{PGL}(V)\sira \op{Ralg}_k^\times(\op{End}_kV)$. "Uber einem beliebigen K"orper mag mir das einmal ein Student genauer untersuchen. Aus der Theorie algebraischer Gruppen kann man nun unschwer folgern, da"s jeder Homomorphismus $k^\times \ra \op{PGL}(V)$ zu einem Homomorphismus $k^\times\ra \op{GL}(V)$ liftet. Das aber "ubersetzt sich in die Aussage, da"s jede $\DZ$-Graduierung auf $\op{End}_kV$ von einer $\DZ$-Graduierung auf $V$ herkommt, die eindeutig bestimmt ist bis auf Verschiebung mit $n\in\DZ$. Diese Argumentation funktioniert f"ur $k$ algebraisch abgeschlossen von der Charakteristik Null. Inwieweit sie auf allgemeinere K"orper oder sogar Kringe verallgemeinern l"a"st, mag einmal ein Student untersuchen. Es gibt viel Literatur dazu, die man mit den obigen Argumenten vergleichen kann. \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ einer diagonalisierbaren affinen algebraischen Gruppe $D$ bezeichnet man mit $${\op{P}}(V)={\op{P}}_D(V) \pdef \{\chi\in \frak{X} (D)\mid V_\chi\neq 0\}$$ die Menge aller Charaktere unserer Gruppe, die in unserer Darstellung auftreten, und nennt die Elemente dieser Menge die {\bf Gewichte von $V$}.\index{Gewicht}\label{AISTT} Die Notation geht auf franz"osisch \glqq poids\grqq\ zur"uck. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Starrheit von diagonalisierbaren Gruppen}] Seien $D, T$ diagonalisierbare affine algebraische Gruppen, $V$ eine zusammenh"angende affine Variet"at und \label{stT} $$\Phi : V\times D \rightarrow T$$ ein Morphismus derart, da"s die Abbildung $\Phi_v : D \rightarrow T$, $g\mapsto \Phi(v,g)$ f"ur alle $v\in V$ ein Gruppenhomomorphismus ist. So ist $\Phi_v$ unabh"angig von $v$. \end{Satz} \begin{proof} Man betrachte die Verkn"upfung $\Phi^\ast $ des Komorphismus $\Phi^\sharp$ mit der kanonischen Identifikation, also die Verkn"upfung $$ \mathcal O (T) \;\;\rightarrow\;\; \mathcal O (V\times D)\;\;\sira\;\; \mathcal O (V) \otimes \mathcal O (D)$$ Gegeben $h \in \mathcal O (T)$ haben wir $\Phi^\ast (h) = f_1 \otimes \chi_1 + \ldots + f_n \otimes \chi_n$ mit $\chi_i \in \frak{X} (D)$ paarweise verschieden. Ist $h=\chi \in \frak{X} (T)$ ein Charakter, so mu"s $\Phi_v^\sharp (\chi)$ f"ur jedes $v\in V$ ein Charakter sein, also mu"s an jeder Stelle $v \in V$ genau ein $f_i$ den Wert Eins annehmen und die anderen den Wert Null. Da $V$ zusammenh"angend ist, folgt $\Phi^\ast (\chi) = 1 \otimes \chi_i$ f"ur ein $i$. Mithin ist f"ur jeden Charakter $\chi$ sein Bild $\Phi_v^\sharp (\chi)$ unter den Komorphismen der $\Phi_v$ unabh"angig von $v$. Da die Charaktere von $T$ bereits $\mathcal O(T)$ erzeugen, ist damit $\Phi_v^\sharp$ unabh"angig von $v$ und dann auch $\Phi_v$ selbst. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine kommutative affine algebraische Gruppe, in der jedes Element halbeinfach ist, ist diagonalisierbar.\label{KHDi} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Morphismus $D\ra T$ von diagonalisierbaren Gruppen ist genau dann eine abgeschlossene Einbettung, wenn die zugeh"orige Abbildung auf den Charaktergruppen eine Surjektion $\mathfrak X(T)\sra \mathfrak X(D)$ induziert.\label{UZRi} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ExTT} \begin{enumerate} \item Eine Sequenz $T\ra D\ra E$ von diagonalisierbaren Gruppen in Charakteristik Null ist genau dann exakt, wenn die Sequenz der zugeh"origen Charaktergruppen $\mathfrak X(E)\ra \mathfrak X(D)\ra \mathfrak X(T)$ exakt ist; \item Gegeben ein Homomorphismus $D\ra E$ von diagonalisierbaren Gruppen in Charakteristik $p>0$ mit Kern $K\As D$ besteht der Kern der Einschr"ankung $\mathfrak X(D)\sra \mathfrak X(K)$ aus allen $\chi\in \mathfrak X(D)$ mit $p^n\chi\in \op{im}(\mathfrak X(E)\ra \mathfrak X(D))$ f"ur hinreichend gro"ses $n$; \item Eine Sequenz $T\ra D\ra E$ von diagonalisierbaren Gruppen in Charakteristik $p>0$ ist genau dann exakt, wenn die Sequenz der zugeh"origen Charaktergruppen $\mathfrak X(E)\ra \mathfrak X(D)\ra \mathfrak X(T)$ Komposition Null hat und in der Mitte $({\op{ker}}/{\op{im}})$ eine endliche $p$-Gruppe ist. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VKGG} Seien $G\supset D$ eine affine algebraische Gruppe und eine diagonalisierbare abgeschlossene Untergruppe. Man zeige, da"s jeder Charakter von $D$ in mindestens einer Darstellung von $G$ als Gewicht vorkommt. \end{Ubung} \subsection{Darstellungen von $\mathrm{SL}(2;k)$} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt besteht weitgehend aus "Ubungen. Verschiedene Teile dieser "Ubungen werden sp"ater bei der Diskussion von Wurzelsystemen und reduktiven Gruppen ben"otigt. Daneben scheinen mir diese Inhalte aber auch als Beispielmaterial wichtig. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Algebraische Darstellungen von $\op{SL}(2)$}] F"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $T\subset B\subset \op{SL}(2;k)$ der Torus der Diagonalmatrizen sowie\label{rDSPv} die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Determinate Eins gilt: \begin{enumerate} \item Gegeben ein Erzeuger $\varepsilon \in \frak X(T)$ der Gruppe der Charaktere von $T$ erhalten wir eine Bijektion $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{Irreduzible algebraische Darstellungen}\\ \text{von $\op{SL} (2; k)$ bis auf Isomorphie} \end{array}\right\} \;\;\sira\;\; \mathbb N$$ durch die Vorschrift $L\mapsto\op{sup}\{n\mid L_{n\varepsilon}\neq 0\}$, die in Worten jeder irreduziblen Darstellung $L$ die maximale nat"urliche Zahl $n\in\DN$ zuordnet, f"ur die $n\varepsilon$ ein $T$-Gewicht von $L$ ist; \item W"ahlen wir den Charakter $\varepsilon:T\sira k^\times$, $\op{diag}(c,c^{-1})\mapsto c$ als Erzeuger der Charaktergruppe von $T$, so ist der zum maximalen $n$ aus Teil 1 geh"orige Gewichtsraum $L_{n\varepsilon}$ die eindeutig bestimmte $B$-stabile Gerade von $L$; \item In der von der Operation auf $k^2$ induzierten Operation von $\op{SL} (2; k)$ auf $\mathcal O (k^2) \cong k[X,Y]$ haben die Unterdarstellungen $k[X,Y]^{(m)}$ der homogenen Polynome vom Grad $m$ jeweils genau eine irreduzible Unterdarstellung $L$, und deren $B$-stabile Gerade hat das Gewicht $m\varepsilon$; \item Im Fall der Charakteristik Null ist sogar $k[X,Y]^{(m)}$ selbst irreduzibel. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis dieser Aussagen ist der Inhalt der folgenden "Ubungen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Sei $B=B_\chi=k\rtimes T$ das semidirekte Produkt der additiven Gruppe mit einem Torus, mit einer Verkn"upfung der Gestalt $$(u,t)(v,s)=( u+ \chi(t)v,ts)$$ f"ur einen fest gew"ahlten Charakter $\chi\in\mathfrak X(T)$, so da"s also der durch die Konjugation mit $s\in T$ induzierte Automorphismus von $k$ gerade die Multiplikation mit $\chi(s)$ ist. Man zeige, da"s f"ur jede algebraische Darstellung $V$ von $B$ und jede $T$-stabile Gerade $L\subset V_\lambda$ die Summe $L\oplus \bigoplus_{n>0} V_{\lambda+n\chi}$ der Gerade $L$ und besagter Gewichtsr"aume von $T$ ein unter $B$ stabiler Teilraum ist und da"s alle $T$-Gewichtsr"aume der von $L$ erzeugten $B$-Unterdarstellung von $V$ h"ochstens eindimensional sind. \label{ubdv} %NOCHMAL GECHECKT; Hinweis: \ref{OvDK}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bruhat-Zerlegung f"ur $\op{SL}(2;k)$}] Man verifiziere die Zerlegung $G = B \sqcup B s B$ im Fall\label{DiZe} $G=\op{SL}(2;k)$ und $B$ der Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen und $s\in G$ einem beliebigen Element mit Nullen auf der Diagonalen. Das gilt sogar f"ur einen beliebigen K"orper $k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Seien $T\subset \op{SL}(2;k)$ der Torus der Diagonalmatrizen,\label{rDSP} $B$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen, und $\bar B$ die Untergruppe der unteren Dreiecksmatrizen. Seien $\varepsilon:T\sira k^\times$, $\op{diag}(c,c^{-1})\mapsto c$ besagter Erzeuger des Charaktergitters $\frak X(T)$ und $V$ eine algebraische Darstellung von $\op{SL}(2;k)$. Man zeige: \begin{enumerate} \item Die Gruppe $B$ ist ein semidirektes Produkt der in \ref{ubdv} betrachteten Art mit $\chi=2\varepsilon$. Die Gruppe $\bar B$ ist ein semidirektes Produkt der in \ref{ubdv} betrachteten Art mit $\chi=-2\varepsilon$. \item F"ur $\alpha\pdef 2\varepsilon$ sind die Teilr"aume $\bigoplus_{n\in\DZ} V_{n\alpha}$ und $\bigoplus_{n\in\DZ} V_{n\alpha+\varepsilon}$ Unterdarstellungen von $V$. \item Es gilt $\nu\in {\op{P}}_T(V)\RA -\nu\in {\op{P}}_T(V)$. Hinweis: Der Normalisator von $T$ ist echt gr"o"ser\label{OPwW} als sein Zentralisator. \item Gegeben eine unter $B$ stabile Gerade $L\subset V$ ist das $k$-Erzeugnis der $\bar B$-Bahn von $v\in L$\label{ZRDl} bereits $G$-stabil. Hinweis: \ref{UDI}. \item Gegeben eine $B$-stabile Gerade $L\subset V$ ist die von $L$ erzeugte $G$-Unter\-dar\-stellung enthalten in $L\oplus \bigoplus_{n>0} V_{\lambda-n\alpha}$ f"ur $\lambda\in \mathfrak X(T)$ das Gewicht von $L$. Nach \ref{OPwW} haben wir\label{ZsRDl} also notwendig $\lambda\in\DN\varepsilon$. Hinweis: \ref{ZRDl}. %\item %Jeder Fixvektor von $B$ in $V$ ist bereits ein Fixvektor von $G$. %Hinweis: \ref{ZsRDl}.\label{HFS2} \item Jede irreduzible Darstellung von $\op{SL}(2;k)$ besitzt genau eine $B$-stabile Gerade. Hinweis: \ref{ZsRDl}.\label{FVCC} \item Haben die $B$-stabilen Geraden irreduzibler Darstellungen $V,W$ von $\op{SL}(2;k)$ dasselbe $T$-Gewicht, so sind unsere Darstellungen isomorph. Hinweis: Gegeben von Null verschiedene Vektoren $v,w$ der jeweiligen $B$-stabilen Gerade betrachte man die von $(v,w)\in V\oplus W$ erzeugte $G$-Unterdarstellung $U$ und zeige, da"s die Projektionen auf Surjektionen von $U$ auf $V$ und $W$ sind mit demselben Kern, n"amlich mit Kern der gr"o"sten Unterdarstellung von $U$, die den Gewichtsraum vom Gewicht der $B$-stabilen Gerade nicht trifft. % Hinweis: Man wende \ref{FVCC} auf die Darstellung der linearen Abbildungen % zwischen unseren beiden Darstellungen an. Sp"ater wird das durch % \ref{KlaHG} % verallgemeinert. \item In der von der Operation auf $k^2$ induzierten Operation von $\op{SL} (2; k)$ auf $\mathcal O (k^2) \cong k[X,Y]$ bilden die Teilr"aume $k[X,Y]^{(m)}$ homogener Polynome vom Grad $m$ Unterdarstellungen. % mit jeweils genau einer %$B$-stabilen Geraden. \item Wir erhalten eine Bijektion $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{Irreduzible algebraische Darstellungen}\\ \text{von $\op{SL} (2; k)$, bis auf Isomorphie} \end{array}\right\} \sira \mathbb N\varepsilon$$ durch die Vorschrift, die jeder irreduziblen Darstellung das $T$-Gewicht ihrer eindeutig bestimmten $B$-stabilen Gerade zuordnet. Die Umkehrabbildung ordnet einem Gewicht $m\varepsilon$ mit $m\geq 0$ die eindeutig bestimmte irreduzible Unterdarstellung von $k[X,Y]^{(m)}$ zu. \item In Charakteristik Null sind die Darstellungen $k[X,Y]^{(m)}$ alle schon selbst irreduzibel. In Charakteristik $p>0$ ist $kX^p+ kY^p\subset k[X,Y]^{(p)}$ die eindeutig bestimmte irreduzible Unterdarstellung. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vollst"andige Reduzibilit"at in Charakteristik Null}] In Charakteristik Null ist jede Darstellung der Gruppe $\op{SL}(2;k)$ isomorph zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen. Hinweis: Wir k"onnen uns mit den Methoden von \eref{HEE}{NAS} auf den Fall einer endlichdimensionalen Darstellung $V$ beschr"anken. Dann gibt es $m$ mit $V_{m\varepsilon}\neq 0$ aber $V_{n\varepsilon}= 0$ f"ur alle $n>m$. Jede Gerade in $V_{m\varepsilon}$ erzeugt eine Unterdarstellung, die nach \ref{ubdv} h"ochstens eindimensionale Gewichtsr"aume haben kann und folglich irreduzibel sein mu"s. Dasselbe gilt f"ur die kontragrediente Darstellung $V^\ast$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein vereinbaren wir, da"s wir unter einer {\bf regul"aren Abbildung}\index{regul"ar!Abbildung in Vektorraum} einer affinen Variet"at in einen unendlichdimensionalen Vektorraum eine Abbildung verstehen wollen, deren Bild einen endlichdimensionalen Teilraum erzeugt und die als Abbildung dorthin ein Morphismus von affinen Variet"aten ist. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge} Gegeben ein Homomorphismus\label{InuA} %\label{InuS} $\varphi : H \ra G$ von affinen algebraischen Gruppen und eine algebraische Darstellung $W$ von $G$ erhalten wir durch {\bf Restriktion} eine algebraische Darstellung $\op{res}^{\varphi} W=\op{res}_G^H W$ von $H$. F"ur ihren Komorphismus gilt $\Delta_{\op{res}^{\varphi} W}=(\varphi^\sharp\otimes\op{id}_W)\circ \Delta_{ W}$. Bezeichnet $G\op{-Mod}$ die Kategorie der algebraischen Darstellungen von $G$, so ist die Restriktion ein exakter Funktor $$\op{res}_G^H: G\op{-Mod}\ra H\op{-Mod}$$ Er hat einen Rechtsadjungierten $\op{ind}_H^G$, die {\bf Induktion}.\index{Induktion!algebraischer Darstellungen} Ganz analog zum topologischen Fall \ref{InuS} kann die induzierte Darstellung konstruiert werden, indem wir den Vektorraum $$\op{ind}_H^GV\pdef \{f:G\ra V\text{ \hyperref[DmkR]{regul\"ar}}\mid f(\varphi(h)x)=hf(x) \;\forall h\in H, x\in G\}$$ aller $H$-"aquivarianten \hyperref[DmkR]{regul\"aren} Abbildungen von $G$ nach $V$ betrachten und darauf eine $G$-Operation erkl"aren durch die Vorschrift $(gf)(x)=f(xg) \;\forall g,x\in G$. Ganz genauso wie in \eref{TI}{DHL} liefern f"ur jede endlichdimensionale algebraische Darstellung $E$ von $G$ die Isomorphismen $\op{res}_G^H(E\otimes_k W)\sira E\otimes_k(\op{res}_G^H W)$ kanonische Isomorphismen $$ \op{ind}^{G}_{H} \op{Hom}_{k} (E,M) \overset{\sim}{\ra} \op{Hom}_{k} (E, \op{ind}^{G}_{H} M)$$ Wir k"onnen sie durch "Ubergang zum Dualraum von $E$ umschreiben zu kanonischen Isomorphismen $$ \op{ind}^{G}_{H} (F\otimes_kV) \overset{\sim}{\ra} F\otimes_{k} (\op{ind}^{G}_{H} V)$$ Durch "Ubergang zu Kolimites erhalten wir derartige kanonische Isomorphismen sogar f"ur beliebige, nicht notwendig endlichdimensionale algebraische Darstellungen $F$ von $G$. Sie hei"sen die\label{tir} {\bf Tensoridentit"aten}.\index{Tensoridentit"at!f"ur algebraische Darstellungen} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s unsere Darstellungen $k[X,Y]^{(m)}$ aus "Ubung \ref{rDSP} induziert sind von eindimensionalen Darstellungen von $B$. \end{Ubunge} \subsection{Tannaka-Krein-Dualit"at*}\index{Tannaka-Krein-Dualit"at} \nichtfinal{Noch unausgegoren.} \begin{Proposition} Ist $G \subset \op{GL} (n;\Bbb{R})$ eine kompakte Untergruppe, so gibt es Polynome in den Matrixeintr"agen $f_{1}, \ldots , f_{r} \in \Bbb{R} [X_{ij}]$ mit $$ G=\{ A \in \op{Mat}(n ; \Bbb{R}) \mid f_{\rho}(A) =0 \;\forall \rho \}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist eine erste Formulierung der Erkenntnis, da"s kompakte Liegruppen recht eigentlich algebraische Objekte sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten auf $\op{Mat} (n ; \Bbb{R})$ die Zariski-Topologie im Sinne von \eref{ZaTo}{KAG} und m"ussen in den dort eingef"uhrten Notationen $G = \bar{G}$ zeigen, wobei sich der Abschlu"s auf die Zariski-Topologie von $\op{Mat}(n ; \Bbb{R})$ bezieht. In der Tat bedeutet diese Gleichung gerade, da"s $G$ die Nullstellenmenge seines Verschwindungsideals ist, in Formeln $G = \mathcal Z (\mathcal I(G))$. Da aber das Verschwindungsideal $\mathcal I (G)$ von $G$ endlich erzeugt sein mu"s in $\Bbb{R} [X_{ij}] $ nach dem Hilbert'schen Basissatz, folgt $G = \mathcal Z (f_{1}, \ldots, f_{r})$ f"ur ein endliche Familie von Polynomen $f_{1}, \ldots, f_{r}$. Die Proposition erweist sich damit als eine Umformulierung des Satzes, den wir gleich im Anschlu"s beweisen. \end{proof} \begin{Satz} Jede metrisch kompakte Untergruppe von $\op{GL}(n;\DR)$ ist in Bezug auf die Zariski-Topologie abgeschlossen in $\op{Mat}(n;\DR)$.\label{ZAUG} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal zeigen wir, da"s mit einer metrisch kompakten Untergruppe $G \subset \op{GL} (n;\Bbb{R})$ auch ihr Zariski-Abschlu"s $\bar{G}\As \op{Mat}(n;\DR)$ eine metrisch kompakte Untergruppe von $\op{GL} (n;\Bbb{R})$ ist. Indem wir ein invariantes Skalarprodukt w"ahlen, d"urfen wir ja ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $G \subset \op{O}(n)$ annehmen, und da $\op{O}(n)$ Zariski-abgeschlossen ist in $\op{Mat}(n;\DR)$, folgt $\bar{G} \subset \op{O} (n)$. Folglich ist auch $\bar{G}$ metrisch kompakt. Weiter ist mit $G$ auch $\bar{G}$ stabil unter dem Transponieren von Matrizen und enth"alt folglich mit jedem Element auch dessen Inverses. Und schlie"slich impliziert $a \in G$ sofort $a \cdot G \subset G$ und $a \cdot \bar{G} \subset \bar{G}$ und dann folgt aus $b \in \bar{G}$ bereits $G \cdot b \subset \bar{G}$ und so $\bar{G} \cdot b \subset \bar{G}$ und wir erkennen, da"s $\bar{G}$ unter der Matrixmultiplikation abgeschlossen ist. Mithin ist $\bar{G} \subset \op{GL} (n;\Bbb{R})$ eine metrisch kompakte Untergruppe. Nach \eref{DfK}{TM} haben wir nun den unteren Isomorphismus in einem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccc} \Bbb{R}[X_{ij}]/\mathcal I(\bar{G}) & \sira & \cal{R} (\bar{G};\Bbb{R})\\ \parallel & &\downarrow \\ \Bbb{R}[X_{ij}]/\mathcal I(G) & \sira & \cal{R} (G;\Bbb{R}) \end{array}$$ Die Restriktion von $\bar{G}$ auf $G$ induziert folglich eine Bijektion zwischen den R"aumen der Matrixkoeffizienten beider Gruppen. Dasselbe folgt f"ur komplexwertige Matrixkoeffizienten. Nun ist aber eine endlichdimensionale stetige Darstellung $V$ unserer kompakten Hausdorffgruppe $G$, f"ur die die Matrixkoeffizientenabbildung $V^{\ast}\otimes_{\Bbb{C}} V \ra {\cal{C}} (G)$ injektiv ist, nach \eref{MKII}{TM} bereits irreduzibel. Es folgt, da"s die Restriktion von $\bar{G}$ auf $G$ eine Bijektion zwischen den Isomorphieklassen einfacher stetiger Darstellungen liefern mu"s. Damit folgt, da"s die Restriktion $\cal{R} (\bar{G}) \sira \cal{R} (G)$ auch mit den normierten invarianten Integralen auf $\bar{G}$ beziehungsweise $G$ vertr"aglich sein mu"s. Dann mu"s aus Stetigkeitsgr"unden auch die Restriktion ${\cal{C}}(\bar{G}) \ra {\cal{C}} (G)$ mit den normierten invarianten Integralen vertr"aglich sein. W"are aber $\bar{G}\neq G$, so g"abe es eine von Null verschiedene stetige Funktion $f: \bar{G} \ra \Bbb{R}$ mit $f|_G = 0$, und das st"unde im Widerspruch zu unserer Erkenntnis, da"s die $\op{L}^2$-Norm stetiger Funktionen bei der Restriktion ${\cal{C}}(\bar{G}) \ra {\cal{C}} (G)$ erhalten bleibt. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ bezeichne $$\cal{R}_{\Bbb{R}} (G)\subset\cal{R} (G) \subset \cal{C}(G)$$ den Ring der reellwertigen darstellenden Funktionen im Ring der komplexwertigen darstellenden Funktionen im Ring aller stetigen Funktionen. \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben topologische Gruppen $G,H$ definiert der offensichtliche Homomorphismus einen Isomorphismus $$\cal{R} (G) \otimes_\DC \cal{R} (H) \overset{\sim}{\ra} \cal{R} (G \times H)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Injektivit"at gilt f"ur beliebige Funktionen. Das einzige Problem ist die Surjektivit"at. Andererseits haben wir f"ur jede stetige endlichdimensionalen Darstellung $$\rho : G \times H \ra \op{GL}(n;\DC)$$ die Matrizengleichung $\rho (g,h)= \rho (g,1) \rho (1,h)$ und erhalten sofort die Surjektivit"at im Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} Das Vorschalten der Verkn"upfungsabbildung einer topologischen Gruppe liefert einen Ringhomomorphismus $$\cal{R} (G) \ra \cal{R}(G \times G)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $\rho : G \ra \op{GL} (n;\DC)$ eine stetige Darstellung, so ist die Matrix $\rho (xy)$ das Produkt der Matrizen $\rho (x)$ und $\rho (y)$ und ihre Koeffizienten liegen folglich im Bild von $\cal{R} (G) \otimes \cal{R} (G)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige: F"ur jede topologische Gruppe $G$ ist $\cal{R}_\DR(G)$ beziehungsweise $\cal{R}(G)$ ein Gruppenobjekt in der opponierten Kategorie zur Kategorie der $\Bbb{R}$-Kringe beziehungsweise der $\Bbb{C}$-Kringe. \end{Ubung} \nichtfinal{Offensichtlich sind unsere Kringe $\cal{R}_\DR(G)$ beziehungsweise $\cal{R}(G)$ von darstellenden Funktionen stets nilpotentfrei. Ist $G=K$ eine kompakte Matrixliegrupe oder sogar eine abstrakte kompakte Liegruppe, so sind sie nach \eref{DfK}{TM} beziehungsweise \eref{KLTZ}{ML} zus"atzlich ringendlich "uber $\DR$ beziehungsweise $\DC$ und damit ist $\op{Max}\cal{R}(K)$ eine komplexe algebraische Gruppe. Sie hei"st die {\bf Komplexifizierung}\index{Komplexifizierung!von kompakter Liegruppe} von $K$ und wird oft $K_\DC\pdef \op{Max}\cal{R}(K)$ notiert. Jede Einbettung $K\hra \op{GL}(n;\DC)$ als kompakte Untergruppe induziert einen Isomorphismus von algebraischen ruppen zwischen $K_\DC$ und dem Zariski-Abschlu"s $\op{Cl}_{\op{GL}(n;\DC),\op{Zar}}(K)$ von $K$ in $\op{GL}(n;\DC)$, aber daf"ur mu"s ich noch einen Beweis\label{kopiz} ausschreiben.} \begin{Ubung} Der Ring der komplexwertigen darstellenden Funktionen auf der Gruppe $\DZ$ mit ihrer diskreten Topologie wird als $\DC$-Ringalgebra erzeugt von den Funktionen $n\mapsto \lambda^n$ mit $\lambda\in\DC^\times$ und von der Einbettung $\DZ\hra\DC$. \end{Ubung} \newpage \section{Morphismen von Variet"aten mit Anwendungen} Ich setzte von nun an Grundlagen der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie im Umfang von \eref{RRM}{KAG} bis \eref{PPVV}{KAG} voraus. Der Leser mag das Konzept allgemeiner Variet"aten zwar vorerst noch ignorieren und sie sich als naive affine Variet"aten denken, aber sp"atestens bei der Konstruktion der Quotienten \ref{QaaG} wird er mit allgemeinen Variet"aten umgehen m"ussen, wie wir sie in \eref{DeVah}{KAG} einf"uhren. Nach \eref{oaV}{KAG} erbt jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge einer Variet"at in nat"urlicher Weise die Struktur einer Variet"at. Nach \eref{ProVa}{KAG} existieren in der Kategorie der Variet"aten endliche Produkte und der Einbettungsfunktor von der Kategorie der affinen Variet"aten in die Kategorie der Variet"aten ist vertr"aglich mit endlichen Produkten.%\eref{ProVa}{KAG} und \subsection{Komponenten algebraischer Gruppen} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit Erinnerungen. Ein topologischer Raum hei"st {\bf irreduzibel}, wenn er nicht leer ist und nicht als Vereinigung von zwei echten abgeschlossenen Teilmengen geschrieben werden kann. Eine affine Variet"at $X$ ist nach \eref{IBer}{KAG} genau dann irreduzibel, wenn ihr Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)$ ein Integrit"atsring ist. Die maximalen irreduziblen Teilmengen einer Variet"at hei"sen ihre {\bf irreduziblen Komponenten}. Jeder topologische Raum ist die Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten und diese sind stets abgeschlossen. Jede Variet"at besitzt nur endlich viele irreduzible Komponenten nach \eref{ZIK}{KAG}. Jedes endliche Produkt von irreduziblen Variet"aten ist nach \eref{PIrr}{KAG} wieder irreduzibel. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Komponenten algebraischer Gruppen}] \begin{enumerate} \item Die ir\-re\-du\-zi\-blen Komponenten einer algebraischen Gruppe sind genau ihre Zusammenhangskomponenten; \item Die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements alias \emph{\bf Einskomponente}\index{Einskomponente!einer algebraischen Gruppe} einer algebraischen Gruppe ist eine abgeschlossene Untergruppe; \item Die irreduziblen Komponenten einer algebraischen Gruppe sind genau die Nebenklassen ihrer Einskomponente. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Sei $G$ unsere algebraische Gruppe und $G = G_1 \cup \ldots \cup G_r$ ihre Zerlegung in irreduzible Komponenten. Sicher gilt $G_i \cap G_j = \emptyset \text{ falls } i \neq j$, sonst geh"orte ein Gruppenelement zu mehr als einer Komponente, also geh"orte jedes Gruppenelement zu mehr als einer Komponente und dann h"atten wir $G = G_2 \cup \ldots \cup G_r$ im Widerspruch zur Eindeutigkeit der Zerlegung. Bezeichne nun \index{)6circ@$G^\circ$ Einskomponente}$G^\circ $ die Einskomponente einer algebraischen Gruppe $G$. Dann mu"s $\op{mult}(G^\circ \times G^\circ )$ irreduzibel sein, also in einer Komponente liegen, also in $G^\circ $. Dasselbe gilt f"ur $\op{inv} (G^\circ )$. Es folgt, da"s $G^\circ $ eine abgeschlossene Untergruppe ist. Wegen $g G^\circ g^{-1} \ni 1$ folgt $G^\circ = g G^\circ g^{-1}$ und $G^\circ $ ist sogar Normalteiler. Die Nebenklassen von $G^\circ $ sind irreduzible Komponenten von $G$. Da sie $G$ "uberdecken, kann es keine weiteren Komponenten geben. \end{proof} \begin{Lemma} Jede abgeschlossene Untergruppe $H\As G$ von endlichem Index einer algebraischen Gruppe hat dieselbe Einskomponente, in Formeln\label{BETZ} $$|G/H|<\infty\quad\RA\quad H^\circ= G^\circ$$ \end{Lemma} \begin{proof} Seien $H \As G$ unsere algebraischen Gruppen. Hat $H $ endlichen Index $r$ in $G$, so folgt $G = H g_1 \sqcup \ldots \sqcup Hg_r$ f"ur endliches $r$, wobei wir ohne Einschr"ankung $g_1=1$ annehmen d"urfen. Nach dem vorhergehenden haben wir auch eine endliche Zerlegung $H = H^\circ h_1 \sqcup \ldots \sqcup H^\circ h_s$, wobei wir ohne Einschr"ankung $h_1=1$ annehmen d"urfen. Zusammen ergibt sich eine Zerlegung von $G$ als endliche disjunkte Vereinigung von $rs$ irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen $H^\circ g_ih_j$. Diese Zerlegung hinwiederum impliziert $H^\circ = G^\circ$. \end{proof} \subsection{Irreduzibles Erzeugen} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit einer weiteren Erinnerung und Umformulierung einer allgemeinen Aussage "uber Bilder von Morphismen von Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber Bilder von Morphismen}] Gegeben ein Morphismus von Pr"avariet"aten $\varphi:X\ra Y$ gibt es stets eine Teilmenge $U\subset \varphi(X)$, die offen und dicht ist im Abschlu"s des Bildes $\overline{\varphi(X)}$, also $U\co \overline{\varphi(X)}$ und $\overline{ U}=\overline{\varphi(X)}$.\label{BMDn} \end{Satz} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem affinen Fall, den wir in \eref{BMDnxa}{KAG} behandelt hatten. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $G$ eine algebraische Gruppe und $U, V \subset G$ mit $U$ dicht und $V$ offen und nichtleer. So gilt $ UV = G $.\label{OfDi} \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben $g \in G$ gilt $g V^{-1} \cap U \neq \emptyset$. Es gibt also $v \in V$ und $u \in U$ mit $g v^{-1} = u$ alias $g = uv$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bilder von Homomorphismen algebraischer Gruppen}] Jeder Homomorphismus von algebraischen Gruppen $\varphi:G\ra H$ hat abgeschlossenes Bild und die Einskomponente seines Bildes ist das Bild der Einskomponente, in Formeln\label{BiHAg} $$\varphi(G)^\circ =\varphi(G^\circ)$$ \end{Satz} \begin{proof} Sei $\varphi : G \rightarrow H$ unser Homomorphismus. Nach \ref{BMDn} gibt es $U \subset \varphi (G)$ mit $U$ offen und dicht in $\overline{\varphi (G)}$. Nach \ref{UGAm} ist $\overline{\varphi (G)}\subset H$ eine Untergruppe. Nach \ref{OfDi} folgt erst $\overline{\varphi (G)} = U^2$ und dann $\overline{\varphi (G)} = \varphi (G)^2= \varphi (G)$. Das zeigt die erste Behauptung. Da nun $\varphi (G^\circ ) \subset \varphi (G)$ eine abgeschlossene Untergruppe von endlichem Index sein mu"s, folgt $\varphi (G^\circ ) \supset \varphi (G)^\circ $ aus \ref{BETZ}. Wegen der Irreduzibilit"at von $\varphi (G^\circ )$ ergibt sich dann schlie"slich $\varphi (G^\circ ) = \varphi (G)^\circ $. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Irreduzibles Erzeugen}] Sei $G$ eine algebraische Gruppe und sei $(\varphi_i : X_i \rightarrow G)_{i \in I}$ eine Familie von Morphismen irreduzibler Variet"aten nach $G$, deren Bilder alle das neutrale Element enthalten, in Formeln $1\in \varphi_i (X_i) \; \forall i \in I$.\label{IrrE} So gilt: \begin{enumerate} \item Die von diesen Bildern erzeugte Untergruppe $H := \langle \varphi_i (X_i) \mid i \in I\rangle$ ist abgeschlossen in $G$; \item Es gibt endliche Folgen $i(1), \ldots, i(r) \in I$ und $\varepsilon (1), \ldots, \varepsilon (r) \in \{1,-1\}$ mit $$ H = \varphi_{i(1)} (X_{i(1)})^{\varepsilon(1)} \ldots \varphi_{i(r)} (X_{i(r)})^{\varepsilon(r)}$$ \end{enumerate} \label{IrrEe} \end{Satz} \begin{Beispiele} Das Beispiel der einelementigen Familie $\varphi : \{0,1\} \hookrightarrow \mathbb C$ zeigt, da"s die Forderung $X_i$ irreduzibel wesentlich ist: In diesem Fall w"are $H = \mathbb Z$ nicht abgeschlossen in der Zariski-Topologie. Das Beispiel der einelementigen Familie $\varphi : \{1\} \hookrightarrow \mathbb C$ zeigt, da"s auch die Forderung wesentlich ist, $\varphi_i (X_i)$ m"oge jeweils das neutrale Element von $G$ enthalten. \end{Beispiele} \begin{proof} Indem wir notfalls $I$ verdoppeln, d"urfen wir annehmen, da"s mit $\varphi_i $ auch $\op{inv}\circ \varphi_i$ zu unserer Familie geh"ort. Gegeben eine endliche Folge $\alpha : \{1,\ldots, n\} \rightarrow I$ betrachte man nun die Variet"at $Y_\alpha \pdef X_{\alpha (1)} \times \ldots \times X_{\alpha (n)}$ und den Morphismus $ \varphi_\alpha : Y_\alpha \rightarrow G $ gegeben durch $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto \varphi_{\alpha(1)} (x_1) \ldots \varphi_{\alpha(n)} (x_n)$. Sicher haben wir dann \begin{equation*} H = \bigcup_\alpha \varphi_\alpha (Y_\alpha) \end{equation*} wo die Vereinigung wie angedeutet "uber alle endlichen Folgen zu bilden ist. Da das neutrale Element zu den Bildern all unserer Morphismen geh"ort, haben wir auch $\varphi_\alpha (Y_\alpha) \subset \varphi_{\alpha \beta}(Y_{\alpha \beta}) \supset \varphi_\beta (Y_\beta)$ mit der Notation $\alpha \beta$ f"ur das Hintereinanderschreiben zweier endlicher Folgen $\alpha$, $\beta$. Da alle $Y_\alpha$ irreduzibel sind, m"ussen auch alle $\overline{\varphi_\alpha (Y_\alpha)}$ irreduzibel sein. Da die L"ange echt aufsteigender Ketten irreduzibler abgeschlossener Teilmengen von $G$ begrenzt ist durch die Krulldimension von $G$, gibt es ein $\gamma$ mit $ \overline{\varphi_\alpha (Y_\alpha)} \subset \overline{\varphi_\gamma (Y_\gamma)} \; \forall \alpha. $ Es folgt $H \subset \overline{\varphi_\gamma (Y_\gamma)}$. Nun enth"alt $\varphi_\gamma (Y_\gamma)$ jedoch nach \ref{BMDn} eine offene dichte Teilmenge $U$ seines Abschlusses und wir finden ein Sandwich \begin{equation*} U \subset \varphi_\gamma (Y_\gamma) \subset H \subset \overline{\varphi_\gamma (Y_\gamma)} \end{equation*} Dann ist erst recht $U$ offen und dicht in $\overline H$ und wegen \ref{OfDi} folgt $U^2 = \bar H$, also $H = \bar H = \varphi_{\gamma \gamma} (Y_{\gamma \gamma})$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben Teilmengen $A,B$ einer Gruppe $G$ bezeichne $(A,B)$\index{)5)@$(A,B)$ Kommutatorenerzeugnis} die von allen Kommutatoren\label{DerGG} $(a,b) \pdef ab a^{-1}b^{-1}$\index{)5)@$(a,b)= ab a^{-1}b^{-1}$ Kommutator} mit $a \in A$ und $b \in B$ erzeugte Untergruppe. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe $(G,G)$ hei"st auch die {\bf derivierte Gruppe}.\index{derivierte Gruppe} \end{Definition} \begin{Beispiel} Nach \eref{DlAA}{AL} gilt f"ur K"orper $k$ fast immer $\mathcal D(\op{GL}(n;k))=\op{SL}(n;k)$, die einzige Ausnahme ist $n=|k|=2$, und es gilt auch fast immer $\mathcal D(\op{SL}(n;k))=\op{SL}(n;k)$, die einzigen Ausnahhmen sind $n=2$ und $|k|\in \{2,3\}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sind $A$ und $B$ Normalteiler, so ist auch $(A,B)$ ein Normalteiler. Die derivierte Gruppe ist der kleinste Normalteiler derart, da"s wir beim Wegteilen eine abelsche Gruppe erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar} Seien $G$ eine algebraische Gruppe und $H,K \subset G$ Untergruppen mit $H$ zusammenh"angend und abgeschlossen. So ist auch der Kommutator $(H,K)$ von $H$ und $K$ zusammenh"angend und abgeschlossen. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine zusammenh"angende algebraische Gruppe $G$ ist insbesondere ihre derivierte Gruppe $(G,G)$ abgeschlossen in $G$ und zusammenh"angend. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten f"ur alle $b \in K$ den Morphismus $\varphi_b : H \rightarrow G$, $h \mapsto hbh^{-1} b^{-1}$. Per definitionem ist $(H,K)$ das Gruppen-Erzeugnis der Bilder der $\varphi_b$. Das Korollar folgt damit aus Satz \ref{IrrE} "uber das irreduzible Erzeugen. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben eine Familie $(G_i)_{i \in I}$ von abgeschlossenen zusammenh"angenden Untergruppen einer algebraischen Gruppe ist das Gruppenerzeugnis $H$ der $G_i$ abgeschlossen in $G$ und es gibt eine endliche Folge $i(1), \ldots, i (n) $ in der Indexmenge $I$ mit\label{IEUg} \begin{equation*} H = G_{i(1)} \ldots G_{i(n)} \end{equation*} \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus Satz \ref{IrrE} "uber das irreduzible Erzeugen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Invertierbare Elemente algebraischer Monoide}] In jedem algebraischen Monoid bilden die invertierbaren Elemente eine offene Teilmenge.\label{ieam} \end{Satz} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s es eine offene Umgebung des neutralen Elements gibt, die aus invertierbaren Elementen besteht. Sei zun"achst $G$ ein irreduzibles algebraisches Monoid und $d=\op{kdim}G$ seine Dimension. Die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ hat keine leere Faser. Nach unseren Erkenntnissen \eref{diF}{KAG} "uber die Mindestdimension von Fasern hat folglich jede irreduzible Komponente jeder Faser mindestens dieselbe Dimension wie $G$. Sei $Z\As G\times G$ eine irreduzible Komponente der Faser "uber $e$ mit $(e,e)\in Z$. Die Projektion auf die erste Komponente $\op{pr}_1: Z\ra G$ hat eine einelementige Faser "uber $e$ und mu"s folglich wieder nach \eref{diF}{KAG} dominant sein. Das Bild $\op{pr}_1( Z)\subset G$ umfa"st demnach eine offene dichte Teilmenge $U\co G$ und nach Konstruktion gibt es f"ur alle $x\in U$ ein $y\in G$ mit $xy=e$. Ebenso finden wir eine offene dichte Teilmenge $V\co G$ derart, da"s es f"ur alle $x\in V$ ein $z\in G$ gibt mit $zx=e$. Alle Elemente der offenen dichten Teilmenge $U\cap V\co G$ sind nach \eref{EIG}{GR} also invertierbar. Da Produkte invertierbarer Elemente wieder invertierbar sind, ist f"ur $x\in U\cap V$ die verschobene Menge $x^{-1}(U\cap V)$ eine offene Umgebung des neutralen Elements, die aus invertierbaren Elementen besteht. Das erledigt den Fall eines irreduziblen Monoids. Ist $G$ nicht notwendig irreduzibel, so zeigen wir zun"achst, da"s jede irreduzible Komponente $K\As G$ durch das neutrale Element ein Untermonoid ist. In der Tat mu"s die Verkn"upfung $K\times K$ in eine irreduzible Komponente von $G$ abbilden, die $K$ umfa"st und die folglich mit $K$ zusammenf"allt. Nach dem bereits Bewiesenen bilden also die invertierbaren Elemente von $K$ eine offene dichte Teilmenge $K^\times \co K$. Andererseits gilt f"ur jede weitere irreduzible Komponente $L\As G$ mit demselben Argument $KL=L$ und aus $L\cap K^\times\neq\emptyset$ folgt in derselben Weise $L=KL=K$. Der Satz folgt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Der von einer irreduziblen das neutrale Element enthaltenden Teilmenge einer algebraischen Gruppe erzeugte Normalteiler ist stets abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Die Charaktergruppe einer affinen algebraischen Gruppe ist stets endlich erzeugt. Hinweis: F"ur jede endlich ezeugte Untergruppe $X\subset \mathfrak X(G)$ erhalten wir einen\label{CarE} surjektiven Homomorphismus von algebraischen Gruppen $\varphi_X: G\sra \mathfrak D(X)$ und f"ur $Y\supsetneq X$ gilt $\op{ker}\varphi_Y\subsetneq \op{ker}\varphi_X$. \end{Ubung} \subsection{Operationen algebraischer Gruppen} \begin{Definition} Sei $M$ ein algebraisches Monoid. Eine {\bf $M$-Variet"at} ist\index{Variet"at@$M$-Variet"at} eine Variet"at $X$ mit einer $M$-Operation $M\times X\ra X$ derart, da"s die Wirkungsabbildung $M \times X \rightarrow X$, $(g,x) \mapsto gx$ ein Morphismus ist. Wir sagen dann auch, $X$ sei eine {\bf Variet"at mit algebraischer $M$-Operation}.\index{Operation!algebraische} Idem f"ur Pr"avariet"aten. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $M$ ein abstraktes Monoid. Eine {\bf Variet"at mit $M$-Operation}\index{Variet"at!mit Operation} ist eine Variet"at $X$ mit einer Operation von $M$ durch Homomorphismen von Variet"aten $X\ra X$. Hier fordern wir schw"acher nur, da"s $(m\cdot):X\ra X$ f"ur alle $m\in M$ ein Morphismus von Variet"aten ist. Idem f"ur Pr"avariet"aten. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine Pr"avariet"at mit einer Operation eines abstrakten Monoids $M$. Gegeben Teilmengen $S, T \subset X$ erkl"art man den {\bf Transporteur\index{Transporteur} von $S$ nach $T$} als die Teilmenge \begin{equation*} \op{Trans}_M (S,T) := \{ g \in M \mid g S \subset T\} \end{equation*} Sicher gilt $\op{Trans}_M (S,T) \subset \op{Trans}_M (S, \bar T) = \op{Trans}_M (\bar S, \bar T)$.\label{tpA} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $M$ ein algebraisches Monoid und $X$ eine $M$-Pr"avariet"at. Der Transporteur in eine abgeschlossene Teilmenge $A\As X$ ist abgeschlossen als der Schnitt $\op{Trans}_M (S, A) = \bigcap_{x \in S} \op{Trans}_M (x, A)$ der Urbilder von $A$ unter dem Morphismus $M \rightarrow X$, $g \mapsto gx$. Speziell ist f"ur $A \As X$ der {\bf Stabilisator}\index{Stabilisator}\index{Stab@$\op{Stab}$ Stabilisator} $$\op{Stab}_M (A) \pdef \op{Trans}_M (A,A)$$ abgeschlossen und f"ur $x\in X$ ist sein Isotropiemonoid $M_x=\op{Stab}_M (\{x\})$ abgeschlossen. Schlie"slich ist f"ur jede Teilmenge $S\subset X$ ihr {\bf Zentralisator}\index{Zentralisator} $${\op{Z}}_M (S) \pdef \{ g \in M \mid g x = x \; \forall x \in S\} = \bigcap_{x \in S} M_x$$ abgeschlossen als der Schnitt der Isotropiemonoide ihrer Elemente. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s eine Variet"at definiert ist als eine Pr"avariet"at $X$, bei der die Diagonale eine abgeschlossene Teilmenge $\Delta\As X\times X$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fixpunktmengen in Variet"aten mit Operation}] Sei $M$ ein abstraktes Monoid. Gegeben eine Variet"at $X$ mit $M$-Operation und eine Teilmenge $H \subset M$ ist die Menge der Fixpunkte \begin{equation*} X^H \pdef \{ x \in X \mid h x = x \; \forall h \in H \}= \bigcap_{h \in H} X^h \end{equation*} abgeschlossen in $X$. In der Tat ist jedes $X^h$ ist abgeschlossen als das Urbild der Diagonale unter dem Morphismus $X \rightarrow X \times X$, $x \mapsto (x,hx)$, vergleiche \eref{FPAA}{KAG}. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ge"andert in KAG. Alle Variet"aten sind separiert, sonst hei"sen sie Pr"avariet"aten. Hier auch ge"andrt, sonst noch durchsehen!} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBah}\\[4mm] \noindent Operiert die multiplikative Gruppe $\DC^\times$ auf $\DC^2$ durch $t\mapsto\op{diag}(t,t^{-1})$, so sind die Bahnen die Hyperbeln $xy=c$ f"ur festes $c\in \DC^\times$, die $x$-Achse ohne Ursprung, die $y$-Achse ohne Ursprung, und der Ursprung selber. Die beiden Achsen ohne Ursprung sind nicht abgeschlossen, aber offen in ihrem Abschlu"s. Die anderen Bahnen sind bereits abgeschlossen. \end{Bild} \begin{Satz}[\textbf{Bahnen sind Pr"avariet"aten}] Gegeben eine Pr"avariet"at mit einer algebraischen Operation einer algebraischen Gruppe ist jede Bahn offen in ihrem Abschlu"s.\label{BOAA} \end{Satz} \begin{proof} Seien $G$ unsere Gruppe und $X$ unsere $G$-Pr"avariet"at. F"ur jeden Punkt $x \in X$ behaupten wir $G x \co \overline {Gx}$. Um das zu zeigen, betrachten wir den Morphismus $\varphi : G \rightarrow X$, $g \mapsto gx$. Nach \ref{BMDn} umfa"st wie bei jedem Morphismus von Pr"avariet"aten das Bild $\varphi (G) = G x $ eine offene dichte Teilmenge seines Abschlusses, in Formeln $\exists U \subset Gx$ mit $U \co \overline{Gx} $ und $\bar U = \overline{Gx}$ und damit insbesondere $U\neq\emptyset$. Jetzt verwenden wir, da"s eine Gruppe operiert und nicht nur ein Monoid. Damit folgt \begin{equation*} Gx = \bigcup_{g \in G} g U \co \overline {Gx}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Existenz abgeschlossener Bahnen}] In jeder nichtleeren Pr"avariet"at mit einer algebraischen Operation einer algebraischen Gruppe besitzt unsere Gruppe mindestens eine abgeschlossene Bahn.\label{ExAB} \end{Korollar} \begin{proof} Sei $G$ unsere algebraische Gruppe und $X$ unsere $G$-Pr"avariet"at. F"ur jeden Punkt $x \in X$ ist seine Bahn $G x \co \overline{Gx}$ nach \ref{BOAA} eine offene dichte Teilmenge ihres Abschlusses. Das Komplement $\overline{Gx} \backslash Gx$ ist damit abgeschlossen, $G$-stabil und von echt kleinerer Dimension als $Gx$. Mithin mu"s jede Bahn kleinstm"oglicher Dimension abgeschlossen sein. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Operationen unipotenter Gruppen auf affinen Variet"aten}] Unter einer algebraischen Operation einer unipotenten Gruppe auf einer affinen Variet"at sind alle Bahnen abgeschlossen.\label{BUg} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $U\looparrowright X$ unsere Operation. Sie macht $\mathcal O(X)$ zu einer Rechtsdarstellung von $U$ wie in "Ubung \ref{DrGS} oder \ref{BSRD} ausgef"uhrt. Der Raum $$\{f \in \cal{O} (\overline{Ux}) \mid f|_{\overline{Ux} \backslash Ux} = 0\}$$ aller regul"aren Funktionen auf dem Abschlu"s der Bahn, die auf Komplement der Bahn verschwinden, ist stabil unter Translation mit $U$. W"are die Bahn nicht abgeschlossen, so w"are dieser Raum von Funktionen nicht Null und m"u"ste nach \ref{uPG} auch eine von Null verschiedene $U$-invariante Funktion $f$ enthalten. Das aber kann nicht sein, da jede $U$-invariante Funktion konstant ist auf $\overline{Ux}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine algebraische Operation $G\acts X$ eines algebraischen Monoids $G$ auf einer algebraischen Variet"at wird $\mathcal O(X)$ zu einer algebraischen Rechtsdarstellung von $G$ vermittels der Rechtsoperation gegeben durch\label{DrGS} $$(fg)(x)=f(gx)\quad\forall f\in\mathcal O(X), g\in G, x\in X$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben eine algebraische Operation einer algebraischen Gruppe $G$ auf einer Pr"avariet"at $X$ und eine abgeschlossenen Teilmenge $M\As X$ stets gilt $$\op{Trans}_G (M, M)=\{g\in G\mid gM=M\}$$ Insbesondere ist der Stabilisator von $M$, wie er oben eingef"uhrt wird, stets eine Untergruppe, und der Stabilisator einer abgeschlossenen Untergruppe $H\subset G$ unter der Operation durch Konjugation ist ihr Normalisator im Sinne der Gruppentheorie, vergleiche etwa \eref{DefNo}{AL} oder \eref{GTh4}{TF}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man betrachte die Operation durch Konjugation von $\op{GL} (n;k)$ auf $\op{Mat} (n ; k)$ und zeige, da"s die abgeschlossenen Bahnen genau die Bahnen der diagonalisierbaren Matrizen sind. Man bestimme in diesem Fall die Dimensionen aller Bahnen. Man bestimme genauer, wann eine Bahn im Abschlu"s einer anderen Bahn liegt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $M{\acts} X$ eine affine Variet"at mit einer algebraischen Operation eines affinen algebraischen Monoids, so existiert eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $V$ von $M$ nebst einer "aquivarianten abgeschlossenen Einbettung\label{Asdr} $X\hra V$. Hinweis: Man argumentiere wie beim Beweis von \ref{aagl}. Mutige zeigen dasselbe auch ohne die Annahme $M$ affin. \end{Ubung} \subsection{Flache Morphismen} \nichtfinal{Oft Pr"avariet"aten statt Variet"aten!} \begin{Bemerkungl} Wir hatten in der kommutativen Algebra bemerkenswerte Resultate "uber geometrische Eigenschaften flacher Morphismen von affinen Variet"aten gezeigt. Hier schreiben wir sie um auf den Fall beliebiger Variet"aten. Das ist nicht weiter schwer und erm"oglicht es uns, diese Aussagen so zu formulieren, wie wir sie im folgenden verwenden wollen. Ich erinnere daran da"s ein Kringhomomorphismus $A\ra B$ {\bf flach} hei"st, wenn die Erweiterung der Skalare $B\otimes_A: \op{Mod}_A\ra\op{Mod}_B$ alias der Linksadjungierte des Restriktionsfunktors exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Variet"aten hei"st {\bf flach},\index{flach!Morphismus von Variet"aten} wenn f"ur alle Punkte $x\in X$ der auf den lokalen Ringen induzierte Homomorphismus $\mathcal O_{Y,\varphi(x)}\ra \mathcal O_{X,x}$ ein flacher Ringhomomorphismus ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beispiele f"ur Flachheit}] Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Variet"aten ist nach der Lokalit"at der Flachheit \eref{lokFl}{KAG} genau dann flach, wenn der zugeh"orige Komorphismus $\varphi^\sharp:\mathcal O(Y)\ra \mathcal O(X)$ flach ist. Jede offene Einbettung von algebraischen Variet"aten ist flach. Die Projektion einer Variet"at auf einen Punkt ist stets flach. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Permanenzen der Flachheit}] Die Komposition flacher Morphismen von algebraischen Variet"aten ist wieder flach. Gegeben $X\ra Y$ ein flacher Morphismus von algebraischen Variet"aten und $Z$ eine beliebige Variet"at ist auch der induzierte Morphismus $X\times Z\ra Y\times Z$ flach. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Generische Flachheit}] Gegeben ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Variet"aten gibt es eine offene dichte Teilmenge $U\co Y$ mit $\varphi:\varphi^{-1}(U)\ra U$ flach.\label{genFLa} \end{Theorem} \begin{proof} Sind $X$ und $Y$ beide affin, so haben wir das in \eref{genFL}{KAG} gezeigt. Die allgemeine Aussage folgt unmittelbar. \end{proof} \begin{Theorem}[\textbf{Offenheit flacher Morphismen}] Jeder flache Morphismus von algebraischen Variet"aten ist offen.\label{OflM} \end{Theorem} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem in \eref{BFM}{KAG} bewiesenen Spezialfall eines Morphismus affiner Variet"aten. \end{proof} \begin{Theorem}[\textbf{Flache Morphismen und Faserdimension}] Gegeben ein flacher Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von einer nichtleeren "aqui-$n$-di\-men\-sio\-na\-len Variet"at zu einer "aqui-$m$-di\-men\-sio\-na\-len Variet"at gilt $ n\geq m$ und gegeben eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge $Z\As Y$ haben wir f"ur jede irreduzible Komponente $K$ ihres Urbilds $\varphi^{-1}(Z)$ sowohl $\overline{\varphi(K)}=Z$ als auch\label{EflM} $$\op{kdim}X-\op{kdim}K=\op{kdim}Y-\op{kdim}Z$$ \end{Theorem} \begin{proof} Im Fall affiner Variet"aten hatten wir das bereits in \eref{MMK}{KAG} gezeigt. Der Fall, in dem zumindest $Y$ affin ist, folgt unmittelbar. Der allgemeine Fall ist dann auch leicht einzusehen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Halbstetigkeit der Faserdimension}] Gegeben ein Morphismus von Variet"aten $\varphi : X \ra Y$ ist die Funktion ${\op{f}}:X\ra \DN$ der lokalen Faserdimension\label{hsFDa} ${\op{f}}(x)\pdef \op{kdim}_x\varphi^{-1}(\varphi(x))$ halbstetig auf $X$ in dem Sinne, da"s f"ur alle $n\in \DN$ die Menge $\{x\in X\mid {\op{f}}(x)\geq n\}$ abgeschlossen ist. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem affinen Fall \eref{hsFD}{KAG}. \end{proof}\begin{Bemerkungl} Der Satz gilt f"ur beliebige, nicht notwendig flache Morphismen. Ich habe ihn dennoch hier angef"ugt, da er ein Korollar der vorhergehenden S"atze "uber generische Flachheit und Dimensionseigenschaften flacher Morphismen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Variet"at mit der Operation einer algebraischen Gruppe hei"st {\bf homogen}\index{homogen} oder ein {\bf homogener Raum}, wenn sie aus genau einer Bahn besteht, wenn also die Gruppenwirkung transitiv ist. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Variet"at mit der Operation einer abstrakten Gruppe durch Automorphismen von Variet"aten hei"st {\bf schwach homogen}\index{schwach homogen} oder ein {\bf schwach homogener Raum}, wenn sie aus genau einer Bahn besteht, wenn also die Gruppenwirkung transitiv ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Flachheit "aquivarianter Morphismen von homogenen R"aumen}] Ein "aquivarianter Morphismus von schwach homogenen R"aumen ist stets flach. Das folgt unmittelbar aus der generischen Flachheit \ref{genFLa} zusammen mit der Homogenit"at.\label{HHR} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Dimensionsformel}] Gegeben eine algebraische Gruppe $G$ und eine $G$-Variet"at $X$ gilt f"ur jeden Punkt $x \in X$ die Identit"at\label{DimF} \begin{equation*} \op{kdim} G x + \op{kdim} G_x =\op{kdim }G \end{equation*} \end{Proposition} %neine $G$-Variet"at, die \begin{proof} Der Morphismus von homogenen R"aumen $\varphi:G\ra Gx$ gegeben durch $g\mapsto gx$ ist flach nach \ref{HHR} als Morphismus von homogenen R"aumen. Aufgrund der Homogenit"at sind $G$ und $Gx$ auch "aquidimensional. Die Behauptung folgt damit aus den allgemeinen Eigenschaften flacher Morphismen \ref{EflM}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Morphismen zu endlichen K"orpererweiterungen}] Gegeben ein dominanter Morphismus $\varphi : X \ra Y$ von irreduziblen Variet"aten derselben Dimension gibt es eine offene nichtleere Teilmenge $V \co Y$ derart, da"s gilt:\label{affan} \begin{enumerate} \item Die Faser "uber jedem Punkt $y\in V$ hat genau $ [\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]_{\op{s}}$ Elemente; \item Sowohl $V$ als auch $\varphi^{-1}(V)$ sind affin; \item $\mathcal O(\varphi^{-1}(V))$ ist ein freier $\mathcal O(V)$-Modul vom Rang $[\cal{M}(X):\cal{M}(Y)]$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Sind $X$ und $Y$ affin, so haben wir das bereits in \eref{affann}{KAG} gezeigt. Um uns auf diesen Fall zur"uckzuziehen, w"ahlen wir eine offene dichte affine Teilmenge $W\co Y$ und eine offene dichte affine Teilmenge $U\co \varphi^{-1}(W)$. Dann finden wir eine von Null verschiedene regul"are Funktion $s\in\mathcal O(W)$, deren Nichtnullstellenmenge $\varphi(X\backslash U)$ nicht trifft, so da"s also gilt $\varphi^{-1}(W_s)\subset U$. Schlie"slich nehmen wir die Nichtnullstellenmenge $U_s$ als unser neues $X$ und die Nichtnullstellenmenge $W_s$ als unser neues $Y$ und ziehen uns so auf den affinen Fall zur"uck. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Morphismen mit endlichen Fasern}] Gegeben ein dominanter Morphismus von irreduziblen Variet"aten $\varphi : X \rightarrow Y$ mit einer nichtleeren endlichen Faser\label{MeF} ist die K"orpererweiterung $\mathcal M (X) / \mathcal M (Y)$ endlich. Ist $\varphi$ zus"atzlich injektiv, so ist sie rein inseparabel. \end{Proposition} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit seien $X$ und $Y$ affin. W"are die K"orpererweiterung $\mathcal M (X)/ \mathcal M (Y)$ nicht endlich, so folgte aus der Beschreibung der Dimension als Transzendenzgrad unmittelbar $\op{kdim} X > \op{kdim} Y$. Dann m"u"s\-ten aber alle nichtleeren Fasern unseres Morphismus nach \eref{diF}{KAG} positive Dimension haben und insbesondere unendlich sein. H"atten wir weiter f"ur den Separabilit"atsgrad unserer K"orpererweiterung $[\mathcal M (X) : \mathcal M (Y)]_s > 1$, so k"onnte $\varphi$ nicht injektiv sein nach Proposition \ref{affan} "uber die Kardinalit"aten von Fasern. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Birationale Morphismen homogener R"aume}] Ein birationaler "aquivarianter\label{birH} Homomorphismus zwischen irreduziblen schwach homogenen R"aumen ein- und derselben Gruppe ist stets ein Isomorphismus. \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{affan} gibt es f"ur jeden birationalen Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von irreduziblen Variet"aten eine offene dichte affine Teilmenge $V\co Y$ derart, da"s $\varphi$ einen Isomorphismus von Variet"aten $\varphi:\varphi^{-1}(V)\sira V$ induziert. Homogenit"at zeigt den Rest. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Zariski's Hauptsatz f"ur affine Variet"aten}] Ein bijektiver birationaler Morphismus\label{ZHSSS} von einer affinen irreduziblen\index{Zariski!Hauptsatz!f"ur affine Variet"aten} Variet"at in eine normale affine Variet"at ist stets ein Isomorphismus. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir wissen aus \eref{glno}{KAG}, da"s jede glatte Variet"at $Y$ normal ist. Meist werden wir den Satz in diesem Fall anwenden. Wir wissen aus \ref{MeF}, da"s ein bijektiver Morphismus von irreduziblen Variet"aten stets zu einer endlichen rein inseparablen Erweiterung der Funktionenk"orper f"uhrt. In Charakteristik Null ist die Annahme der Birationalit"at im Satz also "uberfl"ussig, da sie bereits aus der Bijektivit"at folgt.\label{efds} In positiver Charakteristik werden wir in \ref{AZVV} die Birationalit"at folgern k"onnen, wenn wir nur die Surjektivit"at des Differentials an einer glatten Stelle kennen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}$(k=\bar k)$ Die Abbildung $k\ra k^2$ mit $t\mapsto (t^3,t^2)$ induziert einen bijektiven Morphismus $k\sira Y\pdef\{(x,y)\mid x^2=y^3\}$ auf die sogenannte \glqq Neil'sche Parabel\grqq, der kein Isomorphismus ist. In diesem Fall ist aber $Y$ auch nicht normal. Im Fall $\op{char}k=p>0$ ist auch $\varphi:k\ra k$ mit $x\mapsto x^p$ ein bijektiver Morphismus, der kein Isomorphismus ist. In diesem Fall ist zwar die Zielvariet"at normal, aber unser Morphismus ist nicht birational. \end{Beispiele} \begin{proof} Sei zun"achst $\varphi : X \rightarrow Y$ ein beliebiger bijektiver Morphismus von einer beliebigen Variet"at in eine affine Variet"at. %affinen Variet"aten. Mit der Beschreibung \eref{SchnittPI}{KAG} f"ur das Bild des Primspektrums unter Kringerweiterungen sehen wir, da"s die Einbettung $\varphi^\sharp :\mathcal O (Y) \hookrightarrow \mathcal O (X)$ eine Surjektion $\op{Spec} \mathcal O (X) \sra \op{Spec} \mathcal O (Y)$ induziert. Ist $Y$ irreduzibel und $\mathcal O (Y)$ normal, so sind nach \eref{dBr}{KAG} die Lokalisierungen $\mathcal O (Y)_{\frak q}$ von $\mathcal O (Y)$ nach Primidealen der H"ohe eins diskrete Bewertungsringe. Gilt also $\op{ht}(\frak q)=1$ und ist $\frak p \subset \mathcal O (X)$ ein Primideal mit $\frak p \mapsto \frak q$ und ist unser Morphismus birational, so induziert $\mathcal M (Y) \sira \mathcal M (X)$ eine Bijektion $\mathcal O (Y)_{\frak q} \sira \mathcal O (X)_{\frak p}$ aufgrund der Maximalit"at diskreter Bewertungsringe \eref{MBEW}{KAG}. Nun haben wir nach \eref{Schnit}{KAG} wieder aufgrund der Normalit"at von $\mathcal O(Y)$ die Gleichheit \begin{equation*} \mathcal O (Y) = \bigcap_{\op{ht}(\frak q) =1} \mathcal O (Y)_{\frak q} \end{equation*} von Teilmengen von $\mathcal M (Y)$. Unter $\mathcal M (Y) \sira \mathcal M (X)$ wird $\mathcal O (Y)$ also auf eine Teilmenge von $\mathcal M (X)$ abgebildet, die $\mathcal O (X)$ umfa"st. Da aber das Bild von $\mathcal O (Y)$ stets in $\mathcal O (X)$ liegt, mu"s $\mathcal M (Y) \sira \mathcal M (X)$ einen Isomorphismus $\mathcal O (Y) \sira \mathcal O (X)$ induzieren. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Der Hauptsatz von Zariski gilt sogar, wenn man $X$ und $Y$ als beliebige irreduzible separierte Variet"aten annimmt und fordert, da"s $Y$ normal ist in dem Sinne, da"s die lokalen Ringe $\mathcal O_{Y,y}$ normal sind f"ur alle $y\in Y$. In dieser Allgemeinheit folgert man die Aussage leicht, wenn man zus"atzlich annimmt, da"s unser Morphismus offen ist, und erinnert, da"s nach \eref{afM}{KAG} jeder Morphismus von einer affinen Variet"at in eine separierte Variet"at affin ist. Wenn man unseren Morphismus nicht offen annimmt, kenne ich keinen so einfachen Beweis. \nichtfinal{Tauvel-Yu w"are vielleicht eine gute Quelle.} Unter Zuhilfenahme von Grothendieck-Dieudonn\'e sollte es aber doch mit wenig zus"atzlichem Aufwand zu machen sein. Wenn man die Bedingung der Separiertheit fallenl"a"st, erh"alt man ein Gegenbeispiel, indem man die \glqq Ebene mit verdoppeltem Achsenkreuz\grqq\ betrachtet und den Morphismus dorthin von einer \glqq Ebene mit verdoppelter $x$-Achse und verdoppelter ($y$-Achse ohne Nullpunkt)\grqq. \end{Bemerkunge} \begin{Satz*}[\textbf{Affinit"at von homogenen R"aumen}] Gegeben ein surjektiver "aquivarianter Morphismus von homogenen R"aumen $\varphi:X\ra Y$ mit endlichen Fasern ist $X$ affin genau dann, wenn $Y$\label{AHVV} affin ist. \end{Satz*} \begin{proof} Nach unseren Erkenntnissen \ref{affan} "uber Morphismen zu endlichen K"or\-per\-er\-wei\-te\-run\-gen und Homogenit"at gibt es eine "Uberdeckung von $Y$ durch offene affine Teilmengen $V_i$ mit affinen Urbildern $\varphi^{-1}(V_i)$. Ist $Y$ affin, so ist damit $X$ affin nach \eref{Afmm}{KAG}. Sei nun umgekehrt $X$ affin. Wir d"urfen unsere Variet"aten sicher irreduzibel annehmen und beginnen mit dem Fall eines bijektiven "aquivarianten Morphismus von homogenen R"aumen. Unter dieser Annahme stellt sich das Problem nach \ref{iHHR} nur in positiver Charakteristik $p>0$. Nach \ref{ZhS} liegt f"ur jedes $f\in\mathcal O(X)$ eine geeignete iterierte $p$-Potenz in $\mathcal O(Y)$. Ist $X$ affin, so finden wir eine Verfeinerung der "Uberdeckung durch die $\varphi^{-1}(V_i)$ zu einer Verfeinerung durch gewisse $X_{f_\nu}$ mit $f_\nu\in\mathcal O(X)$ sowie eine Relation $1=\sum b_\nu f_\nu$ mit $b_\nu\in\mathcal O(X)$. Erheben wir unsere Relation mehrmals zur $p$-ten Potenz, so wird sie eine Relation $1=\sum b_\nu^q f_\nu^q$ mit $b_\nu^q, f_\nu^q\in\mathcal O(Y)$. Dann aber gilt $\{y\in Y\mid f_\nu^q(y)\neq 0\}=\{y\in V_i\mid f_\nu^q(y)\neq 0\}$ f"ur geeignetes $i$. Folglich sind diese offenen Teilmengen affin, und das Affinit"atskriterium \eref{AfKr}{KAG} zeigt, da"s $Y$ affin ist. Ist unser "aquivarianter Morphismus von homogenen R"aumen mit endlichen Fasern nur surjektiv, so nennen wir $n$ die Kardinalit"at einer und jeder Faser und bilden die Mengen $$\begin{array}{lll} W&\pdef& \{(x_1,\ldots,x_n)\in X^n\mid \varphi(x_1)=\ldots=\varphi(x_n)\} \\[2mm] Z&\pdef &\{(x_1,\ldots,x_n)\in X^n\mid \{x_1,\ldots,x_n\} \text{ ist eine Faser von }\varphi\} \end{array} $$ Da $Y$ separiert ist nach "Ubung \ref{aGs}, ist mit $X$ auch $W\As X^n$ affin. Da alle $G$-Bahnen in $W$ dieselbe Dimension haben, sind sie alle abgeschlossen in $W$ und folglich auch affin. Unser $Z$ schlie"slich ist eine Vereinigung von $G$-Bahnen von $W$ und ist damit auch affin. Als Quotient nach einer endlichen Gruppen \eref{Qz2}{KAG} ist dann auch $Z/\mathcal S_n$ affin und da der Quotientenmorpismus weiter nach \eref{Qz2}{KAG} produktfest final ist, ist auch die induzierte Operation von $G$ auf $Z/\mathcal S_n$ algebraisch. Damit aber ist $Z/\mathcal S_n\ra Y$ ein bijektiver Morphismus von homogenen R"aumen und in diesem Fall haben wir bereits gezeigt, da"s entweder beide affin sind oder keiner. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben $G\acts X$ eine Variet"at mit der Operation einer algebraischen Gruppe gilt f"ur alle $d\in \DN$\label{OEII} $$\{x\in X\mid \op{kdim}(G_x)\leq d\}\co X$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir betrachten den Morphismus $a:G\times X\ra X\times X$ mit $(g,x)\mapsto (x,gx)$ und das Urbild der Diagonale $a^{-1}(\Delta)\As G\times X$ und den zugeh"origen Morphismus $f:a^{-1}(\Delta)\ra X$. Die Faser "uber $x\in X$ ist $G_x\times \{x\}$ und hat an jeder Stelle dieselbe lokale Dimension. Nach dem Satz "uber die Halbstetigkeit der Faserdimension \ref{hsFDa} ist $\bigcup_{ \op{kdim}G_x\leq d}G_x\times\{x\}$ offen in $a^{-1}(\Delta)$ und dann ist auch das Urbild dieser Menge under $(e,\op{id}):X\ra a^{-1}(\Delta)$ f"ur $e\in G$ das neutrale Element offen in $X$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Insbesondere bilden die Punkte, deren Standgruppe die f"ur Standgruppen von Punkten von $X$ kleinstm"ogliche Dimension hat, eine offene Teilmenge. Wir nennen diese Punkte die {\bf $G$-regul"aren Punkte}\index{regul"ar!$G$-regul"arer Punkt} von $G{\acts}X$. Man beachte, da"s ein \glqq regul"arer Punkt\grqq\ eines Schemas meist einen Punkt meint, dessen lokaler Ring regul"ar ist, und diese Bedeutung von regul"ar ist eine v"ollig andere. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein homogener Raum $X$ einer algebraischen Gruppe $G$ sind die irreduziblen Komponenten von $X$ genau die Bahnen der Einskomponente $G^\circ$ von $G$.\label{KoHR} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Jeder homogene Raum ist separiert}] Sei $G{\acts}X$ unser homogener Raum. Die Diagonale $\Delta\subset X\times X$ ist eine Bahn\label{aGs} und alle weiteren Bahnen im Abschlu"s der Diagonale h"atten kleinere Dimension. Das f"uhrt schnell zu einem Widerspruch. \end{Ubung} \newpage \section{Algebraische Differentialrechnung} \subsection{Derivationen und Tangentialr"aume} \begin{Definition} Seien $k$ ein Kring, $A$ ein $k$-Kring und $M$ ein $A$-Modul. Eine {\bf $M$-wertige $k$-lineare Derivation auf $A$}\index{Derivation!modulwertige} ist eine $k$-lineare Abbildung\label{klDe} $D : A \ra M$ mit $D(ab) = aD (b)+ bD(a)\;\forall a,b\in A$. Die abelsche Gruppe aller derartigen Derivationen notieren wir\index{Der@$\op{Der}_k (A,M)$ Modul der Derivation} \begin{displaymath} \op{Der}_k (A,M) \end{displaymath} Sie wird ein $A$-Modul durch das Nachschalten von Multiplikationen, in Formeln durch die Vorschrift $aD\pdef(a\cdot)\circ D$. Im Spezialfall $A=M$ verwenden wir die Abk"urzung $\op{Der}_k (A)\pdef \op{Der}_k (A,A)$.\index{Der@$\op{Der}_k A\pdef \op{Der}_k(A,A)$} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Noch allgemeiner betrachtet man $k$-lineare Derivationen beliebiger $k$-Al\-ge\-bren $A$ "uber einem Kring $k$. Sie sind aber nur noch $k$-Moduln und tragen im allgemeinen keine nat"urliche Struktur als $A$-Modul. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Richtungsableitungen als Derivationen}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum $E$ und ein Punkt $x\in E$ und der $\DR$-Kring $\mathcal C^1_\DR(E)$ der stetig differenzierbaren Funktionen $f:E\ra\DR$ und der Auswertungsmodul $\DR_x$ mit zugrundeliegender abelscher Gruppe $\DR$, auf der eine Funktion $f$ durch Multiplikation mit $\delta_x(f)=f(x)$ operiert, liefert f"ur jeden Richtungsvektor $\vec v\in \vec E$ das Bilden der Richtungsableitung bei $x$ in Richtung $\vec v$ eine Derivation $$\op{D}_{\vec v,x}\in \op{Der}_\DR(\mathcal C^1_\DR(E),\DR_x)$$ Das Bilden der Richtungsableitung an allen Stellen hinwiederum ist eine Derivation auf der $\DR$-Algebra der glatten Funktionen $$\op{D}_{\vec v}\in \op{Der}_\DR(\mathcal C^\infty_\DR(E))$$ und auf glatten Funktionen $f$ finden wir $\op{D}_{\vec v,x}(f)=\delta_x \op{D}_{\vec v}(f)$. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivation von Konstanten}] Jede Derivation annulliert das Einselement. F"ur jede Derivation $D$ auf einem Kring alias $\DZ$-Kring $A$ in einen $A$-Modul gilt also in Formeln $D (1) = 0$. In der Tat folgt aus der Definition $$D (1) = D (1\cdot 1) = D (1) + D(1)$$ Ist $k$ ein Kring und $A$ ein $k$-Kring, so verschwindet mithin jede $k$-lineare Derivation auf $k1_A$. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Beispiel}[\textbf{Derivationen auf Polynomringen}] Ist $k$ ein Kring und $M$ ein Modul "uber $k[T]$, so erhalten wir eine Bijektion $$ \op{Der}_k( k[T], M)\sira M$$ durch die Vorschrift $D\mapsto D(T)$. In der Tat kann die Umkehrabbildung explizit angegeben werden durch $m\mapsto (P\mapsto P'm)$.\label{DevP} Die Ableitung ist dabei wie in \eref{FoAb}{AL} formal zu verstehen. Insbesondere ist $\op{Der}_k(k[T])$ ein freier $k[T]$-Modul mit der Derivation $$\partial:P\mapsto P'$$ als $k[T]$-Basis. Ist weiter $x\in k$ ein Punkt und $k_x$ der Auswertungsmodul, so ist $ \op{Der}_k( k[T], k_x)$ ein freier $k$-Modul mit der Derivation $\delta_x\partial:P\mapsto P'(x)$ als $k$-Basis. \end{Beispiel} \nichtfinal{%\begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}] Ich will im weiteren sehr strikt die Konvention befolgen, da"s f"ur einen Kring $k$ das Symbol $\partial$ die $k$-lineare Derivation $\partial\in \op{Der}_k(k[T])$ mit $\partial(T)=1$ bedeutet. Nur die Ausdehnungen auf Lokalisierungen \ref{DerBR}, \ref{DerBRa} werden mit demselben Symbol bezeichnet. Mit dem Ableitungssymbol $f\mapsto f'$ will ich dahingegen gro"sz"ugig umgehen und ihm verschiedene konkurrierende Bedeutungen zugestehen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden wird. ECHT GUT? Eher alternative Bedeutungen in der Literatur diskutieren? %\end{Bemerkungl} } %\newpage %\begin{Bemerkunge}[\textbf{Derivationen auf freien Kringalgebren}] % Analog erhalten wir f"ur einen Polynomring "uber einem Kring $k$ %in einer beliebigen %Menge $\mathcal T$ von Variablen und jeden Modul $M$ "uber %diesem Polynomring eine Bijektion\label{DPRR} % $$ \op{Der}_k( k['_!\mathcal T], M)\sira \op{Ens}(\mathcal T, M)$$ %durch die Vorschrift %$D\mapsto (T\mapsto D(T))$. Noch allgemeiner diskutieren wir in %den "Ubungen \ref{DerTP} und \ref{VDKo} die Vertr"aglichkeit des Bildens von %Derivationsmoduln mit Koprodukten und sogar mit beliebigen Kolimites. %\end{Bemerkunge} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten von Derivationen}] Seien $k$ ein Kring und $A$ ein $k$-Kring. Ist $\psi : M \ra N$ ein Homomorphismus von $A$-Moduln, so induziert das Nachschalten von $\psi$ eine $A$-lineare Abbildung $$\op{Der}_k (A,M) \ra \op{Der}_k (A,N)$$ Ist $\varphi : B \ra A$ ein Homomorphismus von $k$-Kringen, so erhalten wir einen Homomorphismus von $B$-Moduln $ \op{res}^B_A \op{Der}_k (A,M) \ra \op{Der}_k (B, \op{res}^B_A M) $ durch das Vorschalten von $\varphi$. Wir k"urzen ihn ab zu $\op{Der}_k (A,M) \ra \op{Der}_k (B,M)$ und erhalten so die {\bf linksexakte Sequenz f"ur Derivationen}$$ \op{Der}_B (A,M) \hra \op{Der}_k (A,M) \ra \op{Der}_k (B,M)\hspace{3.2cm} $$ Ist $\varphi : B \sra A$ ein surjektiver Homomorphismus von $k$-Kringen, so erhalten wir offensichtlich $\op{Der}_B(A,M)=0$ f"ur jeden $A$-Modul $M$ und eine Beschreibung der {\bf Derivationen auf Quotienten}\label{FuDer} durch eine Erweiterung unserer Sequenz zu einer linksexakten Sequenz $$\hspace{3.2cm} \op{Der}_k (A,M) \hra \op{Der}_k (B,M) \ra \op{Hom}_k (\op{ker}\varphi,M)$$ Des weiteren ist das Verschwinden einer Derivation von $B$ in einen $A$-Modul $M$ auf $\op{ker}\varphi$ gleichbedeutend zu ihrem Verschwinden auf einem Erzeugendensystem besagten Ideals von $B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit der Derivationsmodulkonstruktion mit Koprodukten}] Gegeben ein Kring $k$ und $k$-Kringe $A$ und $B$ und ein Modul $M$ "uber $A \otimes_k B$ liefern die Restriktionen l"angs $a\mapsto a\otimes 1$ und $b\mapsto 1\otimes b$ eine Bijektion \label{DerTP}\begin{equation*} \op{Der}_k (A \otimes_k B,M) \sira \op{Der}_k (A,M) \oplus \op{Der}_k (B,M) \end{equation*} In der Tat kann man die Umkehrabbildung unmittelbar angeben als $(D_1,D_2)\mapsto D$ mit $D:a\otimes b\mapsto (1\otimes b)D_1 a + (a\otimes 1)D_2 b$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In "Ubung \ref{VDKo} werden Sie allgemeiner zeigen, da"s das Bilden von Derivationsmoduln sogar mit beliebigen Kolimites vertauscht. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Derivationen auf Polynomringen in mehreren Variablen}] Ist $k$ ein Kring und $M$ ein Modul "uber $k[T_1,\ldots, T_n]$, so erhalten wir nach dem Vorhergehenden eine Bijektion $$ \op{Der}_k( k[T_1,\ldots, T_n], M)\sira M^n$$ durch die Vorschrift $D\mapsto (D(T_1),\ldots, D(T_n))$. In diesem Fall kann die Umkehrabbildung explizit angegeben werden durch $(m_1,\ldots,m_n)\mapsto m_1\partial_1+\ldots+m_n\partial_n$, womit die Derivation $P\mapsto (\partial_1P)m_1+\ldots +(\partial_nP)m_n$ gemeint ist, die unter Verwendung der partiellen Ableitungen gebildet wird.\label{DevPm} Die partiellen Ableitungen sind dabei wie in \eref{FoAb}{AL} formal zu verstehen. Ist speziell $x\in k^n$ und $k_x$ der Auswertungsmodul, so ist $ \op{Der}_k( k[T_1,\ldots, T_n], k_x)$ ein freier $k$-Modul und die Derivationen $\delta_x\partial_{i}:P\mapsto (\partial_iP)(x)$ bilden darin eine $k$-Basis. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Ausdehnung von Derivationen auf Lokalisierungen}] Gegeben $k$ ein Kring, $A$ ein $k$-Kring, $S \subset A$ eine Teilmenge und $M$ ein Modul "uber der Lokalisierung $S^{-1}A$ liefert das Vorschalten von $\op{lok}:A\ra S^{-1}A$ eine Bijektion\label{DerL} \begin{displaymath} (\circ\op{lok}):\op{Der}_k (S^{-1}A, M) \sira \op{Der}_k (A,M) \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Umkehrabbildung dieser Bijektion mithilfe der Quotientenregel notieren wir\index{qr@$\op{qr}$ Ausdehnen von Derivation auf Lokalisierung} $\op{qr}:\op{Der}_k (A, M) \sira \op{Der}_k (S^{-1}A,M)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Formale Ableitung rationaler Funktionen}] Gegeben ein K"or\-per $k$ gibt es genau eine M"oglichkeit, unsere formale Ableitung\label{DerBR} $\partial:k[T]\ra k[T]$ aus \eref{FoAb}{AL} so zu einer formalen Ableitung $\partial:k(T)\ra k(T)$ fortzusetzen, da"s die Summenregel und die Produktregel weiter gelten. Diese formale Ableitungen notieren wir weiter $\partial:f\mapsto f'$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Formale Ableitung regul"arer Funktionen}] $(k=\bar k)$. Gegeben $U\co k$ gibt es genau eine M"oglichkeit, unsere vermittels des Isomorphismus $k[T]\sira \mathcal O(k)$ aus \eref{FoAb}{AL} erhaltene formale Ableitung\label{DerBRa} $\partial:\mathcal O(k)\ra \mathcal O(k)$ so zu einer formalen Ableitung $\partial:\mathcal O(U)\ra \mathcal O(U)$ fortzusetzen, da"s die Summenregel und die Produktregel weiter gelten. Diese formale Ableitung notieren wir weiter $\partial:f\mapsto f'$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen $S$ multiplikativ abgeschlossen annehmen. F"ur alle $s \in S$ und jede Derivation $D : S^{-1} A \ra M$ gilt $0 = D (s\cdot s^{-1}) = s^{-1} D (s) + sD (s^{-1})$ alias $D(s^{-1}) = -s^{-2} D(s)$. Das zeigt die Injektivit"at der Einschr"ankung. Andererseits k"onnen wir jede Derivation $D : A \ra M$ zu einer Derivation $S^{-1} A \ra M$ ausdehnen durch die Vorschrift $D(a/s) = s^{-1} D(a) - s^{-2}aD (s)$, wie der Leser leicht nachrechnet. Genauer und mit der abk"urzenden Notation $a'\pdef D(a)$ folgt aus der Gleichheit $(a/s)=(b/t)$ im lokalisierten Ring alias aus der Existenz von $r\in S$ mit $atr=bsr$ in $A$ bereits die Gleichheit $(a's-as')/s^2=(b't-bt')/t^2$ im lokalisierten Ring und sogar genauer in $A$ die Gleichheit $(a's-as')t^2r^2=(b't-bt')s^2r^2$. Das zeigt die Surjektivit"at. \end{proof} %\newpage \begin{Definition} Gegeben eine $k$-Variet"at $X$ und ein Punkt $x \in X$ liefert das Auswerten bei $x$ einen Ringhomomorphismus $\delta_x:\mathcal{O}_{X,x}\ra k$. Wollen wir besonders betonen, da"s wir $k$ mit der durch diesen Homomorphismus gegebenen Struktur eines $\mathcal{O}_{X,x}$-Moduls versehen, so verwenden wir daf"ur die Notation $k_x$ und nennen $k_x$ den {\bf Auswertungsmodul zu $x$}.\index{Auswertungsmodul} Wir erkl"aren den {\bf Tangentialraum} an $X$ bei $x$\index{Tangentialraum!an Variet"at} als den $k$-Vektorraum $${\op{T}}_x X \pdef \op{Der}_k (\mathcal{O}_{X,x} , k_x)$$ der $k$-linearen Derivationen des lokalen Rings in den Auswertungsmodul. Gegeben ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von Variet"aten wird das {\bf Differential $\tiff_x \varphi$ von $\varphi$ an der Stelle $x$} \index{Differential!algebraisches} definiert als die durch das Vorschalten von $\varphi^\sharp :\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}\ra \mathcal{O}_{X,x}$ erkl"arte $k$-lineare Abbildung \begin{equation*} \tiff_x \varphi : {\op{T}}_x X \rightarrow {\op{T}}_{\varphi(x)} Y \end{equation*} Ich schlage vor, diese Abbildung als das {\bf Tangential an $\varphi$ bei $x$} anzusprechen.\index{Tangential!als Abbildung} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{DTRo}, da"s eine bepunktete Variet"at $(X,x)$ genau dann glatt ist bei $x$, wenn ihre lokale Krulldimension bei $x$ mit der Dimension des Tangentialraums "ubereinstimmt, in Formeln $\op{kdim}_xX=\op{dim}_k{\op{T}}_xX$. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition}[\textbf{Tangentialr"aume affiner Variet"aten}] F"ur jede bepunktete affine $k$-Variet"at $(X,x)$ liefert die Restriktion unter $\cal{O}(X)\ra \cal{O}_{X,x}$ eine Bijektion\label{TAFF} \begin{displaymath} {\op{T}}_x X \sira \op{Der}_k (\cal{O}(X), k_x) \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus der Ausdehnbarkeit von Derivationen auf Lokalisierungen \ref{DerL} angewandt auf $A = \cal{O}(X)$, $M = k_x$ und $S\subset \cal{O}(X)$ die Menge aller Funktionen, die bei $x$ nicht verschwinden. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Tangentialr"aume der Zahlengerade}] Gegeben $k=\bar k$ und $a\in k$ bildet die bei $a$ ausgewertete Ableitung $\delta_a\partial:f\mapsto f'(a)$ eine $k$-Basis des Tangentialraums ${\op{T}}_ak$ der $k$-Variet"at $k$. Das folgt sofort aus der Beschreibung des Tangentialraums affiner Variet"aten \ref{TAFF} und der Beschreibung der Derivationen auf Polynomringen \ref{DevP}. Wir nennen dies Element den {\bf kanonischen Erzeuger}\label{kanEE} $$\delta_a\partial\in {\op{T}}_ak$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben $k=\bar k$ und $x\in k^n$ bilden die bei $x$ ausgewerteten partiellen Ableitungen $\delta_x\partial_{1},\ldots, \delta_x\partial_{n}$ eine $k$-Basis\label{pA1} von ${\op{T}}_xk^n$. Das folgt sofort aus der Beschreibung des Tangentialraums affiner Variet"aten \ref{TAFF} und der Beschreibung der Derivationen auf Polynomringen in mehreren Variablen \ref{DevPm}. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Tangentialraum als Funktor}] Gegeben Morphismen von Variet"aten $\varphi : X \ra Y$ und $\psi : Y \rightarrow Z$ sowie $x\in X$ ein Punkt mit Bildern $\varphi(x)=y$ und $\psi (y) =z$ haben wir offensichtlich\label{FunkT} \begin{equation*} \tiff_y \psi \circ \tiff_x \varphi = \tiff_x (\psi \circ \varphi) : {\op{T}}_x X \rightarrow {\op{T}}_z Z \end{equation*} Sicher gilt auch $\tiff_x \op{id}_X = \op{id} : {\op{T}}_x X \rightarrow {\op{T}}_x X$. In anderen Worten ist das Bilden des Tangentialraums ein Funktor von der Kategorie der bepunkteten Variet"aten in die Kategorie der Vektorr"aume. Hier verstehen wir unter einer {\bf bepunkteten Variet"at}\index{Variet"at!bepunktete} eine Variet"at mit einem ausgezeichneten Punkt und unter einem Morphismus von bepunkteten Variet"aten einen Morphismus von Variet"aten, der den ausgezeichneten Punkt auf den ausgezeichneten Punkt abbildet. \end{Bemerkungl} %\newpage \nichtfinal{SOLL DAS? %\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableitung von Wegen}] Gegeben eine $k$-Variet"at $X$ und ein Morphismus $\gamma:k\ra X$ und ein Punkt $a\in k$ bezeichnen wir mit\label{KuGe} $$\gamma'(a)\in \tiff_{\gamma(a)}X$$ das Bild $\gamma'(a)\pdef (\tiff_a\gamma)(\delta_a\partial)$ des Erzeugers $\delta_a\partial\in \tiff_ak$ unter dem Tangential $\tiff_a\gamma:\tiff_ak\ra\tiff_{\gamma(a)}X$ des Morphismus $\gamma$ bei $a$. Dieselbe Notation verwenden wir f"ur $a\in U\co k$ und $\gamma:U\ra X$. Hier ist die Notation nicht konsistent. Gegeben ein Morphismus $f:k\ra k$ haben wir ja bereits $f':k\ra k$ erkl"art! Sollte man doch eine andere Notation vereinbaren?} %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangential offener Einbettungen}] Jede offene Einbettung $j : U \hookrightarrow X$ liefert f"ur alle $x \in U$ einen Isomorphismus $\mathcal O_{X,j(x)}\sira \mathcal O_{U,x}$ auf den lokalen Ringen und damit einen Isomorphismus auf den Tangen\-tialr"aumen\label{doE} \begin{equation*} \tiff_x j : {\op{T}}_x U \sira {\op{T}}_{j (x)} X \end{equation*} \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangential abgeschlossener Einbettungen}] Jede eine abgeschlossene Einbettung $i : Z \hookrightarrow X$ liefert f"ur alle $z \in Z$ eine Surjektion auf den lokalen Ringen $i^\sharp: \mathcal O_{X,i(z)}\sra \mathcal O_{Z,z}$ und damit eine Injektion\label{daE} auf den Tangentialr"aumen $\tiff_zi : {\op{T}}_z Z\hra {\op{T}}_{i (z)} X$. Insbesondere sind Tangentialr"aume von Variet"aten stets endlichdimensional. Ist $X$ affin und sind Funktionen $f_\nu\in\mathcal O(X)$ gegeben, die das Verschwindungsideal $\op{ker}i^\sharp$ von $Z$ bei $z$ erzeugen, so kann nach \ref{FuDer} das Bild des Tangentials $\tiff_zi$ beschrieben werden als der Schnitt der Kerne der Tangentiale $\tiff_{i(z)}f_\nu$ unserer lokalen Erzeuger, wir haben also in Formeln eine linksexakte Sequenz $$\textstyle {\op{T}}_z Z\hra {\op{T}}_{i (z)} X \ra \bigoplus_\nu {\op{T}}_{0} k$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialr"aume von Untervariet"aten}] Gegeben $z\in Z\subset X$ eine Variet"at mit einer lokal abgeschlossenen Teilmenge und einem ausgezeichneten Punkt derselben identifizieren wir h"aufig den Tangentialraum ${\op{T}}_zZ$ an die Untervariet"at $Z$ implizit mit seinem Bild unter dem Differential $\tiff_z(Z\subset X)$ der Einbettungsabbildung $Z\hra X$, die wir ganz allgemein gerne $(Z\subset X)$ notieren und deren Tangential in diesem Fall nach \ref{daE} und \ref{doE} stets eine Injektion ist. Wir verwenden in diesem Kontext die mehr oder weniger stark abkürzenden Notationen $${\op{T}}_zZ={\op{T}}_z^{\scriptscriptstyle\subset}Z \subset {\op{T}}_zX$$ f"ur den Teilraum, der genau genommen $\op{im}(\tiff_z(Z\subset X))$ zu notieren w"are. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Tangentialraum eines Produkts}] Der Tangentialraumfunktor ist vertr"aglich mit endlichen Produkten. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die Differentiale der Projektionen induzieren in anderen Worten stets einen Isomorphismus von Vektorr"aumen\label{TaPrr} \begin{equation*} (\tiff_{(x,y)}\op{pr}_X,\tiff_{(x,y)}\op{pr}_Y): {\op{T}}_{(x,y)} (X \times Y) \sira {\op{T}}_x X \oplus {\op{T}}_y Y \end{equation*} Die Umkehrabbildung ist dann $(v,w)\mapsto \tiff_x(\op{id}_X,y)(v)+ \tiff_y(x,\op{id}_Y)(w)$ mit der Notation $y=\op{em}_y\op{fin}_X$ f"ur die konstante Abbildung $X\ra Y$, die jeden Punkt auf $y$ abbildet, und ebenso f"ur die konstante Abbildung $x:Y\ra X$. In der Tat ist diese Abbildung linear und die Funktorialit"at \ref{FunkT} zeigt, da"s das Nachschalten des Isomorphismus aus der Proposition alle Elemente der Gestalt $(v,0)$ oder $(0,w)$ auf sich selber abbildet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht, das f"ur affine Variet"aten zu zeigen. In diesem Fall folgt es aus der Vertr"aglichkeit von Derivationen mit Koprodukten \ref{DerTP}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangentialr"aume affiner R"aume}]$(k=\bar k)$. F"ur jeden endlichdimensionalen affinen Raum $E$ "uber $k$ und jeden Punkt $p \in E$ erhalten wir einen Isomorphismus\label{ccaann} $$ \op{D}=\op{D}_p: \vec E \sira {\op{T}}_p E$$ durch die Vorschrift, da"s wir zu einem Richtungsvektor $\vec v\in\vec E$ den Morphismus $\gamma_{p,\vec v}: k\ra E$, $t\mapsto p+t\vec v$ bilden und unserem Richtungsvektor $\vec v$ in der Notation \ref{KuGe} das Bild $\op{D}_p(\vec v)\pdef (\tiff_0\gamma_{p,\vec v})(\delta_0\partial)$ des Basisvektors $\delta_0\partial\in {\op{T}}_0k$ unter dem Tangential dieses Morphismus zuordnen. In der Tat gilt f"ur jede affine Abbildung $\varphi:E\ra F$ offensichtlich $\varphi(p+t\vec v)=\varphi(p)+t\vec\varphi(\vec v)$ und damit erhalten wir ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{\vec{E}\ar[rr]^{{\op{D}}_p}\ar[d]_{\vec{\varphi}} &&{\op{T}}_p E\ar[d]_{\tiff_p\varphi}\\ \vec{F}\ar[rr]^{{\op{D}}_{\varphi(p)}}&&{\op{T}}_p F}$$ Da nun jeder endlichdimensionale affine Raum isomorph ist zu einem $k^n$, m"ussen wir unsere Behauptung nur f"ur $E=k^n$ zeigen. In diesem Fall folgt sie jedoch aus unserer Beschreibung des Tangentialraums des $k^n$ durch partielle Ableitungen \ref{pA1}. Wir schreiben $$\op{D}_{p,\vec v}\pdef \op{D}_p(\vec v)$$ und nennen diesen Tangentialvektor die {\bf Richtungsableitung\index{Richtungsableitung!algebraisch} in Richtung $\vec v$ an der Stelle $p$}. Die Umkehrabbildung unseres Isomorphismus $\op{D}_p: \vec E \sira {\op{T}}_p E$ notieren wir $$\op{richt}=\op{richt}_p:{\op{T}}_p E\sira \vec E$$ Etwas allgemeiner verwenden wir in der Situation $p\in U\co E$ dieselbe Notation $\op{richt}:{\op{T}}_p U\sira\vec E$ f"ur den durch das Vorschalten des Tangentials der Einbettung entstehenden Isomorphismus. Gegeben eine affine Abbildung $\varphi:E\ra F$ von endlichdimensionalen affinen R"aumen "uber $k$ kommutiert dann nat"urlich auch das Diagramm $$\xymatrix{{\op{T}}_p E\ar[d]_{\tiff_p\varphi}\ar[rr]^{{\op{richt}}_p}_\sim &&\vec{E}\ar[d]_{\vec{\varphi}}\\ {\op{T}}_p F \ar[rr]^{{\op{richt}}_{\varphi(p)}}_\sim&&\vec{F}}$$ Salopp gesprochen ist also das Tangential jeder affinen Abbildung ihr linearer Anteil. Es ist in diesem Kontext "ublich und mit etwas "Ubung auch praktisch, die Isomorphismen $\op{richt}_p$ und $\op{D}_p$ nicht explizit zu notieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tangential linearer Abbildungen}] $(k=\bar k)$. Im Spezialfall eines endlichdimensionalen $k$-Vektorraums $V$ mit seiner nat"urlichen Struktur als affiner Raum und f"ur $v\in V_{\op{a}}$ verwenden wir die Notation $$\op{tricht}=\op{tricht}_v:{\op{T}}_v V_{\op{a}}\sira V$$ f"ur den Isomorphismus $\op{tricht}\pdef \op{trans}^{-1}\circ \op{richt}$ mit $\op{trans}:V\sira\vec V_{\op{a}}$ unseren nat"urlichen Isomorphismus zwischen einem Vektorraum und dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums und $\op{richt}:{\op{T}}_v V_{\op{a}}\sira\vec V_{\op{a}}$ wie zuvor. Gegeben eine lineare Abbildung $f:V\ra W$ von endlichdimensionalen $k$-Vektorr"aumen kommutiert dann das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_v V_{\op{a}} \ar[d]_{\tiff_v f} \ar[rr]_\sim^{\op{tricht}} &&V\ar[d]_{f}\\ {\op{T}}_{f(v)}W_{\op{a}} \ar[rr]_\sim^{\op{tricht}} && W } \end{displaymath} Salopp gesprochen ist eine lineare Abbildung an jeder Stelle ihr eigenes Tangential. Es ist in diesem Kontext "ublich und mit etwa "Ubung auch praktisch, die Isomorphismen $\op{tricht}$ nicht explizit zu notieren. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ich wei"s nicht, ob ich f"ur $\gamma:k\co U\ra E$ auch $\gamma'(a)\pdef \op{richt}(\gamma'(a))$ und f"ur $\gamma:k\co U\ra V$ auch $\gamma'(a)\pdef \op{tricht}(\gamma'(a))$ einf"uhren sollte. Kommt mir kompliziert vor. Mal sehen, was man wirklich braucht!} \begin{Lemma}[\textbf{Derivationen als duale Differentiale}] Gegeben ein Kring $k$ und ein $k$-Kring $A$ und eine Spaltung $A\ra k$ des strukturierenden Homomorphismus $k\ra A$ und $\mathfrak m\pdef \op{ker}(A\ra k)$ ihr Kern induziert die Restriktion auf $\frak m\subset A$ einen Isomorphismus\label{ZERT} $$\op{Der}_k(A,k)\sira \op{Hom}_k(\frak m/\frak m^2,k)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Die Aussage dieses Lemmas werden wir in \ref{UMD} zu einer Beschreibung beliebiger Derivationen durch den sogenannten \glqq Modul der Differentiale\grqq\ ausbauen, daher der Name des Lemmas. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Gegeben eine Derivation $D$ und $f,g\in \frak m$ haben wir sicher $D (fg)=0$ in $k$. Jede $k$-lineare Derivation induziert also eine $k$-lineare Abbildung $\bar D:\frak m/\frak m^2\ra k$. Wegen $A=k1\oplus \frak m$ und $D(1)=0$ ist $D\mapsto \bar D$ eine Injektion. Sei nun $A\ra \frak m$ die zu unserer Zerlegung geh"orige Projektion. Wenn wir zeigen k"onnen, da"s das Vorschalten der Komposition $A\ra \frak m\ra \frak m/\frak m^2$ aus jeder $k$-linearen Abbildung $\bar D:\frak m/\frak m^2\ra k$ eine Derivation $D:A\ra k$ macht, sind wir fertig. Hier wird also $D$ gegeben durch $D(\alpha +f)\pdef \bar D \bar f$ f"ur $f\in \mathfrak m$ und $\alpha\in k$ und $\bar f\in \mathfrak m/\frak m^2$ die Nebenklasse von $f$. Es gilt also f"ur $f,g\in \frak m$ und $\alpha,\beta\in k$ zu zeigen $$D ((f+\alpha)(g+\beta))=(f+\alpha) D(g+\beta) + (g+\beta) D(f+\alpha)$$ Das bedeutet umgeformt die Gleichheit $\bar D( \alpha \bar g+ \beta \bar f+\bar f\bar g)=\alpha \bar D \bar g +\beta \bar D \bar f$ und die ist offensichtlich wegen $\bar D( \bar f\bar g)=0$. \end{proof} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dimension des Tangentialraums}] Gegeben $(X,x)$ eine bepunktete Variet"at und $\frak m_x\subset \mathcal O_{X,x}$ der Kern des\label{DTRo} Auswertungshomomorphismus liefert die Beschreibung \ref{ZERT} von Derivationen als duale Differentiale einen Isomorphismus von $k$-Vektorr"aumen \begin{equation*} {\op{T}}_x X \sira (\frak m_x/\frak m_x^2)^\ast \end{equation*} Insbesondere ist nach der oberen Absch"atzung \eref{abcd}{KAG} f"ur die Krulldimension lokaler Kringe die Dimension des Tangentialraums stets mindestens so gro"s wie die lokale Krulldimension unserer Variet"at an der entsprechenden Stelle, in Formeln $\op{dim}_k {\op{T}}_x X \geq \op{kdim}_xX$. Des weiteren ist hier die Gleichheit nach der Definition \eref{lrl}{KAG} regul"arer lokaler Kringe "aquivalent zur Regularit"at des lokalen Rings $\mathcal O_{X,x}$ alias der Glattheit der Variet"at $X$ an der Stelle $x$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Differentielles Dominanzkriterium}] Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von irreduziblen Variet"aten. Ist f"ur einen glatten Punkt $x \in X$ das Tangential bei $x$ eine Surjektion $\tiff_x \varphi : {\op{T}}_x X \twoheadrightarrow {\op{T}}_{\varphi (x)} Y$, so ist auch sein Bild\label{DiDo} $\varphi (x) \in Y$ ein glatter Punkt und der Morphismus $\varphi$ dominant. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Den Spezialfall dieses Kriteriums f"ur offene Teilmengen affiner R"aume haben wir bereits in \eref{DiDoel}{KAG} diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir bezeichnen mit $k$ unseren Grundk"orper und setzen $y \pdef \varphi (x)$. Nach Annahme induziert der Komorphismus zu $\varphi$ eine Injektion $\mathfrak m_y / \mathfrak m_y^2 \hookrightarrow \mathfrak m_x / \mathfrak m^2_x$ f"ur $\mathfrak m_x \subset \mathcal O_{X,x}$ sowie $\mathfrak m_y \subset \mathcal O_{Y,y}$ die maximalen Ideale. Gegeben $g_1, \ldots, g_r \in \mathfrak m_y$ Repr"asentanten einer $k$-Basis von $\mathfrak m_y/\mathfrak m^2_y$ sind die $g_i \circ \varphi \in \mathcal O_{X,x}$ algebraisch unabh"angig "uber $k$ nach \eref{PAUU}{KAG}. Also sind die $g_i$ bereits selbst algebraisch unabh"angig "uber $k$ und wir folgern die Glattheit von $ Y$ bei $y$ aus der Ungleichungskette $$\op{kdim} Y = \op{trgr}_k \mathcal M (Y) \geq r = \dim_k {\op{T}}_y Y \geq \op{kdim}_y Y=\op{kdim} Y$$ Nun folgt mit \eref{RRIB}{KAG} weiter, da"s $\varphi$ eine Injektion $ \op{gr}_{\mathfrak m_{y}} \mathcal O_{Y,y} \hookrightarrow \op{gr}_{\mathfrak m_{x}} \mathcal O_{X,x} $ der assoziierten graduierten Ringe induziert. Da unsere Filtrierungen aussch"opfend und nach dem Durchschnittssatz \eref{spMm}{KAG} auch Hausdorff sind, folgt die Injektivit"at $\mathcal O_{Y,y} \hookrightarrow \mathcal O_{X,x}$ des Komorphismus mit \eref{Igr}{KAG} und $\varphi$ ist in der Tat dominant. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Derivationen als Kringhomomorphismen}] Gegeben ein Kring $A$ und ein $A$-Modul $M$ wird die abelsche Gruppe $A\times M$ zu einem Kring, wenn wir ihre Multiplikation erkl"aren durch $(a,m)(b,n)\pdef (ab,an+bm)$. Ist $k$ ein weiterer Kring und $A$ ein $k$-Kring, so liefert das Nachschalten von $\op{pr}_2$ eine Bijektion\label{DaLo} $$\{\varphi\in \op{Kring}^k(A,A\times M)\mid \op{pr}_1\circ \varphi=\op{id}_A\}\sira \op{Der}_k(A,M)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Derivationen mit Kolimites}] Gegeben ein Kring $k$ und ein K"ocher $\mathcal I$ und ein System $A_i\in\op{Car}(\mathcal I,\op{Kring}^k)$ von $k$-Kringen existiert nach \eref{BPRR}{TS} stets der Kolimes $A\pdef \op{col}_{i\in\mathcal I}A_i$. Man zeige, da"s f"ur jeden\label{VDKo} $A$-Modul $M$ die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$\op{Der}_k(A,M)\sira \op{lim}_{i\in\mathcal I}\op{Der}_k(A_i,M)$$ ist. Hinweis: Man verwende \ref{DaLo} und die Bijektionen $$\{\varphi:A_i\ra A_i\times M\mid \op{pr}_1\circ \varphi=\op{id}\}\sira \{\psi:A_i\ra A\times M)\mid \op{pr}_1\circ \psi=\op{in}_i\}$$ zwischen den jeweiligen Mengen von Homomorphismen von $k$-Kringen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s der Tangentialraum der Neil'schen Parabel an der singul"aren Stelle zweidimensional ist. Man zeige allgemeiner, da"s der Tangentialraum einer ebenen Kurve an jeder singul"aren Stelle zweidimensional ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $x\in U\co k$ und $f\in\mathcal O(U)\subset k(T)$ gilt $$\tiff_xf:\delta_x\partial \mapsto f'(x)\delta_{f(x)}\partial$$ f"ur $\delta_x\partial\in {\op{T}}_x U$ beziehungsweise $\delta_{f(x)}\partial\in {\op{T}}_{f(x)} k$ die kanonischen Erzeuger aus \ref{kanEE}. Hier ist $f'$ zu verstehen wie in \ref{DerBR}. In anderen Worten \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Differential und Jacobi-Matrix}]$(k=\bar k)$. Gegeben $p\in U\co k^m$ und $V\co k^n$ und ein Morphismus $\varphi:U\ra V$ zeige man die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_p U \ar[d]_{\tiff_p \varphi}\ar[rr]^{\op{richt}}_\sim && k^m \ar[d]_{J} \\ {\op{T}}_{\varphi (p)} V \ar[rr]_\sim^{\op{richt}} &&k^n } \end{displaymath} f"ur $J$ die durch die Jacobi-Matrix $\big(\delta_p\partial_i(\op{pr}_j\varphi)\big)_{ij}$ gegebene lineare Abbildung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Vektoren $v_0,\ldots,v_n$ eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ hat die Abbildung $\gamma:k\ra V$ gegeben durch $\gamma(t)\pdef v_0+tv_1+\ldots +t^nv_n$ bei $t=a$ die Ableitung $\gamma'(a)=\op{D}_{\gamma(a)}(\op{trans}(v_1+2av_2+\ldots +na^{n-1}v_n))$ und mit den "ublichen Verk"urzungen\label{KuHJ} $$\gamma'(a)=v_1+2av_2+\ldots +na^{n-1}v_n$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tangential bilinearer Abbildungen}]$(k=\bar k)$. Seien $V,W,L$ endlichdimensionale $k$-Vektorr"aume. Man zeige f"ur das Differential einer bilinearen Abbildung $b:V\times W\ra L$ bei $p\pdef(x,y)$ die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_xV\times {\op{T}}_yW \ar[d]^-\wr_{\op{richt}\times\op{richt}} \ar[r]^-\sim & {\op{T}}_{(x,y)}(V\times W)\ar[rr]^-{\tiff_{(x,y)} b} &&{\op{T}}_{b(x,y)}L\ar[d]^-\wr_{\op{richt}}\\ V\times W \ar[rrr]^-{(v,w)\;\mapsto\; b(v,y)+b(x,w)} &&&L } \end{displaymath} Analoges gilt f"ur multilineare Abbildungen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tangentialr"aume projektiver R"aume}] $ (k = \bar k)$. Seien $V$ ein endlichdimensionaler\label{TRPV} $k$-Vektorraum und $\pi : V \backslash 0 \twoheadrightarrow \mathbb P V$ die Projektion und $v \in V \backslash 0$. So erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $$\xymatrix{ \langle v \rangle \ar@{^(->}[r]& {\op{T}}_v V \ar@{->>}[r]^-{{\tiff}_v \pi}& {\op{T}}_{\langle v \rangle} \mathbb P V }$$ mit der Einbettung $\langle v \rangle \hookrightarrow V$ der von $v$ erzeugten Gerade gefolgt von unserem Isomorphismus $\op{D}: V\sira {\op{T}}_v V$ als erster Abbildung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Operation auf dem Fixpunkttangentialraum im affinen Fall}] Gegeben $G{\acts}X$ eine affine algebraische Variet"at mit der Operation eines affinen algebraischen Monoids und ein Fixpunkt $x\in X$ der Operation ist die induzierte Darstellung von $G$ auf dem Tangentialraum ${\op{T}}_xX$ algebraisch. Hinweis: Man gehe von der Algebraizit"at der Rechtsdarstellung von $G$ auf $\mathcal O(X)$ aus.\label{alDFP} Ohne Affinit"atsannahmen geben wir einen Beweis in \ref{alDFPT}. \end{Ubung} \subsection{Liealgebren und Vektorfelder} \begin{Definition} Eine {\bf Lie-Algebra}\index{Lie-Algebra} "uber einem K"orper $k$ ist ein $k$-Vektor\-raum $\frak{g}$ mitsamt einer $k$-bilinearen Abbildung, der {\bf Lie-Klammer}\index{Lie-Klammer!abstrakt} \label{LiAla}$$\begin{array}{ccc} \frak{g} \times \frak{g} & \rightarrow &\frak{g}\\ (x,y) & \mapsto & [x,y] \end{array}$$ derart, da"s die beiden folgenden Bedingungen erf"ullt sind: \begin{description} \item[\defind{Antisymmetrie}:] $[x,x]= 0 \quad \forall x \in \frak{g}$; \item[\defind{Jacobi-Identit"at}:] $\big[ x,[y,z]\big] + \big[ z,[x,y]\big] + \big[ y,[z,x]\big] =0 \quad \forall x,y,z \in \frak{g}$. \end{description} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die erste Bedingung $[x,x]= 0\quad \forall x$ impliziert, wie in \eref{ABI}{LA1} ausgef"uhrt, die {\bf Antisymmetrie} $[x,y]=-[y,x]\;\forall x,y$. Umgekehrt impliziert die Antisymmetrie $[x,x]=-[x,x]$ und im Fall eines Grundk"orpers einer von zwei verschiedenen Charakteristik auch $[x,x]= 0$. \end{Bemerkungl}% \begin{Bemerkungl}\label{LiAla} %\newpage \begin{Beispiel}[\textbf{Assoziative Algebra als Liealgebra}] Ist $A$ eine assoziative Algebra unter der Verkn"upfung $(x,y)\mapsto x\cdot y$, so wird $A$ eine Liealgebra\label{glV} $A_{\op{L}}$\index{)7@$A_{\op{L}}$ Kommutator-Liealgebra} unter der Verkn"upfung $$(x,y)\mapsto [x,y] \pdef x\cdot y - y\cdot x$$ Das rechnet man leicht nach. Man nennt deshalb die Lieklammer auch im allgemeinen oft den {\bf Kommutator}.\index{Kommutator!als Lieklammer} Fa"st man $\op{End} V$ beziehungsweise $\op{Mat}(n;k)$ in dieser Weise als Liealgebren auf, so bezeichnet man sie meist mit $\frak{g} \frak{l} (V)$ beziehungsweise $\frak{g}\frak{l} (n;k)$ f"ur \defind{general linear Lie algebra}. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivationenraum als Liealgebra}] Sei $k$ ein K"orper. Gegeben eine nicht notwendig assoziative $k$-Algebra $(A,\cdot )$ hei"st eine lineare Abbildung $ D : A\ra A$ %wie in \ref{Deri} eine {\bf Derivation}\index{Derivation!auf Algebra}\label{Deri}, wenn sie die {\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!bei Definition einer Derivation} $ D (a\cdot b)= ( D a)\cdot b+ a\cdot ( D b) $ f"ur alle $ a,b\in A$ erf"ullt. Wir bezeichnen mit $$\op{Der}_{k} A \subset \op{End}_{k} A$$ den Untervektorraum der Derivationen von $A$. Man pr"uft leicht, da"s die Derivationen einer Algebra $A$ eine Unteralgebra der Liealgebra $\frak{gl} ( A)$ der Endomorphismen des $k$-Vektorraums $A$ bilden. Man pr"uft leicht, da"s unsere Derivationen hier im Fall einer Kringalgebra $A$ mit den $A$-wertigen $k$-linearen Derivationen auf $A$ aus \ref{klDe} zusammenfallen, die wir auch dort schon $\op{Der}_{k} A$ notiert hatten. Noch allgemeiner mag man Derivationen mit Werten in einem $A$-Bimodul "uber $k$ einf"uhren, aber alles zu seiner Zeit. Im Fall $\op{char} k = p > 0$ gilt zus"atzlich $D \in \op{Der}_k A \Rightarrow D^p \in \op{Der}_k A$, denn wir haben ganz allgemein\label{potD} $$D^n (ab) = \sum^n_{i=0} {n \choose i} (D^i a)( D^{n-i} b)$$ \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Vektorfeld auf einer Variet"at $X$} verstehen wir "ahnlich wie in \eref{Schn}{ML} eine Vorschrift $\xi$, die jedem Punkt $x\in X$ einen Tangentialvektor $\xi_x\in {\op{T}}_xX$ zuordnet. Ein Vektorfeld $\xi$ liefert f"ur alle $U\co X$ eine Abbildung $\xi:\mathcal O_X(U)\ra \op{Ens}(U,k)$ durch $(\xi f)(x)\pdef \xi_x(f)$. Ein Vektorfeld $\xi$ auf einer Variet"at $X$ hei"st {\bf algebraisch},\index{algebraisch!Vektorfeld} wenn f"ur alle $U\co X$ gilt $f\in \mathcal O_X(U)\RA \xi f\in \mathcal O_X(U)$. Die Menge der algebraischen Vektorfelder auf $X$ notieren wir\index{T@$\mathcal T(X)$ algebraische Vektorfelder auf $X$} $$\mathcal T(X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraische Vektorfelder als Derivationen}] Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ erhalten wir einen Isomorphismus\label{AVFA} $$\op{Der}_k \mathcal O(X)\sira \mathcal T(X)$$ zwischen dem Raum der Derivationen ihres Rings von regul"aren Funktionen und dem Raum ihrer algebraischen Vektorfelder durch die Abbildungsvorschrift $D\mapsto(x\mapsto \op{qr}(\delta_x D))$, wobei $\delta_x :\mathcal O(X)\ra k_x$ das Auswerten bei $x$ meint und $\op{qr}: \op{Der}_k (\mathcal O(X),k_x)\sira \op{Der}_k (\mathcal O_{X,x},k_x)$ wie \glqq Quotientenregel\grqq\ das Ausdehnen von Derivationen auf die entsprechende Lokalisierung nach \ref{DerL}. In der Tat ist unsere Abbildung offensichtlich injektiv, weil eine Funktion eben durch ihre Werte an allen Stellen festgelegt wird, und ebenso offensichtlich surjektiv. Dieser Isomorphismus scheint mir derart kanonisch, da"s ich ihn sprachlich und in der Notation meist als eine Gleichheit behandeln werde. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}$(k=\bar k)$. Ein Vektorfeld $\xi$ auf $U\co k^n$ ist offensichtlich genau dann algebraisch, wenn es $f_1,\ldots, f_n\in\mathcal O(U)$ gibt mit $ \xi=f_1\partial_1+\ldots+f_n\partial_n$. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebra der algebraischen Vektorfelder}] Gegeben eine Variet"at $X$ und algebraische Vektorfelder $\xi,\zeta\in\mathcal T(X)$ liefert f"ur alle $U\co X$ das Bilden des Kommutators eine Abbildung $[\xi,\zeta]_U:\mathcal O_X(U)\ra \mathcal O_X(U)$. Diese Abbildungen geh"oren nach \ref{AVFA} f"ur affines $U$ zu $\op{Der}_k \mathcal O_X(U)$ und f"ur $V\co U$ gilt offensichtlich $\op{res}_U^V\circ [\xi,\zeta]_U= [\xi,\zeta]_V\circ\op{res}_U^V$. Daraus folgt, da"s unsere $[\xi,\zeta]_U$ zu einem wohlbestimmten algebraischen Vektorfeld $[\xi,\zeta]\in\mathcal T(X)$ verkleben und da"s der Raum $\mathcal T(X)$ der algebraischen Vektorfelder auf $X$ mit dieser Lieklammer zu einer Liealgebra wird. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Definition} Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von Variet"aten. Vektorfelder $\xi$ auf $X$ und $\zeta$ auf $Y$ hei"sen {\bf $\varphi$-verwandt}\index{verwandt!Vektorfelder} und wir schreiben $\varphi : \xi \leadsto \zeta$, wenn f"ur alle $x \in X$ gilt \begin{equation*} \tiff_x \varphi : \xi_x \mapsto \zeta_{\varphi (x)} \end{equation*} \end{Definition} \begin{Beispiel} Hat ein Morphismus $\varphi : X \rightarrow Y$ die Eigenschaft, da"s sein Differential f"ur jeden Punkt ein Isomorphismus $\tiff_x\varphi:{\op{T}}_xX\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}Y$ ist, so gibt es f"ur jedes Vektorfeld $\zeta$ auf $Y$ genau ein Vektorfeld $\xi$ auf $X$ mit $\varphi:\xi\leadsto \zeta$. Ist $\varphi$ eine offene Einbettung von Variet"aten, so ist dies Vektorfeld auf $X$ die Einsch"ankung $\xi=\zeta|_X$ und ist offensichtlich algebraisch, wenn $\zeta$ algebraisch ist. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Verwandtschaft und Lieklammer}] Verwandte algebraische Vektorfelder haben verwandte Lieklammern.\label{VRLi} \end{Proposition} \begin{proof} Ist also in Formeln $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von Variet"aten und sind $\xi,\xi^\prime$ algebraische Vektorfelder auf $X$ und $\zeta,\zeta^\prime$ algebraische Vektorfelder auf $Y$ und gilt $\varphi : \xi \leadsto \zeta$ und $\varphi : \xi^\prime\leadsto \zeta^\prime$, so gilt es $\varphi : [\xi,\xi^\prime] \leadsto [\zeta,\zeta^\prime]$ zu zeigen. Ist $\varphi$ eine offene Einbettung, so folgt diese Vertr"aglichkeit direkt aus den Definitionen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir deshalb von nun an f"ur den Beweis unsere Variet"aten affin annehmen. Genau dann gilt $\varphi : \xi \leadsto \zeta$, wenn f"ur beliebige regul"are Funktionen $f \in \mathcal O (X)$ und $g \in \mathcal O (Y)$ mit $\varphi : f \leadsto g$ alias $f = g \circ \varphi$ gilt $ \xi f \leadsto \zeta g $ alias $\xi(g\circ\varphi) = (\zeta g) \circ \varphi$. In noch anderen Worten bedeutet das das Kommutieren des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O (Y)\ar[r]^-{\zeta} \ar[d]_-{\circ \varphi} & \mathcal O (Y)\ar[d]^-{\circ \varphi}\\ \mathcal O (X) \ar[r]^-\xi & \mathcal O (X) } \end{displaymath} Daraus folgt unsere Behauptung unmittelbar. \end{proof} %\newpage \begin{Definition} Gegeben ein algebraisches Monoid $G$ erkl"art man die {\bf Liealgebra seiner linksinvarianten Vektorfelder} \index{Lie@$\Liel G$ Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfelder} durch die Vorschrift \begin{equation*} \Liel G \pdef \{\xi\in\mathcal T(G)\mid (g\cdot):\xi\leadsto\xi\; \text{ f"ur alle } g \in G\} \end{equation*} Die Vertr"aglichkeit der Lieklammer mit Verwandtschaft \ref{VRLi} zeigt, da"s das in der Tat eine Lieunteralgebra von $\mathcal T(G)$ ist. Analog erkl"aren wir die {\bf Liealgebra der rechtsinvarianten Vektorfelder} $\Lier G$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben ein affines algebraisches Monoid $G$ liefert die Interpretation \ref{AVFA} algebraischer Vektorfelder als Derivationen einen Isomorphismus von Liealgebren \begin{equation*} \Liel G \sira \{D \in \op{Der}_k \mathcal O (G) \mid D \circ \lambda_g = \lambda_g \circ D \quad \forall g \in G\} \end{equation*} Hier verwenden wir die Notation $\lambda_g f=\lambda(g) f\pdef f\circ (g\cdot)$ f"ur die Linksverschiebung von Funktionen $f\in \mathcal O(G)$. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Invariante Vektorfelder auf algebraischen Monoiden}] Gegeben ein algebraisches Monoid $G$\label{LIVV} liefert das Auswerten $\xi \mapsto \xi_e$ eines linksinvarianten Vektorfelds am neutralen Element einen Vektorraumisomorphismus $$ \Liel G \sira {\op{T}}_e G $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir notieren die inverse Abbildung zu unserem Isomorphismus im Satz $v\mapsto \grave{v}$. Analog liefert auch das Auswerten $\zeta \mapsto \zeta_e$ eines rechtsinvarianten Vektorfelds am neutralen Element einen Vektorraumisomorphismus $ \Lier G \sira {\op{T}}_e G $. Wir notieren die inverse Abbildung in diesem Fall $v\mapsto \acute{v}$. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{proof}[Beweis im affinen Fall] Die Abbildung ist sicher injektiv, denn f"ur jedes linksinvariante Vektorfeld $\xi$ gilt $\xi_x = (\tiff_e (x \cdot)) \xi_e$. Es bleibt nur zu zeigen, da"s f"ur alle $v\in {\op{T}}_e G$ das durch die Vorschrift $$\grave{v}_x \pdef (\tiff_e (x \cdot)) v$$ auf $G$ definierte Vektorfeld algebraisch ist. Wenn $G$ affin ist, reicht es ja zu zeigen, da"s gilt $f\in\mathcal O(G)\RA \grave{v}f\in\mathcal O(G)$. Mit $\Delta f = \sum g_i \otimes f_i$ haben wir nun $f (xy) = \sum g_i (x) f_i (y)$ und folglich $f\circ (x\cdot)=\sum g_i (x) f_i$ und $$(\grave{v}f)(x)=\grave{v}_xf= v (f\circ (x\cdot))=\sum g_i (x) v(f_i)$$ und das ist offensichtlich wieder eine regul"are Funktion. \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Allgemeinen] Das folgt sofort aus Satz \ref{infO} "uber infinitesimale Operationen, dessen Beweis jedoch Resultate voraussetzt, die uns erst das Studium der Differentiale zur Verf"ugung stellen wird. Genauer ben"otigen wir f"ur diesen Beweis, da"s jede Variet"at eine offene dichte Teilmenge aus glatten Punkten besitzt und da"s sich jeder Tangentialvektor an einem glatten Punkt zu einem algebraischen Vektorfeld in einer offenen Umgebung unseres Punktes fortsetzen l"a"st. \end{proof} \begin{Definition} Die {\bf Liealgebra}\index{Liealgebra!eines affinen algebraischen Monoids} $ \op{Lie} G$ eines algebraischen Monoids $G$ erkl"aren wir als den Tangentialraum beim neutralen Element $$ \op{Lie} G\pdef {\op{T}}_e G$$ mit derjenigen Struktur einer Liealgebra, f"ur die der Isomorphismus mit der Liealgebra der linksinvarianten Vektorfelder ein Isomorphismus von Liealgebren ist.\label{TGLV} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich liefert f"ur jedes algebraische Monoid $G$ das Auswerten am neutralen Element einen Liealgebrenisomorphismus $\Lier G\sira \op{Lie}(G^{\op{opp}})$. \label{TGLVc} Auf die Beziehung zwischen den beiden Lieklammern auf ${\op{T}}_e G$ durch linksinvariante und rechtsinvariante Vektorfelder kommen wir in \ref{rlVF} zur"uck. Sie unterscheiden sich um ein Vorzeichen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Tangential eines Monoidhomomorphismus}] Gegeben ein Homomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ von algebraischen Monoiden ist sein Tangential beim neutralen Element ein Homomorphismus von Liealgebren\label{LiGr} \begin{equation*} \op{Lie} \varphi \pdef\tiff_e \varphi: \op{Lie} G \rightarrow \op{Lie} H \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Linksinvariante Vektorfelder $\xi$ auf $G$ und $\zeta$ auf $H$ mit $\tiff_e \varphi : \xi_e \mapsto \zeta_e$ sind offensichtlich $\varphi$-verwandt, in Formeln $\varphi : \xi \leadsto \zeta$. Damit folgt die Behauptung aus unserer Erkenntnis \ref{VRLi}, da"s verwandte Vektorfelder verwandte Lieklammern haben. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Bisher haben wir Tangentialvektoren meist mit $v$ bezeichnet und Variet"aten gerne mit $X$. Wenn aber Liealgebren auf Vektorr"aumen operieren, bezeichnen wir mit $v$ lieber die Elemente dieser Vektorr"aume und mit $X$ die Elemente unserer Liealgebren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableiten algebraischer Darstellungen}] Gegeben eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $(V,\rho )$ eines algebraischen\label{DRD} Monoids $G$ und Elemente $X \in \op{Lie} G$ sowie $v \in V$ erkl"aren wir ein Element $X\cdot_\rho v=Xv\in V$ durch die Vorschrift \begin{equation*} Xv \pdef \op{richt}\big((\tiff_e(\cdot v))(X)\big) \end{equation*} Wir nehmen also in Worten von der Abbildung $(\cdot v):G\ra V$ gegeben durch $g\mapsto \rho(g)(v)=gv$ das Tangential beim neutralen Element, werten es aus bei $X\in{\op{T}}_eG$ und wenden auf das Ergebnis $\op{richt}:{\op{T}}_vV\sira V$ an. Es ist klar, da"s f"ur jeden Homomorphismus $A:V\ra W$ von endlichdimensionalen algebraischen Darstellungen gilt $$A(Xv)=X(A v)\quad\forall X\in \op{Lie}G,\; v\in V$$ Insbesondere erhalten wir auch im Fall nicht notwendig endlichdimensionaler Darstellungen ein wohldefiniertes $Xv$, indem wir es in Bezug auf eine und jede endlichdimensionale Unterdarstellung berechnen, die $v$ enth"alt. Mit dem dadurch erkl"arten $Xv$ gilt dann auch f"ur Homomorphismen $A:V\ra W$ von beliebigen algebraischen Darstellungen weiter $A(Xv)=X(A v)\;\forall X\in \op{Lie}G, v\in V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien etwas allgemeiner $\varphi:G\ra H$ ein Homomorphismus von Monoiden. Unter einem {\bf Homomorphismus von Darstellungen "uber $\varphi$} verstehen wir eine lineare Abbildung $A:V\ra W$ von einer $G$-Darstellung $V$ in eine $H$-Darstellung $W$ mit\label{hdfi} $$A(gv)=\varphi(g)(Av)\quad\forall g\in G,v\in V$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Homomorphismus $\varphi:G\ra H$ von algebraischen Monoiden und dar"uber ein Homomorphismus $A:V\ra W$ von algebraischen Darstellungen finden wir f"ur die abgeleiteten Darstellungen unmittelbar\label{HDFI} $$A(Xv)=(\tiff \varphi(X))(Av)\quad\forall X\in \op{Lie}G,v\in V$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Ableitung der rechtsregul"aren Darstellung}] Gegeben ein algebraisches Monoid $G$ und seine rechtsregul"are Darstellung $\mathcal O(G)$ mit der Operation durch Rechtsverschiebung $\big(\rho(g)f\big)(x)\pdef f(xg)$ gilt f"ur jedes linksinvariante Vektorfeld $\xi\in \mathcal T(G)$ mit Wert $\xi_e\in\op{Lie}G$ beim neutralen Element und jedes $f\in\mathcal O(G)$ die Identit"at\label{dRd} $$\xi f=\xi_e\cdot_\rho f$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In Worten erhalten wir also dasselbe Ergebnis, ob wir einen Tangentialvektor im neutralen Element zu einem linksinvarianten Vektorfeld fortsetzen und das auf eine Funktion loslassen oder aber dieselbe Funktion als eine Vektor der rechtsregul"aren Darstellung verstehen und darauf den fraglichen Tangentialvektor als Element der Liealgebra im Sinne der Ableitung von Darstellungen operieren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir schreiben $\Delta f=\sum g_i\otimes h_i$. Es gilt also $f(xy)=\sum_{i=1}^n g_i(x)h_i(y)$ und $\rho(y)f=\sum h_i(y) g_i$ und $\lambda(x)f=\sum g_i(x)h_i$. So ergibt sich $$(\xi f)(x)=(\lambda(x)\xi f)(e)= (\xi \lambda(x)f)(e)=\xi_e(\lambda(x)f)=\sum g_i(x)(\xi_eh_i)$$ und $\xi f= \sum (\xi_eh_i) g_i$. Andererseits ergibt sich das Differential von $y\mapsto \rho(y)f$ am neutralen Element gefolgt von $\op{richt}$ ebenso zu $\sum (\xi_eh_i) g_i$, denn $y\mapsto \rho(y)f$ ist die Verkn"upfung von $h:G\ra k^n, y\mapsto (h_1(y),\ldots,h_n(y))$ mit einer linearen Abbildung $A: k^n\ra W$ f"ur $W\pdef \langle g_1,\ldots, g_n\rangle\subset \mathcal O(G)$ ein endlichdimensionaler unter $\rho(G)$ stabiler Teilraum und so folgt \begin{displaymath}\op{richt}\tiff_e(A\circ h)\;\xi_e =A\op{richt}\tiff_e( h)\;\xi_e=A(\xi_eh_1,\ldots,\xi_eh_n) \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf Darstellung einer Liealgebra $\mathfrak g$} ist ein Paar $(V,\rho)$ aus einem Vektorraum $V$ "ubr demselben Grundk"orper wie unsere Liealgebra und einem Homomorphismus $\rho:\mathfrak g\ra \mathfrak{gl}(V)$ von Liealgebren. Wir schreiben in diesem Kontext meist abk"urzend $$Xv=X\cdot_\rho v\pdef (\rho(X))(v)$$ Genau dann geh"ort eine bilineare Abbildung $\mathfrak g\times V\ra V$ zu einer Darstellung von Liealgebren, wenn gilt $X(Yv)-Y(Xv)=[X,Y]v$ f"ur alle $ X,Y\in\mathfrak{g}, v\in V$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Homomorphismus von Darstellungen} einer Liealgebra $\mathfrak g$ ist eine lineare Abbildung $A:V\ra W$ mit $A(Xv)=X(Av)$ f"ur alle $v\in V$ und $X\in \mathfrak g$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Ableitung einer algebraischen Darstellung}] Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ eines algebraischen Monoids $G$ gilt $$ X(Yv)-Y(Xv)=[X,Y]v\quad\forall X,Y\in\op{Lie}G,v\in V$$ \end{Proposition} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $V$ endlichdimensional. Wie wir bei der Diskussion der Jordanzerlegung gezeigt hatten, l"a"st sich dann $V$ als Unterdarstellung in eine direkte Summe endlich vieler Kopien der rechtsregul"aren Darstellung einbetten. Damit folgt die Proposition aus der Beschreibung \ref{dRd} der Ableitung der rechtsregul"aren Darstellung und der Vertr"aglichkeit der Ableitung von Darstellungen mit Homomorphismen \ref{DRD}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $\varphi:\mathfrak g\ra \mathfrak h$ ein Homomorphismus von Liealgebren und $V$ eine Darstellung von $\mathfrak g$ und $W$ eine Darstellung von $\mathfrak h$, so verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von Darstellungen "uber $\varphi$} eine lineare Abbildung $A:V\ra W$ mit $$A(Xv)=\varphi(X)(Av)\quad\forall X\in \mathfrak g, v\in V$$ Insbesondere ist nach \ref{HDFI} jeder Homomorphismus von algebraischen Darstellungen "uber einem Homomorphismus von algebraischen Monoiden auch ein Homomorphismus der abgeleiteten Darstellungen "uber dem zugeh"origen Liealgebrenhomomorphismus.\label{agrH} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Liealgebra des allgemeinen linearen Monoids}] F"ur das algebraische Monoid $\op{End}V$ liefert $\op{richt}: {\op{T}}_e(\op{End}V)\sira \op{End}V$ einen Lie\-al\-ge\-bren\-iso\-mor\-phis\-mus\label{LiGL} $$\op{richt}:{\op{Lie}}(\op{End}V)\sira \mathfrak{gl}(V)$$ \end{Lemma} \begin{proof} In diesem Fall ist $(\cdot v): \op{End}V\ra V$ f"ur jedes feste $v\in V$ eine lineare Abbildung, folglich gilt $\op{richt} \tiff_e(\cdot v) X= (\cdot v) \op{richt} X$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtsinvariante versus linksinvariante Vektorfelder}] Gegeben eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $(V,\rho)$ eines algebraischen Monoids $G$ wird der Dualraum eine algebraische Darstellung des opponierten Monoids $G^{\op{opp}}$ durch die Vorschrift $$(g^\circ \alpha )(v)\pdef \alpha (gv)\quad \forall \alpha\in V^*, g\in G, v\in V$$ F"ur die abgeleitete Darstellung von $X\in{\op{T}}_eG$ folgt $(X^\circ \alpha )(v)= \alpha (Xv)$ mit der Notation $X^\circ$ f"ur $X\in{\op{T}}_eG$ aufgefa"st als Element von $\op{Lie}(G^{\op{opp}})$. Gegeben $X,Y\in \op{Lie}G$ folgt aus $X^\circ (Y^\circ \alpha)-Y^\circ (X^\circ \alpha)=[X^\circ ,Y^\circ]\alpha$ durch Anwenden auf $v$ mithin $([Y,X]^\circ\alpha)(v)=\alpha\big([Y,X]v\big)=\alpha\big(Y(Xv)-X(Yv)\big) =([X^\circ ,Y^\circ]\alpha)(v)$. Da wir hier f"ur $\alpha$ auch jedes Element der linksregul"aren Darstellung nehmen k"onnen, wenn wir von $V\pdef \langle G^{\op{opp}}\alpha \rangle^*$ ausgehen, folgt schlie"slich\label{rlVF} $$[X^\circ ,Y^\circ]=-[X,Y]^\circ$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Vektorfelder auf affinen algebraischen Gruppen}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$\label{LIVV2} liefert das Multiplizieren regul"arer Funktionen mit linksinvarianten Vektorfeldern einen Isomorphismus $$ \mathcal O (G) \otimes_k \Liel G \sira \op{Der}_k \mathcal O (G) $$ \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Isomorphismus $\Liel G \sira {\op{T}}_e G$ aus \ref{LIVV} und entwickeln eine explizite Formel f"ur die mit seiner Hilfe entstehende Abbildung \begin{equation*} \mathcal O (G) \otimes_k {\op{T}}_e G \rightarrow \op{Der}_k \mathcal O (G) \end{equation*} Ist $(w_\alpha)$ eine Basis von ${\op{T}}_e G$, so wird unsere Abbildung gegeben durch die Vorschrift $\sum_\alpha f_\alpha \otimes w_\alpha \mapsto D$ mit $D_z = \sum_\alpha f_\alpha (z) (\tiff_e (z \cdot) w_\alpha)$. Gegeben eine Derivation $D \in \op{Der}_k \mathcal O (G)$ werden andererseits Funktionen $f_\alpha : G \rightarrow k$ durch diese Gleichungen festgelegt, da wir im Gruppenfall sind und folglich die Differentiale der Linksmultiplikationen Isomorphismen $\tiff_e (z \cdot):{\op{T}}_eG\sira {\op{T}}_zG$ sind. Wir haben gewonnen, wenn wir zeigen k"onnen, da"s unsere Funktionen $f_\alpha$ regul"ar sind. F"ur alle $h \in \mathcal O (G)$ und $z \in G$ haben wir aber \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \sum_\alpha f_\alpha (z) w_\alpha (h) &= & (\tiff_z (z^{-1}\cdot) D_z) (h)\\[2mm] &=& D_z ( \lambda(z) h)\\[2mm] &=&\delta_z D ( \lambda(z) h)\\[2mm] &=&\delta_z D (\sum_i l_i (z) g_i)\\[2mm] &=&\sum_i l_i (z) (Dg_i)(z) \end{array} \end{displaymath} f"ur $\Delta (h) = \sum_i l_i \otimes g_i$. Nun finden wir sicher regul"are Funktionen $h_\beta \in \mathcal O (G)$ mit $w_\alpha (h_\beta) = \delta_{\alpha\beta}$. Setzen wir dann oben $h = h_\beta$ ein, so folgt, da"s $f_\beta$ regul"ar gewesen sein mu"s. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Infinitesimale Operation}] Gegeben $G{\acts}X$ ein Variet"at mit einer algebraischen Operation eines algebraischen Monoids und ein Tangentialvektor $\xi_e\in{\op{T}}_eG$ ist das Vektorfeld auf $X$ gegeben durch $x\mapsto \tiff_e(\cdot x)(\xi_e)$ algebraisch.\label{infO} \end{Satz*} \begin{proof} Nach \ref{ieam} bilden die Einheiten von $G$ eine offene Umgebung des neutralen Elements, folglich d"urfen wir annehmen, da"s $G$ eine algebraische Gruppe ist. Nach \ref{fsVF} k"onnen wir $\xi_e$ zu einem algebraischen Vektorfeld $\xi$ auf einer offenen Umgebung $U\co G$ des neutralen Elements fortsetzen. Nach \ref{VVCF} k"onnen wir dazu das algebraische Vektorfeld $(\xi,0)$ auf $U\times X$ bilden. Dessen Vorw"artsverwandter uner dem Isomorphismus von Variet"aten $U\times X\sira U\times X$ gegeben durch $(g,x)\mapsto (g,gx)$ ist dann auch ein algebraisches Vektorfeld $\zeta$ auf $U\times X$. Dessen Projektionsrestriktion ${\op{pres}}_{e\times X}\zeta$ ist nach \ref{ppV} mithin auch algebraisch. Man pr"uft nun leicht, da"s es mit dem im Satz beschriebenen Vektorfeld zusammenf"allt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Gegeben endlichdimensionale $k$-Vektorr"aume $V,W$ und eine bilineare Abbildung $\varphi: V \times V \rightarrow W$ betrachten wir die algebraische Gruppe $ \mathrm O (\varphi) := \{ g \in \op{GL} (V) \mid \varphi (g v, g w) = \varphi (v,w) \; \forall v, w \in V\} $. Man zeige, da"s die offensichtliche Abbildung eine Inklusion $$ \op{Lie} \mathrm O (\varphi) \hookrightarrow \{X \in \op{End} V \mid \varphi (X v, w) + \varphi (v, X w) =0 \; \forall v, w \in V\}$$ induziert. In vielen F"allen werden wir zeigen k"onnen, da"s diese Inklusion sogar ein Isomorphismus ist. Da"s das nicht immer gilt, zeigt der Fall $\varphi : k \times k \rightarrow k$ der Multiplikation in Charakteristik Zwei. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Gegeben eine endlichdimensionale $k$-Algebra $A$ zeige man f"ur die Liealgebra ihrer\label{LieAU} Automorphismengruppe $\op{Alg}_k^\times(A)\subset \op{GL}(A)$, da"s unter den "ublichen Identifikationen gilt $$\op{Lie}(\op{Alg}_k^\times(A))\subset \op{Der}_k(A)$$ Man pr"ufe auch, da"s das im Fall $A=k[X]/\langle X^p\rangle$ mit $\op{char}k=p>0$ eine echte Inklusion ist. In \eref{GHZy}{ML} d"urfen Sie als "Ubung zeigen, da"s das im Fall $k=\DC$ stets eine Gleichheit ist. In \ref{SNDv} zeigen wir das allgemeiner f"ur $\op{char}k=0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jeden Automorphismus $\varphi$ einer algebraischen Gruppe $G$ ist die Liealgebra der Gruppe der Fixpunkte enthalten in der Menge der Fixpunkte des Differentials, in Formeln $\op{Lie}(G^\varphi)\subset (\op{Lie}G)^{\tiff\varphi}$.\label{fpli} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Vektorfeldern mit Produkten}] Gegeben $k$-Variet"aten $X$ und $Y$ zeige man, da"s es genau einen Homomorphismus\label{VVCF} $$\big(\mathcal T(X)\otimes_k \mathcal O(Y)\big)\oplus \big( \mathcal O(X)\otimes_k \mathcal T(Y)\big)\ra \mathcal T(X\times Y)$$ gibt, der an allen Stellen $(x,y)\in X\times Y$ zu unserer Identifikation \ref{TaPrr} spezialisiert. Sind $X$ und $Y$ beide affin, so zeige man dar"uberhinaus, da"s er ein Isomorphismus ist. Hinweis: Vertr"aglichkeit von Derivationen mit Koprodukten \ref{DerTP}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Variet"aten $X$ und $Y$\label{ppV} und ein algebraisches Vektorfeld $v\in \mathcal T(X\times Y)$ und ein Punkt $y\in Y$ zeige man, da"s $x\mapsto (\tiff_{(x,y)}\op{pr}_X)v_{(x,y)}$ ein algebraisches Vektorfeld auf $X$ ist. Hinweis: Man mag sich auf den affinen Fall zur"uckziehen und den Isomorphismus \ref{VVCF} verwenden. Wir nennen dies Vektorfeld auf $X$ die {\bf Projektionsrestriktion von $v$ l"angs $y$} und notieren es ${\op{pres}}_{X\times y}(v)\in\mathcal T(X)$.\index{pres@${\op{pres}}_{X\times y}v$ Projektionsrestriktion von $v$} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Liealgebra $\mathfrak g$ zeige man, da"s die Abbildung $\op{ad}:\mathfrak g\ra \mathfrak{gl}(\mathfrak g)$ gegeben durch $\op{ad}:X\mapsto [X,\;]$\index{ad@$\op{ad}$ adjungierte Darstellung} ein Homomorphismus von Liealgebren ist, der in den Derivationen unserer Liealgebra landet. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Final Vorw"artsverwandte algebraischer Vektorfelder}] Seien ein finaler Morphismus von Variet"aten $\varphi:X\sra Y$ und ein algebraisches Vektorfeld $A\in\mathcal T(X)$ gegeben. Gibt es ein zu $A$ verwandtes Vektorfeld $B$ auf $Y$, so ist auch $B$ algebraisch. %In der Tat folgt f"ur $V\co Y$ und %$g\in \mathcal O_Y(V)$ aus der Verwandtschaft %$(Bg)\circ\varphi=A(g\circ\varphi)$. Ist $A$ algebraisch, %so liegt diese Funktion in $\mathcal O_X(\varphi^{-1}(V))$, und aus der %Finalit"at von $\varphi$ folgt dann auch $(Bg)\in \mathcal O_Y(V)$. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung} WANN WIE WO? GIBT'S DAS SCHON? Gegeben eine zusammenh"angende (affine?) algebraische Gruppe in Charakteristik Null ist das Ableiten ein volltreuer Schmelzfunktor von den Darstellungen der Gruppe zu den Darstellungen ihrer Liealgebra. Es reicht, wegen Schmelzblablah zu zeigen, da"s die Invarianten dieselben sind. Wir k"onnen uns hoffentlich auf $\mathcal O(G)$ beschr"anken. Nun sollte man "ahnlich wie in \ref{SNDv} argumentieren k"onnen, da"s die Liealgebra der mit Linkstranslationen vertauschenden Derivationen dieselbe Fixpunktmenge hat wie die Gruppe der mit Linkstranslationen vertauschenden Algebrenautomorphismen. \end{Ubung}} \subsection{Adjungierte Darstellung} \begin{Lemma}[\textbf{Differential von Verkn"upfung und Inversenbildung}] Gegeben ein algebraisches Monoid $G$ ist das Differential der Multiplikation die Addition. Genauer ist die\label{DVI} Verkn"upfung \begin{equation*} {\op{T}}_e G \oplus {\op{T}}_e G \sira {\op{T}}_{(e,e)} (G \times G) \overset{\tiff_e(\op{mult})}{\longrightarrow} {\op{T}}_e G \end{equation*} die Addition im Vektorraum ${\op{T}}_e G$. Im Gruppenfall ist weiter das Differential des Invertierens die Multiplikation mit $(-1)$, in Formeln \begin{equation*} \tiff_e (\op{inv}) = (-1) : {\op{T}}_e G \rightarrow {\op{T}}_e G \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Unsere Verkn"upfung ist linear und ihre Restriktion auf beide Summanden ist das Differential der Identit"at, also die Identit"at. Das zeigt die erste Aussage. Die Verkn"upfung $G \rightarrow G \times G \rightarrow G$ von $(\op{inv}, \op{id})$ mit der Multiplikation ist konstant, hat also Differential Null. Das zeigt die zweite Aussage. \end{proof} \begin{Definition} Sei $G$ eine algebraische Gruppe. Gegeben $g \in G$ betrachten wir den Homomorphismus $\op{int}(g)=\op{int}_g : G \rightarrow G$, $x \mapsto g x g^{-1}$ und setzen \begin{equation*} \op{Ad}(g)= \op{Ad}_g \pdef \tiff_e(\op{int}_g):{\op{T}}_e G\ra {\op{T}}_e G \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Auf diese Weise erhalten wir zu jeder affinen algebraischen Gruppe $G$ eine Darstellung, die {\bf adjungierte Darstellung}\index{adjungiert!Darstellung} \index{Darstellung!adjungierte}\index{Ad@$\op{Ad}$ adjungierte Darstellung!von algebraischer Gruppe} \begin{equation*} \op{Ad} : G \rightarrow \op{GL} ({\op{T}}_e G) \end{equation*} Diese Darstellung ist algebraisch nach "Ubung \ref{alDFP} im affinen Fall und nach \ref{alDFPT} im allgemeinen. Explizit wird im affinen Fall $\mathcal O (G)$ mithilfe der $(\op{int} g)$ eine algebraische Darstellung von $G$ nach \ref{BSRD}, darin ist $\mathcal I (1) / \mathcal I (1)^2$ ein Subquotient und nach \ref{UDR} ebenfalls algebraisch, und ${\op{T}}_e G$ ist nach \ref{ZERT} isomorph zur Kontragradienten $(\mathcal I (1) / \mathcal I(1)^2)^\ast$ dieser Darstellung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten der adjungierten Darstellung}] Gegeben eine Darstellung $(V,\rho)$ einer Gruppe $G$ und ein Element $g\in G$ ist die lineare Abbildung $\rho(g): V\ra V$ stets ein Homomorphismus von Darstellungen "uber dem Gruppenhomomorphismus $\op{int}_g:G\ra G$. In der Tat gilt f"ur alle $x\in G$ die Identit"at $$\rho(g)\rho(x)=\rho({\op{int}}_gx)\rho(g)$$ Insbesondere ist $\rho(g)$ nach \ref{agrH} dann auch ein Homomorphismus der abgeleiteten Darstellung "uber $\op{Ad}_g$ alias $\rho(g)(X\cdot_\rho v)=({\op{Ad}}_gX)\cdot_\rho(\rho(g)v)$ oder abgek"urzt notiert\label{VTAD} $$g(Xv)=({\op{Ad}}_gX)gv \quad \forall X\in \mathfrak g, v\in V$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn wir die adjungierte Darstellung ableiten, erhalten wir eine Operation der Liealgebra unserer algebraischen Gruppe auf sich selber. Man notiert sie \index{ad@$\op{ad}$ adjungierte Darstellung!Differential von $\op{Ad}$} \begin{equation*} \op{ad}: \op{Lie} G \rightarrow \mathfrak{gl}({\op{Lie}} G) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lieklammer und adjungierte Darstellung}] F"ur jede affine algebraische Gruppe $G$ und alle $X,Y\in\op{Lie}G$ gilt $$(\op{ad}X)(Y)=[X,Y]$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das gilt fraglos auch f"ur nicht notwendig affine algebraische Gruppen, aber es ist mir nicht gelungen, in dieser Allgemeinheit einen Beweis vertretbarer L"ange auszuschreiben. \nichtfinal{Zitat?} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ von $G$ und ein Vektor $v\in V$ k"onnen wir unsere Vertr"aglichkeiten der adjungierten Darstellung \ref{VTAD} umschreiben zur Identit"at $$gX g^{-1}v=({\op{Ad}}_gX)v \quad \forall g\in G, X\in \op{Lie}G, v\in V$$ Halten wir $X$ und $v$ fest und nehmen $V$ endlichdimensional an, so ist das eine Gleichheit von Morphismen von Variet"aten $G\ra V$. Diese Morphismen haben dann notwendig auch dasselbe Differential am neutralen Element und durch Einsetzen von $Y$ in dieses Differential und Nachschalten von $\op{richt}$ ergibt sich die Identit"at $$YXv -XYv=({\op{ad}}_YX)v \quad \forall X,Y\in \op{Lie}G, v\in V$$ Um im vorhergehenden das Differential auf der linken Seite zu brechnen, mag man sie als Vern"upfung der diagonalen Einbettung $G\ra G\times G$ mit der Abbildung $(g,h)\mapsto gXh^{-1}v$ schreiben. Wie auch immer folgt $[Y,X]v=({\op{ad}}_YX)v$ f"ur alle Vektoren $v$ aller algebraischen Darstellungen $V$ von $G$. Um $[Y,X]=({\op{ad}}_YX)$ zu zeigen, m"ussen wir also nur eine algebraische Darstellung finden, auf der verschiedene Elemente der Liealgebra auch durch verschiedene Endomorphismen operieren. Das leistet etwa jede Einbettung in die Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen Vektorraums oder nach \ref{dRd} auch die rechtsregul"are Darstellung. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Sei $\xi$ das linksinvariante Vektorfeld auf $G$ mit $\xi_e=X$. Das linksinvariante Vektorfeld $\zeta$ mit $\zeta_e=(\op{Ad}g)X$ entspricht dann der Derivation $f\mapsto \rho(g^{-1})\xi \rho(g)f$. \end{proof} \begin{proof} Wir ziehen uns zun"achst auf den Fall $G=\op{GL}(V)$ zur"uck, den wir dann durch explizite Rechnung erledigen. Gegeben ein Homomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ von algebraischen Gruppen kommutiert sicher f"ur alle $g \in G$ das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G \ar[d]_-{\op{int} g}\ar^-{\varphi}[r] & H\ar[d]^{\op{int} \varphi (g)}\\ G \ar[r]^-{\varphi}&H } \end{displaymath} und mithin auch das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_e G \ar[r]^-{\tiff_e \varphi}\ar[d]_-{\op{Ad} g} & {\op{T}}_e H\ar[d]^-{\op{Ad} \varphi (g)}\\ {\op{T}}_e G \ar[r]^-{\tiff_e \varphi} & {\op{T}}_e H } \end{displaymath} In anderen Worten ist $\tiff_e \varphi:{\op{T}}_e G\ra {\op{T}}_e H$ ein Homomorphismus von Darstellungen "uber unserem Gruppenhomomorphismus. Nach \ref{agrH} ist diese Abbildung dann auch ein Homomorphismus der abgeleiteten Darstellungen "uber dem induzierten Homomorphismus von Liealgebren, aus $\tiff_e \varphi:X\mapsto A$ und $\tiff_e \varphi:Y\mapsto B$ folgt also $(\tiff_e \varphi):(\op{ad}X)(Y)\mapsto (\op{ad}A)(B)$. Andererseits folgt aus \ref{LiGr} auch $(\tiff_e \varphi):[X,Y]\mapsto[A,B]$. Ist speziell $\varphi :G \hra \op{GL} (V)$ eine abgeschlossene Einbettung, % Untergruppe, so folgt so folgt der Satz f"ur $G$, sobald wir ihn f"ur $\op{GL}(V)$ zeigen k"onnen. Sei also $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und $G = \op{GL} (V) \co \op{End} V$. Mithilfe von \ref{ccaann} erhalten wir einen nat"urlichen Isomorphismus \begin{equation*} \op{richt}: {\op{T}}_e G \sira \op{End} V \end{equation*} Er wird selten "uberhaupt notiert, aber hier notieren wir ihn ausnahmsweise durch $X\mapsto \bar X$. Ich behaupte, da"s unter diesem Isomorphismus unser $\op{ad} : {\op{T}}_e G \rightarrow \op{End} {\op{T}}_e G$ der Abbildung $\op{End} V\ra \op{End}(\op{End} V)$, $A\mapsto [A,\;]$ entspricht, mit $[A,B]=AB-BA$ dem "ublichen Kommutator im Endomorphismenring $\op{End} V$. F"ur $g \in G$ ist $(\op{int} g)$ die Restriktion einer linearen Abbildung auf $\op{End} V$ und wir erhalten somit f"ur alle $g \in G$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_e G \ar[r]^-\sim\ar[d]_-{\tiff_e (\op{int} g)=\op{Ad}g} &\op{End} V \ar[d] &\ni A \ar@{|->}[d]\\ {\op{T}}_e G \ar[r]^-{\sim} & \op{End} V &\ni g A g^{-1} } \end{displaymath} Wir notieren die rechte Vertikale meist auch $\op{Ad} g : \op{End} V \rightarrow \op{End} V$, $A \mapsto g A g^{-1}$ und erhalten so $\op{Ad} : G \rightarrow \op{GL} (\op{End} V)$. Um hinwiederum das Differential dieser Abbildung zu berechnen, schreiben wir sie als Verkn"upfung \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} G &\rightarrow & G\times G &\rightarrow &\op{GL} (\op{End} V)\\ g & \mapsto & (g, g^{-1}) & & \\ & & (x, y) & \mapsto & (A \mapsto x A y) \end{array} \end{displaymath} und bilden die zugeh"origen Tangentialr"aume und Differentiale beim neutralen Element und seinen Bildern. Das liefert die obere Horizontale im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{T}}_e G \ar[r]\ar@{-->}[dr] &{\op{T}}_{(1,1)} (G\times G) \ar[r] & {\op{T}}_e \op{GL} (\op{End} V) \ar[d]^-\wr\\ &{\op{T}}_e G \oplus {\op{T}}_e G \ar@<1ex>_\wr[u] \ar@<1ex>[u];[] \ar@{-->}[r]&\op{End} (\op{End} V) } \end{displaymath} Wir interessieren uns f"ur die als Strichpfeile eingezeichneten Verkn"upfungen. Der schr"age Strichelpfeil wird nach \ref{DVI} gegeben durch $X \mapsto (X, - X)$. Der waagerechte Strichelpfeil bildet offensichtlich $(X,0)$ auf $(\bar X \cdot)$ ab und $(0,Y)$ auf $(\cdot \bar Y)$. Zusammen geht also $X$ auf $[\bar X,\;]$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Jordanzerlegung in Liealgebren}] \begin{enumerate} \item Ge\-ge\-ben ein affines algebraisches Monoid $G$ besitzt jedes Element $X \in \op{Lie} G$ genau eine Zerlegung $X = X_{\op{s}} + X_{\op{n}}$ mit $\grave X_{\op{s}} \in \op{End}_k \mathcal O (G)$ diagonalisierbar, $\grave X_{\op{n}} \in \op{End}_k \mathcal O (G)$ lokal nilpotent und $[X_{\op{s}}, X_{\op{n}}] = 0$; \item Gegeben ein Homomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ von affinen algebraischen Monoiden gilt $\tiff\varphi(X_{\op{s}}) = (\tiff\varphi(X))_{\op{s}}$ und $\tiff\varphi(X_{\op{n}}) = (\tiff\varphi (X))_{\op{n}}$; \item F"ur das Monoid $G = \op{End} (V)$ entspricht unter dem kanonischen Isomorphismus $\op{richt}:\op{Lie} G \sira \op{End} V$ die absolute Jordanzerlegung der konkreten Jordanzerlegung. \end{enumerate}\index{Jordanzerlegung!in der Liealgebra eines affinen algebraischen Monoids}\label{JZLi} \end{Satz} \begin{proof} Wir st"utzen uns auf das anschlie"sende Lemma \ref{SND}. Ist speziell $A = \mathcal O (G)$ und $X \in \op{Lie} G$ eine linksinvariante Derivation, so wirkt $X$ lokal endlich nach \ref{dRd} und wir erhalten unmittelbar die gew"unschte Zerlegung in $\op{Der}_k \mathcal O (G)$. Des weiteren sind wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung auch $X_{\op{s}}$ und $X_{\op{n}}$ linksinvariant und Teil 1 ist bewiesen. Teil 2 folgt aus dem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O (H) \ar[r]\ar[d]_-{(\tiff\varphi)(X)} & \mathcal O (G) \ar[d]^-{X}\\ \mathcal O (H) \ar[r] & \mathcal O (G) } \end{displaymath} mit der Funktorialit"at der Jordan-Zerlegung. Man mu"s nur beachten, da"s dies Diagramm bereits $(\tiff\varphi)(X)$ als linksinvariantes Vektorfeld eindeutig festlegt. Teil 3 zeigt man analog wie die analoge Aussage zur Jordanzerlegung in affinen algebraischen Monoiden in \ref{JZaG} durch Einbettung von $V$ in eine endliche direkte Summe von Kopien der rechtsregul"aren Darstellung von $G$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Jordanzerlegung von Derivationen}] Seien $k$ ein K"orper, $(A,\ast)$ eine nicht notwendig assoziative $k$-Algebra, $\partial : A \rightarrow A$ eine\label{SND} lokal endliche Derivation und $A_\lambda\pdef \op{Hau}(\partial ;\lambda)$ der Hauptraum von $\partial $ zum Eigenwert $\lambda$. So gilt $$A_\lambda \ast A_\mu\subset A_{\lambda+\mu}$$ Ist zus"atzlich $A$ die Summe seiner Hauptr"aume, so sind auch der halbeinfache und der nilpotente Anteil $\partial _{\op{s}}$ und $\partial _{\op{n}}$ von $\partial $ Derivationen von $A$. \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat gilt f"ur $\lambda, \mu \in k$ und $a,b \in A$ sicher \begin{equation*} (\partial -(\lambda + \mu))(a \ast b) = (( \partial - \lambda)a) \ast b + a\ast ((\partial -\mu)b) \end{equation*} Induktiv erhalten wir m"uhelos \begin{equation*} (\partial - (\lambda + \mu))^n (a \ast b) = \sum^n_{i=0} \begin{pmatrix} n \\ i\end{pmatrix} (\partial -\lambda)^i (a) \ast (\partial -\mu)^{n-i} (b) \end{equation*} Aus $a \in A_\lambda$ und $b \in A_\mu$ folgt damit $a \ast b \in A_{\lambda+ \mu}$. Insbesondere erhalten wir so $\partial _{\op{s}} (a \ast b) = (\partial _{\op{s}} a) \ast b + a \ast (\partial _{\op{s}} b)$ und $\partial _{\op{s}}$ ist auch eine Derivation. Dasselbe folgt f"ur $\partial _{\op{n}} = \partial - \partial _{\op{s}}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Automorphismen und Derivationen}] Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper der Charakteristik $\op{char}(k)=0$ und $(A,\ast)$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra und $\partial : A \rightarrow A$ eine\label{SNDv} Derivation und $A_\lambda\pdef \op{Hau}(\partial ;\lambda)$ der Hauptraum von $\partial $ zum Eigenwert $\lambda$ und $X\subset k$ die von den $\lambda$ mit $A_\lambda\neq 0$ erzeugte additive Untergruppe. So tr"agt $A$ eine $X$-Graduierung und unter der "Aquivalenz \ref{DDG} oder noch besser der Schmelz"aquivalenz \ref{DDGs} entspricht sie einer Operation der diagonalisierbaren Gruppe $\mathfrak D(X)$ durch Algebrenautomorphismen und man sieht, da"s $\partial_{\op{s}}$ im Bild von $\op{Lie}\mathfrak D(X)$ liegt. Andererseits, und erst hier brauchen wir $\op{char}(k)=0$, liefert $\partial_{\op{n}}$ eine algebraisch Operation der additiven Gruppe $k$ durch Algebrenautomorphismen vermittels $t\mapsto \op{exp}(t\partial_{\op{n}})$, vergleiche \eref{exDE}{HL}. Wir erkennen so, da"s in unserem Fall und insbesondere unter der Annahme $\op{char}(k)=0$ gilt $$\op{Lie}(\op{Alg}_k^\times(A))=\op{Der}_k(A)$$ In \ref{LieAU} hatten wir gesehen, da"s ohne Einschr"ankungen an die Charakteristik im allgemeinen nur die Inklusion $\subset$ gilt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{VoUb} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ und ein Element $g \in G$ betrachte man den Morphismus $\beta : G \rightarrow G$, $h \mapsto h g h^{-1} g^{-1}$ und zeige die Formel $(\tiff_e \beta )(Y) = Y - \op{Ad}_g(Y) \; \forall Y \in \op{Lie} G$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben algebraische Darstellungen $V, W$ eines algebraischen Monoids ist auch $V\otimes W$ eine algebraische Darstellung mit der Operation $g(v\otimes w)=gv\otimes gw$. Das Differential dieser Darstellung wird beschrieben durch die Formel $$X(v\otimes w)=Xv\otimes w+v\otimes Xw\quad\forall X\in\op{Lie}G, v\in V, w\in W$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LIAW} Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ eines algebraischen Monoids ist auch die "au"sere Algebra $\bigwedge V$ mit der offensichtlichen Gruppenwirkung eine algebraische Darstellung. Das Differential dieser Darstellung wird beschrieben durch die Formel $$X(v_1\wedge\ldots\wedge v_r) =\sum_{i=1}^r v_1\wedge\ldots\wedge Xv_i\wedge \ldots\wedge v_r$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{LANo} Die Liealgebra eines Nomalteilers einer algebraischen Gruppe ist ein Ideal in der Liealgebra der urspr"unglichen Gruppe. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Sei $G$ eine affine algebraische Gruppe. Man zeige, da"s die Fortsetzung eines Elements der Liealgebra durch ein linksinvariantes Vektorfeld als diagonalisierbare beziehungsweise nilpotente Derivation operiert genau dann, wenn seine Fortsetzung durch ein rechtsinvariantes Vektorfeld diese Eigenschaft hat. Mir ist nicht klar, ob dasselbe auch im Fall von Monoiden gilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Liealgebra einer unipotenten affinen algebraischen Gruppe besteht aus nilpotenten Elementen. Die Liealgebra einer diagonalisierbaren affinen algebraischen Gruppe besteht aus halbeinfachen Elementen.\label{nuLA} \end{Ubung} \subsection{Differentiale und Kotangentialr"aume} \begin{Definition} Seien $k$ ein Kring, $A$ ein $k$-Kring, $A \otimes_k A \ra A$ die Multiplikation und $I$ ihr Kern. Wir bezeichnen mit $\langle I^2 \rangle$ oder auch abk"urzend $I^2$ das von allen Produkten von zwei Elementen von $I$ erzeugte Ideal und setzen\index{O@$\Omega_{A/k}$ Modul der Differentiale} \begin{displaymath} \Omega_{A/k} \pdef I/ I^2 \end{displaymath} und nennen diesen Raum den {\bf Modul der Differentiale von $A$ "uber $k$}. \index{Differentiale!Modul der} Er ist in nat"urlicher Weise ein Modul "uber $ (A \otimes_k A) /I$ und wird vermittels des durch die Multiplikation gegebenen Isomorphismus $ (A \otimes_k A) /I\sira A$ ein $A$-Modul. Manchmal spricht man auch ausf"uhrlicher vom {\bf Modul der K"ahler-Differentiale}.\index{K"ahler-Differentiale} Ist $k$ noethersch und $A$ ringendlich "uber $k$ oder auch nur $A \otimes_k A$ noethersch, so ist der Modul der Differentiale endlich erzeugt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur die beiden Ringhomomorphismen $A\ra A \otimes_k A$, die gegeben werden durch $a\mapsto a\otimes 1$ und $a\mapsto 1\otimes a$, ist die Verkn"upfung mit der Multiplikation die Identit"at auf $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KerM} Der Kern $I$ der Multiplikation $A \otimes_k A \ra A$ wird als Ideal erzeugt von den Elementen $a \otimes 1- 1 \otimes a$ mit $a\in A$. Liegt in der Tat $\sum a_i \otimes b_i $ in unserem Kern, so gilt \begin{displaymath} \sum a_i \otimes b_i =\sum a_i \otimes b_i - \sum 1 \otimes a_i b_i = \sum (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i) (1\otimes b_i) \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Universelle Eigenschaft des Moduls der Differentiale}] Seien $k$ ein Kring und $A$ ein $k$-Kring. Die Abbildung ${\op{d}}: A \ra \Omega_{A/k}$ gegeben durch die Vorschrift $a\mapsto {\op{d}}a\pdef (a \otimes 1 - 1 \otimes a)+\langle I^2\rangle$ ist eine\label{UMD} $k$-lineare Derivation im Sinne von \ref{klDe} und f"ur alle $A$-Moduln $M$ liefert das Vorschalten von ${\op{d}}$ einen Isomorphismus \begin{displaymath} \op{Hom}_A (\Omega_{A/k}, M) \sira \op{Der}_k (A,M) \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unser Element ${\op{d}}a\in \Omega_{A/k}$\index{d@$\op{d}$ Differential!algebraisches} hei"st das {\bf Differential von $a$}.\index{Differential!algebraisches} Nach \ref{KerM} wird der Modul der Differentiale als $A$-Modul erzeugt von den Differentialen ${\op{d}}a$ der Elemente $a\in A$.\label{erOM} Manchmal verfeinern wir die Notation zu ${\op{d}}a={\op{d}}_{A/k}a$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivationen und Differentiale}] Im folgenden "ubersetzen wir verschiedene Eigenschaften von Derivationen in die Sprache der Differentiale. In der Sprache der Differentiale gelten viele Aussagen in gr"o"serer Allgemeinheit als in der dualen Sprache der Derivationen. Die Sprache der Derivationen hinwiederum ist zumindest meiner Anschauung besser zug"anglich und spielt auch in den hier gegebenen Beweisen eine wichtige Rolle. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir pr"ufen unschwer f"ur alle $a,b\in A$ die Identit"aten ${\op{d}}(ab)=ab \otimes 1 - 1 \otimes ab= (a \otimes 1 - 1 \otimes a)b+ a(b \otimes 1 - 1 \otimes b)=b{\op{d}}a + a{\op{d}}b$ in $\Omega_{A/k}$. Das zeigt die erste Aussage. Zum Beweis der Zweiten konstruieren wir eine inverse Abbildung. Gegeben $D \in \op{Der}_k (A,M) $ betrachten wir die Abbildung $D_1 : A \otimes_k A \ra M$, $a \otimes b \mapsto -a D (b)$. Sicher annulliert $D_1$ alle Produkte $(a \otimes 1 - 1 \otimes a) (b \otimes 1 - 1 \otimes b) = ab \otimes 1 + 1 \otimes ab - a \otimes b - b \otimes a$ und liefert nach \ref{KerM} folglich eine Abbildung $D_1 : \Omega_{A/k} \ra M$. Diese Abbildung $D_1$ mu"s $A$-linear sein, weil das bereits f"ur $D_1 : A \otimes_k A \ra M$ gilt in Bezug auf die $A$-Operation auf $A \otimes_k A$ vermittels der Multiplikation auf den ersten Faktor. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale von Polynomringen}] Gegeben ein Kring $k$ ist der Modul der Differentiale $\Omega_{k[T]/k}$ ein freier $k[T]$-Modul mit Basis ${\op{d}} T$. In der Tat folgt das mit der universellen Eigenschaft \ref{UMD} leicht aus\label{DifPPe} der Beschreibung der $k$-linearen Derivationen des Polynomrings in \ref{DevP}, nach dem eine $k$-lineare Derivation $k[T]\ra M$ in einen $k[T]$-Modul $M$ festgelegt und festlegbar ist durch das Bild $m\in M$ der Variablen $T$ und gegeben wird durch $P\mapsto P'm$. Gegeben ein Polynom $P\in k[T]$ haben wir insbesondere f"ur die universelle Derivation $${\op{d}} P= P' {\op{d}} T$$ Wenn wir direkt von der Definition ausgehen, finden wir alternativ $k[T_1,T_2]\sira k[T]\otimes_k k[T]$ mit $T_1\mapsto T\otimes 1$ und $T_2\mapsto 1\otimes T$ und darunter $\langle T_1-T_2\rangle\sira I$ und $\langle (T_1-T_2)^2\rangle\sira \langle I^2\rangle$ und sehen so auch ganz explizit ein weiteres Mal, da"s ${\op{d}}T$ eine Basis des $k[T]$-Moduls $\Omega_{k[T]/k}$ ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale von Polynomringen in mehreren Ver"anderlichen}] Gegeben ein Kring $k$ ist der Modul der Differentiale $\Omega_{k[T_1,\ldots,T_n]/k}$ ein freier Modul "uber $k[T_1,\ldots,T_n]$ mit Basis ${\op{d}} T_1,\ldots,{\op{d}} T_n$. In der Tat folgt das mit der universellen Eigenschaft leicht aus\label{DifPP} der Beschreibung der $k$-linearen Derivationen des Polynomrings in \ref{DevPm}. Gegeben ein Polynom $P$ haben wir dann $${\op{d}} P= \frac{\partial P}{\partial T_1} {\op{d}} T_1+\ldots+\frac{\partial P}{\partial T_n}{\op{d}} T_n$$ Analog bilden auch f"ur einen Polynomring in einer beliebigen Menge von Variablen die Differentiale der Variablen eine Basis des Moduls der Differentiale. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und eine bepunktete $k$-Variet"at $(X,x)$ hei"st der Dualraum ${\op{T}}_x^\ast X\pdef \op{Hom}_k({\op{T}}_x X, k)$ des Tangentialraums an $X$ bei $x$ der {\bf Kotangentialraum an $X$ bei $x$}. Ein Element des Kotangentialraums hei"st auch ein {\bf Kovektor}.\index{Kovektor} F"ur $\frak m_x\subset \mathcal O_{X,x}$ der Kern des Auswertungshomomorphismus liefert das Transponieren unseres Isomorphismus aus \ref{DTRo} einen ausgezeichneten Isomorphismus $${\op{T}}_x^\ast X\sira \frak m_x/\frak m_x^2$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Geometrische Halme des Moduls der Differentiale}] Gegeben ein Kring $k$ und ein $k$-Kring $A$ und eine Spaltung $A\ra k$ des strukturierenden Homomorphismus $k\ra A$ und $\mathfrak m\pdef \op{ker}(A\ra k)$ ihr Kern induziert die Abbildung $f\mapsto 1\otimes {\op{d}}f$ einen Isomorphismus $$\mathfrak m/\mathfrak m^2\sira k\otimes_A\Omega_{A/k}$$ \end{Proposition} \begin{Beispiel}[\textbf{Kotangentialraum durch Differentiale}] Speziell erhalten wir daraus als die Verkn"upfung mit zwei weiteren nat"urlichen Isomorphismen unseren Isomorphismus $$\op{Der}_k(A,k)\sira\op{Hom}_A(\Omega_{A/k},k)\sira\op{Hom}_k(k\otimes_A\Omega_{A/k},k)\sira \op{Hom}_k(\frak m/\frak m^2,k)$$ aus \ref{ZERT}. Im Fall eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $k=\bar k$ und einer bepunkteten $k$-Variet"at $(X,x)$ mit dem lokalen Ring $A\pdef \mathcal O_{X,x}$ spezialisiert er zu unserem Isomorphismus ${\op{T}}_xX\sira (\frak m_x/\frak m_x^2)^*$ aus \ref{DTRo} und induziert den ersten Isomorphismus einer Sequenz von Isomorphismen $${\op{T}}_x^*X\;\sira\; \frak m_x/\frak m_x^2\;\sira\; k_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}} \Omega_{\mathcal O_{X,x}/k}$$ Ist unsere bepunktete Variet"at $X$ affin, so erhalten wir in derselben Weise mit $A\pdef \mathcal O(X)$ und $\frak m_x\subset \mathcal O(X)$ dem Kern des Auswertungshomomorphismus $\delta_x:\mathcal O(X)\sra k$ eine Sequenz von Isomorphismen $${\op{T}}_x^*X\;\sira\; \frak m_x/\frak m_x^2\;\sira\; k_x\otimes_{\mathcal O(X)} \Omega_{\mathcal O(X)/k}$$ Salopp gesprochen ist also der geometrische Halm bei $x$ des Moduls der Differentiale $\Omega_{\mathcal O(X)/k}$ der Kotangentialraum.\label{KdDi} \nichtfinal{Sollte mit der Notation $\mathcal F_{/x}$ f"ur den geometrischen Halm umschreiben!} \end{Beispiel} \begin{proof}[Erster Beweis] Wir pr"ufen zun"acht, da"s unsere Abbildung wohldefiniert ist. Wegen der Leinbizregel ${\op{d}}(gf)=g({\op{d}}f)+ f({\op{d}}g)$ wird darunter aber in der Tat jedes Element aus $\mathfrak m^2$ zu Null. Jetzt konstruieren wir eine Umkehrabbildung. Bezeichne wieder $I\subset A\otimes_k A$ den Kern der Multiplikation. Unter dem Kringhomomorphismus $A\otimes_k A\ra A\otimes_k k\sira A$ wird offensichtlich $I$ nach $\mathfrak m$ abgebildet und er induziert folglich einen Morphismus $\Omega_{A/k}=I/I^2\ra \mathfrak m/\mathfrak m^2$ und dann auch einen Morphismus $k\otimes_A\Omega_{A/k}\ra \mathfrak m/\mathfrak m^2$, der f"ur $f\in \mathfrak m$ sicher $1\otimes {\op{d}}f=1\otimes (f\otimes 1-1\otimes f)$ auf $f+\mathfrak m^2$ abbildet. Folglich sind unsere beiden Homomorphismen von $A$-Moduln zueinander invers. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Die beim Beweis von \ref{ZERT} gegebenen Argumente zeigen auch, da"s f"ur jeden $k$-Modul $M$ die Einschr"ankung einer Derivation auf $\mathfrak m$ einen Isomorphismus $\op{Der}_k(A,M)\sira \op{Hom}_k(\frak m/\frak m^2,M)$ induziert. Den daraus mit der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentiale entstehenden Isomorphismus k"onnen wir nach der universellen Eigenschaft der Erweiterung der Skalare faktorisieren als $$\op{Hom}_A(\Omega_{A/k},M)\sira\op{Hom}_k(k\otimes_A\Omega_{A/k},M)\ra \op{Hom}_k(\frak m/\frak m^2,M)$$ Also mu"s hier auch die zweite Abbildung ein Isomorphismus sein, und da das f"ur alle $k$-Moduln $M$ gilt, folgt die Proposition mit dem Yoneda-Lemma oder auch einfacheren dem speziellen Fall angepa"sten Argumenten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Kovektorfeld} $\omega$ auf einer Variet"at $X$\index{Kovektorfeld} ist eine Vorschrift, die jedem Punkt $x \in X$ ein Element $\omega_x \in {\op{T}}_x^\ast X$ des Kotangentialraums bei $x$ zuordnet. Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ liefert jedes Differential $\omega\in \Omega_{\mathcal O(X)/k}$ ein Kovektorfeld auf $X$ vermittels der Vorschrift, da"s $\omega_x\in {\op{T}}_x^\ast X$ das Urbild von $1\otimes \omega$ sein soll unter dem Isomorphismus\label{DifKOV} ${\op{T}}_x^\ast X\sira k_x\otimes_{\mathcal O(X)} \Omega_{\mathcal O(X)/k}$ aus \ref{KdDi}. \nichtfinal{Sollte mit der Notation $\mathcal F_{/x}$ f"ur den geometrischen Halm umschreiben!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Glattheit impliziert Projektivit"at des Moduls der Differentiale}] Wir erinnern aus \eref{dglV}{KAG}, da"s eine Variet"at $X$ glatt hei"st, wenn gilt $$\op{kdim}_xX=\op{dim}_k{\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2}\quad\forall x\in X$$ Wir erinnern weiter daran, da"s nach \eref{lIrr}{KAG} jede glatte Variet"at die disjunkte Vereinigung ihrer irreduziblen Komponenten ist. Gegeben eine affine Variet"at $X$ ist andererseits der Modul der Differentiale $\Omega_{\mathcal O(X)/k}$ endlich erzeugt. Ist unsere affine Variet"at $X$ zus"atzlich\label{GMD} $X$ glatt, so hat der Modul der Differentiale $\Omega_{\mathcal O(X)/k}$ geometrische Halme von lokal konstanter Dimension und ist nach \eref{lkgk}{KAG} folglich projektiv alias lokal frei. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Differentiale als Kovektorfelder}] Gegeben eine glatte affine Variet"at ist unsere Abbildung aus \ref{DifKOV} nach der Projektivit"at des Moduls der Differentiale \ref{GMD} eine Injektion vom Modul der Differentiale in die Menge der Kovektorfelder. Ein Kovektorfeld auf einer glatten Variet"at nennen wir {\bf algebraisch},\index{Kovektorfeld!algebraisches} wenn jeder Punkt eine offene affine Umgebung $U$ besitzt derart, da"s die Restriktion unseres Kovektorfelds auf $U$ von einem Differential aus $\Omega_{\mathcal O(U)/k}$ herkommt. Nach "Ubung \eref{kgA}{KAG} kann jede affine offene Umgebung eines Punkts in einer affinen Variet"at zu einer offenen Umgebung verkleinert werden, die sowohl in Bezug auf unsere urspr"ungliche affine Variet"at als auch in Bezug auf unsere affine offene Umgebung eine Nichtnullstellenmenge ist. Nach dem lokal-global-Prinzip aus \eref{LGVV}{KAG} liefert unsere Konstruktion \ref{DifKOV} also f"ur jede glatte affine Variet"at eine Bijektion zwischen $\Omega_{\mathcal O(X)/k}$ und der Menge der algebraischen Kovektorfelder auf $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jede algebraische Gruppe $G$ ist glatt, da nach \eref{gSod}{KAG} in jeder Variet"at die regul"aren Punkte eine offene dichte Teilmene bilden. Insbesondere bilden die Differentiale auf jeder offenen affinen Teilmenge $U\co G$ einen projektiven $\mathcal O(U)$-Modul. Man kann das aber auch einfacher wie in \ref{GMD} direkt mit \eref{lkgk}{KAG} daraus folgern, da"s der Modul der Differentiale $\Omega_{\mathcal O(U)/k}$ geometrische Halme konstanter Dimension hat.\label{AGDF} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorfelder auf glatten Variet"aten}] Gegeben eine bepunktete affine $k$-Variet"at $(X,x)$ liefern die universelle Eigenschaft des\label{VgV} Moduls der Differentiale und \ref{AVFA} und unsere Definitionen ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \op{Hom}_{\mathcal O(X)}(\Omega_{\mathcal O(X)/k},\mathcal O(X))&\sira& \op{Der}_k\mathcal O(X)&\sira&\mathcal T(X)\\ \da&&\da&&\da\\ \op{Hom}_{\mathcal O(X)}(\Omega_{\mathcal O(X)/k},k_x)&\sira& \op{Der}_k(\mathcal O(X),k_x)&\sira&{\op{T}}_xX \end{array} $$ Ist $X$ glatt, so ist der Modul der Differentiale $\Omega_{\mathcal O(X)/k}$ projektiv nach \ref{GMD}, und da er auch endlich erzeugt ist, induziert die linke Vertikale einen Isomorphismus vom geometrischen Halm ihres Ausgangspunkts zu ihrem Zielpunkt. Wir folgern, da"s f"ur jede glatte affine Variet"at $X$ auch die algebraischen Vektorfelder einen endlich erzeugten projektiven $\mathcal O(X)$-Modul $\mathcal T(X)$ bilden und da"s das Auswerten eines Vektorfelds an einem Punkt $x\in X$ einen Isomorphismus $$k_x\otimes_{\mathcal O(X)}\mathcal T(X)\sira {\op{T}}_xX$$ des geometrischen Halms des Moduls der algebraischen Vektorfelder mit dem Tangentialraum induziert. \nichtfinal{Sollte mit der Notation $\mathcal F_{/x}$ f"ur den geometrischen Halm umschreiben!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeder Tangentialvektor an einem Punkt einer algebraischen Gruppe kann zu einem algebraischen Vektorfeld auf einer offenen Umgebung besagten Punktes fortgesetzt werden. Das folgt direkt aus \ref{VgV} und der Erkenntnis, da"s jede algebraische Gruppe glatt ist.\label{fsVF} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur relative Differentiale}] Seien $\varphi : X \rightarrow Y$ ein Morphismus von affinen $k$-Variet"aten und $B\ra A$ eine abk"urzende Notation f"ur den zugeh"origen Komorphismus $\mathcal O (Y) \rightarrow \mathcal O (X)$. Es f"allt mir schwer, eine unmittelbare Anschauung f"ur den Modul der Differentiale $\Omega_{A/B}$ zu geben, der in diesem Fall auch der {\bf Modul der relativen Differentiale}\index{Differentiale!relative} hei"st. Der duale Modul \begin{equation*} \op{Hom}_{A} (\Omega_{A/B}, A)\cong \op{Der}_{B}A \subset \op{Der}_k A \end{equation*} kann jedoch anschaulich interpretiert werden als der Modul derjenigen algebraischen Vektorfelder auf $X$, die alle von $Y$ zur"uckgeholten Funktionen annullieren. In besonders einfachen Situationen k"onnen diese Vektorfelder auch geometrisch beschrieben werden als diejenigen Vektorfelder, die tangential sind an die Fasern von $\varphi$. Insbesondere gilt das, wenn f"ur alle $y \in Y$ die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $A \otimes_{B} k_y \sira \mathcal O (\varphi^{-1} (y))$ ist. Ist $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von affinen $k$-Variet"aten, so verwenden wir f"ur den $\mathcal O(X)$-Modul der relativen Differentiale auf $X$ auch gerne die abk"urzenden Notationen $$\Omega(X/Y)=\Omega(\varphi)=\Omega_{\mathcal O(X)/\mathcal O(Y)}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at des Moduls der Differentiale}] Gegeben ein kommutatives Diagramm von Kringen\label{FuDii} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} A &\ra & C\\ \ua & & \ua \\ B &\ra & D \end{array} \end{displaymath} erhalten wir einen Modulhomomorphismus $\Omega_{A/B}\ra \Omega_{C/D}$ "uber dem Kringhomomorphismus $\varphi:A\ra C$ mit der Eigenschaft $\diff a\mapsto \op{d} (\varphi(a))$ in offensichtlicher Weise. Im geometrischen Fall und f"ur $B=D=k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper nennt man diesen Homomorphismus das {\bf Zur"uckholen von Kovektorfeldern}. F"ur jeden $C$-Modul $N$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Der}_B (A,N) &\leftarrow & \op{Der}_D (C,N)\\ \downarrow\wr & & \downarrow\wr \\ \op{Hom}_A (\Omega_{A/B}, N) &\leftarrow &\op{Hom}_{C} (\Omega_{C/D}, N) \end{array} \end{displaymath} mit der durch diesen Homomorphismus induzierten Abbildung rechts und den hoffentlich offensichtlichen Abbildungen sonst. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Invariante Differentiale auf algebraischen Gruppen}] \nichtfinal{(Wohin?)} Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ betrachte man die Multiplikation und die Projektion auf die zweite Koordinate $\mu, \op{pr}_2 : G \times G \rightarrow G$ sowie die nat"urliche Abbildung $\op{can} : \Omega(G \times G) \rightarrow \Omega(G\times G / G \times 1)$. Ein Kovektorfeld $\omega \in \Omega(G)$ ist genau dann linksinvariant, wenn gilt \begin{equation*} \op{can} \mu^\ast \omega = \op{can} \op{pr}_2^\ast \omega \end{equation*} \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Differentiale und Lokalisierung}] \begin{enumerate} \item Gegeben ein Kringhomomorphismus $B\ra A$ und eine Teilmenge $S \subset A$ liefert die von $A\ra S^{-1}A$ induzierte Abbildung $ \Omega_{A/B} \ra \Omega_{S^{-1}A/B}$ einen Isomorphismus von $(S^{-1}A)$-Moduln \begin{displaymath} S^{-1} \Omega_{A/B} \sira \Omega_{S^{-1}A/B} \end{displaymath} \item Faktorisiert ein Kringhomomorphismus $B\ra A$ f"ur eine Teilmenge $T \subset B$ "uber $T^{-1}B$, so ist die davon induzierte Abbildung ein Isomorphismus \begin{displaymath} \Omega_{A/B} \sira \Omega_{A/ T^{-1}B} \end{displaymath} \end{enumerate}\label{DifLo} \end{Lemma} \begin{proof} Um die erste Aussage zu sehen, mu"s man nach dem Yonedalemma oder einfacher nach \eref{AFY}{LA2} nur pr"ufen, da"s die fragliche Abbildung f"ur jeden $(S^{-1} A)$-Modul $M$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Hom}_{s^{-1}A} (\Omega_{S^{-1}A / B}, M) \sira \op{Hom}_{S^{-1}A} (S^{-1}\Omega_{A/B}, M) \end{equation*} induziert. Dazu betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hom}_{S^{-1}A} (\Omega_{S^{-1}A/B}, M) \ar[r] & \op{Hom}_{S^{-1}A} (S^{-1}\Omega_{A/B}, M)\\ &\ar[u]_-\wr \op{Hom}_A (\Omega_{A/B}, M)\\ \op{Der}_B (S^{-1} A, M) \ar[uu]_-{\wr} \ar[r]^-\sim & \op{Der}_B (A,M)\ar[u]_-{\wr} } \end{displaymath} und f"uhren so die Behauptung auf unsere Erkenntnisse \ref{DerL} "uber die Vertr"aglichkeit von Derivationen mit Lokalisierungen zur"uck. Die zweite Aussage ist offensichtlich. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale von Funktionenk"orpern}] Gegeben ein K"orper $k$ ist $\Omega_{k(T_1,\ldots,T_n)/k}$ ein freier $k(T_1,\ldots,T_n)$-Modul mit der Basis ${\op{d}} T_1,\ldots,{\op{d}} T_n$.\label{DifFK} \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Derivationen und Lokalisierung}] Seien $B$ ein Kring, $A$ ein $B$-Kring und $S \subset A$ eine Teilmenge. Ist der $A$-Modul $\Omega_{A/B}$ der Differentiale endlich pr"asentiert, so induziert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus\label{VVFF} \begin{equation*} S^{-1} \op{Der}_B (A,A) \sira \op{Der}_B (S^{-1}A, S^{-1}A) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere gilt das also, wenn $B$ noethersch ist und $A$ ringendlich "uber $B$, oder nach \ref{DifLo} auch, wenn $B$ noethersch ist und $A$ eine Lokalisierung einer ringendlichen $B$-Kringalgebra. F"ur ein Gegenbeispiel nehmen wir einen K"orper $k$ und betrachten $A= k [X_1, X_2, \ldots]$ und $S = \{ X_1, X_2, \ldots\}$. So ist die geeignet interpretierte unendliche Summe $\sum X^{-1}_i \partial_i$ eine $k$-lineare Derivation von $S^{-1} A$, die nicht im Bild von $S^{-1} \op{Der}_k (A,A)$ liegt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $B$ ein Kring, $A$ ein $B$-Kring und $S \subset A$ eine Teilmenge sei $ \op{Der}_B (A,A) \rightarrow \op{Der}_B (A, S^{-1}A) \sira \op{Der}_B (S^{-1} A,S^{-1} A) $ die Komposition des Nachschaltens von $A\ra S^{-1}A$ mit dem Isomorphismus aus \ref{DerL}. Sie induziert einen Homomorphismus \begin{equation*} S^{-1} \op{Der}_B (A,A) \rightarrow \op{Der}_B (S^{-1}A, S^{-1}A) \end{equation*} Unter unseren Identifikationen \ref{UMD} entspricht er dem nat"urlichen Homomorphismus \begin{equation*} S^{-1} \op{Hom}_A (\Omega_{A/B}, A) \rightarrow \op{Hom}_{S^{-1} A} (S^{-1}\Omega_{A/B}, S^{-1}A) \end{equation*} aus \eref{KEPP}{KAG}. Er ist nach \eref{KEPP}{KAG} ein Isomorphismus, falls der $A$-Modul $\Omega_{A/B}$ endlich pr"asentiert ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorfelder und Lokalisierung}] Gegeben $X$ eine affine Variet"at und $A\pdef\mathcal O(X)$ ihr Ring von regul"aren Funktionen und $S=\{f\}$ f"ur $f\in \mathcal O(X)$ entspricht die Abbildung aus \ref{VVFF} unter unseren Isomorphismen aus \ref{AVFA} der Restriktion von algebraischen Vektorfeldern $\mathcal T(X)\ra \mathcal T(X_f)$. In diesem Fall liefert also die Restriktion von algebraischen Vektorfeldern $\mathcal T(X)\ra \mathcal T(X_f)$ einen Isomorphismus $$\mathcal T(X)_f\sira \mathcal T(X_f)$$ zwischen der Lokalisierung nach $f$ des Raums der algebraischen Vektorfelder und dem Raum der algebraischen Vektorfelder auf dem Komplement der Nullstellenmenge von $f$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Differentiale sukzessiver Kringerweiterungen}] Gegeben Kringhomomorphismen $k \ra B$ und $\varphi:B \ra A$ erhalten wir die \emph{\bf rechtsexakte Sequenz der Differentiale}\label{DsK} \begin{displaymath} \hspace{2cm}A\otimes_{B} \Omega_{B /k}\ra \Omega_{A/k} \sra \Omega_{A/B } \end{displaymath} mit $1 \otimes {\op{d}} b \mapsto {\op{d}} (\varphi(b))$ unter dem ersten Pfeil und ${\op{d}} b \mapsto {\op{d}} b$ unter dem Zweiten. Ist $\varphi$ surjektiv, so gilt $\Omega_{A/B }=0$ und wir erhalten eine Verl"angerung unserer Sequenz zu einer Beschreibung der \emph{\bf Differentiale auf Quotienten} durch die rechtsexakte Sequenz \begin{displaymath} A\otimes_B\op{ker}\varphi \ra A\otimes_{B}\Omega_{B /k} \sra \Omega_{A/k} \hspace{2cm}\end{displaymath} mit $1\otimes b\mapsto 1\otimes {\op{d}}b$ als erster Abbildung. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere impliziert unser Lemma \ref{DifLo} "uber die Vertr"aglichkeit von Differentialen mit Lokalisierungen, da"s f"ur jeden Kring $B$ und jede Teilmenge $S\subset B$ gilt $\Omega_{S^{-1}B /B}=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit $I\pdef \op{ker}\varphi$ induziert $I\sira B\otimes_BI\sra A\otimes_BI$ einen Isomorphismus $I/I^2\sira A\otimes_B\op{ker}\varphi$, mit dessen Hilfe wir die zweite Sequenz umschreiben k"onnen zu\label{DsK2} $$I/I^2 \ra A\otimes_{B}\Omega_{B /k} \sra \Omega_{A/k}$$ mit $b\mapsto 1\otimes \diff b$ als erster Abbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale im geometrischen Fall}]$(k=\bar k)$. Ist $X\As k^n$ eine abgeschlossene Teilmenge und $f_1,\ldots,f_r$ ein Erzeugendensystem ihres Verschwindungsideals $\mathcal I(X)$, so liefert die Beschreibung der Differentiale auf Quotienten \ref{DsK} zusammen mit unseren Erkenntnissen \ref{DifPP} "uber die Differentiale von Polynomringen einen Isomorphismus $$\mathcal O(X){\op{d}}T_1\oplus\ldots \oplus \mathcal O(X){\op{d}}T_n/\langle{\op{d}}f_1,\ldots, {\op{d}}f_r\rangle \;\sira\; \Omega_{\mathcal O(X)/k}$$ des freien $\mathcal O(X)$-Moduls "uber der Basis der ${\op{d}}T_i$ modulo dem von den Bildern der ${\op{d}}f_j$ erzeugten Untermodul mit dem Modul der Differentiale von $\mathcal O(X)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale im allgemeinen Fall}] Sind $k$ ein beliebiger Kring\label{Daffo} und $f_1,\ldots,f_r\in k[T_1,\ldots, T_n]$ Polynome und $A\pdef k[T_1,\ldots, T_n]/\langle f_1,\ldots, f_r\rangle$ der entsprechende Quotient des Polynomrings, so liefert unsere Beschreibung der Differentiale auf Quotienten \ref{DsK} zusammen mit unseren Erkenntnissen \ref{DifPP} "uber die Differentiale von Polynomringen einen Isomorphismus $$\left(A{\op{d}}T_1\oplus\ldots \oplus A{\op{d}}T_n\right)/\langle{\op{d}}f_1,\ldots, {\op{d}}f_r\rangle \;\sira\; \Omega_{A/k}$$ des freien $A$-Moduls "uber der Basis der ${\op{d}}T_i$ modulo dem von den Bildern der ${\op{d}}f_j$ erzeugten Untermodul mit dem Modul der Differentiale von $A$ "uber $k$. Dasselbe gilt allgemeiner f"ur beliebig viele Variablen und beliebig viele Relationen, wenn wir also in anderen Worten jeweils auch unendliche Familien zulassen. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir erinnern f"ur jeden $A$-Modul $M$ aus \ref{FuDer} die linksexakte Sequenz der Derivationen $$ \op{Der}_{B} (A,M) \hra \op{Der}_k (A,M) \ra \op{Der}_k (B , M)$$ Mit \ref{UMD} wird daraus eine linksexakte Sequenz $$ \op{Hom}_A (\Omega_{A/B }, M) \hra \op{Hom}_A (\Omega_{A/k}, M) \ra \op{Hom}_{B } (\Omega_{B /k}, M) $$ Identifizieren wir den letzten Raum dieser Sequenz mit $\op{Hom}_A (A \otimes_{B } \Omega_{B /k}, M)$ unter Zuhilfenahme der universellen Eigenschaft von Skalarerweiterungen \eref{F2}{KAG}, so erhalten wir daraus mit \eref{res}{KAG} die behauptete Rechtsexaktheit der Sequenz $$ \Omega_{A/B } \twoheadleftarrow \Omega_{A/k} \leftarrow A\otimes_{B } \Omega_{B /k}$$ Ist $\varphi : B \sra A$ surjektiv, so gilt $\op{Der}_B (A,M)=0$ f"ur jeden $A$-Modul $M$ nach \ref{FuDer} und folglich $\Omega_{A/B} =0$ nach der universellen Eigenschaft \ref{UMD}. Weiter haben wir dann wieder nach \ref{FuDer} f"ur jeden $A$-Modul $M$ die Beschreibung der Derivationen auf Quotienten durch die linksexakte Sequenz $$ \op{Der}_k (A,M) \hra \op{Der}_k (B,M) \ra \op{Hom}_k (\op{ker}\varphi,M)$$ Wie zuvor schreiben wir sie um zu einer linksexakten Sequenz $$ \op{Hom}_A (\Omega_{A/k}, M) \hra \op{Hom}_{B } (\Omega_{B /k}, M) \ra \op{Hom}_k (\op{ker}\varphi,M)$$ und mit der universellen Eigenschaft von Skalarerweiterungen \eref{F2}{KAG} weiter zu einer linksexakten Sequenz $$ \op{Hom}_A (\Omega_{A/k}, M) \hra \op{Hom}_{A } (A\otimes_B\Omega_{B /k}, M) \ra \op{Hom}_A (A\otimes_k\op{ker}\varphi,M)$$ Mit \eref{res}{KAG} folgt die Rechtsexaktheit der Sequenz \begin{displaymath} \Omega_{A/k} \twoheadleftarrow A\otimes_{B} \Omega_{B /k}\leftarrow A\otimes_k\op{ker}\varphi \end{displaymath} und man sieht leicht, da"s deren erste Abbildung "uber $A\otimes_B\op{ker}\varphi$ faktorisiert. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erzeuger f"ur Moduln von Differentialen}] Ist $k$ ein Kring und ist der $k$-Kring $A$ eine Lokalisierung des von den Elementen $a_1,\ldots, a_n$ "uber $k$ erzeugten Teilrings $k[a_1,\ldots, a_n]$, so erzeugen die Differentiale ${\op{d}}a_1,\ldots, {\op{d}}a_n$ den Modul der Differentiale $\Omega_{A/k}$. Das folgt unmittelbar aus der Beschreibung der Differentiale von Polynomringen \ref{DifPP}, der Beschreibung der Differentiale von Quotienten \ref{DsK} und der Vertr"aglichkeit mit Lokalisierungen \ref{DifLo}. Ist allgemeiner $W\subset A$ eine Teilmenge derart, da"s $A$ eine Lokalisierung von $k[_!W]$ ist, so erzeugen mit denselben Argumenten die ${\op{d}}a$ mit $a\in W$ bereits den Modul der Differentiale $\Omega_{A/k}$.\label{ErzKD} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Differentialen mit Koprodukten}] Gegeben ein Kring $k$ und $k$-Kringe $A, B$ zeige man, da"s es genau einen Isomorphismus $$(\Omega_{A/k}\otimes_kB)\oplus (A\otimes_k\Omega_{B/k}) \sira \Omega_{(A\otimes_k B)/k}$$ gibt mit $({\op{d}}a_1\otimes b_1, a_2\otimes {\op{d}}b_2) \mapsto (1\otimes b_1){\op{d}}(a_1\otimes 1)+(a_2\otimes 1){\op{d}}(1\otimes b_2)$. Hinweis: \ref{DerTP}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Differentialen mit Kolimites}] Man zeige, da"s das Bilden des Moduls der Differentiale vertr"aglich ist mit filtrierenden Kolimites von $k$-Kringen.\label{ODL} Gegeben ein Kring $k$ und ein K"ocher $\mathcal I$ und ein System $R_i\in\op{Car}(\mathcal I,\op{Kring}^k)$ von $k$-Kringen mit dem Kolimes $R\pdef \op{col}_{i\in\mathcal I}R_i$ zeige man st"arker, da"s f"ur nicht notwendig filtrierende Systeme die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$\op{col}_{i\in\mathcal I}(R\otimes_{R_i}\Omega_{R_i/k})\sira \Omega_{R/k}$$ ist. Hinweis: Derivationen sind nach \ref{VDKo} vertr"aglich mit Kolimites. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Seien $k\ra A$ ein Kringhomomorphismus und $E\subset A$ ein Erzeugendensystem von $A$ als $k$-Ringalgebra. Man zeige, da"s die Differentiale $\diff a$ f"ur $a\in E$ bereits den Modul der Differentiale $\Omega_{A/k}$ als $A$-Modul erzeugen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ erinnern wir aus \eref{vbMO}{KAG} die Konstruktion des B"undels ${\op{V}}(M)$ zu einem endlich erzeugten $\mathcal O(X)$-Modul $M$ und setzen\index{T@${\op{T}}X$ Tangentialb"undel!von Variet"at} $${\op{T}}X\pdef {\op{V}}(\Omega_{\mathcal O(X)/k})$$ und nennen diese affine Variet"at das {\bf Tangentialb"undel von $X$}.\index{Tangentialb"undel!von Variet"at} Nach \eref{vbMO}{KAG} tr"agt das Tangentialb"undel die Struktur eines geometrischen Moduls auf $X$ und ist f"ur glattes $X$ nach \ref{GMD} und \eref{VeBue}{KAG} sogar ein Vektorb"undel. Man konstruiere nat"urliche Isomorphismen zwischen den \nichtfinal{(Geometrische Halme? Fasern? B"undel versus geometrisches B"undel?)} Fasern des Tangentialb"undels und unseren Tangentialr"aumen ${\op{T}}_xX$. Hinweis: Man erinnere aus \ref{KdDi} den nat"urlichen Isomorphismus $k_x\otimes_{\mathcal O(X)}\Omega_{\mathcal O(X)/k}\sira {\op{T}}^\ast_x X$. \end{Ubunge} \subsection{Transzendenz und Separabilit"at} \begin{Lemma}[\textbf{Differentiale und separable Erweiterungen}] Seien $k\subset F\subset E$ K"orper. Ist $E /F$ separabel, so induziert die Einbettung $F\hra E$ einen Isomorphismus\label{Difsep} \begin{displaymath} E\otimes_{F }\Omega_{F /k}\sira \Omega_{E/k} \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Eine K"orpererweiterung hei"st wie in \eref{DefS}{AL} separabel, wenn sie algebraisch ist und dar"uber hinaus jedes Element des Erweiterungsk"orpers eine einfache Nullstelle seines Minimalpolynoms "uber dem Grundk"orper.\label{DesFF} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s die auf den Dualr"aumen induzierte Abbildung ein Isomorphismus ist, da"s sich also jede $k$-Derivation $F \ra E$ auf genau eine Weise zu einer $k$-Derivation $E \ra E$ ausdehnen l"a"st. Dazu reicht es zu zeigen, da"s sich f"ur jedes $\alpha \in E$ jede $k$-Derivation $F \ra E$ auf genau eine Weise zu einer $k$-Derivation $F(\alpha ) \ra E$ ausdehnen l"a"st. Nach Annahme haben wir $ F (\alpha ) = F[T] / \langle P(T)\rangle$ f"ur ein irreduzibles Polynom $P \in F [T]$ mit $P^\prime (\alpha ) \neq 0$. Nach der zweiten Funktorialit"at f"ur Derivationen \ref{FuDer} haben wir eine linksexakte Sequenz $$ \op{Der}_k (F(\alpha ),E) \hra \op{Der}_k (F[T],E) \ra \op{Hom}_k (\langle P(T)\rangle,E)$$ Nach \ref{DerTP} ist eine $k$-lineare Derivation $D$ von $ F [T]=F\otimes_k k[T ]$ in den durch $T\mapsto \alpha $ zu einem $F[T]$-Modul gemachten K"orper $E$ festgelegt und festlegbar durch ihre Einschr"ankung $\partial$ auf $F$ und ihren Wert $\beta\in E$ bei $T$. Diese Derivation $D=D_\beta$ kann dann beschrieben werden als $D_\beta:Q\mapsto (\partial Q)(\alpha )+ \beta Q'(\alpha )$, wobei $\partial Q$ das Polynom in $E[T]$ meint, das durch Anwenden von $\partial$ auf die Koeffizienten von $Q$ entsteht. Wegen $P'(\alpha )\neq 0$ gibt es genau ein $\beta\in E$ mit $D_\beta(P)=0$, und dies $D_\beta$ induziert dann die einzig m"ogliche Fortsetzung von $\partial$ zu einer $k$-linearen Derivation $F(\alpha )\ra E$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung im geometrischen Fall}] F"ur einen Homomorphismus $M\ra N$ von endlich erzeugten projektiven Moduln "uber dem Ring $\mathcal O(X)$ der regul"aren Funktionen auf einer irreduziblen affinen Variet"at $X$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Unser Morphismus wird bijektiv nach Lokalisierung aller von Null verschiedenen Elemente von $\mathcal O(X)$; \item Unser Morphismus wird bijektiv nach Lokalisierung eines von Null verschiedenen Elements $f\in\mathcal O(X)\backslash 0$; \item Es gibt eine offene dichte Teilmenge $U\co X$ derart, da"s unser Homomorphismus Bijektionen $k_x\otimes_{\mathcal O(X)}M\sira k_x\otimes_{\mathcal O(X)}N$ auf den geometrischen Halmen induziert f"ur alle $x\in U$; \item Es gibt einen Punkt $x\in X$ derart, da"s unser Homomorphismus bei $x$ eine Bijektion $k_x\otimes_{\mathcal O(X)}M\sira k_x\otimes_{\mathcal O(X)}N$ auf dem geometrischen Halm induziert. \end{enumerate} Das folgt aus der Exaktheit der Lokalisierung, der Beschreibung des Kerns der nat"urlichen Abbildung eines Moduls in seine Lokalisierung, dem Nakayamalemma und dem Spalten surjektiver Homomorphismen auf projektive Moduln. Betrachten wir nun einen dominanten Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von irreduziblen glatten affinen Variet"aten, so sind die Moduln der Differentiale projektiv nach \ref{GMD}. Wenden wir nun unsere Erkenntnisse auf den induzierten Homomorphismus $\mathcal O(X)\otimes_{\mathcal O(Y)}\Omega_{\mathcal O(Y)/k}\ra \Omega_{\mathcal O(X)/k}$ an, so finden wir mit den Vertr"aglichkeiten \ref{DifLo} von Differentialen mit Lokalisierung und der Beschreibung \ref{KdDi} des Kotangentialraums als geometrischer Halm des Moduls der Differentiale, da"s gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item Die zu $X\ra Y$ geh"orige K"orpererweiterung $\mathcal M(Y)\hra \mathcal M(X)$ liefert einen Isomorphismus $\mathcal M(X)\otimes_{\mathcal M(Y)}\Omega_{\mathcal M(Y)/k}\sira \Omega_{\mathcal M(X)/k}$; \item Nach Vorschalten der Einbettung der Nichtnullstellenmenge eines von Null verschiedenen Elements $f\in\mathcal O(X)\backslash 0$ induziert unser Morphismus einen Isomorphismus $\mathcal O(X_f)\otimes_{\mathcal O(Y)}\Omega_{\mathcal O(Y)/k}\sira \Omega_{\mathcal O(X_f)/k}$; \item Es gibt eine offene dichte Teilmenge $U\co X$ derart, da"s unser Morphismus f"ur alle $x\in U$ Isomorphismen ${\op{T}}^*_{\varphi(x)}Y\sira {\op{T}}^*_{x}X$ auf den Kotangentialr"aumen induziert; \item Es gibt einen Punkt $x\in X$ derart, da"s unser Morphismus einen Isomorphismus ${\op{T}}^*_{\varphi(x)}Y\sira {\op{T}}^*_{x}X$ auf den Kotangentialr"aumen induziert. \item Es gibt eine offene dichte Teilmenge $U\co X$ derart, da"s unser Morphismus f"ur alle $x\in U$ Isomorphismen ${\op{T}}_{x}X\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}Y$ auf den Tangentialr"aumen induziert; \item Es gibt einen Punkt $x\in X$ derart, da"s unser Morphismus einen Isomorphismus ${\op{T}}_{x}X\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}Y$ auf den Tangentialr"aumen induziert. \end{enumerate} In \ref{mght} zeigen wir noch wesentlich st"arkere Aussagen in dieser Richtung. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Differentiale primitiver K"orpererweiterungen}] Gegeben eine primitive K"orpererweiterung $F(\alpha)/F$ gilt\label{RDPK} $$\op{dim}_{F(\alpha)} \Omega_{F(\alpha)/F} = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{ falls }\alpha \text{ separabel ist "uber } F;\\ 1 & \text{ falls }\alpha \text{ algebraisch, aber nicht separabel ist "uber } F;\\ 1 & \text{ falls }\alpha \text{ transzendent ist "uber } F.\\ \end{array} \right.$$ \end{Lemma} \begin{proof} Der Modul der Differentiale des Polynomrings $F[T]$ "uber $F$ ist frei vom Rang Eins nach \ref{DifPP}. Der Modul der Differentiale seines Quotientenk"orpers $F(T)$ "uber $F$ ist frei vom Rang Eins nach der Vertr"aglichkeit mit Lokalisierungen \ref{DifLo}. Ist also $\alpha$ transzendent "uber $F$, so haben wir $\op{dim}_{F(\alpha)} \Omega_{F(\alpha)/F} = 1$. Sonst haben wir eine Surjektion $F[T]\sra F(\alpha)$ mit $T\mapsto\alpha$, deren Kern vom Minimalpolynom $P$ von $\alpha$ erzeugt wird. Damit haben wir nach unseren Erkenntnissen "uber die Differentiale von Quotienten \ref{DsK} eine Surjektion $F(\alpha)\otimes_{F[T]}F[T]{\op{d}}T \sra \Omega_{F(\alpha)/F} $, deren Kern von $1\otimes {\op{d}}P=1\otimes P'(T){\op{d}}T =P'(\alpha)\otimes{\op{d}}T $ erzeugt wird. Damit gilt $\op{dim}_{F(\alpha)} \Omega_{F(\alpha)/F} = 1$ falls $P'(\alpha)=0$ und $\op{dim}_{F(\alpha)} \Omega_{F(\alpha)/F} = 0$ falls $P'(\alpha)\neq 0$. Im Lichte des Separabilit"atskriteriums \eref{SE}{AL} ist aber eine primitive algebraische K"orpererweiterung $F(\alpha)/F$ genau dann separabel, wenn f"ur das Minimalpolynom $P$ eines Erzeugers $\alpha$ gilt $P'(\alpha)\neq 0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \eref{EzTKK}{AL}, da"s eine K"orpererweiterung $E/F$ {\bf k"or\-per\-end\-lich} hei"st, wenn der Erweiterungsk"orper "uber dem Grundk"orper als K"orper endlich erzeugt ist, wenn es also in Formeln endlich viele Elemente $x_1,\ldots,x_n\in E$ gibt mit $E=F(x_1,\ldots,x_n)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Der Modul der Differentiale einer k"orperendlichen K"orpererweiterung verschwindet genau dann,\label{EKVD} wenn sie separabel ist. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Das folgende Beispiel zeigt, da"s das vorhergehende Lemma nicht auf beliebige K"orpererweiterungen verallgemeinert werden kann.\label{bKEs} Sei $k$ ein K"orper positiver Charakteristik $p>0$ und $k(T)$ sein Funktionenk"orper. Die durch sukzessives Adjungieren der $p$-ten Wurzeln der Variablen entstehende K"orpererweiterung $$\bigcup_{r=0}^\infty k\left(\sqrt[p^r]{T}\right)$$ des Funktionenk"orpers ist algebraisch und rein inseparabel, aber der Modul ihrer relativen Differentiale verschwindet nach \ref{ODL} dennoch. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Sei $E/F$ unsere K"orpererweiterung. Ist unsere Erweiterung separabel, so verschwindet der Modul ihrer Differentiale nach unseren Erkenntnissen zu Differentialen bei separablen K"orpererweiterungen \ref{Difsep} und der rechtsexakten Sequenz der Differentiale \ref{DsK}. Verschwindet umgekehrt der Modul der Differentiale, so zeigen wir die Behauptung durch Induktion "uber die Zahl der Erzeuger. Haben wir etwa $E=F(x_1,\ldots, x_n)$, so betrachten wir die rechtsexakte Sequenz $$E\otimes_F\Omega_{F(x_1)/F}\ra \Omega_{E/F}\sra \Omega_{E/F(x_1)}$$ In der Mitte steht nach Annahme eine Null. Also steht auch am rechten Ende eine Null und nach Induktionsannahme ist $E/F(x_1)$ separabel. Nach nach unseren Erkenntnissen zu Differentialen bei separablen K"orpererweiterungen \ref{Difsep} ist also die nat"urliche Abbildung ein Isomorphismus $$E\otimes_{F(x_1)}\Omega_{F(x_1)/F}\sira \Omega_{E/F}$$ Mithin haben wir $\Omega_{F(x_1)/F}=0$ und nach \ref{RDPK} ist $F(x_1)/F$ separabel. Dann aber ist wegen der Transitivit"at der Separabilit"at \eref{MSZ}{AL} auch $E/F$ separabel. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Differentiale k"orperendlicher K"orpererweiterungen}] Seien $E/k$ eine k"orperendliche K"orpererweiterung und $x_1,\ldots, x_r \in E$ gegeben. So erzeugen\label{DkK} die Differentiale ${\op{d}}x_1,\ldots, {\op{d}}x_r $ den Modul der Differentiale $\Omega_{E/k}$ genau dann, wenn $E$ \hyperref[DesFF]{separabel} ist "uber $k(x_1,\ldots,x_r)$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Beispiel \ref{bKEs} zeigt, da"s das f"ur nicht k"orperendliche K"orpererweiterungen im allgemeinen nicht mehr gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $E/k$ eine k"orperendliche K"orpererweiterung. Die erste Aussage des Satzes impliziert die Absch"atzung $\dim_E \Omega_{E/k} \geq \op{trgr} (E/k)$ sowie im Fall von Gleichheit die Existenz einer Transzendenzbasis $x_1,\ldots,x_r$ mit $E$ separabel "uber $k(x_1,\ldots,x_r)$. Der im Anschlu"s bewiesene Satz \ref{AUKL} impliziert, da"s f"ur vollkommenes $k$ sogar\label{gTRE} stets $\dim_E \Omega_{E/k} = \op{trgr} (E/k)$ gilt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir erinnern aus \ref{DsK} die rechtsexakte Sequenz der Differentiale \begin{displaymath} E\otimes_{F } \Omega_{F/k}\ra \Omega_{E/k} \sra \Omega_{E/F } \end{displaymath} f"ur jeden Zwischenk"orper $F$. Erzeugen die ${\op{d}}x_i$ den Modul der Differentiale $\Omega_{E/k}$, so zeigt f"ur $F=k(x_1,\ldots, x_r)$ die rechtsexakte Sequenz der Differentiale $\Omega_{E/F}=0$ und nach \ref{EKVD} ist folglich $E$ separabel "uber $F$. Umgekehrt wird f"ur $F=k(x_1,\ldots, x_r)$ nach \ref{ErzKD} stets $\Omega_{F/k}$ erzeugt von den ${\op{d}}x_i$, und ist zus"atzlich $E$ separabel "uber $F=k(x_1,\ldots, x_r)$, so folgt aus dem Verschwinden des Moduls der relativen Differentiale \ref{Difsep} und unserer rechtsexakten Sequenz, da"s auch der Modul der Differentiale $\Omega_{E/k}$ von ${\op{d}}x_1, \ldots, {\op{d}}x_r$ erzeugt wird. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Differentiale und algebraische Unabh"angigkeit}] Sei $E/k$ eine K"orpererweiterung eines vollkommenen K"orpers $k$ und seien\label{AUKL} $x_1,\ldots, x_r \in E$ gegeben. Sind die Differentiale ${\op{d}}x_1,\ldots, {\op{d}}x_r $ linear unabh"angig "uber $E$, so sind die $x_1,\ldots, x_r $ algebraisch unabh"angig "uber $k$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das erlaubt uns, auch in positiver Charakteristik den Beweis unseres Satzes \eref{IVHF}{KAG} zu Ende zu bringen, nach dem jede irreduzible Variet"at birational ist zu einer Hyperfl"ache, und vervollst"andigt damit insbesondere auch in positiver Charakteristik den Beweis unserer Proposition \eref{gSod}{KAG}, nach der in jeder Variet"at die glatten Punkte eine dichte offene Teilmenge bilden. Uns h"atte es auch gereicht, wenn wir nur h"atten zeigen k"onnen, da"s jee nichtleere Variet"at mindestens einen glatten Punkt hat, abe auch daf"ur kenne ich keinen einfacheren Beweis.\label{glPu} Es folgt sofort, da"s jede algebraische Gruppe und sogar jeder homogene Raum glatt sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen gleichbedeutend, da"s wenn die $x_i$ algebraisch abh"angig sind, da"s dann auch ihre Differentiale linear abh"angig sind. Sind die $x_i$ algebraisch abh"angig "uber $k$, so gibt es per definitionem ein von Null verschiedenes Polynom $P\in k[T_1,\ldots, T_r]\backslash 0$ mit $P(x_1,\ldots, x_r)=0$. Dann gibt es auch ein derartiges Polynom $P$ von kleinstm"oglichem Totalgrad. Eine partielle Ableitung dieses Polynoms $P$ kann also nur dann auf $(x_1,\ldots, x_r)$ verschwinden, wenn sie das Nullpolynom ist. Andererseits kann aber $P$ nicht konstant sein. W"aren also alle partiellen Ableitungen $\partial_iP$ das Nullpolynom, so w"aren wir in positiver Charakteristik $p>0$ und f"anden ein Polynom $R$ mit $R(T_1^p,\ldots, T_r^p)=P(T_1,\ldots, T_r)$. Da $k$ vollkommen ist, g"abe es dann ein Polynom $Q\in k[T_1,\ldots,T_r]$ mit $Q^p=P$, im Widerspruch zur Minimalit"at des Grades von $P$. Also gibt es einen Index $i$ mit $(\partial_iP)(x_1,\ldots,x_r)\neq 0$ und die Identit"at $$\big((\partial_1P)(x_1,\ldots,x_r)\big){\op{d}}x_1+\ldots +\big((\partial_rP)(x_1,\ldots,x_r)\big){\op{d}}x_r={\op{d}}\big(P(x_1,\ldots,x_r)\big)=0$$ im Modul der Differentiale $\Omega_{E/k}$ bedeutet die lineare Abh"angigkeit der ${\op{d}}x_i$. Das ist der gesuchte Widerspruch. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Morphismen mit generisch bijektivem Differential}] F"ur einen Morphismus $\varphi : X \rightarrow Y$ von irreduziblen Variet"aten sind gleichbedeutend:\label{mght} \begin{enumerate} \item Unser Morphismus $\varphi$ ist dominant und die zugeh"orige K"orpererweiterung $\mathcal M (X) / \mathcal M (Y)$ ist separabel; \item Unser Morphismus $\varphi$ ist dominant und es gibt einen Punkt in $X$ mit glattem Bildpunkt, an dem das Differential von $\varphi$ injektiv ist; \item Wir haben $\op{kdim}X\leq \op{kdim}Y$ und es gibt einen glatten Punkt in $X$, an dem das Differential von $\varphi$ surjektiv ist; \item Es gibt einen glatten Punkt in $X$, an dem das Differential von $\varphi$ bijektiv ist; \item Es gibt eine nichtleere offene Teilmenge von $X$, an deren Punkten das Differential von $\varphi$ bijektiv ist. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit seien $X$ und $Y$ affin. \\[2mm]\noindent 3$\RA$4\&2. Gegeben ein glatter Punkt $x \in X$ mit $\tiff_x \varphi$ surjektiv haben wir in \ref{DiDo} gezeigt, da"s unser Morphismus dominant sein mu"s und $\varphi(x)$ ein glatter Punkt von $Y$. Wenn wir zus"atzlich $\op{kdim}Y\geq\op{kdim} X$ annehmen, folgt $\tiff_x \varphi$ bijektiv. \\[2mm]\noindent 4$\RA$3. Gegeben ein glatter Punkt $x \in X$ mit $\tiff_x \varphi$ surjektiv ist wie bereits bemerkt nach \ref{DiDo} unser Morphismus dominant und der Bildpunkt glatt. Ist dann $\tiff_x \varphi$ sogar bijektiv, so folgt die Gleichheit der Dimensionen $\op{kdim}Y=\op{kdim} X$ aus der Gleichheit der Dimensionen der Tangentialr"aume. \\[2mm]\noindent 2$\RA$4. Ist unser Morphismus dominant, so gilt $\op{kdim}X\geq\op{kdim}Y$. Aus der Injektivit"at des Differentials an einer Stelle mit glattem Bildpunkt folgt so die Bijektivit"at ebenso wie die Glattheit des Ausgangspunkts. \\[2mm]\noindent 4$\RA$1. Ist das Differential an einem glatten Punkt $x$ eine Bijektion $\tiff_x \varphi:{\op{T}}_{x} X\sira {\op{T}}_{\varphi (x)} Y $, so ist die duale Abbildung auch eine Bijektion $\tiff_x^\ttop \varphi:{\op{T}}_{\varphi (x)}^* Y\sira {\op{T}}_{x}^* X$ auf den Kotangentialr"aumen, was hinwiederum bedeutet, da"s unser kanonischer Morphismus $\mathcal O (X)\otimes_{\mathcal O (Y)}\Omega_{\mathcal O (Y)/k} \ra\Omega_{\mathcal O (X) / k} $ eine Bijektion alias $$k_{\varphi (x)}\otimes_{\mathcal O (Y)}\Omega_{\mathcal O (Y)/k} \sira k_x \otimes_{\mathcal O (X)}\Omega_{\mathcal O (X) / k} $$ induziert. In dieser Situation aber zeigt das Lemma von Nakayama, da"s es eine Funkion $f\in \mathcal O (X)$ gibt mit $f(x) \neq 0$ derart, da"s die kanonische Abbildung eine Surjektion \begin{equation*} \mathcal O (X) [f^{-1}] \otimes_{\mathcal O (Y)}\Omega_{\mathcal O (Y)/k} \twoheadrightarrow \mathcal O (X) [f^{-1}]\otimes_{\mathcal O (X)}\Omega_{\mathcal O (X) / k} \end{equation*} induziert. Aus der Vertr"aglichkeit von Differentialen mit Lokalisierung folgt, da"s die nat"urliche Abbildung eine Surjektion \begin{equation*} \mathcal M (X) \otimes_{\mathcal M (Y)} \Omega_{\mathcal M (Y)/k} \twoheadrightarrow \Omega_{\mathcal M (X) / k} \end{equation*} liefert, und das hinwiederum impliziert mit der rechtsexakten Sequenz \ref{DsK} der Differentiale $\Omega_{\mathcal M (X) / \mathcal M (Y)} =0$. Nach \ref{EKVD} mu"s dann $\mathcal M (X)/\mathcal M (Y)$ separabel sein und wir haben 4$\RA$1 gezeigt. \\[2mm]\noindent 1$\RA$5. Das zeigt man, indem man obige Argumentation r"uckw"arts liest: Aus der Separabilit"at der Erweiterung der Funktionenk"orper folgt mit \ref{EKVD}, da"s der Homomorphismus \begin{equation*} \mathcal O (X) \otimes_{\mathcal O (Y)}\Omega_{\mathcal O (Y)/k} \rightarrow \Omega_{\mathcal O (X) / k} \end{equation*} von endlich erzeugten $\mathcal O(X)$-Moduln unter Skalarerweiterung zu $\mathcal M (X)$ eine Surjektion wird. Daraus folgt, da"s wir schon nach Lokalisierung an einem geeigneten Element $f\in\mathcal O(X)\backslash 0$ eine Surjektion erhalten. Daraus folgt, da"s f"ur alle Nichtnullstellen von $f$ die induzierte Abbildung eine Surjektion ${\op{T}}_{\varphi (x)}^* Y\sra {\op{T}}_{x}^* X$ ist und das Differential folglich eine Injektion ${\op{T}}_{x} X\hra {\op{T}}_{\varphi (x)} Y$. F"ur alle Punkte $x\in X_f$ mit glattem Bildpunkt zeigt dann ein Dimensionsvergleich, da"s das Differential eine Bijektion ${\op{T}}_{x} X\sira{\op{T}}_{\varphi (x)} Y$ sein mu"s. Nach \ref{glPu} bilden die glatten Punkte jedoch in jeder Variet"at eine offene dichte Teilmenge. \\[2mm]\noindent 5$\RA$4. Das ist klar.\end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Variante zu Zariski's Hauptsatz}] Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ ein bijektiver Morphismus von affinen irreduziblen\index{Zariski!Hauptsatz!f"ur affine Variet"aten} Variet"aten und sei $\mathcal O (Y)$ normal. Gibt es einen glatten Punkt $x\in X$, an dem das Differential eine Surjektion $\tiff_x \varphi : {\op{T}}_x X \twoheadrightarrow {\op{T}}_{\varphi (x)} Y$ induziert, so ist $\varphi$ ein Isomorphismus\label{AZVV} $$\varphi : X \sira Y$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir wissen aus \ref{MeF}, da"s ein bijektiver Morphismus von irreduziblen Variet"aten stets zu einer endlichen rein inseparablen Erweiterung der Funktionenk"orper f"uhrt. In Charakteristik Null ist jede endliche rein inseparable K"orpererweiterung trivial und damit, wie bereits in \ref{efds} erw"ahnt, unsere Bedingung an das Differential "uberfl"ussig. In positiver Charakteristik impliziert nach \ref{mght}, 3$\RA$1 die zus"atzliche Bedingung an das Differential, da"s unsere rein inseparable K"orpererweiterung auch separabel und mithin trivial ist. Wieder folgt also, da"s unser Morphismus birational ist und damit nach dem Hauptsatz von Zariski \ref{ZHSSS} ein Isomorphismus. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Isomorphismen homogener R"aume}] Ein bijektiver "aquivarianter Morphismus von homogenen R"aumen ist ein Isomorphismus genau dann, wenn sein Differential an einer\label{iHHR} Stelle surjektiv ist. Im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null ist er stets ein Isomorphismus. \end{Satz} \begin{proof} Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ unser bijektiver Morphismus und $G$ unsere algebraische Gruppe. Nach \ref{DimF} haben unsere beiden Variet"aten dieselbe Dimension und nach \ref{KoHR} haben sie auch dieselben irreduziblen Komponenten und diese sind homogene R"aume f"ur $G^\circ$, so da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X$ und $Y$ irreduzibel annehmen d"urfen. Nach \ref{mght} induziert unser Morphismus dann eine separable K"orpererweiterung $\mathcal M(X)/\mathcal M(Y)$ und nach \ref{affan} ist diese K"orpererweiterung trivial, weil alle Fasern unseres Morphismus einelementig sind. Also ist unser Morphismus von homogenen R"aumen birational und damit nach \ref{birH} ein Isomorphismus. \end{proof} %\subsubsection*{"Ubungen} %\begin{Ubung} % Seien $E$ ein K"orper der Charakteristik Null % und $\partial:E\ra E$ eine von Null verschiedene % Derivation und $k\pdef \{e\in E\mid \partial e=0\}$ der % K"orper der Konstanten. So ist der Modul der Differentiale\label{tHZ} % $\Omega_{E/k}$ eindimensional und $E/k$ hat den Transzendenzgrad % $\op{trgr}_kE=1$. Hinweis: \ref{gTRE}. %\end{Ubung} \subsection{Konstruktion von Quotienten} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir in \eref{DeVah}{KAG} allgemeine $k$-Variet"aten als spezielle $k$-geringte R"aume eingef"uhrt hatten. Ich erinnere daran, wie wir in \eref{FiSuA}{KAG} f"ur jede Abbildung $f:X\ra Y$ von einem $k$-geringten Raum $X$ in eine Menge $Y$ die \glqq finale Struktur eines $k$-geringten Raums auf $Y$\grqq\ eingef"uhrt hatten. Ich erinnere schlie"slich daran, da"s nach \eref{soff}{KAG} ein Morphismus $f:X\ra Y$ {\bf produktfest offenfinal} hei"st, wenn er offen und final ist und f"ur jede affine und damit sogar f"ur jede beliebige Variet"at $Z$ auch $f\times\op{id}:X\times Z\ra Y\times Z$ offen und final ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotienten affiner algebraischer Gruppen}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ mit einer abgeschlossenen Untergruppe $H \As G$ gilt:\label{QaaG} \begin{enumerate} \item Die Menge $G/H$ mit ihrer finalen Struktur eines $k$-geringten Raums zur Projektion $ G \sra G/H$ ist eine quasiprojektive Variet"at; \item Das Differential der Einbettung der Untergruppe und das Differential der Projektion auf die Quotientenvariet"at bilden zusammen eine kurze exakte Sequenz ${\op{T}}_e H \hookrightarrow {\op{T}}_e G \twoheadrightarrow {\op{T}}_{\bar{e}} (G/H)$; \item Die Operation $ G\times G/H\ra G/H$ ist ein Morphismus von Variet"aten. \item Die Projektion $ G \sra G/H$ ist produktfest offenfinal. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist der Quotientenmorphismus $G\sra G/H$ flach nach \ref{HHR} als Morphismus von schwach homogenen R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In der Terminologie \eref{GQPT}{KAG} existiert unter den Annahmen des Satzes also die Bahnenvariet"at und hat im Sinne von \eref{GQPT}{KAG} einen produktfesten Bahnenmorphismus. In der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten wird eine analoge Aussage in \eref{QuKo}{ML} gezeigt. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir finden nach \ref{DfQQ} eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $V$ von $G$ mitsamt einem von Null verschiedenen Vektor $v\in V\backslash 0$ derart, da"s gilt $H=\{g\in G\mid gv\in kv\}$ und $\op{Lie}H=\{X\in \op{Lie}G\mid Xv\in kv\}$. Dann betrachten wir die Wirkung von $G$ auf $\DP V$, die nach \eref{OPGL}{KAG} algebraisch ist, da n"amlich $V\backslash 0\ra \mathbb P V$ nach \eref{PrUSn}{KAG} produktfest offenfinal ist. Darin betrachten wir dann die Bahn $ G\langle v\rangle$ von $ \langle v\rangle$. Sie ist als Bahn einer algebraischen $G$-Operation nach \ref{BOAA} eine lokal abgeschlossene Teilmenge von $\DP V$ und erbt so eine Struktur als Variet"at mit $G$-Wirkung. Das Differential von $(\cdot v):G\ra V$ beim neutralen Element wird per definitionem gegeben durch $\op{richt}\big((\tiff_e(\cdot v))(X)\big)=Xv$ und nach der Beschreibung \ref{TRPV} der Tangentialr"aume des projektiven Raums haben wir weiter mit den offensichtlichen Morphismen eine linksexakte Sequenz $${\op{T}}_eH \hra {\op{T}}_e G \ra {\op{T}}_{\langle v\rangle} (G\langle v\rangle) $$ Ein Dimensionsvergleich unter Verwendung der Dimensionsformel \ref{DimF} zeigt, da"s diese Sequenz sogar exakt sein mu"s. Sobald wir zeigen, da"s $\pi:G\ra G\langle v\rangle$ final ist, sind die drei ersten Teile des Satzes also bewiesen. Satz \ref{HHR} "uber Morphismen homogener R"aume zeigt schon einmal, da"s $\pi$ flach und damit produktfest offen ist. Gegeben $U\co G\langle v\rangle$ mit Urbild $W\pdef\pi^{-1}(U) \co G$ und eine Abbildung $f:U\ra k$ mit $f\circ \pi:W\ra k$ regul"ar gilt es f"ur die ersten drei Teile also nur noch zu zeigen, da"s auch $f$ bereits regul"ar ist. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir dabei $U$ affin annehmen. F"ur den Graphen $\Gamma (f)\subset U\times k$ gilt nun sicher $$(\pi\times\op{id})^{-1}(\Gamma (f))=\Gamma (f\circ \pi)$$ Mit $\pi$ ist auch $\pi\times\op{id}$ flach und folglich offen. Es folgt $\Gamma (f)\As U\times k$. Damit erbt $\Gamma (f)$ die Struktur einer affinen Variet"at und die Projektion liefert einen bijektiven Morphismus $\Gamma (f)\ra U$. Es reicht zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist, denn dann ist auch $f$ ein Morphismus als die Komposition $$U\sila \Gamma (f)\hra U\times k\sra k$$ Nun ist nach \ref{glPu} aber $U$ glatt als offene Teilmenge eines homogenen Raums und $\Gamma (f)$ hat mindestens einen glatten Punkt. Nach unserer affinen Variante \ref{AZVV} von Zariski's Hauptsatz reicht es also zu zeigen, da"s $\Gamma (f)\ra U$ in jedem Punkt surjektives Differential hat. Um das zu sehen, betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} \Gamma(f\circ \pi)&\ra &\Gamma(f)\\ \da\wr&&\da\\ W&\ra&U \end{array} $$ und sehen, da"s es reicht zu zeigen, da"s $W\ra U$ in jedem Punkt surjektives Differential hat. Das haben wir jedoch bereits zu Beginn des Beweises aus einer Dimensionsabsch"atzung gefolgert. Um auch noch den vierten Teil zu zeigen, wiederholen wir unser Argument in einer etwas gr"o"seren Algemeinheit. Der Morphismus $\pi : G \twoheadrightarrow G/H$ ist ja affin nach \eref{afM}{KAG} als Morphismus von einer affinen Variet"at in eine separierte Variet"at. F"ur $U \co G/H$ offen affin ist also $\pi^{-1} (U)$ auch affin und das Vorschalten von $\pi$ induziert nach dem, was wir bereits wissen, einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathcal O (U) \sira \mathcal O (\pi^{-1} (U))^H \end{equation*} Ist $Y$ eine weitere affine Variet"at, so induziert das Vorschalten von $\op{id} \times \pi$ also den oberen horizontalen Isomorphismus eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O (Y) \otimes \mathcal O (U) \ar[dd]_-\wr \ar[r]^-\sim & \mathcal O (Y) \otimes \mathcal O (\pi^{-1} (U))^H \ar[d]^-\wr\\ &\left( \mathcal O (Y) \otimes \mathcal O (\pi^{-1} (U))\right)^H \ar[d]^-\wr\\ \mathcal O (Y\times U) \ar[r]& \mathcal O (Y \times \pi^{-1} (U))^H } \end{displaymath} Dessen oberer rechter vertikaler Isomorphismus folgt aus \eref{UgTZ}{LA2}, die "ubrigen vertikalen Isomorphismen sind offensichtlich. Die untere Horizontale mu"s dann auch ein Isomorphismus sein und Teil 4 folgt. \end{proof} \nichtfinal{\begin{proof}[Alternativer Beweis nach Knop] Wir fangen an der Stelle an, an der wir wissen, da"s $\Gamma(f)\ra U$ birational ist. Es folgt $\mathcal M(G\langle v\rangle)\sira \mathcal M(G)^H$. Andererseits k"onnen wir nach \eref{FRE}{KAG} unser $U$ so zu einer nichtleeren affinen offenen irreduziblen Teilmenge verkleinern, da"s $\mathcal O(\pi^{-1}(U))$ ein freier $\mathcal O(U)$-Modul wird. Wenn wir zus"atzlich $G$ irreduzibel annehmen, daf"ur m"ussen wir vorneweg noch etwas argumentieren, so folgt aus \eref{NeL}{KAG} sofort $$\mathcal O(U)=\mathcal M(U)\cap \mathcal O(\pi^{-1}(U)) =\mathcal M(\pi^{-1}(U))^H\cap \mathcal O(\pi^{-1}(U))=\mathcal O(\pi^{-1}(U))^H $$ mit einem in $\mathcal M(\pi^{-1}(U))$ zu verstehenden Schnitt, was zu zeigen war. Homogenit"at zeigt den Rest. \end{proof}} \begin{Lemma} Seien $H \As G$ affine algebraische Gruppen und $\iota:H\hra G$ die Einbettung. So gibt es eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $V$ von $G$ mit einem Teilraum $W\subset V$ derart, da"s gilt\label{TGHB} \begin{displaymath} H = \{ g \in G \mid g W \subset W\}\quad\text{ und }\quad \tiff\iota:\op{Lie} H \sira \{ X \in \op{Lie} G \mid X W \subset W\}. \end{displaymath}\end{Lemma} \begin{proof} Wir konstruieren $V$ als Unterdarstellung der rechtsregul"aren Darstellung $(\mathcal O (G), \rho)$ von $G$. Seien $f_1, \ldots, f_r \in \mathcal O (G)$ Erzeuger des Verschwindungsideals $\mathcal I(H)$ von $H$. Wir finden eine endlichdimensionale Unterdarstellung $V \subset \mathcal O (G)$ mit $f_1, \ldots, f_r \in V$ und setzen $W \pdef V \cap \mathcal I (H)$. F"ur $g \in G$ folgt aus $g W \subset W$ dann $f_i (h g) = 0$ f"ur alle $h \in H$ und $1 \leq i \leq r$. Insbesondere folgt das f"ur $h =1$ und wir folgern $g \in H$. Weiter finden wir f"ur ein Element $X\in\op{Lie}G$ mit der linksinvarianten Fortsetzung $\xi$ nach unserer Beschreibung \ref{dRd} der Ableitung der rechtsregul"aren Darstellung \begin{displaymath} \begin{array}[b]{ccl} X W \subset W & \Rightarrow & (\xi f_i) |{H} = 0 \text{ f"ur } 1 \leq i \leq r\\ & \Rightarrow &\xi (\mathcal I (H)) \subset \mathcal I (H)\\ &\Rightarrow &\text{Es gibt } \bar \xi \in \op{Der}_k \mathcal O (H) \text{ mit } \bar \xi (f | H) = (\xi f) | H\;\;\forall f\in\mathcal O(G)\\ &\Rightarrow &\bar \xi \text{ ist linksinvariant und } X = \tiff\iota (\bar \xi _e)\\ & \Rightarrow& X \in \tiff\iota(\op{Lie} H) \end{array} \end{displaymath} und das war gerade zu zeigen. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $k$ ein K"orper und $ V$ ein $k$-Vektorraum mit einem Teilraum $W\subset V$ der Dimension $\dim W = d < \infty$. So gilt:\label{FPVV} \begin{enumerate} \item F"ur $x \in \op{GL} (V)$ ist $x W = W$ gleichbedeutend zu $x (\bigwedge^d W) = \bigwedge^d W$; \item F"ur $X \in \op{\frak g l} (V)$ ist $X W \subset W$ gleichbedeutend zu $X (\bigwedge^d W) \subset \bigwedge^d W$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Indem wir eine Basis von $W\cap xW$ nach vorne und hinten entsprechend erg"anzen, finden wir Vektoren in $V$ derart, da"s $v_1 , \ldots, v_d$ eine Basis von $W$ ist und $v_{i+1}, \ldots, v_{i+d}$ eine Basis von $x W$. Dann gibt es eine Konstante $c \in k^\times$ mit $x (v_1 \wedge \ldots \wedge v_d) = c (v_{i+1} \wedge \ldots \wedge v_{i +d})$. Aus $x (\bigwedge^d W) = \bigwedge^d W$ folgt also $i =0$ und damit $x W = W$. Das zeigt die erste Aussage. F"ur den Beweis der zweiten Aussage beachten wir \begin{equation*} X (v_1 \wedge \ldots \wedge v_d) = \sum_\nu v_1 \wedge \ldots \wedge X v_\nu \wedge \ldots\wedge v_d \end{equation*} unter der abgeleiteten Operation der Lie-Algebra nach \ref{LIAW}. Machen wir den Ansatz $X v_\nu = \sum^{d}_{\mu} a_{\nu \mu} v_\mu$ f"ur eine Erg"anzung von $v_1,\ldots, v_d$ zu einer Basis von $V$ durch gewisse weitere $v_\mu$, so folgt aus $X (\bigwedge^d W) \subset \bigwedge^d W$ bereits $a_{\nu\mu} = 0$ f"ur $\mu \not\in\{1,\ldots,d\}$ und damit die Behauptung. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $H \As G$ affine algebraische Gruppen und $\iota:H\hra G$ die Einbettung gibt es eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $V_1$ von $G$ mit einem von Null verschiedenen Vektor $v\in V_1\backslash 0$ derart, da"s gilt\label{DfQQ} \begin{displaymath} H = \{ g \in G \mid g v\in kv\}\quad\text{ und }\quad \tiff\iota:\op{Lie} H \sira \{ X \in \op{Lie} G \mid X v\in k v\}. \end{displaymath}\end{Lemma} \begin{proof} Wir gehen von der Darstellung $V$ mit ihrem Teilraum $W$ aus, wie sie in Lemma \ref{TGHB} konstruiert worden sind, setzen $d=\op{dim}W$ und $V_1\pdef \bigwedge^dV$ und $W_1\pdef \bigwedge^dW$ und nehmen als $v$ irgendeinen von Null verschiedenen Vektor aus $W_1$. Nach \ref{FPVV} leistet dieses Datum das Gew"unschte. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quotienten unipotenter Gruppen sind affin}] Der Quotient einer unipotenten affinen algebraischen Gruppe $U$ nach einer %unipotenten abgeschlossenen\label{QuU} Untergruppe $H\subset U$ ist stets affin. Um das zu sehen, mag man die Konstruktion des Quotienten aus dem Beweis von \ref{QaaG} wiederholen und nach \ref{DfQQ} eine endlichdimensionale Darstellung $V$ von $U$ finden und darin eine Gerade $kv$, deren Stabilisator genau $H$ ist und f"ur die zus"atzlich gilt $\op{Lie}H=\{X\in\op{Lie}U\mid Xv\in kv\}$. Dann mu"s $kv$ nach \ref{uPG} bereits die Einsdarstellung von $H$ sein und die Wirkung liefert einen bijektiven Morphismus $U/H\sira Uv$ unseres Quotienten auf die Bahn von $v$ mit ihrer induzierten Struktur als Variet"at, der nach \ref{iHHR} ein Isomorphismus sein mu"s. Die fragliche Bahn aber ist als Bahn einer unipotenten Gruppe in der affinen Variet"at $V$ abgeschlossen in $V$ nach \ref{BUg}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotienten nach abgeschlossenen Normalteilern}] Der Quotient einer affinen algebraischen Gruppe nach einem abgeschlossenen Normalteiler ist stets wieder eine affine algebraische Gruppe.\label{QuoG} \end{Satz} \begin{proof} Seien $G$ unsere affine algebraische Gruppe und $N \As G$ unser Normalteiler. Die Inversenbildung auf $G/N$ ist ein Morphismus aufgrund der Finalit"at der Projektion $G \twoheadrightarrow G/N$. Die Multiplikation auf $G/N$ ist ein Morphismus aufgrund der Finalit"at der Projektion $G \times G \rightarrow G/N \times G/N$, die wir hinwiederum aus der Faktorisierung $G \times G \twoheadrightarrow G/N \times G \twoheadrightarrow G/N \times G/N$ in nach Teil 4 von \ref{QaaG} finale Morphismen folgern. Alternativ k"onnten wir die Finalit"at der Projektion $G \times G \rightarrow G/N \times G/N$ auch zeigen, indem wir den induzierten bijektiven Morphismus von homogenen R"aumen $(G \times G)/(N\times N) \rightarrow G/N \times G/N$ betrachten und ihn durch Bestimmen des Differentials am neutralen Element als Isomorphismus entlarven. Damit bleibt nur zu zeigen, da"s $G/N$ affin ist. Dazu konstruieren wir im folgenden einen endlichdimensionalen Vektorraum $W$ und einen Gruppenhomomorphismus $\psi: G \rightarrow \op{GL} (W)$ mit Kern $N$ und der Eigenschaft, da"s die Sequenz $\op{Lie} N \hookrightarrow \op{Lie} G \rightarrow \op{Lie} \op{GL} (W)$ linksexakt ist. Dann folgern dann mit Satz \ref{iHHR} "uber Isomorphismen homogener Variet"aten, da"s $\psi$ einen Isomorphismus $$G/N\sira \psi(G)$$ nach $\psi(G)$ mit seiner von $\op{GL}(W)$ induzierten Struktur induziert und das beendet den Beweis, da wir bereits aus \ref{BiHAg} wissen, da"s $\psi(G)\As \op{GL}(W)$ eine abgeschlossene Untergruppe sein mu"s. Es bleibt also, einen Gruppenhomomorphismus $\psi$ wie oben zu konstruieren. Nach \ref{DfQQ} finden wir eine Darstellung $\varphi : G \rightarrow \op{GL} (V) $ und $v \in V \backslash 0$ mit $N = \op{Stab} (kv)$ und $\op{Lie} N \sira \{ X \in \op{Lie} G \mid X v \in k v\}$. Gegeben ein Charakter $\chi \in \frak X (N)$ betrachten wir den zugeh"origen Gewichtsraum $V_\chi \subset V$ nach \ref{Gewr} und d"urfen $V =\bigoplus V_\chi$ annehmen, da $N$ ein Normalteiler ist und folglich die Summe der $V_\chi$ stets ein $G$-stabiler Teilraum und da unser ausgezeichneter Vektor $v$ stets zu einem Gewichtsraum geh"oren mu"s. Dann betrachten wir \begin{equation*} W \pdef \{ f \in \op{End} V \mid f (V_\chi) \subset V_\chi \; \forall \chi\} \end{equation*} und $\psi : G \rightarrow \op{GL}(W)$ gegeben durch $(\psi (x)) f \pdef \varphi (x) f \varphi (x^{-1})$ f"ur $x \in G$ und $f \in W$. Dann ist $\psi (x) = \op{id}_W$ gleichbedeutend zu $\varphi (x) f = f \varphi (x)$ f"ur alle $f \in W$ und es folgt sofort $N\subset \op{ker}\psi$. In Bezug auf eine geeignete Basis von $V$ besteht nun $W$ aus allen blockdiagonalen Matrizen mit einer durch die Dimensionen der $V_\chi$ festgelegten Blockstruktur. Die Bedingung $x\in\op{ker}\psi$ alias $\varphi (x) f = f \varphi (x)$ f"ur alle $f \in W$ ist also gleichbedeutend zu $\varphi (x) V_\chi \subset V_\chi$ und $\varphi (x) | V_\chi \in k\op{id}$ f"ur alle $\chi$. Da nun unser ausgezeichneter Vektor $v$ in einem der $V_\chi$ liegt, impliziert das auch $\varphi (x)v\in kv$ und damit $x \in N$. Wir haben also $N = \op{ker} \psi$. Der analoge Nachweis von $\op{Lie} H \sira \op{ker} \tiff \psi$ kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Quotienten nach reduktiven Gruppen sind affin}] Jeder Quotient einer affinen algebraischen Gruppe $G$ nach einer im Sinne von \ref{drg} reduktiven Untergruppe $H\As G$ ist affin. Ich kenne den Beweis nur im Fall der Charakteristik Null, in dem die Behauptung leicht aus \eref{GAQ}{KAG} folgt. Ein Satz von Matsushima besagt feiner, da"s ein Quotient einer reduktiven Gruppe nach einer abgeschlossenen Untergruppe genau dann affin ist, wenn auch die Untergruppe reduktiv ist. \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ und eine nat"urliche Zahl $m\in \DN $ hei"st die Menge aller $m$-dimensionalen Untervektorr"aume von $V$ die {\bf Gra"smann'sche}\index{Gra"smann'sche} {\bf der $m$-dimensionalen Teilr"aume von $V$} und wird\index{Grass@$\op{Gra"s}$ Gra"smann'sche} notiert\index{Gr@$\op{Gr}$ Gra"smann'sche} $$\op{Gra"s} (m;V)=\op{Gr} (m;V)\pdef\{ W \subset V \mid \op{dim} W =m\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Auf unseren Gra"smann'schen operiert die Gruppe $\op{GL}(V)$ in offensichtlicher Weise, und diese Operation ist transitiv, sofern die Gra"smann'sche nicht leer ist. Um die Gra"smann'schen n"aher zu untersuchen, realisieren wir sie als Teilmengen von projektiven R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ liefert die Abbildungsvorschrift $ W \mapsto \bigwedge^{m} W$ eine Injektion, die \emph{\bf Pl"ucker-Einbettung}\index{Pl"ucker-Einbettung}\label{PlEE} $${\textstyle \bigwedge^{m}: \op{Gr} (m;V) \hookrightarrow \Bbb{P} \left(\bigwedge^{m}V\right)} $$ Im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers $(k=\bar k)$ ist das Bild der Pl"ucker-Einbettung abgeschlossen in der Zariski-Topologie. \end{Lemma} \begin{proof} Unsere Abbildung ist injektiv, da gilt $W =\{ v \in V \mid v \wedge \bigwedge^{m} W =0\}$. Um ihr Bild zu beschreiben, betrachten wir umgekehrt f"ur ein beliebiges $\omega \in \bigwedge^{m} V$ den Teilraum $$\op{ker}(\omega\wedge) =\{ v \in V \mid \omega \wedge v=0\}$$ Erg"anzen wir eine Basis $v_{1}, \ldots , v_{l}$ von $\op{ker}(\omega\wedge)$ durch $v_{l+1}, \ldots, v_{n}$ zu einer Basis von $V$ und schreiben $\omega$ in der zugeh"origen Basis der "au"seren Potenzen, so erkennen wir, da"s es im Fall $\omega \neq 0$ ein $\eta$ gibt mit $\omega = v_{1} \wedge \ldots \wedge v_{l} \wedge \eta$. Wir haben also $\omega \neq 0 \;\Rightarrow\; \op{dim} \op{ker}(\omega\wedge) = l \leq |\omega|=m$, und $${\textstyle \op{dim} \op{ker}(\omega\wedge)=m \;\;\Leftrightarrow\;\; k \omega = \bigwedge^{m} \op{ker}(\omega\wedge) \in \op{im} \bigwedge^{m}}$$ Die Bedingung $\op{dim} \op{ker}(\omega\wedge) \geq m$ ist nun aber offensichtlich eine abgeschlossene Bedingung an $\omega \in \bigwedge^{m} V$, deshalb ist unser Bild abgeschlossen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $\varphi : X \rightarrow Y$ ein surjektiver \label{ZhS} Morphismus mit endlichen Fasern von affinen irreduziblen Variet"aten und sei $\mathcal O (Y)$ normal. Man zeige $$\mathcal O(Y)= \mathcal O(X)\cap\mathcal M(Y)$$ alias, ganz pedantisch geschrieben, $\varphi^\sharp \mathcal O(Y)=\mathcal O(X)\cap \varphi^\sharp \mathcal M(Y)$. Hinweis: "Ahnlich wie beim Beweis von \ref{ZHSSS} zeige man in den Notationen dort zun"achst $\varphi^\sharp:\mathcal O (Y)_{\frak q} \sira \mathcal O (X)_{\frak p}\cap \varphi^\sharp \mathcal M(Y)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $K\As H\As G$ affine algebraische Gruppen, so ist die offensichtliche Abbildung $H/K\hra G/K$ eine abgeschlossene Einbettung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Struktur als Quotient nach abgeschlossener Untergruppe}] Sei $X$ eine Menge mit einer transitiven Operation einer affinen algebraischen Gruppe $G$. Ist die Standgruppe $G_x$ eines Punktes $x\in X$ abgeschlossen, so sind die Standgruppen aller Punkte abgeschlossen und\label{VHRR} es gibt genau eine Struktur als algebraische Variet"at auf $X$, f"ur die alle durch die Gruppenwirkung gegebenen Abbildungen $G/G_x\ra X$ Isomorphismen von Variet"aten sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine diagonalisierbare algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper wird die Sequenz $G^\circ\hra G\sra G/G^\circ$ unter dem Charakterfunktor $\mathfrak X$ die Sequenz $\mathfrak X_{\op{tor}}\hra \mathfrak X\sra \mathfrak X/\mathfrak X_{\op{tor}}$ in der Gegenrichtung. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die Komposition\index{PGL@$\op{PGL}(2;k)$} $$\op{SL}(2;k)\hra \op{GL}(2;k)\sra \op{PGL}(2;k)\pdef \op{GL}(2;k)/k^\times$$ "uber einen Isomorphismus $\op{PSL}(2;k)\sira \op{PGL}(2;k)$ unserer in \ref{PSL2} definierten Gruppe faktorisiert.\label{PGL2} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s in Charakteristik Null jede unipotente affine algebraische Gruppe zusammenh"angend ist.\label{ZURE} Hinweis: Man betrachte ihren Quotient nach der Einskomponente. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s gegeben eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $V$ der multiplikativen Gruppe $k^\times$ die Bahn $Y$ jedes Punktes des projektiven Raums $\DP V$ entweder ein Punkt ist oder als Variet"at isomorph zu $k^\times$ selber.\label{HRTT} Man zeige genauer, da"s $Y$ sogar als homogener Raum isomorph ist zu $k^\times$ mit der durch einen nichtkonstanten Gruppenhomomorphismus $k^\times\ra k^\times$ gegebenen Wirkung von $k^\times$. Hinweis: Wenn man bereit ist, \ref{AHVV} zu verwenden, so kann man gleich "Ubung \ref{KLIO} machen. Der Punkt hier ist, \ref{AHVV} zu vermeiden. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Jeder\label{KLIO} homogene Raum eines Torus ist affin. Hinweis: \ref{AHVV}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Homogene R"aume aufl"osbarer Gruppen}] Jeder homogene Raum einer aufl"osbaren affinen algebraischen Gruppe ist affin. Hinweis: Man verwende im Vorgriff \ref{MTAG}. Indem man einen geeigneten maximalen Torus der gro"sen Gruppe geeignet verkleinert, rette man sich mit \ref{AHVV} in den Fall \ref{QuU} eines Quotienten einer unipotenten Gruppe. \end{Ubunge} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Sei $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum. Man zeige, da"s auf den Gra"smann'schen $\op{Gr}(m;V)$ die Struktur Quotient von $\op{GL}(V)$ nach einer abgeschlossenen Unterruppe "ubereinstimmt mit der induzierten Struktur in Bezug auf die Pl"ucker-Einbettung $ \bigwedge^{m}: \op{Gr} (m;V) \hookrightarrow \Bbb{P} \left(\bigwedge^{m}V\right) $ aus \ref{PlEE}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Unter einer {\bf vollst"andigen Fahne}\index{Fahne!vollst"andige} von Untervektorr"aumen eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ versteht man eine Folge von Untervektorr"aumen\label{FahMm} \begin{equation*} V = V_n \supset V_{n-1} \supset \ldots \supset V_1 \supset V_0 =0 \end{equation*} mit $\dim V_i =i$. Die Menge aller derartigen Fahnen notieren wir $\mathcal F (V)$. Auf dieser Menge operiert die Gruppe $\op{GL}(V)$ in offensichtlicher Weise und diese Operation ist transitiv. Man zeige, da"s $\mathcal F(V)$ im Fall $k=\bar k$ mit seiner Struktur als Quo\-tient nach einer abgeschlossenen Untergruppe aus \ref{VHRR} eine projektive Variet"at wird. Sie hei"st die \defind{Flaggenvariet"at} oder \defind{Fahnenmannigfaltigkeit} von $V$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine monoton fallende Folge $\lambda_0\geq \lambda_1\geq \ldots$ nat"urlicher Zahlen verstehen wir unter einer {\bf Fahne vom Typ $\lambda$}\index{Fahne} von Untervektorr"aumen eines vorgegebenen endlichdimensionalen Vektorraums $V$ eine Folge von Untervektorr"aumen\label{FahMmn} \begin{equation*} V = V_0 \supset V_{1} \supset \ldots \end{equation*} mit $\dim V_i =\lambda_i$. Die Menge aller derartigen Fahnen notieren wir $\mathcal F_\lambda (V)$. Auf dieser Menge operiert die Gruppe $\op{GL}(V)$ in offensichtlicher Weise, und diese Operation ist auch sicher transitiv. Man zeige, da"s auch $\mathcal F_\lambda(V)$ im Fall $k=\bar k$ mit seiner Struktur als homogener Raum aus \ref{VHRR} eine projektive $k$-Variet"at wird. Sie hei"st eine {\bf partielle Flaggenvariet"at}\index{partiell!Flaggenvariet"at} oder {\bf partielle Fahnenmannigfaltigkeit}.\index{partiell!Fahnenmannigfaltigkeit} \end{Ubung} \subsection{Liealgebren von Zentralisatoren} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebra des Schnitts zweier abgeschlossener Untergruppen}] Gegeben $H, K \As G$ abgeschlossene Untergruppen einer affinen algebraischen Gruppe liefert die universelle Eigenschaft\label{SLI} des ersten Quotienten einen injektiven Morphismus $c:H /(H\cap K) \hra G / K$ und wir erhalten ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} \op{Lie} (H \cap K)&\hra&\op{Lie} H &\sra&{\op{T}}_{\bar e} (H /H\cap K )\\ \cap&&\cap&&\da\tiff_{\bar e} c\\ \op{Lie} K&\hra&\op{Lie} G &\sra&{\op{T}}_{\bar e} (G / K ) \end{array}$$ Wir sehen mit einer Diagrammjagd oder auch durch Anwenden der langen exakten Homologiesequenz \eref{KeSK}{TS}, da"s die rechte obere Horizontale in diesem Diagramm einen Isomorphismus $(\op{Lie} H \cap \op{Lie} K)/\op{Lie} (H \cap K)\sira \op{ker}\tiff_{\bar e} c $ induziert. Genau dann ist also $\tiff_{\bar e} c$ injektiv, wenn gilt $\op{Lie} (H \cap K) = \op{Lie} H \cap \op{Lie} K$. Das Bild unseres Morphismus $c$ ist nun genau die $H$-Bahn $HK/K\subset G/K$. Nach Satz \ref{iHHR} "uber Isomorphismen von homogenen R"aumen hat unser Morphismus genau dann injektives Differential, wenn er einen Isomorphismus $c:H /H\cap K \sira HK / K$ induziert, und im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null ist das stets der Fall. Insbesondere gilt in Charakteristik Null stets $$\op{Lie} (H \cap K) = \op{Lie} H \cap \op{Lie} K$$ Weiter gilt in Charakteristik Null notwendig \begin{equation*} \op{Lie} H \subset \op{Lie} K \Rightarrow H^\circ \subset K \end{equation*} In der Tat, aus $\op{Lie} H \subset \op{Lie} K$ folgt $\op{Lie} H = \op{Lie} H \cap \op{Lie} K = \op{Lie} (H \cap K)$ und damit $\op{kdim} H = \op{kdim} (H \cap K)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper positiver Charakteristik $p>0$. In $G\pdef(k^2,+)$ haben die beiden abgeschlossenen Untergruppen $H\pdef\{(x,y)\mid y=0\}$ und $K\pdef\{(x,y)\mid y=x^p\}$ denselben Tangentialraum im neutralen Element. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zentralisator}] Seien $G$ eine Gruppe und $x \in G$. Wir bezeichnen mit $$\begin{array}{rl} G^x\pdef G^{\op{int}x}=&\{g\in G\mid\op{int}_x(g)=g \}=\{g\in G\mid xg=gx\}\\ =\op{Z}_G(x)=G_x=&\{g\in G\mid\op{int}_g(x)=x \}=\{g\in G\mid gx=xg\} \end{array} $$ die Menge der Fixpunkte in $G$ unter der Operation von $x$ durch Konjugation alias die Isotropiegruppe von $x$ in Bezug auf Operation durch Konjugation von $G$ auf sich selbst. Diese Untergruppe $G^x$ hei"st der {\bf Zentralisator von $x$}.\index{Zentralisator} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebrenzentralisator}] Gegeben $x \in G$ ein Element in einer algebraischen Gruppe betrachten wir die Unterliealgebra $$(\op{Lie}G)^x\pdef (\op{Lie}G)^{\op{Ad}x}= \{Y\in \op{Lie}G\mid \op{Ad}_xY=Y\}$$ und nennen sie den {\bf Liealgebren-Zentralisator von $x$}.\index{Liealgebrenzentralisator} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebren von Zentralisatoren}] Gegeben $x \in G$ ein Element in einer algebraischen Gruppe ist die Liealebra des Zentralisators stets enthalten im Liealgebrenzentralisator, in Formeln\label{SDGL} $$\op{Lie}(G^x)\subset (\op{Lie}G)^x$$ Das folgt aus der allgemeinen Tatsache, da"s f"ur jeden Automorphismus $\varphi$ einer algebraischen Gruppe $G$ gilt $\op{Lie}(G^\varphi)\subset (\op{Lie}G)^{\tiff\varphi}$. Das hinwiederum war Ihnen als "Ubung \ref{fpli} aufgegeben. Im folgenden werden wir verschiedene Situationen kennenlernen, in denen hier Gleichheit gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur $x \pdef {(^{1}_{0}}\; {^{1}_{1})} \in G=\op{SL}_2 (k)$ mit $\op{char}k=2$ erhalten als Zentralisator $ G^x = \left\{ {(^{1}_{0}}\; {^{b}_{1})}\right\} $ und als Liealgebrenzentralisator $(\op{Lie}G)^x\;\; = \left\{ {(^{a}_{0}}\; {^{b}_{a})}\right\}$. In diesem Fall gilt also $\op{Lie}(G^x)\subsetneq (\op{Lie}G)^x$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebren von Zentralisatoren in allgemeinen linearen Gruppen}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorraum $V$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper gilt im Fall der allgemeinen linearen Gruppe $\op{GL}(V)$ f"ur alle Elemente $x\in \op{GL}(V)$ die Gleichheit $$\op{Lie} (\op{GL}(V)^x) = (\op{Lie} \op{GL}(V))^x $$ In der Tat ist in diesem Fall $ \op{GL}(V)^x$ ist schlicht der Schnitt von $\op{GL} (V)$ mit dem Bild $\op{richt}(\op{Lie} \op{GL}(V))^x $ der Invarianten in der Liealgebra unter unserer "ublichen Identifikation $\op{richt}:\op{Lie}\op{GL}(V) \sira \op{End} (V)$.\label{LZGL} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Liealgebren von Zentralisatoren, Variante}] Gegeben $H \As G$ eine abgeschlossene Untergruppe einer algebraischen Gruppe und $x \in {\op{N}}_G(H)$ setzen wir allgemeiner $H^x\pdef H^{\op{int}x}$ und $(\op{Lie}H)^x\pdef(\op{Lie}H)^{\op{Ad}x}$ und haben wie zuvor $$\op{Lie} (H^x) \subset (\op{Lie}H)^x$$ Im Fall affiner algebraischer Gruppen in Charakteristik Null gilt dann sogar die Gleichheit $\op{Lie} (H^x) = (\op{Lie}H)^x$,\label{Zcho} denn wir k"onnen $G = \op{GL} (V)$ annehmen und dann folgt $$ \op{Lie} (H^x) = \op{Lie} (H \cap G^x) = \op{Lie} H \cap \op{Lie} (G^x) = \op{Lie} H \cap (\op{Lie} G)^x = (\op{Lie}H)^x $$ mit der zweiten Gleichung nach unserer Erkenntnis \ref{SLI}, da"s Charakteristik Null die Liealgebra eines Schnitts von Untergruppen der Schnitt der Liealgebren ist, und der dritten Gleichung nach unserer Bestimmung \ref{LZGL} der Liealgebra eines Zentralisators in einer allgemeinen linearen Gruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Liealgebren der Zentralisatoren halbeinfacher Elemente}] Gegeben $H \As G$ affine algebraische Gruppen gilt f"ur jedes halbeinfache Element $s \in {\op{N}}_G(H)$ des Normalisators von $H$ die Identi"at\label{LZeH} \begin{equation*} \op{Lie} (H^s) = (\op{Lie} H)^s \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ein Automorphismus eines affinen algebraischen Monoids hei"st {\bf halb\-ein\-fach},\index{halbeinfach!Automorphismus von algbraischer Gruppe} wenn sein Komorphismus halbeinfach ist. Die vorgeschlagene L"osung von "Ubung \ref{EinbA} zeigt, da"s es gegeben ein affines algebraisches Monoid $H$ mit einem halbeinfachen Automorphismus $\sigma$ stets einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und eine abgeschlossene Einbettung $\rho:H\hra \op{End}(V)$ und ein halbeinfaches Element $s\in\op{GL}(V)$ gibt mit $\rho\circ\sigma=\op{int}_s\circ\rho$. Insbesondere folgt aus unserem Satz auch f"ur jeden halbeinfachen Automorphismus $\sigma$ einer affinen algebraischen Gruppe $H$ die Identit"at \begin{equation*} \op{Lie} (H^\sigma) = (\op{Lie} H)^{\tiff\sigma} \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Man betrachte den Morphismus $\alpha : G \rightarrow G$, $g \mapsto g s g^{-1}s^{-1}$. Sein Bild $\alpha (G) = C (s) s^{-1}$ ist die mit $s^{-1}$ von rechts verschobene Konjugationsklasse von $s$ und das Bild $\alpha (H) = C_H (s)s^{-1}$ von $H$ die entsprechend verschobene Bahn von $s$ unter der Operation durch Konjugation von $H$ auf $G$. Andererseits gilt $\tiff_e \alpha : X \mapsto X - \op{Ad}_s(X)$ f"ur alle $X \in \op{Lie}G$, wie Sie bereits in \ref{VoUb} gezeigt haben sollten. Ein Dimensionsvergleich zeigt, da"s die Gleichheit im Satz "aquivalent ist zur Surjektivit"at des Differentials $\tiff_e \alpha : {\op{T}}_e H\rightarrow {\op{T}}_e (\alpha (H))$. Nun k"onnen wir sicher $G = \op{GL} (V)$ annehmen. Damit ist die Surjektivit"at $\tiff_e \alpha : {\op{T}}_e G \rightarrow {\op{T}}_e (\alpha (G))$ bereits durch die Bemerkungen gegen Ende von \ref{SDGL} gesichert. Ist aber ganz allgemein $f:V\ra V$ diagonalisierbar und $W\subset V$ ein unter $f$ stabiler Teilraum, so gilt $W\cap f(V)=f(W)$, denn beide Seiten sind die Summe der Eigenr"aume zu von Null verschiedenen Eigenwerten von $f:W\ra W$. Da $s$ halbeinfach angenommen war, k"onnen wir diese Erkenntnis auf $f=\tiff_e\alpha=\op{id}-{\op{Ad}}_s$ anwenden und erhalten die Surjektivit"at $\tiff_e \alpha : {\op{T}}_e H\sra {\op{T}}_e H\cap {\op{T}}_e (\alpha (G))$ und wegen $\alpha(H)\subset H$ a forteriori die Surjektivit"at $\tiff_e \alpha : {\op{T}}_e H\sra {\op{T}}_e (\alpha (H))$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Konjugationsklassen halbeinfacher Elemente}] Gegeben $H \As G$ affine algebraische Gruppen ist f"ur jedes halbeinfache Element $s \in {\op{N}}_G(H)$ des Normalisators von $H$ seine Bahn\label{KheE} unter der Operation von $H$ durch Konjugation eine abgeschlossene Teilmenge $$\{hsh^{-1}\mid h\in H\}\As G$$ Insbesondere ist die Konjugationsklasse jedes halbeinfachen Elements einer affinen algebraischen Gruppe abgeschlossen. \end{Satz} \begin{proof} Wieder reicht es, den Fall $G = \op{GL} (V)$ zu betrachten. Wir setzen $$\mathfrak h\pdef {\op{Lie}}H$$ Die Menge $M = M_s \subset G$ aller Elemente $g \in {\op{N}}_G (H)$, auf denen das Minimalpolynom von $s$ verschwindet und deren charakteristisches Polynom auf $\mathfrak h$ ebenfalls mit dem von $s$ "ubereinstimmt, in Formeln $\op{char} (\op{Ad}_g |\mathfrak h) = \op{char} (\op{Ad}_s |\mathfrak h)$, besteht dann aus halbeinfachen Matrizen, ist eine abgeschlossene Teilmenge $M \As G$ und ist stabil unter Konjugation mit Elementen von $H$. K"onnen wir zeigen, da"s alle Bahnen in $M$ unter der Operation von $H$ durch Konjugation dieselbe Dimension haben, so haben wir gewonnen, da nach \ref{BOAA} alle Bahnen lokal abgeschlossen sind und damit alle Bahnen kleinstm"oglicher Dimension abgeschlossen. Aber f"ur $t \in M$ gilt ja \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \op{kdim} (\op{int} (H) t) &=& \op{kdim} H - \op{kdim} H^t\\ &=&\op{kdim} H - \op{dim} \mathfrak h^t \end{array} \end{displaymath} nach \ref{LZeH} und $\op{dim}\mathfrak h^t$ ist die Vielfachheit von Eins als Eigenwert von $\op{Ad}_t$ auf $\mathfrak h$ und ist nach Konstruktion konstant f"ur $t \in M$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben affine algebraische Gruppen $H\As G$ und eine Teilmenge $X\subset {\op{N}}_G(H)$ setzen wir $H^X \pdef \bigcap_{x\in X}H^x$ sowie $(\op{Lie}H)^X\pdef \bigcap_{x\in X}(\op{Lie}H)^x$. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Liealgebren der Zentralisatoren von Tori}] Gegeben $H \As G$ affine algebraische Gruppen gilt f"ur jede Teilmenge $S \subset {\op{N}}_G(H)_{\op{s}}$ des Normalisators von $H$ aus paarweise kommutierenden halbeinfachen Elementen die Identi"at\label{zGT} \begin{equation*} \op{Lie} (H^S) = (\op{Lie} H)^S \end{equation*} \end{Korollar} \begin{proof} Wir setzen $\mathfrak h\pdef{\op{Lie}}H$ und argumentieren mit Induktion "uber die Dimension $\op{kdim} H$ von $H$ und unterscheiden zwei F"alle. Gilt $\mathfrak h^S = \mathfrak h$, so folgt f"ur alle $s\in S$ erst $\mathfrak h^s = \mathfrak h$ und mit \ref{LZeH} weiter $\op{Lie}(H^s)= \mathfrak h$ und so $H^s\supset H^\circ$. Zusammen erhalten wir $H^S \supset H^\circ$ und dann nat"urlich auch $\op{Lie}(H^S)=\mathfrak h$ und wir brauchen noch nicht einmal die Induktionsannahme. Gilt dahingegen $\mathfrak h^S\neq \mathfrak h$, so gibt es $s \in S$ mit $ \mathfrak h^s \neq \mathfrak h$, a forteriori also $\op{Lie} (H^s) \neq \mathfrak h$, also $\op{kdim}H^s < \op{kdim} H$ und wir k"onnen die Induktionsannahme auf $ H^s$ anwenden und finden \begin{equation*} \op{Lie} (H^S) =\op{Lie} ((H^s)^S) = (\op{Lie} H^s)^S=((\op{Lie} H)^s)^S=(\op{Lie} H)^S \end{equation*} mit der Induktionsannahme im zweiten Schritt und \ref{LZeH} im dritten Schritt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s in $\op{GL}(n;k)$ nur die halbeinfachen Elemente eine abgeschlossene Konjugationsklasse haben. Man gebe eine Formel f"ur die Dimensionen dieser Konjugationsklassen. \end{Ubung} %\begin{Ubung} % Seien $G$ eine affine algebraische Gruppe %und $D \As G$ eine abgeschlossene diagonalisierbare Untergruppe. %So wird $G$ erzeugt von den Zentralisatoren\label{UFX} %${\op{Z}}_G(\op{ker}\chi)$ f"ur $\chi$ aus der Menge %${\op{P}}(\op{Lie}G)\subset \mathfrak X(D)$ %der Gewichte der auf $D$ eingeschr"ankten adjungierten Darstellung. %\end{Ubung} \subsection{Gra"smann'sche und Pl"ucker-Relationen*} \begin{Bemerkungl} Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem K"orper $k$ mit Basis $v_{1},\ldots , v_{n}$. Wir w"ahlen in $\bigwedge^{m}V$ die Basis $v_I$, wo $I$ "uber alle $m$-elementigen Teilmengen $I\subset \{1,\ldots, n\}$ l"auft und wir wie "ublich $v_I\pdef v_{i} \wedge \ldots \wedge v_{j}$ setzen f"ur $i < \ldots < j$ die Gr"o"se nach aufgef"uhrten Elemente von $I$. Die zugeh"origen Koordinatenfunktionen hei"sen die \defind{Pl"ucker-Koordinaten}, das sind also lineare Abbildungen $x_I=x_{i, \ldots, j}:\bigwedge^{m}V\ra k$. Gegeben $\nu\in \{1,\ldots, n\}$ %$\nu\in \{1,\ldots, n\}\backslash I$ bezeichne $\op{sgn} (I,\nu)$ das Vorzeichen \glqq Minus Eins hoch die Anzahl derjenigen Elemente von $I$, die gr"o"ser sind als $\nu$\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Seien $k$ ein K"orper und $V$ ein $k$-Vektorraum und $v_{1},\ldots , v_{n}$ eine Basis von $V$. Seien $x_I:\bigwedge^{m}V\ra k$ f"ur $I\subset \{1,\ldots, n\}$ mit $|I|=m$ die zugeh"origen Pl"ucker-Koordinaten. So ist das Bild unserer eben erkl"arten Einbettung $\bigwedge^{m}: \op{Gr} (m;V) \hookrightarrow \Bbb{P} \left(\bigwedge^{m}V\right)$ die Projektivisierung der L"osungsmenge des folgenden Systems von quadratischen Gleichungen, der sogenannten \emph{\bf Pl"ucker-Relationen\index{Pl"ucker-Relationen}} \begin{equation*} 0= \sum_{\nu \in K\backslash L} \op{sgn} (K,\nu) x_{L\cup \{\nu\}} x_{K \backslash \{\nu\}} \end{equation*} Diese Gleichungen sind dabei f"ur alle $K,L \subset \{1, \ldots ,n\}$ mit $|K| = m +1$ und $|L| = m-1$ zu nehmen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im Spezialfall $m = 2$ und unter der Annahme eines Grundk"orpers einer von zwei verschiedenen Charakteristik ist das auch gleichbedeutend zu der besonders "ubersichtlichen Bedingung $$\omega \wedge \omega = 0$$ In der Tat, $\omega = \sum_{i < j} x_{ij} v_i \wedge v_j$ erf"ullt $\omega \wedge \omega =0$ genau dann, wenn f"ur alle $i < j < k < l$ gilt $2(x_{ij} x_{kl} - x_{ik} x_{jl} + x_{il} x_{jk}) = 0$. Nehmen wir nun oben $L= \{i\}$ und $K = \{j,k,l\}$, so erhalten wir genau diese Gleichungen bis auf den Faktor $2$ und im Fall $L \subset K$ die Gleichungen $0 =0$, die keine zus"atzlichen Bedingungen liefern. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es gilt, die Bedingung $\op{dim} \op{ker}(\omega\wedge) \geq m$ aus dem vorhergehenden Beweis im Fall eines $n$-dimensionalen Raums $V$ mit $n\geq m$ auszuschreiben. Dazu erinnern wir an die beiden nichtausgearteten Paarungen $$\begin{array}{ccl} \bigwedge^{m}V \times \bigwedge^{m} V^{\ast} & \ra & k\\[2mm] (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}, f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{m}) & \mapsto &\op{det} (f_{i}(v_{j}))^{m}_{i,j =1}\\[4mm] \bigwedge^{m}V \times \bigwedge^{n-m} V & \ra & \bigwedge^{n}V\\[2mm] (\omega\;,\; \eta) & \mapsto & \omega \wedge \eta \end{array}$$ Hier und im folgenden vereinbaren wir, da"s das Bilden des Dualraums st"arker bindet als das Bilden "au"serer Potenzen, da"s also $\bigwedge^{m}V^\ast$ a priori als $\bigwedge^{m}(V^\ast)$ zu verstehen ist, auch wenn es darauf ja gar nicht wirklich ankommt, denn die erste Paarung liefert eine kanonische Identifikation $\bigwedge^{m} V^{\ast}\sira (\bigwedge^{m} V)^{\ast}$. Zusammen mit der zweiten Paarung erhalten wir dann einen bis auf Skalar eindeutig bestimmten Isomorphismus $\bigwedge^{m} V\sira \bigwedge^{n-m} V^{\ast}$. Auf die Wahl dieses Skalars kommt es uns nicht an und wir schreiben unseren Isomorphismus $\omega \mapsto \omega^{\ast}$. Bezeichnen wir weiter f"ur einen Teilraum $A\subset B$ seinen Annullator mit $A^\perp\subset B^\ast$, so haben wir f"ur $W \subset V$ einen $m$-dimensionalen Teilraum unter unserem Isomorphismus $\omega \mapsto \omega^{\ast}$ offensichtlich $\bigwedge^{m} W \mapsto \bigwedge^{n-m} (W^{\perp})$. Folglich erf"ullt jedes $\omega$ im Bild von $\op{Gr}(m;V)$ die Gleichung $$\op{ker}(\omega \wedge)^{\perp} = \op{ker}(\omega^{\ast}\wedge)$$ In der Tat sind f"ur $\omega=\bigwedge^{m} W$ schlicht beide Seiten $W^\perp$. Umgekehrt folgt aus dieser Gleichung auch $\op{dim}\op{ker}(\omega \wedge)+ \op{dim}\op{ker}(\omega^\ast \wedge)=n$ und damit definiert unsere Gleichung genau das Bild von $\op{Gr}(m;V)$. Aus Dimensionsgr"unden charakterisiert sogar die Bedingung $(\op{ker}(\omega \wedge))^{\perp} \subset \op{ker}(\omega^{\ast}\wedge)$ bereits das Bild von $\op{Gr}(m;V)$. Weil nun bei jeder linearen Abbildung der Annullator des Kerns mit dem Bild der transponierten Abbildung zusammenf"allt, in Formeln $(\op{ker}f)^\perp=\op{im}(f^\top)$, erhalten wir f"ur $\omega \in \bigwedge^{m}V$ schlie"slich $$ \left( k \omega \text{ liegt im Bild von } \op{Gr} (m;V)\right) \Leftrightarrow \op{im} ((\omega \wedge)^{\top}) \subset \op{ker} (\omega^{\ast} \wedge) $$ Die Wahl des Elements $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n} \in \bigwedge^{n} V$ legt die bis auf einen Skalar definierte Abbildung $\omega\mapsto \omega^\ast$ von oben sogar ganz fest und wir erhalten daf"ur die explizite Beschreibung als die Komposition $$v_{I} \mapsto \op{sgn} (I) v^{\ast}_{I^{c}}$$ mit $I^c$ dem Komplement von $I$ und $\op{sgn} (I)$ dem Signum der Permutation, die die Elemente von $I$ nach vorne schiebt, sonst aber alle Reihenfolgen erh"alt, mit $v_i^\ast$ den Elementen der dualen Basis und $v_J^\ast$ den Elementen der dazu entsprechend gebildeten Basis der Gra"smann-Algebra $\bigwedge V^\ast$. Gegeben $\omega = \sum x_I v_I$ wird $\omega \wedge $ gegeben durch $v_\nu \mapsto\sum_{\nu \not\in I} \op{sgn} (I,\nu) x_I v_{I \cup \{\nu\}}$. Die transponierte Abbildung $(\omega \wedge)^{\top}$ wird also gegeben durch \begin{equation*} v^\ast_K \mapsto \sum_{\nu \in K} \op{sgn} (K,\nu) x_{K\backslash \nu} v^\ast_\nu \end{equation*} Unsere Bedingung $\op{im}(\omega \wedge)^{\top} \subset \op{ker}(\omega^{\ast}\wedge)$ lautet damit dann, da"s f"ur alle $K$ mit $|K| = m +1$ gilt \begin{equation*} 0 = \sum_{\nu \in K}\sum_I \op{sgn} (I) x_I \op{sgn} (K,\nu) x_{K\backslash \nu} v^\ast_{I^{c}} \wedge v_\nu^\ast \end{equation*} Das bedeutet, da"s f"ur alle $L$ mit $|L| = m-1$ der Koeffizient von $v^\ast_{L^{c}}$ Null ist, und da $I^c \cup \{\nu\} = L^c$ gleichbedeutend ist zu $L = I\backslash \nu$, ist das "aquivalent zu den Gleichungen \begin{equation*} 0 = \sum_{\nu \in K\backslash L} \op{sgn} (L\cup \{\nu\}) \op{sgn} (K,\nu) \op{sgn} (L^c, \nu) x_{L\cup \{\nu\}} x_{K \backslash \{ \nu\}} \end{equation*} f"ur alle $K,L \subset \{1, \ldots ,n\}$ mit $|K| = m +1$ und $|L| = m-1$. Nun "uberlegen wir uns noch, da"s $\op{sgn} (L \cup \{\nu\}) \op{sgn} (L^c,\nu)$ f"ur $\nu \not\in L$ von $\nu$ gar nicht abh"angt, und folgern unsere Pl"ucker-Relationen \begin{equation*} 0= \sum_{\nu \in K\backslash L} \op{sgn} (K,\nu) x_{L\cup \{\nu\}} x_{K \backslash \{\nu\}} \end{equation*} Das Bild der Gra"smann'schen im projektiven Raum der entsprechenden "au"seren Potenz ist also die simultane Nullstellenmenge dieser quadratischen Gleichungen f"ur alle $K,L \subset \{1, \ldots ,n\}$ mit $|K| = m +1$ und $|L| = m-1$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Kring $A$ versteht man unter einer {\bf Theorie von Standard-Monomen}\index{Standard-Monome} f"ur $A$ die Angabe einer Teilmenge $\mathcal{A} \subset A$ mitsamt einer Teilordnung darauf derart, da"s die Menge der \glqq nichtfallenden Monome in den Elemten von $\mathcal{A}$\grqq, in Formeln die Menge \begin{equation*} \{ a_1a_2 \ldots a_r \mid r\geq 0,\; a_i \in \mathcal{A}, \; a_1\leq a_2 \leq \ldots \leq a_r\} \end{equation*} eine Basis von $A$ "uber $k$ bildet. \end{Definition} \begin{Beispiel} Man kann zeigen, da"s im homogenen Koordinatenring der Gra"smann'schen $\op{Gr}(m;k^n) \subset \Bbb{P} (\bigwedge^m k^n)$ die Pl"ucker-Koordinaten $x_I$ eine Theorie von Standard-Monomen liefern, wenn man setzt $x_I \leq x_J$, wenn gilt $I=\{i_1, \ldots , i_m\}$ und $J= \{j_1, \ldots, j_m\}$ mit $i_\nu \leq j_\nu\; \forall \nu$. Weiter gibt es eine Anordnung auf der Menge der m"oglichen Monome derart, da"s f"ur $a,b \in \mathcal{A}$ unvergleichbar gilt $ab \in (\text{Standardmonom} +\langle c \mid c < ab \rangle_k)$. Solche Darstellungen von $ab$ hei"sen dann \glqq straithening relations\grqq. Man erh"alt solch eine Anordung laut Literatur, indem man die Bruhatteilordnung zu einer totalen Ordnung erweitert und dazu die lexikographische Ordnung betrachtet. %\emph{Ich hab es noch nicht gepr"uft!} \end{Beispiel} \subsection{Restringierte Lie-Algebren*} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt werden grundlegende Kenntnisse "uber die universelle einh"ullende Algebra einer Liealgebra im Umfang von \eref{UEA}{HL} vorausgesetzt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper positiver Charakteristik $p>0$. Eine {\bf restringierte $k$-Liealgebra}\index{Liealgebra!restringierte} ist\index{restringiert!Liealgebra} ein Paar bestehend aus einer $k$-Liealgebra $\mathfrak g$ und einer Abbildung $\mathfrak g\ra \mathfrak g$, $X\mapsto X^{[p]}$ derart, da"s die drei folgenden Bedingungen erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item Die Abbildung $\xi:\mathfrak g\ra {\op{U}}(\mathfrak g)$, $X\mapsto X^p- X^{[p]}$ von der Liealgebra in ihre universelle Einh"ullende ist ein Homomorphismus von additiven Gruppen; \item F"ur alle $\alpha\in k$ und $X\in \mathfrak g$ gilt $(\alpha X)^{[p]}=\alpha^p X^{[p]}$; \item %F"ur alle $X\in \mathfrak g$ liegt $X^p-X^{[p]}$ im Zentrum der %einh"ullenden Algebra $\op{U}(\mathfrak g)$. F"ur alle $X\in \mathfrak g$ gilt $\op{ad}(X^{[p]})=(\op{ad} X)^p$. \end{enumerate} Die Abbildung $X\mapsto X^{[p]}$ hei"st im Zusammenhang von restringierten Lialgebren die {\bf formale $p$-te Potenz}.\index{Potenz!formale} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Es gilt in obiger Definition sorgf"altig zu unterscheiden zwischen der $p$-ten Potenz $X^p\in{\op{U}}(\mathfrak g)$ in der einh"ullenden Algebra, der $p$-ten Potenz $(\op{ad}X)^p$ im Endomorphismenring $\op{End}(\mathfrak g)$ des Vektorraums $\mathfrak g$ und der formalen $p$-ten Potenz $X^{[p]}\in \mathfrak g$. Offensichtlich ist jede Unteralgebra einer restringierten $k$-Liealgebra, die stabil ist unter $X\mapsto X^{[p]}$, auch ihrerseits eine restringierte $k$-Liealgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Formale $p$-Potenz der allgemeinen linearen Liealgebra}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $ p > 0$ ist $\mathfrak {g l} (V)$ mit $X^{[p]}\pdef X^{(\circ p)} $ der $p$-ten Potenz von $X$ im Endomorphismenring von $V$ eine restringierte Liealgebra. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine $k$-Ringalgebra $(A,\circ)$ ist insbesondere $A_{\op{L}}$ eine restringierte Liealgebra mit $X^{[p]}\pdef X^{(\circ p)}$. Gegeben eine beliebige $k$-Algebra $(A,\circ)$ ist weiter $\op{Der}_kA$ eine restringierte Liealgebra mit $\partial^{[p]}\pdef \partial^{(\circ p)}$, da ja nach \ref{potD} der Teilraum $\op{Der}_kA\subset \op{End}A$ stabil ist unter dem Kommutator und dem Bilden $p$-ter Potenzen. Speziell wird so auch die Liealgebra einer algebraischen Gruppe eine restringierte Liealgebra. Schlie"slich ist f"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ auch die Unteralgebra $\mathfrak{sl}(V)\subset \mathfrak{gl}(V)$ stabil unter $X\mapsto X^{(\circ p)}$, was man durch "Ubergang zu einem gr"o"seren K"orper und Trigonalisierung leicht einsieht, und wird damit ihrerseits eine restringierte Liealgebra. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die zweite Bedingung aus der Definition ist offensichtlich erf"ullt. Wir zeigen als n"achstes die letzte Bedingung. In der Hoffnung, dadurch dem Verst"andnis zu helfen, notieren wir $\circ$ die Multiplikation in $\op{End}(V)$ und verstehen $\op{ad}$ stets in Bezug auf die auf $\mathfrak g\pdef\op{End}(V)$ induzierte Struktur einer Liealgebra. Dahingegen notieren wir die Multiplikation in $\op{End}(\mathfrak g)=\op{End}(\op{End}(V))$ ohne ein spezielles Multiplikationssymbol. Damit finden wir f"ur $X,Y\in\op{End}(V)$ im Ring $\op{End}(V)$ die Identit"at \begin{equation*} (\op{ad}(X^{[p]}))(Y)= X^{(\circ p)}\circ Y - Y\circ X^{(\circ p)} = ((X \circ) - (\circ X))^p (Y) = (\op{ad}X)^p(Y)\end{equation*} Jetzt zeigen wir noch die Additivit"at $\xi (A + B) = \xi (A) + \xi (B)$ von $\xi$. Es gilt in $\op{U} (\mathfrak g)$ zu zeigen \begin{equation*} (A + B)^p - A^p - B^p = (A + B)^{[p]} - A^{[p]} - B^{[p]} \end{equation*} Es reicht zu zeigen, da"s die linke Seite im Teilraum $\mathfrak g \subset \op{U} (\mathfrak g)$ liegt, denn beide Seiten landen unter dem nat"urlichen Ringalgebrenhomomorphismus $\op{U} (\mathfrak g) \rightarrow \op{End}_k V$ offensichtlich auf demselben Element und die Restriktion dieses Ringalgebrenhomomorphismus auf $\mathfrak g\subset \op{U} (\mathfrak g)$ ist injektiv. Nun gilt in einer beliebigen $k$-Ringalgebra \begin{equation*} (A +B)^p - A^p - B^p = \sum^{p-1}_{i=1}s_i (A,B) \end{equation*} f"ur gewisse universelle Polynome $s_i\in k\lfloor X,Y\rfloor$ in nichtkommutierenden Variablen, die erkl"art werden k"onnen durch die Identit"at \begin{equation*} (tX + Y)^p - (tX)^p - Y^p = \sum^{p-1}_{i=1} t^i s_i (X,Y) \end{equation*} in $ k\lfloor X,Y\rfloor[t]$. Formales Ableiten nach $t$ liefert \begin{equation*} \sum^{p}_{i=1} (t X + Y)^{i-1} X (tX + Y)^{p-i} = \sum^{p-1}_{i=1} i t^{i-1} s_i (X,Y) \end{equation*} Die linke Seite kann hier umgeschrieben werden zu \begin{equation*} (((tX + Y) \cdot) - (\cdot (t X +Y)))^{p-1} (X) \end{equation*} aufgrund der allgemeinen Formel $(r -s)^{p-1} = \sum^{p}_{i=1} r^{i-1} s^{p-i}$ im Polynomring $k[r,s]$, die man unschwer durch Multiplikation beider Seiten mit $(r-s)$ pr"uft. Das aber zeigt $ (\op{ad} (t X +Y))^{p-1} (X) = \sum^{p-1}_{i=1} i t^{i-1} s_i (X,Y) $. Damit sind alle $s_i (X,Y) $ Linearkombinationen von iterierten Kommutatoren. Im Fall $A,B\in\mathfrak g \subset \op{U} (\mathfrak g)$ geh"ort also in der Tat auch $(A + B)^p - A^p - B^p$ zu $\mathfrak g \subset \op{U} (\mathfrak g)$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{$p$-Zentrum}] Gegeben eine restringierte Liealgebra $\mathfrak g$ "uber einem K"orper $k$ positiver Charakteristik geh"ort $X^{[p]}- X^p$ f"ur alle $X\in \mathfrak g$ zum Zentrum der Einh"ullenden ${\op{U}}(\mathfrak g)$. \end{Proposition} \begin{proof} Nach Annahme gilt $\op{ad}_{\mathfrak g}(X^{[p]})(Y)=({\op{ad}_{\mathfrak g}}X)^p(Y)$ f"ur alle $Y\in\mathfrak g$. Beide Seiten lassen sich zu Derivationen der universellen Einh"ullenden fortsetzen durch ${\op{ad}_{\op{U}}}(X^{[p]})(u)\pdef X^{[p]}u - uX^{[p]}$ beziehungsweise $({\op{ad}_{\op{U}}}X)u\pdef Xu - uX$ und $({\op{ad}_{\op{U}}}X)^p$ die $p$-te Potenz dieser Derivation, die ja nach unseren allgemeinen Erkenntnissen \ref{potD} auch selbst wieder eine Derivation der Einh"ullenden sein mu"s. Da diese beiden Derivationen nach Annahme auf $\mathfrak g$ "ubereinstimmen, stimmen sie notwendig auch auf der ganzen Einh"ullenden "uberein und wir haben $${\op{ad}_{\op{U}}}(X^{[p]})(u)= ({\op{ad}_{\op{U}}}X)^p(u)$$ f"ur alle $u\in {\op{U}}(\mathfrak g)$. Andererseits gilt ${\op{ad}_{\op{U}}}X= (X\cdot)-(\cdot X):{\op{U}}(\mathfrak g)\ra {\op{U}}(\mathfrak g)$ und damit $({\op{ad}_{\op{U}}}X)^p(u)=X^pu-uX^p$. Insgesamt folgt $X^{[p]}u- uX^{[p]}=X^pu-uX^p$ f"ur alle $X\in\mathfrak g$ und $u\in {\op{U}}(\mathfrak g)$. \end{proof} \subsection{Unipotente Gruppen und ihre Liealgebren*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exponentialabbildung bei algebraischen Gruppen}] Gegeben eine affine algebraische Gruppe $G$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ und\label{exAG} $X\in \op{Lie}G$ nilpotent, in Formeln $X=X_{\op{n}}$ im Sinne von \ref{JZLi}, ist seine Fortsetzung $\grave X$ zu einem linksinvarianten Vektorfeld eine lokal nilpotente Derivation von $\mathcal O(G)$ und folglich $\op{exp}(\grave X)$ nach \eref{exDE}{HL} ein Ringalgebrenautomorphismus von $\mathcal O(G)$. Mit $\grave X$ mu"s nat"urlich auch $\op{exp}(\grave X)$ mit allen Linksverschiebungen $\acute z$ f"ur $z\in G$ vertauschen. Wie beim Beweis von \ref{JZaG} diskutiert, mu"s dieser Automorphismus $\op{exp}(\grave X)$ von $\mathcal O(G)$ also die Rechtsverschiebung $\grave g$ mit einem wohlbestimmten Element $g\in G$ sein. Wir vereinbaren f"ur dieses Element die Notation $$g\pdef \tilde{\op{exp}}X$$ und vereinfachen sie zu $\op{exp}X$, sobald wir uns in \ref{exp2} "uberzeugt haben, da"s das nicht zu Mehrdeutigkeiten f"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Exponentialabbildung der additiven Gruppe}] Im Fall der additiven Gruppe $(k,+)$ eines algebraisch abgeschlossenen K"orpers $k$ der Charakteristik Null und $\lambda\in k$ finden wir\label{expp} $$(\op{exp}\lambda\partial): T^n\mapsto \sum_i {n\choose i}T^i\lambda^{n-i}=(T+\lambda)^n$$ und so $(\op{exp}\lambda\partial)f=f\circ (+\lambda)$ und mithin $\tilde{\op{exp}}:\lambda\delta_0\partial\mapsto \lambda$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at der Exponentialabbildung}] F"ur jeden Homomorphismus $\varphi:G\ra H$ von affinen algebraischen Gruppen und jedes nilpotente Element $X\in \op{Lie}G$ gilt\label{expf} $\varphi(\tilde{\op{exp}}X)= \tilde{\op{exp}}((\tiff\varphi)X)$. Anders gesagt kommutiert das Diagramm $$\xymatrix{\op{Lie}G\ar[r]^{\tiff\varphi}\ar[d]_{\op{exp}} &\op{Lie}H\ar[d]^{\op{exp}}\\ G\ar[r]^\varphi&H}$$ Mit der Abk"urzung $Y\pdef (\tiff\varphi)X$ finden wir in der Tat erst $\grave X\circ \varphi^\sharp=\varphi^\sharp \circ\grave Y$ und dann $\op{exp}(\grave X)\circ \varphi^\sharp=\varphi^\sharp \circ\op{exp}(\grave Y)$ und so folgt die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Exponentialabbildung der allgemeinen linearen Gruppe}] Gegeben ein endlichdimensionaler Vektorrraum $V$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ gilt mit unserem Isomorphismus $\op{richt}:\op{Lie}(\op{GL}(V))\sira \op{End}V$ f"ur alle nilpotenten $X\in \op{Lie}\op{GL}(V)$ die Identit"at\label{exp2} $$\tilde{\op{exp}}(X)=\op{exp}(\op{richt} X)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wegen dieser Vertr"aglichkeit f"uhrt es nicht zu Mehrdeutigkeiten, wenn wir unsere Notation, sobald das Lemma bewiesen ist, zu $\tilde{\op{exp}}=\op{exp}$ vereinfachen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur jeden nilpotenten Endomorphismus $N\in \op{End}V$ k"onnen wir einen Gruppenhomomorphismus $\varphi=\varphi_N:(k,+)\ra \op{GL}(V)$ erkl"aren durch die Vorschrift $\varphi_N(t)\pdef \op{exp}(tN)$. Dann gilt nach \ref{KuHJ} offensichtlich $\varphi_N'(0)= N$ und genauer $\varphi_N'(0)={\op{D}}(\op{trans}(N))$. F"ur $N=\op{richt} (X)$ erhalten wir mit der Funktorialit"at \ref{expf} und dem Beispiel \ref{expp} der additiven Gruppe \begin{displaymath}\tilde{\op{exp}}(X)=\tilde{\op{exp}}(\tiff\varphi_N(\partial))=\varphi_N(\tilde{\op{exp}}(\partial)) =\varphi_N(1)=\op{exp}(N) \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Unipotente Gruppen in Charakteristik Null}] Gegeben eine unipotente affine algebraische Gruppe $U$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ induziert die Exponentialabbildung\label{exlo} einen Isomorphismus von algebraischen Variet"aten $$\op{exp}:\op{Lie}U\;\sira\; U$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist insbesondere $\dim_k V < \infty$ und $U \As \op{GL} (V)$ eine unipotente Untergruppe und ein Teilraum $W \subset V$ stabil unter der abgeleiteten Operation von $\op{Lie} U$, so ist $W$ auch stabil unter $U$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben ein K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ liefern die Exponentialreihe und die Reihenentwicklung von $\log (1+x)$ zueinander inverse Bijektionen \begin{displaymath} \left\{\left( \vcenter{\vbox{\xymatrix{ 0 \ar@{-}[dr]&\ast\\ 0 &0 }}} \right)\right\} %bekomme hier die Klammern nicht kleiner \begin{array}[c]{c} \op{exp}\\ \rightarrow\\ \sim\\ \leftarrow\\ %\rightleftarrows\\ \log\end{array} \left\{\left(\vcenter{\vbox{ \xymatrix{ 1 \ar@{-}[dr]&\ast\\ 0 &1 } }} \right)\right\} \end{displaymath} zwischen der Menge der echten oberen Dreiecksmatrizen und der Menge der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen, jeweils mit Eintr"agen in $k$. Gilt zus"atzlich $k = \bar k$ und ist $U$ eine abgeschlossene Untergruppe rechts und $\op{Lie}U$ ihre Liealgebra links, so folgt zun"achst $\op{exp}(\op{Lie}U)\subset U$ aus der Funktorialit"at \ref{expf} und dann $\op{exp}(\op{Lie}U)= U$ durch Dimensionsvergleich und die Erkenntnis \ref{ZURE}, da"s in Charakteristik Null jede unipotente Gruppe zusammenh"angend ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen eine endlichdimensionale Liealgebra {\bf nilpotent}, wenn sie als Unteralgebra in eine Liealgebra von echten oberen Dreiecksmatrizen eingebettet werden kann. Eine intrinsische Charakterisierung, die auch f"ur Liealgebren unendlicher Dimension sinnvoll bleibt, wird in \eref{EUD}{HL} formuliert und bewiesen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Unipotente Gruppen und ihre Liealgebren}] Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper der Charakteristik $\op{char}k=0$ ist das Bilden der Liealgebra eine "Aquivalenz von Kategorien\label{ugLI} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \text{unipotente affine algebraische}\\ \text{Gruppen "uber k}\end{array} \right\}& \overset{\approx}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{endlichdimensionale nilpotente}\\ \text{Liealgebren "uber k} \end{array}\right\} \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Da"s unser Funktor treu ist, da"s er also Injektionen zwischen den beteiligten Morphismenr"aumen induziert, folgt bereits aus der Isomorphismeneigenschaft \ref{exlo} und der Funktorialit"at \ref{expf} der Exponentialabbildung. Wir zeigen als n"achstes, da"s auch jede nilpotente Liealgebra isomorph ist zur Liealgebra einer unipotenten algebraischen Gruppe. Dazu reicht es zu zeigen, da"s f"ur jedes $n$ und jede Unteralgebra $\mathfrak n\subset \mathfrak d_n$ der Liealgebra $\mathfrak d_n\subset \op{Mat}(n;k)$ aller echten oberen Dreiecksmatrizen auch $\op{exp}\mathfrak n$ eine Untergruppe der Gruppe aller unipotenten oberen Dreiecksmatrizen ist. Das zeigen wir durch Induktion "uber die Dimension. Der nulldimensionale Fall ist klar. Sonst w"ahle man ein Ideal $\mathfrak m\subset \mathfrak n$ der Kodimension Eins, das mu"s es stets geben, und ein Element $x\in \mathfrak n\backslash \mathfrak m$. Da die Rechtsmultiplikation und die Linksmultiplikationen mit $x$ kommutieren, erhalten wir f"ur jede nilpotente Matrix $x$ und jede Matrix $y$ die Identit"at $$\exp(x)y\exp(x)^{-1}=\exp((x\cdot)-(\cdot x))(y)=(\exp(\op{ad}x))(y)$$ Sie zeigt insbesondere, da"s $\psi\pdef \op{exp}(\op{ad}x)$ ein Automorphismus der assoziativen Algebra $\op{Mat}(n;k)$ ist. F"ur jede nilpotente Matrix $z$ folgt $\psi(\op{exp}(z))=\op{exp}(\psi(z))$. F"ur $y\pdef \op{exp}(z)$ ergibt sich damit $$\exp(x)\exp(z)\exp(x)^{-1}=(\exp(\op{ad}x))(\exp(z))= \exp((\exp(\op{ad}x))(z))$$ Folglich normalisiert die Untergruppe $\op{exp}(kx)$ die Untergruppe $\op{exp}\mathfrak m$ und damit ist das Produkt $(\op{exp}\mathfrak m)(\op{exp}kx)$ selbst eine Untergruppe. Dasselbe gilt f"ur ihren Abschlu"s, in dem unser Produkt als Bahn einer Wirkung von $(\op{exp}\mathfrak m)\times (\op{exp}kx)$ zumindest eine offene Teilmenge sein mu"s. Die Liealgebra dieses Abschlusses umfa"st nun aber offensichtlich unser $\mathfrak n$ und f"allt dann aus Dimensionsgr"unden sogar damit zusammen. Also ist $\op{exp}\mathfrak n\As \op{exp}\mathfrak d_n$ in der Tat eine abgeschlossene Untergruppe. Nun m"ussen wir nur noch zeigen, da"s jeder Homomorphismus $\mathfrak u\ra \mathfrak n$ von nilpotenten Liealgebren auch von einem Gruppenhomomorphismus herkommt. Sei dazu $\mathfrak m\subset \mathfrak u\times \mathfrak n$ der Graph unseres Liealgebrenhomomorphismus. Nach dem bereits Bewiesenen ist $M\pdef \op{exp}\mathfrak m$ dann eine abgeschlossene Untergruppe $M\As U\times N$ und die Projektion $\pi:M\ra U$ induziert eine Bijektion von Liealgebren $\mathfrak m\sira \mathfrak u$. Das zeigt mit der differentiellen Charakterisierung \ref{iHHR} von Isomorphismen homogener R"aume und der Beschreibung der Tangentialr"aume von Quotienten \ref{QaaG}, da"s $\pi$ einen Isomorphismus $M/{\op{ker}}\pi\sira U$ induziert und da"s ${\op{ker}}\pi$ verschwindende Liealgebra hat, also endlich ist, also als endliche unipotente Gruppe in Charakteristik Null trivial. So erkennen wir, da"s $\pi$ ein Isomorphismus $\pi:M\sira U$ sein mu"s. Also ist $M$ auch der Graph eines Gruppenhomomorphismus und das beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternativen beim Beweis}] Aus \ref{BUg} folgt, da"s $(\op{exp}\mathfrak m)(\op{exp}kx)$ als Bahn einer unipotenten Gruppe in einer affinen Variet"at bereits selbst abgeschlossen sein mu"s. Aus der Variante \eref{BiLP}{HL} der Hausdorff-Formel kann man auch direkt folgern, da"s $\op{exp}(\mathfrak n)$ eine Untergruppe der Gruppe der unipotenten oberen Dreiecksmatrizen sein mu"s. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben\label{expI} ein K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}(k)=0$ betrachte man die Menge $\mathcal N\subset \op{Mat}(n;k)$ der nilpotenten Matrizen und zeige, da"s die Exponentialabbildung darauf zu einer Injektion $\op{exp}:\mathcal N\hra \op{Mat}(n;k)$ einschr"ankt. Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $k=\bar k$. Aus $\op{exp}(A)=\op{exp}(B)$ folgere man $\op{exp}(tA)=\op{exp}(tB)$ f"ur alle $t\in\DN$ und dann f"ur alle $t\in k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine affine algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper der Charakteristik Null und $(\op{Lie}G)_{\op{n}}$ die Menge der nilpotenten Elemente ihrer Liealgebra induziert die Exponentialabbildung einen Isomorphismus von Variet"aten $$\op{exp}:(\op{Lie}G)_{\op{n}}\sira G_{\op{u}}$$ des nilpotenten Kegels mit der Variet"at der unipotenten Elemente von $G$. Hinweis: Die Injektivit"at folgt aus \ref{expI}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Unipotente kommutative Gruppen}] Jede kommutative unipotente affine algebraische Gruppe "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der\label{upk} Charakteristik Null ist isomorph zur additiven Gruppe eines endlichdimensionalen $k$-Vektorraums. In positiver Charakteristik gilt das nicht mehr. \end{Ubung} \subsection{Algebraische Distributionen*} \begin{Definition} Gegeben eine bepunktete $k$-Variet"at $(X,x)$ und $n\in\DN$ setzt man $ \op{Dist}^{\leq n}(X,x) \pdef \{\mu \in \op{Hom}_k (\mathcal O_{X,x} , k) \mid \mu (\mathfrak m^{n+1}_x) = 0\} $ und $$\op{Dist}(X,x) \pdef \bigcup^\infty_{n=0} \op{Dist}^{\leq n}(X,x)$$ Die Elemente dieses Vektorraums "uber $k$ hei"sen die {\bf Distributionen auf $X$ mit Tr"ager in $x$}.\index{Distribution!algebraische} Jeder Morphismus $\varphi : (X,x) \rightarrow (Y,y)$ von bepunkteten Variet"aten induziert einen lokalen Ringhomomorphismus $\mathcal O_{Y,y} \rightarrow \mathcal O_{X,x}$ und so Homomorphismen $\op{Dist}^{\leq n}(X,x) \rightarrow \op{Dist}^{\leq n}(Y,y)$ sowie $$\tiff_x \varphi : \op{Dist}(X,x) \rightarrow \op{Dist}(Y,y)$$ Auf diese Weise erhalten wir einen Funktor von der Kategorie $\op{Var}^*$ der bepunkteten Variet"aten in die Kategorie der Vektorr"aume, ja in die Kategorie der filtrierten Vektorr"aume. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben eine affine bepunktete Variet"at $(X,x)$ liefert die Einbettung nach dem Satz "uber "uberfl"ussiges Lokalisieren Isomorphismen $$\mathcal O(X)/\mathcal I(x)^{n+1}\sira \mathcal O_{X,x}/\mathfrak m^{n+1}_x$$ Distributionen vom Grad $\leq n$ k"onnen also auch als Linearformen auf dem linken Quotienten realisiert werden. Ist etwa $X=k$ die Gerade mit $\mathcal O(X)=k[T]$ und $x=0$ der Ursprung, so bilden die Koordinatenfunktionen zur Basis der Monome $T^r$ eine Basis des Raums der Distributionen. Wir notieren die entsprechenden Basisvektoren $\partial^{(r)}$.\index{d@$\partial^{(r)}$ dividierte Ableitung} In Charakteristik Null k"onnen sie auch explizit als die Differentialoperatoren $(r!)^{-1}\partial^r$ gefolgt vom Auswerten beim Ursprung aufgefa"st werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $(X,x)$ eine bepunktete Variet"at. Das Auswerten $\delta_x:\mathcal O_{X,x}\ra k$ an der Stelle $x$ nennt man in diesem Zusammenhang auch die {\bf Dirac'sche $\delta$-Distribution}.\index{Dirac'sche $\delta$-Distribution!algebraische} Sie ist eine Basis des $k$-Vektorraums $\op{Dist}^{\leq 0}(X,x)$ der Dimension Eins. Der Kern des Auswertens auf der konstanten Funktion Eins ist ein Teilraum $\op{Dist}^+(X,x)\subset\op{Dist}(X,x)$, der komplement"ar ist zu $k\delta_x$. Die Restriktion auf $\mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\subset \mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^2$ induziert des weiteren einen nat"urlichen Isomorphismus $$\op{Dist}^{\leq 1}(X,x)\cap \op{Dist}^{+}(X,x)\sira {\op{T}}_xX$$ und so eine Einbettung des Tangentialraums in den Raum der Distributionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Durchschnittssatz von Krull \eref{spMm}{KAG} zeigt, da"s f"ur jede bepunktete Variet"at $(X,x)$ das Auswerten $\op{Dist}(X,x)\times \mathcal O_{X,x}\ra k$ eine nichtausgeartete Paarung ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Distributionen auf Produkten}] Gegeben zwei bepunktete Variet"aten $(X,x)$ sowie $(Y,y)$ und Distributionen $\mu \in \op{Dist}(X,x)$ sowie $\nu \in \op{Dist}(Y,y)$ gibt es genau eine Distribution $\mu \boxtimes \nu \in \op{Dist}(X \times Y, (x,y))$ mit der Eigenschaft, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O_{X,x} \otimes_k \mathcal O_{Y,y} \ar[r] \ar[d]_-{\mu \otimes \nu} & \mathcal O_{X \times Y, (x,y)}\ar[d]^-{\mu \boxtimes \nu}\\ k \otimes_k k \ar[r]^-{\op{mult}} & k } \end{displaymath} kommutiert. Weiter liefert diese Vorschrift einen Isomorphismus \begin{equation*} \op{Dist}(X,x) \otimes_k \op{Dist}(Y,y) \sira \op{Dist}(X\times Y, (x,y)) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Isomorphismus aus dem Satz ist sogar ein Isomorphismus von filtrierten Vektorr"aumen, wenn wir die Filtierung auf dem Tensorprodukt wie in \eref{TfMM}{KAG} erkl"aren, und gegeben Tangentialvektoren $v,w$ der jeweiligen Tangentialr"aume finden wir $v\otimes\delta_y + \delta_x\otimes w\mapsto (v,w)$. Auch das zeigt der folgende Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $X$ und $Y$ affin annehmen. In diesem Fall liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $ \mathcal O (X) /\mathcal I (x)^n \sira \mathcal O_{X,x} / \mathfrak m^n_x $ und dann nat"urlich auch einen Isomorphismus der Dualr"aume. Andererseits induziert $ \mathcal O (X) \otimes \mathcal O (Y) \sira \mathcal O (X\times Y) $ einen Isomorphismus \begin{equation*} \mathcal I (x) \otimes \mathcal O (Y) + \mathcal O(X) \otimes \mathcal I (y) \sira \mathcal I (x,y) \end{equation*} mit dem Verschwindungsideal $\mathcal I (x,y)$ von $(x,y)$. Dann entsprechen sich unter dem kanonischen Isomorphismus auch alle Potenzen dieser Ideale, in Formeln \begin{equation*} \sum_{i + j = n} \mathcal I (x)^i \otimes \mathcal I (y)^j \sira \mathcal I (x,y)^n \end{equation*} Das zeigt, da"s gegeben Linearformen $\mu \in \mathcal O (X)^\ast$ und $ \nu \in \mathcal O (Y)^\ast$ mit $\mu ( \mathcal I (x)^i) = 0$ und $\nu ( \mathcal I (y)^j) =0$ notwendig gilt $(\mu \boxtimes \nu) ( \mathcal I (x,y)^{i+j}) = 0$. Mithin gibt es f"ur $\mu \in \op{Dist}^{\leq i}(X,x)$ und $\nu \in \op{Dist}^{\leq j}(Y,y)$ genau ein $\mu \boxtimes \nu \in \op{Dist}^{\leq i+j}(X \times Y , (x,y))$ mit der im Satz geforderten Eigenschaft. Nun k"onnen wir unsere Summe auch umschreiben zu einem Schnitt und damit induziert der kanonische Isomorphismus einen Isomorphismus \begin{equation*} \bigcap_{i+j = n} \left(\mathcal I (x)^i \otimes \mathcal O (Y) + \mathcal O (X) \otimes \mathcal I (y)^j\right) \sira \mathcal I (x,y)^n \end{equation*} So erkennen wir mit \eref{DSQ}{LA2}, da"s der kanonische Isomorphismus eine Surjektion \begin{equation*} \sum_{i+j=n} \op{Dist}^{\leq i}(X,x) \otimes \op{Dist}^{\leq j}(Y,y) \twoheadrightarrow \op{Dist}^{\leq n}(X\times Y, (x,y)) \end{equation*} induziert. Die Injektivit"at von $\op{Dist}(X,x) \otimes \op{Dist}(Y,y) \rightarrow \op{Dist}(X \times Y, (x,y))$ ist eh klar nach \eref{KADT}{LA2}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In der Sprache der Schmelzkategorien \eref{MuC}{TSK} folgende ausgedr"uckt bilden die Distributionen sogar einen mit universellen Trennungen vertr"aglichen Trennfunktor $$\op{Dist}:\curlywedge{\op{Var}_k^*}\ra \op{Mod}_k^{\op{dual}}$$ von der banalen Trennkategorie der bepunkteten $k$-Variet"aten in die Duale der Schmelzkategorie der $k$-Vektorr"aume, ja sogar der filtrierten $k$-Vektorr"aume. Die einzige Leertrennung $ (X,x)\ra\curlywedge $ wird dabei auf diejenige Leertrennung alias Linearform auf $\op{Dist}(X,x)$ abgebildet, die durch Auswerten auf der Eins des lokalen Rings gegeben wird. Im Fall affiner Variet"aten kann der zu unserem Trennfunktor duale Schmelzfunktor $\op{kart}(\op{Var}_k^*)\ra \op{Mod}_k$ als Unterschmelzfunktor des Schmelzfunktors $(X,x)\mapsto \mathcal O(X)^*$ aufgefa"st werden, der jeder punktierten Variet"at den Dualraum in Bezug auf den Grundk"orper des Raums der regul"aren Funktionen zuordnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Distributionen als Kokringalgebra}] Gegeben eine bepunktete algebraische Variet"at\label{DKRA} $(X,x)$ betrachten wir die diagonale Einbettung $\Delta:X\hra X\times X$ und die Verkn"upfung \begin{equation*} \op{Dist} (X,x) \overset{\tiff_x \Delta}{\longrightarrow} \op{Dist} (X \times X, (x,x)) \sira \op{Dist} (X,x) \otimes \op{Dist} (X,x) \end{equation*} Diese Verkn"upfung $\mu$ ist offensichtlich koassoziativ und kokommutativ und macht so $\op{Dist} (X,x)$ zu einer Koalgebra, ja zu einer Kokringalgebra im Sinne von \eref{Kori}{TSK} mit dem Auswerten $\mu \mapsto \mu (1)$ auf der konstanten Funktion $1 \in \mathcal O_{X,x}$ als Koeinheit. In der Sprache der Trennkategorien ausgedr"uckt wird das banale Koabmonoidobjekt $(X,x)$ aus \eref{banT}{TSK} unter dem Trennfunktor $\op{Dist}$ eben zu einem Koabmonoidobjekt von $\op{Mod}_k^{\op{dual}}$ alias einer Kokringalgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Distributionen auf einer Gruppe als Hopfalgebra}] Ist $G$ eine algebraische Gruppe, so induziert das Gruppengesetz $G \times G \rightarrow G$ eine bilineare Abbildung \begin{equation*} \op{Dist} (G,e) \otimes \op{Dist} (G, e) \sira \op{Dist} (G \times G, (e,e)) \rightarrow \op{Dist} (G,e) \end{equation*} Man sieht leicht, da"s $\op{Dist} (G,e)$ so eine $k$-Ringalgebra wird mit dem Auswerten an $e$ als Einselement, ja eine kokommutative Hopfalgebra mit der zuvor erkl"arten Kokringalgebrenstruktur. Formal mag man auch bemerken, da"s $(G,e)$ ein Hopf\-ob\-jekt im Sinne von \eref{HoOb}{TSK} der banalen Trennkategorie $\curlywedge{\op{Var}^*_k}$ ist und damit unter dem mit universellen Trennungen vertr"aglichen Trennfunktor $\op{Dist}$ notwendig zu einem Hopfobjekt der Trennkategorie $\op{Mod}_k^{\op{dual}}$ alias einem Hopfobjekt der Schmelzkategorie $\op{Mod}_k$ werden mu"s. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Proposition}[\textbf{Liealgebra und Distributionsalgebra}] Sei $G$ eine algebraische Gruppe.\label{KMNB} Die Multiplikation von rechts mit einem Tangentialvektor auf $\op{Dist}(G,e)$ kann beschrieben werden als Vorschalten des Anwendens des linksinvarianten Vektorfelds, das durch unseren Tangentialvektor bestimmt wird. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $U\co G$ eine offene Umgebung des neutralen Elements und $f\in\mathcal O_G(U)$ eine regul"are Funktion. \end{proof}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Distributionsalgebra eines Vektorraums}] Im Spezialfall der additiven Gruppe $V$ eines endlichdimensionalen Vektorraums liefert die Einbettung $V^\ast\hra \mathcal O (V)$ einen Isomorphismus von Ringalgebren $$ {\op{S}}(V^\ast) \sira \mathcal O (V) $$ Indem wir jedem Vektor die zugeh"orige Richtungsableitung im Ursprung zuordnen, erhalten wir auch einen nat"urlichen Homomorphismus von Ringalgebren $$ {\op{S}}(V) \ra \op{Dist} (V,0) $$ Im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null ist auch letztere Abbildung ein Isomorphismus von Ringalgebren. In jedem Fall induziert die durch das Auswerten gegebene Paarung \begin{equation*} \op{Dist} (V,0) \times \mathcal O (V) \rightarrow k \end{equation*} eine Paarung ${\op{S}}(V) \otimes {\op{S}}(V^\ast) \rightarrow k$. Ist $T_1,\ldots, T_n$ eine Basis von $V^\ast$ und $\partial_1,\ldots,\partial_n$ die duale Basis von $V$, so entspricht diese Paarung nach \ref{KMNB} dem Anwenden eines Differentialoperators auf eine polynomiale Funktion, gefolgt vom Auswerten beim neutralen Element. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Operation auf Fixpunktdistributionen}] Gegeben $G{\acts}X$ eine algebraische Variet"at mit der Operation eines\label{alDFPT} algebraischen Monoids und ein Fixpunkt $x\in X$ der Operation ist f"ur alle $r\geq 0$ die induzierte Operation von $G$ auf $\op{Dist}(X,x)$ algebraisch. \end{Proposition} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s f"ur alle $r\geq 0$ die induzierte Rechtsoperation von $G$ auf $\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^r$ algebraisch ist. Um das zu sehen, betrachten wir eine offene affine Umgebung $U\co X$ von unserem Fixpunkt $x$ und eine offene affine Umgebung des neutralen Elements $V\co G$ und finden eine regul"are Funktion $s\in\mathcal O(V\times U)$ mit $s(e,x)\neq 0$ derart, da"s ihre Nichtnullstellenmenge $(V\times U)_s$ unter der Multiplikation in $U$ landet. Wir schreiben $s=\sum r_j\boxtimes t_j$. Sei nun $f\in\mathcal O(U)$. F"ur die Operation $\op{act}:(V\times U)_s\ra U$ gilt dann eine Gleichung der Gestalt $ f\circ \op{act}=s^{-n}\sum g_i\boxtimes h_i$ mit $g_i\in \mathcal O(U)$ und $h_i\in \mathcal O(V)$ und $n\in\DZ$ alias $f(zy)=s(z,y)^{-n}\sum g_i(z) h_i(y)$ alias $$f\circ (z\cdot)=\left(\sum r_j(z) t_j\right)^{-n}\sum g_i(z) h_i$$ an jeder Stelle $y$ mit $(z,y)\in (U\times V)_s$. Sei nun $W\pdef \{z\in V\mid s(z,x)\neq 0\}$. Sicher ist nun $z\mapsto \sum r_j(z) t_j +\mathfrak m_x^r$ ein Morphismus von $W$ in die Einheitengruppe der $k$-Kringalgebra $\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^r$. Nach \ref{EHGRR} ist das Invertieren darin ein Morphismus. Folglich ist auch $$z\mapsto (f\circ (z\cdot))+\mathfrak m_x^r=\left(\sum r_j(z) t_j+\mathfrak m_x^r\right)^{-n}\left(\sum g_i(z)h_i +\mathfrak m_x^r\right)$$ ein Morphismus $W\ra \mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^r$. Mit \ref{lokAD} folgt die Algebraizit"at der fraglichen Rechtsoperation. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{Zusammenhang mit der Einh"ullenden}] Sei $G$ eine affine algebraische Gruppe und $\mathfrak g=\op{Lie}G$ ihre Lie-Algebra. So induziert die Einbettung ${\op{T}}_eG\hra \op{Dist} (G, e)$ einen Homomorphismus von Hopf-Algebren ${\op{U}}(\mathfrak g)\ra \op{Dist} (G, e)$ von der Einh"ullenden der Lie-Algebra in die Distributionenalgebra, und im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null ist dieser Homomorphismus sogar ein Isomorphismus. Insbesondere liefert das Auswerten im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null unter der zus"atzlichen Annahme $G$ zusammenh"angend eine nichtausgeartete Paarung $${\op{U}}(\mathfrak g)\times \mathcal O(G)\ra k$$ Die davon induzierte Einbettung $\mathcal O(G)\hra{\op{U}}(\mathfrak g)^\ast$ in den Dualraum der Einh"ullenden hat als Bild genau diejenigen Linearformen, die unter der Kontragredienten der Operation durch Linksmultiplikation von $\mathfrak g$ auf ${\op{U}}(\mathfrak g)$ eine endlichdimensionale zu einer Darstellung von $G$ integrable $\mathfrak g$-Unterdarstellung erzeugen. \end{Ubunge} \newpage \section{Borel'sche Untergruppen und maximale Tori} \subsection{Zusammenh"angende aufl"osbare Gruppen} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \ref{DerGG}, da"s wir f"ur Teilmengen $A,B$ einer Gruppe $G$ die von allen Kommutatoren $(a,b) := ab a^{-1}b^{-1}$ mit $a \in A$ und $b \in B$ erzeugte Untergruppe $(A,B)$ notieren. Sind $A$ und $B$ Normalteiler, so ist auch $(A,B)$ ein Normalteiler. Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe $(G,G)$ hei"st die {\bf derivierte Gruppe}.\index{derivierte Gruppe} Wir notieren sie auch $\mathcal D G$.\index{D@$\mathcal D G$ derivierte Gruppe} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Gruppe $G$ setzt man: \begin{enumerate} \item $\mathcal D^0 G = G$ und induktiv $\mathcal D^n G = (\mathcal D^{n-1} G , \mathcal D^{n-1} G)$ f"ur $n \geq 1$; \item $\mathcal C^0 G = G$ und induktiv $\mathcal C^n G = (G, \mathcal C^{n-1} G)$ f"ur $n \geq 1$. \end{enumerate} Alle diese Untergruppen sind Normalteiler von $G$. Eine Gruppe ist aufl"osbar im Sinne von \eref{AuF}{AL} genau dann, wenn gilt $\mathcal D^n G =0$ f"ur $n \gg 0$. Eine Gruppe ist nilpotent im Sinne von \eref{nilp}{AL} genau dann, wenn gilt $\mathcal C^n G=0$ f"ur $n \gg 0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich k"onnen wir zu jeder Gruppe $G$ den Quotienten $G/{\op{Z}}(G)$ nach dem Zentrum konstruieren. Nilpotent ist eine Gruppe genau dann, wenn wiederholtes Anwenden dieser Konstruktion in endlich vielen Schritten von unserer Gruppe zur trivialen Gruppe f"uhrt.\label{Gpnij} Die Zahl der hierbei ben"otigten Schritte hei"st der {\bf Nilpotenzgrad}\index{Nilpotenzgrad} unserer nilpotenten Gruppe. Nilpotenzgrad Null hat nur die triviale Gruppe, Nilpotenzgrad Eins ist gleichbedeutend zu nichttrivial und kommutativ. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine zusammenh"angende algebraische Gruppe $G$ sind die Untergruppen $\mathcal C^n G$ und $\mathcal D^n G$ alle abgeschlossen und zusammenh"angend nach dem Satz "uber irreduzibles Erzeugen \ref{IEUg}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppen notiere ich im folgenden vorzugsweise mit dem Buchstaben $B$, weil die Resultate insbesondere ben"otigt werden, um sie sp"ater auf die sogenannten \glqq Borel'schen\grqq\ anzuwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lie-Kolchin}] Alle irreduziblen algebraischen Darstellungen einer zusammenh"angenden aufl"osbaren algebraischen Gruppe sind eindimensional.\label{LiKol} \end{Satz} \begin{Beispiel} Die Bedingung zusammenh"angend ist hier wesentlich. Die symmetrische Gruppe $\mathcal S_3$ etwa ist aufl"osbar, hat aber eine zweidimensionale irreduzible reelle Darstellung als Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks, die auch unter Komplexifizierung irreduzibel bleibt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Aus \ref{uPG} und \ref{DUGR} kennen wir bereits die sehr "ahnliche Aussage, da"s alle unipotenten Gruppen aufl"osbar sind und da"s alle ihre irreduziblen Darstellungen isomorph sind zur trivialen eindimensionalen Darstellung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $B$ unsere Gruppe und $V$ eine von Null verschiedene Darstellung. Wir m"ussen zeigen, da"s es in $V$ eine unter $B$ stabile Gerade gibt. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $V$ endlichdimensional annehmen. Wir argumentieren mit Induktion "uber $\op{kdim} B$. Die Induktionsbasis $B=1$ ist unproblematisch. Sonst gilt $\op{kdim} \mathcal D B < \op{kdim} B$ und wir d"urfen die Existenz einer $\mathcal D B$-stabilen Gerade $k v$ annehmen. Wie beim Beweis von \ref{QuoG} ist dann $$\underset{\chi \in \mathfrak X (\mathcal D B)}{\bigoplus} V_\chi$$ ein von Null verschiedener $B$-stabiler Teilraum und die $B$-Wirkung permutiert die Summanden. Da aber $B$ zusammenh"angend ist, mu"s sie alle Summanden stabilisieren und wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $V = V_\chi$ f"ur ein $\chi \in \mathfrak X (\mathcal D B)$ annehmen. Unter $\rho : B \rightarrow \op{GL} (V)$ gilt nun sicher $\rho (\mathcal D B) \subset \op{SL} (V)$, da ja $\mathcal D B$ von Kommutatoren erzeugt wird. F"ur alle $g \in \mathcal D B$ haben wir also $1 = \det \rho (g) = \chi (g)^{\dim V}$. Da auch die Gruppe $\mathcal D B$ zusammenh"angend ist, folgt $\chi (g) =1 \; \forall g \in \mathcal D B$ und $\mathcal D B$ operiert trivial auf $V$. Dann aber ist $\rho (B) \subset \op{GL} (V)$ eine Menge paarweise kommutierender Endomorphismen und besitzt nach \eref{ESuU}{LA2} einen simultanen Eigenvektor. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz stabiler vollst"andiger Fahnen}] In jeder endlichdimensionalen Darstellung $V$ einer zusammenh"angenden aufl"osbaren algebraischen\label{EDEk} Gruppe gibt es nach dem Satz von Lie-Kolchin eine Folge $V = V_r \supset V_{r -1} \supset \ldots \supset V_0 = 0$ von Unterdarstellungen mit $\dim V_i = i$. Gleichbedeutend gibt es eine Basis, bez"uglich derer unsere Gruppe durch obere Dreiecksmatrizen operiert. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar} [\textbf{Struktur zusammenh"angender nilpotenter Gruppen}] Gegeben eine zusammenh"angende nilpotente affine algebraische Gruppe $N$ sind $N_{\op{u}}$ und $N_{\op{s}}$ abgeschlossene Untergruppen, $N_{\op{s}}$ liegt im Zentrum von $N$ und die Multiplikation ist ein Isomorphismus von algebraischen Gruppen\label{SNLI} \begin{equation*} N_{\op{s}} \times N_{\op{u}} \sira N \end{equation*} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}\label{UGZi} Insbesondere sind auch $N_{\op{s}}$ und $N_{\op{u}}$ zusammenh"angend und $N_{\op{s}}$ ist nach \ref{KHDi} zus"atzlich diagonalisierbar, mithin ein Torus. F"ur $N=K$ kommutativ hatten wir die Aussagen des Korollars bereits in \ref{JZK} gezeigt, und das sogar, ohne $K$ zusammenh"angend vorauszusetzen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $s \in N_{\op{s}}$ betrachten wir nun $\varphi = \varphi_s : N \rightarrow N$, $x \mapsto s x s^{-1} x^{-1}$. Nach Annahme ist $\varphi^n$ konstant f"ur $n \gg 0$. Andererseits wird das Differential von $\varphi$ gegeben durch $\tiff_1 \varphi = \op{Ad}_s - \op{id}$ und aus $\varphi^n$ konstant folgt $\op{Ad}_s = \op{id}$. Aus der Beschreibung \ref{LZeH} der Liealgebra des Zentralisators halb\-ein\-fa\-cher Elemente folgt $\op{Lie}(N^s)=(\op{Lie}N)^s=\op{Lie}N$. Da $N$ zusammenh"angend ist, folgt weiter $N^s=N$. Also geh"ort $s$ zum Zentrum von $N$, in Formeln $s \in {\op{Z}} (N)$. Nun ist aber ${\op{Z}} (N)$ kommutativ, also ist $N_{\op{s}} = {\op{Z}} (N)_{\op{s}} \As {\op{Z}} (N) \As N$ eine abgeschlossene Untergruppe nach unseren Erkenntnissen "uber die Struktur kommutativer affiner algebraischer Gruppen aus \ref{JZK}. Andererseits finden wir eine abgeschlossene Einbettung von $N$ in die allgemeine lineare Gruppe $\op{GL}(V)$ eines endlichdimensionalen Vektorraums und nach der Existenz stabiler vollst"andiger Fahnen \ref{EDEk} sogar eine abgeschlossene Einbettung von $N$ in eine Gruppe $D$ von oberen Dreiecksmatrizen. Damit bilden auch die unipotenten Elemente eine abgeschlossene Untergruppe $N_{\op{u}}=N\cap D_{\op{u}}\As N$. Aus der Existenz und Eindeutigkeit Jordanzerlegung folgt dann, da"s die Multiplikation einen bijektiven Gruppenhomomorphismus \begin{equation*} N_{\op{s}} \times N_{\op{u}} \rightarrow N \end{equation*} liefert. Um schlie"slch zu zeigen, da"s er sogar ein Isomorphismus von Variet"aten ist, d"urfen wir $N \As \op{GL} (V)$ annehmen. Sei $V= \bigoplus V_\chi$ die Zerlegung in simultane Eigenr"aume unter $N_{\op{s}}$. Mithilfe des Satzes von Lie-Kolchin \ref{LiKol} finden wir in jedem $V_\chi$ eine Basis, bez"uglich derer $N$ durch obere Dreiecksmatrizen operiert. Dann ist f"ur $g \in N$ notwendig $g_{\op{s}}$ der diagonale Anteil von $N$ und auf diese Weise erhalten wir den inversen Morphismus. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Struktur zusammenh"angender aufl"osbarer Gruppen}] Gegeben eine zusammenh"angende\label{ZFTR} aufl"osbare affine algebraische Gruppe $B$ gilt: \begin{enumerate} \item Die derivierte Gruppe ist unipotent, in Formeln $(B, B)\subset B_{\op{u}}$; \item Die Menge der unipotenten Elemente ist ein zusammenh"angender abgeschlossener nilpotenter Normalteiler $B_{\op{u}} \As B$ und der Quotient $B/B_{\op{u}}$ ist ein Torus. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof} Fast alle Aussagen folgen unmittelbar aus der Existenz einer abgeschlossenen Einbettung von $B$ in eine Gruppe von oberen Dreiecksmatrizen \ref{EDEk}. Nicht unmittelbar klar ist nur, da"s $B_{\op{u}}$ zusammenh"angend ist und da"s $B/B_{\op{u}}$ ein Torus sein mu"s. Sicher ist jedoch der Quotient $B/B_{\op{u}}$ zusammenh"angend und kommutativ und besteht wegen $ (B,B)\subset B_{\op{u}} $ nur aus halbeinfachen Elementen. Also mu"s er nach \ref{KHDi} ein Torus sein. Es bleibt zu zeigen, da"s $B_{\op{u}}$ zusammenh"angend ist. Sicher ist zumindest auch $B^\circ_{\op{u}} \subset B$ ein Normalteiler und in $H \pdef B / B_{\op{u}}^\circ$ ist der unipotente Anteil nach \ref{qwer} die Untergruppe $H_{\op{u}}= B_{\op{u}} / B_{\op{u}}^\circ$ und ist folglich eine endliche normale Untergruppe, also $H_{\op{u}} \subset {\op{Z}} (H)$ und damit $(H, H) \subset {\op{Z}} (H)$. Damit aber ist $H$ nilpotent, und da es als Quotient von $B$ auch zusammenh"angend ist, mu"s $H_{\op{u}}$ zusammenh"angend sein nach \ref{UGZi}. Als zusammenh"angende endliche algebraische Gruppe ist somit $H_{\op{u}}$ trivial und es folgt $B_{\op{u}} = B_{\op{u}}^\circ$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{NHTZ} Jede abgeschlossene Untergruppe der Kodimension Eins in einer zusammenh"angenden nilpotenten affinen algebraischen Gruppe ist ein Normalteiler. Hinweis: Entweder unsere Untergruppe umfa"st die Einskomponente des Zentrums, oder sie umfa"st sie eben nicht. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen ist die Gruppe $\op{SL}(2;k)$ nicht aufl"osbar. Die Gruppe $\op{SL}(2;\mathbb F_2)$ ist aufl"osbar. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\DC$-Vektorraum. Man zeige, da"s jede $\DZ$-Graduierung auf der $\DC$-Ringalgebra $\op{End}(V)$ von einer $\DZ$-Graduierung auf $V$ herkommt. Hinweis: Man erinnere aus \eref{AutEE}{NAS} den Isomorphismus $\op{PGL}(V)\sira \op{RAlg}^\times_\DC(\op{End}V)$ und erinnere aus \eref{GrOp}{KAG}, da"s eine $\DZ$-Graduierung dasselbe ist wie eine algebraische Operation von $\DC^\times$. Dann betrachte man das R"uckzugsdiagramm $$\begin{array}{ccc} T&\sra&\DC^\times\\ \da&&\da\\ \op{GL}(V)&\sra&\op{PGL}(V) \end{array}$$ und folgere aus der Strukturtheorie diagonalisierbarer Gruppen, da"s die obere Horizontale spaltet. \end{Ubung} \subsection{Maximale Tori in aufl"osbaren Gruppen} \begin{Bemerkungl} Ein \defind{maximaler Torus}\index{Torus!maximaler} in einer algebraischen Gruppe ist eine abgeschlossene Untergruppe, die ein Torus ist und maximal bez"uglich Inklusion mit diesen Eigenschaften. Offensichtlich besitzt jede algebraische Gruppe maximale Tori. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Maximale Tori in aufl"osbaren Gruppen}] Sei $B$ eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe. So gilt:\label{MTAG} \begin{enumerate} \item F"ur jeden maximalen Torus $T \subset B$ liefert die Multiplikation einen Isomorphismus von Variet"aten \begin{equation*} T \times B_{\op{u}} \sira B \end{equation*} \item Je zwei maximale Tori von $B$ sind zueinander konjugiert; \item Jede Teilmenge $X \subset B_{\op{s}}$, die aus paarweise kommutierenden Elementen besteht, liegt in einem maximalen Torus von $B$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} In \ref{AMaT} zeigen wir, da"s sogar in einer beliebigen affinen algebraischen Gruppe je zwei maximale Tori konjugiert sind. Der Beweis dieser Tatsache st"utzt sich aber ganz wesentlich auf den vorhergehenden Satz. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Der Satz folgt unmittelbar aus der anschlie"senden Proposition \ref{PTP} und Lemma \ref{mTuu}, in deren Beweis sich die eigentliche Arbeit versteckt. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $B$ eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe ist jeder Torus $T \subset B$ mit $T B_{\op{u}} = B$ ein maximaler Torus und die Multiplikation induziert einen Isomorphismus $T \times B_{\op{u}} \sira B$.\label{mTuu} \end{Lemma} \begin{proof} Jeder Untergruppe von $G$, die $T$ als echte Untergruppe enth"alt, mu"s nichttriviale unipotente Elemente enthalten und kann folglich kein Torus sein. Mithin ist $T$ ein maximaler Torus. Da"s die Multiplikation eine Bijektion $T \times B_{\op{u}} \sira B$ liefert, folgt leicht aus $T \cap B_{\op{u}} =1$. Aus der Jordanzerlegung in der Liealgebra und "Ubung \ref{nuLA} folgt aber auch $\op{Lie} T \cap \op{Lie} B_{\op{u}} =0$, mithin ist das Differential am neutralen Element unserer Multiplikationsabbildung aus Dimensionsgr"unden bijektiv. Nun k"onnen wir $B$ als homogenen Raum f"ur die simultane Linksoperation von $T$ und Rechtsoperation von $B_{\op{u}}$ betrachten und unser Satz \ref{iHHR} "uber Isomorphismen homogener R"aume impliziert dann, da"s die Multiplikation in der Tat einen Isomorphismus von Variet"aten $T \times B_{\op{u}} \sira B$ liefert. \end{proof} \begin{Proposition}\label{PTP} Sei $B$ eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe. So gibt es einen Torus $T \subset B$ mit $T B_{\op{u}} = B$ und der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s es f"ur jede Teilmenge $X \subset B_{\op{s}}$ aus paarweise kommutierenden halbeinfachen Elementen ein $g \in (T, B_{\op{u}})$ gibt mit $g X g^{-1} \subset T$. \end{Proposition} \begin{proof} Wir argumentieren mit Induktion "uber $\op{kdim} B$. Die Induktionsbasis ist unproblematisch. Im Fall $B = B_{\op{s}}$ folgt $(B,B)\subset B_{\op{u}} =1$ und $B$ ist kommutativ, also nach \ref{KHDi} ein Torus. Wir d"urfen also $B \neq B_{\op{s}}$ alias $B_{\op{u}} \neq 1$ annehmen. Dann gibt es einen minimalen unipotenten zusammenh"angenden nichttrivialen Normalteiler $U \As B$, denn $B_{\op{u}}$ hat alle diese Eigenschaften nach \ref{ZFTR}. Als unipotente Gruppe ist $U$ nilpotent und es folgt $\mathcal D U \subsetneq U$ und folglich $\mathcal D U =1$ wegen der Minimalit"at von $U$. Mithin ist unser $U$ kommutativ. Nun unterscheiden wir zwei F"alle.\\[2mm]\noindent Fall 1: $\bar B \pdef B/U$ ist kein Torus. Dann wenden wir die Induktionsannahme an und finden in $\bar B$ einen Torus $\bar T\subset\bar B$ mit $\bar T \bar B_{\op{u}} = \bar B$ und den weiteren oben ausgef"uhrten Eigenschaften. Bezeichnet $\pi:B\sra \bar B$ die Projektion, so ist $\tilde B\pdef \pi^{-1}(\bar T)$ auch aufl"osbar zusammenh"angend und wegen unserer Annahme gilt $\bar T\neq\bar B$ und $\tilde B\subset B$ ist eine echte Untergruppe. Wir k"onnen unsere Induktionsannahme so ein weiteres Mal anwenden und einen Torus $\tilde T\subset \tilde B$ finden mit $\tilde T \tilde B_{\op{u}}=\tilde B$ und den weiteren oben ausgef"uhrten Eigenschaften. Im folgenden pr"ufen wir, da"s dies $\tilde T$ auch die von unserem Torus $T$ von $B$ in der Proposition geforderten Eigenschaften hat. In der Tat liefert $\pi : B \twoheadrightarrow \bar B$ nach \ref{qwer} eine Surjektion $B_{\op{u}} \twoheadrightarrow \bar B_{\op{u}}$. Aus $\bar T \bar B_{\op{u}} = \bar B$ folgt $\tilde B B_{\op{u}}=\pi^{-1}(\bar T) \pi^{-1}(\bar B_{\op{u}}) = \pi^{-1}(\bar B) =B$ und mit $\tilde B=\tilde T \tilde B_{\op{u}}$ dann sofort $\tilde T B_{\op{u}} = B$. % Andererseits ist $\pi^{-1} (\bar T)$ zusammenh"angend aufl"osbar und eine echte Untergruppe % $\pi^{-1} (\bar T) \subsetneq B$, da ja $\bar B$ kein Torus war. % Wir finden also mit Induktion einen maximalen Torus $T \subset \pi^{-1} (\bar T)$ mit $T (\pi^{-1} % (\bar T)_{\op{u}}) = \pi^{-1} (\bar T)$ und daraus folgt schon mal $T B_{\op{u}} = B$. Man beachte, da"s daraus auch folgt $\pi(\tilde T)\bar B_{\op{u}} = \bar B$ und wegen $\pi (\tilde T) \subset \bar T$ dann $\pi (\tilde T) = \bar T$. Sei weiter $X \subset B_{\op{s}}$ eine kommutative Teilmenge. Dasselbe gilt dann f"ur $\pi (X) \subset \bar{B_{\op{s}}}$ und Induktion liefert $\bar g \in (\bar T, \bar B_{\op{u}})$ mit $\bar g \pi (X) \bar g^{-1} \subset \bar T$. Dann aber gibt es auch $g \in (T, B_{\op{u}})$ mit $g \mapsto \bar g$ und f"ur dies $g$ gilt $g (\pi^{-1} (\pi (X)) g^{-1} \subset \tilde B$. Erst recht folgt $g X g^{-1} \subset \tilde B$ und wieder mit Induktion finden wir $h \in (\tilde T, \tilde B_{\op{u}})$ mit $hg X g^{-1} h^{-1} \subset \tilde T$. Damit ist der Fall erledigt, da"s $B/U$ kein Torus ist. \\[2mm]\noindent Fall 2: $\bar B \pdef B/U$ ist ein Torus. Es folgt sofort $U = B_{\op{u}}$. Ist zus"atzlich $B_{\op{u}}$ zentral in $B$, so mu"s wegen $(B,B) \subset B_{\op{u}}$ unsere Gruppe sogar nilpotent sein und nach dem Satz \ref{SNLI} "uber die Struktur zusammenh"angender nilpotenter Gruppen ist dann $B_{\op{s}}$ eine Untergruppe und die Multiplikation ein Isomorphismus $B_{\op{s}} \times B_{\op{u}}\sira B$ und $B_{\op{s}}$ ist der einzige maximale Torus und die Behauptung ist klar. Wir d"urfen also annehmen, da"s $U = B_{\op{u}}$ nicht zentral ist in $B$. Da $U$ kommutativ ist, gibt es dann $s \in B_{\op{s}}$ mit $U \not\subset B^s$. Im Rest des Beweises soll gezeigt werden, da"s in dieser Situation $B^s$ der ersehnte Torus mit den gesuchten Eigenschaften ist. Da $U$ kommutativ ist, mu"s \begin{displaymath} \begin{array}{cclll} \varphi &: & U &\rightarrow& U\\ && u &\mapsto &s u s^{-1} u^{-1}=(\op{int}_su)u^{-1} \end{array} \end{displaymath} ein Homomorphismus von algebraischen Gruppen sein. Nach Wahl von $s$ ist er nicht konstant. Sein Bild ist ein Normalteiler in $B$, denn f"ur $g\in G$ gilt $$\op{int}_g((\op{int}_su)u^{-1})=\op{int}_g(\op{int}_su)(\op{int}_gu)^{-1})$$ und wir folgern leicht $\op{int}_g(\op{int}_su)=\op{int}_s(\op{int}_gu)$ aus $(B,B)\subset U$ und der Kommutativit"at von $U$. Die Minimalit"at von $U$ vom Anfang des Beweises zeigt dann $\varphi (U) =U$. Daraus folgern wir nun $B^s U= B$. In der Tat haben wir f"ur $g \in B$ stets $s gs^{-1} g^{-1} \in \mathcal D B \subset B_{\op{u}} = U = \varphi (U)$ und folglich gibt es $u \in U$ mit $s g s^{-1} g^{-1} = s u s^{-1} u^{-1}$, woraus folgt $u^{-1} g \in B^s$. Dann zeigen wir $B^s \cap U =1$. In der Tat k"onnen wir jedes $g$ im Schnitt schreiben als $g = s u s^{-1} u^{-1}$ und finden $s^{-1} g = u s^{-1} u^{-1}$. Dann w"are die linke Seite die Jordan-Zerlegung der rechten Seite und das zeigt $g = 1$. Wegen $B^s \cap B_{\op{u}} =1$ besteht $B^s $ aus halbeinfachen Elementen. Dann zeigen wir, da"s $B^s$ zusammenh"angend ist. In der Tat ist $U = B_{\op{u}}$ ein Normalteiler von $B$ und wir k"onnen das semidirekte Produkt $(B^s)^\circ \ltimes U$ bilden mitsamt einem offensichtlichen Gruppenhomomorphismus nach $B$. Dessen Bild $(B^s)^\circ U$ ist notwendig eine abgeschlossene Untergruppe von $B$ von endlichem Index, also ganz $B$, und daraus folgt $(B^s)^\circ = B^s$. Jetzt folgt, da"s $B^s $ kommutativ ist, denn es ist aufl"osbar und zusammenh"angend, also besteht seine derivierte Gruppe nach \ref{ZFTR} aus unipotenten Elementen. Also ist $ T\pdef B^s$ schon mal ein Torus mit $T U =B$ und damit nach \ref{mTuu} ein maximaler Torus von $B$. Sei schlie"slich $X \subset B_{\op{s}}$ kommutativ. Kommutiert jedes Element von $X$ mit jedem Element von $U$, gilt also $U \subset B^X$, so f"uhrt f"ur jedes $x \in X$ die Darstellung $x = t u$ mit $t \in T$ und $u \in U$ zu $u^{-1} x = x u^{-1} = t$ und die Eindeutigkeit der Jordan-Zerlegung zeigt $x = t \in T$, also $X \subset T$. Sonst gibt es $r \in X$ mit $U\not\subset B^r$. Nach dem, was wir bereits bewiesen haben, ist dann auch $B^r$ ein Torus und $\psi : U \rightarrow U$, $u \mapsto r u r^{-1} u^{-1}$ bijektiv. Au"serdem gilt nat"urlich $X \subset B^r$. Schreiben wir nun $r^{-1} = t u$ mit $t \in T, u \in U$, so gibt es $v \in U$ mit $u^{-1} = r v r^{-1} v^{-1}$, also $t = r^{-1} u^{-1}=v r^{-1} v^{-1}$, also $v B^r v^{-1} = B^t \supset T$ und damit $v B^r v^{-1} = T$. Da schlie"slich wegen der Bijektivit"at von $\varphi$ gilt $U = (T,B_{\op{u}})$, haben wir $v \in (T,B_{\op{u}})$ und die Proposition ist bewiesen. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die Diagonalmatrizen in der $\op{GL}(n;k)$ einen maximalen Torus bilden, und da"s jeder maximale Torus zu diesem konjugiert ist.\label{AMTUN} Man zeige dasselbe in der Gruppe $\op{SL}(n;k)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s in der Gruppe $\op{GL}(n;k)$ jede aus halb\-ein\-fa\-chen Elementen bestehende kommutative Teilmenge in einem maximalen Torus enthalten ist. Man zeige, da"s das f"ur den Fall einer von Zwei verschiedenen Charakteristik im Quotienten $\op{GL}(2;k)/\{\pm\op{id}\}$ nicht mehr richtig ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Der Zentralisator eines maximalen Torus in einer zusammenh"angenden aufl"osbaren affinen algebraischen Gruppe ist stets nilpotent. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $B$ eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe und $T \subset B$ ein Torus.\label{EBVe} Man zeige: Es gibt eine abgeschlossene Einbettung von $B$ in eine Gruppe von oberen Dreiecksmatrizen, unter der alle Elemente unseres Torus auf Diagonalmatrizen gehen. Ist hier $T$ sogar ein maximaler Torus, so mu"s er der Schnitt von $B$ mit der Gruppe der Diagonalmatrizen sein. Hinweis: Je zwei maximale Tori von $B$ sind zueinander konjugiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $B$ eine aufl"osbare affine algebraische Gruppe und $S\subset B$ ein Torus, so ist $SB_{\op{u}}$ eine abgeschlossene Untergruppe von $B$. \end{Ubung} \subsection{Zentralisatoren in aufl"osbaren Gruppen} \begin{Satz}[\textbf{Zentralisatoren halbeinfacher Elemente}] In einer zu\-sam\-men\-h"an\-gen\-den aufl"osbaren affinen algebraischen Gruppe ist der Zentralisator jedes halb\-einfachen Elements zusammenh"angend.\label{ZZZn} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Der folgende Beweis kommt ohne die Klassifikation eindimensionaler zusammenh"angender Gruppen aus. Kennt man diese Klassifikation, so kann man folgern, da"s im Beweis $U/V$ isomorph sein mu"s zu $(k,+)$, und kann damit den Beweis entsprechend vereinfachen. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Seien $B$ unsere Gruppe und $s \in B_{\op{s}}$ unser halbeinfaches Element. Wir finden nach \ref{MTAG} einen maximalen Torus $T$ "uber $s$ und folgern $T \subset B^s$. Nach \ref{MTAG} ist die Multiplikation ein Isomorphismus \begin{equation*} T \times (B^s \cap B_{\op{u}}) \sira B^s \end{equation*} und in Charakteristik Null ist der Beweis an dieser Stelle zu Ende, weil dort nach \ref{ZURE} jede unipotente Gruppe zusammenh"angend ist. Im allgemeinen k"onnen wir $B$ nach "Ubung \ref{EBVe} so in eine Gruppe $D$ von oberen Dreiecksmatrizen einbetten, da"s $T$ in den Diagonalmatrizen landet. Wir finden leicht eine Filtrierung $D_{\op{u}} = D(0) \supset D(1) \supset \ldots \supset D(r) =1$ durch Normalteiler von $D$ mit sukzessiven Subquotienten jeweils isomorph zur additiven Gruppe $(k,+)$. Herunterschneiden liefert eine Filtrierung $U\pdef B_{\op{u}} =U(0) \supset U(1) \supset \ldots \supset U(r) =1$ durch Normalteiler von $B$, deren sukzessive Subquotienten injektive Gruppenhomomorphismen \begin{equation*} U(i) / U (i+1) \hookrightarrow k \end{equation*} zulassen derart, da"s sich darunter $\op{int}_s$ zu einem Automorphismus der additiven Gruppe $k$ fortsetzen l"a"st. Ist $B_{\op{u}}$ trivial, so ist der Beweis wieder zu Ende. Da mit $B$ nach \ref{ZFTR} auch $U=B_{\op{u}}$ zusammenh"angend ist, finden wir sonst einen kleinsten Index $i$ mit $U\supsetneq U(i+1)$. Wir haben dann f"ur diesen Index $i$ einen bijektiven Gruppenhomomorphismus $ U / U (i+1) \rightarrow k$ derart, da"s sich $\op{int}_s$ zu einem Automorphismus der additiven Gruppe $k$ fortsetzen l"a"st. Wir betrachten nun die Einskomponente $V\pdef U(i+1)^\circ$ von $U(i+1)$. Mit Induktion "uber die Dimension von $B$ d"urfen wir voraussetzen, da"s die Aussage f"ur das semidirekte Produkt $T\ltimes V$ bereits bewiesen ist, und d"urfen mithin $V^s$ zusammenh"angend annehmen. Da $V$ auch ein Normalteiler von $B$ sein mu"s, erhalten wir einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $p:U/V\sra k$ mit endlichem Kern zusammen mit $\alpha \in k^\times$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ U / V \ar[d]_-{\op{int}_s} \ar@{->>}[r] & k \ar[d]^{\alpha }\\ U/ V \ar@{->>}[r]& k } \end{displaymath} kommutiert. Dann kommutiert dasselbe Diagramm auch mit $\psi:U / V\ra U/V$ links und $(\alpha-1)$ rechts, f"ur $$\psi(x)\pdef (\op{int}_sx)x^{-1}$$ Da $U/V$ als eindimensionale zusammenh"angende unipotente Gruppe kommutativ ist, die derivierte Gruppe mu"s ja trivial sein, ist auch $\psi$ ein Gruppenhomomorphismus. Haben wir hier $\alpha \neq 1$, so mu"s auch $\psi$ birational sein, da es auf $\mathcal M(U/V)$ einen K"orperhomomorphismus "uber $\mathcal M(k)$ induziert und da $\mathcal M(U/V)$ eine endliche K"orpererweiterung von $\mathcal M(k)$ ist. Mithin mu"s $\psi$ nach \ref{birH} bijektiv sein und $\op{int}_s$ hat in $U/V$ keine Fixpunkte au"ser dem neutralen Element. Die linksexakte Sequenz $$V^s\hra U^s\ra (U/V)^s$$ zeigt also $U^s =V^s$ und $V^s$ ist zusammenh"angend nach Induktionsannahme. Haben wir sonst $\alpha =1$, so landet $\psi$ im Kern von $p$, ist folglich konstant das neutrale Element, und damit ist $\op{int}_s$ die Identit"at auf $U/V$. Unsere linksexakte Sequenz wird so zu $$V^s\hra U^s\overset{\pi}{\rightarrow} (U/V)$$ Ist hier $\pi$ surjektiv, so sind wir wieder fertig. Sonst folgt $\op{kdim} V^s= \op{kdim} U^s$ und damit induziert die Einbettung einen Isomorphismus $\op{Lie} (V^s)\sira \op{Lie} (U^s)$ und mit \ref{LZeH} auch einen Isomorphismus $(\op{Lie} V)^s\sira (\op{Lie} U)^s$. Nun haben wir aber eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} \op{Lie} V \hookrightarrow \op{Lie} U \twoheadrightarrow \op{Lie} (U / V) \end{equation*} und die $\op{Ad}_s$-Invarianten darin m"ussen, da $s$ halbeinfach ist, auch eine kurze exakte Sequenz bilden. Daraus aber folgt $(\op{Lie} (U / V))^{s}=0$ im Widerspruch zu $\op{int}_s =\op{id}:U/V\ra U/V$. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $B$ eine zusammenh"angende\label{ZSTZ} aufl"osbare affine algebraische Gruppe und $X \subset B_{\op{s}}$ eine Teilmenge aus paarweise kommutatierenden halbeinfachen Elementen. So ist $B^X$ zusammenh"angend. \end{Korollar} \begin{proof} Nat"urlich gilt f"ur jedes $s\in X$ die Identit"at $B^X = (B^s)^X$. Induktion "uber die Dimension unter Anwendung von \ref{ZZZn} zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Lemma}\label{NZB} Seien $B$ eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe und $S \subset B$ eine kommutative Untergruppe mit $S \subset B_{\op{s}}$. So gilt \begin{equation*} {\op{Z}}_B (S) ={\op{N}}_B (S) \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Seien $h \in {\op{N}}_B (S)$ und $s \in S$ gegeben. Wir finden $hsh^{-1} s^{-1} \in (B,B) \subset B_{\op{u}}$ aber auch $hsh^{-1} s^{-1} = (h s h^{-1}) s^{-1} \in S\subset B_{\op{s}}$. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Die Operation durch Konjugation von $B$ auf dem Torus $B/B_{\op{u}}$ ist trivial wegen der Starrheit von Tori \ref{stT}. Wegen $S\subset B_{\op{s}}$ ist aber die Komposition $S\hra B\sra B/B_{\op{u}}$ injektiv. Das Lemma folgt. \end{proof} %\newpage \subsection{Vollst"andige Variet"aten} \begin{Definition} Eine Variet"at $X$ hei"st {\bf vollst"andig},\index{vollst"andig!Variet"at} wenn f"ur alle weiteren Variet"aten $Z$ die Projektion $X \times Z\ra Z$ abgeschlossen ist.\label{VoV} \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Variet"at $k$ ist nicht vollst"andig, denn in $k\times k$ ist die Hyperbel $\{xy=1\}$ abgeschlossen,\label{knV} ihre Projektion auf die $x$-Achse ist jedoch nicht abgeschlossen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir werden im folgenden sehen, da"s die Vollst"andigkeit ein algebraisches Analogon zur Kompaktheit von Mannigfaltigkeiten ist. Vollst"andige Variet"aten sind auch genau die Variet"aten, deren Projektion auf einen Punkt eigentlich ist im Sinne von \eref{eiMO}{KAG}. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaften vollst"andiger Variet"aten}] \begin{enumerate} \item Jede abgeschlossene Untervariet"at einer vollst"andigen Variet"at ist vollst"andig; \item Das Produkt von zwei vollst"andigen Variet"aten ist vollst"andig; \item Gegeben ein surjektiver Morphismus von Variet"aten $\pi:X\sra Y$ mit $X$ vollst"andig folgt $Y$ vollst"andig; \item Das Bild einer vollst"andigen Variet"at unter einem Morphismus in eine separierte Variet"at ist abgeschlossen und vollst"andig; \item Jede regul"are Funktion auf einer zusammenh"angenden vollst"andigen Variet"at ist konstant; \item Eine affine Variet"at ist vollst"andig genau dann, wenn sie endlich ist. \end{enumerate} \label{EVVa} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die ersten beiden Aussagen sind klar. F"ur 3 betrachte man $A\As Y\times Z$ und folgert $A=\pi(\pi^{-1}(A))$ und damit $\op{pr}_Z(A)=\op{pr}_Z(\pi^{-1}(A))\As Z$. F"ur 4 betrachtet man zu einem Morphismus $\varphi : X \ra Y$ den Graphen $\Gamma_{\varphi} \subset X \times Y$. Ist $Y$ separiert, so ist er abgeschlossen nach \eref{GSEV}{KAG} und man folgert $\varphi (X) = \op{pr}_{Y} (\Gamma_{\varphi}) \As Y$. Die Vollst"andigkeit von $\varphi (X)$ folgt aus 3. Aus 3 folgt 5, denn $k$ ist nicht vollst"andig nach \ref{knV}, folglich sind die endlichen Teilmengen die einzigen vollst"andigen abgeschlossenen Untervariet"aten von $k$. Daraus hinwiederum folgt 6 unmittelbar. \end{proof} %\newpage %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Projektive Variet"aten sind vollst"andig}] F"ur jede Variet"at $Z$ ist die Projektion $\pi: \DP^{n} \times Z \ra Z$ abgeschlossen.\label{VSPb} \end{Proposition} \begin{proof}[Geometrischer Beweis] Seien $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum und $A \As \mathbb PV \times Z$ eine abgeschlossene Teilmenge. Es gilt zu zeigen $\op{pr}_Z (A) \As Z$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $A$ irreduzibel und $\op{pr}_Z (A)$ dicht annehmen und m"ussen dann $\op{pr}_Z (A) =Z$ zeigen. Klar ist $\op{kdim} A \geq \op{kdim} Z$. Jetzt erkl"aren wir Variet"aten $B$ und $C$ durch das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &B\ar@{=}[d]\ar@{^{(}->}[r]^-{j}&C\pdef\overline{j(B)} \ar@{=}[d]&\\ A\ar@{^{(}->}[d]&\ar@{->>}[l]^-{\pi}\pi^{-1}(A)\ar@{^{(}->}[d]\ar@{^{(}->}[r]^-{j}& \overline{j(\pi^{-1}(A))}\ar@{^{(}->}[d]\\ \mathbb P V \times Z \ar[dr] & \ar@{->>}[l]^-{\pi} (V \backslash 0) \times Z \ar[d] \ar@{^{(}->}[r]^-{j} & V \times Z \ar[dl]\\ & Z & } \end{displaymath} Es ist leicht zu sehen, etwa mit der lokalen Trivialit"at der Projektion auf den projektiven Raum \eref{plhf}{KAG}, da"s $B \pdef \pi^{-1} (A)$ auch irreduzibel ist von einer Dimension $\op{kdim} B > \op{kdim} Z$. Dann ist $C\pdef\overline{j(B)}$ auch irreduzibel mit $j^{-1}(C)=B$. Weiter gilt $C \supset \{0\} \times \op{pr}_Z (A)$, also auch $C \supset \{0\} \times Z$. F"ur alle $z \in Z$ ist also $C \cap (V \times \{z\})$ nicht leer und wegen $\op{kdim} C = \op{kdim} B > \op{kdim} Z$ mu"s nach unseren Erkenntnissen \eref{diF}{KAG} zur Mindestdimension nichtleerer Fasern unser Schnitt mindestens die Dimension Eins haben und folglich auch Punkte $(v,z)$ mit $v \in V \backslash 0$ enthalten. So folgt $z \in \op{pr}_Z (A)$. \end{proof} %\newpage \begin{proof}[Algebraischer Beweis] Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $Z$ affin. Wir setzen $S\pdef \cal{O}(Z)[T_0,\ldots ,T_n]$. Jede abgeschlossene Teilmenge $A \As Z \times \DP^{n}$ ist nach \eref{NHIU}{KAG} von der Gestalt $A=\mathcal Z^{\ast}(I)$ f"ur ein homogenes Ideal $I\subset S$, und f"ur $z\in Z$ mit Verschwindungsideal $\mathcal I(z)\subset \cal{O}(Z)$ haben wir $\pi^{-1}(z) = \mathcal Z^\ast(\mathcal I(z) S)$. Es folgt $$A\cap \pi^{-1}(z)=\mathcal A^\ast(\mathcal I(z) S + I)$$ Nach \eref{NHIU}{KAG} haben wir also $A\cap \pi^{-1}(z)=\emptyset$ genau dann, wenn es ein $d$ gibt derart, da"s f"ur die homogenen Komponenten vom Grad $d$ gilt $(\mathcal I(z) S + I)_d=S_d$, also genau dann, wenn f"ur ein $d$ die offensichtliche Abbildung $I_d\ra S_d/\mathcal I(z) S_d$ eine Surjektion ist. Nun sind aber $I_d\subset S_d$ endlich erzeugte $\cal{O}(Z)$-Moduln und nach dem Na\-ka\-ya\-ma-Lemma \eref{LVN}{KAG} ist dann die Menge aller $z\in Z$, f"ur die $I_d\ra S_d/\mathcal I(z) S_d$ surjektiv ist, eine offene Teilmenge von $Z$. Das zeigt, da"s das Komplement von $\pi(A)$ offen ist in $Z$. \end{proof} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Globale regul"are Funktionen auf projektiven Variet"aten}] Auf einer zusammenh"angenden projektiven Variet"at gibt es insbesondere au"ser den Konstanten keine globalen regul"aren Funktionen.\label{GFP} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Jede vollst"andige separierte zusammenh"angende algebraische Gruppe $G$ ist kommutativ. In der Tat betrachte man den Morphismus \begin{displaymath} \begin{array}{rccl} \varphi :& G \times G & \rightarrow & G \times G\\ &(g, h) & \mapsto & (g, h g h^{-1}) \end{array} \end{displaymath} Sein Bild ist abgeschlossen nach \ref{EVVa} und umfa"st die Diagonale. W"are sein Bild aber nicht die Diagonale, so folgte $\op{kdim} \varphi (G \times G) > \op{kdim} G$ und nach Proposition \eref{kfsg}{KAG} "uber die Kodimension von Schnittmengen in glatten Variet"aten st"unde das im Widerspruch zu $\varphi (G \times G) \cap (1 \times G) = \{(1,1)\}$. \end{Bemerkunge} %\newpage \begin{Lemma}[\textbf{Morphismen von Kurven in vollst"andige Variet"aten}] Ist $Y$ eine vollst"andige Variet"at\label{FVv} und $X$ eine Kurve und $p \in X$ ein regul"arer Punkt und $\varphi : X \backslash p \rightarrow Y$ ein Morphismus, so gibt es eine Fortsetzung von $\varphi$ zu einem Morphismus $\tilde \varphi : X \rightarrow Y$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ist $Y$ separiert, so ist diese Fortsetzung sogar eindeutig bestimmt. Wir werden unser Lemma im folgenden nicht ben"otigen. Ich halte es aber f"ur ein wichtiges St"uck Allgemeinbildung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten die Einbettung $i : X \backslash p \hookrightarrow X$ und den Morphismus \begin{equation*} (\varphi , i) : (X \backslash p) \hookrightarrow Y \times X. \end{equation*} Der Abschlu"s des Bildes dieses Morphismus $A\pdef \overline{\op{im}(\varphi , i)}$ mu"s unter der Projektion $\op{pr}_X : Y \times X \rightarrow X$ wegen der Vollst"andigkeit von $Y$ auf eine abgeschlossene Teilmenge von $X$ abgebildet werden, wir haben also $\op{pr}_X (A) =X$. Insbesondere gibt es $a \in A$ mit $\op{pr}_X (a) = p$. Nun d"urfen wir nach \eref{lIrr}{KAG} zus"atzlich $X$ irreduzibel annehmen. Dann ist nat"urlich $\psi := \op{pr}_X :A \rightarrow X$ ein birationaler Morphismus, denn er induziert einen Isomorphismus $\psi^{-1} (U) \sira U$ f"ur alle $U \co X$ mit $p \not\in U$. Andererseits induziert der Komorphismus Injektionen $\psi^\sharp : \mathcal O_{X,p} \hookrightarrow \mathcal O_{A,a}$ f"ur alle $a \in \psi^{-1} (p)$. Wegen der Maximalit"at diskreter Bewertungsringe \eref{MBEW}{KAG} induziert $\psi^\sharp$ dann sogar Isomorphismen $\psi^\sharp : \mathcal O_{X,p} \sira \mathcal O_{A,a}$. Das aber zeigt, da"s wir f"ur jeden Punkt $a \in \psi^{-1} (p)$ eine Fortsetzung von $(\varphi , i) : X \backslash p \rightarrow A$ erhalten durch die Vorschrift $p \mapsto a$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine nichtleere echte offene Teilmenge einer zusammenh"angenden separierten Variet"at kann nie vollst"andig sein. Eine Variet"at, die durch endlich viele vollst"andige Untervariet"aten "uberdeckt werden kann, ist vollst"andig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine algebraische Gruppe $G$ gibt es unter den vollst"andigen zusammenh"angenden abgeschlossenen Untergruppen von $G$ eine gr"o"ste. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine zusammenh"angende algebraische Gruppe $G$ liegt jede vollst"andige Untergruppe $V\As G$ im Zentrum von $G$. Hinweis: Man zeige $\{(g,vgv^{-1})\mid g\in G, v\in V\}\As G\times G$. Man mag zun"achst zeigen wollen, da"s gilt $\{(g,w, wgv^{-1})\mid g\in G, v,w\in V\}\As G\times V\times G$. \end{Ubunge} %\newpage \subsection{Parabolische Untergruppen} \begin{Lemma}\label{PRVV} Ist $\varphi : X \rightarrow Y$ ein bijektiver "aquivarianter Homomorphismus von homogenen R"aumen, so ist $X$ vollst"andig genau dann, wenn $Y$ vollst"andig ist. \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{HHR} ist $\varphi$ flach, also ist f"ur jede weitere Variet"at $Z$ der Morphismus $(\varphi \times \op{id}) : X \times Z \rightarrow Y \times Z$ auch flach, also offen, also ein Hom"oomorphismus. Die Definition der Vollst"andigkeit liefert den Rest. \end{proof} \begin{Definition} Eine Untergruppe $P \subset G$ einer affinen algebraischen Gruppe hei"st \defind{parabolisch}, wenn sie abgeschlossen und der homogene Raum $G/P$ vollst"andig ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Da unsere Quotienten von affinen algebraischen Gruppen stets quasiprojektiv sind, ist der Quotient nach einer parabolischen Untergruppe sogar projektiv. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Die nichttrivialen\label{EPH} Elemente von $\op{SL} (2;\Bbb{R})$ hei"sen je nach dem Betrag ihrer Spur $$\begin{array}{ll}\index{elliptisch!Element von $\op{SL} (2;\Bbb{R})$}\index{parabolisch!Element von $\op{SL} (2;\Bbb{R})$}\index{hyperbolisch!Element von $\op{SL} (2;\Bbb{R})$} \text{\bf elliptisch} & \text{falls } |\op{tr}|< 2;\\ \text{\bf parabolisch} & \text{falls } |\op{tr}| = 2;\\ \text{\bf hyperbolisch}& \text{falls } |\op{tr}| >2. \end{array}$$ Diese Terminologie erkl"art sich im ersten und letzten Fall aus der Gestalt der Kegelschnitte, die von unserem Element in sich selber "uberf"uhrt werden. Genauer ist die Menge der Eigenwerte unserer Matrix stabil unter der komplexen Konjugation. Sie sind also entweder beide reell von der Gestalt $\lambda, \lambda^{-1}$ oder komplex konjugiert von der Gestalt $\lambda, \bar{\lambda}$ mit $\lambda \bar{\lambda} =1$. Man rechnet leicht nach, da"s der hyperbolische Fall der erste Fall ist mit der Zusatzannahme $\lambda \neq \pm 1$, der elliptische Fall der zweite Fall bei $\lambda \neq \pm 1$ mit derselben Zusatzannahme und der parabolische Fall der Grenzfall $\lambda=\bar{\lambda}=\lambda^{-1}=\pm 1$. Im hyperbolischen Fall bildet unser Element geeignete Hyperbeln in $\Bbb{R}^{2}$ auf sich selber ab und im elliptischen Fall geeignete Ellipsen. Der parabolische Fall erh"alt dann seinen Namen, weil die Parabeln unter allen Kegelschnitten in gewisser Weise \glqq zwischen\grqq\ den Ellipsen und den Hyperbeln liegen. Die archetypische parabolische Untergruppe ist nun, wie wir noch sehen werden, die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen in $\op{SL}(2;k)$, und der Normalisator vom Abschlu"s des Erzeugnisses von einem Element mit zwei gleichen Eigenwerten ist stets parabolisch. Das ist die einzige Idee, die ich zur Herkunft der Terminologie habe. Ich kann sie leider nicht belegen. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Lemma}[\textbf{Transitivit"at der Parabolizit"at}] Seien $Q \As P \As G$ affine algebraische Gruppen.\label{TPA} Genau dann ist $Q$ parabolisch in $G$, wenn $Q$ parabolisch ist in $P$ und $P$ parabolisch in $G$. \end{Lemma} \begin{proof} F"ur eine abgeschlossene Untergruppe $K \As H$ einer affinen algebraischen Gruppe sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Die Untergruppe $K$ ist parabolisch in $H$; \item F"ur jede Variet"at $X$ ist die Projektion $H/K \times X \rightarrow X$ abgeschlossen; \item F"ur jede Variet"at $X$ und jede abgeschlossene Teilmenge $A \As H \times X$ mit $(h,x) \in A \Rightarrow (hk,x) \in A \; \forall k \in K$ ist $\op{pr}_X (A)$ abgeschlossen in $X$. \end{enumerate} In der Tat ist $1 \Leftrightarrow 2$ die Definition der Vollst"andigkeit und $2 \Leftrightarrow 3$ folgt, da nach \ref{HHR} die Projektion $H \twoheadrightarrow H/K$ flach und damit produktfest offen ist. Nach dieser Vor"uberlegung beginnen wir mit dem eigentlichen Beweis. Sei $X$ eine Variet"at und $A \As G \times X$ abgeschlossen $Q$-stabil. Wir betrachten \begin{displaymath} \begin{array}{rccl} \alpha :& P \times G \times X &\rightarrow & G \times X\\ &(p, g, x) & \mapsto & (gp,x) \end{array} \end{displaymath} Sicher ist $\alpha^{-1} (A)$ dann $Q$-stabil f"ur die Rechtsoperation auf der ersten Variablen, und da $Q \As P$ parabolisch ist, mu"s $B\pdef \op{pr}_{G \times X} (\alpha^{-1} (A))$ abgeschlossen sein in $G \times X$. Diese Menge l"a"st sich beschreiben als $$B = \{ (g,x) \mid (gP \times \{x\}) \cap {A \neq \emptyset\}}$$ und ist insbesondere $P$-stabil. Da auch $P \As G$ parabolisch ist, ist auch ihre Projektion $\op{pr}_X(B)$ abgeschlossen und man sieht leicht $\op{pr}_X(B)=\op{pr}_X (A)$. Damit ist im Lemma eine der Implikationen gezeigt. Die andere folgt leicht aus $G/Q \twoheadrightarrow G/P$ sowie $P / Q \As G/Q$. \end{proof} %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Gruppen ohne echte parabolische Untergruppen}] Eine affine algebraische Gruppe ist aufl"osbar\label{ExEP} und zusammenh"angend genau dann, wenn sie keine echte, also von der ganzen Gruppe verschiedene parabolische Untergruppe besitzt. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $G$ unsere Gruppe. Wir nehmen zun"achst an, es gebe in $G$ keine echte Parabolische. Dann ist $G$ schon mal zusammenh"angend, denn die Einskomponente ist stets parabolisch. Gegeben eine Darstellung $G \rightarrow \op{GL} (V)$ von $G$ ist die induzierte $G$-Wirkung auf $\mathbb P V$ algebraisch nach \eref{OPGL}{KAG}. Jede abgeschlossene Bahn hat nach \ref{PRVV} Parabolische als Standgruppen. Gibt es keine echten Parabolischen, so m"ussen also alle abgeschlossenen Bahnen Fixpunkte sein. Da es aber nach \ref{ExAB} unter der Annahme $V \neq 0$ stets abgeschlossene Bahnen gibt, mu"s es in jeder algebraischen Darstellung $V \neq 0$ von $G$ eine eindimensionale Unterdarstellung geben. Dann folgern wir leicht, da"s $G$ isomorph ist zu einer Gruppe von oberen Dreiecksmatrizen und mithin aufl"osbar. Sei nun umgekehrt $G$ zusammenh"angend und aufl"osbar. Wir f"uhren die Annahme, $G$ habe eine echte Parabolische, zum Widerspruch. In der Tat f"anden wir sonst auch ein Gegenbeispiel mit $G$ von kleinstm"oglicher Dimension und darin eine echte Parabolische $P \subsetneq G$ maximal m"oglicher Dimension. Nun gilt entweder $P \supset (G,G)$ oder $P \not\supset (G,G)$. Im ersten Fall w"are $P$ normal, also $G/P$ affin nach \ref{QuoG} und damit $G/P$ endlich und wegen $G$ zusammenh"angend ein Punkt, im Widerspruch zur Annahme $P \subsetneq G$. Im Fall $P \not\supset (G,G)$ w"are $P (G,G) = \langle P (G,G)\rangle$ eine abgeschlossene Untergruppe gr"o"serer Dimension als $P$, also $P (G,G) = G$ und wir erhielten einen bijektiven Morphismus \begin{equation*} (G,G) /(G,G) \cap P \rightarrow G/P \end{equation*} Dann aber mu"s nach \ref{PRVV} auch $P \cap (G,G) \As (G,G)$ bereits eine echte Parabolische sein, und unsere verkappte Induktion "uber die Dimension von $G$ zeigt $P \supset (G,G)$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Borel'scher Fixpunktsatz}] Wirkt eine zusammenh"angende aufl"osbare affine algebraische Gruppe auf einer nichtleeren\label{BorFi} vollst"andigen Variet"at, so hat sie dort stets einen Fixpunkt. \end{Satz} \begin{proof} Nach \ref{PRVV} hat jede abgeschlossene Bahn Parabolische als Standgruppen, und nach \ref{ExEP} kann sie dann nur aus einem einzigen Punkt bestehen. Abgeschlossene Bahnen aber gibt es in jeder nichtleeren Variet"at mit einer algebraischen Wirkung einer algebraischen Gruppe nach \ref{ExAB}. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis] Sei $G$ unsere Gruppe und $X$ unsere Variet"at. Sei zun"achst $G$ abelsch. Nach \ref{ExAB} finden wir $x \in X$ mit $G x \As X$, also $Gx$ vollst"andig. Die Abbildung $G/G_x \rightarrow Gx$ ist bijektiv und $G/G_x$ ist affin nach \ref{QuoG}, also besteht unsere Bahn nur aus einem Punkt. Ist nun $G$ beliebig, so gilt f"ur $H = (G,G)$ bereits $\op{kdim} H < \op{kdim} G$. Mit Induktion "uber die Dimension der Gruppe ist dann $X^H \As X$ nicht leer und $G/H$ wirkt darauf und Induktion beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Lemma} Jede aufl"osbare zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe einer affinen algebraischen Gruppe kann in jede parabolische Untergruppe hineinkonjugiert werden.\label{KPOL} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $G$ unsere affine algebraische Gruppe, $P \subset G$ eine Parabolische und $B \subset G$ zusammenh"angend aufl"osbar. Nach dem Fixpunktsatz \ref{BorFi} besitzt $B$ einen Fixpunkt $x \in G/P$. Die Standgruppe $G_x$ ist dann konjugiert zu $P$, in Formeln $G_x = g P g^{-1}$ mit $g \in G$, und sie umfa"st $B$, also $B \subset g P g^{-1}$ alias $g^{-1} B g \subset P$. \end{proof} % \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{BPAg} Seien $G$ eine affine algebraische Gruppe, $X$ eine $G$-Variet"at, $P\As G$ eine Parabolische und $Y\As X$ eine abgeschlossene $P$-stabile Teilmenge von $X$. So ist auch $GY$ abgeschlossen in $X$. Hinweis: Man beachte den Isomorphismus $G\times X\sira G\times X$ mit $(g,x)\mapsto (g,gx)$ und den nach \ref{HHR} offenen Morphismus $G\times X\sra G/P\times X$. \end{Ubung} \subsection{Borel'sche Untergruppen} \begin{Satz}[\textbf{Borel'sche Untergruppen}] Sei $G$ eine affine algebraische Gruppe. F"ur eine abgeschlossene Untergruppe $B \As G$ sind dann gleichbedeutend:\label{BoPa} \begin{enumerate} \item $B$ ist maximal unter allen abgeschlossenen zusammenh"angenden aufl"osbaren Untergruppen von $G$; \item $B$ ist minimal unter allen parabolischen Untergruppen von $G$; \item $B$ ist parabolisch, aufl"osbar und zusammenh"angend. \end{enumerate} Dar"uber hinaus gibt es stets mindestens eine Untergruppe mit diesen Eigenschaften und je zwei von ihnen sind zueinander konjugiert. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die durch die "aquivalenten Eigenschaften im vorhergehenden Satz charakterisierten Untergruppen von $G$ hei"sen die {\bf Borel'schen Untergruppen} oder kurz die {\bf Borel'schen} von $G$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst einmal zeigen wir, da"s es stets eine zusammenh"angende aufl"osbare Parabolische gibt, also eine Untergruppe $B$ mit den in Teil 3 angef"uhrten Eigenschaften. Wir argumentieren dabei durch Induktion "uber die Dimension. Ist $G^\circ$ aufl"osbar, so tut es bereits $B=G^\circ$ selbst. Sonst existiert nach \ref{ExEP} eine echte Parabolische $P \subsetneq G^\circ$ und nach Induktionsannahme besitzt sie eine parabolische zusammenh"angende aufl"osbare Untergruppe $B \subset P$. Nach der Transitivit"at der Parabolizit"at \ref{TPA} ist dann $B$ auch parabolisch in $G$. Jede abgeschlossene zusammenh"angende aufl"osbare Untergruppe kann nun nach \ref{KPOL} in dieses $B$ hineinkonjugiert werden, jede maximale mu"s also zu $B$ konjugiert sein. Ebenso kann jede parabolische Untergruppe nach \ref{KPOL} "uber $B$ dar"uberkonjugiert werden, jede minimale mu"s also zu $B$ konjugiert sein. Da es aber aus Dimensionsgr"unden solche maximalen abgeschlossenen aufl"osbaren zusammenh"angenden Untergruppen gibt und aufgrund der Noether-Eigenschaft von $G$ auch solche minimalen Parabolischen, ist damit der Satz bewiesen. \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[width=10cm]{SkriptenBilder/BildBorel}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der zentralen Bedeutung der Borel'schen im Gef"uge aller abgeschlossenen Untergruppen einer affinen algebraischen Gruppe. Nicht dargestellt ist die Tatsache, da"s es nur eine Konjugationsklasse von Borel'schen und, wie wir sp"ater noch zeigen werden, nur endlich viele Konjugationsklassen von parabolischen Untergruppen gibt. \end{Bild} \begin{Beispiel} $(k= \bar k)$. In der $\op{GL} (n;k)$ bilden die oberen Dreiecksmatrizen eine Borel'sche Untergruppe $B \subset \op{GL} (n;k)$. In der Tat ist diese Untergruppe aufl"osbar und zusammenh"angend. W"are $H \supset B$ eine weitere Gruppe mit diesen Eigenschaften, so m"u"ste sie nach dem Satz von Lie-Kolchin \ref{LiKol} auch eine Fahne von Untervektorr"aumen von $k^n$ stabilisieren, also eine Folge $k^n = V_n \supset V_{n-1} \supset \ldots \supset V_0 =0$ von Untervektorr"aumen mit $\dim V_i =i$. Nun ist aber $B$ genau der Stabilisator der Fahne \begin{equation*} k^n = \langle {\op{e}}_1, \ldots, {\op{e}}_n \rangle \supset \langle {\op{e}}_1,\ldots, {\op{e}}_{n-1} \rangle \supset \ldots \supset \langle {\op{e}}_1\rangle \supset 0 \end{equation*} und stabilisiert keine weitere Fahne. Es folgt $H \subset B$, also $H = B$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Unter einer {\bf vollst"andigen Fahne}\index{Fahne!vollst"andige} von Untervektorr"aumen eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ versteht man eine Folge von Untervektorr"aumen\label{FahM} \begin{equation*} V = V_n \supset V_{n-1} \supset \ldots \supset V_1 \supset V_0 =0 \end{equation*} mit $\dim V_i =i$. Die Menge aller derartigen Fahnen notieren wir $\mathcal F (V)$. Auf dieser Menge operiert die Gruppe $\op{GL}(V)$ in offensichtlicher Weise, und diese Ope\-ra\-tion ist auch sicher transitiv. Arbeiten wir "uber einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k = \bar k$, so ist die Isotropiegruppe jeder Fahne $x\in \mathcal F (V)$ nach dem Vorhergehenden eine Borel'sche $B_x \As \op{GL} (V)$, und wir erhalten so eine Bijektion \begin{equation*} \op{GL} (V) / B_x \sira \mathcal F (V) \end{equation*} Nach "Ubung \ref{VHRR} gibt es genau eine Struktur als algebraische Variet"at auf $\mathcal F (V)$ derart, da"s alle diese Bijektionen Isomorphismen werden. Mit dieser Struktur ist $\mathcal F (V)$ dann eine vollst"andige separierte $k$-Variet"at und hei"st die {\bf Fahnenvariet"at von $V$}.\index{Fahnenvariet"at} Sie hei"st auch \defind{Flaggenvariet"at} oder \defind{Fahnenmannigfaltigkeit}. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Bilder von Borel'schen unter Surjektionen}] Unter einem surjektiven Homomorphismus affiner algebraischer Gruppen ist das Bild jeder Parabolischen eine Parabolische und das Bild jeder Borel'schen eine Borel'sche.\label{BiBo} \end{Korollar} \begin{proof} Das Bild jeder parabolischen Untergruppe ist sicher parabolisch, das Bild jeder aufl"osbaren Untergruppe aufl"osbar, das Bild jeder zusammenh"angenden Untergruppe zusammenh"angend. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zentren Borel'scher Untergruppen}] Ist $B \subset G$ eine Borel'sche Untergruppe einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe, so gilt $ {\op{Z}} (G)^\circ \subset {\op{Z}} (B) \subset {\op{Z}} (G) $.\label{ZBG} \end{Korollar} \begin{Bemerkungw} In \ref{ZBGz} zeigen wir st"arker ${\op{Z}} (B) = {\op{Z}} (G)$. \end{Bemerkungw} \begin{proof} ${\op{Z}}(G)^\circ $ ist zusammenh"angend und aufl"osbar, liegt also in einer Borel. Da je zwei Borel'sche konjugiert sind, liegt es damit in jeder Borel und wir folgern $ {\op{Z}} (G)^\circ \subset {\op{Z}} (B)$. Gegeben $z \in {\op{Z}} (B)$ faktorisiert die Abbildung $G \rightarrow G$, $x\mapsto z x z^{-1} x^{-1}$ "uber einem Morphismus $G/B \rightarrow G$. Der aber mu"s konstant sein als Morphismus einer vollst"andigen zusammenh"angenden Variet"at in eine affine Variet"at und wir erhalten ${\op{Z}} (B) \subset {\op{Z}} (G) $. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Nilpotente Borel'sche}] Hat eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe eine nilpotente Borel'sche, so f"allt sie bereits mit dieser Borel'schen zusammen.\label{NiBo} \end{Korollar} \begin{proof} Sei $G$ unsere Gruppe und $B \subset G$ unsere Borel'sche. Wir argumentieren mit Induktion "uber den Nilpotenzgrad von $B$. Ist er Null, besteht also $B$ nur aus dem neutralen Element, so ist $G$ vollst"andig und besteht folglich auch nur aus einem Element. Sonst ist das Zentrum $Z\pdef {\op{Z}} (B)$ nicht trivial und liegt nach \ref{ZBG} im Zentrum von $G$. Induktion zeigt dann $B /Z = G/Z$ und es folgt $B = G$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Maximale Tori sind konjugiert}] In einer affinen algebraischen Gruppe sind\label{AMaT} je zwei maximale Tori konjugiert. \end{Satz} \begin{proof} Jeder unserer Tori liegt in einer Borel. Je zwei Borel's sind konjugiert nach \ref{BoPa}, und je zwei maximale Tori in einer Borel sind konjugiert, da wir unseren Satz f"ur aufl"osbare Gruppen ja bereits aus \ref{MTAG} kennen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bilder maximaler Tori unter Surjektionen}] Das Bild eines maximalen Torus unter einem surjektiven Homomorphismus von affinen algebraischen Gruppen ist wieder ein maximaler Torus.\label{AAHoWe1} \end{Satz} \begin{proof} Sei $\varphi : G\twoheadrightarrow H$ unser surjektiver Homomorphismus. Gegeben $T \subset G$ ein maximaler Torus finden wir eine Borel $B \subset G$ mit $T \subset B \subset G$. Nach \ref{BiBo} ist $\varphi (B) \subset H$ eine Borel und nach \ref{MTAG} haben wir $B = T B_{\op{u}}$. Es folgt $\varphi (B) = \varphi (T) \varphi (B_{\op{u}})$ und wir sehen, da"s $\varphi (T)$ ein maximaler Torus von $\varphi (B)$ sein mu"s. Dann aber ist $\varphi (T)$ nach "Ubung \ref{MTBB} auch ein maximaler Torus in $H$. \end{proof} \begin{Definition} Eine Untergruppe $C$ einer affinen algebraischen Gruppe $G$ hei"st eine {\bf Cartan'sche}\index{Cartan'sche!Untergruppe}, wenn es in $G$ einen maximalen Torus $T$ gibt mit\label{DefCA} \begin{equation*} C = (G^T)^\circ \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Wir werden in \ref{ZTT} sehen, da"s der Zentralisator eines maximalen Torus in einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe stets zusammenh"angend ist. In zuammenh"angenden Gruppen sind die Cartan'schen damit schlicht die Zentralisatoren der maximalen Tori. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition} Jede Cartan'sche einer affinen algebraischen Gruppe ist nilpotent.\label{CNIP} \end{Proposition} \begin{proof} Seien $G \supset T$ eine affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. Es gilt zu zeigen, da"s $C \pdef (G^T)^\circ $ nilpotent ist. Sicher ist $T \subset C$ ein maximaler Torus und sicher gilt $T\subset \op{Z}(C)$. Sicher liegt weiter $T$ in einer Borel'schen $D$ von $C$ und ist auch ein maximaler Torus von $D$. Wegen $T\subset\op{Z}(C)$ ist dann die Multiplikation nicht nur ein Isomorphismus $T \times D_{\op{u}} \sira D$ von Variet"aten, sondern auch von Gruppen. Mithin ist $D$ nilpotent. Nach \ref{NiBo} zeigt das hinwiederum $D = C$ und $C$ nilpotent. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $G$ eine affine algebraische Gruppe und $S \subset G$ ein Torus\label{VCdd} gibt es $s \in S$ mit $G^s = G^S$. \end{Lemma} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $G = \op{GL} (V)$ annehmen. Sei $V= V_1 \oplus \ldots \oplus V_r$ die simultane Eigenraumzerlegung von $V$ unter $S$. Wir finden $s \in S$ mit paarweise verschiedenen Eigenwerten auf allen $V_i$. Dann gilt $G^s = G^S= \op{GL} (V_1) \times \ldots \times \op{GL} (V_r)$ mit der Notation rechts f"ur die Gruppe der alle Teilr"aume unsere $V_i$ stabilisierenden Automorphismen von $V$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{VCD} In jeder affinen algebraischen Gruppe umfa"st die Vereinigung der Cartan'schen eine offene nichtleere Teilmenge. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $G$ unsere Gruppe, die wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zusammenh"angend annehmen d"urfen, und $T\subset G$ ein maximaler Torus und $C \pdef (G^T)^\circ $ eine Cartan'sche. Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung \begin{equation*} \bigcup_{g \in G} g C g^{-1} \end{equation*} eine offene Teilmenge umfa"st. Dazu betrachte man den Morphismus $G \times C \rightarrow G, (g,c) \mapsto gc g^{-1}$. Nach Lemma \ref{VCdd} finden wir $t \in T$ mit $C = (G^t)^\circ $. Die Faser unseres Morphismus "uber $t$ ist $ \{(g,c) \in G \times C \mid g c g^{-1} =t \}$. Da aber $C$ nilpotent ist, haben wir $C_{\op{s}} = T$ und mithin impliziert oben $g c g^{-1} = t $ bereits $c \in T$. Des weiteren folgt f"ur unser $g$ dann $g Tg^{-1} \subset g (G^c)^\circ g^{-1} = (G^t)^\circ = C$ und wegen $T=C_{\op{s}}$ damit $g \in {\op{N}}_G (T)$. Nach der Starrheit von Tori \ref{stT} haben wir aber ${\op{N}}_G (T)^\circ = {\op{Z}}_G (T)^\circ =C$ und der Quotient ${\op{N}}_G (T)/ {\op{Z}}_G (T) $ ist folglich endlich und es gibt insbesondere nur endlich viele $c\in C$, die konjugiert sind zu $t$. Zusammen folgt, da"s die Faser unserer Abbildung bei $t$ h"ochstens dieselbe Dimension wie ${\op{N}}_G (T)$ und damit auch h"ochstens dieselbe Dimension wie $C$ hat. Nach Lemma \eref{diF}{KAG} "uber die Mindestdimension nichtleerer Fasern, f"ur dessen Anwendung wir $G$ irreduzibel brauchen, ist unser Morphismus also dominant und nach \ref{BMDn} umfa"st sein Bild damit eine offene nichtleere Teilmenge von $G$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{"Uberdeckung durch Borel'sche}] Jede zusammenh"angende affine algebraische Gruppe wird von ihren Borel'schen "uberdeckt. Genauer gilt f"ur jede derartige Gruppe $G$ sogar\label{BUE} \begin{displaymath} G=\underset{B\subset G \text{\emph{ Borel} }}{\bigcup} B \quad\text{ und }\quad G_{\op{u}}=\underset{B\subset G\text{\emph{ Borel} }}{\bigcup} B_{\op{u}}\quad\text{ und }\quad G_{\op{s}} =\underset{T\subset G\text{\emph{ Torus}}}{\bigcup} T \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Sobald wir wissen, da"s $G$ von seinen Borel'schen "uberdeckt wird, folgt die Aussage "uber unipotente Elemente unmittelbar, und die Aussage "uber halbeinfache Elemente folgt, da sie nach \ref{MTAG} f"ur zusammenh"angende aufl"osbare Gruppen gilt. Da nun die Vereinigung der Borel'schen die Vereinigung der Cartan'schen umfa"st, jede Cartan'sche ist nach \ref{CNIP} ja nilpotent, reicht es mit \ref{VCD} zu zeigen, da"s die Vereinigung der Borel'schen abgeschlossen ist. Das folgt jedoch sofort, wenn wir das im Anschlu"s bewiesene Lemma \ref{ADFGx} anwenden mit $Y = B$, $X = G$, $P = B$, $G=G$ und der Operation durch Konjugation. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $G$ eine affine algebraische Gruppe, $P \subset G$ eine Parabolische, $X$ eine $G$-Variet"at und $Y \As X$ eine abgeschlossene $P$-stabile Teilmenge. So ist auch $G Y$ abgeschlossen in $X$, in Formeln $G Y \As X$.\label{ADFGx}%\label{ADFG} \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten $A\pdef \{(g,x)\in G\times X\mid g^{-1}x\in Y\}$. Dann gilt sicher $A\As G\times X$ und $A$ ist $P$-stabil, in Formeln $(g,x)\in A\RA (gp,x)\in A\;\forall p\in P$. Nach der dritten "aquivalenten Charakterisierung parabolischer Untergruppen im Beweis von \ref{TPA} folgt dann $GY=\op{pr}_X(A)\As X$. Wir wiederholen kurz das Argument. Unser $A$ ist nach Annahme das Urbild seines Bildes unter der Projektion $ \pi: G\times X\sra G/P\times X$, in Formeln $A=\pi^{-1}(\pi(A))$. Da $\pi$ offen ist nach \ref{HHR}, folgt $\pi(A)\As G/P\times X$ und dann $\op{pr}_X(\pi(A))=GY\As X$ nach der Definition der Vollst"andigkeit \ref{VoV}. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben $B \subset G$ eine Borel'sche in einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe gilt ${\op{Z}} (B) = {\op{Z}} (G)$.\label{ZBGz} \end{Korollar} \begin{proof} Aus \ref{ZBG} wissen wir bereits ${\op{Z}} (B) \subset {\op{Z}}(G)$. Anderseits liegt jedes $z \in {\op{Z}}(G)$ nach \ref{BUE} in einer Borel'schen und dann, da je zwei Borel'sche nach \ref{BoPa} konjugiert sind, in jeder Borel'schen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Zentralisatoren von Tori}] Der Zentralisator eines Torus in einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe ist zusammenh"angend.\label{ZBGzx} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Da"s der Zentralisator eines Torus in einer aufl"osbaren zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe zusammenh"angend ist, wissen wir bereits aus \ref{ZSTZ}, wo wir diese Aussage sogar f"ur den Zentralisator einer beliebigen Teilmenge aus paarweise kommutierenden halbeinfachen Elementen gezeigt hatten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $G$ unsere Gruppe und $S\As G$ unser Torus. Gegeben $z \in G^S$ finden wir, da ja ganz $G$ nach \ref{BUE} von ihren Borel'schen "uberdeckt wird, eine Borel'sche $B \subset G$ mit $z \in B$. Also ist $$\widetilde X=\widetilde X_z := \{ g \in G \mid z \in g B g^{-1}\} $$ eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge von $G$ und stabil unter der Rechtsmultiplikation mit $b\in B$, ist also das Urbild einer abgeschlossenen Teilmenge $X \As G/B$. Andererseits ist $\widetilde X$ auch stabil unter Linksmultiplikation it $s\in S$, folglich ist $X\As G/B$ stabil unter $S$. Da $S$ aufl"osbar ist, hat es nach dem Borel'schen Fixpunktsatz \ref{BorFi} einen Fixpunkt $x \in X$. Nun betrachten wir die Menge $\mathcal B$ aller Borel'schen von $G$ und die Surjektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} G/B & \twoheadrightarrow &\mathcal B\\ g B & \mapsto & g B g^{-1} \end{array} \end{displaymath} Sie ist $G$-"aquivariant f"ur die Operation von $G$ auf $\mathcal B$ durch Konjugation. Unser $S$-Fixpunkt $x \in X$ wird also abgebildet auf eine Borel'sche $A \subset G$ mit $z \in A$ und $s A s^{-1} = A$ f"ur alle $s \in S$. Dann ist auch $SA = AS$ eine Untergruppe von $G$ und nach dem Satz "uber irreduzibles Erzeugen sogar eine abgeschlossene zusammenh"angende Untergruppe $SA\As G$ und wegen $(sa,tb) = s a t b a^{-1}s^{-1}b^{-1}t^{-1} \in A$ f"ur alle $s, t \in S$ und $a,b \in A$ ist auch $SA$ aufl"osbar, mithin $SA =A$. Das aber zeigt $$G^S = \underset{A\text{ Borel von }G\text{ mit } A \supset S}{\bigcup} A^S$$ Da"s aber Zentralisatoren von Tori in zusammenh"angenden aufl"osbaren Gruppen zusammenh"angend sind, wissen wir bereits aus \ref{ZSTZ}. Damit sind alle $A^S$ zusammenh"angend und folglich mu"s auch $G^S$ zusammenh"angend sein. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Borel'sche in Zentralisatoren von Tori}] Seien $G$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe und $S \subset G$ ein Torus. So ist f"ur jede Borel'sche $B$ von $ G$ mit $S\subset B\subset G$ auch $ B^S\subset G^S$ eine Borel'sche von\label{ZTT} $G^S$ und das Herunterschneiden liefert eine Surjektion \begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \left\{ \text{Borel'sche von } G \text{ "uber } S \right\} & \twoheadrightarrow & \left\{ \text{Borel'sche von }G^S \right\}\\[2mm] B&\mapsto&B^S \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Sei $B $ eine Borel'sche von $G$ mit $S\subset B\subset G$. Nach \ref{ZSTZ} ist $B^S$ zusammenh"angend, aufl"osbar ist es eh. K"onnen wir zeigen, da"s $G^S/B^S$ vollst"andig ist, so mu"s $B^S$ eine Borel'sche von $G^S$ sein. Es reicht nach \ref{PRVV} auch bereits, zu zeigen, da"s $G^S/ B^S \hookrightarrow G/B$ abgeschlossenes Bild hat, oder auch, da"s $Y \pdef G^S B$ abgeschlossen ist in $G$. Nach \ref{ZBGzx} ist $ Y$ irreduzibel. Wir betrachten die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} Y \times S & \rightarrow & B/B_{\op{u}}\\ (y,s) & \mapsto & y^{-1}syB_{\op{u}} \end{array} \end{displaymath} Dieselbe Vorschrift liefert sicher auch eine Abbildung $G \times S \rightarrow G/B_{\op{u}}$ und induziert eine Abbildung $\bar Y \times S \rightarrow B/B_{\op{u}}$ f"ur $\bar Y\As G$ der Abschlu"s von $Y$ in $G$. Nun ist auch $B/B_{\op{u}}$ ein Torus. Aufgrund der Starrheit von Tori \ref{stT} mu"s unsere Abbildung also bei festem $s \in S$ konstant sein als Funktion von $\bar y\in \bar Y$, also $\bar y^{-1} s \bar y B_{\op{u}} = s B_{\op{u}}$ f"ur alle $\bar y \in \bar Y, s \in S$. Andererseits ist $SB_{\op{u}}$ eine abgeschlossene Untergruppe von $B$, da $B_{\op{u}}\subset B$ ein Normalteiler ist, und $\bar y^{-1}S \bar y \subset SB_{\op{u}}$ ist f"ur alle $\bar y \in \bar Y$ ein maximaler Torus von $SB_{\op{u}}$. Also gibt es $z \in B_{\op{u}}$ mit $z^{-1} S z = \bar y^{-1} S \bar y$. Nun induziert die Konjugation mit $z\in B$ stets die Identit"at auf $B/(B,B)$ und a forteriori induziert die Konjugation mit $z\in B_{\op{u}}$ die Identit"at auf $SB_{\op{u}}/B_{\op{u}}$. Wir landen so bei einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ S \ar[d]_-{\op{int}(z\bar y^{-1})} \ar@{^{(}->}[r] & B/B_{\op{u}} \ar[d]^{\op{int}(z)=\op{id}}\\ S \ar@{^{(}->}[r] & B/B_{\op{u}} } \end{displaymath} Es folgt $z\bar y^{-1} \in G^S$ und $\bar y\in G^S B$ f"ur alle $\bar y \in \bar Y$. Mithin haben wir $Y =\bar Y$ und $B^S$ ist in der Tat eine Borel'sche in $G^S$. Da je zwei Borel'sche von $G^S$ konjugiert sind, mu"s unsere Abbildung dann auch surjektiv sein. \end{proof} \begin{Korollar} Umfa"st eine Borel'sche einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe einen vorgegebenen maximalen Torus,\label{ZbT} so umfa"st sie auch dessen Zentralisator. \end{Korollar} \begin{proof} Ist also in Formeln $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einer Borel'schen und einem maximalen Torus, so gilt $B \supset G^T$. In der Tat gilt nach \ref{ZBGzx} schon mal $G^T = (G^T)^\circ $, also ist $G^T$ eine \hyperref[DefCA]{Cartan'sche}, also nach \ref{CNIP} nilpotent, also folgt $B \cap G^T = G^T$ aus unserem Satz \ref{ZTT}, nach dem $B \cap G^T = B^T$ eine Borel'sche von $G^T$ sein mu"s. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungen von Gruppen und Liealgebren}] Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper der Charakteristik Null und $G$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe "uber $k$.\label{HEFF} So gilt: \begin{enumerate} \item Gegeben eine algebraische Darstellung von $G$ ist jeder unter der Liealgebra stabile Teilraum auch unter der Gruppe stabil; \item Gegeben eine algebraische Darstellung von $G$ stimmen die Invarianten der Liealgebra mit den Invarianten der Gruppe "uberein; \item Das Ableiten von Darstellungen der Gruppe zu Darstellungen ihrer Liealgebra ist ein volltreuer Funktor. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen mit dem ersten Teil. Da unsere Gruppe nach \ref{BUE} von ihren Borel'schen "uberdeckt wird, reicht es, den Fall aufl"osbarer Gruppen zu betrachten. Da zusammenh"angende aufl"osbare Gruppen nach \ref{MTAG} von ihrem unipotenten Radikal und einem maximalen Torus erzeugt werden, reicht es, die F"alle der unipotenten Gruppen und der Tori zu betrachten. Letzterer Fall ist evident, ersterer Fall folgt aus \ref{exlo}. Den zweiten Teil zeigt man genauso. Der dritte Teil folgt f"ur die Unterkategorie der endlichdimensionalen Darstellungen unserer Gruppe mit der Identifikation von $\op{Hom}_k^G(V,W)\sira \op{Hom}(V,W)_k^G$ der Homomorphismen von Darstellungen als Invarianten in der Homomorphismendarstellung. Der allgemeine Fall ergibt sich unmittelbar. \end{proof} \begin{Lemma} Unter einer algebraischen Operation einer affinen algebraischen Gruppe auf einer affinen Variet"at sind die Bahnen von Fixpunkten maximaler Tori stets abgeschlossen. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Seien $G {\acts} X$ unsere Operation, $T \subset B \subset G$ ein maximaler Torus und eine Borel und $x \in X$ ein Fixpunkt von $T$. Nach \ref{MTAG} gilt $B = B_{\op{u}}T$, also ist $Y\pdef B x = B_{\op{u}}x$ abgeschlossen nach \ref{BUg} als Bahn einer unipotenten Gruppe auf einer affinen Variet"at. Dann ist jedoch $G x=GY$ abgeschlossen in $X$ nach \ref{BPAg}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{GKlz} Man zeige: Jede zusammenh"angende affine algebraische Gruppe der Dimension Zwei oder kleiner ist aufl"osbar. Hinweis: Man gehe die M"oglichkeiten f"ur die Dimensionen maximaler Tori der Reihe nach durch. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine affine algebraische Gruppe ist jeder maximale Torus einer Borel'schen bereits\label{MTBB} ein maximaler Torus der ganzen Gruppe. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s ein halbeinfaches Element aus dem Zentrum einer zusammenh"angenden affinen\label{AAZSTo} algebraischen Gruppe in jedem maximalen Torus liegt. Hinweis: \ref{BUE}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}$(\op{char}k=0).$\label{KonBo} Gegeben eine affine algebraische Guppe $G$ und eine aufl"osbare Unteralgebra $\mathfrak k\subset \mathfrak g$ ihrer Liealgebra existiert stets eine Borel'sche $B\subset G$ mit $\mathfrak k\subset \op{Lie}B$. Hinweis: Man finde eine treue Darstellung und wende den Satz von Lie oder besser sein Korollar \eref{DDDd}{HL} an. \end{Ubunge} \subsection{Fahnenmannigfaltigkeit und Weylgruppe} \begin{Theorem}[\textbf{Normalisatoren von Borel'schen}] In einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe ist jede Borel'sche ihr eigener Normalisator.\label{NoB} \end{Theorem} \begin{proof} Seien $G$ unsere Gruppe und $B \subset G$ eine Borel'sche. Wir behaupten \begin{equation*} {\op{N}}_G (B) = B \end{equation*} Wir f"uhren den Beweis mit Induktion "uber $\op{kdim} G$ durch Widerspruch. Sei sonst $x \in {\op{N}}_G (B) \backslash B$. Sei $T \subset B$ ein maximaler Torus. Indem wir $x$ andernfalls ab"andern zu $xb$ mit geeignetem $b \in B$, d"urfen wir $x T x^{-1} = T$ annehmen, da ja in $B$ nach \ref{MTAG} je zwei maximale Tori konjugiert sind. Jetzt betrachten wir den Kommutator \begin{displaymath} \begin{array}{rccl} \psi : &T & \rightarrow & T\\ &t & \mapsto & x t x^{-1} t^{-1} \end{array} \end{displaymath} und unterscheiden zwei F"alle. \\[2mm]\noindent $\psi (T) \subsetneq T$: Aus $B\supset T$ folgt mit \ref{ZbT} sofort $B\supset G^T$. Unsere Annahmen $x\not\in B$ impliziert so a forteriori $x\not\in G^T$. Wir haben also $S\pdef (\op{ker} \psi)^\circ \subsetneq T$. Weiter liegt $x$ nach Konstruktion in $ G^S$ und normalisiert $B^S$. Nach \ref{ZTT} ist $G^S$ zusammenh"angend und $B^S$ darin eine Borel'sche. Gilt hier $G^S \neq G$, so folgt also $x \in B$ per Induktion. Gilt dahingegen $G^S =G$, so k"onnen wir die Induktionsannahme auf $G/S$ anwenden. In diesem Quotienten ist $B/S$ eine Borel'sche nach \ref{BiBo} und wir folgern $\bar x \in B/S$, also wieder $x \in B$. \\[2mm]\noindent $\psi (T) =T$: In diesem Fall ben"otigen wir die Induktionsannahme nicht. Wir w"ahlen eine Darstellung $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V)$ und einen Vektor $v\in V\backslash 0$ mit ${\op{N}}_G (B) = \op{Stab}_G \langle v \rangle$. Dann gilt sogar $\rho (T) v = v$, da $T=\psi(T)$ aus Kommutatoren von Gruppenelementen besteht, die $\langle v\rangle$ stabilisieren, sowie $\rho (B_{\op{u}}) v = v$, da $B_{\op{u}}$ unipotent ist. Also erhalten wir einen Morphismus $G/B \rightarrow V$, $g\mapsto \rho (g) v$, und der mu"s konstant sein nach \ref{EVVa} als Morphismus einer zusammenh"angenden vollst"andigen Variet"at in eine affine Variet"at. Es gilt also $G = \op{Stab}_G \langle v \rangle = {\op{N}}_G (B)$ und $B$ ist selbst ein Normalteiler. Dann aber ist $G/B$ vollst"andig, affin und zusammenh"angend, mithin ein Punkt, und es folgt wieder $x \in B$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{NONN} Gegeben eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe $G$ betrachten wir die Menge $$\mathcal B = \mathcal B (G) = \mathcal B_G\pdef \{A \subset G \mid A \text{ ist Borel'sche}\}$$ aller Borel'schen von $G$. Die Gruppe $G$ operiert darauf transitiv durch Kon\-ju\-ga\-tion und nach \ref{NoB} erhalten wir f"ur jede Borel'sche $B \subset G$ eine $G$-"aquivariante Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} G/B & \sira & \mathcal B_G\\ g B & \mapsto & g B g^{-1} \end{array} \end{displaymath} Nach \ref{VHRR}\index{B@$\mathcal B_G$ Fahnenmannigfaltigkeit} gibt es nun genau eine Struktur als Variet"at auf $\mathcal B$, bez"uglich derer alle diese Abbildungen Isomorphismen von Variet"aten werden. Diese Variet"at $\mathcal B$ hei"st die {\bf Variet"at der Borel'schen von $G$} oder, in Erweiterung der in \ref{FahM} eingef"uhrten Terminologie, die {\bf Fahnenmannigfaltigkeit von} $G$.\index{Fahnenmannigfaltigkeit!einer affinen algebraischen Gruppe} F"ur die $G$-Operation auf der Fahnenmannigfaltigkeit $\mathcal B$ verwenden wir zwei Notationen: Betrachten wir eine Borel'sche eher als Punkt, so notieren wir sie mit einem kleinen Buchstaben wie etwa $x\in \mathcal B$ und schreiben $gx$ f"ur das Anwenden von $g\in G$ auf $x\in\mathcal B$. Betrachten wir eine Borel'sche eher als Untergruppe, so notieren wir sie mit einem gro"sen Buchstaben wie etwa $A\subset G$ und schreiben $gAg^{-1}$ f"ur das Konjugieren. Manchmal notieren wir zu $x\in\mathcal B$ auch $B_x\subset G$ eben diese Borel'sche, aufgefa"st als Untergruppe, und haben also $B_{gx}=gB_xg^{-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{NONN} Gegeben eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe $G$ betrachten wir "ahnlich die Menge $$\mathcal T = \mathcal T (G) = \mathcal T_G\pdef \{T \subset B\subset G \mid T \text{ ist maximaler Torus und $B$ Borel'sche}\}$$ aller {\bf borelierten maximalen Tori}\index{T@$\mathcal T_G$ Variet"at der borelierten Tori} oder kurz {\bf borelierten Tori von $G$}.\index{borelierter Torus} Die Gruppe $G$ operiert darauf transitiv durch Konjugation und nach \ref{NoB} zusammen mit \ref{NZB} erhalten wir f"ur jeden borelierten Torus $T\subset B \subset G$ eine $G$-"aquivariante Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} G/T & \sira & \mathcal T_G\\ g T & \mapsto & (g T g^{-1}\subset g B g^{-1}) \end{array} \end{displaymath} Nach \ref{VHRR} gibt es nun genau eine Struktur als Variet"at auf $\mathcal T$, bez"uglich derer alle diese Abbildungen Isomorphismen von Variet"aten werden. Diese Variet"at $\mathcal T$ hei"st die {\bf Variet"at der borelierten Tori von $G$}. F"ur die $G$-Operation auf dieser Variet"at $\mathcal T$ verwenden wir wieder zwei Notationen: Betrachten wir einen borelierten Torus eher als Punkt, so notieren wir ihn mit einem kleinen Buchstaben wie etwa $x\in \mathcal T$ und schreiben $gx$ f"ur das Anwenden von $g\in G$ auf $x\in\mathcal B$. Betrachten wir ihn eher als ein Paar von Untergruppen, so notieren wir ihn $T\subset B $ und schreiben $gTg^{-1}\subset gBg^{-1}$ f"ur das Konjugieren. Manchmal notieren wir zu $x\in\mathcal T$ auch $T_x\subset B_x\subset G$ eben diesen borelierten Torus, aufgefa"st als Paar von Untergruppen, und haben also $(T_{gx}\subset B_{gx})=(gT_xg^{-1}\subset gB_xg^{-1})$. Wir haben einen offensichtlichen $G$-"aquivarianten Morphismus $\mathcal T\sra \mathcal B$. Die Faser "uber $x$ ist hierbei jeweils ein prinzipaler homogener Raum "uber dem unipotenten Radikal von $B_x$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} Gegeben eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe $G$ mit einer Borel'schen $B$ existiert im allgemeinen keine zu unseren Beschreibungen von $G/B$ und $G/T$ vergleichbar nat"urliche Beschreibung des Quotienten $G/B_{\op{u}}$. Mehr dazu wird in \ref{bas} diskutiert. \end{Bemerkungw} \begin{Korollar}[\textbf{Normalisatoren parabolischer Untergruppen}] In einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe ist jede Parabolische zusammenh"angend und ihr eigener Normalisator. \end{Korollar} \begin{proof} Seien $G \supset P$ unsere Gruppe und ihre Parabolische. Es gibt eine Borel'sche $B \subset P^\circ $. Aus $x \in {\op{N}}_G (P)$ folgt dann, da"s $x B x^{-1} \subset P^\circ $ auch eine Borel'sche ist, also gibt es $y \in P^\circ $ mit $yBy^{-1}=xBx^{-1}$ und folglich $y^{-1} x \in {\op{N}}_G (B) = B$. So folgt unmittelbar $x \in P^\circ B \subset P^\circ $. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $G$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe und $P \As G$ eine Parabolische. Sei weiter $x \in G$ gegeben. Umfa"st $P \cap x^{-1} P x$ eine Borel, so gilt bereits $P = x^{-1} Px$. \end{Korollar} \begin{proof} Sei $B \subset P \cap x^{-1} P x$ eine Borel. Sicher ist $x B x^{-1} \subset P$ dann auch eine Borel, also gibt es $y \in P$ mit $y x B x^{-1} y^{-1} = B$ alias $y x \in B$. Mit $y \in P$ folgt dann $x \in P$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben $G\supset T$ eine affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus setzt man $${\op{W}}_G(T)\pdef {\op{N}}_G (T)/{\op{Z}}_G (T) $$ und nennt diese endliche Gruppe die {\bf Weylgruppe von $G$} oder pr"aziser die {\bf Weylgruppe von $(G,T)$}.\index{Weylgruppe!von algebraischer Gruppe} \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{AWGUN} Der Normalisator des maximalen Torus $T$ aller Diagonalmatrizen in der allgemeinen linearen Gruppe $\op{GL}(n;k)$ besteht genau aus allen Matrizen, die die simultanen Eigenr"aume $k{\op{e}}_\nu$ unserer Diagonalmatrizen permutieren, als da hei"st aus allen Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte genau einen von Null verschiedenen Eintrag haben. In diesem Fall bilden die Permuta\-tions\-matrizen ein Repr"asentantensystem f"ur die Weylgruppe. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Borel'sche und Weylgruppe}] Gegeben eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe operiert die Weylgruppe zu einem maximalen Torus frei und transitiv durch Konjugation auf der Menge der Borel'schen "uber besagtem\label{BoWey} maximalen Torus. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Sind $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einer Borel'schen un einem maximalen Torus liefert in Formeln die Konjugation also eine Bijektion\label{BuW} \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} {\op{W}}_G (T) & \sira &\{ A \subset G \mid A\text{ ist Borel'sche mit } A \supset T\}\\[2mm] n & \mapsto & \;\;\;\; n B n^{-1} \end{array} \end{displaymath} In nochmal anderen Worten und unter Verwendung von \ref{NoB} operiert die Weylgruppe ${\op{W}}_G (T)$ zu einem maximalen Torus $T$ frei und transitiv auf der Menge $\mathcal B^T_G$ der Fixpunkte unseres maximalen Torus $T$ in der Fahnenmannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst, da"s ${\op{N}}_G(T)$ transitiv auf der Menge der Borel'schen "uber $T$ operiert. Gegeben eine Borel $A$ mit $T \subset A \subset G$ gibt es $x \in G$ mit $x B x^{-1} = A$. Dann ist $x T x^{-1} \subset A$ ein maximaler Torus und nach \ref{MTAG} gibt es $a \in A$ mit $ax T x^{-1} a^{-1} = T$. Es folgt $n = ax \in {\op{N}}_G (T)$ und $n B n^{-1} = A$. Nun berechnen wir noch die Isotropiegruppe von $B$ unter der Operation durch Konjugation von ${\op{N}}_G(T)$. Aus $n^{-1} B n = B$ folgt mit \ref{NoB} ja $n \in B$ und Konjugation mit jedem $b\in B$ stabilisiert auch umgekehrt $B$, also ist unsere Isotropiegruppe ${\op{N}}_B (T)$. In der zusammenh"angenden aufl"osbaren Gruppe $B$ gilt aber ${\op{N}}_B (T) = {\op{Z}}_B (T)$ nach \ref{NZB}. Nach \ref{ZbT} folgt aus $B\supset T$ weiter $B\supset G^T$, also gilt ${\op{N}}_B (T)={\op{Z}}_B (T)={\op{Z}}_G (T)$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Lemma} Ist $(V,\rho)$ eine endlichdimensionale algebraische Darstellung von $k^\times$ und $x\in\DP V$ ein Punkt ihrer Projektivisierung, so l"a"st sich die durch Anwenden auf $x$ gegebene Abbildung $k^\times \rightarrow \mathbb P V$ eindeutig zu einem Morphismus von Variet"aten $\mathbb P^1 k \rightarrow \mathbb P V$ fortsetzen. Diese Fortsetzung ist dar"uberhinaus entweder konstant oder injektiv und bildet $0$ und $\infty$ auf Fixpunkte von $k^\times$ in $\DP V$ ab.\label{FSI} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir notieren $0x$ und $\infty x$ die Bilder von $0$ und $\infty$ unter unserer Fortsetzung. "Uberhaupt jeder Morphismus $k^\times \rightarrow \mathbb P V$ f"ur $\dim_k V < \infty$ l"a"st sich eindeutig zu einem Morphismus $\mathbb P^1 k \rightarrow \mathbb P V$ fortsetzen, wie in \eref{FosK}{KAG} gezeigt wird. Allerdings ist die Fortsetzung in dieser Allgemeinheit nicht notwendig injektiv. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $v\in V\backslash 0$ mit $x=\langle v\rangle$. Wir k"onnen $v$ schreiben als Linearkombination von simultanen Eigenvektoren \begin{equation*} v = a_1 v_1 + \ldots + a_r v_r \end{equation*} mit $a_i \neq 0$ f"ur alle $i$ und $\rho (\lambda) v_i = \lambda^{m(i)} v_i$ und $m (1) > \ldots > m(r)$. Dann kann unsere Fortsetzung explizit angegeben werden durch die Vorschrift $0 \mapsto \langle v_r\rangle, \infty \mapsto \langle v_1\rangle$. Der Rest des Beweises kann dem Leser "uberlassen werden. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Zahl der Fixpunkte von Tori}] Seien $\rho : T \rightarrow \op{GL} (V)$ eine endlichdimensionale algebraische Darstellung eines Torus\label{FiPT} und $Y\As \mathbb P V$ eine abgeschlossene $T$-stabile Teilmenge. \begin{enumerate} \item Gilt $\op{kdim} Y \geq 1$, so hat $T$ in $Y$ mindestens zwei Fixpunkte, $|Y^T| \geq 2$; \item Gilt $\op{kdim} Y \geq 2$, so hat $T$ in $Y$ mindestens drei Fixpunkte, $|Y^T| \geq 3$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Sei $V = \bigoplus^n_{i=1} V_i$ die simultane Eigenraumzerlegung von $V$ unter $T$ mit $V_i \neq 0$ zum Charakter $\chi_i \in \mathfrak X (T)$. Sicher liefern die offensichtlichen Abbildungen eine Bijektion \begin{equation*} \mathbb P V_1 \sqcup \ldots \sqcup \mathbb P V_n\sira (\mathbb P V)^T \end{equation*} Sicher gibt es auch Morphismen von algebraischen Gruppen $\lambda : k^\times \rightarrow T$ mit $\chi_i \circ \lambda$ paarweise verschieden. Dann sind die Fixpunkte unter der durch $\lambda$ induzierten Operation von $k^\times $ dieselben wie die Fixpunkte von $T$, wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $T = k^\times $ annehmen. Besteht ganz $Y$ aus Fixpunkten, so ist nichts zu zeigen. Sonst gibt es, wenn $Y$ nicht leer ist, schon mal mindestens zwei Fixpunkte nach \ref{FSI} und der erste Teil ist gezeigt. W"ahlen wir f"ur den zweiten Teil eine Basis $v_1, v_2, \ldots, v_n$ von $V$ mit $\rho (t) v_i = t^{m (i)} v_i$ f"ur alle $t \in k^\times $ und $m (1) \geq m (2) \geq \ldots \geq m (n)$, so ist $W := \langle v_2, \ldots, v_n \rangle \subset V$ ein $k^\times $-invarianter Teilraum und $\mathbb P W \cap Y$ ist nach \eref{SPVVB}{KAG} nicht leer, falls gilt $\op{kdim} Y \geq 1$, und nach \eref{KDSax}{KAG} mindestens eindimensional falls $\op{kdim} Y \geq 2$. Dort gibt es also schon mal zwei Fixpunkte. Indem wir sonst $V$ verkleinern, d"urfen wir $Y \not\subset \mathbb P W$ annehmen. Gegeben $y \in Y \backslash \mathbb P W$ ist dann $\infty y$ noch ein dritter Fixpunkt au"serhalb von $\mathbb P W$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{WGAL1} Eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe ist genau dann aufl"osbar, wenn ihre Weylgruppe trivial ist. \end{Korollar} \begin{proof} Ist unsere Gruppe aufl"osbar, so ist die Weylgruppe trivial nach \ref{NZB}. Ist unsere Gruppe nicht aufl"osbar, so ist die Fahnenmannigfaltigkeit mindestens eindimensional und nach \ref{FiPT} hat ein maximaler Torus darauf mindestens zwei Fixpunkte. Hier haben wir implizit verwendet, da"s jeder Quotient einer affinen algebraischen Gruppe "aquivariant in die Projektivisierung einer endlichdimensionalen Darstellung eingebettet werden kann. Nach \ref{BuW} folgt, da"s die Weylgruppe nicht trivial ist. \end{proof} \begin{Korollar}\label{WGAL3} Jede zusammenh"angende affine algebraische Gruppe wird erzeugt von den Borel'schen "uber einem festen maximalen Torus. \end{Korollar} \begin{proof} Seien $G$ unsere Gruppe und $T\subset G$ ein maximaler Torus und $Q \subset G$ die von allen Borel'schen "uber $T$ erzeugte Untergruppe. Sie ist parabolisch. W"are $Q \neq G$, so h"atte $T$ nach \ref{FiPT} auf $G/Q$ au"ser $Q/Q$ noch einen weiteren Fixpunkt. Er entspricht einer Konjugierten $xQx^{-1}$ unserer Parabolischen mit $T \subset x Q x^{-1}$. Mit Induktion "uber die Dimension d"urfen wir annehmen, da"s $x Q x^{-1}$ von seinen Borel'schen "uber $T$ erzeugt wird, da"s also gilt $x Q x^{-1} \subset Q$. Das aber steht im Widerspruch zu unserer Annahme $x Q x^{-1} \neq Q$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine algebraische Darstellung $V$ einer affinen algebraischen Gruppe und ein maximaler Torus $T\subset G$ stabilisiert die Weylgruppe die Menge ${\op{P}}_T(V)\subset \mathfrak X(T)$ der Gewichte von $V$.\label{AOPWT} \end{Ubung} \subsection{Halbeinfache Gruppen vom Rang Eins} \begin{Definition} Unter dem {\bf Rang}\index{Rang!einer algebraischen Gruppe} einer affinen algebraischen Gruppe $G$ versteht man die Dimension eines maximalen Torus. Man notiert den Rang $\op{rk} (G)$. \end{Definition} \begin{Definition} Eine affine algebraische Gruppe hei"st {\bf halbeinfach},\index{halbeinfach!algebraische Gruppe} wenn alle ihre aufl"osbaren Normalteiler endlich sind.\label{DHEE} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation halbeinfacher affiner Gruppen vom Rang Eins}] Jede halbeinfache zusammenh"angende affine algebraische Gruppe vom Rang Eins ist isomorph zu $\op{SL}(2;k)$ oder zu $\op{PGL}(2;k)$.\label{KREm} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis dieses Satzes wird den ganzen Abschnitt f"ullen. Wir beginnen damit, allgemeine Aussagen zu beweisen, die sogar f"ur beliebige zusammenh"angende affine algebraische Gruppen vom Rang Eins gelten, die nicht aufl"osbar sind. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende nicht aufl"osbare affine algebraische Gruppe vom Rang Eins, eine Borel'sche und ein maximaler Torus.\label{heRE} So gilt: \begin{enumerate} \item Die Weylgruppe hat genau zwei Elemente, $|\op{W}_G(T)|=2$; \item Die Fahnenmannigfaltigkeit ist eine projektive Gerade, $\mathcal B_G\cong \mathbb P^{1}$; \item F"ur jedes $n \in {\op{N}}_G (T) \backslash {\op{Z}}_G (T)$ haben wir $ G = B \sqcup B n B$; \item F"ur jedes $n \in {\op{N}}_G (T) \backslash {\op{Z}}_G (T)$ ist $(B_{\op{u}}\cap nB_{\op{u}}n^{-1})^\circ$ ein Normalteiler von $G$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Da unsere Gruppe zusammenh"angend aber nicht aufl"osbar ist, ist die Weylgruppe nach \ref{WGAL1} nicht trivial. Da die multiplikative Gruppe $k^\times$ genau zwei Automorphismen hat, die Identit"at und das Invertieren, kann unsere Weylgruppe aber auch nicht mehr als zwei Elemente haben und das zeigt die erste Aussage. % Sei nun $G \supset B \supset T$ unsere Gruppe, eine Borel und ein maximaler Torus. Auf $G/B$ hat $T$ dann genau zwei Fixpunkte nach \ref{BuW} und aus \ref{FiPT} folgt damit $\op{kdim} G/B = 1$. Andererseits mu"s $T$ auch eine eindimensionale Bahn $Y \subset G/B$ haben. Deren Abschlu"s ist nun notwendig eine Vereinigung mit nulldimensionalen Bahnen und wir folgern $G/B = Y \sqcup (G/B)^T$ und $Y \co G/B$. Nach \ref{HRTT} oder alternativ \ref{KLIO} ist dann $Y$ als Variet"at isomorph zu $k^\times$. Jetzt gibt es verschiedene Wege, um $G/B \cong \mathbb P^1$ zu zeigen. Kennt man die Theorie der Kurven, so folgt das mit \eref{FKKn}{KAG} aus $$\mathcal M (G/B) \cong \mathcal M (k^\times)\cong \mathcal M (\DP^1)$$ und der Beweis der zweiten Aussage ist fertig. Man mag aber auch direkter eine algebraische Darstellung $(V, \rho)$ von $G$ w"ahlen und $v \in V \backslash 0$ mit $G/B \sira G \langle v \rangle \As \mathbb P V$. Dann wird $y \in Y$ repr"asentiert durch $w \in V \backslash 0$ und zerf"allt als $w = w_1 + \ldots + w_r$ mit $\rho (t) w_i = t^{n(i)} w_i$, wobei alle $w_i$ von Null verschieden sind und f"ur die Exponenten gilt $n (1) > n(2) > \ldots > n(r)$. Unter unserem Isomorphismus gehen die Fixpunkte von $k^\times$ in $G/B$ auf $\langle w_1 \rangle, \langle w_r\rangle \in \mathbb P V$. Ist $d$ der gr"o"ste gemeinsame Teiler der $n (i)$, so liefert die Abbildungsvorschrift $t \mapsto t^{n (1)/d} w_1 + \ldots+ t^{n(r)/d}$ einen Isomorphismus von Variet"aten $k^\times \sira Y$, der sich zu einem bijektiven Morphismus $\mathbb P^1 \rightarrow G/B$ fortsetzen l"a"st durch die Vorschrift $\infty \mapsto \langle w_1\rangle, 0 \mapsto \langle w_r\rangle$. Da"s das nun ein Isomorphismus ist, kann man entweder explizit einsehen oder auch mit dem Hauptsatz von Zariski \ref{ZHSSS} pr"ufen, da ja jede echte offene Teilmenge von $\mathbb P^1$ affin ist. Nun hat $B$ auf $G/B$ nach \ref{NoB} den einzigen Fixpunkt $B/B$ und die $B$-Bahn $BnB/B$ des anderen $T$-Fixpunkts $nB/B$ mu"s folglich auch die dichte $T$-Bahn $Y$ umfassen. Mithin zerf"allt $G$ unter der beidseitigen $B$-Operation in die zwei Doppelnebenklassen \begin{equation*} G = B \sqcup B n B \end{equation*} Schlie"slich ist $(B_{\op{u}}\cap nB_{\op{u}}n^{-1})^\circ$ eine zusammenh"angende unipotente Gruppe, die mindestens zwei Fixpunkte auf $\mathcal B_G\cong \DP^1$ hat. Da Bahnen unipotenter Gruppen auf affinen Variet"aten nach \ref{BUg} abgeschlossen sind und da bereits das Komplement eines Punktes in $\mathbb P^1$ affin ist, mu"s $(B_{\op{u}}\cap nB_{\op{u}}n^{-1})^\circ$ ganz $\mathbb P^1$ punktweise festhalten. Also ist $(B_{\op{u}}\cap nB_{\op{u}}n^{-1})^\circ$ die Einskomponente des Schnitts der unipotenten Anteile aller Borel'schen von $G$ und damit ein Normalteiler. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Automorphismen der projektiven Gerade}] $(k=\bar k)$. Sei $\Delta\As (\mathbb P^1k)^3$ die sogenannte \emph{\bf dicke Diagonale}\index{dicke Diagonale}\index{Diagonale!dicke} alias die Teilmenge aller Tripel mit mindestens zwei gleichen Eintr"agen. So liefern die Operation von $\op{PGL}(2;k) \pdef \op{GL}(2;k)/k^\times$ auf $\mathbb P^1k$ und das Anwenden eines Automorphismus der algebraischen Variet"at $\mathbb P^1k$ auf das Tripel $(0,1,\infty)$ Bijektionen \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \op{PGL}(2;k) &\sira &\op{Var}^\times (\mathbb P^1k) & \sira & (\mathbb P^1k)^3 \backslash \Delta\\ &&\varphi&\mapsto & (\varphi (0), \varphi (1), \varphi (\infty)) \end{array} \end{displaymath} Des weiteren ist die Komposition dieser Bijektionen ein Isomorphismus von Variet"aten zwischen der algebraischen Gruppe $\op{PGL}(2;k)$ und der Menge aller Tripel von paarweise verschiedenen Punkten der projektiven Gerade.\label{AuPG} \end{Lemma} \begin{proof} Die erste Abbildung ist eine Bijektion nach \eref{AutP}{KAG} und die Ver\-kn"up\-fung ist eine Bijektion nach \eref{TRPG}{EL}. Nach unseren Resultaten "uber homogene R"aume aus \ref{iHHR} mu"s nur die Surjektivit"at des Differentials der Abbildung $\op{GL}(2;k) \rightarrow (\mathbb P^1)^3$, $ g \mapsto (g (0), g(1), g(\infty))$ am neutralen Element gepr"uft werden, und die ist schnell nachgerechnet. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{KREm}] Sei nun $G$ eine zusammenh"angende halbeinfache affine algebraische Gruppe vom Rang Eins. Seien $T\subset B\subset G$ ein maximaler Torus und eine Borel'sche. Sei weiter $n\in {\op{N}}_G (T) \backslash {\op{Z}}_G (T)$. Wir k"urzen f"ur das folgende $U = B_{\op{u}}$ ab und pirschen uns Schritt f"ur Schritt an die Klassifikation heran. \\[2mm]\noindent 1. Da $U\cap nUn^{-1}=U\cap nBn^{-1}$ als Einskomponente einen unipotenten, also aufl"osbaren Normalteiler hat, mu"s $U\cap nUn^{-1}$ endlich sein. Wegen $B=TU=UT$ ist die $U$-Bahn von $nB/B$ dicht in $G/B$. Andererseits ist die Isotropiegruppe in $U$ von $nB/B$ endlich und es folgt $\op{kdim} U =1$. \\[2mm]\noindent 2. Aus $\op{kdim} U =1$ folgt unmittelbar $\op{kdim} B =2$ und $\op{kdim} G =3$. \\[2mm]\noindent 3. Die Gruppe $G$ hat au"ser sich selbst nur endliche Normalteiler. In der Tat ist nach \ref{GKlz} jede zusammenh"angende affine algebraische Gruppe einer Dimension Zwei oder kleiner aufl"osbar. Also mu"s jeder echte zusammenh"angende Normalteiler positiver Dimension aufl"osbar sein und der Quotient danach desgleichen, im Widerspruch dazu, da"s $G$ selbst nicht aufl"osbar ist. \\[2mm]\noindent 4. Der von der Operation von $G$ auf seiner Fahnenmannigfaltigkeit im Verein mit der Wahl eines Isomorphismus $\mathcal B_G\cong \DP^1$ nach \ref{AuPG} induzierte Homomorphismus von algebraischen Gruppen ist eine Surjektion $G\sra \op{PGL}(2;k)$. In der Tat operiert $G$ nicht trivial auf seiner Fahnenmannigfaltigkeit, der maximale Torus etwa hat ja darin nur zwei Fixpunkte. Folglich mu"s nach dem vorhergehenden Punkt der Kern unseres Morphismus $G\ra \op{PGL}(2;k)$ endlich sein. Dimensionsbetrachtungen zeigen dann die Surjektivit"at unseres Morphismus. \\[2mm]\noindent 5. Nun betrachten wir die Surjektion $\phi: \op{SL}(2;k)\sra \op{PGL}(2;k)$ und die Gruppe $H \pdef \{ (g,s) \in G \times \op{SL}(2;k) \mid \varphi (g) = \phi (s)\}$ mitsamt dem offensichtlichen Homomorphismus $H \rightarrow \op{PGL}(2;k)$. Die Einskomponente $H^\circ$ von $H$ pa"st in ein kommutatives Diagramm von surjektiven Gruppenhomomorphismen der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ & H^\circ\ar@{->>}[dl] \ar@{->>}[dr] \ar@{->>}[dd] & \\ G \ar@{->>}[dr] & & \op{SL}(2;k) \ar@{->>}[dl] \\ & \op{PGL}(2;k) & } \end{displaymath} Alle diese Gruppenhomomorphismen haben offensichtlich endliche Kerne. Mithin sind alle Gruppen unseres Diagramms halbeinfach vom Rang Eins. Wir haben gewonnen, wenn wir zeigen k"onnen, da"s (a) der obere Pfeil nach rechts ein Isomorphismus $H^\circ\sira \op{SL}(2;k)$ sein mu"s und da"s (b) von den beiden Pfeilen nach unten auf der linken Seite einer ein Isomorphismus sein mu"s. Dazu m"ussen wir noch etwas mehr "uber die Struktur zusammenh"angender halbeinfacher Gruppen $G$ vom Rang Eins zeigen. \\[2mm]\noindent 6. Wir zeigen zun"achst ${\op{Z}}_G(T)=T$. In der Tat ist ${\op{Z}}_G(T)$ zusammenh"angend nach \ref{ZTT} und ist folglich eine Cartan'sche, also nilpotent nach \ref{CNIP}. Damit mu"s ${\op{Z}}_G (T)$ in einer und jeder Borel'schen liegen, die $T$ umfa"st, in Formeln ${\op{Z}}_G (T) \subset B$. Gleichheit ist hier unm"oglich, weil nilpotente Borel'sche schon die ganze Einskomponente ihrer Gruppe sind nach \ref{NiBo}. Wegen $\op{kdim} B =2$ folgt damit ${\op{Z}}_G (T) =T$. \\[2mm]\noindent 7. Wir zeigen $U\cap nUn^{-1}=1$. In der Tat, da $U\cap nUn^{-1}$ von $T$ normalisiert wird und endlich ist, mu"s diese Untergruppe sogar im Zentralisator von $T$ liegen, nach dem vorhergehenden also in $T$ selbst. Das einzige unipotente Element eines Torus ist aber das neutrale Element. \\[2mm]\noindent 8. Die Multiplikation liefert eine offene Einbettung $(nU n^{-1}) \times T \times U \hookrightarrow G$. In der Tat ist diese Abbildung wegen $(nU n^{-1})\cap B=1$ sicher injektiv und hat offenes Bild nach Dimensionsvergleich und weil das Bild als eine Bahn in $G$ aufgefa"st werden kann, unter einer geeigneten Operation von $(nU n^{-1}) \times B$. Wir m"ussen also nur noch die Injektivit"at des Differentials an einer Stelle zeigen, in anderen Worten die Formel $$\op{Lie}G=\op{Lie}(nU n^{-1})\oplus \op{Lie}B$$ Sicher gibt es $\alpha \in \mathfrak X (T)$ mit $\op{Ad} (t) = \alpha (t) : \op{Lie} U \rightarrow \op{Lie} U$ f"ur alle $t \in T$. Wegen ${\op{Z}}_G (T) =T$ und $\op{Lie} {\op{Z}}_G (T) = \mathfrak z_{\mathfrak g} (T)$ nach \ref{zGT} folgt $\alpha \neq 0$. Auf $\op{Lie} (n U n^{-1})$ operiert $t \in T$ dann durch $\alpha (t^{-1})$ und die Behauptung folgt. \\[2mm]\noindent 9. Die Gruppe $U$ ist isomorph zur additiven Gruppe $k$. In der Tat liefert die Operation von $U$ auf der Fahnenmannigfaltigkeit nach dem Vorhergehenden einen Isomorphismus von $U$ mit dem Komplement eines Punktes in der projektiven Geraden. Das zeigt $U \cong k$ als Variet"at und dann nach \ref{EVKA} auch als algebraische Gruppe. \\[2mm]\noindent %\label{ZUET} 10. F"ur unser $\alpha$ von eben gilt $ \mathfrak X(T) \supset \mathbb Z \alpha \supset 2 \mathfrak X(T) $. In der Tat ist f"ur jede algebraische Darstellung $V$ von $G$ und jedes $\lambda \in \mathfrak X(T)$ der Teilraum $\bigoplus_{n \in \mathbb Z} V_{\lambda + n \alpha}$ nach "Ubung \ref{ubdv} eine Unterdarstellung. Andererseits folgt aus $V_\lambda \neq 0$ durch Anwenden des nichttrivialen Elements der Weylgruppe nach \ref{AOPWT} auch $V_{-\lambda} \neq 0$. F"ur jede irreduzible Darstellung folgt aus $V_\lambda \neq 0$ also $2\lambda \in \mathbb Z \alpha$. Da nun jedes Gewicht $\lambda \in \mathfrak X$ nach \ref{VKGG} auch in einer irreduziblen Darstellung vorkommt, folgt $2 \mathfrak X \subset \mathbb Z \alpha$. \\[2mm]\noindent 11. Wegen $\op{Lie}G=\op{Lie}B\oplus \op{Lie}(nUn^{-1})$ ist das Differential beim neutralen Element der durch die Wirkung gegebenen Abbildung $\op{Lie}G\ra {\op{T}}_{\bar e}(G/B)$ injektiv auf $\op{Lie}(nUn^{-1})$. Das zeigt, da"s das Differential unseres zu Beginn konstruierten Homomorphismus $G\sra \op{PGL}(2;k)$ injektiv ist auf den Liealgebren aller unipotenten Untergruppen. Dieser Homomorphismus bildet also nach \ref{BiBo} Borel'sche auf Borel'sche ab und induziert Isomorphismen zwischen deren unipotenten Anteilen. Wir sehen explizit, da"s dasselbe auch f"ur $\op{SL}(2;k)\sra \op{PGL}(2;k)$ gilt. Dann aber mu"s auch f"ur eine und jede Borel'sche in $H^\circ$ ihr unipotenter Anteil isomorph auf den unipotenten Anteil ihres Bildes in $G$ beziehungsweise $\op{SL}(2;k)$ abgebildet werden. Da nun im Fall von $\op{SL}(2;k)$ bereits gilt $2 \mathfrak X = \mathbb Z \alpha$, mu"s f"ur $S\subset H^\circ$ ein maximaler Torus und $T$ sein Bild in $\op{SL}(2;k)$ die auf den Charaktergruppen induzierte Inklusion $\mathfrak X(T)\hra \mathfrak X(S)$ ein Isomorphismus sein, so da"s wir bereits einen Isomorphismus $S\sira T$ vor uns hatten. Da aber der Kern des rechten oberen Pfeils im Zentrum und damit im Zentralisator von $S$ und damit in $S$ liegen mu"s, ist der rechte obere Pfeil als bijektiv entlarvt, und an seinem Differential sehen wir, da"s er sogar ein Isomorphismus sein mu"s. Dieselbe Argumentation zeigt, da"s von den beiden Morphismen links genau einer einen Isomorphismus von einem maximalen Torus auf sein Bild induziert und da"s der dann ein Isomorphismus sein mu"s. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe gleichbedeutend sind: (1) Die Weylgruppe hat genau zwei Elemente; (2) Die Fahnenmannigfaltigkeit ist eindimensional; (3) Die Fahnenmannigfaltigkeit ist isomorph zur projektiven Geraden $\DP^1$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede halbeinfache zusammenh"angende affine algebraische Gruppe $G$ vom Rang Eins ist ihre eigene derivierte Gruppe,\label{FQW} in Formeln $(G,G)=G$. Hinweis: \ref{GKlz}. \end{Ubung} \begin{Ubung} In $\op{PSL} (2;\mathbb C)$ treffen sich je zwei verschiedene maximale Tori nur im neutralen Element. In $\op{SL} (2;\mathbb C)$ ist der Schnitt von je zwei verschiedenen maximalen Tori das Zentrum $\{\pm \op{id}\}$. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Alle Automorphismen der algebraischen Gruppe $\op{SL}(2;\mathbb C)$ sind innere Automorphismen, wir haben also in Formeln eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} \{\pm \op{id}\} \hookrightarrow \op{SL} (2;\mathbb C) \twoheadrightarrow \op{Aut} \op{SL} (2;\mathbb C) \end{equation*} Es gibt zwei Konjugationsklassen von Involutionen in $\op{Aut} \op{SL} (2; \mathbb C) \cong \op{PSL} (2;\mathbb C)$, n"amlich die Identit"at und das Element der Ordnung zwei aus jedem maximalen Torus. \end{Beispiel} \subsection{Radikale und reduktive Gruppen} \begin{Definition} Sei $G$ eine affine algebraische Gruppe. Die von allen abgeschlossenen aufl"osbaren zusammenh"angenden normalen Untergruppen erzeugte Untergruppe hat auch selbst wieder alle diese Eigenschaften und ist mithin die gr"o"ste Untergruppe mit diesen Eigenschaften. Sie hei"st das {\bf Radikal von $G$}\index{Radikal!einer algebraischen Gruppe} und wird $\op{rad}G$ notiert. \index{rad!$\op{rad}$ Radikal einer algebraischen Gruppe} Dasselbe gilt, wenn man statt aufl"osbaren Untergruppen unipotente Untergruppen betrachtet. Man erh"alt dann die gr"o"ste zusammenh"angende normale unipotente Untergruppe von $G$. Sie hei"st das {\bf unipotente Radikal von $G$} und wird $\op{rad}_{\op{u}}G$\index{rad@$\op{rad}_{\op{u}}G$ unipotentes Radikal von $G$} notiert.\index{unipotent!Radikal!einer algebraischen Gruppe} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine affine algebraische Gruppe $G$ ist also halbeinfach im Sinne von \ref{DHEE} genau dann, wenn ihr Radikal trivial ist. Der Rang des Quotienten nach dem Radikal einer affinen algebraischen Gruppe $G$ hei"st der {\bf halbeinfache Rang von}\index{Rang!halbeinfacher} $G$. Er wird $\op{rk}_{\op{s}} (G) \pdef \op{rk} (G/\op{rad} G)$ notiert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine algebraische Gruppe hei"st\label{drg} {\bf reduktiv},\index{reduktiv!algebraische Gruppe} wenn sie affin ist mit trivialem unipotenten Radikal. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Manche Autoren fordern von ihren reduktiven Gruppen zus"atzlich, da"s sie zusammenh"angend sein sollen. Ich schlie"se mich dieser Konvention nicht an. \nichtfinal{(Sollte dar"uber nachdenken. Sollte eine endliche unipotente Gruppe reduktiv hei"sen? Ich denke nein, aber eine endliche halbeinfache Gruppe wohl schon.)} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Bedeutung reduktiver Gruppen}] Zusammenh"angende reduktive Gruppen spielen in der Theorie der affinen algebraischen Gruppen eine zentrale Rolle. Ich will zun"achst erkl"aren, was an ihnen so besonders ist. \begin{enumerate} \item Fast alle einfachen affinen algebraischen Gruppen sind reduktiv, die einzige Ausnahme sind die additiven Gruppen $(k,+)$ f"ur einen algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ der Charakteristik Null. Hier nennen wir eine algebraische Gruppe {\bf einfach},\index{einfach!algebraische Gruppe} wenn sie nicht trivial ist, aber keinen echten nichttrivialen Normalteiler hat. \item Man kann die zusammenh"angenden reduktiven Gruppen recht explizit klassifizieren, wie wir im folgenden besprechen werden, und kann so eine Klasssifikation der einfachen affinen algebraischen Gruppen erreichen. \item In Charakteristik Null sind die reduktiven Gruppen genau die \glqq linear reduktiven affinen Gruppen\grqq\ alias die affinen algebraischen Gruppen, deren s"amtliche algebraische Darstellungen in eine direkte Summe irreduzibler Unterdarstellungen zerfallen. \item In positiver Charakteristik liefern die einfachen affinen algebraischen Gruppen die meisten einfachen endlichen Gruppen. \item Die zusammenh"angenden reduktiven Gruppen spielen eine zentrale Rolle im sogenannten Langlands-Programm. \item Die allgemeinen linearen Gruppen $\op{GL}(n;k)$ sind reduktiv und man mag die anderen reduktiven Gruppen als ihre etwas schwerer zug"anglichen Vettern ansehen, oder als die anderen Planeten des Sonnensystems neben der Erde, und kann bei ihrem Studium viel "uber die allgemeinen linearen Gruppen selber lernen. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Radikal und Zentrum reduktiver Gruppen}] Gegeben eine zusammenh"angende\label{SRGG} reduktive algebraische Gruppe $G$ ist ihr Radikal ein Torus und die Einskomponente $\op{rad}G = {\op{Z}} (G)^\circ $ des Zentrums und $\op{rad} G \cap (G,G)$ ist endlich. \end{Satz} \begin{proof} Da $\op{rad}G$ zusammenh"angend und aufl"osbar ist und da nach Annahme gilt $(\op{rad}G)_{\op{u}} =1$, mu"s $\op{rad}G$ nach unserem Struktursatz f"ur aufl"osbare Gruppen \ref{MTAG} ein Torus sein und wir schreiben von nun an $S\pdef \op{rad}G$. Nach Annahme gilt $G ={\op{N}}_G (S)^\circ = {\op{Z}}_G (S)^\circ $ und es folgt $S \subset {\op{Z}}(G)^\circ $. Da aber ${\op{Z}}(G)^\circ \subset \op{rad}G$ eh klar ist, folgt ${\op{Z}}(G)^\circ = \op{rad}G$. Sei nun $\rho : G \hookrightarrow \op{GL} (V)$ eine treue endlichdimensionale algebraische Darstellung. Sie zerf"allt "uber $S$ als \begin{equation*} V = \bigoplus_{\chi \in \mathfrak X (S)} V_\chi \end{equation*} und wegen $S \subset {\op{Z}}(G)$ sind alle $V_\chi$ stabil unter $G$. Es folgt $(G,G) \subset \prod \op{SL} (V_\chi)$ und $S$ operiert durch Skalare auf jedem $V_\chi$. Es gibt jedoch jeweils nur endlich viele Skalare, die als Diagonalmatrix mit Determinante Eins auf $V_\chi$ operieren. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Reduktivit"atskriterium}] Besitzt eine affine algebraische Gruppe eine algebraische Darstellung mit endlichem Kern, die Summe irreduzibler Unterdarstellungen ist, so ist unsere Gruppe reduktiv. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hierf"ur brauchen wir unsere algebraische Gruppe nicht einmal als affin annehmen, das folgt vielmehr mit \ref{AHVV} bereits aus der Existenz einer algebraischen Darstellung mit endlichem Kern. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V)$ besagte Darstellung mit $|\op{ker}\rho| < \infty$. Die Fixvektoren unter $\op{rad}_{\op{u}}G$ bilden einen $G$-stabilen Teilraum $W \subset V$. Nach Annahme und \eref{HEE}{NAS} besitzt er ein $G$-stabiles Komplement $D \subset V$. Da $\op{rad}_{\op{u}} G$ in $D$ keine von Null verschiedenen Fixvektoren haben kann, folgt $D = 0$ aus \ref{uPG} und so $W = V$ und $\op{rad}_{\op{u}} G \subset \op{ker} \rho$. \end{proof} \begin{Beispiele} Die affinen algebraischen Gruppen $\op{GL} (V)$, $\op{SL} (V)$ und $\op{Sp}(V)$ sind reduktiv. Dasselbe gilt f"ur $\op{SO}(V)$ im Fall einer von Zwei verschiedenen Charakteristik. In der Tat ist in allen diesen F"allen jeweils $V$ eine irreduzible Darstellung, im letzteren Fall nach dem Satz von Witt \eref{SvW}{LA2}. % Die Gruppe $\op{GL} (V)$ ist stets irreduzibel als nichtleere % offene Teilmenge der irreduziblen Variet"at $\op{End} (V)$. % Die Gruppe $\op{GL} (V)$ ist stets irreduzibel nach \eref{IrSL}{KAG}. \end{Beispiele} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{BeBo} Sei $G$ eine affine algebraische Gruppe. Man zeige, da"s das unipotente Radikal der unipotente Anteil des Radikals ist, in Formeln $(\op{rad}G)_{\op{u}} = \op{rad}_{\op{u}} G$. Man zeige, da"s das Radikal die Einskomponente des Schnitts aller Borel'schen Untergruppen ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Untergruppen von $\op{SL}(2;k)$}]%$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s jede echte zusammenh"angende abgeschlossene Untergruppe von $\op{SL}(2;k)$ entweder eine Borel'sche oder\label{UGSL} das unipotente Radikal einer Borelschen oder ein maximaler Torus ist. Hinweis: Man zeige zun"achst, da"s unsere Untergruppe aufl"osbar sein mu"s. Man zeige, da"s jede echte abgeschlossene Untergruppe positiver Dimension das Urbild einer abgeschlossenen Untergruppe des eindimensionalen Torus $B/B_{\op{u}}$ ist f"ur eine Borel'sche $B$ oder ein maximaler Torus oder der Normalisator eines maximalen Torus. \end{Ubung} \subsection{Klassifikation im reduktiven Fall} \begin{Bemerkungl} Dieser Abschnitt ist in gro"sen Teilen eine Kopie der entsprechenden Begriffe und Argumente im Fall kompakter Liegruppen \eref{KKLi}{ML}. Das ist kein Zufall, liefert doch die Komplexifizierung nach \ref{kopiz} eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen kompakter Liegruppen und Isomorphieklassen reduktiver affiner algebraischer Gruppen "uber dem K"orper $\DC$ der komplexen Zahlen. \end{Bemerkungl} \label{AAKKLi} \begin{Definition} Eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe $X$ nennen wir auch ein {\bf Gitter}.\index{Gitter} Unter einer \defind{Gitterspiegelung} oder auch kurz \defnoind{Spiegelung}\index{Spiegelung!bei Gitter} verstehen wir einen Automorphismus $s:X\sira X$ eines Gitters derart, da"s sein Quadrat die Identit"at ist und die Untergruppe der Elemente, die auf ihr Negatives gehen, unendlich zyklisch, in Formeln $s^2=\op{id}$ und $X^{-s}\cong\DZ$. Unter einer {\bf Wurzel $\alpha$ \index{Wurzel!zu Gitterspiegelung} zu einer Gitterspiegelung $s$} verstehen wir\label{GiSpi} ein Element unseres Gitters derart, da"s sich jeder Punkt unseres Gitters von seinem Spiegelbild um ein ganzzahliges Vielfaches des besagten Elements unterscheidet, in Formeln $\lambda -s\lambda\in\DZ\alpha\;\forall \lambda\in X$. \end{Definition} \begin{Bild}\centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildVier}\\[4mm] \noindent Eine Gitterspiegelung, zu der es vier Wurzeln gibt. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildZwei}\\[4mm] \noindent Eine Gitterspiegelung, zu der es nur zwei Wurzeln gibt. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{M"ogliche Wurzeln zu Gitterspiegelungen}] Ist $X$ ein Gitter und $s:X\ra X$ eine Gitterspiegelung und $\alpha\in X$ dazu eine Wurzel, so gibt es genau eine Linearform $\alpha^\vee:X\ra \DZ$ mit $$s\lambda=\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha\quad\forall\lambda\in X$$ Hier verwenden wir f"ur das Auswerten von $\chi\in X^\ast\pdef \op{Hom}(X,\DZ)$ auf $\lambda\in X$ die in diesem Kontext "ubliche symmetrische Notation $\chi(\lambda)=\langle \lambda,\chi\rangle$. Die Linearform $\alpha^\vee$ hei"st dann die {\bf Kowurzel}\index{Kowurzel} zur Wurzel $\alpha$ der Spiegelung $s$. Wegen $s\alpha=-\alpha$ gilt stets $\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2$, und umgekehrt ist auch f"ur jedes Paar $(\alpha,\alpha^\vee)$ mit $\alpha\in X$ und $\alpha^\vee\in X^\ast$ und $\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2$ die Abbildung $s_{\alpha,\alpha^\vee}:\lambda\mapsto\lambda-\langle \lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha$ eine Gitterspiegelung. Das Negative einer Wurzel zu einer Gitterspiegelung ist stets wieder eine Wurzel zu derselben Gitterspiegelung, und zu jeder Gitterspiegelung $s$ gibt es mindestens zwei und h"ochstens vier Wurzeln: Genauer sind die beiden Erzeuger der unendlich zyklischen Gruppe $X^{-s}$ aller Vektoren $\lambda\in X$ mit $s\lambda=-\lambda$ stets m"ogliche Wurzeln, und nehmen die zugeh"origen Kowurzeln auf $X$ nur gerade Werte an, so sind die Doppelten besagter Erzeuger auch noch m"ogliche Wurzeln. Damit sind dann aber auch bereits alle M"oglichkeiten ausgesch"opft. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{endliche Gitterspiegelungsgruppe} ist eine endliche Gruppe von Automorphismen eines Gitters, die von Spiegelungen erzeugt wird.\label{AAEGS} Eine \defind{stabile Wurzelwahl} f"ur eine endliche Gitterspiegelungsgruppe ist eine Teilmenge des zugrundeliegenden Gitters, die (1) stabil ist unter der Spiegelungsgruppe, die (2) aus Wurzeln zu Spiegelungen der Spiegelungsgruppe besteht und die (3) zu jeder Spiegelung der Spiegelungsgruppe genau zwei Wurzeln enth"alt, von denen die eine dann nat"urlich die Negative der anderen sein mu"s. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zum Begriff eines Wurzeldatums}] In der Literatur trifft man statt Gitterspiegelungsgruppen mit stabiler Wurzelwahl meist das "aquivalente Konzept eines {\bf Wurzeldatums}\index{Wurzeldatum} an. Darunter versteht man ein Datum $$(X,R,X^\vee, R^\vee, \phi,\tau)$$ bestehend aus zwei Gittern $X,X^\vee$, einer bilinearen Abbildung $\phi:X\times X^\vee\ra\DZ$, die das eine Gitter mit dem Dualen des anderen identifiziert und "ublicherweise $(\lambda,\nu)\mapsto \langle\lambda,\nu\rangle$ notiert wird, sowie endlichen Teilmengen $R\subset X$ und $R^\vee \subset X^\vee$ mitsamt einer Bijektion $\tau: R\sira R^\vee$, die "ublicherweise $\alpha\mapsto\alpha^\vee$ notiert wird, so da"s gilt $\langle\alpha,\alpha^\vee\rangle=2\;\forall \alpha\in R$ und $\beta\in R\RA \beta-\langle\beta ,\alpha^\vee\rangle\alpha\in R$ und $\beta^\vee\in R^\vee\RA \beta^\vee- \langle\alpha,\beta^\vee\rangle\alpha^\vee\in R^\vee$ und $\alpha\in R\RA 2\alpha\not \in R$ und $\alpha^\vee\in R^\vee\RA 2\alpha^\vee\not \in R^\vee$. Diese Begrifflichkeit hat den Vorteil, eine zus"atzliche Symmetrie sichtbar zu machen in dem Sinne, da"s unmittelbar klar wird, was unter dem {\bf dualen Wurzeldatum}\index{Wurzeldatum!duales} zu verstehen ist. Jedes derartige Wurzeldatum liefert eine Gitterspiegelungsgruppe auf dem Gitter $X$ mit Spiegelungen $\lambda\mapsto \lambda-\langle\lambda ,\alpha^\vee\rangle\alpha$ und stabiler Wurzelwahl $R$, und umgekehrt k"onnen wir aus den Spiegelungen und Wurzeln $R$ auch unschwer unser Wurzeldatum zur"uckgewinnen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zum Begriff eines abstrakten Wurzelsystems}] Gegeben $W\looparrowright X\supset R$ eine Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl ist $R$ ein Wurzelsystem im Sinne von \eref{WSy}{SPW} im rationalen Vektoraum\label{BaWS} $\langle R\rangle_\DQ\subset X_\DQ\pdef X\otimes_\DZ\DQ$, der von den Wurzeln erzeugt wid in dem aus dem Gitter $X$ durch Skalarerweiterung entstehenden rationalen Vektoraum $X\otimes_\DZ\DQ$. Das ist offensichtlich, sobald man die Definitionen vor Augen hat. Die Operation der fraglichen Gitterspiegelungsgruppe auf $X\otimes_\DZ\DQ$ stabilisiert dann den Teilraum $\langle R\rangle_\DQ$ und induziert einen Isomorphismus $W\sira {\op{W}}(R)$ zwischen unserer Gitterspiegelungsgruppe und der Weylgruppe des Wurzelsystems im Sinne von \eref{EWey}{SPW}. Die Kowurzeln in \eref{WSK}{SPW} sind dann offensichtlich die Restriktionen auf $\langle R\rangle_\DQ$ der von unseren Kowurzeln $\alpha^\vee:X\ra \DZ$ hier induzierten linearen Abbildungen $X_\DQ\ra \DQ$. Alle diese Beziehungen sind hier noch nicht relevant. \nichtfinal{Im weiteren Verlauf ab \ref{??} werden wir uns jedoch auf Resultate st"utzen, die wir im Rahmen der allgemeinen Theorie on Spiegelungsgruppen und Wurzelsystemen gezeigt haben.} \end{Bemerkungw} \begin{Definition}[\textbf{Wurzeln einer reduktiven algebraischen Gruppe}] Seien $G \supset T$ eine reduktive algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus.\label{DWEE} Die von Null verschiedenen $T$-Gewichte in der Liealgebra $\op{Lie}(G)$ von $G$ hei"sen die {\bf Wurzeln von $G$}.\index{Wurzel!von algebraischer Gruppe} Die Menge aller Wurzeln hei"st das {\bf Wurzelsystem}\index{Wurzelsystem} von $G$ in Bezug auf ihren maximalen Torus $T$ und wird mit $\op{R}$ f"ur englisch \glqq root\grqq\ oder franz"osisch \glqq racine\grqq\ notiert als $${\op{R}}(G,T) \pdef {\op{P}}_T(\op{Lie}(G)\backslash 0$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Ist $G \supset T$ eine beliebige affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus, so erkl"aren wir ihr Wurzelsystem als das Wurzelsystem ihres maximalen reduktiven Quotienten $G/{\op{rad}}_{\op{u}}G$. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der reduktiven algebraischen Gruppen}] $(k=\bar k)$ Ordnen wir jeder zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe %"uber $k$ die Charaktergruppe\label{AAKKLL} eines maximalen Torus zu mitsamt der Operation der zugeh"origen Weylgruppe und dem zugeh"origen Wurzelsystem, so erhalten wir eine Bijektion auf Isomorphieklassen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\begin{array}{c} \text{Zusammenh"angende reduktive}\\ \text{algebraische Gruppen} \end{array}\! \right\} & \sira & \left\{\! \begin{array}{c} \text{Gitterspiegelungsgruppen}\\ \text{mit stabiler Wurzelwahl} \end{array} \!\right\} \\[10mm] G&\mapsto&{\op{W}}(G,T)\looparrowright \frak{X}(T)\supset {\op{R}}(G,T) \end{array}$$ \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildS}\\[4mm] \noindent Die Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl zu $S^1$. In diesem Fall ist die Menge der Wurzeln leer und die Gitterspiegelungsgruppe besteht nur aus dem neutralen Element. \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSU} \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSOS}\\[4mm] \noindent Die Gitterspiegelungsgruppen mit stabiler Wurzelwahl zu $\op{SL}(2;k)$ und $\op{PSL}(2;k)$. In diesen F"allen haben wir zwei Wurzeln, die als Pfeile eingezeichnet sind, und die Gitterspiegelungsgruppe besteht aus dem neutralen Element und der Punktspiegelung am Ursprung. Das Gitter zu $\op{SL}(2;k)$ kann man als Quotient des Gitters zu $\op{GL}(2;k)$ verstehen, das Gitter zu $\op{PSL}(2;k)$ als Untergitter des Gitters zu $\op{SL}(2;k)$. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Da nach \ref{AMaT} je zwei maximale Tori einer affinen algebraischen Gruppe zueinander konjugiert sind, h"angt unsere Abbildung nicht von der Wahl eines maximalen Torus $T$ ab. Im folgenden zeigen wir zun"achst nur, da"s die im Satz erkl"arte Abbildungsvorschrift in der Tat eine Abbildung zwischen den angegebenen Mengen liefert. Wendet man genauer \ref{AOPWT} auf die adjungierte Darstellung an, so folgt schon mal, da"s die Weylgruppe die Wurzeln permutiert. Weiter zeigt Proposition \ref{WuSPI}, da"s jede Wurzel des Wurzelsystems auch Wurzel zu genau einer durch ein Element der Weylgruppe gegebenen Spiegelung auf der Charaktergruppe des maximalen Torus ist, und \ref{VvW}, da"s auf jeder Ursprungsgerade h"ochstens zwei Wurzeln unseres Wurzelsystems liegen. Dann zeigt \ref{WuSE}, da"s die Spiegelungen zu Wurzeln die Weylgruppe erzeugen, und \ref{WLAa}, da"s es in der Weylgruppe keine weiteren Spiegelungen gibt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildU}\\[4mm] \noindent Die Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl zu $\op{GL}(2;k)$. In diesem Fall haben wir zwei Wurzeln, die als Pfeile eingezeichnet sind, und die Gitterspiegelungsgruppe besteht aus dem neutralen Element und der anschaulich orthogonalen Spiegelung an der zu den Wurzeln senkrechten Geraden durch den Ursprung. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Wurzeln der allgemeinen linearen Gruppe}] Wir besprechen den Fall der allgemeinen linearen Gruppen $G=\op{GL}(n;k)$. Als maximalen Torus $T$ k"onnen wir nach \ref{AMTUN} etwa die\label{AAUn} Menge aller invertierbaren Diagonalmatrizen nehmen. Eine Basis des Charaktergitters $\frak{X}(T)$ "uber $\DZ$ bilden die $\varepsilon_i:T\ra k^\times$, die jeder diagonalen Matrix ihren $i$-ten Diagonaleintrag zuordnen, f"ur $1\leq i\leq n$. Die Operation der Weylgruppe auf dem Charaktergitter identifiziert unsere Weylgruppe nach \ref{AWGUN} mit der Gruppe aller Permutationen der $\varepsilon_i$ und wir erhalten so einen kanonischen Isomorphismus $W\sira \cal{S}_n$. Der kanonische Isomorphismus $\op{Lie}\op{GL}(n;k) \sira \op{Mat}(n;k)$ aus \ref{ccaann} ist "aquivariant f"ur die adjungierte Ope\-ra\-tion vorne und die Ope\-ra\-tion durch Konjugation hinten. Als Wurzelsystem ergibt sich so die Menge $$R=\{\varepsilon_i-\varepsilon_j\mid i\neq j\}$$ und der zur Wurzel $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ geh"orende Wurzelraum $(\op{Lie}\op{GL}(n;k))^{\alpha}$ entspricht unter unserer Identifikation mit den quadratischen Matrizen der Gerade $k E_{ij}$ aller Matrizen, denen nur in Zeile $i$ und Spalte $j$ ein von Null verschiedener Eintrag erlaubt ist.\label{AAFSGL} Die Spiegelung zur Wurzel $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ entspricht unter der offensichtlichen Identifikation $W\sira \cal{S}_n$ der Transposition $(i,j)$, und in der Tat erzeugen diese Transpositionen die symmetrische Gruppe. Die zugeh"orige Kowurzel entspricht der Abbildung $k^\times\ra T$ gegeben durch $$z\mapsto \op{diag}(1,\ldots,z, \ldots ,z^{-1},\ldots,1)$$ mit einem $z$ an der $i$-ten Stelle, einem $z^{-1}$ an der $j$-ten Stelle und Einsen sonst. In der Notation $\varepsilon_i^\ast: z\mapsto \op{diag}(1,\ldots,z, \ldots ,1)$ mit einem $z$ an der $i$-ten Stelle hat die Kowurzel zur Wurzel $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ also die Gestalt $\alpha^\vee=\varepsilon_i^\ast-\varepsilon_j^\ast$. In diesem Fall ist $S_\alpha\pdef(\op{ker}\alpha)^\circ$ die Gruppe der Diagonalmatrizen, die an der $i$-ten Stelle denselben Eintrag haben wie an der $j$-ten Stelle. Der Zentralisator dieser Untergruppe besteht aus allen invertierbaren Matrizen, die h"ochstens auf der Diagonalen und an den Stellen mit Indizes $(i,j)$ oder $(j,i)$ von Null verschiedene Eintr"age haben. Man kann damit leicht einen Isomorphismus $\op{PGL}(2;k)/\{\pm \op{id}\}\sira {\op{Z}}_G(S_\alpha)/S_\alpha$ angeben. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Transponierte einer Gitterspiegelung ist stets eine Gitterspiegelung des dualen Gitters und jedes Paar von Wurzel und Kowurzel zu einer Gitterspiegelung ist ein Paar von Kowurzel und Wurzel zu ihrer Transponierten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Element eines maximalen Torus in einer reduktiven algebraischen Gruppe liegt in keinem anderen maximalen Torus genau dann, wenn es von keiner Wurzel auf die Eins geworfen wird. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AAKAWu} Ein Element eines maximalen Torus in einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe liegt im Zentrum genau dann, wenn es im Kern jeder Wurzel liegt. \end{Ubung} \subsection{Struktur reduktiver Gruppen} \begin{Definition}[\textbf{Wurzeln einer affinen algebraischen Gruppe}] Seien $G \supset T$ eine affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus.\label{DWEE} Die von Null verschiedenen $T$-Gewichte in der Liealgebra $\op{Lie}(G/\op{rad}_{\op{u}}G)$ des Quotienten von $G$ nach seinem unipotenten Radikal hei"sen die {\bf Wurzeln von $G$}.\index{Wurzel!von algebraischer Gruppe} Die Menge aller Wurzeln hei"st das {\bf Wurzelsystem}\index{Wurzelsystem} der affinen algebraischen Gruppe $G$ in Bezug auf ihren maximalen Torus $T$ und wird mit $\op{R}$ f"ur englisch \glqq root\grqq\ oder franz"osisch \glqq racine\grqq\ bezeichnet notiert als $${\op{R}}(G,T) \pdef {\op{P}}_T(\op{Lie}(G/\op{rad}_{\op{u}}G))\backslash 0$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Provisorische Wurzeln}] Aus beweistechnischen Gr"unden arbeiten wir bis zum Ende dieses Abschnitts mit einer abweichenden provisorischen Definition des Begriffs einer Wurzel. Seien $G \supset T$ eine affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. Wir betrachen die Einskomponente $$\textstyle H =H(G,T)\pdef \left( \bigcap_{B\in \mathcal B^T} B\right)^\circ$$ des Schnitts\label{DPOR} aller Borel'schen "uber $T$ und nennen die $T$-Gewichte in $\op{Lie}G/\op{Lie}H$ die {\bf provisorischen Wurzeln}\index{Wurzel!provisorische} oder k"urzer auch {\bf Wurzeln von $G$}. Die Menge aller provisorischen Wurzeln nennen wir das {\bf provisorische Wurzelsystem} $${\op{R}}_{\op{prov}}(G,T)\pdef {\op{P}}_T(\op{Lie}G/\op{Lie}H)$$ In \ref{UPR} wird sich dann herausstellen, da"s der unipotente Anteil $H_{\op{u}}$ der aufl"osbaren Untergruppe $H$ genau das unipotente Radikal von $G$ ist, so da"s unsere provisorischen Wurzeln mit unseren Wurzeln aus \ref{DWEE} zusammenfallen, in Formeln ${\op{R}}_{\op{prov}}(G,T)={\op{R}}(G,T)$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Weylgruppe und provisorisches Wurzelsystem}] Gegeben $G\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus ist das Datum ${\op{W}}(G,T)\looparrowright \frak{X}(T)\supset {\op{R}}_{\op{prov}}(G,T)$ eine Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl.\label{WpW} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Der Beweis dieses Satzes wird einen gro"sen Teil dieses Abschnitts einnehmen. In \ref{VvW} zeigen wir, da"s die einzigen Vielfachen einer Wurzel, die wieder Wurzeln ist, sie selbst und ihr Negatives sind. Nach \ref{WuSPI} ist jede Wurzel eine Wurzel im Sinne von \ref{GiSpi} zu einem Element der Weylgruppe, das als Gitterspiegelung auf dem Charaktergitter des maximalen Torus operiert. Nach \ref{WuSE} erzeugen diese Gitterspiegelungen bereits die Weylgruppe, die mithin eine Gitterspiegelungsgruppe ist, und nach \ref{WLAa} operieren keine anderen Elemente der Weylgruppe als Gitterspiegelungen auf dem Charaktergitter des maximalen Torus. Da"s ${\op{R}}_{\op{prov}}(G,T)$ unter der Weylgruppe stabil ist, ist eh klar. Damit wird dann der Satz bewiesen sein,\label{WpWW} was wir in \ref{Wppp} nocheinmal festhalten. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition}[\textbf{Rang-Eins-Subquotienten zu Wurzeln}] Gegeben eine zusammenh"angende\label{WEGG} affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus $G \supset T$ und eine Wurzel $\alpha \in {\op{R}}_{\op{prov}} (G,T)$ betrachten wir die Einskomponente\label{NAU} $S_\alpha \pdef (\op{ker} \alpha)^\circ \subset T$ ihres Kerns und deren Zentralisator ${\op{Z}}_G (S_\alpha) \subset G$. So gilt: \begin{enumerate} \item Der Quotient ${\op{Z}}_G (S_\alpha)/\op{rad}{\op{Z}}_G (S_\alpha)$ ist eine halbeinfache zusammenh"angende Gruppe vom Rang Eins und die von Null verschiedenen $T$-Gewichte ihrer Liealgebra sind $\pm\alpha$; \item Der Quotient $G_\alpha\pdef {\op{Z}}_G (S_\alpha)/ \op{rad}_{\op{u}} {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ hat als derivierte Gruppe eine halbeinfache zusammenh"angende Gruppe vom Rang Eins $(G_\alpha,G_\alpha)$ und das Bild $\bar T\subset G_\alpha$ von $T$ schneidet $(G_\alpha,G_\alpha)$ in einem maximalen Torus dieser Untergruppe. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} 1. Unser Zentralisator ist nach \ref{ZBGzx} als Zentralisator eines Torus in einer zusammenh"angenden Gruppe selbst zusammenh"angend und nach unserem Satz "uber Borel'sche in Zentralisatoren von Tori \ref{ZTT} ist f"ur jede Borel'sche $B \in \mathcal B^T$, ja sogar f"ur jede Borel'sche $B$ von $G$ mit $B\supset S_\alpha$ der Schnitt $B \cap {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ eine Borel'sche von ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$. Da das Radikal einer affinen algebraischen Gruppe stets in jeder Borelschen enthalten ist, folgt $\op{rad}{\op{Z}}_G (S_\alpha) \subset H$. % W"are ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$ aufl"osbar, so folgte damit % ${\op{Z}}_G (S_\alpha) \subset H$. Nach Wahl von $\alpha$ und dem Satz "uber Liealgebren von Zentralisatoren von Tori \ref{zGT} gilt aber $\op{Lie} {\op{Z}}_G (S_\alpha) \not\subset \op{Lie} H$, also kann ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$ nicht aufl"osbar sein, und nach demselben Satz gilt $\alpha\in {\op{P}}_T(\op{Lie} {\op{Z}}_G (S_\alpha) /\op{Lie} (\op{rad}{\op{Z}}_G (S_\alpha))$. Jetzt setzen wir $$G_\alpha\pdef {\op{Z}}_G (S_\alpha)/ \op{rad}_{\op{u}} {\op{Z}}_G (S_\alpha)$$ Das ist quasi per definitionem eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe und die Projektion induziert einen Isomorphismus von $T$ mit einem maximalen Torus $\bar T\subset G_\alpha$, da weder $T$ noch seine Liealgebra $T$ nichttriviale unipotente Elemente hat und da nach \ref{AAHoWe1} das Bild eines maximalen Torus unter einem surjektiven Homomorphismus wieder ein maximaler Torus ist. Mithin induziert die Projektion auch einen Isomorphismus von $S_\alpha$ mit einem zentralen Untertorus $\bar S_\alpha\subset G_\alpha$ der Kodimension Eins in $\bar T$. Wir zeigen nun, da"s genauer sogar gilt $$\bar S_\alpha= \op{rad}G_\alpha$$ Hier ist $\subset$ klar, andererseits aber mu"s nach \ref{SRGG} das Radikal der reduktiven Gruppe $G_\alpha$ ein zentraler Torus sein. G"abe es aber in $G_\alpha$ einen echt gr"o"seren zentralen Torus als $\bar S_\alpha$, so w"are dieser schon ein maximaler Torus, und dann w"are die Weylgruppe trivial und dann w"are nach \ref{WGAL1} auch $G_\alpha$ aufl"osbar und damit auch ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$, was es ja eben nicht ist. Also gilt $\bar S_\alpha= \op{rad}G_\alpha$, und das hinwiederum zeigt, da"s die Surjektion einen Isomorphismus $$ {\op{Z}}_G (S_\alpha)/ \op{rad} {\op{Z}}_G (S_\alpha)\sira G_\alpha/\bar S_\alpha $$ induziert und da"s diese beiden zueinander isomorphen Gruppen zu\-sam\-men\-h"ang\-end und halbeinfach vom Rang Eins sind. Nach unserer Klassifikation halbeinfacher Gruppen vom Rang Eins \ref{KREm} enth"alt schlie"slich die Menge der $T$-Gewichte ${\op{P}}_T (\op{Lie} (G_\alpha/\bar S_\alpha))$ genau zwei Gewichte ungleich Null, deren Summe ist Null, und deren Gewichtsr"aume in $\op{Lie} (G_\alpha/\bar S_\alpha)$ sind eindimensional. Da wir $\alpha$ bereits als Gewicht erkannt haben, mu"s das zweite Gewicht notwendig $-\alpha$ sein. \\[2mm] \noindent 2. F"ur die derivierte Gruppe von $G_\alpha$ induziert die Projektion nach \ref{FQW} eine Surjektion $$(G_\alpha,G_\alpha)\sra G_\alpha/\bar S_\alpha$$ Andererseits trifft $(G_\alpha,G_\alpha)\subset G_\alpha$ nach \ref{SRGG} das Radikal $\bar S_\alpha$ in einer endlichen Gruppe, unsere Surjektion hat folglich endlichen Kern. Mithin ist auch $(G_\alpha,G_\alpha)$ halbeinfach vom Rang Eins und die Einskomponente des Urbilds von $\bar T/\bar S_\alpha$ ist darin ein maximaler Torus. Der mu"s aber wie jeder maximale Torus einer zusammenh"angenden halbeinfachen Gruppe vom Rang Eins das Zentrum umfassen und a forteriori den Kern von $(G_\alpha,G_\alpha)\sra G_\alpha/\bar S_\alpha$. Damit ist unser maximaler Torus bereits das ganze Urbild von $\bar T/\bar S_\alpha$ alias der Schnitt $\bar T\cap (G_\alpha,G_\alpha)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vielfache von Wurzeln}] Gegeben $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus sind Wurzeln $\alpha, \beta \in {\op{R}}_{\op{prov}} (G,T)$ mit $\alpha \neq \pm \beta$ sind linear unabh"angig. In der Tat, sind Wurzeln $\alpha, \beta$ linear abh"angig, so gilt $(\op{ker} \alpha)^\circ = (\op{ker} \beta)^\circ$ und die Behauptung\label{VvW} folgt, da f"ur diesen Torus, den wir einmal $S$ nennen wollen, ${\op{Z}}_G (S) / \op{rad} {\op{Z}}_G (S)$ nach \ref{NAU} zusammenh"angend und halbeinfach ist vom Rang Eins und wir diese Gruppen aus \ref{KREm} bereits sehr genau kennen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Wurzelspiegelungen}] Seien $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem\label{WuSPI} maximalen Torus und sei $\alpha \in {\op{R}}_{\op{prov}} (G,T)$ eine Wurzel. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt genau ein Element der Weylgruppe $s_\alpha \in {\op{W}} (G,T)$ mit $s_\alpha (\alpha) = - \alpha$ und $s_\alpha | (\op{ker} \alpha)^\circ = \op{id}$; \item F"ur dieses Element haben wir $s_\alpha^2=\op{id}$ und es gibt es genau eine Linearform $\alpha^\vee:\mathfrak X (T)\ra \DZ$ derart, da"s f"ur alle $\lambda\in\mathfrak X(T)$ gilt $$s_\alpha(\lambda)=\lambda-\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hier verwenden wir die in diesem Zusammenhang "ubliche symmetrische Schreibweise $\langle\lambda,\psi\rangle\pdef \psi(\lambda)$ f"ur das Auswerten einer Linearform $\psi:\mathfrak X (T)\ra \DZ$ auf einem Element $\lambda \in \mathfrak X (T)$. Wir nennen $s_\alpha$ die {\bf Wurzelspiegelung zur Wurzel $\alpha$}\index{Wurzelspiegelung} und $\alpha^\vee$ die zur Wurzel $\alpha$ geh"orige {\bf Kowurzel}.\index{Kowurzel} \end{Bemerkungl} \begin{proof} 1. Wir setzen wie zuvor $S_\alpha \pdef (\op{ker} \alpha)^\circ$. Nach \ref{NAU} ist die Gruppe ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$ nicht aufl"osbar. Also ist nach \ref{WGAL1} ihre Weylgruppe zum maximalen Torus $T$ nicht trivial. Ist $s$ ein nichttriviales Element dieser Gruppe, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{ker} \ar[d] \ar@{^{(}->}[r]& \mathfrak X (T)\ar[d]_s \ar@{->>}[r]& \mathfrak X (S_\alpha)\ar[d]_{\op{id}}\\ \op{ker} \ar@{^{(}->}[r] & \mathfrak X (T) \ar@{->>}[r] & \mathfrak X (S_\alpha) } \end{displaymath} Hier ist $\op{ker} \cong \mathbb Z$ frei vom Rang Eins. W"urde $s$ auf dem Kern die Identit"at induzieren, so w"are es auf $\mathfrak X (T)$ unipotent und m"u"ste als unipotenter Automorphismus endlicher Ordnung trivial sein. Das ist es nicht, also haben wir $s = -\op{id}$ auf dem Kern und insbesondere $s (\alpha) = -\alpha$. Dieselbe Argumentation zeigt, da"s $s$ eindeutig bestimmt ist und da"s gilt $s^2 = \op{id}$ und Teil 1 unseres Lemmas ist bewiesen. Von nun an nennen wir, wie bereits angek"undigt, diese Gitterspiegelung $s$ die Wurzelspiegelung zur Wurzel $\alpha$ und notieren sie $s=s_\alpha$. \\[2mm]\noindent 2. Wenden wir nun die Klas\-si\-fi\-ka\-tion \ref{KREm} zusammenh"angender halbeinfacher Gruppen vom Rang Eins auf die derivierte Gruppe $(G_\alpha,G_\alpha)$ von $$G_\alpha\pdef {\op{Z}}_G (S_\alpha)/ \op{rad}_{\op{u}} {\op{Z}}_G (S_\alpha)$$ an, die ja nach \ref{WEGG} eine Gruppe dieser Art ist und vom Bild $\bar T\subset G_\alpha$ von $T$ in einem maximalen Torus geschnitten wird, so finden wir einen Homomorphismus $\alpha^\vee: k^\times\ra \bar T\cap (G_\alpha,G_\alpha)$ von algebraischen Gruppen mit $\langle \alpha,\alpha^\vee\rangle=2$. Repr"asentiert $\bar s\in (G_\alpha,G_\alpha)$ das nichttriviale Element der Weylgruppe zum maximalen Torus $\bar T\cap (G_\alpha,G_\alpha)$, so kommutiert $\bar s$ mit $\bar S_\alpha$ und normalisiert damit ganz $\bar T$ und der davon induzierte Automorphismus $\bar s$ von $\mathfrak X(\bar T)$ mu"s folglich mit dem von unserer Wurzelspiegelung $s_\alpha$ auf $\mathfrak X( T)$ induzierten Automorphismus "ubereinstimmen modulo der Identifikation $T\sira\bar T$. Schreiben wir $$\mathfrak X^\vee(D)\pdef\op{GrpVar}(k^\times,D)$$ f"ur die Gruppe der multiplikativen Ein-Parameter-Untergruppen eines Torus $D$, so operiert unser $\bar s$ auch auf $\mathfrak X^\vee(\bar T)$ und wir haben $\bar s(\alpha^\vee)=-\alpha^\vee$. Andererseits haben wir $\bar s(\psi)=\psi$ f"ur alle $\psi\in \mathfrak X^\vee(\bar S_\alpha)\subset \mathfrak X^\vee(\bar T)$. Da nun $\mathfrak X^\vee(\bar S_\alpha)$ und $\alpha^\vee$ bereits eine Untergruppe von endlichem Index in $\mathfrak X^\vee(\bar T)$ erzeugen, wird der von $\bar s$ induzierte Automorphismus der Gruppe $\mathfrak X^\vee(\bar T)$ durch diese Bedingungen eindeutig festgelegt. Es folgt $$\bar s(\psi)=\lambda-\langle\alpha,\psi\rangle\alpha^\vee$$ f"ur alle $\psi\in \mathfrak X^\vee(\bar T)$, denn die durch die rechte Seite gegebene Abbildung erf"ullt dieselben Bedingungen. Nun identifiziert die offensichtliche Paarung $$\mathfrak X^\vee(\bar T)\times \mathfrak X(\bar T)\ra \DZ$$ jeweils die eine abelsche Gruppe mit dem $\DZ$-Dualen der anderen, so da"s die Operation von $\bar s$ auf $\mathfrak X(\bar T)$ durch die transponierte Abbildung geschehen mu"s. Indem wir wieder zu $T$ aufsteigen, folgt schlie"slich die behauptete Formel \begin{displaymath}s_\alpha(\lambda)=\lambda-\langle\lambda,\alpha^\vee\rangle\alpha\quad\forall \lambda\in\mathfrak X(T) \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Es ist leicht zu sehen, da"s die Transponierte jeder Gitterspiegelung eine Gitterspiegelung auf dem dualen Gitter ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Homomorphismen und Weylgruppen}] Unter einem surjektiven Homomorphismus von zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppen\label{AAHoWe} mit zentralem diagonalisierbaren Kern ist das Urbild jedes maximalen Torus ein maximaler Torus und das Urbild seines Normalisators der Normalisator seines Urbilds und wir erhalten so einen Isomorphismus zwischen den zugeh"origen Weylgruppen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $\varphi : G \twoheadrightarrow H$ unser surjektiver Homomorphismus und $T\subset G$ ein maximaler Torus. Da $G$ zusammenh"angend ist, zeigt \ref{AAZSTo} bereits $\op{ker} \varphi\subset T$ und folglich $T=\varphi^{-1}(\varphi ( T ))$. Da wir bereits nach \ref{AAHoWe1} wissen, da"s jeder maximale Torus in $H$ das Bild eines maximalen Torus in $G$ ist, folgt die erste Behauptung. Die beiden weiteren Behauptungen folgen nun ohne weitere Schwierigkeiten. F"ur eine formale Argumentation scheint mir das Neunerlemma \eref{NeuL}{LA2} besonders "ubersichtlich. Die ben"otigten Rechnungen macht \ref{AALKH} explizit. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AALKH} Gegeben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\sra H$ und Teilmengen $A,B\subset H$ gilt $\varphi^{-1}(AB)=\varphi^{-1}(A)\varphi^{-1}(B)$. Gegeben eine Teilmenge $S\subset H$ und ein Element $g\in G$ gilt %mit der ad hoc erfundenen der Situation angepa"sten %nur hier g"ultigen %Notation $\bar a$ f"ur das Inverse eines Gruppenelements $a$ des weiteren die "Aquivalenz $$g\varphi^{-1}(S) g^{-1}\subset \varphi^{-1}(S) \;\IFF\; \varphi(g)S\varphi(g)^{-1}\subset S$$ Man lasse sich nicht dadurch verwirren, da"s hierbei \glqq hoch $(-1)$\grqq\ sowohl f"ur Abbildungen die auf den Potenzmengen in der Gegenrichtung induzierte Abbildung bezeichnet als auch f"ur Gruppenelemente ihr Inverses. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Erzeugung der Weylgruppe durch Wurzelspiegelungen}] Gegeben $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus erzeugen die Wurzelspiegelungen %$s_\alpha$ f"ur $\alpha\in {\op{R}} (G,T)$ die Weylgruppe ${\op{W}} (G,T)$.\label{WuSE} \end{Satz} \begin{proof} Wir argumentieren mit Induktion "uber die Dimension unserer Gruppe. Gibt es keine Wurzeln, genauer bei unserem derzeitigen Kenntnisstand keine provisorischen Wurzeln, so ist $G=H(G,T)$ per definitionem aufl"osbar und die Weylgruppe ist trivial nach \ref{WGAL1}. Das erledigt auch ohne Verwendung der Induktionsannahme den Fall, da"s das provisorische Wurzelsystem leer ist. Sonst sei $w \in {\op{W}} (G,T)$ ein nichttriviales Element der Weylgruppe und $\dot{w}\in{\op{N}}_G(T)$ ein Repr"asentant desselben. Man betrachte den Gruppenhomomorphismus \begin{displaymath} \begin{array}{rccl} \phi :& T & \rightarrow &T\\ &t & \mapsto & \dot{w} t \dot{w}^{-1} t^{-1} \end{array} \end{displaymath} Ist $\phi$ nicht surjektiv, so hat sein Kern positive Dimension und $w$ zentralisiert mithin einen echten Untertorus $S \subsetneq T$. Dann brauchen wir nur die Induktionsannahme auf ${\op{Z}}_G (S) / S$ anzuwenden, das nach \ref{AAHoWe} dieselbe Weylgruppe hat wie ${\op{Z}}_G (S)$ und dessen Wurzeln unter $T\sra T/S$ genau den Wurzeln von ${\op{Z}}_G (S)$ entsprechen. Ist dahingegen $\phi$ surjektiv, so ist die davon auf der Charaktergruppe induzierte Abbildung eine Injektion \begin{equation*} (w -\op{id}) : \mathfrak X (T) \hookrightarrow \mathfrak X (T) \end{equation*} Nun wissen wir bereits, da"s es Wurzeln $\alpha$ geben mu"s, und gegeben eine Wurzel $\alpha$ finden wir dann $\lambda \in \mathfrak X (T)\backslash 0$ mit $(w -\op{id}) \lambda \in \mathbb Z \alpha$. Da die Bahn einer endlichen Gruppe in einer Darstellung "uber einem $\DQ$-Vektorraum jede affine Gerade nur in h"ochstens zwei Punkten treffen kann, die unter jedem invarianten Skalarprodukt denselben Abstand vom Ursprung haben, folgt $w\lambda=s_\alpha\lambda$ und damit \begin{equation*} (s_\alpha w -\op{id}) \lambda = s_\alpha (w -\op{id}) \lambda + (w -\op{id}) \lambda = 0 \end{equation*} Also ist $s_\alpha w$ ein weiteres Element der Weylgruppe, f"ur das unser $\phi$ nicht mehr surjektiv ist, so da"s wir den Beweis, wie zuvor erkl"art, mit vollst"andiger Induktion zu Ende bringen k"onnen. \end{proof} \begin{Definition} Ein Automorphismus eines Vektorraums "uber einem K"orper einer von Zwei verschiedenen Charakteristik hei"st eine \defnoind{Spiegelung},\index{Spiegelung!reelle lineare} wenn er eine Hyperebene punktweise festh"alt und einen Vektor au"serhalb dieses {\bf Spiegels}\index{Spiegel} auf sein Negatives wirft. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{OPWWa} Seien $G\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. Die Weylgruppe ${\op{W}}(G,T)$ operiert auf dem $\DQ$-Vek\-tor\-raum $\mathfrak X_\DQ^\vee=\mathfrak X(T)_\DQ^\vee\pdef \op{Ab}(\mathfrak X(T),\DQ)$. Die maximalen konvexen Teilmengen des Komplements $$\mathfrak X_\DQ^\vee\setminus \bigcup_{\alpha\in R}(\mathfrak X_\DQ^\vee)^{s_\alpha}$$ der Vereinigung aller Spiegel zu Spiegelungen $s_\alpha$ aus \ref{WuSPI} hei"sen \defnoind{Alkoven}.\index{Alkoven!bei kompakten Liegruppen} Die Menge aller Alkoven bezeichnen wir mit $\cal{A}\subset \cal{P}(\mathfrak X_\DQ^\vee)$. Sicher permutiert die Weylgruppe unsere Spiegel, folglich erhalten wir auch eine Operation der Weylgruppe auf der Menge $\cal{A}$ aller Alkoven. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Spiegelungen in der Weylgruppe}] Seien $G\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. So gilt:\label{WLAa} \begin{enumerate} %\item %Die Weylgruppe $W={\op{W}}(G,T)$ wird %von den Spiegelungen $s_\alpha$ zu Wurzeln $\alpha\in % {\op{R}}(G,T)$ erzeugt; \item Die Weylgruppe operiert frei und transitiv auf der Menge der Alkoven in $\mathfrak X( T)_\DQ^\vee$. In Formeln liefert also f"ur jeden Alkoven $A$ das Anwenden eine Bijektion $W\sira \cal{A}$, $w\mapsto wA$; \item Au"ser den Spiegelungen zu Wurzeln operieren keine weiteren Elemente der Weylgruppe als Spiegelungen auf $\mathfrak X( T)$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Teile des anschlie"senden Beweises k"onnen wir im Rahmen der allgemeinen Theorie endlicher Spiegelungsgruppen \eref{THG}{SPW} noch besser verstehen. Insbesondere kann man ganz allgemein zeigen, da"s jede endliche von Spiegelungen erzeugte Gruppe von Automorphismen eines endlichen reellen Vektorraums frei und transitiv auf der Menge ihrer Alkoven operiert und da"s jede Spiegelung einer derartigen Gruppe konjugiert ist zu einer der erzeugenden Spiegelungen. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Zun"achst zeigen wir, da"s die Operation der Weylgruppe auf der Menge der Alkoven transitiv ist. Wir w"ahlen dazu ein $W$-invariantes Skalarprodukt auf $\mathfrak X_\DQ$ und finden wir f"ur beliebige Vektoren $v,w\in \mathfrak X_\DQ$ ein $x\in W$ derart, da"s der Abstand $\|v-xw\|$ kleinstm"oglich wird. Dann k"onnen $v$ und $xw$ durch keinen Spiegel einer Wurzelspiegelung mehr getrennt werden, da ja sonst aus elementargeometrischen Gr"unden f"ur $s_\alpha$ die Spiegelung an besagtem Spiegel $v$ und $s_\alpha xw$ noch n"aher aneinander w"aren. Also liegen $v$ und $xw$ f"ur jeden Spiegel einer Wurzelspiegelung in demselben abgeschlossenen Halbraum und damit im Abschlu"s desselben Alkoven. Als n"achstes zeigen wir, da"s sie auch frei ist. H"alt aber ein nichttriviales Element der Weylgruppe einen Alkoven fest, so hat es in besagtem Alkoven auch einen Fixpunkt, etwa die Summe "uber die Elemente einer Bahn der von unserem Element erzeugten zyklischen Untergruppe. Es g"abe also eine Einparameteruntergruppe $\chi\in \mathfrak X^\vee$ mit $\langle \alpha,\chi\rangle \neq 0$ alias $\op{im}\chi=\chi(k^\times)\not\subset \op{ker}\alpha\;\;\forall \alpha \in {\op{R}}_{\op{prov}}$ derart, da"s ein nichttriviales Element der Weylgruppe durch ein Element von ${\op{Z}}_G(\op{im}\chi)$ repr"asentiert werden kann. Diese Gruppe ist nach \ref{ZBGzx} zusammenh"angend. Wenn wir nun ${\op{Z}}_G(\op{im}\chi)\subset H$ zeigen k"onnen, so haben wir den gew"unschten Widerspruch erreicht, denn die Weylgruppe jeder zusammenh"angenden aufl"osbaren Gruppe ist trivial nach \ref{WGAL1}. Aus den Eigenschaften von $\chi$ folgt aber $(\op{Lie}G)^{\op{im}\chi}\subset \op{Lie}H$, also $(\op{Lie}G)^{\op{im}\chi}= (\op{Lie}H)^{\op{im}\chi}$, also ${\op{Z}}_G(\op{im}\chi)= {\op{Z}}_H(\op{im}\chi)\subset H$. Um auch die zweite Aussage der Proposition abzuleiten, beachten wir, da"s es nach \eref{IsPrE}{NAS} auf $\mathfrak X^\vee_\DQ$ ein weylgruppeninvariantes Skalarprodukt gibt, so da"s eine Spiegelung aus der Weylgruppe durch ihren Spiegel bereits eindeutig festgelegt wird. H"atten wir zus"atzlich zu den $s_\alpha$ noch eine weitere Spiegelung $s$ in der Weylgruppe, so m"u"ste deren Spiegel ganz offensichtlich und formal nach \eref{EU}{AL} einen Alkoven $A$ treffen und es folgte $sA=A$ im Widerspruch zur Freiheit der Operation. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir haben damit, wie in \ref{WpWW} angek"undigt, Satz \ref{WpW} gezeigt, nach dem f"ur $G\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus das Datum ${\op{W}}(G,T)\looparrowright \frak{X}(T)\supset {\op{R}}_{\op{prov}}(G,T)$ eine Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl ist.\label{Wppp} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. Eine Teilmenge $\op{R}^+\subset \op{R}_{\op{prov}}(G,T)$ nennen wir ein {\bf System positiver Wurzeln}\index{System positiver Wurzeln} oder kurz ein {\bf positives System}, wenn es ein $\psi\in\mathfrak X(T)_\DQ^\vee$ gibt, dessen Kern das Wurzelsystem nicht trifft und f"ur die gilt\label{syp} $$\op{R}^+=\{\alpha\in \op{R}_{\op{prov}}(G,T)\mid \langle \alpha,\psi\rangle>0\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkunge} So ein System positiver Wurzeln ist nach \eref{WBW}{SPW} dasselbe wie ein positives System f"ur das abstrakte Wurzelsystem $\op{R}_{\op{prov}}(G,T)$ im Sinne von \eref{SPW}{SPW}. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Transitivit"at der Weylgruppe auf positiven Systemen}] Gegeben eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus $G \supset T$ operiert die Weylgruppe auf der Menge aller Systeme positiver Wurzeln in $\op{R}_{\op{prov}}(G,T)$ frei und transitiv.\label{kSY} \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Das folgt auch aus der allgemeinen Theorie von Wurzelsystemen \eref{WBn}{SPW}. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Genau dann trifft der Kern eines $\psi\in\mathfrak X_\DQ^\vee$ das Wurzelsystem nicht, wenn $\psi$ von keiner der Wurzelspiegelungen festgehalten wird. Genau dann liefern zwei Elemente von $\mathfrak X_\DQ^\vee$ im Komplement der Vereinigung der Spiegel der Weylgruppe dasselbe System positiver Wurzeln, wenn sie zu demseben Alkoven geh"oren. Wir erhalten so eine Bijektion zwischen der Menge $\mathcal A$ der Alkoven und der Menge aller Systeme positiver Wurzeln, die "aquivariant ist unter der Weylgruppe. Nach \ref{WLAa} operiert also die Weylgruppe auch auf der Menge aller Systeme positiver Wurzeln sogar frei und transitiv. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung positiver Systeme durch ihre Kowurzeln}] Seien eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus $G \supset T$ gegeben. Eine Teilmenge $\op{R}^+\subset \op{R}_{\op{prov}}(G,T)$ ist genau dann ein\label{posk} System positiver Wurzeln, wenn es einen Charakter $\chi\in \mathfrak X(T)$ gibt, auf dem keine Kowurzel verschwindet und so da"s gilt $$\op{R}^+=\{\alpha\in \op{R}_{\op{prov}}(G,T)\mid \langle \chi,\alpha^\vee\rangle>0\}$$ In der Tat entsprechen sich unter der durch weylgruppeninvariantes Skalarprodukt gegebenen Identifikation von $\DQ$-Vektorr"aumen $\mathfrak X(T)_\DQ\sira \mathfrak X^\vee_\DQ$ die $(-1)$-Eigenr"aume der Wurzelspiegelungen, so da"s $\alpha$ auf ein positives Vielfaches von $\alpha^\vee$ abgebildet wird. Die Behauptung folgt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Positive Systeme zu Borel'schen}] Gegeben $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus bilden f"ur jede Borel'sche $B \subset G$ "uber $T$ diejenigen Wurzeln $\alpha\in \op{R}_{\op{prov}}(G,T)$, die als $T$-Gewichte in $\op{Lie}B / \op{Lie} H(G,T)$ vorkommen, ein System positiver Wurzeln $$\op{R}^+(B,T)\subset \op{R}_{\op{prov}}(G,T)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Es ist offensichtlich, da"s f"ur zwei Borel'sche $B,B'\in\mathcal B^T$ aus der Gleichheit $\op{R}^+(B,T)=\op{R}^+(B',T)$ bereits folgt $B=B'$. Mit der Transitivit"at der Weylgruppe auf positiven Systemen \ref{kSY} folgern wir, da"s die Abbildung $B\mapsto {\op{R}}^+(B,T)$ sogar eine Bijektion zwischen der Menge $\mathcal B^T$ der Borel'schen "uber $T$ und der Menge der positiven Systeme unseres provisorischen Wurzelsystems induziert.\label{MPOI} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{DfQQ} finden wir eine endlichdimensionale algebraische Darstellung $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V) $ und darin einen von Null verschiedenen Vektor $v \in V \backslash 0$ derart, da"s $B$ der Stabilisator der Gerade $kv$ ist. Sei $\chi \in \mathfrak X (T)$ bestimmt durch $v \in V_\chi$. Wir zeigen $\langle\chi,\alpha^\vee\rangle\neq 0$ f"ur alle $\alpha\in R$ und $R^+=\{\alpha\mid \langle\chi,\alpha^\vee\rangle>0\}$ und haben gewonnen nach der Beschreibung \ref{posk} positiver Systeme durch ihre Kowurzeln. Wie bereits zu Beginn des Beweises von \ref{WEGG} erw"ahnt ist $B \cap {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ f"ur jede provisorische Wurzel $\alpha$ eine Borel'sche von ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$. Sicher h"alt mithin $\op{rad}_{\op{u}} {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ unseren Vektor $v$ fest. Der von den Bildern von $v$ unter ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$ erzeugte Teilraum von $V$ ist also eine Darstellung $W$ von $$G_\alpha\pdef {\op{Z}}_G (S_\alpha)/\op{rad}_{\op{u}} {\op{Z}}_G (S_\alpha)$$ mit $W_\chi\neq 0$, und das Bild in $ G_\alpha$ der Borel'schen $B\cap {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ ist eine Borel'sche $B_\alpha\subset G_\alpha$, die $W_\chi$ stabilisiert. Bezeichnet $\bar S_\alpha\subset \bar T\subset G_\alpha$ die Bilder von $S_\alpha\subset T$, so ist das Bild $ B_\alpha/\bar S_\alpha\subset G_\alpha/\bar S_\alpha$ nach \ref{BiBo} immer noch eine Borel'sche, und dasselbe gilt f"ur das Urbild dieses Bildes $B_\alpha\cap (G_\alpha, G_\alpha)$ unter der Projektion mit endlichem in $\bar T$ enthaltenem Kern $(G_\alpha, G_\alpha)\sra G_\alpha/\bar S_\alpha$. Da nun $\chi$ das Gewicht einer Geraden mit Stabilisator $B_\alpha\cap (G_\alpha, G_\alpha)$ in einer Darstellung von $(G_\alpha, G_\alpha)$ ist, folgt $\langle \chi,\alpha^\vee\rangle>0$ aus der Darstellungstheorie \ref{rDSP}.\ref{ZsRDl} der Gruppe $\op{SL}(2;k)$. \end{proof} % \begin{proof} % Da $B \cap {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ nach \ref{ZTT} % eine Borel'sche ist und dasselbe nach \ref{BiBo} % f"ur ihr Bild im Quotienten $G_\alpha \pdef {\op{Z}}_G (S_\alpha)/ % \op{rad} {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ gilt, % folgt $|R^+ (B) \cap \{ \alpha, - \alpha \} | =1$ % f"ur jede Wurzel $\alpha$. % Sei nun $\rho : G \rightarrow \op{GL} (V) $ eine Darstellung und $v \in V \backslash 0$ mit $B$ dim Stabilisator % von $kv$. % Sei $\chi \in \mathfrak X (T)$ bestimmt durch $v \in V_\chi$. % Sicher h"alt $\op{rad}_u {\op{Z}}_G (S_\alpha)$ unseren Vektor $v$ fest. % Der von den Bildern von $v$ unter ${\op{Z}}_G (S_\alpha)$ erzeugte Teilraum ist also eine Darstellung % von ${\op{Z}}_G (S_\alpha) / \op{rad}_u {\op{Z}}_G (S_\alpha)$. % Die Gewichte von $T$ m"ussen dabei stabil sein unter $s_\alpha$. Nun zeigt \ref{rDSP}, % dass gilt $\langle \chi, \alpha^\vee \rangle > 0$. % \end{proof} \begin{Lemma}\label{NKAA} Gegeben $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus und $\alpha \in {\op{R}}_{\op{prov}} (G,T)$ eine Wurzel ist stets $H(G,T)_{\op{u}}$ ein Normalteiler der Untergruppe $$ K(\alpha) \pdef \left( \bigcap_{B\in \mathcal B^T,\;\alpha \in {\op{R}} (B,T)} B \right)^\circ$$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir setzen $H\pdef H(G,T)_{\op{u}}$. Es reicht zu zeigen, da"s $H_{\op{u}}\subset K(\alpha)_{\op{u}}$ ein Normalteiler ist, denn der maximale Torus $T$ der zusammenh"angenden aufl"osbaren Gruppe $K(\alpha)$ normalisiert $H_{\op{u}}$ eh. Es reicht nach \ref{NHTZ} dazu zu zeigen, da"s $H_{\op{u}}\subset K(\alpha)_{\op{u}}$ eine Untergruppe der Kodimension h"ochstens Eins ist. Es reicht auch zu zeigen, da"s $H\subset K(\alpha)$ eine Untergruppe der Kodimension Eins ist, denn beide Gruppen sind aufl"osbar mit demselben maximalen Torus $T$. Nun sind alle $T$-Gewichte von $\op{Lie}K(\alpha)/\op{Lie}H$ offensichtlich Wurzeln $\beta$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Borel'sche $B\in\mathcal B^T$ gilt $\alpha \in {\op{R}}^+ (B,T) \Rightarrow \beta \in {\op{R}}^+ (B,T)$. Daraus folgt $\beta = \alpha$, denn f"ur je zwei verschiedene Wurzeln $\beta\neq \alpha$ gilt nach \ref{VvW} entweder $\beta=-\alpha$ oder $\beta\not\in \DZ\alpha$ und folglich gibt es f"ur Wurzeln $\beta\neq \alpha$ stets ein System positiver Wurzeln, das $\alpha$ enth"alt aber nicht $\beta$ und dann mit \ref{MPOI} auch eine Borel'sche $B\in\mathcal B^T$ mit $\alpha\in {\op{R}}^+ (B,T)$ aber $\beta\not\in {\op{R}}^+ (B,T)$. Da wir bereits wissen, da"s die fraglichen Gewichtsr"aume eindimensional sind, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Proposition}\label{UPR} Gegeben $G \supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einem ausgezeichneten maximalen Torus ist $H(G,T)_{\op{u}}$ das unipotente Radikal von $G$, in Formeln $$\textstyle\op{rad}_{\op{u}}G=\left(\left( \bigcap_{B\in \mathcal B^T} B\right)^\circ\right)_{\op{u}}$$ \end{Proposition} \begin{proof} Die Inklusion $\op{rad}_{\op{u}}G\subset H_{\op{u}}$ ist evident, eine und damit jede Borel'sche umfa"st ja das Radikal. Die andere Inklusion $\supset$ folgt, sobald wir unser $H_{\op{u}}$ als Normalteiler entlarven k"onnen. Nach Lemma \ref{NKAA} aber wird $H_{\op{u}}$ von allen $K(\alpha)$ normalisiert. Man "uberlegt sich nun, da"s der Gewichtsraum zur Wurzel $\alpha$ von $\op{Lie}K(\alpha)/\op{Lie}H$ nicht Null ist. In der Tat umfa"st ja $K(\alpha)$ nach unseren Erkenntnissen \ref{ZTT} "uber Borel'sche in Zentralisatoren von Tori diejenige Borel'sche von $\op{Z}_G(S_\alpha)$ "uber $T$, bei der $-\alpha$ kein $T$-Gewicht der Liealgebra von $\op{Z}_G(S_\alpha)/\op{rad}\op{Z}_G(S_\alpha)$ ist, denn wieder nach \ref{ZTT} gilt $\op{rad}\op{Z}_G(S_\alpha)\subset H$. Damit erzeugen die $K(\alpha)$ bereits eine Untergruppe von $G$ mit der vollen Liealgebra, als da hei"st, ganz $G$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Maximaler Torus als Schnitt von Borel'schen}] Gegeben $G \supset T$ eine zusammenh"angende reduktive affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus ist der maximale Torus $T$ die Einskomponente des Schnitts aller Borel'schen "uber $T$, in Formeln\label{UPRm} $$\textstyle T = \left( \bigcap_{B \in \mathcal B^T} B \right)^\circ $$ \end{Satz} \begin{proof} Die Inklusion $\subset$ ist evident. Der unipotente Anteil der rechten Seite ist Null nach \ref{UPR}, folglich geht sie f"ur eine beliebige Borel'sche $B$ "uber $T$ injektiv nach $B/B_{\op{u}}$. Da aber die Komposition eine Bijektion $T\sira B/B_{\op{u}}$ ist, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Zentralisator eines maximalen Torus}] In einer zusammenh"angenden affinen reduktiven algebraischen Gruppe $G$ ist ist jeder maximale Torus $T$ sein eigener Zentralisator, in Formeln $$T=\op{Z}_G(T)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen insbesondere die Weylgruppe einer zusammenh"angenden affinen reduktiven algebraischen Gruppe schreiben als $${\op{W}}(G,T)={\op{N}}_G(T)/T$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} In einer zusammenh"angenden affinen algebraischen Gruppe ist der Zentralisator eines Torus stets zusammenh"angend nach \ref{ZBGzx}. Ist unsere Gruppe $G$ zus"atzlich reduktiv, so liefert \ref{UPRm} die Gleichheit $T=H(G,T)$ in der Notation vom Beginn dieses Abschnitts. Da nun aber in $\op{Lie}G/\op{Lie}H(G,T)$ das $T$-Gewicht Null nicht vorkommt, mu"s $H(G,T)$ schon der Zentralisator von $T$ gewesen sein. \end{proof} \subsection{Bruhat-Zerlegung} \begin{Satz}[\textbf{Struktur reduktiver Gruppen}] Gegeben $G\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus zerf"allt die adjungierte Darstellung unter dem Torus als $$\op{Lie}G=\op{Lie}T\oplus\bigoplus_{\alpha\in {\op{R}}(G,T)}(\op{Lie}G)_\alpha$$ und alle $(\op{Lie}G)_\alpha$ sind eindimensional. Betrachten wir f"ur $\alpha\in{\op{R}}(G,T)$ den Torus $S_\alpha\pdef (\op{ker}\alpha)^\circ$, so ist $G_\alpha \pdef {\op{Z}}_G(S_\alpha)$ reduktiv zusammenh"angend mit Wurzelsystem ${\op{R}}(G_\alpha,T)=\{\alpha, -\alpha\}$ und der offensichtliche Morphismus ist eine Surjektion mit endlichem Kern $$(G_\alpha,G_\alpha)\sra G_\alpha/S_\alpha$$ halbeinfacher Gruppen vom Rang Eins. Weiter ist $T\cap (G_\alpha,G_\alpha)$ ein maximaler Torus in $(G_\alpha,G_\alpha)$ und das Urbild des maximalen Torus $T/S_\alpha$ von $G_\alpha/S_\alpha$. \end{Satz} \begin{proof} Wir erinnern aus \ref{DPOR} die Untergruppe $H=H(G,T)$ einer affinen algebraischen Gruppe $G$ mit maximalem Torus $T$. Wie beim Beweis von \ref{UPR} erw"ahnt folgt aus unserer Beschreibung \ref{ZTT} von Borel'schen in Zentralisatoren von Tori bereits $\op{rad}\op{Z}_G(S_\alpha)\subset H$. F"ur $G$ zusammenh"angend und reduktiv folgt zusammen mit der Erkenntnis $H=T$ aus \ref{UPRm} dann $\op{rad}_{\op{u}}\op{Z}_G(S_\alpha)=1$. In diesem Fall haben wir in \ref{NAU} also $G_\alpha=\op{Z}_G(S_\alpha)$ und diese Untergruppe von $G$ hat weiter nach \ref{NAU} als derivierte Gruppe $(G_\alpha,G_\alpha)$ eine halbeinfache Gruppe vom Rang Eins und Aussagen aus dem Beweis von \ref{NAU} spezialisieren in unserem Fall zu $\op{rad}G_\alpha=S_\alpha$ zu den restlichen Aussagen des Satzes. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wurzelgruppen}] Gegeben $G\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus und $\alpha\in \op{R}(G,T)$ eine Wurzel besitzt $G_\alpha$ genau zwei Borel'sche\label{WGru} "uber $T$ und f"ur eine eindeutig bestimmte solche Borel $B_\alpha\subset G_\alpha$ gilt $(\op{Lie}B_\alpha)_\alpha\neq 0$. Das unipotente Radikal dieser Borel'schen notieren wir $$U_\alpha\pdef (B_\alpha)_{\op{u}}$$ und nennen es die {\bf Wurzelgruppe zur Wurzel $\alpha$}.\index{Wurzelgruppe} Unsere Wurzelgruppe wird unter der Quotientenabbildung isomorph auf das unipotente Radikal der Borel'schen $B_\alpha/S_\alpha\subset G_\alpha/S_\alpha$ abgebildet, da der Kern der Projektion ein Torus ist. Nach unseren Erkenntnissen "uber halbeinfache Gruppen vom Rang Eins ist $U_\alpha$ folglich isomorph zur additiven Gruppe $(k,+)$. Weiter folgt, da"s gegeben solch ein Isomorphismus $u_\alpha: k\sira U_\alpha$ stets gilt $$ tu_\alpha(x)t^{-1}=u_\alpha(\alpha(t)x)\quad\forall x\in k, t\in T$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Vorbereitungen zur Wurzelgruppenzerlegung}] Seien $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einer Borel und einem\label{VWGZ} maximalen Torus und $U\pdef B_{\op{u}}$ das unipotente Radikal von $B$ und $$U=U_{\leq n}\supset U_{\leq n-1}\supset \ldots \supset U_{\leq 0}=1$$ eine endliche Filtierung von $U$ durch zusammenh"angende abgeschlossene Normalteiler von $B$ derart, da"s alle Subquotienten $U_{\leq \nu}/U_{\leq \nu-1}$ kommutativ sind. Seien $\alpha_1,\ldots, \alpha_s$ die $T$-Gewichte von $\op{Lie}(U_{\leq \nu}/U_{\leq \nu-1})$. So induziert die Multiplikation einen Isomorphismus von algebraischen Gruppen $$U_{\alpha_1}\times \ldots\times U_{\alpha_s}\sira U_{\leq \nu}/U_{\leq \nu-1}$$ und alle Wurzelgruppen zu Wurzeln aus $\op{Lie}(U_{\leq \nu-1})$ liegen in $U_{\leq \nu-1}$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} M"ogliche derartige Folgen von Untergruppen sind die absteigende Zentralreihe von $U$ oder die Folge der h"oheren derivierten Gruppen $\mathcal D^\nu U$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen das durch vollst"andige Induktion "uber $\nu$ von oben. Die Induktionsannahme zeigt bereits, da"s unsere Abbildung ein wohldefinierter Gruppenhomomorphimus ist, und aus den Voraussetzungen folgt, da"s, sein Differential beim neutralen Element ein Isomorphismus ist. Sein Bild hat also Dimension $s$ und da $U_{\leq \nu}$ zusammenh"angend angenommen war, mu"s auch $U_{\leq \nu}/U_{\leq \nu-1}$ zusammenh"angend sein und unser Homomorphismus surjektiv. Aus den Voraussetzungen folgt weiter, da"s unser Homomorphismus "aquivariant ist f"ur die Operation von $T$ durch Konjugation. Der Kern mu"s also eine endliche $T$-stabile Untergruppe sein und unsere Beschreibung der Wurzelgruppen zeigt, da"s es in einem Produkt von Wurzelgruppen keine nichttriviale derartige Untergruppe gibt. Folglich ist unser Homomorphismus ein Isomorphismus. Jede Wurzelgruppe $U_\beta$ zu einer Wurzel $\beta$ aus $\op{Lie}(U_{\leq \nu-1})$ liegt nach Induktionsannahme bereits in $U_{\leq \nu}$. L"age sie nicht in $U_{\leq \nu-1}$, so m"u"ste sie einen nichtkonstanten $T$-"aquivarianten Morphismus $U_\beta\ra U_\alpha$ induzieren f"ur $\alpha$ eines der $\alpha_\sigma$, also $\alpha\neq\beta$. Den gibt es aber nicht und so folgt $U_\beta\subset U_{\leq \nu-1}$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Induzierte Zerlegung von Untergruppen}] Seien $H\subset U\supset Z$ eine Gruppe mit einer zentralen Untergruppe $Z$ und einer weiteren Untergruppe $H$ derart, da"s die Multiplikation eine Bijektion $H\times Z\sira U$ induziert. Sei $V\subset U$ eine Untergruppe. Haben $Z$ und $H$ keine nichttrivialen isomorphen Subquotienten, so induziert die Multiplikation auch eine Bijektion\label{UZHi} $$(V\cap H)\times (V\cap Z)\sira V$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Mit einem Subquotienten einer Gruppe ist ein Quotient einer Untergruppe nach einem Normalteiler besagter Untergruppe gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $V_Z\pdef V\cap Z$ und $V_H\pdef V\cap H$ und betrachten die Projektionen $\op{pr}_Z:U\sira Z\times H\sra Z$ sowie $\op{pr}_H:U\sira Z\times H\sra H$. Da $Z$ zentral ist, sind sie Gruppenhomomorphismen. Dann betrachten wir die Bijektionen $$(\op{pr}_HV)/V_H\sila V/(V_HV_Z)\sira (\op{pr}_ZV)/V_Z$$ Da $Z$ kommutativ ist, ist $V_Z$ ein Normalteiler in $\op{pr}_ZV$ und damit $V_HV_Z$ ein Normalteiler in $V$ und damit $V_H$ ein Normalteiler in $\op{pr}_HV$. Aus unserer Annahme folgt so $V=V_HV_Z$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Verfeinerte induzierte Zerlegung von Untergruppen}] Sei $U$ eine Gruppe mit einer endlichen Filtierung $$U=U_{\leq r}\supset U_{\leq r-1}\supset \ldots \supset U_{\leq 0}=1$$ durch Normalteiler von $U$ derart, da"s $U_{\leq i}/U_{\leq i-1}$ jeweils im Zentrum von $U/U_{\leq i-1}$ liegt. Seien $H_i\subset U_{\leq i}$ Untergruppen mit $H_i\sira U_{\leq i}/U_{\leq i-1}$. Haben die $H_i$ paarweise keine nichttrivialen isomorphen Subquotienten, so ist f"ur jede Untergruppe $V\subset U$ und jede\label{VBZ} Permutation $\sigma\in \mathcal S_r$ die Multiplikation eine Bijektion $$(V\cap H_{\sigma(1)})\times\ldots\times(V\cap H_{\sigma(r)})\sira V$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir argumentieren mit vollst"andiger Induktion "uber die L"ange $r$ der Filtrierung, die wir uns in trivialer Weise nach unten und oben fortgesetzt denken, um "Arger mit Beschr"ankungen der Indizes zu vermeiden. Der Fall $r=0$ ist eh klar. Sonst ist $U_{\leq 1}$ zentral und wir bezeichnen die Bilder aller unserer Untergruppen von $U$ in $\bar U\pdef U/U_{\leq 1}$ auch mit einem Querstrich. Unsere Induktionsannahme zeigt unmittelbar, da"s f"ur jede Permutation $\tau$ von $\{2,\ldots,r\}$ die Multiplikation eine Bijektion $$(\bar V\cap \bar H_{\tau(2)})\times\ldots\times(\bar V\cap \bar H_{\tau(r)})\sira \bar V$$ induziert. Nehmen wir links jeweils Urbilder in $V$, so sehen wir, da"s das Produkt der $(V\cap H_{\tau(i)}U_{\leq 1})$ surjektiv auf $VU_{\leq 1}/U_{\leq 1}$ geht und damit induziert f"ur jede Permutation $\sigma\in\mathcal S_r$ die Multiplikation eine Surjektion $$(V\cap H_{\sigma(1)}U_{\leq 1})\times\ldots\times (V\cap H_{\sigma(r)}U_{\leq 1}) \sra V$$ Nach Annahme haben nun $H_{\sigma(i)}$ und $U_{\leq 1}$ f"ur $i\neq 1$ keine nichttrivialen isomorphen Subquotienten und nach \ref{UZHi} induziert damit die Multiplikation jeweils eine Bijektion $$(V\cap H_i)\times (V\cap U_{\leq 1}) \sira (V\cap H_iU_{\leq 1})$$ wohingegen wir f"ur $i=1$ schlicht $H_1U_{\leq 1}=H_1=U_{\leq 1}$ haben. Da diese Untergruppe nach Annahme zentral ist, induziert die Multiplikation also auch eine Surjektion $$(V\cap H_{\sigma(1)})\times\ldots\times (V\cap H_{\sigma(r)}) \sra V$$ Betrachten wir die Bilder in $\bar U$, so sehen wir, da"s nach unserer Indutionsannahme alle Faktoren mit $\sigma(i)\neq 1$ durch $v\in V$ auf der rechten Seite eindeutig bestimmt sind. Dasselbe folgt dann auch f"ur den Faktor mit $\sigma(i)=1$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verfeinerte induzierte Zerlegung von Untergruppen mit Operation}] Das vorhergehende Lemma \ref{UZHi} und der vorhergehende Satz \ref{VBZ} gelten analog mit demselben Beweis, wenn wir statt Gruppen\label{viz} vielmehr \glqq Gruppen mit einer Operation einer Menge $T$\grqq\ oder kurz \glqq $T$-Gruppen\grqq\ betrachten. Genauer meinen wir damit Paare $(M,a_M)$ bestehend aus einer Gruppe $M$ und einer Abbildung $a_M:T\ra \op{Grp}(M)$ von $T$ in die Menge der Gruppenhomomorphismen $M\ra M$. Statt Untergruppen betrachten wir dann $T$-stabile Untergruppen alias \glqq $T$-Untergruppen\grqq\ und die wesentliche Bedingung besagt entsprechend, da"s keine zwei nichttrivialen $T$-Subquotienten $T$-isomorph sein d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Wurzelgruppenzerlegung}] Seien $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einer Borel und einem maximalen Torus. Seien $V\As B_{\op{u}}$ eine abgeschlossene von $T$ normalisierte Untergruppe und $\alpha_1,\ldots, \alpha_s$ die $T$-Gewichte von $\op{Lie}V$ in einer beliebigen Reihenfolge.\label{WGZ} So induziert die Multiplikation einen Isomorphismus von Variet"aten $$U_{\alpha_1}\times \ldots\times U_{\alpha_s}\sira V$$ \end{Satz} \begin{proof} Unsere Vorbereitung zur Wurzelgruppenzerlegung \ref{VWGZ} liefert uns durch entsprechende Verfeinerung der Zentralreihe f"ur $U\pdef B_{\op{u}}$ eine endliche Filtierung $$U=U_{\leq r}\supset U_{\leq r-1}\supset \ldots \supset U_{\leq 0}=1$$ durch zusammenh"angende abgeschlossene Normalteiler von $B$ derart, da"s alle Subquotienten $U_{\leq i}/U_{\leq i-1}$ zentral sind in $U$ und da"s es f"ur jedes $i$ eine Wurzel $\alpha(i)$ gibt mit $U_{\alpha(i)}\subset U_{\leq i}$ und $U_{\alpha(i)}\sira U_{\leq i}/U_{\leq i-1}$ unter der Projektion. Die verschiedenen Wurzelgruppen haben nun als $T$-Gruppen unter der Operation durch Konjugation als abstrakte Gruppen paarweise keine nichttrivialen isomorphen Subquotienten und damit folgt aus unseren Erkentnissen \ref{viz} "uber die Zerlegung von Untergruppen mit Operation, da"s die Multiplikation f"ur jede Permutation $\sigma\in\mathcal S_r$ eine Bijektion $$(V\cap U_{\alpha(\sigma(1))})\times \ldots\times (V\cap U_{\alpha(\sigma(r))})\sira V$$ liefert. Alle diese Schnitte sind nun aber $T$-stabile Untergruppen unserer Wurzelgruppen und folglich trivial oder die ganze jeweilige Wurzelgruppe. Das zeigt, da"s die Abbildung in unserem Satz bijektiv ist. Als bijektiver Morphismus von glatten affinen Variet"aten mit bijektivem Differential in einem Punkt ist sie dann nach unserer Variante \ref{AZVV} des Hauptsatzes von Zariski sogar ein Isomorphismus von Variet"aten. \end{proof} \begin{Definition} Zwei Borel'sche einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe hei"sen {\bf opponiert},\index{opponiert!Borel'sche} wenn ihr Schnitt ein maximaler Torus ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} In $\op{GL}(n;k)$ sind die oberen Dreiecksmatrizen und die unteren Dreiecksmatrizen opponierte Borel'sche. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit opponierter Borel'scher}] Gegeben $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive algebraische Gruppe mit einer Borel und einem maximalen Torus gibt es genau eine zu $B$ opponierte Borel'sche "uber $T$. In der Tat sei $R^+\pdef {\op{R}}^+(B,T)\subset {\op{R}}(G,T)$ das System positiver Wurzeln zu $B$. Offensichtlich gilt $-R^+={\op{R}}(G,T)\backslash R^+$ und nach \ref{syp} ist das auch ein System positiver Wurzeln. Wir zeigen, da"s die zugeh"orige Borel'sche $B^\circ$ opponiert ist zu $B$. W"are in der Tat $B^\circ\cap B\neq T$, so w"are $B^\circ\cap B_{\op{u}}$ eine nichttriviale $T$-stabile Untergruppe und m"u"ste eine Wurzelgruppe enthalten, was nach Konstruktion unm"oglich ist. Die anderen Borel'schen "uber $T$ dahingegen teilen sich Wurzelgruppen mit $B$ und sind folglich nicht opponiert zu $B$.\label{sob} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dicke Zelle}] Gegeben opponierte Borel'sche $B,B^\circ$ einer zusammenh"angenden reduktiven algebraischen Gruppe $G$ induziert die Multiplikation eine offene Einbettung $$B_{\op{u}}\times B^\circ \hra G$$ In der Tat wissen wir aus \ref{sob}, da"s dieser Morphismus injektiv ist, und sein Bild ist die Bahn des neutralen Elements von $G$ unter der Operation von $B_{\op{u}}\times B^\circ$ durch $(a,b)g=agb^{-1}$. Mithin ist sein Bild $B_{\op{u}} B^\circ\subset G$ nach \ref{BOAA} offen in seinem Abschlu"s und folglich selbst eine Variet"at mit der induzierten Struktur und ein homogener Raum. Nach \eref{FDiMn}{KAG} kann bei einem Morphismus von irreduziblen Variet"aten mit mindestens einer nichtleeren endlichen Faser die Dimension der Ausgangsvariet"at nicht gr"o"ser sein als die Dimension der Zielvariet"at. Ein Dimensionsvergleich zeigt, da"s $B_{\op{u}} B^\circ$ dicht sein mu"s in $G$ und folglich eine offene Teilmenge von $G$. Nach \ref{iHHR} induziert aufgrund der Bijektivit"at des Differentials in $(1,1)$ unser Morphismus dann einen Isomorphismus von Variet"aten\label{dZ} $$B_{\op{u}}\times B^\circ\sira B_{\op{u}} B^\circ$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Man folgert leicht, da"s jede Borel'sche $B$ einer zusamenh"angenden reduktiven Gruppe $G$ auf der Fahnenmannigfaltigkeit $\mathcal B_G$ von $G$ nach \ref{NONN} genau eine offene Bahn hat und da"s diese Bahn aus den zu $B$ opponierten Borel'schen besteht und da"s sie als $B_{\op{u}}$-Variet"at isomorph ist zu $B_{\op{u}}$ selber und als abstrakte Variet"at isomorph zu $k^r$ mit $r\pdef \op{dim}B_{\op{u}}$. Im Fall $k=\DC$ und nach "Ubergang zur analytischen Topologie kann man die Fahnenmannigfaltigkeit als Zellkomplex im Sinne der algebraischen Topologie realisieren so, da"s dieser $\DC^r$ das Innere der zuletzt angeklebte Zelle ist. Daher r"uhrt die Bezeichnung der offenen Bahn einer Borel'schen auf der Fahnenmannigfaltigkeit und "ubertragen der Bezeichnung verwandter Objekte als \glqq dicke Zelle\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Doppelnebenklassen einer Borel'schen als Variet"aten}] Seien $G\supset T$ eine zusammenh"angende reduktive affine algebraische Gruppe mit einem maximalen Torus. Die Operation der Weylgruppe $W\pdef {\op{W}}(G,T)$ auf dem maximalen Torus $T$ induziert eine Operation von $W$ auf der Charaktergruppe $\mathfrak X(T)$. Durch Strukturtransport finden wir f"ur $\alpha\in{\op{R}}(G,T)$ und jeden Repr"asentanten $\dot w$ von $w$ die Identit"at $\dot w U_\alpha \dot w^{-1}=U_{w\alpha}$ alias $\dot wU_{\alpha}=U_{w\alpha} \dot w$. Es folgt $$ B\dot w B= B\dot w\prod_{\alpha\in R^+\backslash w^{-1}R^+} U_{\alpha}$$ f"ur das in einer beliebigen Reihenfolge ausmultiplizierte Produkt ganz rechts. Genauer ist das Produkt ganz rechts wegen $R^+\backslash w^{-1}R^+=R^+\cap w^{-1}R^-$ f"ur $R^-\pdef -R^+$ die Wurzelgruppenzerlegung von $B_{\op{u}}\cap \dot w^{-1}B^\circ_{\op{u}}\dot w$. Unser Isomorphismus der dicken Zelle aus \ref{dZ} oder vielmehr seine Variante $B\times B_{\op{u}}^\circ \sira BB_{\op{u}}^\circ$ mu"s aber f"ur jede abgeschlossene Teilmenge $A\As B_{\op{u}}^\circ$ und jedes $g\in G$ einen Isomorphismus $B\times Ag\sira BAg$ induzieren. So sehen wir da"s die Multiplikation einen Isomorphismus $B\times\{\dot w\}\times (B_{\op{u}}\cap \dot w^{-1}B^\circ_{\op{u}}\dot w)\sira B w B$ liefern mu"s und das Ausmultiplizieren bei jeder beliebigen Reihenfolge der Wurzelgruppen in unserem Produkt einen Isomorphismus von Variet"aten $$B\times\{\dot w\}\times \prod_{\alpha\in R^+\cap w^{-1}R^-} U_{\alpha}\quad \sira \quad B w B$$ Insbesondere hat f"ur jede Doppelnebenklasse der Gestalt $B w B$ ihr Bild in der Fahnenmannigfaltigkeit $B w B/B\subset G/B$ nur einen Fixpunkt unter $T$ und diese Fixpunkte sind paarweise verschieden, da die Weylgruppe nach \ref{BuW} frei auf der Menge der Fixpunkten des Torus in der Fahnenmannifaltigkeit operiert. Es folgt, da"s die Doppelnebenklassen $BwB$ paarweise disjunkt sind.\label{DNK} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $G\supset B\supset T$ eine reduktive zusammenh"angende Gruppe, eine Borel'sche und ein maximaler Torus und $\beta\in \Pi({\op{R}}^+(B,T))$ eine Wurzel aus der Basis zu unserem System positiver Wurzeln nach \eref{WBW}{SPW} gilt f"ur jedes Element $w\in {\op{W}}(G,T)$ der Weylgruppe\label{bzm} $$BwBs_\beta B\subset BwB\cup Bws_\beta B$$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir erinnern aus der allgemeinen Theorie der Wurzelsysteme \eref{WBW}{SPW}, da"s gegeben $R\supset R^+$ ein Wurzelsystem mit einem System positiver Wurzeln und eine Wurzel $\beta\in \Pi(R^+)$ der zugeh"origen Basis des Wurzelsystems stets gilt $s_\beta: R^+\backslash \beta \sira R^+\backslash \beta$. Gilt also $\beta \not \in w^{-1}R^-$, so folgt $$\begin{array}{lll} s_\beta (R^+\cap w^{-1}R^-)&=&s_\beta ((R^+\backslash \beta)\cap w^{-1}R^-)\\&=& (R^+\backslash \beta)\cap s_\beta w^{-1}R^-\\&=&(R^+\cap s_\beta w^{-1}R^-)\backslash\beta \end{array} $$ Daraus folgt immer noch f"ur $\beta \not \in w^{-1}R^-$ unmittelbar $$B w B s_\beta B=B w \left(\prod_{\alpha\in R^+\cap w^{-1}R^-} U_{\alpha}\right) \dot s_\beta U_\beta= B w s_\beta B $$ F"ur $\beta \in w^{-1}R^-$ dahingegen gilt $\beta \not\in v^{-1}R^-$ f"ur $v\pdef ws_\beta$ und damit kennen wir bereits die Identit"at $BvBs_\beta B=Bvs_\beta B$. Weiter wissen wir aus der Klassifikation halbeinfacher Gruppen vom Rang Eins und sogar bereits aus \ref{heRE}, da"s unsere halbeinfache Gruppe $G_\beta/S_\beta$ aus \ref{WGru} unter seiner Borel'schen $B_\beta/S_\beta$ zerf"allt in die zwei Doppelnebenklassen zu den beiden Elementen der Weylgruppe, und amit hben wir nat"urlich auch $$G_\beta=B_\beta\sqcup B_\beta s_\beta B_\beta=U_\beta T\cup U_\beta T\dot s_\beta U_\beta$$ eine Untergruppe von $G$ ist, genauer die Untergruppe $G_\beta$. Daraus hinwiederum folgt durch Betrachtung der Wurzelgruppenzerlegung leicht, da"s auch $B\sqcup B s_\beta B$ eine Untergruppe von $G$ ist, so da"s insbesondere gilt $B s_\beta B s_\beta B\subset B\cup B s_\beta B$. Wenn wir unsere Identit"at Identit"at $Bvs_\beta B=BvBs_\beta B$ mit $B s_\beta B$ multiplizieren und $w=vs_\beta$ erinnern, finden wir also auch in diesem Fall \begin{displaymath} B w B s_\beta B= B v B s_\beta B s_\beta B\subset B vB \cup B v s_\beta B =B w s_\beta B \cup B w B\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Bruhat-Zerlegung affiner algebraischer Gruppen}] Seien $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einer Borel'schen und einem maximalen Torus. So ist $G$ die disjunkte Vereinigung der Doppelnebenklassen von Repr"asentanten der\label{BZG} Weylgruppenelemente unter der Borel'schen, in Formeln $$G=\bigsqcup_{w\in {\op{W}}(G,T)}BwB$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Im Fall der allgemeinen linearen Gruppen kennen wir diese Zerlegung bereits aus \eref{BruZ}{LA2}. \end{Beispiel} \begin{proof} Es reicht offensichtlich, das f"ur reduktives $G$ zu zeigen. Unsere Doppelnebenklassen sind paarweise disjunkt nach \ref{DNK}. Nach \ref{WGAL3} wird unsere Gruppe erzeugt von den Borel'schen "uber $T$ und nach \ref{BoWey} sind je zwei dieser Borel'schen konjugiert unter der Weylgruppe. Also erzeugt ${\op{N}}_G(T)$ zusammen mit $B$ bereits ganz $G$. Zus"atzlich wissen wir aber nach \eref{KEW}{SPW}, da"s die einfachen Spiegelungen die Weylgruppe erzeugen, also die $s_\beta$ mit $\beta\in \Pi({\op{R}}^+(B,T))$. Also erzeugen bereits Repr"asentanten $\dot s_\beta$ dieser einfachen Spiegelungen zusammen mit $B$ die ganze Gruppe $G$. Unsere Vereinigung ist nun aber nicht leer und stabil unter der Multiplikation von rechts mit $B$ und nach dem vorhergehenden Lemma \ref{bzm} auch unter Multiplikation von rechts mit $\dot s_\beta$. Also ist sie ganz $G$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Bruhat-Zerlegung der Fahnenmannigfaltigkeit}]$(k=\bar k)$. Seien $G\supset B\supset T$ eine zusammenh"angende affine algebraische Gruppe mit einer Borel'schen und einem maximalen Torus. So ist $$G/B=\bigsqcup_{w\in {\op{W}}(G,T)}BwB/B$$ die Zerlegung der Fahnenmannigfaltigkeit in Bahnen der Borel'schen $B$ und in jeder Bahn liegt genau ein Fixpunkt des maximalen Torus $T$. Weiter gibt es einen Isomorphismus von Variet"aten $BwB/B\cong k^{l(w)}$ f"ur $l(w)\pdef |R^+\cap wR^-|$. \end{Korollar} \begin{proof} Nur die behauptete Beschreibung der $B$-Bahnen als Variet"aten folgt nicht sofort aus der Bruhat-Zerlegung f"ur Gruppen \ref{BZG}. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $G$ reduktiv. Nach \ref{DNK} operiert die Gruppe $\prod_{\alpha\in R^+\cap wR^-} U_{\alpha}$ frei und transitiv auf $BwB/B$. Man pr"uft leicht mit Hilfe des Differentials, da"s diese Operation einen Isomorphismus von Variet"aten liefert. Das Korollar folgt. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Gegeben eine reduktive Gruppe betrachten wir die durch umgekehrte Inklusion teilgeordnete Menge ihrer Parabolischen. Man zeigt unschwer, da"s diese Teilordnung simplizial ist im Sinne von \eref{ASi}{TF}. Darin betrachten wir zu jedem maximalen Torus $T$ die Menge aller Parabolischen "uber besagtem Torus. Auch diese teilgeordnete Menge ist simplizial und die geometrische Realisierung des nach \eref{ASi}{TF} zugeh"origen kombinatorischen Simplizialkomplexes ist topologisch eine Sph"are im reellen Erzeugnis des Wurzelgitters $\langle R\rangle_\DR\subset \mathfrak X(T)_\DR$. Zum Beispiel gibt es in $G\pdef \op{SL}(2;k)$ "uber einem maximalen Torus $T$ genau drei parabolische $B, B^-, G$, wir haben in der Notation aus \eref{ASi}{TF} also $\tilde {\mathcal K}=\{B, B^-, G\}$ und $\mathcal K$ hat nur die beiden Ecken $B, B^-$ und keine Kante und als topologische Realisierung eine Nullsph"are $S^0$. \end{Bemerkungl}} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAAG" %%% End: