%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Algebraische Grundbegriffe} Auf der Schule versteht man unter einer \glqq reellen Zahl\grqq\ meist einen unendlichen Dezimalbruch, wobei man noch aufpassen mu"s, da"s verschiedene unendliche Dezimalbr"uche durchaus dieselbe reelle Zahl darstellen k"onnen, zum Beispiel gilt in den reellen Zahlen ja $$0,\!99999\ldots = 1,\!00000\ldots$$ Diese reellen Zahlen werden dann addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert ohne tiefes Nachdenken dar"uber, wie man denn zum Beispiel mit den eventuell unendlich vielen "Ubertr"agen bei der Addition und Subtraktion umgehen soll, und warum dann Formeln wie $(a+b)-c = a+(b -c)$ wirklich gelten, zum Beispiel f"ur $a=b=c=0,\!999\ldots$. Dieses tiefe Nachdenken wollen wir im Folgenden vom Rest der Vorlesung abkoppeln und m"ussen dazu sehr pr"azise formulieren, welche Eigenschaften f"ur die Addition, Multiplikation und Anordnung in \glqq unseren\grqq\ reellen Zahlen gelten sollen. In der Terminologie, die in den folgenden Abschnitten eingef"uhrt wird, werden wir die reellen Zahlen charakterisieren als einen angeordneten K"orper, in dem jede nichtleere Teilmenge mit einer unteren Schranke sogar eine gr"o"ste untere Schranke besitzt. Von dieser Charakterisierung ausgehend erkl"aren wir dann, welche reelle Zahl ein gegebener unendlicher Dezimalbruch darstellt, und errichten das Geb"aude der Analysis. In demselben Begriffsgeb"aude modellieren wir auch den Anschauungsraum, vergleiche \eref{ANRA}{LA1} und \eref{Moo}{LA2}. Um diese Charakterisierungen und Modellierungen verst"andlich zu machen, f"uhren wir zun"achst einige grundlegende algebraische Konzepte ein, die Ihnen im weiteren Studium der Mathematik noch oft begegnen werden. \subsection{Mengen mit Verkn"upfung}\label{MVk} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildVT} \\ \vspace{8mm} \noindent Man kann Verkn"upfungen auf endlichen Mengen darstellen durch ihre \defind{Verkn"upfungstafel}. Hier habe ich etwa die Verkn"upfungstafel der Verkn"upfung $\op{min}$ auf der Menge $\{0,1,2,3,4\}$ angegeben. Eigentlich mu"s man sich dazu einigen, ob im K"astchen aus der Spalte $m$ und der Zeile $n$ nun $m\top n$ oder vielmehr $n\top m$ stehen soll, aber bei einer kommutativen Verkn"upfung wie $\op{min}$ kommt es darauf zum Gl"uck nicht an. \end{Bild} \begin{Bild} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{SkriptenBilder/Bildund}\hfill \includegraphics[width=0.4\textwidth]{SkriptenBilder/Bildoder} \\ \vspace{8mm} \noindent Die Wahrheitstafeln f"ur \glqq und\grqq\ und \glqq oder\grqq. Gemeint ist hier wie stets in der Mathematik das \glqq nichtausschlie"sende oder\grqq. Sagen wir, es gelte $A$ oder $B$, so ist insbesondere auch erlaubt, da"s beides gilt. Bei der Wahrheitstafel f"ur das \glqq ausschlie"sende oder\grqq\ m"u"ste oben links als Verkn"upfung von \glqq Wahr\grqq\ mit \glqq Wahr\grqq\ ein \glqq Falsch\grqq\ stehen. \end{Bild} \begin{Definition} Eine {\bf Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge $X$}\index{Verkn"upfung!auf einer Menge} ist eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} X \times X&\ra& X\\ (x,y) &\mapsto& x \top y \end{array}$$ Jedem angeordneten Paar $(x,y)$ mit $x,y\in X$ wird also ein Element $(x\top y)\in X$ zugeordnet. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das unverf"angliche Symbol $\top$ benutze ich, um mich an dieser Stelle noch nicht implizit auf einen der Standardf"alle Addition oder Multiplikation festlegen zu m"ussen. Das Wort \glqq Verkn"upfung\grqq\ erh"alt damit eine gegen"uber \ref{KkA} erweiterte Bedeutung: Statt der Verkn"upfung von zwei Abbildungen kann damit auch allgemeiner eine abstrakte Verkn"upfung auf einer beliebigen Menge gemeint sein. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} \begin{enumerate} \item Die Addition von ganzen Zahlen ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} \DZ \times \DZ&\ra& \DZ\\ (m,n) &\mapsto& m + n \end{array}$$ \item Die Multiplikation von ganzen Zahlen ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{ccc} \DZ \times \DZ&\ra& \DZ\\ (m,n) &\mapsto& m \cdot n \end{array}$$ \item\label{Verkm} Die Zuordnung $\min$,\index{min} die jedem Paar von nat"urlichen Zahlen die kleinere zuordnet, wenn sie verschieden sind, und eben diese Zahl $\min(n,n)=n$, wenn sie gleich sind, ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} \min :& \DN \times \DN&\ra& \DN\\ &(m,n) &\mapsto& \min(m , n) \end{array}$$ \item Eine Abbildung $Z\ra Z$ von einer Menge $Z$ in sich selbst nennen wir eine {\bf Selbstabbildung von $Z$}.\index{Selbstabbildung} Wir k"urzen die Menge aller Selbstabbildungen einer Menge $Z$ $Z$ mit $\op{Ens}(Z)\pdef\op{Ens}(Z,Z)$ ab.\index{Ens@$\op{Ens}(Z)$ Selbstabbildungen der Menge $Z$} Die Verkn"upfung von Abbildungen liefert eine Verkn"upfung auf der Menge $\op{Ens} (Z)$ aller Selbstabbildungen von $Z$, in Formeln $$\begin{array}{ccc} \op{Ens}(Z) \times \op{Ens}(Z)&\ra& \op{Ens}(Z)\\ (f,g) &\mapsto& f\circ g \end{array}$$ \item Die Subtraktion von ganzen Zahlen ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{ccc} \DZ \times \DZ&\ra& \DZ\\ (m,n) &\mapsto& m - n \end{array}$$ %% \item %% Bezeichne $\DQ^\times=\DQ\backslash\{0\}$ die Menge der von Null %% verschiedenen rationalen Zahlen. So ist das Teilen eine Verkn"upfung %% $$\begin{array}{cccc} %% / :& \DQ^\times \times \DQ^\times&\ra& \DQ^\times\\ %% &(a,b) &\mapsto& a / b %% \end{array}$$ \item\label{VerkM} Jede Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge induziert eine Verkn"upfung auf ihrer Potenzmenge vermittels der Vorschrift $$U\top V\pdef\{u\top v\mid u\in U,\;v\in V\}$$ \item Gegeben Mengen mit Verkn"upfung $(X,\top)$ und $(Y,\perp)$ erkl"aren wir die {\bf komponentenweise Verkn"upfung}\index{komponentenweise Verkn"upfung} auf ihrem Produkt $X\times Y$ durch die\index{Verkn"upfung!komponentenweise} Vorschrift $((x,y),(x',y'))\mapsto ((x\top x'),(y\perp y'))$. \item Logische Operationen wie \glqq und\grqq, \glqq oder\grqq, \glqq impliziert\grqq\ k"onnen als Verkn"upfungen auf der zweielementigen Menge $\{\op{Wahr},\op{Falsch}\}$ aufgefa"st werden. Die zugeh"origen Verkn"upfungstabellen hei"sen {\bf Wahrheitstafeln}.\index{Wahrheitstafel} Bei einem formalen Zugang werden diese Tafeln, wie sie f"ur \glqq und\grqq\ und \glqq oder\grqq\ auf der vorhergehenden Seite zu finden sind, zur Definition der jeweiligen Begriffe. \end{enumerate} \label{Verk} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung.\label{kzb} \begin{enumerate} \item Gegeben Elemente $a,b\in X$ sagen wir, $a$ ist ein {\bf Linksteiler}\index{Linksteiler} von $b$, wenn es $d\in X$ gibt mit $a\top d=b$. Analog erkl"aren wir {\bf Rechtsteiler};\index{Rechtsteiler} \item Ein Element $a\in X$ hei"st {\bf linksk"urzbar},\index{linksk"urzbar} wenn die Verkn"upfung mit $a$ eine Injektion $(a\cdot):X\hra X$ liefert. Analog erkl"aren wir die Eigenschaft {\bf rechtsk"urzbar}.\index{rechtsk"urzbar} Ein Element, das linksk"urzbar und rechtsk"urzbar ist, nennen wir {\bf k"urzbar}.\index{k"urzbar} Ein nicht k"urzbares Element nennen wir {\bf nichtk"urzbar}\index{nichtk"urzbar}. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die k"urzbaren Elemente von $(\DZ, \cdot)$ sind alle von Null verschiedenen Elemente. In $(\DZ, +)$ sind alle Elemente k"urzbar. Die linksk"urzbaren Elemente von $\op{Ens}(Z)$ sind die Surjektionen. Die rechtsk"urzbaren Elemente von $\op{Ens}(Z)$ sind die Injektionen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{abV} Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung. Eine Teilmenge $U\subset X$ hei"st {\bf abgeschlossen unter der Verkn"upfung}, wenn\index{abgeschlossen!unter Verkn"upfung} aus $x,y\in U$ folgt $x\top y\in U$. Nat"urlich ist in diesem Fall auch $(U,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung. Man spricht dann von der {\bf auf $U$ induzierten Verkn"upfung}. Zum Beispiel ist $\DN\subset\DZ$ abgeschlossen unter der Addition, aber $\DZ\backslash\{0\}\subset\DQ\backslash\{0\}$ ist nicht abgeschlossen unter der durch die Division gegebenen Verkn"upfung $(m,n)\mapsto m/n$. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl}\label{abVs} % Gegeben eine %Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung. %Eine Surjektion $X\sra Q$ hei"st {\bf vertr"aglich mit der Verkn"upfung}, %wenn\index{vertr"aglich!mit Verkn"upfung} %f"ur alle $x,y\in X$ gilt $x\top y\in Y$. %Nat"urlich ist in diesem Fall auch $(Y,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung. %Man spricht dann von der {\bf auf $Y$ induzierten Verkn"upfung}. %Zum Beispiel ist $\DN\subset\DZ$ abgeschlossen unter der Addition, %aber $\DZ\backslash\{0\}\subset\DQ\backslash\{0\}$ %ist nicht abgeschlossen unter der durch die Division gegebenen Verkn"upfung %$(m,n)\mapsto m/n$. %\end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{VKA} Eine Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge $X$ hei"st {\bf assoziativ},\index{assoziativ} wenn gilt $x \top (y\top z) = (x \top y) \top z \; \forall x,y,z \in X$. Sie hei"st {\bf kommutativ}\index{kommutativ!Verkn"upfung} oder {\bf abelsch}\index{abelsch!Verkn"upfung}, wenn gilt $x \top y = y \top x \; \forall x,y\in X$. Gilt f"ur zwei vorgegebene Elemente die Identit"at $x \top y = y \top x$, so sagen wir, da"s diese beiden Elemente {\bf kommutieren}.\index{kommutieren!Elemente} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Bezeichnung \glqq abelsch\grqq\ ehrt den norwegischen Mathematiker Nils Henrik Abel. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildKlGr}\\[4mm] \noindent M"ogliche \glqq Klammerungen\grqq\ mag man sich graphisch wie oben angedeutet veranschaulichen. Die Assoziativit"at bedeutet dann graphisch so etwas wie \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAsGr}\\[4mm] \noindent Das Gleichheitszeichen meint nur, da"s beide Klammerungen stets dasselbe liefern, wenn wir oben drei Elemente unserer Menge mit Verkn"upfung einf"ullen. \end{Bild} \begin{Beispiele} Von unseren Beispielen sind die ersten Drei assoziativ und kommutativ, das Vierte ist assoziativ aber nicht kommutativ falls $Z$ mehr als ein Element hat, das F"unfte ist weder assoziativ noch kommutativ. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{VHHO} Ist eine Verkn"upfung $\top$ auf einer Menge $A$ assoziativ, so liefern auch ungeklammerte Ausdr"ucke der Form $a_1\top a_2\top \ldots \top a_n$ wohlbestimmte Elemente von $A$, und zwar ist genauer das Resultat unabh"angig davon, wie wir die Klammern setzen. Um diese Erkenntnis zu formalisieren, vereinbaren wir f"ur einen ungeklammerten Ausdruck die \glqq von hinten hochgeklammerte\grqq\ Interpretation $$a_{1} \top a_{2}\top \ldots \top a_{n} \pdef a_{1} \top (a_{2} \top (\ldots (a_{n-1} \top a_{n})\ldots ))$$ und zeigen dann das folgende Lemma. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Assoziativit"at macht Klammern "uberfl"ussig}] Gegeben eine Menge mit einer assoziativen\label{nma} Verkn"upfung $(A,\top)$ und $a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots , b_{m} \in A$ gilt mit der von hinten hochgeklammerten Interpretation f"ur ungeklammerte Ausdr"ucke $$(a_{1} \top \ldots \top a_{n})\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m})= a_{1} \top \ldots \top a_{n} \top b_{1}\top \ldots \top b_{m}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir folgern mit den Definitionen f"ur die erste Gleichheit und dem Assoziativgesetz f"ur die zweite Gleichheit die Identit"at $$\begin{array}{llr} (a_{1}\top\ldots \top a_{n})\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m})&=& (a_{1}\top (a_{2}\top \ldots \top a_{n}))\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m})\\ &=& a_{1}\top ((a_{2}\top \ldots \top a_{n})\top (b_{1}\top \ldots \top b_{m})) \end{array} $$ und sind fertig mit vollst"andiger Induktion "uber $n$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Das Wort \glqq Lemma\grqq,\index{Lemma} im Plural \glqq Lemmata\grqq, kommt vom griechischen Wort $\lambda \alpha \mu \beta\alpha \nu\epsilon\iota\nu$ f"ur \glqq nehmen\grqq\ und bezeichnet in der Mathematik kleinere Resultate oder auch Zwischenschritte von gr"o"seren Beweisen, denen der Autor au"serhalb ihres engeren Kontexts keine gr"o"sere Bedeutung zumi"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}\label{CatZa} Die Zahl der M"oglichkeiten, einen Ausdruck in $n+1$ Faktoren so zu klammern, da"s in jedem Schritt nur die Verkn"upfung von je zwei Elementen zu berechnen ist, hei"st die {\bf $n$-te Catalan-Zahl}\index{Catalan-Zahl} und wird $C_n$\index{C@$C_n$ Catalan-Zahl} notiert. Die ersten Catalan-Zahlen sind $C_0=C_1=1$, $C_2=2$ und $C_3=5$: Die f"unf m"oglichen Klammerungen von $4$ Elementen sind etwa $(ab)(cd)$, $a(b(cd))$, $a((bc)d)$, $((ab)c)d$ und $(a(bc))d$. Im allgemeinen zeigen wir in \eref{BCZ}{AN1}, da"s sich die Catalan-Zahlen durch die Binomial-Koeffizienten \eref{BiKoe}{EIN} ausdr"ucken lassen vermittels der am"usanten Formel $$C_n=\frac{1}{n+1} {2n\choose n}$$ %$$C_n=\frac{1}{n+1} {2n\choose n}={2n\choose n}-{2n\choose n+1}$$ \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge mit assoziativer und kommutativer Verkn"upfung $(A,\top)$ kommt es beim Verkn"upfen noch nicht einmal auf die Reihenfolge an. Sind genauer $a_1,\ldots, a_n$ mit $n\geq 1$ gegeben und ist $\sigma:\{1,\ldots,n\}\sira \{1,\ldots,n\}$ eine bijektive Abbildung, so gilt $$a_1\top\ldots\top a_n=a_{\sigma(1)}\top\ldots\top a_{\sigma(n)}$$ Wir betrachten das als offensichtlich und schreiben keinen Beweis aus. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Iterierte Verkn"upfungen}] Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Verkn"upfung.\label{nad} Ist $n \in \{1,2,\ldots \}$ eine von Null verschiedene nat"urliche Zahl und $x\in X$, so schreiben wir $$\underset{\text{$n$-mal}}{\underbrace{x\top x\top \ldots\top x}} \defp n^{\top}x$$ Ich erinnere daran, da"s wir in \ref{VHHO} f"ur derartige Ausdr"ucke im Zweifelsfall die Interpretation als \glqq von hinten hochgeklammerte Verkn"upfung\grqq\ vereinbart hatten. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wird unsere Verkn"upfung $+$ notiert, so schreibt man statt $n^+ x$ meist kurz $nx$. Wird unsere Verkn"upfung mit einem runden Symbol wie etwa $\ast$ notiert, so schreibt man statt\label{nadn} $n^\ast x$ meist kurz $x^n$ oder etwas ausf"uhrlicher $x^{\ast n}$ oder $x^{(\ast n)}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Iterationsregeln}] Sei $(A,\top)$ eine Menge mit assoziativer Verkn"upfung.\label{muln} Sind $m,n$ zwei von Null verschiedene nat"urliche Zahlen, so erhalten wir mithilfe unseres Lemmas \ref{nma} zur "Uberfl"ussigkeit von Klammern bei assoziativen Verkn"upfungen die Regeln $(n+m)^{\top}a = (n^{\top} a) \top (m^{\top}a)$ und $(nm)^{\top}a = n^{\top}(m^{\top}a)$. Ist unsere Verkn"upfung au"serdem auch noch kommutativ, so gilt zus"atzlich die Regel $n^\top(a\top b)=(n^\top a)\top(n^\top b)$. Wenn man es ganz genau nimmt, mu"s man f"ur einen formalen Beweis die formale Einf"uhrung der nat"urlichen Zahlen \eref{EDNC}{LA1} abwarten, wo Sie das dann als "Ubung \eref{mulnf}{LA1} behandeln d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Menge mit Verkn"upfung $(X,\top)$ hei"st ein Element $e\in X$ ein \defind{neutrales Element} von $(X,\top)$, wenn gilt\label{neVE} $$e \top x=x \top e = x \quad \forall x \in X$$ Wir nennen eine Verkn"upfung auf einer Menge {\bf unit"ar},\index{unit"ar!Verkn"upfung} wenn es daf"ur ein neutrales Element gibt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit neutraler Elemente}] In einer Menge mit Verkn"upfung $(X,\top)$ kann es h"och\-stens ein neutrales Element $e$ geben, denn f"ur jedes weitere Element $e'$ mit $e' \top x=x \top e' = x \quad \forall x \in X$ haben wir $e'=e'\top e=e$. Wir d"urfen also den bestimmten Artikel verwenden und in einer Menge mit Verkn"upfung\label{eBN} von \emph{dem} neutralen Element reden und es mit $e_X$ bezeichnen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein \defind{Monoid} ist eine Menge mit einer assoziativen Ver\-kn"up\-fung, in der es ein neutrales Element gibt,\label{KNeu} also eine Menge mit einer unit"aren assoziativen Verkn"upfung. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das Wort \glqq Monoid\grqq\ ist wohl von griechisch \glqq $\mu o\nu o\varsigma$\grqq\ f"ur \glqq allein\grqq\ abgeleitet: Ein Monoid besitzt nur eine einzige Verkn"upfung. F"ur ein kommutatives Monoid schlage ich die abk"urzende Bezeichnung \defind{Abmonoid} vor, mit der Vorsilbe \glqq Ab\grqq\ f"ur \glqq abelsch\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additiv und multiplikativ notierte Monoide}] Notiert man in einem Monoid $M$ die Verkn"upfung mit dem Symbol $+$, so notiert man das neutrale Element meist $0_M$ oder abk"urzend $0$\index{)0@$0$ neutrales Element f"ur $+$}\index{)0@$0$ neutrales Element f"ur $+$!$0_M$ im Fall von $(M,+)$} und nennt es das {\bf Null-Element} oder abk"urzend die {\bf Null}\index{Null-Element} und spricht von einem {\bf additiv notierten Monoid}.\index{Monoid!additiv notiertes} Nur kommutative Monoide werden additiv notiert. Notiert man in einem Monoid $M$ die Verkn"upfung mit einem eher runden Symbol wie $\cdot$ oder $\circ$ oder $\ast$ oder auch einfach durch Hintereinanderschreiben, so notiert man das neutrale Element oft $1_M$\index{)0@$1$ neutrales Element f"ur $\cdot$!$1_M$ im Fall von $(M,\cdot)$} oder abk"urzend $1$\index{)0@$1$ neutrales Element f"ur $\cdot$} und nennt es das {\bf Eins-Element} oder abk"urzend die {\bf Eins}\index{Eins-Element} und spricht von einem {\bf multiplikativ notierten Monoid}.\index{Monoid!multiplikativ notiertes} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die nat"urlichen Zahlen bilden mit der Addition ein Monoid $(\DN,+)$ mit neutralem Element $0$\index{)0@$0$ neutrales Element f"ur $+$!nat"urliche Zahl}. Sie bilden auch\label{Moin} mit der Multiplikation ein Monoid $(\DN,\cdot)$ mit neutralem Element $1$.\index{)0@$1$ neutrales Element f"ur $\cdot$!nat"urliche Zahl} F"ur jede Menge $Z$ ist die Menge $\op{Ens}(Z)$ der Selbstabbildungen von $Z$ mit der Verkn"upfung $\circ$ von Abbildungen als Ver\-kn"up\-fung ein Monoid mit neutralem Element $\op{id}_Z$. Die leere Menge ist {\em kein} Monoid, ihr fehlt das neutrale Element. Jede einelementige Menge ist mit der einzig m"oglichen Verkn"upfung ein Monoid. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nullfach iterierte Verkn"upfung in Monoiden}] Ist $(M,\top)$ ein Monoid, so erweitern wir unsere Notation $n^{\top}a$ aus \ref{nad} auf\label{nadd} alle nat"urlichen Zahlen $n\in\DN$, indem wir $$0^\top a\pdef e_M$$ als das neutrale Element $e_M$ von $M$ verstehen, f"ur alle $a\in M$. Damit gelten unsere Iterationsregeln \ref{muln} dann sogar f"ur alle $n,m\in\DN$, vergleiche \eref{PiM}{LA1}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur nullfach iterierte Verkn"upfung}] Sei ein Monoid $M$ gegeben. Wird seine Verkn"upfung $+$ notiert, so schreibt man auch f"ur $n=0$ statt $n^+ x$ meist kurz $nx$ und meint also mit $0x$ das neutrale Element von $M$, in Formeln $$0x\pdef 0_M$$ Wird seine Verkn"upfung mit einem runden Symbol wie etwa $\ast$ notiert, so schreibt man auch f"ur $n=0$ statt $n^\ast x$ meist kurz $x^n$ oder etwas ausf"uhrlicher $x^{\ast n}$ oder $x^{(\ast n)}$ und meint insbesondere mit $x^0$ das neutrale Element von $M$, in Formeln\label{KNeunn} $$x^0\pdef 1_M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Summen- und Produktzeichen}] Gegeben eine Abbildung $I\ra M$, $i\mapsto a_i$ von einer endlichen Menge in\label{VLSP} ein additiv beziehungsweise multiplikativ notiertes Abmonoid $M$ vereinbaren wir die Notationen\index{P@$\prod$ Produkt}\index{)9@$\prod$ Produkt} $$\sum_{i\in I} a_i\qquad \text{beziehungsweise} \qquad\prod_{i\in I}a_i$$ f"ur die \glqq Verkn"upfung aller $a_i$ mit $i\in I$\grqq. Ist $I$ die leere Menge, so vereinbaren wir, da"s dieser Ausdruck das neutrale Element von $M$ bedeuten m"oge, also $0$ beziehungsweise $1$. F"ur die konstante Abbildung $I\ra\DN$, $i\mapsto 1$ haben wir zum Beispiel $$\sum _{i\in I} 1=|I|$$ Unsere Konvention \eref{LPS}{EIN} f"ur mit einem Laufindex notierte Summen beziehungsweise Produkte verwenden wir bei kommutativen Monoiden analog. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben eine Menge mit Verkn"upfung $(M,\top)$ kann man die Assoziativit"at und die Existenz eines neutralen Elements dahingehend zusammenfassen, da"s wir f"ur jedes $r\geq 0$ ausgezeichnete \glqq Multiverkn"upfungen\grqq\ $M^{\times r}\ra M$ zur Verf"ugung haben, die eine gewisse \glqq Multiassoziativit"at\grqq\ erf"ullen, die ich hier nicht genauer ausschreiben will. Das neutrale Element ist dabei die \glqq Multiverkn"upfung des Nulltupels\grqq. In diesem Licht betrachtet geh"oren bei einer Verkn"upfung die Forderungen der Assoziativit"at und der Existenz eines neutralen Elements zusammen. Ich schlage vor, eine Verkn"upfung mit diesen beiden Eigenschaften {\bf unit"arassoziativ}\index{unit"arassoziativ}\label{unass} zu nennen. Ein Monoid ist damit eine Menge mit einer unit"arassoziativen Verkn"upfung. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $Z$ eine Menge. Das Schneiden von Teilmengen ist eine Verkn"upfung $$\begin{array}{cccc} \cap :& \cal{P}(Z) \times \cal{P}(Z)&\ra& \cal{P}(Z)\\ &(A,B) &\mapsto& A\cap B \end{array}$$ auf der Potenzmenge. Dasselbe gilt f"ur die Vereinigung und das Bilden der Differenzmenge. Welche dieser Verkn"upfungen sind kommutativ oder assoziativ? Welche besitzen neutrale Elemente? \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man gebe die Wahrheitstafeln f"ur $\RA$ und $\IFF$ an. Bezeichne weiter $\neg: \{\op{Wahr},\op{Falsch}\}\ra \{\op{Wahr},\op{Falsch}\}$ die \glqq Verneinung\grqq. Man\index{)0a@$\neg$ Verneinung} zeige, da"s die Formel $$(A\RA B)\IFF((\neg B)\RA (\neg A)) $$ beim Einsetzen beliebiger Wahrheitswerte aus $\{\op{Wahr},\op{Falsch}\}$ f"ur $A$ und $B$ stets den Wert $\op{Wahr}$ ausgibt, in "Ubereinstimmung mit unseren eher intuitiven "Uberlegungen in \ref{BWD}. \end{Ubunge} \subsection{Gruppen}\label{Gr} \begin{Bemerkungl} Ich empfehle, bei der Lekt"ure dieses Abschnitts die Tabelle nach \ref{KFt} gleich mitzulesen, die die Bedeutungen der nun folgenden Formalit"aten in den zwei gebr"auchlichsten Notationssystemen angibt. In diesen Notationssystemen sollten alle Formeln aus der Schulzeit vertraut sein. Ich erinnere daran, da"s wir ein Monoid definiert hatten als eine Menge mit einer assoziativen Verkn"upfung, f"ur die es in unserer Menge ein neutrales Element gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Ist $(M,\top)$ ein Monoid und $a\in M$ ein Element, so nennen wir ein weiteres Element $\bar{a} \in M$ {\bf invers}\index{invers!in Monoid} {\bf zu} $a$, wenn gilt $a \top \bar{a}=e=\bar{a} \top a$ f"ur $e\in M$ das neutrale Element unseres Monoids. Ein Element eines Monoids, das ein Inverses besitzt, hei"st {\bf invertierbar};\index{invertierbar} \item Eine {\bf Gruppe}\index{Gruppe} ist ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt; \item Eine {\bf kommutative Gruppe} oder {\bf abelsche Gruppe}\index{abelsch!Gruppe} ist eine Gruppe, deren Verkn"upfung kommutativ ist. \end{enumerate} \label{DeGr} \end{Definition} \begin{Beispiele} Von unseren Beispielen \ref{Verk} f"ur Mengen mit Verkn"upfung oben ist nur $(\DZ,+)$ eine Gruppe, und diese Gruppe ist kommutativ. Ein anderes Beispiel f"ur eine kommutative Gruppe ist die Menge $\DQ$ der rationalen Zahlen mit der Addition als Verkn"upfung, ein weiteres die Menge $\DQ\backslash \{0\}$ der von Null verschiedenen rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verkn"upfung. Auch jedes einelementige Monoid ist eine Gruppe. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Der Begriff einer \glqq Gruppe\grqq\ wurde von \'{E}variste Galois (1811-1832) in die Mathematik eingef"uhrt. Er verwendet den Begriff \glqq Gruppe von Transformationen\grqq\ sowohl in der Bedeutung einer \glqq Menge von bijektiven Selbstabbildungen einer gegebenen Menge\grqq\ als auch in der Bedeutung einer \glqq Menge von bijektiven Selbstabbildungen einer gegebenen Menge, die abgeschlossen ist unter Verkn"upfung und Inversenbildung\grqq, und die damit in der Tat ein Beispiel f"ur eine Gruppe im Sinne der obigen Definition bildet. Unsere obige Definition \ref{DeGr} geht auf eine Arbeit von Arthur Cayley aus dem Jahre 1854 mit dem Titel \glqq On the theory of groups as depending on the symbolic equation $\theta^n=1$\grqq\ zur"uck und wurde damit formuliert, bevor Cantor die Sprache der Mengenlehre entwickelte. Die Terminologie \glqq abelsche Gruppe\grqq\ wurde zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Hendrik Abel eingef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSy} \\ \noindent Die Verkn"upfungstafel der Gruppe aller Permutationen der Menge $\{1,2,3\}$. Eine solche Permutation $\sigma$ habe ich dargestellt durch das geordnete Zahlentripel $\sigma(1) \sigma(2) \sigma(3)$, und im K"astchen aus der Zeile $\tau$ und der Spalte $\sigma$ steht $\tau\circ \sigma$. \end{Bild} \begin{Lemma} Jedes Element eines Monoids besitzt h"ochstens ein Inverses.\label{edI} \end{Lemma} \begin{proof} Aus $a \top \bar{a}=e$ und $b \top a=e$ folgt durch Anwenden von $b\top$ auf die erste Gleichung mit dem Assoziativgesetz sofort $\bar{a}=b$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir d"urfen also den bestimmten Artikel benutzen und von nun an von \emph{dem} Inversen eines Elements eines Monoids und insbesondere auch einer Gruppe reden. Gegeben ein invertierbares Element ist offensichtlich auch sein Inverses invertierbar und das Inverse des Inversen ist wieder das urspr"ungliche Element, in Formeln $\bar{\bar{a}}=a$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Beim Beweis von Lemma \ref{edI} haben wir st"arker gezeigt: Besitzt ein Element eines Monoids ein \glqq Rechtsinverses\grqq\ und ein \glqq Linksinverses\grqq, so stimmen diese "uberein.\label{RLI} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Sind $a$ und $b$ invertierbare Elemente eines Monoids, so ist auch $a\top b$ invertierbar mit Inversem $\overline{(a\top b)}=\bar{b}\top\bar{a}$. \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat rechnen wir schnell $(a\top b)\top(\bar{b}\top\bar{a})=e=(\bar{b}\top\bar{a})\top(a\top b)$. Diese Formel ist auch aus dem t"aglichen Leben vertraut: Wenn man sich morgends zuerst die Str"umpfe anzieht und dann die Schuhe, so mu"s man abends zuerst die Schuhe ausziehen und dann die Str"umpfe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppe der invertierbaren Elemente eines Monoids}] Die invertierbaren Elemente eines Monoids bilden insbesondere stets eine unter der Verkn"upfung abgeschlossene Teilmenge. Diese Teilmenge enth"alt offensichtlich das neutrale Element und ist folglich mit der\label{NEMv} induzierten Verkn"upfung eine Gruppe. F"ur die Gruppe der invertierbaren Elemente eines multiplikativ notierten Monoids $M$ verwenden wir die Notation $M^\times$. Zum Beispiel haben wir $\DZ^\times=\{1,-1\}$.\index{)x@$M^\times$ invertierbare Elemente!eines Monoids $M$} Dieses Kreuz soll nicht als $x$ gelesen werden, es ist vielmehr ein mi"sbrauchtes Multiplikationssymbol. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur jede Menge $Z$ ist die Menge aller Bijektionen von $Z$ auf sich selbst eine Gruppe, mit der Komposition von Abbildungen als Verkn"upfung. Wir notieren diese Gruppe $\op{Ens}^\times( Z)$\index{Ens@$\op{Ens}^\times( Z)$ Bijektionen $Z\sira Z$} in "Ubereinstimmung mit unserer Konvention \ref{NEMv}, schlie"slich handelt es sich um die Gruppe der invertierbaren Elemente des Monoids $\op{Ens}(Z)$. Ihre Elemente hei"sen die \defnoind{Permutationen}\index{Permutation} {\bf von} $Z$. Die Gruppe der Permutationen einer Menge $Z$ ist f"ur $|Z|>2$ nicht kommutativ. Das Inverse einer Bijektion ist ihre Umkehrabbildung. \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Negativ iterierte Verkn"upfung invertierbarer Elemente}] Ist $(M,\top)$ ein Monoid und $a\in M$ invertierbar, so erweitern wir unsere\label{naa} Notation $n^\top a$ aus \ref{nadd} weiter auf alle ganzen Zahlen $n \in \DZ$, indem wir f"ur $n$ negativ setzen $ n^{\top} a \pdef (-n)^{\top} \bar{a}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Iterationsregeln}] Gegeben ein invertierbares Element $a$ eines Monoids gelten offensichtlich\label{RRG} sogar f"ur alle ganzen Zahlen $n \in \DZ$ die Regeln $(n+m)^{\top}a = (n^{\top} a) \top (m^{\top}a)$ und $(nm)^{\top}a = n^{\top}(m^{\top}a)$. Sind $a,b$ invertierbare Elemente eines Monoids mit $ab=ba$, so gilt zus"atzlich $n^\top(a\top b)=(n^\top a)\top(n^\top b)$ f"ur alle $n \in \DZ$. Wenn man es ganz genau nehmen will, mu"s man hierf"ur die formale Einf"uhrung der ganzen Zahlen \eref{KzN}{LA1} abwarten. \end{Bemerkungl} \begin{table} \begin{tabular}{lll} abstrakt&additiv&multiplikativ\\[2mm] $a\top b$ & $a + b$ & $a\cdot b$, $a\circ b$, $ab$ \\[8mm] $e$ & $\hat 0$ & $\hat 1$ \\[2mm] $\bar{b}$ & $-b$ & $\hat 1/b, b^{-1}$ \\[2mm] $a\top\bar{b}$ & $a-b$ & $a/b, ab^{-1}$ \\[2mm] $n^{\top}a$ & $na$ & $a^{n}$\\[8mm] $e\top a=a\top e=a$& $\hat 0+a =a+\hat 0=a$ & $\hat 1\cdot a = a \cdot \hat 1 =a$\\[2mm] $a\top \bar{a}=e$& $a-a =\hat 0$ & $ a/a=\hat 1$\\[2mm] $\bar{\bar{a}}=a$ &$-(-a)=a$&$ \hat 1/(\hat 1/a)=a$\\[2mm] $(-1)^{\top}a=\bar{a}$ &$(-1)a=-a$&$a^{-1} =\hat 1/a$ \\[2mm] $\overline{(a\top b)}=\bar{b}\top\bar{a}$ & $-(a+b)=(-b)+(-a)$& $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$,\\&& ${\hat 1}/{ab}=({\hat 1}/{b})({\hat 1}/{a})$\\[2mm] $\overline{(a\top \bar{b})}={b}\top\bar{a}$ & $-(a-b)=b-a$& $\hat 1/(a/b)=b/a$\\[2mm] $n^{\top}(m^{\top}a)=(nm)^{\top}a$ & $n(ma )=(nm)a$ & $(a^{m})^{n}=a^{nm}$\\[2mm] $(m+n)^{\top}a=(m^{\top}a)\top(n^{\top}a)$ & $(m+n)a =(ma)+(na) $ & $a^{(m+n)} =(a^{m})(a^{n})$\\[2mm] $\overline{n^{\top}a}=(-n)^\top a$&$-(na)=(-n)a$&$(a^n)^{-1}=a^{-n}$\\[2mm] $0^{\top}a=e$&$0a=\hat 0$&$a^0=\hat 1$\\[2mm] $n^\top(a\top b)=(n^\top a)\top(n^\top b)$ & $n(a+b)=(na)+(nb)$ & $(ab)^n=(a^n)(b^n)$ \end{tabular} \caption*{Konventionen und Formeln in verschiedenen Notationssystemen. Bereits diese Tabelle mu"s mit einigen Hintergedanken gelesen werden, weil die Symbole $+,-$ darin in zweierlei Bedeutung vorkommen: Manchmal meinen sie konkrete Operationen in $\DZ$\index{-@$a-b$ bei Gruppe}, manchmal stehen sie aber auch f"ur Verkn"upfung, Inversenbildung und neutrale Elemente in abstrakten Monoiden. Ich habe den Symbolen $0,1$ einen Hut aufgesetzt und $\hat 0,\hat 1$ geschrieben, wenn sie neutrale Elemente in abstrakten Monoiden bedeuten. Das werde ich aber nicht durchhalten.} \end{table} \begin{Bemerkungl}\label{NEM} Bei additiv geschriebenen Monoiden bezeichnet man das Inverse von $a$, sofern es existiert,\label{KFt} meist als das {\bf Negative}\index{Negatives} von $a$ und notiert es $-a$. \index{-@$-a$ Negatives von $a$} Bei multiplikativ notierten kommutativen Monoiden verwendet man die Bruchnotation $1/a$ und $b/a$ aus nebenstehender Tabelle, falls $a$ invertierbar ist. Bei nichtkommutativen multiplikativ notierten Monoiden benutzt man f"ur das Inverse von $a$ die von der im folgenden erkl"arten allgemeinen Notation $a^n$ abgeleitete Notation $a^{-1}$. Die nebenstehende Tabelle fa"st die "ublichen Notationen f"ur unsere abstrakten Begriffsbildungen in diesem Kontext zusammen und gibt unsere allgemeinen Resultate und Konventionen in diesen Notationen wieder. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur negativ iterierte Verkn"upfung}] Sei ein Monoid $M$ gegeben und sei $x\in M$ invertierbar. Wird unser Monoid additiv notiert, so schreibt man auch f"ur negatives $n\in\DZ$ statt $n^+ x$ meist kurz $nx$ und meint also mit $nx$ das Negative von $(-n)x$. Wird unser Monoid multiplikativ notiert, also mit einem runden Symbol wie etwa $\ast$, so schreibt man auch f"ur negatives $n\in\DZ$ statt $n^\ast x$ meist kurz $x^n$ oder etwas ausf"uhrlicher $x^{\ast n}$ oder $x^{(\ast n)}$ und meint also mit $x^n$ das Inverse von $x^{-n}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall einer bijektiven Abbildung $f:Z\sira Z$ ist die Umkehrabbildung $f^{-1}:Z\sira Z$ das Inverse $f^{-1}$ des invertierbaren Elements $f$ des Monoids $\op{Ens}(Z)$. Ebenso ist im Fall einer von Null verschiedenen rationalen Zahl $a\in\DQ$ ihr Inverses im multiplikativen Monoid $\DQ$ der Kehrbruch $1/a=a^{-1}$. Unsere Konvention vertr"agt sich also recht gut mit verschiedenen anderen Konventionen, die Sie bereits kennen m"ogen. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{EIG} Ein Element $a$ eines Monoids $M$ ist invertierbar genau dann, wenn es $b,c\in M$ gibt mit $b\top a=e=a\top c$ f"ur $e$ das neutrale Element. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{K"urzen}] Sind $a,b,c$ Elemente einer Gruppe, so folgt aus $a\top b=a\top c$ bereits $b=c$. Ebenso folgt aus $b\top a=c\top a$ bereits $b=c$. Dasselbe gilt allgemeiner in einem beliebigen Monoid, wenn wir $a$ invertierbar annehmen.\label{KGr} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $M$ ein Monoid und $e$ sein neutrales Element. Man zeige: Unser Monoid ist genau dann eine Gruppe, wenn es f"ur jedes $a \in M$ ein $\bar{a} \in M$ gibt mit $\bar{a}\top a =e$, und dies Element $\bar{a}$ ist dann notwendig das Inverse von $a$ in $M$. Noch Mutigere zeigen: Ist $M$ eine Menge mit assoziativer Verkn"upfung und existiert ein $e\in M$ mit $e\top a=a\;\forall a\in M$ sowie f"ur jedes $a\in M$ ein $\bar{a} \in M$ mit $\bar{a}\top a =e$, so ist $M$ eine Gruppe. Hinweis: Man zeige, da"s $\bar{a}\top$ bijektiv ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben eine Menge $Z$ ist ihre Potenzmenge $\cal P(Z)$ mit der Verkn"upfung $A+B\pdef (A\cup B)\backslash (A\cap B)$ eine abelsche Gruppe.\label{PMG} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben Gruppen $G, H$ k"onnen wir das kartesische Produkt $G\times H$ zu einer Gruppe machen, indem wir darauf die komponentenweise Verkn"upfung $(g,h)(g',h')\pdef(gg',hh')$ betrachten.\index{Produkt!von Gruppen} \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ein endliches Monoid $(M,\top)$, in dem f"ur jedes Element $a\in M$ die Multiplikationsabbildung eine Injektion $(a\top):M\hra M$ ist, mu"s bereits eine Gruppe sein. \end{Ubung} \subsection{Homomorphismen}\label{Hommm} \begin{Bemerkungd} Ich habe diesen Abschnitt einmal erst sp"ater im Zusammenhang mit der Diskussion von linearen Abbildungen besprochen und habe es bereut. \end{Bemerkungd} \begin{Definition} Eine Menge mit einer v"ollig beliebigen, nicht notwendig assoziativen Verkn"upfung hei"st ein {\bf Magma}.\index{Magma} Gegeben Magmas $(X,\top)$ und $(Y,\perp)$ verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von Mengen mit Verkn"upfung} oder auch {\bf Homomorphismus von Magmas\index{Homomorphismus!von Magmas}} eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ derart, da"s gilt $\varphi(a\top b)=\varphi(a)\perp \varphi(b)$ f"ur alle $a,b\in X$. Die Menge aller solchen Homomorphismen von Magmas bezeichnen wir\label{DeMa} mit\index{Mag@$\op{Mag}(X,Y)$ Homomorphismen von Magmas} $$\op{Mag}(X,Y)$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei $Z$ eine Menge und $\mathcal P(Z)$ ihre Potenzmenge. Wir betrachten auf $\mathcal P(Z)$ die Verkn"upfung $(A,B)\mapsto A\backslash B$. Ist $Z\hra W$ eine Injektion, so ist die auf den Potenzmengen induzierte Abbildung ein Homomorphismus von Magmas $$(\mathcal P(Z),\backslash)\ra (\mathcal P(W),\backslash)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{HIS} Sind unsere beiden Mengen mit Verkn"upfung Monoide, so verstehen wir unter einem {\bf Monoidhomomorphismus}\index{Monoidhomomorphismus} einen\index{Homomorphismus!von Monoiden}\index{Morphismus!von Monoiden} Homomorphismus von Mengen mit Verkn"upfung, der das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet. Gegeben Monoide $M$ und $N$ bezeichnen wir die\index{Mon@$\op{Mon}$!Monoidhomomorphismen} Menge aller Monoidhomomorphismen von $M$ nach $N$ mit $$\op{Mon} (M,N)\pdef \{\varphi\in \op{Mag} (M,N)\mid \varphi(e_M)=e_N\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die beiden Bedingungen an einen Monoidhomomorphismus $\varphi:M\ra N$ k"onnen in der in \ref{unass} eingef"uhrten Terminologie dahingehend zusammengefa"st werden, da"s die beiden Abbildungen $M^{\times r}\ra M\ra N$ und $M^{\times r}\ra N^{\times r}\ra N$, die durch $\varphi$ und unsere Multiverkn"upfungen gegeben werden, f"ur alle $r\geq 0$ "ubereinstimmen sollen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Gegeben Monoide $M,N$ kann $\op{Mon} (M,N)\subset \op{Mag} (M,N)$ eine echte Teilmenge sein. Zum Beispiel ist die Abbildung $(\DZ,+)\ra(\DZ,\cdot)$, die jede ganze Zahl auf die Null wirft, ein Homomorphismus von Mengen mit Verkn"upfung, aber kein Monoidhomomorphismus. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{GrHO} Gegeben ein Monoid $M$ und eine Gruppe $G$ gilt stets $$\op{Mag} (M,G)= \op{Mon} (M,G)$$ Jeder Homomorphismus $\varphi$ von Mengen mit Verkn"upfung von einem Monoid in eine Gruppe bildet also das neutrale Element auf das neutrale Element ab. In der Tat folgt das aus $\varphi(e)=\varphi(e\cdot e)=\varphi(e)\cdot \varphi(e)$ durch K"urzen. Einen Homomorphismus zwischen zwei Gruppen, in Formeln eine Abbildung $\varphi:H\ra G$ mit $\varphi(a b)=\varphi(a) \varphi(b)$ f"ur alle $a,b\in H$, nennen wir einen\index{Gruppenhomomorphismus} {\bf Gruppenhomomorphismus}.\index{Homomorphismus!von Gruppen} Gegeben Gruppen $H$ und $G$ bezeichnen wir die\index{Grp@$\op{Grp}$!Gruppenhomomorphismen} Menge aller Gruppenhomomorphismen von $H$ nach $G$ mit $$\op{Grp} (H,G)$$ Die neue Notation hat gegen"uber den beiden bereits eingef"uhrten alternativen Notationen $\op{Mag} (H,G)$ und $ \op{Mon} (H,G)$ den Vorteil, uns daran zu erinnern, da"s wir es mit Gruppen zu tun haben. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Isomorphismus}\index{Isomorphismus} ist ein Homomorphismus $\phi$ mit der Eigenschaft, da"s es einen Homomorphismus $\psi$ in die Gegenrichtung gibt derart, da"s beide Kompositionen $\psi\circ\phi$ und $\phi\circ\psi$ die Identit"at sind. Zwei Gruppen oder Monoide oder Magmas hei"sen {\bf isomorph},\index{isomorph!Gruppen} wenn es zwischen ihnen einen Isomorphismus gibt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{TerHo} Die Terminologie kommt von griechisch \glqq $\mu o\rho\varphi\eta$\grqq\ f"ur \glqq Gestalt, Struktur\grqq\ und griechisch \glqq $o\mu o\iota\varsigma$\grqq\ f"ur \glqq gleich, "ahnlich\grqq. Auf deutsch k"onnte man statt Homomorphismus auch \glqq strukturerhaltende Abbildung\grqq\ sagen. Das Wort \glqq Isomorphismus\grqq\ wird analog gebildet mit griechisch \glqq $\iota\sigma o\varsigma$\grqq\ f"ur \glqq gleich\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In den F"allen der obigen Definition ist offensichtlich jeder bijektive Homomorphismus bereits ein Isomorphismus. Im weiteren Verlauf dieser Vorlesungen werden ihnen aber auch Arten von Homomorphismen begegnen, f"ur die das nicht mehr richtig oder nicht einmal eine sinnvolle Aussage ist. Der erste derartige Fall wird Ihnen in diesen Vorlesungen in \eref{ageo}{LA1} begegnen: Im Kontext teilgeordneter Mengen mu"s eine bijektive monoton wachsende Abbildung keineswegs ein \glqq Isomorphismus von teilgeordneten Mengen\grqq\ sein alias eine monoton wachsende Umkehrabbildung besitzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Den Begriff eines Homomorphismus verwendet man auch im Fall von Mengen ohne Verkn"upfung: Unter einem {\bf Homomorphismus von Mengen} versteht man schlicht eine Abbildung, unter einem {\bf Isomorphismus von Mengen} eine Bijektion. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Gruppen mit h"ochstens zwei Elementen}] Je zwei Gruppen mit genau einem Element sind isomorph und es gibt zwischen ihnen genau einen Isomorphismus. Je zwei Gruppen mit genau zwei Elementen sind isomorph und es gibt zwischen ihnen genau einen Isomorphismus, der eben das neutrale Element auf das neutrale Element wirft und das nichtneutrale Element auf das nichtneutrale Element. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Dreielementige Gruppen}] Je zwei Gruppen mit genau drei Elementen sind isomorph und es gibt zwischen ihnen genau zwei Isomorphismen. Um das zu sehen, beschreiben wir eine endliche Menge mit Verkn"upfung durch ihre Verkn"upfungstabelle, die im Fall einer Gruppe auch \defind{Gruppentafel} hei"st. Zum Beispiel bilden diejenigen Permutationen der Menge $\{1,2,3\}$, die nicht genau eines unserer drei Elemente festhalten, unter der Hintereinanderausf"uhrung eine Gruppe mit der Gruppentafel $$\\[2mm] \begin{array}{c|c|c|c|} &1&\zeta&\eta\\ \hline 1&1&\zeta&\eta\\ \hline \zeta&\zeta&\eta&1\\ \hline \eta&\eta&1&\zeta\\ \hline \end{array} \\[2mm]$$ Bei einer Gruppentafel mu"s nach der K"urzungsregel \ref{KGr} in jeder Spalte und in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommen. Man sieht so recht leicht, da"s jede weitere Gruppe $G$ mit genau drei Elementen zu der durch die obige Verkn"upfungstafel gegebenen Gruppe isomorph sein mu"s. Anschaulich denke ich mir diese Gruppe meist als die Gruppe aller Drehungen der Ebene, die ein gleichseitiges Dreieck in sich selbst "uberf"uhren. Der Nachweis, da"s es zwischen je zwei dreielementigen Gruppen genau zwei Isomorphismen gibt, sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/HBildSy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die vier Symmetrien des Buchstabens $H$. \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/SBildSy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Symmetriegruppe des Sonnenrads, das wohl auch wegen seiner Symmetriegruppe so unvermittelt an furchtbare Zeiten der deutschen Geschichte erinnert. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Vierelementige Gruppen}] Man sieht durch die Untersuchung von Verkn"upfungstafeln recht leicht, da"s es bis auf Isomorphismus h"ochstens zwei vierelementige Magmas mit neutralem Element gibt, in denen die K"urzungsregeln gelten in dem Sinne, da"s in jeder Zeile und Spalte der Verkn"upfungstafel jedes Element genau einmal vorkommt. Durch Betrachtung der nebenstehenden Bilder oder Interpretation als spezielle Permutationen einer geeigneten endlichen Menge "uberzeugt man sich auch leicht, da"s diese Magmas sogar Gruppen sind, die sich dadurch unterscheiden, ob jedes Element sein eigenes Inverses ist oder nicht. Sie hei"sen im ersten Fall die {\bf Klein'sche Vierergruppe}\index{Klein'sche Vierergruppe} und im zweiten Fall die {\bf vier\-elementige zyklische Gruppe}. Man mag zur "Ubung zeigen, da"s es zwischen je zwei Klein'schen Vierergruppen genau sechs Isomorphismen gibt und zwischen zwei vierelementigen zyklischen Gruppen genau zwei Isomorphismen. \end{Beispiel} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben zwei Gruppen $G$ und $H$ k"onnen wir auch % ihr kartesisches % Produkt $G\times H$ zu einer Gruppe machen, indem wir darauf die % komponentenweise Verkn"upfung $(g,h)(g',h')=(gg',hh')$ betrachten. % Eine unserer beiden vierelementigen Gruppen ist isomorph % zu dem % Produkt von zwei zweielementigen Gruppen. % Um weiter zu kommen, brauchen wir bessere Konstruktionsverfahren f"ur % Gruppen und mehr Theorie. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines Monoids hei"st ein {\bf Untermonoid},\index{Untermonoid} wenn sie abgeschlossen ist unter der Verkn"upfung und wenn sie zus"atzlich das neutrale Element enth"alt. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Teilmenge einer Gruppe hei"st eine {\bf Untergruppe},\index{Untergruppe} wenn sie abgeschlossen ist unter der Verkn"upfung und der Inversenbildung und wenn sie zus"atzlich das neutrale Element enth"alt. Ist $G$ eine multiplikativ geschriebene Gruppe, so ist eine Teilmenge $U \subset G$ also eine Untergruppe genau dann, wenn in Formeln gilt: $a,b \in U \Rightarrow a b \in U$, $a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$ sowie $1\in U$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Unter-was-auch-immer}]\index{Unter-} Die Begriffsbildungen eines Untermonoids und einer Untergruppe k"onnen als Spezialf"alle eines allgemeineren Begriffsschemas\label{Unter} verstanden werden. Danach w"are ein Untermonoid zu definieren als eine Teilmenge eines Monoids, die so mit einer Monoidstruktur versehen werden kann, da"s die Einbettung ein Monoidhomomorphismus ist. Ebenso w"are eine Untergruppe zu definieren als eine Teilmenge eine Gruppe, die so mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, da"s die Einbettung ein Gruppenhomomorphismus ist. Da diese Definitionen jedoch f"ur Anwendungen erst aufgeschl"usselt werden m"ussen, haben ich die aufgeschl"usselten Fassungen als Definition genommen und "uberlasse den Nachweis der "Aquivalenz zu den eben gegebenen Definitionen dem Leser zur "Ubung. Mehr dazu wird in \eref{Unts}{LA2} erkl"art. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} In jeder Gruppe ist die einelementige Teilmenge, die nur aus dem neutralen Element besteht, eine Untergruppe. Wir nennen sie die \defnoind{triviale Untergruppe}.\index{Untergruppe!triviale} Ebenso ist nat"urlich die ganze Gruppe stets eine Untergruppe von sich selber. Unsere kleinen Gruppen von eben lassen sich formal gut beschreiben als Untergruppen von Permutationsgruppen. Stellt man eine Permutation $\sigma$ der Menge $\{1,2,\ldots,n\}$ dar, indem man $\sigma(1)\sigma(2)\ldots\sigma(n)$ hintereinanderschreibt -- bei $n\leq 9$ mag das angehen -- so ist unsere dreielementige Gruppe die Untergruppe $\{123, 231, 312\}$ der entsprechenden Permutationsgruppe, oder ganz pedantisch isomorph dazu, unsere Klein'sche Vieregruppe die Untergruppe $\{1234, 2143, 4321, 3412\}$ der entsprechenden Permutationsgruppe und unsere vierelementige zyklische Gruppe die Untergruppe $\{1234, 4123, 3412, 2341\}$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkunge} Eine Menge mit einer assoziativen Verkn"upfung hei"st auch {\bf Halbgruppe}\index{Halbgruppe}. Gegeben Halbgruppen $A$ und $B$ schreiben wir\label{frMAG} $\op{Halb} (A,B)$ statt $\op{Mag} (A,B)$ f"ur die\index{Halb@$\op{Halb}$!Halbgruppenhomomorphismen} Menge aller mit der Verkn"upfung vertr"aglichen Abbildungen von $A$ nach $B$, als da hei"st, aller {\bf Halbgruppenhomomorphismen}. Wieder hat diese Notation den Vorteil, uns daran zu erinnern, da"s wir es mit Halbgruppen zu tun haben. F"ur jede Halbgruppe $A$ liefert die Vorschrift $\varphi\mapsto \varphi(1)$ eine Bijektion $$\op{Halb} (\Bbb{N}_{\geq 1},A)\sira A$$ Hierbei fassen wir $\Bbb{N}_{\geq 1}$ vermittels der Addition als Halbgruppe auf. Ein formaler Beweis mu"s auf eine formale Definition der nat"urlichen Zahlen warten und ist in \eref{EDNC}{LA1} enthalten. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Betrachten wir die Menge $\mathbb M$ \glqq aller m"oglichen Klammerungen von einem oder mehr Symbolen\grqq\ im Sinne von \ref{CatZa} und darauf die durch \glqq Hintereinanderschreiben\grqq\ erkl"arte Verkn"upfung sowie das Element $\ast\in \mathbb M$, das die einzig m"ogliche Verklammerung von einem einzigen Symbol meint, so liefert f"ur jedes Magma $X$ die Vorschrift $\varphi\mapsto \varphi(\ast)$ eine Bijektion $$\op{Mag} (\Bbb{M},X)\sira X$$ \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Injektivit"at und Kern}] Gegeben ein Gruppenhomomorphismus oder allgemeiner ein Monoidhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ erkl"art man den {\bf Kern von $\varphi$}\index{Kern!von Gruppenhomomorphismus} als das Urbild des neutralen Elements, in Formeln $$\op{ker}\varphi\pdef\{g\in G\mid \varphi(g)=e\}$$ Man zeige, da"s $\op{ker}\varphi$ stets eine Untergruppe beziehungsweise ein Untermonoid von $G$ ist. Man zeige weiter, da"s im Gruppenfall $\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn sein Kern nur aus dem neutralen Element besteht.\label{KI3} \end{Ubung} \begin{Ubung}%\label{KIn} Das Bild eines Monoids unter einem Monoidhomomorphismus ist stets ein Untermonoid. Das Urbild eines Untermonoids unter einem Monoidhomomorphismus ist stets ein Untermonoid.\label{kug} \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder Monoidhomomorphismus $M\ra N$ bildet invertierbare Elemente auf invertierbare Elemente ab und induziert so einen Gruppenhomomorphismus $M^\times\ra N^\times$.\label{mug} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KIn} Das Bild einer Untergruppe unter einem Gruppenhomomorphismus ist stets eine Untergruppe. Das Urbild einer Untergruppe unter einem Gruppenhomomorphismus ist stets eine Untergruppe.%\label{kug} \end{Ubung} % \begin{Bemerkungl} % Sei $\varphi : G \rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. % Das {\bf Bild}\index{Bild!von Gruppenhomomorphismus} % $ \op{im}\varphi=\varphi (G)$ von % ganz $G$ unter $\varphi$ ist nach \ref{KIn} stets eine % Untergruppe von $H$. % \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma} % Ein Gruppenhomomorphismus ist injektiv genau dann, % wenn sein Kern trivial ist. % \end{Lemma} % \begin{Bemerkungl} % In \ref{LiI} haben wir bereits einen Spezialfall % dieses Resultats bewiesen, allerdings in additiver Notation, % da es dort um lineare Abbildungen zwischen Vektorr"aumen ging. % \end{Bemerkungl} % \begin{proof}[Beweis] % Sei $\varphi : G \rightarrow H$ unser Gruppenhomomorphismus. % Wir notieren unsere Gruppe multiplikativ und % argumentieren durch Widerspruch: Besteht % $\ker{\varphi}$ aus mehr als einem Element, so kann $\varphi$ % nat"urlich nicht injektiv sein. % Gibt es umgekehrt $x \neq % y$ mit $\varphi (x) = \varphi(y)$, so liegen $x^{-1}y \neq e$ beide in % $\ker \varphi$. % \end{proof} \begin{Ubung} Gegeben eine Menge $Z$ ist das Bilden des Komplements ein Monoidhomomorphismus $(\mathcal P(Z),\cap)\ra (\mathcal P(Z),\cup)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Multiplikation mit $5$ ist ein Gruppenhomomorphismus von additiven Gruppen $(5\cdot):\DZ\ra\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Induzierte Verkn"upfung}] Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Verkn"up\-fung. Gegeben eine Injektion $U\hra X$ gibt es h"ochstens eine Verkn"upfung auf $U$ derart, da"s unsere Injektion ein Homomorphismus ist. Wenn es solch eine Verkn"upfung gibt, hei"st unsere Injektion {\bf an die Verkn"upfung angepa"st}\label{indV} und die fragliche Verkn"upfung auf $U$ die {\bf auf $U$ induzierte Verkn"upfung}.\index{Verkn"upfung!induzierte} Die Einbettung einer Teilmenge ist genau dann angepa"st, wenn unsere Teilmenge abgeschlossen ist unter der Verkn"upfung im Sinne von \ref{abV}. Die Eigenschaften der Assoziativit"at und Kommutativit"at "ubertragen sich auf die induzierte Verkn"upfung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koinduzierte Verkn"upfung}] Sei $(X,\top)$ eine Menge mit Ver\-kn"up\-fung. Gegeben eine Surjektion $X\sra Q$ gibt es h"ochstens eine Verkn"upfung auf $Q$ derart, da"s unsere Surjektion ein Homomorphismus ist. Wenn es solch eine Verkn"upfung gibt, hei"st unsere Surjektion {\bf an die Verkn"upfung angepa"st} und die fragliche Verkn"upfung auf $Q$ die\label{koindV} {\bf auf $Q$ koinduzierte Verkn"upfung}.\index{Verkn"upfung!koinduzierte} Zum Beispiel ist die Surjektion $\DN\sra \{0,1,\ldots,9\}$, die jeder Zahl die letzte Ziffer ihrer Dezimaldarstellung zuordnet, angepa"st sowohl an die Addition als auch an die Multiplikation. Mehr dazu in \eref{Rkr}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eigenschaften einer koinduzierten Verkn"upfung}] Die Eigenschaften der Assoziativit"at und Kommutativit"at "ubertragen sich auf die koinduzierte Verkn"upfung.\label{EkoV} Das Bild des Einselements ist ein Einselement f"ur die koinduzierte Verkn"upfung, das Bild des Inversen ein Inverses. Jede koinduzierte Verkn"upfung zu einer angepa"sten Surjektion von einer Gruppe auf eine Menge macht besagte Menge zu einer Gruppe. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Universelle Eigenschaft der nat"urlichen Zahlen}] Man zeige, da"s f"ur jedes Monoid $M$ die Vorschrift $\varphi\mapsto \varphi(1)$ eine Bijektion\label{GHZv} $$\op{Mon} (\Bbb{N},M)\sira M$$ liefert. Ein Monoidhomomorphismus vom additiven Monoid der nat"urlichen Zahlen in ein beliebiges weiteres Monoid ist also in Worten festgelegt und festlegbar durch das Bild des Elements $1\in\DN$. Hinweis: Man erinnere \ref{nadd}. Wenn man es ganz genau nimmt, mu"s man f"ur diese "Ubung die formale Einf"uhrung der nat"urlichen Zahlen \eref{EDNC}{LA1} abwarten. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen}] Man zeige, da"s f"ur jede Gruppe $G$ die\label{GHZ} Vorschrift $\varphi\mapsto \varphi(1)$ eine Bijektion $$\op{Grp} (\Bbb{Z},G)\sira G$$ liefert. Ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe der ganzen Zahlen in irgendeine weitere Gruppe ist also in Worten festgelegt und festlegbar durch das Bild des Elements $1\in\DZ$. Hinweis: Man erinnere \ref{RRG}. Man beachte, da"s die $1$ nicht das neutrale Element der Gruppe $\DZ$ meint, die hier vielmehr als additive Gruppe zu verstehen ist. Man gebe explizit den Gruppenhomomorphismus $\DZ\ra \DZ$ mit $1\mapsto 5$ an. Man gebe explizit den Gruppenhomomorphismus $\DZ\ra \DQ\backslash \{0\}$ mit $1\mapsto 5$ an. Wenn man es ganz genau nehmen will, mu"s man f"ur diese "Ubung die formale Einf"uhrung der ganzen Zahlen \eref{KzN}{LA1} abwarten. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BNEc}%War mal Teil von \label{BNE} Jeder Gruppenhomomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ vertauscht mit Inversenbildung, in Formeln $\varphi(a^{-1})=(\varphi(a))^{-1}\;\forall a\in G$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine Verkn"upfung $X\times X\ra X$, $(x,y)\mapsto xy$ auf einer Menge $X$ erkl"art man die {\bf opponierte Verkn"upfung}\index{opponiert!Verkn"upfung} durch die Vorschrift $(x,y)\mapsto yx$. Oft schreibt man auch $X^{\op{opp}}$ \index{opp@$X^{\op{opp}}$ Menge $X$ mit opponierter Verkn"upfung} f"ur die Menge $X$, versehen mit der opponierten Verkn"upfung, und $x^\circ$ f"ur\index{)6circ@$f^\circ$ in opponierter Struktur!Menge mit Verkn"upfung} das Element $x\in X$, aufgefa"st als Element von $X^{\op{opp}}$. Das hat den Vorteil, da"s man sich das Verkn"upfungssymbol sparen kann, die Definition der opponierten Verkn"upfung l"a"st sich schreiben als $y^\circ x^\circ\pdef(xy)^\circ$. Man zeige: Gegeben eine Gruppe $G$ liefert das Bilden des Inversen stets einen Gruppenisomorphismus\label{oppoGR} $G^{\op{opp}}\sira G$, $g^\circ\mapsto g^{-1}$ zwischen der {\bf opponierten Gruppe}\index{opponiert!Gruppe}\index{Gruppe!opponierte} und der urspr"unglichen Gruppe. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Jede Halbgruppe $A$ kann man zu einem Monoid $\tilde A$ erweitern, indem man noch ein Element hinzunimmt und ihm die Rolle des neutralen Elements zuweist. F"ur jedes weitere Monoid $M$ liefert dann das Vorschalten der Einbettung $A\hra \tilde A$ eine Bijektion $$\op{Mon}(\tilde A,M)\sira\op{Halb}(A,M)$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung} Eine Abbildung $\varphi:G\ra H$ von Gruppen ist genau dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn ihr Graph $\Gamma(\varphi)\subset G\times H$ eine Untergruppe des Produkts ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede Verkn"upfung von Homomorphismen von Magmas ist wieder ein Homomorphismus von Magmas. Sind also in Formeln $g: U \rightarrow V$ und $f: V \rightarrow W$ Homomorphismen, so ist auch $f \circ g : U \rightarrow W$ ein Homomorphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HSDv} Gegeben ein surjektiver Homomorphismus $g: U \sra V$ von Magmas und eine Abbildung $f: V \rightarrow W$ in ein weiteres Magma ist $f$ genau dann ein Homomorphismus, wenn die Verkn"upfung $f \circ g : U \rightarrow W$ ein Homomorphismus ist. Gegeben ein injektiver Homomorphismus von Magmas $f: V \hra W$ und eine Abbildung $g: U \sra V$ von einem weiteren Magma nach $V$ ist $g$ genau dann ein Homomorphismus, wenn die Verkn"upfung $f \circ g : U \rightarrow W$ ein Homomorphismus ist. \end{Ubung} \subsection[K"orper]{K"orper im Sinne der Algebra} \label{kloi}\begin{Bemerkungl} Die algebraische Struktur eines K"orpers wird den Hauptbestandteil unseres Axiomensystems f"ur die reellen Zahlen in \eref{ReZ}{AN1} bilden. Gleichzeitig bildet sie die Grundlage f"ur die Modellierung des Raums unserer Anschauung in der linearen Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KAx} Ein {\bf K"orper}\index{K"orper} $(K,+, \cdot)$ (englisch \defind{field}, franz"osisch \defind{corps}) ist eine Menge $K$ mit zwei kommutativen assoziativen Verkn"upfungen, genannt die {\bf Addition} $+$ und die {\bf Multiplikation} $\cdot $ des K"orpers, derart da"s die folgenden drei Bedingungen erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item $(K,+)$ ist eine Gruppe, die {\bf additive Gruppe} des K"orpers; \item Die vom neutralen Element der Addition $0_K\in K$\index{)0@$0$ neutrales Element f"ur $+$!$0_K$ Null des K"orpers $K$} verschiedenen Elemente von $K$ bilden eine unter der Multiplikation abgeschlossene Teilmenge, und diese Teilmenge $K \backslash\{0_K\}$ ist unter der Multiplikation ihrerseits eine Gruppe, die {\bf multiplikative Gruppe} des K"orpers; \item Es gilt das {\bf Distributivgesetz}\index{Distributivgesetz!bei K"orper} $$a\cdot (b+c)=(a\cdot b) + (a\cdot c) \quad \forall a,b,c \in K$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele} Ein erstes Beispiel ist der K"orper der rationalen Zahlen $(\DQ,+,\cdot)$. Ein anderes Beispiel ist der zweielementige K"orper mit den durch die Axiome erzwungenen Rechenregeln, der fundamental ist in der Informatik. Die ganzen Zahlen $(\DZ,+,\cdot)$ bilden keinen K"orper, da $(\DZ\backslash\{ 0\},\cdot)$ keine Gruppe ist, da es n"amlich in $\DZ\backslash\{ 0\}$ nur f"ur $1$ und $-1$ ein multiplikatives Inverses gibt. Es gibt keinen einelementigen K"orper, da das Komplement seines Nullelements die leere Menge sein m"u"ste: Dies Komplement kann dann aber unter der Multiplikation keine Gruppe sein, da es kein neutrales Element haben k"onnte. \end{Beispiele} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Der Begriff \glqq K"orper\grqq\ ist in diesem Zusammenhang wohl zu verstehen als \glqq besonders gut unter den verschiedensten Rechenoperationen abgeschlossener Zahlbereich\grqq, in Analogie zu geometrischen K"orpern wie Kugeln oder Zylindern, die man entsprechend als \glqq besonders gut in sich geschlossene Bereiche des Raums\grqq\ ansehen k"onnte. Die Bezeichnung als \glqq Distributivgesetz\grqq\ r"uhrt daher, da"s uns dieses Gesetz erlaubt, beim Multiplizieren eines Elements mit einer Summe den \glqq Faktor auf die Summanden zu verteilen\grqq. Das Wort \glqq distribution\grqq\ f"ur Verteilung von Nahrungsmitteln und dergleichen auf Franz"osisch und Englisch kommt von demselben lateinischen Wortstamm, auf die auch unsere Bezeichnung \glqq Distributivgesetz\grqq\ zur"uckgeht. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weglassen von Multiplikationssymbolen}] Beim Rechnen mit Buchstaben werden wir meist $ab\pdef a\cdot b $ abk"urzen. Das w"are beim Rechnen mit durch Ziffernfolgen dargestellten Zahlen wenig sinnvoll, da man dann nicht wissen k"onnte, ob $72$ nun als \glqq Zweiundsiebzig\grqq\ oder vielmehr als \glqq Sieben mal Zwei\grqq\ zu verstehen sein soll. Beim Einsetzen von Zahlen f"ur die Buchstaben m"ussen also wieder Multiplikationssymbole eingef"ugt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Weglassen von Additionssymbolen}] In der Schule und au"serhalb der Mathematik ist es "ublich, $1+\frac{1}{2}$ mit $1\frac{1}{2}$ abzuk"urzen und \glqq Anderthalb Stunden\grqq\ zu sagen oder \glqq Dreieinviertel Pfund\grqq. In diesem Fall wird also ein Additionssymbol weggelassen. Das ist jedoch in der h"oheren Mathematik nicht "ublich. In der gesprochenen Sprache ist es ja noch viel merkw"urdiger: Neunzehnhundertvierundachzig versteht jeder, in Symbolen geschrieben sieht $9$ $10$ $100$ $4+80$ dahingegen ziemlich sinnlos aus, und statt der "ublichen Interpretation $((9+10)100) +4+80$ w"aren durchaus auch andere Interpretationen denkbar. In der gesprochenen Sprache scheint eher eine Konvention befolgt zu werden, nach der die Operationen der Reihe nach auszuf"uhren sind wie bei einem Taschenrechner, wobei eine Multiplikation gemeint ist, wenn die zuerst genannte Zahl die Kleinere ist, und eine Addition, wenn sie die Gr"o"sere ist. Nur die Zahlen von $13$ bis $19$ scheinen dieser Regel nicht zu gehorchen. Kein Wunder, da"s es Erstkl"asslern schwer f"allt, sich den Zahlenraum zu erschlie"sen, wenn sie zuvor dieses Dickicht von Konventionen durchdringen m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Punkt vor Strich}] Wir vereinbaren zur Vermeidung von Klammern die Regel \glqq Punkt vor Strich\grqq, so da"s also zum Beispiel unter zus"atzlicher Beachtung unserer Konvention des Weglassens von Multiplikationssymbolen, in diesem Fall das Weglassen des Punktes, das Distributivgesetz k"urzer in der Form $a(b+c)=ab + ac$ geschrieben werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplikation mit Null}] In jedem K"orper $K$ gilt $a 0_K = 0_K \quad \forall a \in K$. Man folgert das aus $a 0_K + a 0_K = a (0_K+0_K) = a 0_K$ durch Hinzuaddieren von $-(a 0_K)$ auf beiden Seiten. F"ur das neutrale Element der multiplikativen Gruppe des K"orpers vereinbaren wir die Bezeichnung $1_K$.\index{)0@$1$ neutrales Element f"ur $\cdot$!$1_K$ Eins des K"orpers $K$} Nach dem Vorhergehenden gilt $1_K b=b$ auch f"ur $b=0_K$, mithin f"ur alle $b\in K$. Folglich ist $(K,\cdot)$ ein Monoid mit neutralem Element $1_K$ und der Menge aller von Null verschiedenen Elemente als Gruppe der invertierbaren Elemente, in Formeln $K\backslash\{0_K\}= K^\times$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Binomische Formel}] F"ur alle $a,b$ in einem K"orper $K$ und alle $n\geq 0$ gilt die binomische Formel\label{BiFo} $$(a+b)^{n} = \sum^{n}_{\nu =0} {n\choose \nu} a^{\nu} b^{n-\nu}$$ %\\ Um das einzusehen pr"uft man, da"s wir bei der Herleitung nach \eref{BiFoA}{EIN} nur K"orperaxiome verwandt haben. Man beachte hierbei unsere Konvention $0_K^0=1_K$ aus \ref{KNeunn}, angewandt auf das Monoid $(K,\cdot)$. Die Multiplikation mit den Binomialkoeffizienten in dieser Formel ist zu verstehen als wiederholte Addition im Sinne der Bezeichnungskonvention $na$ aus \ref{nadn}, angewandt auf den Spezialfall der additiven Gruppe unseres K"orpers. \end{Bemerkungl} \newpage \begin{Lemma}[\textbf{Folgerungen aus den K"orperaxiomen}] In jedem K"orper $K$ gelten die folgenden Aussagen und Formeln: \begin{enumerate} \item $a b =0_K \;\;\Rightarrow \;\;( a = 0_K \text{ oder } b=0_K)$; \item $-a = (-1_K) a \quad \forall a \in K$; \item $(-1_K) (-1_K) =1_K$; \item $(-a)(-b)=ab\quad\forall a,b\in K$; \item $\frac{a}{b} \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\;$ f"ur alle $a,c\in K$ und $ b,d\in K^\times$; \item $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}\;$ f"ur alle $ a\in K$ und $ b,c\in K^\times$; \item $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\;$ f"ur alle $ a,c \in K$ und $ b,d\in K^\times$; \item $m(ab)=(ma)b\;$ f"ur alle $m\in\DZ$ und $ a,b\in K$. \end{enumerate} \label{FKA}\end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] \begin{enumerate} \item In der Tat folgt aus $(a \neq 0_K \text{ und } b \neq 0_K)$ schon $(a b \neq 0_K)$ nach den K"orperaxiomen. \item In der Tat gilt $a + (-1_K) a = 1_K a + (-1_K) a = (1_K+(-1_K)) a = 0_K a =0_K$, und $-a$ ist ja gerade definiert als das eindeutig bestimmte Element von $K$ mit der Eigenschaft $a+ (-a) =0_K$. \item In der Tat gilt nach dem Vorhergehenden $(-1_K) (-1_K) = - (-1_K) =1_K$. \item Um das nachzuweisen ersetzen wir einfach $(-a) = (-1_K) a$ und $(-b) = (-1_K) b$ und verwenden $(-1_K) (-1_K) =1_K$. \item Das ist klar. \item Das ist klar. \item Das wird bewiesen, indem man die Br"uche auf einen Hauptnenner bringt und das Distributivgesetz anwendet. \item Das folgt durch wiederholtes Anwenden des Distributivgesetzes. \end{enumerate} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Minus mal Minus gibt Plus}] Die Frage, wie das Produkt zweier negativer Zahlen zu bilden sei, war lange umstritten. Mir scheint der vorhergehende Beweis das "uberzeugendste Argument f"ur \glqq Minus mal Minus gibt Plus\grqq\ : Es sagt salopp gesprochen, da"s man diese Regel vereinbaren mu"s, wenn man beim Rechnen das Ausklammern ohne alle Einschr"ankungen erlauben will. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ganze Zahlen und allgemeine K"orper}] F"ur jeden K"orper $K$ und $n\in \DZ$ setzen wir $n_K\pdef n^{+}1_K=n1_K$\index{)8b@$n_K$ ganze Zahl in K"orper $K$} in unserer\label{GZAK} Notation \ref{naa} beziehungsweise ihrer f"ur additiv notierte Monoide vereinbarten Abk"urzung. F"ur $n\in\DN$ bedeutet das explizit $n_K\pdef 1_k+\ldots +1_K$ mit $n$ Summanden. Nach der ersten Iterationsregel in \ref{RRG} gilt stets $(n+m)_K=n_K + m_K$ und aus dem Distributivgesetz folgt leicht $n_K\cdot a=n^+a$ oder abgek"urzt $n_K a=na$ f"ur alle $n\in\DZ$ und $a\in K$. Mit der zweiten Iterationsregel in \ref{RRG} folgt weiter f"ur alle $m,n\in\DZ$ die Identit"at $n_K m_K=(nm)_K$ "uber die Gleichungskette $$n_K\cdot m_K=n^+m_K=n^+(m^+ 1_K)=(nm)^+ 1_K=(nm)_K$$ Oft schreibt man deshalb kurz $n$, wenn eigentlich $n_K$ gemeint ist, und insbesondere k"urzt man eigentlich immer $0_{K}$ ab durch $0$ und $1_{K}$ durch $1$. Man beachte jedoch, da"s f"ur verschiedene ganze Zahlen $n\neq m$ durchaus $n_K=m_K$ gelten kann: Ist etwa $K$ ein K"orper mit zwei Elementen, so gilt $n_K=0_K$ f"ur gerades $n$ und $n_K=1_K$ f"ur ungerades $n$. Vom h"oheren Standpunkt wird das alles nocheinmal in \eref{GZAR}{LA1} ausf"uhrlicher diskutiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Den Begriff eines Homomorphismus verwendet man bei Mengen mit mehr als einer Verkn"upfung analog. Zum Beispiel ist ein {\bf K"orperhomomorphismus}\index{K"orperhomomorphismus} $\varphi$ von einem K"orper $K$ in einen K"orper $L$\label{KoIs} definiert als eine Abbildung $\varphi:K\ra L$ derart, da"s gilt $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$ und $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ f"ur alle $a,b\in K$ sowie $\varphi(1)=1$. Die Bedingung $\varphi(1)=1$ ist nur n"otig, um den Fall der Nullabbildung auszuschlie"sen. In anderen Worten mag man einen K"orperhomomorphismus auch definieren als eine Abbildung, die sowohl f"ur die Addition als auch f"ur die Multiplikation ein Monoidhomomorphismus ist. Unter einem {\bf K"orperisomorphismus}\index{K"orperisomorphismus} verstehen wir wieder einen K"orperhomomorphismus $\phi$ mit der Eigenschaft, da"s es einen K"orperhomomorphismus $\psi$ in die Gegenrichtung gibt mit $\phi\circ\psi=\op{id}$ und $\psi\circ\phi=\op{id}$. Wieder ist jeder bijektive K"orperhomomorphismus bereits ein K"orperisomorphismus. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{KK2} Ist $K$ ein K"orper derart, da"s es kein $x \in K$ gibt mit $x^{2} = -1$, so kann man die Menge $K\times K=K^{2}$ zu einem K"orper machen, indem man die Addition und Multiplikation definiert durch $$\begin{array}{ccc} (a,b) + (c,d) & \pdef& (a+c, b+d)\\ (a,b) \cdot (c,d) &\pdef& (ac -bd, ad + bc) \end{array}$$ Die Abbildung $K \ra K^{2}$, $a \mapsto (a,0)$ ist dann ein K"orperhomomorphismus. K"urzen wir $(a,0)$ mit $a$ ab und setzen $(0,1)=\op{i}$, so gilt $\op{i}^{2} = -1$ und $(a,b) = a + b\op{i}$ und die Abbildung $a + b\op{i}\mapsto a - b\op{i}$ ist ein K"orperisomorphismus $K^2\sira K^2$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}\label{KRCC} Auf die in der vorhergehenden "Ubung \ref{KK2} erkl"arte Weise k"onnen wir etwa aus dem K"orper $K=\DR$ der \glqq reellen Zahlen\grqq, sobald wir ihn kennengelernt haben, direkt den K"orper $\DC$ der {\bf komplexen Zahlen}\index{komplexe Zahlen} konstruieren. Unser K"or\-per\-iso\-mor\-phis\-mus gegeben durch die Vorschrift $a + b\op{i}\mapsto a - b\op{i}$ hei"st in diesem Fall die {\bf komplexe Konjugation}\index{komplexe Konjugation} und wird auch $z\mapsto \bar{z}$\index{)6a@$\bar{z}$ komplexe Konjugation} notiert. Man beachte, wie m"uhelos das alles in der Sprache der Mengenlehre zu machen ist. Als die komplexen Zahlen erfunden wurden, gab es noch keine Mengenlehre und beim Rechnen beschr"ankte man sich auf das Rechnen mit \glqq reellen\grqq\ Zahlen, ja selbst das Multiplizieren zweier negativer Zahlen wurde als eine fragw"urdige Operation angesehen, und das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl als eine rein imagin"are Operation. In gewisser Weise ist es das ja auch geblieben, aber die Mengenlehre liefert eben unserer Imagination eine wunderbar pr"azise Sprache, in der wir uns auch "uber imaginierte Dinge unmi"sverst"andlich austauschen k"onnen. Man kann dieselbe Konstruktion auch allgemeiner durchf"uhren, wenn man statt $-1$ irgendein anderes Element eines K"orpers $K$ betrachtet, das kein Quadrat ist. Noch allgemeinere Konstruktionen zur \glqq Adjunktion h"oherer Wurzeln\grqq\ oder sogar der \glqq Adjunktion von Nullstellen polynomialer Gleichungen\grqq\ k"onnen Sie in der Algebra kennenlernen, vergleiche etwa \eref{AdNs}{AL}. In \eref{KoZa}{LA1} diskutieren wir die komplexen Zahlen ausf"uhrlicher. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge}\label{BNE} Ein K"orperhomomorphismus ist stets injektiv. \end{Ubunge} \subsection{Aufbau des Zahlensystems*} \begin{Bemerkungl} Der Aufbau des Zahlensystems $$\DN\subset\DZ\subset\DQ\subset\DR\subset\DC$$ erscheint in diesem Text nur in einer Abfolge von Nebenbemerkungen und soll an dieser Stelle zusammenfassend dargestellt werden.\label{AuZ} \begin{enumerate} \item Die Konstruktion der nat"urlichen Zahlen $\DN$ aus Grundbegriffen der Mengenlehre diskutiere ich in \eref{EDNC}{LA1}. Kurz wurde das auch schon in \ref{DNZZ} angerissen. Eine vollst"andig "uberzeugende Diskussion dieser Struktur ist meines Erachtens nur im Rahmen der Logik m"oglich. \item Die Konstruktion der ganzen Zahlen $\DZ$ aus den nat"urlichen Zahlen $\DN$, ja der einh"ullenden Gruppe eines beliebigen kommutativen Monoids wird in \eref{KzN}{LA1} erkl"art. Nach \eref{TLl}{AN1} gibt es dann genau eine Multiplikation auf $\DZ$, die unsere Multiplikation auf $\DN$ fortsetzt und $\DZ$ zu einem Ring macht. \item Die Konstruktion des K"orpers der rationalen Zahlen $\DQ$ aus dem Integrit"atsbereich der ganzen Zahlen $\DZ$, ja des Quotientenk"orpers eines beliebigen kommutativen Integrit"atsbereichs wird in \eref{DQok}{LA1} ausgef"uhrt. Die Anordnung auf $\DQ$ d"urfen Sie selbst in \eref{AOQ}{LA1} konstruieren. \item Die Konstruktion des angeordneten K"orpers der reellen Zahlen $\DR$ aus dem angeordneten K"orper der rationalen Zahlen $\DQ$ wird zur Beginn der Analysis in \eref{ER}{AN1} erkl"art. \item Die Konstruktion des K"orpers der komplexen Zahlen $\DC$ aus dem K"orper der reellen Zahlen $\DR$ wurde in \ref{KK2} angerissen und wird in \eref{KoZa}{LA1} ausf"uhrlicher behandelt. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gewinne und Verluste beim Aufbau des Zahlensystems}] Oft wird der Aufbau des Zahlensystems als eine Geschichte immer neuer Gewinne erz"ahlt: Beim "Ubergang von $\DN$ zu $\DZ$ gewinnt man die L"osbarkeit aller Gleichungen des Typs $a+x=b$, beim "Ubergang von $\DZ$ zu $\DQ$ die L"osbarkeit aller Gleichungen des Typs $ax=b$ f"ur $a\neq 0$, beim "Ubergang von $\DQ$ zu $\DR$ die L"osbarkeit aller Gleichungen des Typs $x^a=b$ f"ur $a,b>0$, und nach "Ubergang von $\DR$ zu $\DC$ besitzen sogar alle nichtkonstanten Polynome Nullstellen. Hier ist nur anzumerken, da"s man die L"osbarkeit aller Gleichungen des Typs $x^a=b$ f"ur $a,b>0$ auch schon in einem abz"ahlbaren Unterk"orper von $\DR$ erreichen k"onnte und da"s der eigentliche Grund f"ur den "Ubergang zu $\DR$ analytischer Natur ist: Man gewinnt so den Zwischenwertsatz \eref{ZWS}{AN1}. Man kann den Aufbau des Zahlensystems aber auch als eine Geschichte immer neuer Verluste erz"ahlen: Beim "Ubergang von $\DN$ zu $\DZ$ verliert man die Existenz eines kleinsten Elements, beim "Ubergang von $\DZ$ zu $\DQ$ die Existenz unmittelbarer Nachfolger, beim "Ubergang von $\DQ$ zu $\DR$ die Abz"ahlbarkeit, und beim "Ubergang von $\DR$ zu $\DC$ die Anordnung. Man kann noch weiter gehen zum Schiefk"orper der sogenannten Quaternionen $\mathbb H\supset\DC$ aus \eref{DQuaR}{LA1}, dabei verliert man die Kommutativit"at der Multiplikation, oder sogar zu den sogenannten Oktaven $\mathbb O\supset\mathbb H$ aus \eref{Okta}{HL}, bei denen die Multiplikation nicht einmal mehr assoziativ ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Verb"ande und Boole'sche Algebren*} \begin{Definition} Eine {\bf Boole'sche Algebra}\index{Boole'sche Algebra} ist ein Tripel $(B,\wedge,\vee)$ bestehend aus einer Menge mit zwei assoziativen kommutativen Verkn"upfungen derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Mit jeder unserer Verkn"upfungen wird $B$ ein Monoid. Man notiert $1$ das neutrale Element zu $\wedge$ und $0$ das neutrale Element zu $\vee$; \item Jede unserer beiden Verkn"upfungen ist \glqq distributiv "uber der anderen\grqq, in Formeln $a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)$ und $a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge(a\vee c)$; \item Zu jedem $a\in B$ existiert $c\in B$ mit $a\wedge c=0$ und $a\vee c=1$. Man zeigt m"uhelos, da"s dies Element $c$ durch $a$ eindeutig bestimmt ist, und notiert es $c=\neg a$ oder $c=\bar a$ . \end{enumerate} Ein {\bf Homomorphismus von Boole'schen Algebren} ist eine Abbildung, die f"ur beide Monoidstrukturen ein Homomorphismus von Monoiden ist. Gegeben Boole'sche Algebren $B,C$ notieren wir\label{Boole} $\op{Boole}(B,C)$ die Menge aller Homomorphismen von $B$ nach $C$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein typisches Beispiel einer Boole'schen Algebra erh"alt man, indem man f"ur eine beliebige Menge $X$ das Tripel $(\op{Pot}(X),\cap,\cup)$ bestehend aus ihrer Potenzmenge mit den Operationen Schnitt und Vereinigung betrachtet. In dieser Situation haben wir $1=X$ sowie $0=\emptyset$ und $\neg A=X\backslash A$ ist die Komplementmenge. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Verband}\index{Verband}\label{Verband} ist ein Tripel $(B,\wedge,\vee)$ bestehend aus einer Menge mit zwei assoziativen kommutativen Verkn"upfungen derart, da"s die {\bf Absorp\-tionsgesetze}\index{Absorptionsgesetz} $a\wedge(a\vee b)=a$ und $ a\vee(a\wedge b)=a$ gelten f"ur alle $a,b\in B$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Als "Ubung \ref{BAV} d"urfen Sie zeigen, da"s jede Boole'sche Algebra ein Verband ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Wir werden in \eref{Ubbv}{AN1} sehen, da"s eine teilgeordnete Menge, in der jede zweielementige Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat, zu einem Verband wird, wenn wir $a\vee b\pdef \op{sup}\{a,b\}$ und $a\wedge b\pdef \op{inf}\{a,b\}$ setzen, und da"s wir so genau alle Verb"ande erhalten. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige f"ur jedes Element $a$ einer Boole'schen Algebra die Identit"aten $a\wedge 0=0$ und $a\vee 1=1$. Hinweis: Man gehe von $1=a\vee(\bar a\wedge 1)$ aus und verwende Distributivit"at.\label{tzu} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede Boole'sche Algebra ein Verband ist.\label{BAV} Hinweis: Man gehe von $(b\wedge 0)\vee a=a$ nach \ref{tzu} aus und verwende die Distributivit"at. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur jedes Element $a$ eines Verbandes $a\wedge a=a$ und $a\vee a=a$. Hinweis: Absorptionsgesetze mit $b=a\wedge a$ oder $b=a\vee a$. \end{Ubung} \newpage \section{Zur Darstellung von Mathematik*} \subsection{Herkunft einiger Symbole} \begin{Bemerkungl} Ich habe versucht, etwas "uber die Herkunft einiger mathematischer Symbole in Erfahrung zu bringen, die schon aus der Schule selbstverst"andlich sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Pluszeichen $+$ ist wohl ein Auschnitt aus dem Symbol \&, das hinwiederum enstanden ist durch Zusammenziehen der beiden Buchstaben im W"ortchen \glqq et\grqq, lateinisch f"ur \glqq und\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Dezimaldarstellung der nat"urlichen Zahlen kam Mitte des vorigen Jahrtausends aus Indien "uber die Araber nach Italien. Bis dahin rechnete man in Europa in r"omischer Notation. Sie m"ussen nur versuchen, in dieser Notation zwei gr"o"sere Zahlen zu multiplizieren, um zu ermessen, welchen wissenschaftlichen und auch wirtschaftlichen Fortschritt der "Ubergang zur Dezimaldarstellung bedeutete. Das Beispiel der Dezimaldarstellung zeigt in meinen Augen auch, wie entscheidend das sorgf"altige Einbeziehen trivialer Spezialf"alle, manchmal als \glqq Theorie der leeren Menge\grqq\ verspottet, f"ur die Eleganz der Darstellung mathematischer Sachverhalte sein kann: Sie wurde ja eben dadurch erst erm"oglicht, da"s man ein eigenes Symbol f"ur \glqq gar nichts\grqq\ erfand! Ich denke, da"s der Aufbau eines effizienten Notationssystems, obwohl er nat"urlich nicht denselben Stellenwert einnehmen kann wie die Entwicklung mathematischer Inhalte, dennoch in der Lehre ein wichtiges Ziel sein mu"s. In diesem Text habe ich mir die gr"o"ste M"uhe gegeben, unter den gebr"auchlichen Notationen diejenigen auszuw"ahlen, die mir am sinnvollsten schienen, und sie soweit wie m"oglich aufzuschl"usseln. Wo es mir sinnvoll schien, habe ich auch nicht gez"ogert, neue Notationen einzuf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Wort von der \glqq Theorie der leeren Menge\grqq\ scheint auf Carl Ludwig Siegel zur"uckzugehen, der %in Bezug auf Bourbaki einmal gesagt haben soll: \glqq Ich habe Angst, dass die Mathematik vor dem Ende des Jahrhunderts zugrunde geht, wenn dem Trend nach sinnloser Abstraktion -- die Theorie der leeren Menge, wie ich es nenne -- nicht Einhalt geboten wird\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Herkunft der logischen Symbole $\exists$ und $\forall$ als umgedrehte E und A haben wir bereits in \ref{abk} erw"ahnt. Sie wurden von Cantor in seiner Mengenlehre zuerst verwendet. Die Symbole $\DR,\DQ,\DN,\DZ$ wurden fr"uher als fette Buchstaben gedruckt und zun"achst nur beim Tafelanschrieb in der hier gegebenen Gestalt wiedergegeben, da man fetten Druck an der Tafel nicht gut darstellen kann. \end{Bemerkungl} \subsection{Grunds"atzliches zur Formulierung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Redundanz}] Es scheint mir wichtig, sich beim Schreiben "uber Mathematik immer vor Augen zu halten, da"s die mathematische Terminologie und Formelsprache sehr wenig Redundanz aufweisen. Auch kleinste Fehler oder Ungenauigkeiten k"onnen dadurch schon zu den gr"o"sten Mi"sverst"andnissen f"uhren. Ich pl"adiere deshalb daf"ur, die Redundanz k"unstlich zu erh"ohen und nach M"oglichkeit alles dreimal zu sagen: Einmal in mathematischer Terminologie, einmal in Formeln, und dann noch einmal in weniger formellen Worten und mit Bildern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Versprachlichung}] Ich halte es f"ur ebenso wichtig wie delikat, den mathematischen Inhalten griffige Bezeichnungen zu geben. Wir wollen uns ja auch mit anderen Mathematikern unterhalten k"onnen, die nicht dasselbe Buch gelesen haben. Sogar dann, wenn ich nur mit mir selbst und einem einzigen Buch besch"aftigt bin und bei einem Beweis, den ich gerade verstehen will, ganz pr"azise \glqq Theorem 4.2\grqq\ zitiert wird, st"ort es mich: Ich mu"s bl"attern, bin abgelenkt und mein Verstehen wird gebremst. Dar"uber hinaus kann ich mir Dinge viel besser merken, die griffige Bezeichnungen haben. Diese Bezeichnungen wirken wie Garderobenhaken im Kopf, an denen man Inhalte aufh"angen und wiederfinden kann. Delikat ist, da"s die Wahl einer Bezeichnung oft auch eine politische und historische Dimension hat. Delikat ist weiter, da"s bei vielen "ublichen Bezeichnungen verschiedene Varianten f"ur ihre genaue Bedeutung im Umlauf sind. Ich versuche beides nach bestem Wissen und Gewissen offenzulegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Generalvoraussetzungen}] Ich selber lese keineswegs immer alles von vorne bis hinten durch und merke mir das bereits Gelesene. Vielmehr suche oft, um nicht zu sagen meist, nur gezielt spezielle Resultate, und lese dazu eher diagonal. Ich habe es deshalbnach Kr"aften vermieden, Generalvoraussetzungen einzustreuen, von der Art \glqq von nun an bis zum Ende des Abschnitts sind alle unsere topologischen R"aume Hausdorff\grqq\ und dergleichen. Wenn das einmal bei speziellen Themen zu umst"andlich werden sollte, will ich strikt die Regel befolgen, da"s Generalvoraussetzungen f"ur eine Gliederungsstufe entweder direkt nach der "Uberschrift besagter Gliederungsstufe stehen m"ussen, oder aber direkt vor dem Beginn des ersten Abschnitts der n"achsttieferen Gliederungsstufe, im Anschlu"s an die Vorrede, und dann als eigener Abschnitt \glqq Generalvoraussetzungen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Definition-Satz-Beweis}] Das Schema Definition-Satz-Beweis scheint mir f"ur die Darstellung von Mathematik sehr gut geeignet und auch zum Lesen und Lernen "au"serst effektiv, wenn es richtig angewendet wird: Wenn n"amlich die S"atze so formuliert werden, da"s ihre Aussagen auch f"ur sich genommen schon sinnvoll und verst"andlich sind, sofern man die entsprechenden Definitionen parat hat. Dann kann man dieses Schema verstehen als eine Anleitung zum diagonalen Lesen. Demselben Ziel dient die Abstufung der S"atze durch die Bezeichnung als Satz, Korollar, Proposition, Lemma und dergleichen: Sie soll dem Leser zu erlauben, etwa durch Konzentration auf die S"atze eine schnelle Orientierung "uber die wesentlichen Aussagen und Resultate zu gewinnen. Diese Form ersetzt zu einem gewissen Ma"se, was man im Deutschunterricht lernt. Ich empfehle, mathematische Texte und Vortr"age nicht mit einer Gliederung zu beginnen und auch nicht mit einem Schlu"swort zu beenden, da das in Anbetracht der in der Mathematik eh "ublichen Strukturierung durch das Schema \glqq Definition-Satz-Beweis\grqq\ leicht dazu f"uhrt, da"s die strukturellen Elemente im Vergleich zum eigentlichen Inhalt unverh"altnism"a"sig viel Raum einnehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Andere nummerierte Passagen}] In diesem Text gibt es auch viele Passagen, die einfach nur nummeriert sind. Hier handelt es sich meist um kleinere Aussagen mit Beweis, die mir f"ur die \glqq gro"se Form\grqq\ Definition-Satz-Beweis zu unbedeutend oder zu offensichtlich schienen. Andere Textpassagen sind als \emph{Erg"anzung} oder \emph{Erg"anzende "Ubung} ausgewiesen: Damit ist gemeint, da"s sie im unmittelbaren Zusammenhang ohne Schaden "ubersprungen werden k"onnen, da"s sie jedoch aus dem vorhergehenden heraus verst"andlich sein sollten. Wieder andere Textpassagen sind als \emph{Vorschau} oder \emph{Weiterf"uhrende "Ubung} ausgewiesen: Damit ist gemeint, da"s sie im unmittelbaren Zusammenhang ohne Schaden "ubersprungen werden k"onnen und da"s ihr Verst"andnis Kenntnisse voraussetzt, bei denen nicht davon ausgehe, da"s sie dem Leser an der entsprechenden Stelle bereits zur Verf"ugung stehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Satzzeichen in mathematischen Texten}] Satzzeichen wie Punkt und Komma st"oren aus meiner Sicht die "Asthetik von aus dem Text herausgestellten Formeln. Ich will deshalb die Regel aufstellen und befolgen, da"s eine aus dem Text herausgestellte Formel stets mit einem nicht gedruckten Punkt dahinter zu denken ist, wenn der Text mit ihr aufh"ort oder wenn es darunter mit einem Gro"sbuchstaben weitergeht. Ich werde den Fall vermeiden, da"s hinter eine aus dem Text herausgestellte Formel nach den Regeln der Grammatik ein Komma geh"oren m"u"ste. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigennamen in mathematischen Texten}] Ich "ubernehme aus dem Englischen den Apostroph bei Eigennamen und schreibe also zum Beispiel Zorn'sches Lemma. In der deutschen Literatur sind stattdessen Kapit"alchen "ublich, wie etwa {\sc Zorn}sches Lemma, aber diese Hervorhebung im Schriftbild scheint mir ungeb"uhrlich viel Aufmerksamkeit zu binden. \end{Bemerkungl} \subsection{Sprache und Mathematik} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt habe ich gesammelt, was mir beim Erkl"aren von Mathematik und Schreiben "uber Mathematik besonders schwer f"allt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Umgangssprache versus mathematische Fachsprache}] Die mathematische Terminologie widmet freim"utig Worte der Umgangssprache um und gibt ihnen pr"azise mathematische Bedeutungen, die mal mehr und mal weniger zur Ursprungsbedeutung verwandt sind. Man denke zum Beispiel an die Worte Menge, Abbildung, Gruppe, Ring, K"orper. Mit dem Adjektiv {\bf schmutzig}\index{schmutzig!f"ur umgangssprachlich} betone ich, da"s ein Wort umgangssprachlich zu verstehen ist und nicht als ein Begriff der allein auf der Mengenlehre basierenden aseptisch steril perfekten Ideenwelt der reinen Mathematik. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zu dem, was in der Schule im Deutschunterricht gelernt wird, ist Wortwiederholung beim mathematischen Schreiben und Reden richtig und wichtig. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterung oder Zuspitzung durch Erg"anzungen}] Bereits erkl"arte Begriffe werden in der mathematischen Fachsprache durch Erg"anzungen mal spezifiziert, mal abgeschw"acht, und manchmal sogar beides zugleich. Der noch wenig informierte Leser kann nur schwer erraten, was im Einzelfall zutrifft. So ist ein Primk"orper etwas Spezielleres als ein K"orper, ein Schiefk"orper etwas Allgemeineres, und ein Erweiterungsk"orper \glqq etwas mit zus"atzlichen Daten\grqq. Ein lokal kompakter Raum ist etwas allgemeineres als ein kompakter Raum. Eine universelle "Uberlagerung ist etwas Spezielleres als eine "Uberlagerung und eine verzweigte "Uberlagerung etwas Allgemeineres, das aber nur im Spezialfall von Fl"achen "uberhaupt sinnvoll definiert ist. Ein Borelma"s ist etwas Spezielleres als ein Ma"s und ein signiertes Ma"s etwas Allgemeineres. Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist etwas Allgemeineres als eine Mannigfaltigkeit, eine glatte Mannigfaltigkeit dahingegen eine spezielle Art von Mannigfaltigkeit, und ich k"onnte noch lange so fortfahren. Das f"uhrt leicht zu Verwirrung, aber ich habe auch keine L"osung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bestimmte und unbestimmte Artikel}] Problematisch scheint mir in mathematischen Texten die Verwendung bestimmter und unbestimmter Artikel, und ich bin fast neidisch auf die russische Sprache, die diese Unterscheidung nicht kennt. Sind mathematische Strukturen \glqq eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq, wie Gruppen mit zwei Elementen oder Mengen mit einem Element, so f"allt mir die Verwendung des bestimmten Artikels leicht. H"aufig sind mathematische Strukturen jedoch nur \glqq eindeutig bis auf nicht-eindeutigen Isomorphismus\grqq: Etwa Mengen mit f"unf Elementen, Gruppen mit drei Elementen oder Vektorr"aume gegebener Dimension "uber einem vorgegebenen K"oper. Soll man dann den bestimmten oder den unbestimmten Artikel verwenden? Hier ist die Terminologie uneinheitlich: Man sagt "ublicherweise \glqq ein f"unfdimensionaler reeller Vektorraum, eine abz"ahlbar unendliche Menge\grqq\ aber \glqq die euklidische Ebene, der Zerf"allungsk"orper, der algebraische Abschlu"s, die universelle "Uberlagerung\grqq, ohne da"s ich daf"ur triftige Gr"unde ausmachen k"onnte. Vielleicht w"are es eine gute Idee, f"ur nur bis auf nichteindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte mathematische Objekte die bestimmten Artikel mit einer \glqq abschw"achenden Schlange\grqq\ in der Form \glqq d\~{e}r, d\~{\i}e, d\~{a}s\grqq\ zu verwenden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz in Definitionen}] Ich pl"adiere daf"ur, in mathematischen Texten die Formulierungen \glqq Es existiert\grqq\ und \glqq Es gibt\grqq\ ausschlie"slich in ihrer Bedeutung als Quantoren zu verwenden, da es sonst leicht zu Mi"sverst"andnissen kommen kann. Insbesondere pl"adiere ich sehr daf"ur, diese Formulierungen zu vermeiden, wenn es in Definitionen um die Vorstellung der \glqq Ausgangsdaten\grqq\ geht. Die folgenden Beispiele m"ogen das illustrieren. \begin{description} \item[Mi"sverst"andlich:] Eine Gruppe ist eine Menge, auf der es eine assoziative Verkn"upfung gibt derart, da"s es ein neutrales Element gibt und zu jedem Element ein Inverses. \item[Klarer:] Eine Gruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verkn"upfung derart, da"s es ein neutrales Element gibt und zu jedem Element ein Inverses. \item[Pedantisch:] Eine Gruppe ist ein Paar bestehend aus einer Menge und einer assoziativen Verkn"upfung auf dieser Menge derart, da"s es ein neutrales Element gibt und zu jedem Element ein Inverses. \end{description} In der Tat gibt es ja auf jeder nichtleeren Menge eine assoziative Verkn"upfung, die sie zu einer Gruppe macht. Eine Gruppe ist aber keineswegs eine Menge mit gewissen Eigenschaften, sondern eine Menge mit Verkn"upfung mit gewissen Eigenschaften. Das Ausgangsdatum bei dieser Definition ist in anderen Worten und ganz pedantisch formuliert ein Paar bestehend aus einer Menge zusammen mit mit einer Verkn"upfung auf dieser Menge. Ich gebe zu, da"s man auch die \glqq klare\grqq\ Definition falsch verstehen k"onnte, aber an dieser Stelle w"urde ich dieser Formulierung wegen ihrer K"urze doch der Vorzug gegen"uber der \glqq pedantischen\grqq\ Formulierung einr"aumen. \begin{description} \item[Mi"sverst"andlich:] Ein K"orper hei"st angeordnet, wenn es auf ihm eine Anordnung gibt derart, da"s\dots \item[Klarer:] Ein angeordneter K"orper ist ein K"orper mit einer Anordnung derart, da"s\dots \item[Pedantisch:] Ein angeordneter K"orper ist ein Paar bestehend aus einem K"orper mit einer Anordnung auf der ihm zugrundeliegenden Menge derart, da"s\dots \end{description} Zur Verdeutlichung zum Abschlu"s noch ein Beispiel, in dem die mi"sverst"andliche Formulierung die korrekte Formulierung einer anderen Eigenschaft ist: \begin{description} \item[Mi"sverst"andlich:] Eine Mannigfaltigkeit hei"st orientiert, wenn es auf ihr eine Orientierung gibt. \item[Klarer:] Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Orientierung. \item[Pedantisch:] Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist ein Paar bestehend aus einer Mannigfaltigkeit mit einer Orientierung auf unserer Mannigfaltigkeit. \end{description} Hier ist die erste Formulierung in der Tat bei der "ublichen Interpretation von \glqq es gibt\grqq\ als Quantor die Definition einer orientierbaren, nicht die einer orientierten Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kampf dem Index}] Beim Schreiben von Mathematik in Formeln hat man oft mit der Schwierigkeit zu k"ampfen, da"s die wesentliche Information sich in Indizes verstecken will und die besonders wesentliche Information in Subindizes. Dem gilt es bewu"st entgegenzuarbeiten. \end{Bemerkungl} \subsection{Terminologisches zur leeren Menge*} \begin{Bemerkungw} Ich finde es oft schwierig, die leere Menge terminologisch korrekt einzubinden. Das ist aber ebenso wichtig wie der Beckenrand beim Schwimmbad, den man ja auch nicht wegl"a"st, obwohl man nachher nur im Wasser schwimmen will. Ich finde auch, da"s das Bourbaki, den ich an sich sehr sch"atze, oft mi"slungen ist. Meine Konventionen sind wie folgt: \begin{enumerate} \item Die leere Menge ist nach \eref{Inter}{AN1} ein Intervall. So sind beliebige Schnitte von Intervallen wieder Intervalle; \item Die leere Menge ist nach \eref{DeKK}{LA1} konvex. So sind beliebige Schnitte konvexer Mengen wieder konvex; \item Die leere Menge ist \emph{nicht} zusammenh"angend. Die Zusammenhangskomponenten eines topologischen Raums sind seine maximalen zusammenh"angenden Teilmengen und die leere Menge hat gar keine Zusammenhangskomponente. So hat f"ur einen topologischen Raum mit nur endlich vielen Zusammenhangskomponenten der Vektorraum der stetigen Abbildungen in den K"orper mit zwei Elementen als Dimension gerade die Zahl der Zusammenhangskomponenten. Die zusammenh"angenden Teilmengen von $\DR$ sind damit genau die \emph{nichtleeren} Intervalle und nur jede \emph{nichtleere} konvexe Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums ist zusammenh"angend; \item Die Wirkung einer Gruppe $G$ auf der leeren Menge ist nach \eref{DGWb}{LA2} \emph{nicht} transitiv. Damit l"a"st sich jede $G$-Menge bis auf Reihenfolge und Isomorphismus eindeutig als eine disjunkte Vereinigung von transitiven $G$-Mengen darstellen; \item Die leere Menge ist nach \eref{daff}{LA1} \emph{kein} affiner Raum. Sie l"a"st ja nach der vorhergehenden Konvention auch keine transitive Operation eines Vektorraums zu. Da"s damit der Schnitt zweier affiner Teilr"aume nicht notwendig wieder ein affiner Teilraum ist, nehme ich als kleineres "Ubel in Kauf; \item Eine Abbildung von der leeren Menge in eine beliebige weitere Menge ist konstant, aber nicht einwertig, vergleiche \ref{einw}; \end{enumerate} \end{Bemerkungw} \newpage \section{Philosophisches und Didaktisches} In diesen Abschnitten habe ich einige Gedanken zur Mathematik und zum Unterrichten von Mathematik gesammelt, die nicht zum logisch koh"arenten Aufbau des Stoffes selber beitragen und teilweise auch stark pers"onlich gef"arbt sind. \subsection{Was ist Mathematik?} \begin{Bemerkungl} Das Wort \glqq Mathematik\grqq\ kommt vom griechischen \glqq $\mu \alpha \vartheta \eta \mu \alpha \tau \iota \kappa o\varsigma$\grqq, das sich hinwiederum ableitet von \glqq $\mu\alpha\vartheta \eta \mu \alpha$\grqq\ f"ur \glqq der Lerngegenstand, die Wissenschaft\grqq\ nach dem Verb \glqq $\mu\alpha\nu \vartheta\alpha\nu\omega$\grqq\ f"ur \glqq lernen, verstehen\grqq. Das Anh"angen der Endung \glqq -$\iota\kappa o \varsigma$\grqq\ oder im Anschlu"s an einen Vokal \glqq -$\tau\iota\kappa o \varsigma$\grqq\ hat eine "ahnliche Bedeutung wie im Deutschen das Anh"angen von \glqq -ig\grqq\ oder \glqq -lich\grqq\ beziehungsweise \glqq -tlich\grqq, etwa wie in Mut $\mapsto$ mutig, Haar $\mapsto$ haarig, wohnen $\mapsto$ wohnlich oder eigen $\mapsto$ eigentlich. In diesem Sinne w"are die w"ortliche "Ubersetzung von \glqq $\mu\alpha\vartheta\eta \mu \alpha\tau \iota\kappa o \varsigma$\grqq\ also \glqq das Lernige\grqq\ oder \glqq das Verst"andliche\grqq. Platon verwendet den Begriff \glqq $\tau o$ $ \mu \alpha \vartheta \eta\mu\alpha \tau \iota\kappa o \nu$\grqq\ im Sinne von \glqq der Forschungsgegenstand\grqq\ in Sophista 219c:2 und Timaeus 88c:1. In der hellenistischen Zeit verengte sich die Bedeutung ein erstes Mal und bezeichnete etwas, was wir heute eher als \glqq Mathematik und Naturwissenschaften\grqq\ bezeichnen w"urden. Erst in neuerer Zeit verengte sich die Bedeutung weiter auf das, was wir heute unter Mathematik verstehen \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich w"urde die heutige Mathematik in einem ersten Ansatz beschreiben als die \glqq Wissenschaft von den einfachsten Begriffen\grqq: Wieviel einfacher sind doch Zahlen und ihre Rechenregeln, Geraden und Ebenen, selbst Abbildungen zwischen Mengen im Vergleich zu Pflanzen und Menschen, Hass und Liebe, ja selbst Luft und Wasser! Diese einfachsten Begriffe m"ussen nun jedoch mit der gr"o"sten Vorsicht und Pr"azision gehandhabt werden, damit uns unsere an den Umgang mit Pflanzen und Menschen, Hass und Liebe, Luft und Wasser gew"ohnte Intelligenz nicht in die Irre f"uhrt. Die eigentliche Mathematik besteht dann darin, diese einfachsten Begriffe zu gr"o"seren Theorien zu kombinieren, und die eigentlichen Einsichten entstehen auch erst in dieser Gesamtschau. Ich sehe darin eine Affinit"at zur Musik, in der man ja auch von einfachsten Ger"auschen, in der Klassik etwa von den T"onen der Tonleiter, ausgeht und diese einfachsten Grundbausteine zu Kompositionen kombiniert, deren Sinnhaftigkeit sich erst in der Gesamtschau erschlie"st. Auf einen Gegensatz zur Musik will ich im n"achsten Absatz noch ausf"uhrlicher zu sprechen kommen: W"ahrend auch die sch"onste Musik meines Erachtens vom Komponisten nicht entdeckt sondern vielmehr erschaffen wird, scheint es sich mir bei der Mathematik gerade umgekehrt zu verhalten. Sicher gibt es sozusagen \glqq komponierte\grqq\ mathematische Artikel, aber die mathematischen Inhalte selbst lassen sich von Menschenhand nicht formen und wollen entdeckt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In diesem Zusammenhang will ich auf eine gerne diskutierte Frage eingehen: Wird Mathematik eigentlich entdeckt oder entwickelt? Aus meiner eigenen Erfahrung mit dieser widerspenstigen Materie und auch der Erfahrung beim Erkl"aren von Beweisen scheint es mir offensichtlich, da"s mathematische Inhalte \glqq objektiv da sind\grqq, also unabh"angig vom menschlichen Subjekt existieren und entdeckt werden. Was jedoch entwickelt werden mu"s ist eine Sprache, die es uns erm"oglicht, uns "uber diese Inhalte zu verst"andigen und sie zu nutzen. Hier kam und kommt es durchaus zu parallelen Entwicklungen, man denke etwa an die beiden Notationen $\dot{x}$ und $\frac{\diff x}{\diff t}$ f"ur die Ableitung, an den Erwartungswert ${\op{E}}(X)$ einer Zufallsvariable $X$ in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der ja nichts anderes ist als das Integral $\int f$ einer Funktion $f$ in der Analysis, und nicht zuletzt an die verschiedenen Notationen f"ur die nat"urlichen Zahlen durch r"omische Buchstaben oder arabische Ziffern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bildlich gesprochen scheint mir die Mathematik wie eine weitverzweigte H"ohle, voller Wunder und wertvoller Mineralien, die wir Mathematiker einerseits erkunden und andererseits erschlie"sen. Die H"ohle selbst ist objektiv vorhanden und es gilt, immer weiter in sie vorzudringen und Neues zu entdecken und Neues wie Bekanntes nutzbar zu machen. Wo und wie dann jedoch Treppen und Wege und Lampen angebracht werden und eventuell sogar eine kleine Eisenbahn zum Transport der Mineralien, darin haben wir gro"se Freiheit und in diesem Sinne wird Mathematik auch entwickelt. Nat"urlich sind diese beiden Aufgaben eng miteinander verwoben und wie weit wir selbst vordringen k"onnen h"angt ganz wesentlich davon ab, wie weit unsere Vorl"aufer gekommen sind und wie weit sie die H"ohle bereits zug"anglich gemacht haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die im vorhergehenden dargelegte Auffassung vom Sinn und Wesen der Mathematik bezeichnet man wegen ihrer engen Verwandtschaft mit Plato's Ideenlehre auch als \glqq platonisch\grqq. Barry Mazur fordert in seinem Aufsatz \cite{BM} die Platoniker auf, zu erkl"aren, warum Beweise denn uns als Mathematikern so wichtig sein sollten, wenn es nur um das Erkennen einer unabh"angig von uns existierenden Wirklichkeit geht. Dieser Aufforderung will ich gerne nachkommen. Ich fasse Beweise auf als Beitr"age zum gro"sen Projekt, die Welt der mathematischen Inhalte dem menschlichen Verstand zug"anglich zu machen. Mir scheint es in diesem Sinne eine wichtige Aufgabe, auch f"ur bereits bewiesene Erkenntnisse m"oglichst glatte und f"ur menschliche Gehirne transparente Beweise zu finden, aufzuschreiben und "offentlich zug"anglich zu machen. Was das Beweisen angeht, gibt es auch durchaus verschiedene Ans"atze: Anschauliche Beweise aus der Schulgeometrie, etwa f"ur den Satz des Pythagoras oder andere elementargeometrische S"atze, w"aren um im Bild zu bleiben eher ein Art Wegesystem f"ur Fu"sg"anger, wohingegen sich professionelle Mathematiker seit etwa 1900 meist auf einem aus Mengenlehre aufgebauten Schienennetz bewegen, das zwar gro"se anf"angliche Investitionen erfordert, danach aber dem Verstand ein sehr schnelles, sicheres und tiefes Eindringen erm"oglicht. Allerdings f"allt es unseren durch die Bequemlichkeit dieses Zugangs verw"ohnten Studenten meist bitter schwer, dann an interessanten und noch nicht erschlossenen Stellen wieder auszusteigen und sich zu Fu"s weiter fortzubewegen oder gar selbst Schienen zu legen. Rechnergest"utzte Beweise sind f"ur mich wie eine Erkundung mit Robotern nicht in derselben Weise befriedigend wie der pers"onliche Augenschein, aber wenn man an interessante Stellen partout nicht selbst hingelangen kann, sind doch sch"one von Robotern geschossene Bilder allemal besser als gar nichts. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Mathematik wird insbesondere von Au"senstehenden oft als eine tote Wissenschaft erlebt, in der \glqq alles schon seit dreihundert Jahren bekannt sei\grqq. Dieser Eindruck mag damit zusammenh"angen, da"s Mathematik durchaus \glqq verholzt\grqq\ in dem Sinne, da"s sie einen festen Stamm an Wissen und kodifizierter Sprache ausbildet. Das aber erm"oglicht es unserer Wissenschaft auch gerade wieder, hoch hinaus zu wachsen, und damit das gelingen kann, m"ussen wir uns alle M"uhe geben, in der mathematischen Terminologie keine Sprachverwirrung einrei"sen zu lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}%um einmal ein anderes Bild zu benutzen. Beim Erlernen dieser Wissenschaft soll man, so denke ich, nach Kr"aften versuchen, sich aller seiner gedanklichen F"ahigkeiten zu bedienen. Geeignet f"ur das Durchdringen mathematischer Sachverhalte scheinen mir insbesondere die r"aumliche oder noch besser die r"aumlich-zeitliche Anschauung, das abstrakte logische Denken und das formale Umformen von Zeichenketten auf Papier. Hilfreich kann auch unsere sprachliche Intelligenz sein: Bereits kleine Kinder lernen ja das Z"ahlen, indem sie zun"achst \glqq Eins-Zwei-Drei-Vier-F"unf\grqq\ memorieren wie \glqq Abrakadabra Simsalabim\grqq, und "altere lernen "ahnlich den Satz des Pythagoras oder die binomischen Formeln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Mathematik sch"opft gro"se Kraft aus abstrakten Theorien, und nur allzuoft wollen diese ihre Herkunft verbergen und verkleiden sich als zuf"allig zusammengew"urfelte Haufen aus Daten und Axiomen. Man darf sich davon nicht in die Irre f"uhren lassen. Meist sind das vielmehr sehr sorgf"altig konstruierte und in immer neuen Versionen an zahlreichen Beispielen erprobte Maschinen, die es einem erlauben, wie in einem Flugzeug mit gro"ser Bequemlichkeit gro"se Wegstrecken zur"uckzulegen und dabei die meisten konkreten Schwierigkeiten am Boden zu ignorieren. Das alles ist jedoch nur sinnvoll, wenn auch das Starten und das Landen gelingt, und das Herrichten von Start- und Landebahnen kann auch leicht so viel Arbeit bedeuten, da"s das ganze Fliegen dadurch uninteressant wird. Bei mancher Theorie habe ich sogar den Eindruck, da"s man nur startet aber nie mehr landet, oder noch schlimmer, da"s man weder starten noch landen kann, sondern einfach nur sinnlos herumfliegt, aber das mag auch an meiner mangelnden Kenntnis der jeweiligen Theorie liegen -- ich nenne besser keine Beispiele. \end{Bemerkungl} \subsection{Didaktische Gedanken} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Warum Vorlesungen?}] Warum h"oren und halten wir in der Mathematik eigentlich Vorlesungen? In der Zeit, in der das Drucken von B"uchern noch nicht m"oglich oder zumindest schwierig und teuer war, mag es sinnvoll gewesen sein, einfach ein Buch vorzulesen, das dann in mehreren Kopien mitgeschrieben werden konnte: In Kl"ostern wurden etwa die Schriften der Antike und des Christentums lange Zeit auf diese Weise vor dem Vergessen und dem Zerfall gerettet. In der Zeit von Internet und Kopierger"aten kann es jedoch nicht mehr das Ziel einer Vorlesung sein, da"s die beteiligten Studenten Mitschriften anfertigen, aus denen sie dann den Stoff lernen: Zu viel wird in solchen Vorlesungen falsch verstanden und falsch abgeschrieben, als da"s ich nicht eher das Lernen aus B"uchern empfehlen w"urde. F"ur den andauernden Erfolg der Vorlesung als Unterrichtsform fallen mir verschiedene Gr"unde ein. \begin{enumerate} \item Der Mensch ist nicht gern allein. Es lernt sich besser gemeinsam, man kann sich in der Pause und nach der Vorlesung untereinander "uber das Gelernte und das nicht Verstandene unterhalten und auch einfach so mal treffen. Die Pause dient insbesondere nicht allein zum Pinkeln oder zum Aufrechterhalten der Konzentration, und es ist doppelt schade, wenn sie ausf"allt. \item Die Vorlesung gibt einen gewissen Rhytmus vor, in dem gelernt und nicht Gelerntes ignoriert und auf sp"ater verschoben wird. Anf"anger lernen aus B"uchern leicht so, wie ganz kleine Kinder spaziergehen: Jeder Kieselstein ist interessant und eine Pause zur ausf"uhrlichen Betrachtung wert. Ganz zu Anfang ist das ja auch richtig so, aber dann mu"s doch die Vorlesung etwas schieben, damit es auch vorangeht. \item Die Studenten m"ussen, insbesondere in der Mathematik, regelm"a"sig davon "uberzeugt werden, da"s prinzipiell durchaus verst"andlich ist, was sie da lernen sollen, da"s es sich nicht um eine Art Zauberformeln handelt, die von Generation zu Generation nur abgeschrieben werden. Sie von der Verst"andlichkeit des Stoffes zu "uberzeugen gelingt besonders gut durch das Entwickeln aus dem Kopf an der Tafel. Ein Beamer oder das Auflegen vorbereiteter Folien oder das Ablesen eines vorbereiteten Manuskripts wirken im Vergleich wesentlich weniger "uberzeugend. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Welche "Ubungen?}] Ich denke, da"s man die Mathematik nicht erlernen kann, ohne "Ubungsaufgaben zu l"osen. Allerdings sollten diese zu gro"sen Teilen viel elementarer sein als die in diesem und den folgenden Texten vorgeschlagenen "Ubungen. Diese dienen eher dazu, erg"anzenden Stoff in knapper Form zu pr"asentieren und sollen auf den "Ubungsbl"attern nur einen Teil der "Ubungen ausmachen. Insbesondere in den Grundvorlesungen m"ussen ihnen auch nicht wenig mehr algorithmische "Ubungen zur Seite gestellt werden, von der Art: L"ose dieses lineare Gleichungssystem, invertiere jene Matrix, zerlege dieses Polynom in irreduzible Faktoren und dergleichen mehr. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXGR" %%% End: