\section{Unfertiges zur Algebraischen Geometrie} \subsection{Riemann'sche Fl"achen von Otto Forster} Bei ihm sind Riemann'sche Fl"achen zusammenh"angend, er fordert aber nicht parakompakt oder abz"ahlbare Basis der Topologie. \subsection{Altes Maximalspektrum} \begin{Bemerkungl} % Der Funktor der globalen regul"aren Funktionen definiert % nach \ref{GAQK} f"ur jeden algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ eine % kontravariante "Aquivalenz zwischen der Kategorie der affinen $k$-Variet"aten % und % der Kategorie der affinen $k$-Kringe. % In diesem Abschnitt beschreiben wir explizit % einen im Sinne von \eref{qiFF}{LA2} % quasiinversen Funktor. Es gilt also, jedem affinen $k$-Kring $A$ % eine affine Variet"at zuzuordnen. % Nach \ref{NstV}.\ref{NstV3} ist % klar, da"s wir als zugrundeliegende Menge % die Menge $\op{Max}A$ aller maximalen Ideale % von $A$ nehmen k"onnen. Wir werden jedoch zun"achst mit einem beliebigen K"orper $k$ und beliebigen $k$-Kringen arbeiten und m"ussen deshalb unsere Menge sorgf"altiger konstruieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Maximalspektrum}] Sei $k$ ein K"orper. Wir ordnen jedem $k$-Kring $A$ einen ges"attigten $k$-geringten Raum $\op{Max}_kA$ zu wie folgt:\label{mSpec} Als zugrundeliegende Menge nehmen wir $$\op{Max}_kA=\{\frak{m}\in\op{Max}A\mid k\sira A/\frak{m} \text{ vermittels der nat"urlichen Abbildung}\}$$ Sicher steht $\op{Max}_kA$ in nat"urlicher Bijektion zur Menge aller Homomorphismen von $k$-Kringen $A \ra k$. Genauer liefert das Bilden des Kerns $\varphi\mapsto\op{ker}\varphi$ eine Bijektion $\op{Kring}^k(A,k)\sira \op{Max}_kA$. Das Auswerten des einem maximalen Ideal entsprechenden Homomorphismus liefert dann eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} A\times \op{Max}_k A &\ra& k\\ (a,{\frak m})&\mapsto &\langle a,{\frak m}\rangle \end{array}$$ Jedes Element $a \in A$ liefert so eine Funktion $\langle a,\;\rangle:\op{Max}_k A \ra k.$ Wir versehen $\op{Max}_k A $ mit der kleinsten Struktur eines ges"attigten $k$-geringten Raumes, f"ur die alle diese Funktionen regul"ar sind, und erhalten so einen ges"attigten $k$-geringten Raum $\op{Max}_k A $ mitsamt einem Morphismus von $k$-Kringen $$\op{can}:A\ra \cal{O}(\op{Max}_kA)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $k=\bar{k}$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $A$ von endlichem Typ "uber $k,$ so haben wir $\op{Max}_kA=\op{Max}A$ nach dem Nullstellensatz oder genauer nach \ref{HZUU}. In diesem Fall werden wir auch den eben konstruierten $k$-geringten Raum meist mit $\op{Max}A$ abk"urzen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{VoTu} Sei $k$ ein K"orper. Ist $X$ %eine Pr"avariet"at oder allgemeiner ein ges"attigter $k$-geringter Raum und $A$ ein $k$-Kring, so liefert die durch das Zur"uckholen globaler regul"arer Funktionen mitsamt unserem $\op{can}:A\ra \cal{O}(\op{Max}_kA)$ aus \ref{mSpec} erkl"arte Abbildung eine Bijektion $$\op{Ger}_k(X,\op{Max}_kA)\sira \op{Kring}^k(A,\cal{O}(X))$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} In kategorientheoretischer Terminologie ausgedr"uckt ist genauer der Funktor $\op{Max}_k$ von $ k\op{-Kring}^{\op{opp}}$ in die Kategorie der ges"attigten $k$-ge\-ring\-ten R"aume vermittels der Identifikation des Lemmas\label{VoTuu} rechtsadjungiert zu dem Funktor $\cal{O},$ der jedem ges"attigten $k$-geringten Raum den $k$-Kring seiner globalen regul"aren Funktionen zuordnet. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir konstruieren eine Abbildung in die Gegenrichtung und "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s sie invers ist zur Abbildung aus dem Lemma. Jeder Punkt $x\in X$ liefert ja eine Auswertungsabbildung $a_x: \cal{O}(X)\ra k.$ Gegeben $\varphi: A\ra \cal{O}(X)$ betrachten wir nun die Abbildung $X\ra \op{Max}_kA,$ $x\mapsto \op{ker}(a_x \circ \varphi).$ Holen wir eine von $A$ herkommende globale Funktion auf $\op{Max}_kA$ unter dieser Abbildung nach $X$ zur"uck, so erhalten wir sicher eine regul"are Funktion auf $X.$ Da aber nun nach Annahme $X$ ges"attigt ist, mu"s nach \ref{GFii} auch die zu unserer Abbildung geh"orige finale Struktur auf $\op{Max}_kA$ ges"attigt sein. Da die von $A$ herkommenden Funktionen auch f"ur diese finale Struktur regul"ar sind, ist unsere Abbildung in der Tat ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen $X\ra \op{Max}_kA.$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $ k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X$ eine affine $k$-Varie\-t"at, so\label{EqK} entspricht der Identit"at auf $\cal{O}(X)$ unter der Bijektion aus \ref{VoTu} ein Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen $$X\sira \op{Max}\cal{O}(X)$$ Das folgt im Rahmen der Kategorientheorie nach \ref{EQK} unmittelbar aus der Adjunktion \ref{VoTuu} und der durch $\mathcal O$ nach \ref{GAQK} gegebenen "Aquivalenz, man kann es aber auch unschwer direkt einsehen. Im Sinne von \ref{EQK} ist insbesondere $\op{Max}$ mitsamt der Adjunktion \ref{VoTuu} quasiinvers zur schr"ag nach oben weisenden "Aquivalenz von Kategorien $\cal{O}$ aus \ref{GAQK}. Auf den zugrundeliegenden Mengen ist unser Isomorphismus $X\sira \op{Max}\cal{O}(X)$ im "ubrigen genau unsere Bijektion aus \ref{NstV}.\ref{NstV3}, wie der Leser zur "Ubung selbst zeigen mag. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Ist $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen und $A$ ein $k$-Kring von endlichem Typ, so ist $\op{Max} A $ mit der eben erkl"arten Struktur eines $k$-geringten Raums eine affine $k$-Variet"at und die offensichtliche Abbildung definiert eine Surjektion $A\sra \cal{O}(\op{Max}A),$ deren Kern genau das Nilradikal, d.h.\ das Ideal $\sqrt{0}$ aller nilpotenten Elemente von $A$ ist. Man zeige auch, da"s das Nilradikal von $A$ mit dem Schnitt aller maximalen Ideale "ubereinstimmt. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Ist $I\subset k[T_1,\dots,T_n]$ ein Ideal, so ist die Abbildung, die jedem Punkt sein Verschwindungsideal zuordnet, ein Isomorphismus von $k$-geringten R"aumen $$\cal Z(I)\sira \op{Max} (k[T_1,\dots,T_n]/I)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OI} $(k=\bar k)$. Ist $A$ ein $k$-Kring von endlichem Typ und $I \subset A$ ein Ideal, so ist die Abbildung, die jedem Ideal sein Urbild unter der kanonischen Projektion zuordnet, eine abgeschlossene Einbettung von $k$-geringten R"aumen $$\op{Max} (A/I) \hra \op{Max} A$$ Ihr Bild ist genau die Menge der Punkte aus $\op{Max} A,$ an denen alle $\langle f,\;\rangle$ mit $f\in I$ verschwinden. \end{Ubung} \subsection{Wohin?} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Satz von Belyi\index{Belyi, Satz von}}] \nichtfinal{Sp"ater, hier gibt's nur Pr"avariet"atenschemata!} Gegeben eine Erweiterung $K/k$ von algebraisch abgeschlossenen K"orpern macht nach \ref{TiK} das {\bf Erweitern der Skalare} $\otimes_kK$ aus jedem $k$-Variet"atenschema ein $K$-Variet"atenschema. Ein zumindest mich verbl"uffender Satz von Belyi besagt, da"s eine irreduzible glatte projektive Kurve $X$ "uber $\DC$ genau dann durch Skalarerweiterung von einer irreduziblen glatten projektiven Kurve "uber $\bar{\DQ}$ herkommt, wenn es einen dominanten Morphismus $X\ra\mathbb P_\DC^1$ gibt, bei dem an h"ochstens drei abgeschlossenen Punkten von $\mathbb P_\DC^1$ die Kardinalit"at der Faser kleiner ist als der Grad $[\mathcal M(X):\mathcal M(\mathbb P_\DC^1)]$ der K"orpererweiterung der Funktionenk"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sei $A$ ein lokaler Integrit"atsbereich mit maximalem Ideal $\frak{m}$ und Restklassenk"orper $k$ und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. Sei $I \subset A$ ein $\frak{m}$-prim"ares Ideal endlicher Kodimension. Ich w"u"ste gerne, ob gilt $${l}(M/IM)\geq {l}(A /I) \; (\op{dim}_{\op{Quot} A} (\op{Quot A}) \otimes_{A} M)$$ Selbst im Fall eines Potenzreihenrings $A=\DC\llbracket X_1,\ldots,X_n\rrbracket,$ in dem man statt der L"ange $l$ einfach $\dim_\DC$ schreiben kann, kenne ich die Antwort nicht. \end{Bemerkunge} \begin{Definition}$(k=\bar k)$. \emph{Sp"ater!} Seien $X,Y$ Pr"avariet"aten "uber $k$.\index{dominant!rationaler Morphismus} Ein rationaler Morphismus $f:X \dashrightarrow Y$ hei"st {\bf dominant} genau dann, wenn f"ur einen Repr"asentanten $(U,f_U)$ das Bild $f_U(U)$ dicht liegt in $Y$. \end{Definition} \subsection{Normalisierung} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k = \bar k$ und eine irreduzible Pr"avariet"at $X$ "uber $k$ wollen wir ihre \glqq Normalisierung\grqq\ erkl"aren, indem wir eine offene affine "Uberdeckung \begin{equation*} X = \bigcup_{i \in I} U_i \end{equation*} durch nichtleere Teilmengen nehmen, von den zugeh"origen Ringen regul"arer Funktionen $\mathcal O (U_i)$ jeweils die ganzen Abschl"usse $\mathcal O (U_i)^\sim$ bilden, und die aufgrund der Endlichkeit ganzer Abschl"usse \ref{EgaA} zugeh"origen Variet"aten $\op{Max} \mathcal O (U_i)^\sim$ wieder zusammenkleben. Um die Frage der Abh"angigkeit unserer Konstruktion von der Wahl der affinen "Uberdeckung ins Leere laufen zu lassen, nehmen wir einfach die Gesamtheit $\mathcal U$ aller nicht leeren offenen affinen Teilmengen von $X$ und beginnen unsere Konstruktion mit dem $k$-geringten Raum \begin{equation*} \coprod_{U \in \mathcal U} \op{Max} \mathcal O (U)^\sim \end{equation*} Auf der zugrundeliegenden Menge erkl"aren wir eine "Aquivalenzrelation $\sim$ durch die Vorschrift, da"s gelten m"oge $\mathfrak m_U \sim \mathfrak m_V$ f"ur $U, V \in \mathcal U, \mathfrak m_U \in \op{Max} \mathcal O (U)^\sim$ und $\mathfrak m_V \in \op{Max} \mathcal O (V)^\sim$ genau dann, wenn es eine offene affine Untervariet"at $S \co U \cap V$ nebst einem Punkt $\mathfrak m_{UV} \in \op{Max} \mathcal O (S)^\sim$ gibt derart, da"s unter den von den Restriktionen $\mathcal O (U) \hookrightarrow \mathcal O (S)$ und $\mathcal O (V) \hookrightarrow \mathcal O (S)$ induzierten Abbildungen $\op{Max} \mathcal O (S)^\sim \rightarrow \op{Max} \mathcal O (U)^\sim$ und $\op{Max} \mathcal O (S)^\sim \rightarrow \op{Max} \mathcal O (V)^\sim$ gilt $\mathfrak m_{UV} \mapsto \mathfrak m_U$ beziehungsweise $\mathfrak m_{UV} \mapsto \mathfrak m_V$. Unsere Relation ist eine "Aquivalenzrelation, denn aus $\mathfrak m_U \sim \mathfrak m_V$ vermittels $(\mathfrak m_{UV}, S)$ und $\mathfrak m_V \sim \mathfrak m_W$ vermittels $(\mathfrak m_{VW}, T)$ folgt, da"s $T \cap S \co U \cap V \cap W$ den Bildpunkt $\mathfrak m$ dieser ganzen maximalen Ideale enthalten mu"s, und ist $R \co T \cap S$ eine affine offene Umgebung von $\mathfrak m$, die wir nach \ref{kgA} verkleinern k"onnen zu einer offenen affinen Umgebung der Gestalt $R = T_t = S_s$ mit $t \in \mathcal O (T)$, $s \in \mathcal O (S)$, so finden wir nach \ref{GALL} ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \op{Max} \mathcal O (T)^\sim & \supset&\op{Max} \mathcal O (R)^\sim &\subset & \op{Max} \mathcal O (S)^\sim\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ \op{Max} \mathcal O (T) & \supset& \op{Max} \mathcal O (R) & \subset & \op{Max} \mathcal O (S)\\ {\downarrow\hspace{-1,1ex}\wr} & & {\downarrow\hspace{-1,1ex} \wr} & & {\downarrow \hspace{-1,1ex}\wr}\\ T & \supset& R & \subset & S\\ \end{array} \end{displaymath} mit kartesischen Quadraten, als da hei"st, die Einbettung identifiziert $\op{Max} \mathcal O (R)^\sim$ mit dem Urbild von $S_s$ in $\op{Max} \mathcal O (S)^\sim$, und alles weitere folgt. Jetzt erkl"aren wir die Normalisierung als den Raum der "Aquivalenzklassen \begin{equation*} X^\sim := \left( \coprod_{U \in \mathcal U} \op{Max} \mathcal O (U)^\sim\right){/ \sim} \end{equation*} mit seiner finalen Struktur als $k$-geringter Raum und dem offensichtlichen Morphismus $X^\sim \rightarrow X$. Die Kontruktion zeigt, da"s f"ur $U \co X$ affin die offensichtliche Abbildung \begin{equation*} \op{Max} \mathcal O (U)^\sim \rightarrow X^\sim \end{equation*} eine offene Einbettung von $k$-geringten R"aumen ist, und da"s f"ur eine offene affine "Uberdeckung $X = U_1 \cup \ldots \cup U_n$ auch die $\op{Max} \mathcal O (U_i)^\sim$ bereits $X^\sim$ "uberdecken. Das zeigt, da"s unser $k$-geringter Raum $X^\sim$ in der Tat eine Pr"avariet"at ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die Normalisierung einer irreduziblen Variet"at ist wieder eine irreduzible Variet"at. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $X$ unsere Variet"at und $X^\sim \rightarrow X$ ihre Normalisierung. Das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X^\sim\ar[d] \ar[r]^-{\Delta} & X^\sim \times X^\sim\ar[d]\\ X \ar[r]^-{\Delta} & X \times X } \end{displaymath} zeigt, da"s der Abschlu"s von $\Delta (X^\sim)$ in $X^\sim \times X^\sim$ "uber der abgeschlossenen Teilmenge $\Delta (X) \As X \times X$ liegen mu"s. W"are $\Delta (X^\sim)$ nicht abgeschlossen, so g"abe es $(p,q)$ im Abschlu"s mit $p \neq q$. Beide h"atten dasselbe Bild $x \in X$. Gehen wir zu einer affinen offenen Umgebung $U \co X$ von $x$ "uber, so finden wir $(p,q) \in U^\sim \times U^\sim \co {X^\sim} \times {X^\sim}$. L"age $(p,q)$ nicht im Abschlu"s von $\Delta (U^\sim)$, so k"onnte es auch nicht im Abschlu"s von $\Delta (X^\sim)$ liegen. Da $ U^\sim$ affin ist, ist jedoch $\Delta ( U^\sim)$ abgeschlossen und wir folgern $p = q$. Widerspruch! \end{proof} \begin{Ubunge}\emph{Wohin?} "Ahnlich wie in der Proposition \ref{VeKK} zwei oder mehr verschiedene Punkte verklebt werden, kann man auch \glqq einen Punkt in Richtung eines Tangentialvektors mit sich selbst verkleben\grqq, indem man analog f"ur $\partial$ einen von Null verschiedenen Tangentialvektor an der Stelle $p$ den $k$-Ringalgebra $A=\{ f\in \cal{O} (X) \mid \partial f =0\}$ betrachtet. Man zeige, da"s unter dieser Konstruktion aus der affinen Geraden die \defind{Neil'sche Parabel} $\{(x,y)\in k^2\mid x^2=y^3\}$ entsteht. Diese Quotientenabbildung ist jedoch nicht final: Sie ist ja bijektiv auf den zugrundeliegenden Mengen, ohne ein Isomorphismus von Variet"aten zu sein. \end{Ubunge} \subsection{Das ist wohl noch Schrott, zu Bewertungen.} \begin{Definition} Ein \defind{Bewertungsring} ist ein kommutativer Integrit"atsbereich $A$ mit $A \subsetneqq \op{Quot} A$ derart, da"s f"ur alle $x \in (\op{Quot} A)^\times$ gilt $\{x, x^{-1}\} \cap A \neq \emptyset$. In Worten sollen also f"ur jedes Element $x\in(\op{Quot} A)^\times$ entweder $x$ oder $x^{-1}$ oder beide bereits zu $A$ geh"oren. \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % Mir ist gerade nicht klar, warum der Fall eines K"orpers verboten werden sollte. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $K$ und eine diskrete Bewertung $v : K \twoheadrightarrow \mathbb Z \amalg \{\infty\}$ ist $A =\{x \in K \mid v (x) \geq 0\}$ ein Bewertungsring. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine {\bf angeordnete abelsche Gruppe}\index{abelsch!Gruppe, angeordnete} \index{angeordnet!abelsche Gruppe} ist eine abelsche Gruppe $\Gamma$ mit einer Anordnung $\leq$ derart, da"s aus $a \leq b$ folgt $a+ x \leq b + x$. \end{Definition} \begin{Definition} Eine \defind{Bewertung} auf einem K"orper $K$ ist ein surjektiver Monoidhomomorphismus $ v : K^\times \twoheadrightarrow \Gamma $ in eine nichttriviale angeordnete Gruppe $(\Gamma, \leq )$ derart, da"s f"ur die Erweiterung auf $K$ durch $v (0) \pdef \infty$ gilt \begin{equation*} v (x + y) \geq \op{min} (v (x), v(y)) \quad \forall x,y \in K \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur jede Bewertung $v : K \rightarrow \Gamma \amalg \{\infty\}$ auf einem K"orper $K$ ist $A =\{x \in K \mid v(x) \geq 0\}$ ein Bewertungsring mit $\op{Quot} A \sira K$. F"ur jeden Bewertungsring $A$ ist umgekehrt die abelsche Gruppe $\Gamma = (\op{Quot} A)^\times / A^\times$ angeordnet vermittels der Vorschrift $[x] \leq [y] \Leftrightarrow yx^{-1} \in A$ und die Quotientenabbildung definiert eine Bewertung auf $(\op{Quot} A)^\times$ mit Bewertungsring $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Gegeben ein echter Teilring eines K"orpers $A \subsetneq K$ existiert stets ein Bewertungsring $B \subsetneq K$ mit $A \subset B$ und $\op{Quot} B \sira K$. \end{Satz} \begin{proof} Das ist ja wohl falsch: $\DR\subset\DC!$ \end{proof} \begin{Bemerkunge} Sind $n, m \geq 1$ teilerfremd, so ist das Polynom $X^n - Y^m \in K [X,Y]$ nach \ref{irrW} irreduzibel f"ur jeden K"orper $k$. Die Abbildung $k \rightarrow k^2, t \mapsto (t^m, t^n)$ landet sicher in der Nullstellenmenge unseres Polynoms und hat darin im Fall $\langle n, m \rangle =1$ notwendig dichtes Bild. In diesem Fall haben wir also eine Einbettung \begin{equation*} \mathbb C [X, Y] / \langle X^n - Y^m \rangle \hookrightarrow \mathbb C [T] \end{equation*} mit $X \mapsto T^m, Y \mapsto T^n$, und deren Bild ist der von $T^m$ und $T^n$ in $\mathbb C [T]$ erzeugte Teilring. Dessen ganzer Abschlu"s ist nat"urlich $\mathbb C [T]$ selber. Allgemeiner haben wir "uber $k = \mathbb C$ die Zerlegung \begin{equation*} (X^n)^d - (Y^m)^d = \prod_{\zeta^d =1} (X^n - \zeta Y^m) \end{equation*} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein noetherscher Integrit"atsbereich $A$ liefert wie in \ref{??} jedes von Null verschiedene Element seines Quotientenk"orpers $f\in (\op{Quot} A)^\times$ eine Abbildung mit endlichem Tr"ager von der Menge aller Primideale der H"ohe Eins in die ganzen Zahlen. Diese Abbildungen schreiben wir als formale Linearkombinationen und unsere Vorschrift lautet in dieser Notation $$f\mapsto \sum_{h(\frak p)=1}v_{\frak p}(f)\frak p$$ Man nennt die rechte Seite auch den {\bf Divisor von $f$}.\index{Divisor} Ist $A$ ganz abgeschlossen, so sind alle Lokalisierungen $A_{\frak p}$ nach Primidealen der H"ohe Eins diskrete Bewertungsringe und $v_{\frak p}$ ist die zugeh"orige Bewertung und aus \ref{Schnitv} folgt f"ur $f\in (\op{Quot} A)^\times$ die "Aquivalenz $$f\in A \;\;\IFF \;\; v_{\frak p}\geq 0\;\forall \frak p$$ Salopp gesprochen hat in der geometrischen Situation also $f\in \op{Quot} \cal O(X)$ unter der Annahme $\cal O(X)$ ganz abgeschlossen genau dann keine Pole l"angs irgendwelcher irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen der Kodimension Eins, wenn $f$ auf ganz $X$ regul"ar ist. \end{Bemerkungl} \subsection{Traum zu Hodge-Strukturen} \begin{Bemerkungl} K"onnte man zu jeder komplexen Variet"at die \glqq Fast-L"osungen in einem $\DC^n$ \grqq\ betrachten? Und zeigen, da"s die Schnitte mit Tr"ager gar nicht von der Einbettung abh"angen und so eine Art Hodge-Struktur erben? \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich betrachte die Automorphismengruppen der abgeschnittenen Polynomringe $G\pdef \op{RAlg}_{\DC}^\times(\DC[T]/\langle T^{n+1}\rangle)$ als $\DC$-Ringalgebren. Die einzigen Ideale dieser Ringe sind die Ideale $\langle T^{i}\rangle$ f"ur $0\leq i\leq n$. Jeder Automorphismus ist festgelegt durch das Bild von $T$ und dieses kann ein beliebiges Element der Gestalt $a_1T+a_2T^2+\ldots +a_nT^n$ mit $a_1\in\DC^\times$ und $a_2,\ldots, a_n\in\DC$ sein. Die Automorphismen mit $a_1=1$ bilden das unipotente Radikal $\op{R}_{\op{u}}(G)$ und mit der Abbildung $G\sra \op{RAlg}_{\DC}^\times(\DC[T]/\langle T^{2}\rangle)\sira \DC^\times$ erhalten wir eine kurze exakte Sequenz $$\op{R}_{\op{u}}(G)\hra G\sra \DC^\times$$ Eine Spaltung wird gegeben durch $\lambda\mapsto (T\mapsto \lambda T)$ und so wird $G$ das semidirekte Produkt von $\DC^\times$ mit einer unipotenten Gruppe. Deren Liealgebra hat als Basis die $T^i\partial_T$ f"ur $1\leq i\leq n$ und wird erzeugt von $T^i\partial_T$ f"ur $i\leq 3$. Nimmt man die Weil-Restriktion von $\DC$ zu $\DR$, so sieht das sehr nach einem Quotienten der von Deligne \glqq Structures de Hodge mixtes r\'eelles\grqq\ gegebenen Beschreibung aus, nur da"s unser unipotenter Anteil halt weniger frei ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} K"onnte man den kristallinen Situs nehmen und dann halt auf diesen Punkt runterdr"ucken, so wie man sonst zum algebraischen Abschlu"s erweitert und so eine Galoisdarstellung kriegt? \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich fasse kurz zusammen, was ich bei Berthelot-Ogus gelernt habe. Wir arbeiten mit der Kategorie $\op{Schft}_{\DC}$ der $\DC$-Schemata von endlichem Typ, die also eine endliche "Uberdeckung durch offene Unterschemata besitzen, die jeweils isomorph sind zu $\op{Spec}A$ f"ur $A$ eine nilpotentfreie ringendliche $\DC$-Kringalgebra. Die Kategorie der $\DC$-Variet"aten ist die volle Unterkategorie $$\op{Var}_\DC\subset \op{Schft}_{\DC}$$ der reduzierten deratigen Schemata. Gegeben $U\in \op{Schft}_{\DC}$ versteht man unter einer {\bf infinitesimalen Verdickung} einen Morphismus $$U\ra T$$ in $\op{Schft}_{\DC}$, der eine Surjektion auf den Strukturgarben und einen Isomorphismus $U_{\op{red}}\sira T_{\op{red}}$ induziert. Jetzt betrachten wir zu $X\in \op{Schft}_{\DC}$ die Kategorie $$\op{Inf}(X/\DC)$$ aller infinitesimalen Verdickungen $U\ra T$ offener Teilmengen $U\co X$ mit Morphismen kommutativen Quadraten mit einer Inklusionsabbildung als linker Vertikale. Wir machen diese Kategorie zu einem Situs \ref{Situs}, indem wir solche Siebe "uberdeckend nennen, die nach Vergessen der infinitesimalen Verdickungen "uberdecken im Sinne einer "Uberdeckung einer offenen Teilmenge durch offene Teilmengen. \nichtfinal{Geraten!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garben auf dem infinitesimalen Situs}] Berthelot-Ogus behaupten, da"s Garben $\mathcal F$ auf dem Situs $\op{Inf}(X/\DC)$ identifiziert werden k"onnen mit Schnitten der auf unseres Situs zur"uckgezogenen Mengengarbenopkofaserung, also mit Vorgaben bestehend aus einer Menge $\mathcal F(U\ra T)$ f"ur jedes Objekt des Situs und einem Opkomorphismus $\mathcal F(\varphi):\mathcal F(U\ra T)\ra \mathcal F(V\ra S)$ f"ur jeden Morphismus $\varphi:(U\ra T)\ra (V\ra S)$ des Situs derart, da"s gilt $\mathcal F(\psi\circ \varphi)= \mathcal F(\psi)\circ \mathcal F(\varphi)$ f"ur alle entsprechend verkn"upfbaren Morphismen $\psi,\varphi$ unseres Situs und $\mathcal F(\op{id})=\op{id}$ f"ur alle Identit"atsmorphismen unseres Situs. Das habe ich noch nicht gepr"uft. \nichtfinal{Eine andere Quelle [Matt Tyler: The crystalline Site] fordert zus"atzlich, da"s $\mathcal F(\varphi)$ kartesisch sein soll, wenn der zu $\varphi$ geh"orige Morphismus $T\ra S$ eine offene Einbettung ist. Ich habe nicht gepr"uft, ob das richtiger ist.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Globale Schnitte auf dem infinitesimalen Situs}] Der infinitesimale Situs ist insofern grunds"atzlich verschieden vom Situs der offenen Teilmengen eines topologischen Raums oder auch einem typischen etalen Situs, als er f"ur gew"ohnlich kein finales Objekt besitzt. Wir definieren in diesem Fall die Menge der globalen Schnitte einer Garbe $\mathcal F$ als den Limes $$\Gamma\mathcal F\pdef \lim\mathcal F(U\ra T)$$ des durch $\mathcal F$ gegebenen K"ochermorphismus $\mathcal F: \op{Inf}(X/\DC)^{\op{opp}}\ra \op{Ens}$. Ein globaler Schnitt ist also salopp gesprochen eine \glqq Familie von zusammenpassenden Schnitten "uber allen infinitesimalen Verdickungen $(U\ra T)$\grqq. Ein Schnitt auf einer gr"o"seren Verdickung kann dabei stets zu einer kleineren Verdickung eingeschr"ankt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun betrachten wir speziell abelsche Garben auf $\op{Inf}(X/\DC)$. Man zeigt, da"s sie genug Injektive haben, und erkl"art die {\bf $q$-te kristalline Kohomologie} von $X$ mit Koeffizienten in der kristallinen abelschen Garbe $\mathcal F$ als den Wert auf $\mathcal F$ des $q$-ten Derivierten des Funktors der globalen Schnitte $$\op{H}^q_{\op{cris}}(X;\mathcal F)\pdef {\op{R}}^q\Gamma \mathcal F$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Beispiel f"ur eine abelsche kristalline Garbe ist $\mathcal O_{X/\DC}: (U\ra T)\mapsto \mathcal O_T$. Gegeben eine $\DC$-Variet"at konstruiert man Isomorphismen $$\op{H}^q_{\op{cris}}(X;\mathcal O_{X/\DC})\sira \op{H}^q(X^{\op{an}};\DC)$$ Der R"uckzug l"angs infinitesimalen Verdickungen $X\ra X'$ liefert Isomorphismen $\op{H}^q_{\op{cris}}(X';\mathcal O_{X'/\DC})\sira \op{H}^q_{\op{cris}}(X;\mathcal O_{X/\DC})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Traum zur Gewichtsfiltrierung}] Ich bin versucht, gegeben eine echte alias reduzierte $\DC$-Variet"at die abelschen kristallinen Garben $\mathcal O_{X/\DC}^{\leq n}: (U\ra T)\mapsto \mathcal O_T/(\op{ker}(\mathcal O_T\sra \mathcal O_U))^n$ zu betrachten. Im Fall $n=1$ haben wir etwa $\mathcal O_{X/\DC}^{\leq 1}: (U\ra T)\mapsto \mathcal O_U$. In ihren Limes bettet ja wohl $\mathcal O_{X/\DC}$ ein und die Kerne von $$\op{H}^q_{\op{cris}}(X;\mathcal O_{X/\DC})\ra \op{H}^q_{\op{cris}}(X;\mathcal O_{X/\DC}^{\leq n})$$ bilden eine Filtrierung. K"onnte das die Gewichtsfiltrierung sein? \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: