\section{Algebraische Variet"aten} \subsection{Einf"uhrung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Streitgespr"ach}] Ich will die Theorie allgemeiner algebraischer Variet"aten durch einen kurzen Dialog\label{MoBB} motivieren. \begin{enumerate} \item[A:] Kennst Du schon diesen super Satz von B\'ezout, nach dem zwei Polynome in zwei Ver"anderlichen genau so viele gemeinsame Nullstellen haben, wie das Produkt ihrer Grade angibt? \item[B:] Ist doch offensichtlich Quatsch. Denk nur an zwei parallele Geraden in der Ebene! \item[A:] Na ja, die schneiden sich halt im Unendlichen. \item[B:] H"attest Du auch gleich dazusagen k"onnen, was da noch alles mitzuz"ahlen ist! Dann denk halt an zwei Kreise, Nullstellenmengen von quadratischen Polynomen. Die schneiden sich doch meist gar nicht, bestenfalls in zwei und nie in vier Punkten. \item[A:] Na ja, die anderen Schnittpunkte liegen eben im Komplexen. \item[B:] Wird ja ziemlich komplex. Eine Ausrede nach der anderen. Dann denk eben an den Schnitt der Standardparabel mit der $x$-Achse. \item[A:] Der mu"s nat"urlich doppelt gez"ahlt werden! \item[B:] Argh! Nat"urlich, selbstverst"andlich. Und was w"are, wenn wir schlicht zweimal dasselbe Polynom in zwei Ver"anderlichen nehmen? \item[A:] Oups, ich verga"s, teilerfremd m"ussen die beiden Polynome schon sein. Aber dann stimmt es auch wirklich! \item[B:] Ich glaub vorerst gar nichts mehr. Jetzt erkl"ar mir erst mal ganz genau, was Du mit \glqq gemeinsamen Nullstellen im Unendlichen\grqq\ meinst und mit welcher \glqq Vielfachheit\grqq\ eine vorgegebene gemeinsame Nullstelle denn nun gez"ahlt werden soll, dann sehen wir weiter. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun, dieses \glqq ganz genaue Erkl"aren\grqq\ wird ein Weilchen dauern, weil ich es auch wieder nicht minimalistisch machen will. Vielmehr erkl"are ich zun"achst ganz allgemein abstrakte algebraische Variet"aten als spezielle $k$-geringte R"aume. Dann wird diskutiert, inwiefern f"ur $k=\bar k$ unsere algebraischen Teilmengen von $k^n$ oder auch unsere naiven affinen Variet"aten in diesem Sinne eine nat"urliche Struktur als algebraische Variet"aten tragen, und inwiefern dasselbe auch f"ur die projektiven R"aume $\DP^n k$ aus \eref{PrIf}{EL} gilt. In diesem Rahmen schlie"slich wird das \glqq ganz genaue Erkl"aren\grqq\ dann leicht von der Hand gehen, vergleiche \ref{Bezout}. \end{Bemerkungl} \subsection{Geringte R"aume}\label{kGerA} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring. Unter einer {\bf $k$-Ringalgebra}\index{Ringalgebra!"uber Kring} verstehen wir ein Paar $(R,\varphi)$ bestehend aus einem Ring $R$ und einem Ringhomomorphismus $\varphi: k\ra R,$ dessen Bild im Zentrum von $R$ liegt und der meist vom Leser erraten werden mu"s. Von einer $k$-Teilringalgebra fordern wir, da"s sie das Bild dieses ausgezeichneten Ringhomomorphismus umfassen soll. In \eref{RAlg}{LA2} hatten wir derartige Strukturen im Fall eines K"orpers $k$ bereits kennengelernt. \end{Definition} \begin{Definition}\label{VKBeA} Sei $k$ ein Kring. Ein {\bf $k$-geringter Raum}\index{geringter Raum@$k$-geringter Raum!durch Funktionen} $X=(X,\cal{O})$ ist ein topologischer Raum $X$ mitsamt einer Vorschrift $\cal{O},$ die jeder offenen Teilmenge $U \co X$ eine $k$-Teilringalgebra $\cal{O} (U) \subset \op{Ens} (U,k)$ in der $k$-Ringalgebra aller Abbildungen von $U$ nach $k$ zuordnet, deren Elemente wir die {\bf strukturierenden Funktionen auf}\index{strukturierend!Funktion} $U$\index{Funktion!strukturierende} nennen und von denen wir fordern: \begin{quote} Ist $\mathcal U$ ein System offener Teilmengen von $X$ und $V \pdef \bigcup_{U\in \mathcal U}U$ seine Vereinigung, so ist eine Funktion $f: V \ra k$ strukturierend genau dann, wenn ihre Restriktionen auf alle $U\in\mathcal U$ strukturierend sind. \end{quote} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unter anderem impliziert unsere Definition, da"s alle konstanten Funktionen strukturierend sind, da"s also f"ur jedes $U\co X$ die konstanten Abbildungen von $U$ nach $k$ in $\cal{O} (U)$ liegen: Eine Teilringalgebra mu"s n"amlich nach unseren Definitionen stets das Einselement der urspr"unglichen Ringalgebra enthalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Im Zusammenhang mit der Definition von \glqq Schemata\grqq\ und \glqq Supermannigfaltigkeiten\grqq\ wird eine noch allgemeinere Definition des Konzepts eines geringten Raums ben"otigt. Wenn wir betonen wollen, da"s wir den hier erkl"arten einfacheren Begriff meinen, reden wir genauer von einem {\bf durch Funktionen $k$-geringten Raum}. In der Sprache der Garbentheorie, die ich hier noch vermeiden will, ist $\cal{O}$ eine \glqq $k$-Ringalgebren-Untergarbe der $k$-Ringalge\-bren-Garbe aller $k$-wertigen Funktionen auf $X$\grqq. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Mannigfaltigkeiten als $\DR$-geringte R"aume}] Ein typisches Beispiel sind die \glqq Mannigfaltigkeiten\grqq,\label{BspRA} die wir in \eref{BspM}{ML} definiert haben als gewisse $\DR$-geringte R"aume $X$, bei denen wir als strukturierende Funktionen auf einer offenen Teilmenge $U\co X$ alle \glqq glatten\grqq\ Funktionen nehmen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine Variet"aten als $k$-geringte R"aume}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und eine naive affine $k$-Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ erhalten wir einen $k$-geringten Raum $(X,\mathcal O_X)$, indem wir\label{afvar} $X$ mit seiner Zariskitopologie versehen und f"ur $U\co X$ unsere regul"aren Funktionen aus \ref{lokrN} als strukturierende Funktionen $U\ra k$ nehmen. Die Menge dieser Funktionen hatten wir bereits in \ref{lokrN} mit $\mathcal O_X(U)$ bezeichnet. Die so aus naiven affinen Variet"aten entstehenden $k$-geringten R"aume nennen wir {\bf affine Variet"aten}.\index{affin!Variet"at}\index{Variet"at!affine} Eine keineswegs triviale Aussage war Lemma \ref{vKLa}, nach dem in dieser Situation gilt $\mathcal O_X(X)=\mathcal O(X)$ und allgemeiner $\mathcal O_X(X_h)=\mathcal O(X_h)$ f"ur alle $h\in \mathcal O(X)$. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{DkrRA} Seien $k$ ein Kring und $(X,\cal{O}_{X})$ sowie $(Y,\cal{O}_{Y})$ zwei $k$-geringte R"aume. Eine Abbildung $\varphi : X \ra Y$ hei"st ein \defnoind{Morphismus von $k$-geringten R"aumen}\index{Morphismus!von geringten R"aumen}, wenn sie stetig ist und wenn das Davorschalten unserer Abbildung strukturierende Funktionen zu strukturierenden Funktionen macht, wenn also in Formeln aus $U \co Y$ und $f \in \cal{O}_{Y} (U)$ folgt $f\circ \varphi \in \cal{O}_{X} (\varphi^{-1}(U))$. Die Kategorie der $k$-geringten, genauer der durch Funktionen $k$-geringten R"aume notieren wir\index{Gerf@$\op{Gerf}_k$ Kategorie $k$-geringter R"aume}\label{kGer} $$\op{Gerf}_k$$ \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{MGerA} Die Morphismen $\DR$-geringter R"aume im Fall von Mannigfaltigkeiten sind genau alle glatten Abbildungen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Morphismen $k$-geringter R"aume im Fall von affinen $k$-Varie\-t"a\-ten sind genau alle Morphismen von naiven affinen Variet"aten im Sinne von \ref{nAV}. Es ist deshalb im weiteren nicht so wichtig, zwischen naiven affinen Variet"aten im Sinne von speziellen $k$-geringten Mengen und affinen Variet"aten im Sinne von speziellen $k$-geringten R"aumen zu unterscheiden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitt von Strukturen als $k$-geringter Raum}] Sind auf ein und derselben Menge $X$ mehrere Strukturen als $k$-geringter\label{SSKGA} Raum gegeben, so bilden wir ihren Schnitt, indem wir diejenigen Mengen offen nennen, die in jeder unserer Strukturen offen sind, und diejenigen Funktion strukturierend, die in jeder unserer Strukturen strukturierend sind. Dieser Schnitt ist dann offensichtlich auch eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $X.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich von Strukturen als $k$-geringter Raum}] Gegeben zwei Strukturen als $k$-geringter\label{gggRA} Raum auf derselben Menge $X$ nennen wir die eine \defnoind{gr"o"sergleich}\index{gr"o"sergleich!Struktur als $k$-geringter Raum} als die andere genau dann, wenn der Schnitt der beiden die andere Struktur ist. Salopp gesprochen sind also gr"o"sere Strukturen solche \glqq mit mehr offenen Mengen oder mehr strukturierenden Funktionen oder beidem\grqq. Auf diese Weise erhalten wir eine Teilordnung auf der Menge aller Strukturen als $k$-geringter Raum auf einer vorgegebenen Menge $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Familie $(\varphi_{i} : X_{i} \ra Y)_{i\in I}$ von Morphismen $k$-geringter R\"{a}ume hei"st {\bf gesamthaft final}, wenn f"ur jeden weiteren $k$-geringten Raum $W$ und jede Abbildung $\psi:Y\ra W$ gilt\label{QQHxA} $$(\psi\varphi_i \text{ Morphismus }\forall i)\RA ( \psi\text{ Morphismus})$$ \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben $k$-geringte R\"{a}ume $(X_{i})_{i\in I}$, eine Menge $Y$ und Abbildungen $\varphi_{i}:X_{i}\ra Y$ gibt es genau eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $Y$ derart, da"s unsere Familie gesamthaft\label{EFisuA} final wird. Sie hei"st die \emph{\bf finale Struktur}\index{finale Struktur} zu unserer Familie.\label{FiSuA} \end{Lemma} \begin{proof} Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Sind $(\mathcal T_1, \mathcal O_1)$ und $(\mathcal S_2, \mathcal O_2)$ zwei derartige Strukturen auf $Y$, jeweils bestehend aus einer Topologie und einer Vorgabe strukturierender Funktionen, f"ur die unsere Familie gesamthaft final wird, so ist $\op{id}:(Y,\mathcal T_i, \mathcal O_i)\ra (Y,\mathcal T_j, \mathcal O_j)$ f"ur beliebige $i,j\in\{1,2\}$ ein Morphisms. Das zeigt die Eindeutigkeit. Nun zeigen wir noch, da"s f"ur die gr"o"ste Struktur auf $Y$, f"ur die alle die $\varphi_i$ Morphismen werden, die von einer gesamthaft finalen Struktur geforderte Eigenschaft erf"ullt ist. Diese gr"o"ste Struktur kann ja explizit dadurch beschrieben werden, da"s ihre Topologie die Finaltopologie $\mathcal T=\{V\subset Y\mid \varphi_i^{-1}(V)\co X_i\; \forall i\}$ ist und die strukturierenden Funktionen gegeben werden durch $$\mathcal O(V)=\{f:V\ra k\mid f\circ \varphi_i\in\mathcal O(\varphi_i^{-1}(V)) \;\forall i\}$$ Damit ist klar, da"s diese Struktur die von einer gesamthaft finalen Struktur geforderte Eigenschaft erf"ullt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft finaler Familien}] Seien $e_{ij} : W_{ij} \rightarrow X_i$ und $f_i : X_i \rightarrow Y$ Familien von\label{TFGrgA} $k$-geringten R"aumen und Morphismen. Ist die Familie der $f_i e_{ij}$ gesamthaft final, so auch die Familie der $f_i$. Ist die Familie der $e_{ij}$ gesamthaft final f"ur alle $i$ und die Familie der $f_i$ gesamthaft final, so ist auch die Familie der $f_i e_{ij}$ gesamthaft final. Das alles folgt unmittelbar aus der Definition. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Morphismus $f:X \ra Y$ von $k$-geringten R\"{a}umen hei"st {\bf final},\index{final!Morphismus!geringter R"aume} wenn $Y$ die finale Struktur \ref{FiSuA} in Bezug auf die einelementige Familie $f$ tr"agt. Zum Beispiel ist die Identit"at auf einem $k$-geringten Raum stets final. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Disjunkte Vereinigung $k$-geringter R"aume}] Gegeben eine Familie $k$-geringter R"aume $(X_{i})$ versehen wir ihre disjunkte Vereinigung $\coprod X_i$ mit der finalen Struktur bez"uglich der Inklusionen, wenn nichts anderes gesagt wird. Wir erhalten so ein Koprodukt in der Kategorie $\op{Gerf}_k$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Familie $(\varphi_{i} : X \ra Y_{i})_{i\in I}$ von Morphismen $k$-geringter R\"{a}ume hei"st {\bf gesamthaft initial}, wenn f"ur jeden weiteren $k$-geringten Raum $W$ und jede Abbildung $\psi:W\ra X$ gilt\label{QQHxyA} $$(\varphi_i\psi \text{ Morphismus }\forall i)\RA ( \psi\text{ Morphismus})$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein nennen wir einen Morphismus $f:X \rightarrow Y$ {\bf initial},\index{initial!Morphismus} wenn er als einelementige Familie gesamthaft initial ist. Zum Beispiel ist die Identit"at auf einem $k$-geringten Raum stets initial. Ist $\psi: X\hra Y$ ein injektiver Morphismus von $k$-geringten R"aumen und tr"agt $X$ die initiale Struktur,\label{EinbA} so nennen wir $\psi$ eine {\bf Einbettung}\index{Einbettung!$k$-geringter R"aume} von $k$-geringten R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der algebraischen Geometrie ist f"ur unsere Einbettungen auch die Bezeichnung \defnoind{Immersion}\index{Immersion!in algebraischer Geometrie} gebr"auchlich. In der Differentialgeometrie versteht man jedoch unter einer Immersion stattdessen meist wie in \eref{ImmD}{ML} einen nicht notwendig injektiven Morphismus mit injektivem Differential an jedem Punkt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ich will den Begriff der Einbettung nur verwenden im allgemeinen in \eref{Einbb}{TM} erkl"arten Kontext, wenn also um Morphismen in einer Kategorie $\mathcal C$ geht, die mit einem ausgezeichneten Funktor $v:\mathcal C\ra \op{Ens}$ in die Kategorie der Mengen versehen ist. Den Begriff einer {\bf Immersion}\index{Immersion} will ich weiter fassen als Morphismus in einer Kategorie, der unter einem nat"urlichen Mengenfunktor zu einer Injektion wird. Insbesondere will ich, anders als in der Differentialgeometrie "ublich, differentialinjektive Abbildungen glatter Mannigfaltigkeiten nur dann Immersionen nennen, wenn sie zus"atzlich auch noch injektiv sind. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Besonders oft werden uns \defnoind{offene Einbettungen}\index{Einbettung!offene, geringter R"aume} und \defnoind{abgeschlossene Einbettungen}\index{abgeschlossen!Einbettung geringter R"aume} begegnen, bei denen zus"atzlich gefordert wird,\index{Einbettung!abgeschlossene, geringter R"aume} da"s sie als Abbildungen topologischer R"aume offen beziehungsweise abgeschlossen sind, oder gleichbedeutend, da"s ihr Bild offen beziehungsweise abgeschlossen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $k$-geringte R\"{a}ume $(Y_{i})_{i\in I}$, eine Menge $X$ und Abbildungen $\varphi_{i}:X\ra Y_{i}$ gibt es genau eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $X$ derart, da"s unsere Familie gesamthaft\label{IsuA} initial wird. Sie hei"st die \emph{\bf initiale Struktur}\index{initiale Struktur} zu unserer Familie.\label{UEIIA} \end{Lemma} \begin{proof} Die Eindeutigkeit zeigt man wie im Fall gesamthaft finaler Strukturen in \ref{FiSuA}. F"ur den Nachweis der die Existenz zeigen wir genauer, da"s die kleinste Struktur $\mathcal I$ eines $k$-geringten Raums auf $X$, f"ur die alle unsere $\varphi_{i}$ Morphismen werden, die geforderte universelle Eigenschaft hat. Ist in der Tat $\psi:W\ra X$ eine Abbildung mit der Eigenschaft, da"s alle $\varphi_i\psi$ Morphismen sind, so mu"s ja die finale Struktur $\mathcal T$ auf $X$ in Bezug auf $\psi$ gr"o"sergleich unserer kleinsten Struktur $\mathcal I$ sein. Das zeigt, da"s $\psi$ auch in Bezug auf $\mathcal I$ ein Morphismus ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{ExBA} Ist $X\subset Y$ eine Teilmenge eines $k$-geringten Raums, so nennen wir die initiale Struktur \ref{IsuA} zur einelementigen Familie bestehend einzig und allein aus der Inklusion $X\hra Y$ die {\bf induzierte Struktur}\index{induzierte Struktur!eines geringten Raums} eines $k$-geringten Raums auf $X$ und notieren sie $(X,\cal{O}_Y|_X)$.\index{O@$\cal{O}\hspace{-2pt}\mid_X$ induzierte Struktur} Explizit kann man die induzierte Struktur beschreiben wie folgt: Als Topologie auf $X$ erh"alt man die von $Y$ induzierte Topologie, und eine Funktion $g$ auf $U \co X$ ist strukturierend genau dann, wenn es f"ur alle $x \in U$ eine offene Umgebung $V \co Y$ von $x$ in $Y$ gibt und eine Funktion $f \in \cal{O}_Y (V)$ mit $g|_{U\cap V} = f|_{U\cap V}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft initialer Familien}] Seien $\varphi_i : X \rightarrow Y_i$ und $\psi_{ji} : Y_i \rightarrow Z_{ji}$ Familien von\label{TFGitA} $k$-geringten R"aumen und Morphismen. Sind die $\varphi_i$ gesamthaft initial und sind f"ur jedes $i$ die $\psi_{ji}$ gesamthaft initial, so ist auch die Familie der $\psi_{ji}\varphi_i $ gesamthaft initial. Ist andererseits die Familie der $\psi_{ji}\varphi_i $ gesamthaft initial, so auch die Familie der $\varphi_i$. All das folgt direkt aus den Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bemerkung \ref{TFGitA} besagt unter anderem, da"s die Verkn"upfung von zwei initialen Morphismen stets initial ist, und da"s Verkn\"{u}pfung $\psi\varphi$ von zwei Morphismen nur dann initial sein kann, wenn $\varphi$ initial ist. Insbesondere ist jeder Morphismus initial, zu dem es einen linksinversen Morphismus gibt.\label{lsSA} Weiter ist die Verkn"upfung von zwei Einbettungen stets wieder eine Einbettung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Diese Aussagen und ihr Beweis sind ebenso wie die Aussagen zur Transitivit"at finaler Familien v"ollig analog zum Beweis der entsprechenden Aussagen \eref{TFGi}{TM}, \eref{TFG}{TM} im Kontext topologischer R"aume. Sie sind noch allgemeiner sinnvoll und richtig f"ur einen beliebigen treuen Funktor,\label{ZUUA} vergleiche \eref{gesi}{TM}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man folgere aus \ref{TFGrgA}: Die Verkn"upfung von zwei finalen Morphismen\label{QQHc} ist stets final. Ist die Verkn\"{u}pfung $\varphi\circ \psi$ von zwei Morphismen final, so ist $\varphi$ final. Insbesondere ist jeder Morphismus final, der ein Rechtsinverses alias einen {\bf Schnitt} besitzt, f"ur den es also einen Morphismus $s$ gibt mit $fs=\op{id}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"at offener "Uberdeckungen}] Ist $(U_i)_{i\in I}$ eine offene "Uberdeckung eines $k$-geringten Raums $X,$ so tr"agt $X$ die finale Struktur\label{FSOBA} in Bezug auf die Einbettungen $U_i\hra X.$ Eine Abbildung $X\ra Y$ in einen weiteren $k$-geringten Raum ist also genau dann ein Morphismus, wenn ihre Restriktionen auf alle $U_i$ Morphismen sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"at ist lokal in der Basis}] Ist ein Morphismus von $k$-ge\-ring\-ten R"aumen $f:Y\ra X$ final, so ist auch\label{SubmcA} f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ die induzierte Abbildung $f^{-1}(U)\ra U$ final f"ur die induzierten Strukturen. Ist umgekehrt $f: Y\ra X$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen und besitzt $X$ eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ derart, da"s $f:f^{-1}(U)\ra U$ f"ur alle $U\in \mathcal U$ final ist, so ist unser Morphismus bereits\label{lsSnA} selbst final. \end{Ubung} \subsection{Ges"attigte geringte R"aume} \begin{Bemerkungl} F"ur das Studium von Variet"aten sind besonders diejenigen $k$-geringten R"au\-me relevant, die wir im folgenden als \glqq ges"attigte $k$-geringte R"aume\grqq\ einf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Ein $k$-geringter Raum $X$ hei"se \defnoind{ges"attigt},\index{ges"attigt!$k$-geringter Raum} wenn f"ur $U\co X$ offen und $f: U\ra k$ regul"ar auch die Menge $\{x\in U\mid f(x)\neq 0\}$ offen ist und $1/f$ darauf eine regul"are Funktion. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Der Begriff eines \glqq ges"attigten geringten Raums\grqq\ ist nicht gebr"auchlich. Kempf \cite{Kempf} bezeichnet solche Strukturen als \glqq spaces with functions\grqq.\label{GFiin} %\label{GFii} Der Begriff ist nur sinnvoll, wenn $k$ ein K"orper ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{GFii} Offensichtlich ist ein beliebiger Schnitt ges"attigter Strukturen wieder ges"attigt. Offensichtlich ist die finale Struktur zu irgendwelchen Abbildungen von ges"attigten Strukturen in eine vorgegebene Menge auch selbst ges"attigt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Familie $(\varphi_{i} : X \ra Y_{i})_{i\in I}$ von Morphismen $k$-geringter R"auma hei"st\label{UEIIAg} {\bf gesamthaft ges"attigt initial}, wenn $X$ ges"attigt ist und wenn f"ur jeden weiteren ges"attigten $k$-geringten Raum $W$ und jede Abbildung $\psi:W\ra X$ gilt\label{QQHxyA} $$(\varphi_i\psi \text{ Morphismus }\forall i)\RA ( \psi\text{ Morphismus})$$ \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben eine Familie $(\varphi_{i} : X \ra Y_{i})_{i\in I}$ von Abbildungen einer Menge $k$-geringter R\"{a}ume gibt es stets genau eine Struktur als $k$-geringter Raum auf $X$ derart, da"s unsere Familie gesamthaft ges"attigt initial wird. Wir nennen sie die\label{IsuAg} \emph{\bf ges"attigte initiale Struktur\index{initiale Struktur!ges"attigte} auf} $X$. \end{Lemma} \begin{proof} Die Eindeutigkeit zeigt man wie in \ref{FiSuA}. Um die Existenz zu zeigen, weisen wir nach, da"s die kleinste Struktur als ges"attigter $k$-geringter Raum auf $X$, f"ur die alle $\varphi_i$ Morphismen werden, die behauptete universelle Eigenschaft hat. Das hinwiederum folgt daraus, da"s die finale Struktur zu $\psi:W\ra X$ ges"attigt ist und gr"o"sergleich dieser kleinsten Struktur sein mu"s. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{S"attigung einer geringten Menge}] Sei $k$ ein K"orper. Jede $k$-geringte Menge $(X,\mathcal O(X))$ ist f"ur die Klumpentopologie ein $k$-geringter Raum. Die ges"attigte initiale Struktur f"ur $\op{id}:X\ra X$ alias die kleinste ges"attigte Struktur $(X,\mathcal O_X)$, die diese Struktur umfa"st, nennen wir die {\bf S"attigung}\index{S"attigung} unserer $k$-geringten Menge. Sie kann explizit beschrieben werden wie\label{saet} folgt: \begin{enumerate} \item Abgeschlossen sind alle simultanen Nullstellenmengen $\mathcal Z(E)$ f"ur Mengen von Funktionen $E\subset \mathcal O(X)$; \item Die strukturierenden Funktionen $\mathcal O_X(U)$ f"ur $U\co X$ offen in Bezug auf die im ersten Teil erkl"arte Topologie sind alle Funktionen $f:U\ra k$ mit der Eigenschaft, da"s es f"ur jeden Punkt $x\in U$ eine offene Umgebung $V\co U$ gibt und Funktionen $g,h\in\mathcal O(X)$ mit $h(y)\neq 0$ und $f(y)=g(y)/h(y)$ f"ur alle $y\in V$. \end{enumerate} In der Tat m"ussen offensichtlich in jeder ges"attigten Struktur, die die gegebene Struktur umfa"st, alle $\mathcal Z(E)$ abgeschlossen sein und alle lokal durch Quotienten von Funktionen aus $\mathcal O(X)$ darstellbaren Funktionen auf offenen Teilmengen strukturierend. Andererseits erkennt man auch leicht, da"s $X$ mit der in Teil 1 angegebenen Topologie und den in Teil zwei angegebenen strukturierenden Funktionen auf offenen Teilmengen ein ges"attigter geringter Raum ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine Variet"at als S"attigung}] Gegeben eine naive affine Variet"at $X$ ist die Topologie auf ihrer S"attigung \ref{saet} unsere Zariski-Topologie aus \ref{ZaTo2} und die Struktur als $k$-geringter Raum die in \ref{afvar} beschriebene\label{varA} und die Identit"at folglich ein ges"attigt initialer Morphismus $$(X,\mathcal O_X)\ra (X,\mathcal O(X))$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die initiale Struktur zu einer Abbildung von einer Menge in eine ges"attigte Struktur ist offensichtlich stets wieder ges"attigt.\label{IStr} F"ur die initiale Struktur in Bezug auf eine Familie von mehr als einer Abbildung gilt das jedoch im allgemeinen nicht mehr, wie schon das Beispiel der Produktstruktur auf $k^2$ bald zeigen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft ges"attigt initialer Familien}] Seien $\varphi_i : X \rightarrow Y_i$ und $\psi_{ji} : Y_i \rightarrow Z_{ji}$ Familien von\label{TFGitAg} $k$-geringten R"aumen und Morphismen. Sind die $\varphi_i$ gesamthaft ges"attigt initial und sind f"ur jedes $i$ die $\psi_{ji}$ gesamthaft initial oder gesamthaft ges"attigt initial, so ist auch die Familie der $\psi_{ji}\varphi_i $ gesamthaft ges"attigt initial. Ist andererseits die Familie der $\psi_{ji}\varphi_i $ gesamthaft ges"attigt initial, so auch die Familie der $\varphi_i$. All das folgt direkt aus den Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich induzierter Strukturen auf abgeschlossenen Teilmengen}] Gegeben $i:Y\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge in eine naive affine Variet"at ist die Verkn"upfung $(Y,\mathcal O_Y)\ra (Y,\mathcal O(Y))\ra (X,\mathcal O(X))$ eines ges"attigt initialen Morphismus mit einem initialen Morphismus wieder ges"attigt initial. Aufgrund der universellen Eigenschaft der S"attigung faktorisiert sie "uber $(X,\mathcal O_X)$, folglich ist die Inklusion ein initialer\label{aVI} Morphismus $$(Y,\mathcal O_Y)\ra (X,\mathcal O_X)$$ Insbesondere ist ein $k$-geringter Raum $(X,\mathcal O_X)$ genau dann eine affine $k$-Variet"at, wenn er f"ur mindestens ein $n\in\DN$ eine abgeschlossene Einbettung nach $(k^n,\mathcal O_{k^n})$ besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich induzierter Strukturen auf Nichtnullstellenmengen}] Gegeben in einer naiven affinen Variet"at $X$ die Nichtnullstellenmenge $U$ einer regul"aren Funktion betrachten wir die Verkn"upfung $(U,\mathcal O_U)\ra (U, \mathcal O(U))\ra (X,\mathcal O(X))$ und pr"ufen explizit, da"s sie ges"attigt initial ist. Sie faktorisiert andererseits aufgrund der universellen Eigenschaft der S"attigung als $(U,\mathcal O_U)\ra (X,\mathcal O_X)\ra (X,\mathcal O(X))$, folglich ist die Inklusion ein initialer Morphismus\label{oi} $$(U,\mathcal O_U)\ra (X,\mathcal O_X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Verkleben von Punkten}] Seien $X$ eine\index{Verkleben von Punkten!bei affinen Variet"aten} affine $k$-Varie\-t"at und $\varphi: X \sra Y$ eine surjektive Abbildung von\label{VeKK} $X$ auf eine Menge $Y$. Sind alle Fasern von $\varphi$ endlich und fast alle Fasern einelementig, so ist $Y$ mit seiner finalen Struktur eines $k$-geringten Raums auch eine affine $k$-Variet"at. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] In \ref{VeKKn} hatten wir bereits gezeigt, da"s $Y$ mit $\mathcal O(Y)\pdef \{f:Y\ra k\mid f\circ \varphi\in\mathcal O(X)\}$ eine naive affine Variet"at wird. % Offensichtlich brauchen wir nur den Fall zu betrachten, % da"s es genau zwei Punkte % $p, q \in X$ gibt mit $p\neq q$ aber $\varphi(p) = \varphi(q).$ % In $\cal{O}(X)$ hat % der Teilring $A=\{ f\in \cal{O} (X) \mid f(p) = f(q)\}$ % dann endliche Kodimension und ist % nach dem Sandwich-Lemma \ref{SWN} insbesondere ringendlich % "uber $k$. % Nach \ref{GAQK} liefert der Homomorphismus $A\hra \cal{O}(X)$ einen % Morphismus $\pi : X \ra \op{Max} A$ von geringten R"aumen. % Da"s die Faser "uber $\pi (p) = \pi (q)$ genau aus den beiden Elementen % $p$ und $q$ besteht und da"s alle anderen % Fasern einelementig sind, scheint mir offensichtlich. % Da $\cal{O} (X)$ ganz ist "uber $\mathcal O(Y)$, % mu"s der zugeh"orige Morphismus von % affinen Variet"aten % $$\pi : X \ra \op{Max} A$$ Da $\mathcal O(Y)\hra \mathcal O(X)$ ganz ist, zeigen unsere allgemeinen Erkenntnisse \ref{GgKH} "uber die Geometrie ganzer Ringerweiterungen, da"s $\varphi$ abgeschlossen und insbesondere \glqq topologisch final\grqq\ ist: Eine Teilmenge von $Y$ ist genau dann offen, wenn ihr Urbild in $X$ es ist. Um zu zeigen, da"s $\varphi$ eine finale Abbildung auf den zugeh"origen $k$-geringten R"aumen ist, m"ussen wir noch f"ur jede offene Teilmenge $U\co Y$ zeigen, da"s eine Funktion $h:U\ra k$ genau dann regul"ar ist, wenn $h\circ \varphi$ regul"ar ist. F"ur globale Funktionen ist das offensichtlich. F"ur den allgemeinen Fall reicht es, wenn wir unsere Aussage f"ur offene Teilmengen der Gestalt $U=Y_g=\{g\neq 0\}$ zeigen, mit $g\in \mathcal O(Y)$. Offensichtlich brauchen wir nur den Fall zu betrachten, da"s es genau zwei Punkte $p, q \in X$ gibt mit $p\neq q$ aber $\varphi(p) = \varphi(q).$ Nun betrachten wir die kurze exakte Sequenz $$\mathcal O(Y)\hra \mathcal O(X)\sra k$$ mit rechter Abbildung $f\mapsto f(p)-f(q)$. Lassen wir $g\in \mathcal O(Y)$ auf dem $k$ in dieser Sequenz durch Multiplikation mit seinem Wert $g(p)=g(q)$ operieren, so besteht sie aus Homomorphismen von $\mathcal O(Y)$-Moduln und bleibt exakt bei Lokalisierung nach $g$. Das zeigt $\mathcal O(Y)_g\sira \mathcal O(X)_g$ im Fall $g(p)=g(q)=0$ und $\mathcal O(Y)_g\sira \{f\in \mathcal O(X)_g\mid f(p)=f(q)\}$ im Fall $g(p)=g(q)\neq 0$. Die Proposition ist bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt ges"attigter $k$-geringter R"aume}] Gegeben ein K"orper $k$ und ge\-s"attigte $k$-geringte R"aume $X$ und $Y$ erhalten wir offensichtlich ein Produkt in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume, das {\bf ges"attigte Produkt}\index{ges"attigt!Produkt} von $X$ und $Y$,\index{Produkt!ges"attigtes} indem wir auf der Produktmenge $X\times Y$ die ges"attigte initiale\label{GKpr} Struktur zu den Projektionen auf $X$ und $Y$ betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der $k^n$ als ges"attigtes Produkt}] Versehen wir einen K"orper $k$ mit der kleinstm"oglichen Struktur $(k,\mathcal O_k)$ eines $k$-geringten Raums derart, da"s die Identit"at $k\ra k$ eine strukturierende Funktion auf $k$ ist, so erhalten wir\label{kngp} offensichtlich Klumpentopologie mit den polynomialen Funktionen als strukturierenden Funktionen. Nehmen wir $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen an, so ist die kleinste ges"attigte Struktur $(k,\mathcal O_k)$ als $k$-geringter Raum auf $k$ derart, da"s die Identit"at $k\ra k$ eine strukturierende Funktion ist, offensichtlich genau unsere Struktur als affine Variet"at auf $k$, die durch S"attigung aus unserer Struktur als naive affine Variet"at \ref{BAVV} hervorgeht. Versehen wir schlie"slich $k^n$ mit der Struktur eines ges"attigten Produkts von einigen Kopien von $(k,\mathcal O_k)$, so erhalten wir offensichtlich genau unsere Struktur $(k^n,\mathcal O_{k^n})$ als affine Variet"at auf $k^n$, die durch S"attigung aus unserer Struktur als naive affine Variet"at \ref{BAVV} hervorgeht. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Sei $k$ ein K"orper. Jedes ges"attigte Produkt von initialen Morphismen ges"attigter $k$-geringter R"aume ist wieder initial.\label{PGkk} Das ges"attigte Produkt von zwei offenen Einbettungen ist wieder eine offene Einbettung. Das ges"attigte Produkt von zwei abgeschlossenen Einbettungen ist wieder eine abgeschlossene Einbettung.\label{POAA} \end{Proposition} \begin{proof} Das folgt aus der Transitivit"at ges"attigter initialer Familien \ref{TFGitAg}. Seien genauer $\phi:X\ra Y$ und $\psi:Z\ra W$ unsere initialen Morphismen. Die Definition des Produktmorphismus $\phi\times\psi$ liefert $\op{pr}_Y\circ (\phi\times\psi)=\phi\circ\op{pr}_X$ und $\op{pr}_W\circ (\phi\times\psi)=\psi\circ\op{pr}_Z$. Die Definition des ges"attigten Produkts $X\times Z$ liefert, da"s die Projektionen $\op{pr}_X,$ $\op{pr}_Z$ daf"ur eine ges"attigt initiale Familie bilden. Die Transitivit"at ges"attigter initialer Familien \ref{TFGitAg} zeigt dann, da"s auch $\phi\circ\op{pr}_X$, $\psi\circ\op{pr}_Z$ alias $\op{pr}_Y\circ (\phi\times\psi)$, $\op{pr}_W\circ (\phi\times\psi)$ daf"ur eine ges"attigt initiale Familie bilden. Die zweite Aussage in \ref{TFGitAg} impliziert dann weiter, da"s auch $ \phi\times\psi$ ges"attigt initial und, da diese Abbildung in einem ges"attigten Raum landet, nach \ref{IStr} auch unges"attigt initial ist. Da"s das Produkt offener beziehungsweise abeschlossener Teilmengen wieder offen beziehungsweise abgeschlossen ist, gilt bereits f"ur die Produkttopologie. \end{proof} \begin{Korollar} Das in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume gebildete\label{pafV} Produkt von affinen Variet"aten ist stets wieder eine affine Variet"at. \end{Korollar} \begin{proof} Das Produkt in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume macht nach \ref{PGkk} aus je zwei ageschlossenen Einbettungen eine abgeschlossene Einbettung und macht nach \ref{kngp} aus $k^n$ und $k^m$ den $k^{n+m}$. Da nach \ref{aVI} affine Variet"aten gerade solche $k$-geringten R"aume sind, die eine abgeschlossene Einbettung in einen $k^n$ besitzen, folgt das Korollar. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Morphismen in affine Variet"aten}] Gegeben eine affine $k$-Variet"at $Y$\label{VTt} liefert der "Ubergang zu den globalen regul"aren Funktionen f"ur jeden ges"attigten $k$-geringten Raum $X$\label{MK} eine Bijektion\label{MAV} $$\op{Gerf}_k(X,Y)\sira \op{Kring}^k(\cal{O}_Y(Y),\cal{O}_X(X))$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Fall $Y=k^n$. Es bezeichne $T_j:k^n\ra k$ die $j$-te Koordinate. F"ur jeden ges"attigten $k$-geringten Raum $(X,\mathcal O_X)$ liefert das Zur"uckholen von Funktionen aufgrund der universellen Eigenschaft der Produktstruktur auf $k^n$ eine Bijektion $ \op{Gerf}_k(X,k^n)\sira\cal{O}_X(X)^n, $ $ \varphi\mapsto(T_j\circ \varphi)_{j=1}^{n} $. Ist allgemeiner $Y$ affin, so d"urfen wir $Y\As k^n$ annehmen. Dann sind beide Seiten in nat"urlicher Bijektion zu $$\{ (\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}) \in \cal{O}_X(X)^{n} \mid f(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n})=0 \quad \forall f \in {\mathcal I}(Y)\}$$ wegen der Definition des Verschwindungsideals ${\mathcal I} (Y)$ und der universellen Eigenschaft der induzierten Struktur und wegen der universellen Eigenschaft des Quotienten $k[T_{1}, \ldots, T_{n}] / {\mathcal I}(Y) \cong \cal{O}_Y(Y)$. \end{proof} \subsection{Algebraische Variet"aten} \begin{Bemerkungl} $(k=\bar k)$. Ich erinnere daran, da"s wir in \ref{afvar} eine {\bf affine $k$-Variet"at} erkl"art hatten als einen $k$-geringten Raum, der eine abgeschlossene Einbettung in einen $k^n$ besitzt. Eine {\bf Einbettung von $k$-geringten R"aumen} hatten wir in \ref{EinbA} erkl"art als eine initiale Injektion. Eine abgeschlossene Einbettung hatten wir erkl"art als eine Einbettung mit abgeschlossenem Bild. Den $k^n$ verstehen wir dabei mit der "ublichen Struktur als $k$-geringter Raum, die wir am einfachsten als die von den Polynomfunktionen erzeugte Struktur als ges"attigter $k$-geringter Raum beschreiben k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. \begin{enumerate} \item Eine {\bf $k$-Pr"avariet"at}\index{Pr"avariet"at} ist ein ges"attigter $k$-geringter Raum $(X,\cal{O}_X),$ der eine endliche "Uberdeckung besitzt durch offene Teilmengen $U$ derart, da"s alle $(U,\cal{O}_X|_U)$ affine $k$-Variet"aten sind. Die Elemente von $\mathcal O_X(V)$ f"ur $V\co X$ nennen wir in diesem Kontext die {\bf regul"aren Funktionen auf $V$};\index{regul"ar!Funktion!auf Pr"avariet"at}\index{Funktion!regul"are!auf Pr"avariet"at} \item Eine {\bf $k$-Variet"at}\index{Variet"at} ist eine $k$-Pr"avariet"at $X$ mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s f"ur das Produkt $X\times X$ in der Kategorie der ges"attigten $k$-geringten R"aume die Diagonale eine abgeschlossene Teilmenge $\Delta(X)\As X\times X$ ist; \item Ein Morphismus von Pr"avariet"a\-ten oder Variet"aten ist ein Morphismus von geringten R"aumen. Wir erhalten so die Kategorien $$\op{Var}_k\subset \op{p\!Var}_k$$ der Variet"aten beziehungsweise Pr"avariet"aten "uber $k$.\index{pVar@$\op{pVar}_k$ Pr"avariet"aten "uber $k$} \index{Var@$\op{pVar}_k$ Pr"avariet"aten "uber $k$} \end{enumerate}\label{DeVah} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at der Terminologie}] Jede affine Variet"at ist offensichtlich eine Variet"at im Sinne der obigen Definition. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Quellen fordern von ihren Variet"aten zus"atzlich noch, da"s sie irreduzibel sein sollen. Ich schlie"se mich dieser Konvention nicht an. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Eine Pr"avariet"at, die keine Variet"at ist}] Wir betrachten die \glqq Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt\grqq\ $X \pdef k \amalg\{\tilde{0}\}$ mit der finalen Struktur zu den beiden\label{GBSS} Abbildungen $\psi: k \hookrightarrow X$ und $\tilde{\psi} : k \hookrightarrow X,$ die gegeben werden durch $\psi (x) = \tilde{\psi}(x) = x$ f"ur $x \neq 0$ aber $\psi (0) = 0,$ $\tilde{\psi} (0) = \tilde{0}.$ Diese Variet"at ist nicht separiert, denn die Punkte $(0,\tilde{0})$ und $(\tilde{0},0)$ aus $X \times X$ liegen beide im Abschlu"s der Diagonale. In der Tat ist das Urbild jeder offenen Umgebung von $(\tilde{0},0)$ unter $(\tilde{\psi},\psi):k \ra X \times X$ eine offene Umgebung von $0\in k,$ folglich trifft jede offene Umgebung von $(\tilde{0},0)$ die Diagonale. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Folgerungen aus der Separiertheit}] Zwei Morphismen $\phi,\psi:Y\ra X$ von einer Pr"avariet"at in eine Variet"at, die auf einer dichten Teilmenge "ubereinstimmen, sind gleich. In der Tat, ist die Diagonale in $X\times X$ abgeschlossen,\label{HEPP} so auch ihr Urbild unter dem Morphismus $(\phi,\psi):Y\ra X\times X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte affiner offener Teilmengen in separierten Pr"avariet"aten}] In einer Variet"at $X$ ist der Schnitt von je zwei offenen affinen Teilmengen $U,V$ wieder affin. In der Tat ist $U\cap V$ isomorph zu $(U\times V)\cap\Delta_X$ und $\Delta_X$ ist abgeschlossen in $X\times X$ nach Annahme. Ist etwas allgemeiner $\varphi:V\ra X$ ein Morphismus einer affinen Variet"at $V$ in eine Variet"at $X$ und ist $U\co X$ offen affin, so\label{AFMM} ist auch $\varphi^{-1}(U)$ affin, denn es ist isomorph zum Urbild der Diagonale $\Delta_X$ unter $\varphi\times i:V\times U\ra X\times X$ f"ur $i:U\hra X$ die Inklusion. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} Das meiste, was wir im folgenden "uber Variet"aten aussagen, % gilt allgemeiner auch f"ur Pr"avariet"aten. Der Unterschied wird erst % sp"ater relevant werden. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Variet"aten "uber allgemeineren K"orpern}] Wenn wir im Folgenden wie im Vorhergehenden von einer Variet"at reden, so denken wir uns stets einen algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper $k=\bar k$ fest gew"ahlt, "uber dem sie definiert ist. Analoga "uber nicht algebraisch abgeschlossenen K"orpern werden wir erst im Rahmen der allgemeinen Theorie der Schemata behandeln und nicht als Variet"aten ansprechen. Der Leser sei gewarnt, da"s man eine andere und recht nutzlose Kategorie erh"alt, wenn man im Fall eines nicht algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers die vohergehende Definition \ref{DeVah} wortw"ortlich "ubernimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{GFii} ist ein $k$-geringter Raum, der eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen besitzt, auf denen die induzierte Struktur ges"attigt ist, auch selbst bereits ges"attigt. Diese Forderung im ersten Teil unserer Definition war also "uberfl"ussig. Ich habe sie dennoch dazugeschrieben, um die Definition einer Variet"at nicht durch Zwischen"uberlegungen zu stören. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte von Pr"avariet"aten und von Variet"aten}] Das in der Kategorie der ges"attigten $k$-ge\-ring\-ten R"aume gebildete Produkt von zwei Pr"avariet"aten ist wieder eine Pr"avariet"at. Das folgt unmittelbar daraus, da"s nach \ref{pafV} das in der Kategorie der ges"attigten $k$-ge\-ring\-ten R"aume gebildete Produkt affiner Variet"aten wieder eine affine Variet"at ist und da"s nach \ref{PGkk} ebendort das Produkt offener Einbettungen wieder eine offene Einbettung ist.\label{ProVa} Es folgt leicht, da"s das in der Kategorie der ges"attigten $k$-ge\-ring\-ten R"aume gebildete Produkt von zwei Variet"aten wieder eine Variet"at ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Irreduzibilit"at von Produkten}] Das Produkt von zwei irreduziblen Pr"avariet"aten ist stets wieder irreduzibel.\label{PIrr} Sei in der Tat $X \times Y= A \cup B$ Vereinigung von zwei abgeschlossenen Teilmengen. Wir betrachten $$\begin{array}{ccc} X_{A} & \pdef& \{x \in X \mid \{x\} \times Y \subset A\}\\ X_{B} &\pdef& \{x \in X \mid \{x\} \times Y \subset B\} \end{array}$$ und folgern $X = X_{A} \cup X_{B}$ aus der Irreduzibilit"at von $Y$. Da $X$ irreduzibel ist, k"onnen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X_{A}$ dicht in $X$ annehmen. F"ur alle $y\in Y$ gilt nun $X_A\times \{y\}\subset A$ und wegen $A$ abgeschlossen auch $ X\times \{y\}\subset A$. Das zeigt $A = X \times Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge einer Pr"avariet"at ist mit der induzierten Struktur als $k$-geringter Raum wieder eine Pr"avariet"at. Dasselbe gilt f"ur Variet"aten.\label{oaV} \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus den Erkenntnissen \ref{aVI} und \ref{oi}, da"s in einer affinen Variet"at jede abgeschlossene Teilmenge und jede Nichtnullstellenmenge einer regul"aren Funktion wieder eine affine Variet"at ist. Es gilt nur zu beachten, da"s jede offene Teilmenge einer affinen Variet"at $X$ bereits eine endliche "Uberdeckungen durch Nichtnullstellenmengen $X_f$ besitzt. \end{proof} \begin{Definition}\label{DPVa}%\label{DPVs} Eine {\bf quasiaffine $k$-Variet"at}\index{quasiaffin!$k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der isomorph ist zu einer offenen Teilmenge einer affinen $k$-Variet"at. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge eines topologischen Raums, die ein Schnitt einer offenen mit einer abgeschlossenen Menge ist, hei"st {\bf lokal abgeschlossen}.\index{lokal abgeschlossen!Teilmenge} Jede lokal abgeschlossene Teilmenge einer Variet"at ist mit ihrer induzierten Struktur eines $k$-geringten Raums selbst wieder eine Variet"at. Wir nennen die lokal abgeschlossenen Teilmengen einer Variet"at ihre {\bf Untervariet"aten}\index{Untervariet"at} und denken sie uns dabei stets mit der induzierten Struktur versehen. Analoges gilt f"ur Pr"avariet"aten. Jede Untervariet"at einer quasiaffinen Variet"at ist\label{UvA} quasiaffin. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Problematik der Bezeichnung als Untervariet"aten}] Unsere Untervariet"aten sind kategorische Unterobjekte in der Kategorie der Variet"aten, aber die meisten Variet"aten besitzen durchaus noch weitere, nicht zu Untervariet"aten isomorphe kategorische Unterobjekte alias Isomorphieklassen von Monomorphismen dorthin. Beispiele liefern unsere bijektiven Morphismen von Variet"aten aus \ref{BNIa} oder \ref{FroTA}, die keine Isomorphismen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine quasiaffine aber nicht affine Variet"at}] Das Komplement $k^2\backslash 0$ des Ursprungs in der Ebene ist keine affine Variet"at: In der Tat liefert nach \ref{FoRF} die Restriktion eine Bijektion $\mathcal O(k^2)\sira \mathcal O(k^2\backslash 0)$, auf affinen Variet"aten ist jedoch $\mathcal O$ volltreu. Mithin kann ein Morphismus von affinen Variet"aten nur dann einen Isomorphismus auf den globalen regul"aren Funktionen induzieren, wenn er bereits selbst ein Isomorphismus war. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Es gibt durchaus offene affine Teilmengen affiner Variet"aten, die nicht das Komplement der Nullstellenmenge einer regul"aren Funktion sind. Die Konstruktion eines Beispiels braucht jedoch mehr Theorie, als sie uns hier zur Verf"ugung steht. Man betrachte eine elliptische Kurve ohne ihr neutrales Element.\label{KoPE} Das ist eine affine Variet"at. Jeder Punkt dieser affinen Variet"at, der die einzige Nullstelle einer regul"aren Funktion ist, mu"s dann von endlicher Ordnung sein. Andererseits ist das Komplement in einer elliptischen Kurve von zwei beliebigen Punkten stets affin. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist jede Pr"avariet"at ein noetherscher topologischer Raum. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter der {\bf Dimension}\index{Dimension!einer Variet"at} einer Pr"avariet"at $X$ versteht man die Krulldimension des zugrundeliegenden topologischen Raums. Wir notieren sie $\op{kdim}X$. \end{Definition} \begin{Proposition} Gegeben eine irreduzible Pr"avariet"at stimmt die Dimension jeder nichtleeren offenen Teilmenge "uberein mit der Dimension der ganzen Pr"avariet"at. \end{Proposition} \begin{proof} In der Tat, jede echt aufsteigende endliche Kette irreduzibler Mengen enth"alt einen gemeinsamen Punkt und liefert durch Herunterschneiden auf eine affine offene Umgebung dieses Punktes eine echt aufsteigende Kette irreduzibler Mengen dort. Das zeigt, da"s die Krulldimension beschr"ankt ist durch das Maximum der Krulldimensionen der Mengen jeder offenen affinen "Uberdeckung. Jede nichtleere offene Teilmenge ist aber auch irreduzibel, und jeder der zu unserer "Uberdeckung geh"origen affinen $k$-Kringe ist folglich ein Integrit"atsbereich und damit ein Kettenring. Da schlie"slich je zwei nichtleere offene Teilmengen nichtleeren Schnitt haben, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine \hyperref[aeqd]{\"aqui-eindimensionale} Variet"at hei"st eine {\bf Kurve}\index{Kurve!algebraische} oder\label{alKU} genauer eine {\bf algebraische Kurve}. Hier lassen wir keine Pr"avariet"aten zu. \end{Bemerkungl} %\begin{Korollar}[\textbf{Kodimension von Schnittmengen}] %Sind %$Y,Z\As X$ irreduzible abgeschlossene Teilmengen %einer irreduziblen Variet"at $X$, so % gilt f"ur jede irreduzible Komponente $W$ ihres Schnitts $Y\cap Z$ die %Absch"atzung $\op{kdim} W\geq \op{kdim} Y +\op{kdim} Z-\op{kdim} X$ alias %\label{KDSax} %$$\op{cokdim} (W\subset X)\leq \op{cokdim} (Y\subset X)+\op{cokdim} (Z\subset %X)$$ %\end{Korollar} % \begin{Ubunge}\label{ABFN} % $(k=\bar k)$. % Seien disjunkte und abgeschlossene Teilmengen $A,B\subset k^n$ % gegeben sowie polynomiale Funktionen $f:A\ra k$ und $g:B\ra k.$ % Man l"ose nocheinmal "Ubung % \ref{ABF}, nach der es eine polynomiale Funktion auf $k^n$ gibt, % die auf $A$ mit $f$ "ubereinstimmt und auf $B$ mit $g.$ % \end{Ubunge} \begin{Definition} Gegeben ein $k$-geringter Raum $(X,\mathcal O_X)$ und ein Punkt $x\in X$ erkl"aren wir den {\bf lokalen Ring} $$\cal O_{X,x}$$ {\bf von $X$ bei $x$}\index{Funktionskeime!regul"are} \index{lokal!Ring bei Punkt} als die Menge aller \hyperref[FKei]{Funktionskeime} in $\op{Ens}(X,k)_x$,\label{FKeis}\index{O@$\mathcal O_{X,x}$ Funktionskeime!bei $k$-geringten R"aumen} die von einer strukturierenden Funktion repr"asentiert werden. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} [\textbf{Lokale Ringe im Fall affiner Variet"aten}] Im Fall einer affinen Variet"at $X$ stimmt der hier definierte Ring $\mathcal O_{X,x}$ offensichtlich "uberein mit dem in \ref{ELF} definierten Ring $\mathcal O_{X,x}$ aller Funktionskeime, die einen Repr"asentanten der Gestalt $(X_g,f)$ f"ur $g\in \mathcal O(X)$ mit $x\in X_g$ und $f\in\mathcal O(X_g)$ haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ist $(X,\mathcal O_X)$ eine $k$-Variet"at und liefern die Auswertungen an Punkten eine Bijektion $X \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ring}^k (\mathcal O_X (X), k)$, so w"u"ste ich gerne, ob $X$ affin sein mu"s. Nimmt man zus"atzlich an, da"s $\mathcal O_X (X)$ ringendlich ist "uber $k$ und $X \rightarrow \op{Max} \mathcal O_X (X)$ ein Hom"oomorphismus, so kann ich das wohl zeigen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Ist der $k$-Kring der regul"aren Funktionen auf einer Variet"at stets wieder ringendlich "uber $k$? Ich denke schon, kenne aber kein wirklich einfaches Argument. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{podd} Jeder Punkt einer Pr"avariet"at liegt in einer dichten offenen affinen Teilmenge. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Regul"are Funktionen auf Nichtnullstellenmengen}] Gegeben eine Pr"avariet"at $X$ und $f \in \mathcal{O}_X (X)$ regul"ar\label{FsF} setzen wir\index{)8ba@$X_f$ Nichtnullstellen von $f$} $$X_f \pdef \{ x \in X \mid f(x) \neq 0\}$$ Man zeige, da"s es f"ur alle $h \in \mathcal{O}_X (X_f)$ ein $n \gg 0$ gibt derart, da"s die Fortsetzung durch Null von $f^nh$ eine regul"are Funktion auf ganz $X$ ist. Man folgere, da"s die Restriktion $\mathcal{O}_X(X) \ra \mathcal{O}_X(X_f)$ einen Isomorphismus $\mathcal{O}_X(X)_f \sira \mathcal{O}_X(X_f)$ zwischen der Lokalisierung von $\mathcal{O}_X(X)$ an $f$ und dem Ring der regul"aren Funktionen auf $X_f$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Affine offene Teilmengen von Pr"avariet"aten}] Gegeben eine Pr"a\-va\-rie\-t"at $X$, offene affine Teilmengen $U,V\co X$ und ein Punkt $x\in U\cap V$ zeige man:\label{kgA} Es gibt stets $s\in \mathcal O(U)$ und $t\in \mathcal O(V)$ mit $ x\in U_s$ und $ U_s=V_t$. In dieser Situation ist nat"urlich auch $ U_s=V_t$ affin. Hinweis: \ref{FsF}. %Man findet $W\co U\cal V$ affin mit $x\in W$. %Man findet $a\in \mathcal O(U)$ mit $U_a\subset W$ und folglich $U_a=W_a$. %Dann kann ein $a^nb$ von $U_a=W_a$ auf $U$ ausgedehnt werden. %Man findet $b\in \mathcal O(V)$ mit $V_b\subset W$ und folglich $V_b=W_b$. %Dann kann ein $b^na$ von $V_b=W_b$ auf $V$ ausgedehnt werden. %Das sind dann $s$ und $t$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Veaa} Man zeige, da"s f"ur jede affine Variet"at $Z$ der von einer Verklebung $\varphi: X \sra Y$ affiner Variet"aten im Sinne von \ref{VeKK} induzierte Morphismus $X\times Z\ra Y\times Z$ abgeschlossen, ja selbst wieder final ist. Man gebe ein Beispiel an, in dem diese Verklebung kein offener Morphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PrPr} Die Projektion von einem Produkt in der Kategorie der ges"attigten geringten R"aume auf einen der Faktoren ist stets offen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s f"ur beliebige Pr"avariet"aten $X,Y$ die Abbildung $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$ einen Isomorphismus $$\mathcal O(X)\otimes\mathcal O(Y)\sira \mathcal O(X\times Y)$$ induziert. Hinweis: F"ur affine Variet"aten wissen wir das bereits aus \ref{PAf}. Als n"achstes betrachte man den Fall, da"s nur eine unserer Pr"avariet"aten eine affine Variet"at ist,\label{PAff} und erinnere dazu die Exaktheit des Tensorprodukts. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{kNu} Eine auf einer offenen Teilmenge einer irreduziblen affinen Variet"at definierte regul"are Funktion $f$, die lokal als Quotient $f=g/h$ geschrieben werden kann, stimmt bereits auf der der Differenz ihres Definitionsbereichs und der Nullstellenmenge von $h$ mit $g/h$ "uberein. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fixpunktmengen}] Gegeben eine Variet"at $X$ und ein\label{FPAA} Morphismus $\varphi:X\ra X$ ist die Menge der Fixpunkte $X^{\varphi}\pdef \{x\in X\mid \varphi(x)=x\}$ abgeschlossen. Die entsprechende Aussage f"ur eine Pr"avariet"at ist falsch: Ist zum Beispiel $Y$ eine Pr"avariet"at und betrachten wir die Vertauschung der Eintr"age auf $X=Y\times Y$, so ist die Menge der Fixpunkte nicht abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GSEV} Der Graph eines Morphismus von einer Pr"avariet"at in eine Variet"at ist stets abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Frobenius-Twist}] Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper positiver Charakteristik\label{FroTV}. $\op{char} k =p>0$ und sei $X =(X, \cal{O})$ eine Variet"at "uber $k$. So ist auch $X^{[1]}\pdef (X, \cal{O}^{[1]})$ mit\index{Frobenius-Twist!von Variet"at} $$\cal{O}^{[1]} (U) \pdef \{ f^{p} \mid f \in \cal{O} (U) \}\quad \forall U \co X$$ eine Variet"at "uber $k$. Sie hei"st der {\bf Frobenius-Twist} unserer urspr"unglichen Variet"at. Weiter ist die Identit"at auf $X$ ein Morphismus $X \ra X^{[1]}$ von Variet"aten "uber $k$, der {\bf Frobenius-Morphismus},\index{Frobenius-Morphismus!von Variet"at} und jeder Morphismus $X\ra Y$ induziert einen Morphismus $X^{[1]}\ra Y^{[1]}$. Schlie"slich zeige man, da"s der Funktor $X\mapsto X^{[1]}$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Dasselbe gilt f"ur Pr"avariet"aten. Hinweis: \ref{FroTA}. Vielleicht noch nat"urlicher wird diese Konstruktion in der Sprache der Schemata, vergleiche \ref{FrobTS}. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper von positiver Charakteristik. Eine $k$-Variet"at $X$ hei"st \defind{Frobenius-spaltend}, wenn $\cal{O}^{[1]}$ ein direkter Summand des $\cal{O}^{[1]}$-Moduls $\cal{O}$ ist. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}[\textbf{Normale Variet"aten}] Eine Variet"at oder Pr"avariet"at hei"st {\bf normal},\index{normal!Variet"at} wenn f"ur jeden Punkt $x\in X$ der lokale Ring $\mathcal O_{X,x}$ ein ganz abgeschlossener Integrit"atsbereich ist. Man zeige, da"s eine affine Variet"at genau dann normal ist, wenn ihr\label{nVpV} Ring von regul"aren Funktionen normal ist. Man zeige, da"s jede normale Variet"at die disjunkte Vereinigung ihrer irreduziblen Komponenten ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Regul"are Funktionskeime l"angs abgeschlossener Teilmengen}] Gegeben ein noetherscher $k$-geringter Raum $X$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge $Y\As X$ erkl"aren wir den Ring $$\mathcal O_{X,Y}\subset \op{Ens}(X,k)_Y$$ aller {\bf strukturierenden Funktionskeime l"angs $Y$} als den Ring aller Funktionskeime nach \ref{Fuke} mit mindestens einer strukturierenden Funktion unter seinen Repr"asentanten. Im Fall einer einpunktigen Teilmenge ist das unser lokaler Ring $\mathcal O_{X,x}$ aus \ref{FKeis}. Ist $U\co X$ offen mit $U\cap Y$ dicht in $Y$, so induziert die Restriktion einen Isomorphismus $$\mathcal O_{X,Y} \sira \mathcal O_{U,Y\cap U}$$ Gegeben $Z\As Y\As X$ abgeschlossene Teilmengen derart, da"s $Z$ jede irreduzible Komponente von $Y$ trifft, induziert weiter das Generisieren \ref{Gen} einen Ringhomomorphismus $$ \mathcal O_{X,Z} \ra \mathcal O_{X,Y}$$ auf den regul"aren Funktionskeimen. Ist $X$ eine affine Variet"at, so spezialisiert das zu den bereits in \ref{ELFn} erkl"arten regul"aren Funktionskeimen. F"ur eine beliebige Pr"avariet"at $X$ "ubernehmen wir diese Terminologie und nennen die Elemente von $\mathcal O_{X,Y}$ {\bf regul"are Funktionskeime l"angs $Y$} und setzen $\mathcal M(X)\pdef \mathcal O_{X,X}$ und nennen diese \glqq dicht definierten regul"aren Funktionen\grqq\ die {\bf rationalen Funktionen auf $X$}.\index{rationale Funktion!auf Pr"avariet"at} In der Literatur ist in diesem Fall statt $\mathcal M(X)$ die Notation $k(X)$\index{)5)@$k(X)$ {\it rationale Funktionen auf} $X$} "ublich. Ist $X$ eine\index{M@$\mathcal M(X)$ rationale Funktionen auf $X$} irreduzible $k$-Pr"avariet"at, so bilden die rationalen Funktionen auf $X$ einen K"orper vom Transzendenzgrad\label{TGFHn} $$\op{trgr}_k\mathcal M(X)=\op{kdim}X$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $X$ eine Pr"avariet"at. Offensichtlich stimmen je zwei Repr"asentanten $(U,f_U)$ und $(V,f_V)$ einer rationalen Funktion $f\in\mathcal M(X)$ bereits auf $U\cap V$ "uberein. Jede rationale Funktion hat mithin einen eindeutig bestimmten {\bf gr"o"sten Repr"asentanten}, der eben auf der Vereinigung der Definitionsbereiche aller Repr"asentanten definiert ist. Der Definitionsbereich des gr"o"sten Repr"asentanten hei"st der {\bf Definitionsbereich \index{Definitionsbereich!von rationaler Funktion} unserer rationalen Funktion}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Definitionsbereiche und lokale Ringe}] Ist $X$ eine irreduzible Pr"avariet"at, so liefert das Generisieren \ref{Gen} f"ur jeden Punkt $x\in X$ eine nat"urliche Injektion $\mathcal O_{X,x}\hra \mathcal M(X)$, die wir von nun an in Notation und Sprache oft als Einbettung einer Teilmenge betrachten werden.\label{Dfff} Man zeige: Ein Punkt $x\in X$ geh"ort genau dann zum Definitionsbereich einer rationalen Funktion $f\in \mathcal M(X)$, wenn $f$ im lokalen Ring $\mathcal O_{X,x}\subset \mathcal M(X)$ liegt. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Eigenschaft (E) von Morphismen einer Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten hei"se ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ {\bf produktfest} (E)\index{produktfest!produktfest (E), Morphismus} oder ausf"uhrlicher {\bf produktfest} (E) {\bf in $\mathcal C$}, wenn\label{prof} f"ur jedes weitere Objekt $Z$ auch der Morphismus $\varphi\times\op{id}:X\times Z\ra Y\times Z$ die Eigenschaft (E) hat. Mir schien diese Terminologie bequem, sie ist aber un"ublich. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Ein Morphismus von Pr"avariet"aten $X\ra Y$ hei"st {\bf eigentlich},\index{eigentlich!Morphismus von Variet"aten} wenn er \hyperref[prof]{produktfest} abgeschlossen ist.\label{eiMO} Man zeige, da"s es daf"ur ausreicht zu zeigen, da"s f"ur jede affine Variet"at $Z$ der induzierte Morphismus $X\times Z\ra Y\times Z$ abgeschlossen ist. Man zeige, da"s gegeben ein surjektiver eigentlicher Morphismus $X\sra Y$ von einer Variet"at $X$ zu einer Pr"avariet"at $Y$ auch $Y$ eine Variet"at sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Die vorstehende Definition eines \glqq eigentlichen\grqq\ Morphismus kann nicht wortw"ortlich auf \glqq Schemata\grqq\ "ubertragen werden. Um in dieser Allgemeinheit einen n"utzlichen Begriff zu erhalten, mu"s man eigentliche Morphismen als \glqq basisfest\grqq\ abgeschlossene Morphismen erkl"aren. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}[\textbf{Verkleben von Punkten in allgemeinen Variet"aten}] Seien $X$ eine $k$-Pr"avarie\-t"at und $\varphi: X \sra Y$ eine surjektive Abbildung\index{Verkleben von Punkten!bei Variet"aten} von\label{VeKKb} $X$ auf eine Menge $Y$. Sind alle Fasern von $\varphi$ endlich und fast alle Fasern einelementig, und liegen die Urbilder aller Punkte mit nicht einelementiger Faser in einer gemeinsamen offenen affinen Teilmenge von $X$, so ist $Y$ mit seiner finalen Struktur eines $k$-geringten Raums auch eine\index{Verkleben von Punkten} $k$-Pr"avariet"at und $\varphi$ ist eigentlich. Hinweis: \ref{VeKK} und \ref{Veaa}. Ist hier $X$ eine Variet"at, so auch $Y$. Hinweis: \ref{eiMO}. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{WOHIN?} Seien $X,Y$ Pr"avariet"aten "uber $k$. \index{)4@$\dashrightarrow$ rationaler Morphismus} Ein {\bf rationaler Morphismus} $f:X \dashrightarrow Y$ \index{rationaler Morphismus}\index{Morphismus!rationaler} ist eine "Aquivalenzklasse von Paaren $(U,f_U)$ mit $U\co X$ offen dicht und $f_U:U\ra Y$ einem Morphimus, unter der "Aquivalenzrelation der "Ubereinstimmung auf einer offenen dichten Teilmenge im Schnitt der Definitionsbereiche. Ist $Y$ eine Variet"at,\label{DefBB} so stimmen nach \ref{HEPP} je zwei Repr"asentanten $(U,f_U)$ und $(V,f_V)$ eines rationalen Morphismus $f:X \dashrightarrow Y$ bereits auf $U\cap V$ "uberein. Jeder rationale Morphismus in eine Variet"at hat mithin einen eindeutig bestimmten {\bf gr"o"sten Repr"asentanten}, der eben auf der Vereinigung der Definitionsbereiche aller Repr"asentanten definiert ist. Der Definitionsbereich des gr"o"sten Repr"asentanten hei"st der\index{Definitionsbereich!von rationalem Morphismus} {\bf Definitionsbereich unseres rationalen Morphismus}. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{Rationale Funktionen auf Produkten}] Gegeben Pr"avariet"aten $X,Y$ gibt es genau eine Einbettung $\mathcal M(X)\otimes \mathcal M(Y) \hra \mathcal M(X\times Y)$, die f"ur beliebige offene dichte affine Teilmengen $U\co X$ und $V\co Y$ den in \ref{PAf} erkl"arten Isomorphismus $\mathcal O(U)\otimes\mathcal O(V)\sira \mathcal O(U\times V)$ fortsetzt.\label{Daa} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokale Ringe von Produkten}] Gegeben bepunktete Pr"avariet"aten $(X,x)$ und $(Y,y)$ gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\mathcal O_{X,x}\otimes \mathcal O_{Y,y}\ra \mathcal O_{X\times Y,(x,y)}$, der f"ur beliebige offene affine Umgebungen $U$ von $x$ und $V$ von $y$ den in \ref{PAf} erkl"arten Isomorphismus $\mathcal O(U)\otimes\mathcal O(V)\sira \mathcal O(U\times V)$ fortsetzt.\label{Dbb} Genauer liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$S^{-1}(\mathcal O_{X,x}\otimes \mathcal O_{Y,y})\sira \mathcal O_{X\times Y,(x,y)}$$ f"ur $S$ das Urbild von $k^\times$ unter $\mathcal O_{X,x}\otimes \mathcal O_{Y,y}\sra k\otimes k\sira k$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben bepunktete irreduzible Pr"avariet"aten $(X,x)$ und $(Y,y)$ kommutiert das Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \mathcal O_{X,x}\otimes \mathcal O_{Y,y}&\ra &\mathcal O_{X\times Y,(x,y)}\\ \da &&\da\\ \mathcal M(X)\otimes \mathcal M(Y)& \ra& \mathcal M(X\times Y) \end{array} $$ mit den im vorhergehenden erkl"arten nat"urlichen Abbildungen. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Im folgenden identifizieren wir im Fall einer irreduziblen Pr"avariet"at $Z$ alle lokalen Ringe und alle Ringe von regul"aren Funktionen auf nichtleeren offenen Teilmengen mit ihren Bildern in $\mathcal M(Z)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma*}[\textbf{Lokale Ringe charakterisieren Punkte}] Sind $x,y$ Punkte einer irreduziblen Variet"at $X$ und gilt\label{lrVG} $\mathcal O_{X,y}\subset \mathcal O_{X,x} $ in K"orper der rationalen Funktionen $\mathcal M(X)$, so folgt $x=y$. \end{Lemma*} \begin{Beispiel} Im Fall einer Pr"avariet"at ist das nicht mehr richtig. Im Fall einer Gerade mit verdoppeltem Ursprung etwa haben die lokalen Ringe am Ursprung und seinem Doppelg"anger dasselbe Bild im K"orper der rationalen Funktionen. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir zeigen das, indem wir die gegenteilige Annahme $x\neq y$ zum Widerspruch f"uhren. In der Tat liefert "Ubung \ref{Dbb} sofort $\mathcal O_{X\times X,(x,y)}\subset \mathcal O_{X\times X,(x,x)}$. Sind $U,V\co X$ offene affine Umgebungen von $x,y$, so trifft $U\times V$ nach Annahme die Diagonale $\Delta$ in einer abgeschlossenen Teilmenge und es gibt folglich $f\in \mathcal O(U\times V)$ mit $f(x,y)\neq 0$ aber $f(p,p)=0$ f"ur alle $p\in U\cap V$. Als rationale Funktion auf $X\times X$ ist $f$ bei $(x,y)$ und dann nach \ref{Dfff} notwendig auch bei $(x,x)$ definiert, da es in den entsprechenden lokalen Ringen liegt, und mu"s an beiden Stellen denselben Wert annehmen. Nun verschwindet jedoch $f$ auf einer offenen dichten Teilmenge der Diagonale und mithin auf dem Schnitt seines Definitionsbereichs mit der Diagonale. Wir landen so beim Widerspruch $0\neq f(x,y)=f(x,x)=0$. \end{proof} \subsection{Projektive R"aume}\label{PPVV} \begin{Bemerkungl}Sei in diesem Abschnitt $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere aus \eref{CUe}{EL}, da"s wir gegeben ein $k$-Vektorraum $W$ die Menge aller Geraden in $W$ durch den Ursprung mit \index{P@$\Bbb{P}W$ projektiver Raum zu $W$} \begin{displaymath} \Bbb{P}W =\Bbb{P}_kW \pdef \{ V \subset W \mid V \text{ ist ein eindimensionaler Untervektorraum}\} \end{displaymath} bezeichnen und diese Menge den \defnoind{projektiven Raum\index{projektiver Raum!als Menge} zu $W$} nennen. Die {\bf kanonische Projektion} $\pi:W\backslash 0\sra \Bbb{P}W$, $w\mapsto \langle w\rangle$, die jedem von Null verschiedenen Vektor sein Vektorraumerzeugnis zuordnet, ist eine Surjektion, deren Fasern gerade die Bahnen von $k^\times$ sind. Bis hierher gilt alles noch genauso f"ur einen beliebigen K"orper $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektive R"aume als $k$-geringte R"aume}] Wir erkl"aren f"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $W$ auf dem projektiven Raum\index{projektiver Raum!als algebraische Variet"at} $\DP W$ die Struktur eines $k$-geringten Raums, genauer eines durch Funktionen $k$-geringten Raums \ref{VKBeA}. Dazu gehen wir von der nat"urlichen Struktur \ref{akV} auf $W$ als naive affine Variet"at aus und machen sie wie in \ref{afvar} zu einer Struktur als affine Variet"at im Sinne spezieller $k$-geringter R"aume. Darin betrachten wir das Ursprungskomplement $W\backslash 0$ und versehen es mit der induzierten Struktur \ref{ExBA}. Schlie"slich versehen wir davon ausgehen $\DP W$ mit der finalen Struktur \ref{FiSuA} zur kanonischen Projektion $$\pi: W \backslash 0\sra \DP W$$ Damit ist eine Teilmenge $U\subset \DP W$ per definitionem genau dann offen, wenn ihr Urbild unter der kanonischen Projektion eine offene Teilmenge $\pi^{-1}(U)\co W \backslash 0$ ist, und eine Funktion auf $f:\DP W\lco U\ra k$ ist regul"ar genau dann, wenn die zur"uckgezogene Funktion $f\circ\pi:\pi^{-1}(U)\ra k$ regul"ar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Speziell schreibt man $\DP^n k\pdef\DP (k^{n+1}) $. Elemente darin notieren wir abk"urzend $\langle x_0,\ldots, x_n\rangle\pdef\langle (x_0,\ldots, x_n)\rangle$. Genau dann ist per definitionem $U\subset \DP^n k$ offen, wenn $\pi^{-1}(U)\subset k^{n+1} \backslash 0$ offen ist, und eine Funktion $f:U\ra k$ ist regul"ar genau dann, wenn die zur"uckgezogene Funktion $f\circ \pi$ auf $\pi^{-1}(U)$ regul"ar ist, als da hei"st, lokal als Quotient von Polynomfunktionen geschrieben werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTOP} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{PrPv} \end{minipage} \end{figure} \begin{Satz}[\textbf{Projektive R"aume sind Variet"aten}] Gegeben ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $W$ ist der zugeh"orige projektive Raum $\DP W$ mit seiner finalen Struktur als $k$-geringter Raum in Bezug auf $\pi:W\backslash 0\sra \mathbb P W$ eine $k$-Variet"at.\label{PrPv} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Trivialit"at der Projektion}] Bezeichne $\pi: W\backslash 0\sra \DP W$ die Projektion.\label{plhf} Im anschlie"senden Beweis zeigen wir sogar, da"s jeder Punkt von $\DP W$ eine offene Umgebung $U\co \DP W$ besitzt, f"ur die die Projektion $\pi^{-1}(U)\ra U$ einen Schnitt $\sigma:U\ra \pi^{-1}(U)$ hat derart, da"s die Abbildung $(\lambda,x)\mapsto \lambda\sigma(x)$ ein Isomorphismus $k^\times\times U\sira \pi^{-1}(U)$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst, da"s f"ur jede affine Hyperebene $H\subset W$, die den Ursprung vermeidet, die Injektion $i_H: H\hra \DP W$ gegeben durch $v\mapsto\langle v\rangle$ eine offene Einbettung ist. Ist in der Tat $\vec H\subset W$ der Untervektorraum der Richtungsvektoren unserer affinen Hyperebene $H$, so ist $\pi^{-1}(\pi(H))=W\backslash \vec H$ offen in $W\backslash 0$. Mithin hat unsere Injektion $i_H:H\hra \DP W$ offenes Bild. Nun betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{&W\backslash \vec H\ar@{->>}[rd]^{\pi}\ar@{->>}[ld]&\\ H\ar@{->}[rr]&&i_H(H)} \end{displaymath} Der linke schr"age Pfeil ordne jedem Punkt den Schnittpunkt mit $H$ der durch ihn verlaufenden Ursprungsgeraden zu. Er ist ein Morphismus, denn ist in Formeln $\lambda_H:W\ra k$ die Linearform, deren Niveaufl"ache zum Wert Eins gerade $H$ ist, so wird er gegeben durch die Formel $w\mapsto \lambda_H(w)^{-1}w$. Er ist nach \ref{TFGrgA} sogar final, da er einen Schnitt besitzt, eben die Einbettung $H\hra W\backslash \vec H$. Der rechte schr"age Pfeil ist final, da diese Eigenschaft nach \ref{SubmcA} lokal ist in der Basis. Zusammen folgt, da"s die horizontale Bijektion ein Isomorphismus $H\sira i_H(H)$ von $k$-geringten R"aumen sein mu"s. Damit ist $\DP W$ schon mal eine Pr"avariet"at. Gegeben eine weitere affine Hyperebene $E\subset W$, die den Ursprung vermeidet, besteht das Urbild der Diagonale unter dem Produkt $i_H\times i_E: H\times E\hra \DP W\times \DP W$ aus allen $(v,w)$ mit $\lambda_H(w)\neq 0$, $\lambda_H(w)^{-1}w=v$, $\lambda_E(v)\neq 0$ und $\lambda_E(v)^{-1}v=w$. Diese Bedingungen sind jedoch gleichbedeutend zu den beiden Bedingungen $w=\lambda_H(w)v$ und $v=\lambda_E(v)w$, die offensichtlich eine abgeschlossene Teilmenge von $H\times E$ definieren. Das zeigt, da"s $\DP W$ eine Variet"at ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Standardkarten von $\DP^nk$}] Speziell zeigt der vorhergehende Beweis, da"s wir eine offene Einbettung $i_0:k^n\hra \DP^n k$ erhalten durch die Vorschrift\label{OUE} $ (x_1, \ldots, x_n) \mapsto \langle 1, x_1, \ldots, x_n \rangle$. In derselben Weise erhalten wir offene Einbettungen $i_\nu:k^n\hra \DP^n k$ f"ur $0\leq \nu\leq n$, deren Bilder $\DP^n k$ "uberdecken. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektive Vervollst"andigungen als Variet"aten}] Gegeben ein endlichdimensionaler affiner Raum $E$ "uber einem K"orper $k$ erinnern wir seine projektive Vervollst"andigung $\mathbb V E\pdef E\sqcup \DP \vec E$ aus \eref{PrVi}{EL}. Weiter erinnern wir, wie wir f"ur jede Einbettung $E\hra V$ als den Ursprung vermeidende Hyperebene in einen Vektorraum eine Bijektion $\mathbb V E\sira \DP V$ konstruiert hatten. Jede dieser Bijektionen versieht $\mathbb V E$ im Fall $k=\bar k$ mit der Struktur einer Variet"at. Der Leser mag zur "Ubung pr"ufen, da"s diese Struktur nicht von der\label{PVVV} gew"ahlten Einbettung als Hyperebene abh"angt und da"s $E\hra \mathbb V E$ eine offene Einbettung von Variet"aten alias $k$-geringten R"aumen ist sowie $\DP \vec E\hra \mathbb V E$ eine abgeschlossene Einbettung. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Globale Funktionen auf projektiven R"aumen}] Die einzigen globalen regul"aren Funktionen auf unseren projektiven R"aumen $\DP^nk$ sind die konstanten Funktionen, in Formeln gilt f"ur alle $n\geq 0$ also\label{GFPN} $$\cal{O}( \DP^nk)=k$$ \end{Proposition} \begin{proof} Im Fall $n=0$ ist das eh klar. F"ur jedes $n$ kann $\cal{O}( \DP^nk)$ identifiziert werden mit der Menge aller der regul"aren Funktionen $f$ auf $k^{n+1}\backslash 0 ,$ die auf allen Ursprungsgeraden konstant sind. Da sich aber nach \ref{FoRF} unser $f$ f"ur $n\geq 1$ zu einer regul"aren Funktion auf ganz $k^{n+1}$ fortsetzen l"a"st, die dann nat"urlich auch auf allen Ursprungsgeraden konstant ist, mu"s unsere Funktion $f$ konstant denselben Wert annehmen wie ihre regul"are Fortsetzung auf ganz $k^{n+1}$ am Ursprung. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Globale Funktionen auf der projektiven Gerade}] F"ur die projektive Gerade $\mathbb P^1k=k\sqcup \{\infty\}$ kann man das auch einsehen, indem man sie als Verklebung von zwei Kopien von $k$ l"angs $k^\times$ mit der Verklebungsidentifikation $z\mapsto z^{-1}$ versteht. Genauer haben wir in diesem Fall $i_0(k)\cap i_1(k)=i_0(k^\times)=i_1(k^\times)$ und $i_0(z)=i_1(z^{-1})$ f"ur alle $z\in k^\times$. Eine regul"are Funktion $f:\mathbb P^1k\ra k$ schr"ankt unter $i_0$ ein zu einem Polynom $f\circ i_0 \in \mathcal O(k)$ mit der Eigenschaft, da"s die Funktion $f\circ i_0 \circ \op{inv}:k^\times\ra k$ f"ur $\op{inv}:k^\times \ra k$, $z\mapsto z^{-1}$ auch die Restriktion eines Polynoms ist, eben des Polynoms $f\circ i_1$. So folgt, da"s $f$ konstant sein mu"s. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine {\bf abstrakte projektive $k$-Variet"at}\index{projektiv!Variet"at} oder kurz {\bf projektive Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der\label{DPV} isomorph ist zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines $\DP^n k$. Eine {\bf quasiprojektive $k$-Variet"at}\index{quasiprojektiv!$k$-Variet"at} ist ein $k$-geringter Raum, der isomorph ist zu einer offenen Teilmenge einer projektiven $k$-Variet"at. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Da es eine offene Einbettung $k^n\hra \DP^n k$ gibt, ist jede quasiaffine Variet"at auch quasiprojektiv. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf in $\DP^n k$ eingebetteten projektiven $k$-Variet"at}\index{Variet"at!projektive eingebettete} oder kurz einer {\bf eingebetteten projektiven Variet"at} verstehen wir\label{EDPV} eine abgeschlossene Teilmenge eines $\DP^n k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Begriffs einer projektiven Variet"at}] Ich meine in diesem Text mit einer projektiven Variet"at stets eine abstrakte projektive Variet"at. In der Literatur werden jedoch sowohl abstrakte wie eingebettete projektive Variet"aten oft abk"urzend als projektive Variet"aten bezeichnet. Der Unterschied zwischen diesen beiden Begriffsbildungen ist jedoch erheblich, wie Sie noch zur Gen"uge feststellen werden: Ein- und dieselbe abstrakte projektive Variet"at kann n"amlich durchaus auf sehr verschiedene Weisen in vorgegebene projektive R"aume eingebettet werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf projektiven Kurve}\index{Kurve!projektive} verstehen wir eine "aqui-eindimensionale projektive Variet"at. Unter einer {\bf ebenen projektiven Kurve}\index{Kurve!ebene projektive} verstehen wir eine projektive Kurve, die in eine projektive Ebene\label{pKurve} eingebettet ist. Unter einer {\bf projektiven Ebene} verstehen wir den $\mathbb P^2k$ oder die dazu isomorphen Variet"aten $\mathbb V(k^2)$ oder koordinatenfrei $\mathbb V E$ f"ur einen zweidimensionalen affinen Raum $E$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kegelkonstruktion}] Um die Topologie des $\DP^n k$ zu untersuchen, gehen wir von der Projektion $\pi: (k^{n+1}\backslash 0)\sra \DP^n k$ aus. Nat"urlich liefert die Abbildungsvorschrift $W\mapsto {\op{C}}(W)\pdef \pi^{-1}(W)\sqcup\{0\}$ eine Bijektion\label{Keg} $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Teilmengen}\\ \text{von $\DP^nk$} \end{array}\!\!\right\} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$k^\times$-stabile den Ursprung enthaltende}\\ \text{Teilmengen von $k^{n+1}$} \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ Hier hei"st ${\op{C}}(W)$ auch der {\bf Kegel "uber $W$} mit dem Buchstaben $\op{C}$ f"ur englisch {\bf cone}.\index{Kegel!"uber projektiver Variet"at}\index{C@${\op{C}}(W)$ Kegel "uber projektiver Variet"at} Genau dann ist eine Teilmenge $W\subset \DP^nk$ abgeschlossen, wenn ihr Kegel ${\op{C}}(W)\subset k^{n+1}$ eine abgeschlossene Teilmenge von $k^{n+1}$ ist. Insbesondere ist der Kegel "uber dem Abschlu"s der Abschlu"s des Kegels ${\op{C}}(\bar W)=\overline{{\op{C}}(W)}$, denn der Abschlu"s einer $k^\times$-stabilen Teilmenge mu"s auch selbst wieder $k^\times$-stabil sein, und damit ist die kleinste $k^\times$-stabile abgeschlossene Teilmenge "uber ${\op{C}}(W)$ auch die kleinste abgeschlossene Teilmenge "uber ${\op{C}}(W)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Genau dann ist eine Teilmenge $W\subset \DP^n k$ irreduzibel, wenn ihr Kegel ${\op{C}}(W)$ irreduzibel ist und nicht nur aus dem Ursprung besteht.\label{KegI} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dies Lemma und sein Beweis gelten sogar allgemeiner f"ur einen beliebigen unendlichen K"orper $k$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Um das einzusehen, d"urfen wir uns auf abgeschlossene Teilmengen $W\As \DP^n k$ beschr"anken. Ist $W=Y\cup Z$ eine Zerlegung in echte abgeschlossene Teilmengen, so auch ${\op{C}}(W)={\op{C}}(Y)\cup {\op{C}}(Z)$. Ist $W$ leer, so besteht ${\op{C}}(W)$ nur aus dem Ursprung. Ist also $W$ nicht irreduzibel, so ist auch ${\op{C}}(W)$ nicht irreduzibel oder besteht nur aus dem Urspung. Sei umgekehrt ${\op{C}}(W)= Y_1\cup\ldots\cup Y_r$ die Zerlegung in irreduzible Komponenten. Die Abbildung $k^\times\times {\op{C}}(W)\ra {\op{C}}(W)$ ist ein Morphismus von Variet"aten und die $k^\times\times Y_i$ sind irreduzibel nach \ref{PZT}. Das zeigt, da"s ihre Bilder jeweils ganz in einer irreduziblen Komponente von ${\op{C}}(W)$ landen m"ussen, und man sieht leicht, da"s daf"ur nur die Komponente $Y_i$ in Frage kommt. Also sind alle Komponenten $Y_i$ von ${\op{C}}(W)$ auch $k^\times$-stabil. Besteht also ${\op{C}}(W)$ nur aus dem Urspung oder ist nicht irreduzibel, so ist $W$ auch nicht irreduzibel. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Erzwungene Schnitte in projektiven R"aumen}] Sind $X,Y\As \mathbb P^nk$ nichtleere abgeschlossene Teilmengen und ist die Summe ihrer Dimensionen mindestens $n$, so haben sie nichtleeren Schnitt, in Formeln \label{SPVVB} $$\op{kdim} X+ \op{kdim} Y\geq n\;\;\RA \;\; X\cap Y\neq\emptyset$$ \end{Satz} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $X$ und $Y$ irreduzibel annehmen. Durch "Ubergang zu den Kegeln erhalten wir nach "Ubung \ref{irst} irreduzible abgeschlossene Teilmengen ${\op{C}}(X), {\op{C}}(Y)\subset k^{n+1}$ von jeweils um Eins gr"o"serer Dimension. Da der Ursprung in ihrem Schnitt liegt, gilt ${\op{C}}(X)\cap {\op{C}}(Y)\neq \emptyset$. Nach \ref{KDSa} hat aber nun jede Komponente des Schnitts dieser Kegel mindestens die Dimension Eins und mu"s folglich auch Punkte au"serhalb des Ursprungs und mithin eine ganze Gerade durch den Ursprung enthalten. Das zeigt hinwiederum $X\cap Y\neq\emptyset$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kodimension von Schnittmengen}] Gegeben irreduzible abgeschlossene Teilmengen\label{KDSax} $X,Y\As \mathbb P^nk$ gilt f"ur jede irreduzible Komponente $Z$ ihres Schnitts $X\cap Y$ die Absch"atzung $$(n-{\op{kdim}} Z)\leq (n-{\op{kdim}} X) + (n-{\op{kdim}} Y)$$ \end{Satz} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus der entsprechenden Aussage \ref{KDSa} f"ur affine Variet"aten. \end{proof} %\begin{proof} % Hat unsere projektive Variet"at mindestens die Dimension Zwei %und nimmt eine regul"are Funktion darauf zwei verschiedene Werte an, %so sind die entsprechenden Niveaumengen nichtleere %abgeschlossene Teilmengen, deren s"amtliche irreduzible Komponenten %die % Kodimension Eins haben und die %nach \ref{SPVVB} folglich paarweise nichtleeren Schnitt haben % m"ussen, Widerspruch. %Hat unsere projektive Variet"at $X\As \DP^n k$ die Dimension Eins, %so greifen wir etwas voraus und %beachten, da"s ihr Produkt mit der %projektiven Gerade $\DP^1$ nach %\ref{Segre} auch eine projektive Variet"at und nach \ref{PIrr} %auch wieder irreduzibel ist. Damit %haben wir dann wieder %gewonnen. %\end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es keinen Morphismus von Variet"aten $\mathbb P^1 k \rightarrow \mathbb P^1 k$ ohne Fixpunkt gibt. Salopp gesprochen ist es also nicht m"oglich, \glqq in algebraischer Weise jeder Ursprungsgerade in $k^2$ ein Komplement zuzuordnen\grqq. In stetiger Weise gelingt das etwa im Komplexen durchaus: Es reicht, ein Skalarprodukt auszuzeichnen und jeder Gerade ihr orthogonales Komplement zuzuordnen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum $V$ und seine $d$-te symmetrische Potenz ${\op{S}}^d V$ induziert der Morphismus von Variet"aten $ V \rightarrow {\op{S}}^d V ,$ $v \mapsto v^d $ einen Morphismus von Variet"aten $$ \begin{array}{ccc} \mathbb P V &\hookrightarrow &\mathbb P ({\op{S}}^d V)\\ \langle v \rangle &\mapsto& \langle v^d \rangle \end{array} $$ Man zeige, da"s dieser Morphismus f"ur $d \geq 1$ eine Einbettung ist. Sie hei"st die {\bf $d$-te} \defind{Veronese-Einbettung} unseres projektiven Raums $\mathbb P V$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen der projektiven Gerade}]$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s jeder Isomorphismus $\DP^1 k\sira \DP^1 k$ von der Restriktion eines Vektor\-raum\-automorphismus von $k^2$ auf $k^2\backslash 0$ induziert wird und da"s wir so einen Grup\-pen\-isomorphismus\label{AutP} $$\op{GL}(2;k)/k^\times\sira\op{Var}^\times (\DP^1 k)$$ des besagten Quotienten mit der Automorphismengruppe der projektiven Gerade erhalten. Hinweis: Man erinnere zun"achst die Automorphismen der Gerade $k$ aus \ref{AutoV}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge $W\As \DP^n k$ zeige man\label{irst} f"ur die Dimension ihres Kegels die Formel $\op{kdim}{\op{C}}(W)=\op{kdim}W+1$. Hinweis: Lokale Trivialit"at der Projektion \ref{plhf}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $m,n\geq 1$. Man zeige, da"s die von der Abbildung\label{Segre} $k^{n}\times k^{m}\ra k^{mn}$ gegeben durch $(x_i, y_j)\mapsto (x_iy_j)$ induzierte Abbildung $$\DP^{n-1}k\times \DP^{m-1}k \ra \DP^{nm-1}k$$ eine abgeschlossene Einbettung ist. Sie hei"st die {\bf Segre-Einbettung}.\index{Segre-Einbettung} Man folgere, da"s das Produkt von zwei projektiven Variet"aten wieder eine projektive Variet"at ist. Hinweis: Das Bild in $k^{mn}$ ist die Nullstellenmenge der Gleichungen $z_{ij}z_{kl}=z_{il}z_{kj}$. Dann rechne man in Koordinaten \ref{OUE}. Alternativ mag man auch von \ref{PrUSn} ausgehen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme die Schnittpunkte der Abschl"usse in der projektiven Vervollst"andigung $\mathbb V\DC^2$ der Ebene $\DC^2$ der beiden konzentrischen Kreise $x^2+y^2=1$ und $x^2+y^2=2$. Man bestimme jeweils die Schnittmultiplizit"at \ref{SchM}. \end{Ubung} \subsection{Graduierte Gruppen und Ringe} \begin{Definition} Eine {\bf Graduierung}\index{Graduierung!auf abelscher Gruppe} auf einer\index{graduiert!abelsche Gruppe|main} abelschen Gruppe $V$ ist %wie in \ref{GAgrA} eine Familie von Untergruppen\label{GAgr} $V^{r}\subset V$ f"ur $r\in \DZ$ derart, da"s gilt $V = \bigoplus_{r\in \DZ} V^{r}$. Die Elemente von $V^r$ hei"sen dann {\bf homogen vom Grad $r$}. Jedes Element $v\in V$ l"a"st sich demnach eindeutig darstellen als Summe $v=\sum v_r$ mit $v_r\in V^r$, wobei fast alle $v_r$ verschwinden. Das besagte $v_r$ hei"st dann die {\bf homogene Komponente von $v$ vom Grad $r$}.%Wie in \ref{xGAgrA} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ist etwas allgemeiner $\Gamma$ eine Menge, so versteht man unter einer {\bf $\Gamma$-Graduierung} auf einer abelschen Gruppe $V$ eine Familie von Untergruppen $V^{\gamma}$ f"ur $\gamma\in \Gamma$ derart, da"s gilt $V = \bigoplus_{\gamma\in \Gamma} V^{\gamma}$. Eine Graduierung im obigen Sinne ist also genauer eine {\bf $\DZ$-Graduierung}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Eine multilineare Abbildung $\varphi:V_1\times\ldots \times V_r\ra V$ von graduierten abelschen Gruppen hei"st {\bf graduierungsvertr"aglich},\index{graduierungsvertr"aglich!multilineare Abbildung} wenn gilt $$\varphi\big(V_1^{a(1)}\times\ldots \times V_r^{a(r)}\big)\subset V^{a(1)+\ldots+a(r)}$$ f"ur alle $a(1),\ldots,a(r)\in \DZ$. Die nulllinearen Abbildung nach $V$ sind speziell Abbildungen $\varphi:\{\ast\}\ra V$ der einelementigen Menge nach $V$ mit $\varphi(\ast)\in V^0$ und k"onnen durch $\varphi\mapsto \varphi(*)$ mit den Elementen von $V^0$ identifiziert werden. Allgemeiner bleibt der Begriff graduierungsvertr"aglicher multilinearer Abbildungen sinnvoll f"ur abelsche Gruppen mit einer Graduierung durch eine beliebiges abelsches Monoid $\Gamma$. Im Fall eines nichtabelschen Monoids wird dieser Begriff abh"angig von der Reihenfolge der Eing"ange in unserer multilinearen Abbildung und wir verfolgen das hier nicht weiter. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defnoind{Graduierung}\index{Graduierung!auf Ring} eines Rings $A$ ist\index{graduiert!Ring|main} %wie in \ref{GARiA} eine Graduierung der additiven Gruppe $A$\label{GARi} derart, da"s gilt $A^{ r}A^{ s} \subset A^{ r+s}$ f"ur alle $r,s$ und $1\in A^0$. Ein {\bf graduierter Modul}\index{Modul!graduierter} "uber\index{graduiert!Modul|main} einem graduierten Ring $A$ ist ein $A$-Modul $M$ mit einer Graduierung $M=\bigoplus M^i$ derart, da"s gilt $A^{ r}M^{ s} \subset M^{ r+s}$ f"ur alle $r,s$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Etwas allgemeiner erkl"art man "ahnlich f"ur jedes abelsche Monoid $\Gamma$ den Begriff einer $\Gamma$-Graduierung auf einem Ring und eines\label{GaRiA} $\Gamma$-graduierten Moduls "uber einem $\Gamma$-graduierten Ring. Etwas formaler ist die Forderung im Fall eines Rings, da"s die Multiplikation $A\times A\ra A$ eine graduierungsvertr"agliche bilineare Abbildung ist und das Einselement einer graduierungsvertr"aglichen nulllinearen Abbildung entspricht. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Homogenit"at des Einselements}] Im Fall eines $\DZ$-gra\-du\-ier\-ten Rings kann man aus den anderen Eigenschaften bereits herleiten, da"s das Eins-Element homogenen sein mu"s vom Grad Null, in Formeln $1\in A^0$. Um das zu sehen, berechne man das Produkt der homogenen Komponenten von $1$ mit beliebigen homogenen Elementen des Rings. Im Fall allgemeinerer $\Gamma$-graduierter Ringe kann man jedoch nicht mehr aus den anderen\label{HoEin} Eigenschaften herleiten, da"s das Eins-Element homogenen sein mu"s vom Grad Null. Zum Beispiel k"onnte ein mit dem multiplikativen Abmonoid $(\DN,\cdot)$ graduierter Ring nur homogene Komponenten im Grad Null haben. Es scheint mir deshalb unnat"urlich, diese Bedingung im Fall $\DZ$-graduierter Ringe aus der Definition wegzulassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{homog} F"ur eine Untergruppe $U\subset V$ beziehungsweise einen Quotienten $V/U$ einer graduierten abelschen Gruppe $V$ bilden die Schnitte $U^r=V^r\cap U$ beziehungsweise die Bilder der $V^r$ in $V/U$ im allgemeinen keine Graduierung von $U$ beziehungsweise von $V/U$. Das gilt nur, wenn mit jedem $v\in U$ auch alle homogenen Komponenten von $v$ zu $U$ geh"oren, wenn also f"ur die $U^r=U\cap V^r$ gilt $U=\bigoplus_r U^r$. Eine Untergruppe einer graduierten abelschen Gruppe mit dieser Eigenschaft nennt man eine {\bf homogene Untergruppe},\index{homogen!Untergruppe} und f"ur den Quotienten einer graduierten abelschen Gruppe nach einer homogenen Untergruppe bilden die Bilder der $V^r$ in der Tat auch eine Graduierung des Quotienten $V/U$ und wir haben dann $(V/U)^r=V^r/U^r$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeder Quotient $A/I$ eines graduierten Rings $A$ nach einem homogenen Ideal $I$ ist mit der nat"urlichen Graduierung wieder ein graduierter Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Analog definiert man {\bf graduierte Vektorr"aume}\index{graduiert!Vektorraum} und {\bf graduierte Algebren}.\index{graduiert!Algebra} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $k$ oder auch ein beliebiger Ring besitzt der Polynomring $k[T_1,\ldots, T_n]$ genau eine Graduierung derart, da"s die homogenen Elemente vom Grad $r$ eben die homogenen Polynome vom Grad $r$ aus \eref{hPP}{AL} sind. Diese Graduierung nennen wir die {\bf Standardgraduierung}\index{Standardgraduierung} auf unserem Polynomring. Etwas allgemeiner besitzt er auch f"ur beliebige $d_1,\ldots,d_n\in\DZ$ genau eine Graduierung derart, da"s $T_i$ jeweils homogen ist vom Grad $d_i$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein Vektorraum $V$ besitzen die Tensoralgebra ${\op{T}}V$ nach \eref{TeAl}{LA2}, die Gra"smann-Algebra $\bigwedge V$ nach \eref{LaV}{LA2} und die symmetrische Algebra ${\op{S}}V$ nach \ref{SyAl} jeweils eine nat"urliche Graduierung durch die Teilr"aume, die wir im jeweiligen Kontext ${\op{T}}^rV$, $\bigwedge^r V$ und ${\op{S}}^rV$ notiert hatten. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein graduierter Ring $A = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} A^i$ mag es naheliegend scheinen, einen weiteren graduierten Ring einzuf"uhren als die Gruppe $A$ mit der Multiplikation $a \ast b = (-1)^{|a||b|} ab$ f"ur homogene $a,b \in A$ der Grade $|a|,|b|$. Das liefert jedoch nichts Neues, genauer gilt mit der Notation\label{UmGZ} $[i/2]$ f"ur die gr"o"ste ganze Zahl kleinergleich $i/2$ f"ur den Gruppenisomorphismus $\varphi : A \sira A$ gegeben durch $\varphi (a) = (-1)^{[|a|/2]} a$ f"ur beliebige homogene $a \in A$ die Relation $ \varphi (ab) = \varphi (a) \ast \varphi (b) $. Ich kenne f"ur die dieser Erkenntnis zugrundeliegende mit beliebigen $i,j\in\DZ$ g"ultige Kongruenz $$[(i+j)/2]\equiv ij+ [i/2]+[j/2]\pmod 2$$ keinen besseren Beweis als den Vergleich der beiden Verkn"upfungstabellen f"ur $i,j\in\DZ/4\DZ$. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Radikale homogener Ideale}] Gegeben ein homogenes Ideal in einem gra\-duierten Kring ist auch sein Radikal wieder homogen.\label{RHIi} Hinweis: Man zeige, da"s f"ur $x_{n}+x_{n+1}+\ldots +x_{m}$ aus dem Radikal mit $x_i$ homogen vom Grad $i$ auch $x_n$ zu fraglichem Radikal geh"ort. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s es auf jedem Schiefk"orper nur eine einzige Graduierung gibt, die ihn zu einem graduierten Ring macht. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Charakterisierung homogener Integrit"atsringe}] Ein graduierter Ring ist ein Integrit"atsring genau dann, wenn er nicht Null ist und wenn f"ur je zwei homogene von Null verschiedene Elemente auch ihr\label{hPI} Produkt von Null verschieden ist. Ein homogenes Ideal in einem graduierten Ring ist vollprim genau dann, wenn es nicht der ganze Ring ist und f"ur je zwei homogene Elemente au"serhalb unseres homogenen Ideals auch ihr Produkt au"serhalb unseres homogenen Ideals liegt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder graduierte noethersche Modul "uber einem graduierten Kring besitzt eine endliche Filtrierung\label{FiSPV} durch homogene Untermoduln derart, da"s alle Subquotienten isomorph sind zu Quotienten unseres Krings nach homogenen Primidealen. Hinweis: \ref{FiSP} und \ref{hPI}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Graduierung und Lokalisierung}] Gegeben ein graduierter Kring $A$ und eine Teilmenge $S\subset A$, die aus homogenen Elementen besteht, sowie ein graduierter $A$-Modul $M$ gibt es genau eine Graduierung auf dem $A$-Modul $S^{-1}M$ derart, da"s $\op{lok}:M\ra S^{-1}M$ die\label{GuL} Graduierung erh"alt. Die von einer graduierungsvertr"aglichen multilinearen Abbildung auf den Lokalisierungen induzierte multilineare Abbildung ist auch wieder graduierungsvertr"aglich. Insbesondere wird $S^{-1}A$ ein graduierter Kring und $S^{-1}M$ ein graduierter $A$-Modul. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Moduln als graduierte Moduln}] Seien $A$ ein Ring und $A[T,T^{-1}]$ der Ring der Laurentpolynome mit Koeffizienten in $A$ und der durch $\op{grad}(T)=1$ gegebenen $\DZ$-Graduierung. Man zeige, da"s der Funktor $M\mapsto M^0$ eine "Aquivalenz $$A[T,T^{-1}]\op{-Mod}^\DZ \;\sirra \; A\op{-Mod}$$ ist zwischen der Kategorie aller $\DZ$-graduierten $A[T,T^{-1}]$-Moduln und der Kategorie aller $A$-Moduln und da"s die Einbettung einen Isomorphismus $$M^0\sira M/(T-1)M$$ induziert. Man zeige auch: Im Fall eines kommutativen Rings liefert f"ur jede Teilmenge $S\subset A$ und jeden graduierten $A[T,T^{-1}]$-Modul $M$ der durch die universelle Eigenschaft gegebene Morphismus einen Isomorphismus $$S^{-1}(M^0)\sira(S^{-1}M)^0 $$ \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} In einer geometrischen Sprache, die wir sp"ater entwickeln, besagt die vorhergehende "Ubung anschaulich insbesondere, da"s wir f"ur jede affine $k$-Variet"at $X$ eine "Aquivalenz von Kategorien erhalten zwischen $k^\times$-"aquivarianten quasikoh"arenten Modulgarben auf $k^\times\times X$ und quasikoh"arenten Modulgarben auf $ X$. Eine analoge Aussage f"ur ein beliebiges affines Schema $X$ ist dann sogar gleichbedeutend zur Hauptaussage unserer "Ubung im Fall eines beliebigen kommutativen Rings $A$. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}[\textbf{Rationale Funktionen auf projektiven R"aumen}] Wir betrachten in $k[T_0, \ldots, T_n]$ die Menge $S$ aller von Null verschiedenen homogenen Elemente und den lokalisierten graduierten Ring $S^{-1}k[T_0, \ldots, T_n]$ nach \ref{GuL}, aufgefa"st als Teilring von $\mathcal M(k^{n+1})$. Man zeige, da"s wir einen Isomorphismus\label{RFPR} $$\mathcal M(\mathbb P^nk)\sira (S^{-1}k[T_0, \ldots, T_n])^0$$ vom K"orper der rationalen Funktionen auf dem projektiven Raum $\mathbb P^nk$ zum Teilring der homogenen Elemente vom Grad Null erhalten, indem wir jeder auf einer offenen nichtleeren Teilmenge definierten regul"aren Funktion $(U,f)$ die entsprechend lokal definierte Funktion $(\pi^{-1}(U),f\circ \pi)$ zuordnen. \end{Ubung} \subsection{Graduierungen und Operationen} \begin{Bemerkungl} Sei in diesem Abschnitt $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und seien alle Variet"aten und Pr"avariet"aten definiert "uber $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf Monoidpr"avariet"at}\index{Monoidpr"avariet"at} ist ein Monoid $G$ mit der Struktur einer Pr"avariet"at derart, da"s die Multiplikation\label{MoVa} $G\times G\ra G$ ein Morphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf Gruppenpr"avariet"at}\index{Gruppenpr"avariet"at} ist eine Gruppe $G$ mit der Struktur einer Pr"avariet"at derart, da"s die Multiplikation\label{GuVa} und die Inversenbildung Morphismen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Frage, inwieweit es "uberhaupt Monoidpr"avariet"aten gibt, die keine Variet"aten sind, und inwieweit sie in irgendeinem Kontext von Intresse sein k"onnte, klammere ich an dieser Stelle aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf Darstellung eines Monoids $G$ durch Endomorphismen eines Vektorraums $V$} ist ein Monoidhomomorphismus $\rho:G\ra \op{End}(V)$. Wir sagen dann auch, $G$ {\bf operiere auf $V$} und schreiben $gv$ statt $\rho(g)(v)$. Zur Unterscheidung zu anderen Arten von Operationen wie etwa Operationen von Monoiden auf Mengen nennen wir die hier betrachteten Operationen durch lineare Selbstabbildungen von Vektorr"aumen auch ausf"uhrlicher {\bf lineare Operationen}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Darstellung $(V,\rho)$ einer Monoidpr"avariet"at $G$ durch Endomorphismen eines $k$-Vektorraums $V$ hei"st eine {\bf algebraische Darstellung}, wenn jeder Vektor $v\in V$ in einem endlichdimensionalen $G$-stabilen Teilraum $W\subset V$ enthalten ist mit der Eigenschaft, da"s $\rho:G\ra \op{End}_k(W)$ ein Morphismus von Variet"aten ist.\label{adar} Wir sagen dann auch, $G$ {\bf operiere algebraisch auf $V$}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Komorphismen algebraischer Darstellungen}] Gegeben eine algebraische Operation $\rho$ einer Monoidpr"avariet"at $G$ auf einem $k$-Vektorraum $V$ gibt es genau eine lineare Abbildung $\Delta_\rho:V\ra \mathcal O(G)\otimes V$, ihren \emph{\bf Komorphismus},\index{Komorphismus!von algebraischer Darstellung} mit\label{BDKM} $$\rho(g)=\delta_g\otimes \op{id}_V\;\forall g\in G$$ unter Unterschlagung der Notation f"ur den durch Multiplikation gegebenen Isomorphismus $k\otimes V\sira V$. \end{Lemma} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit seien $V$ endlichdimensional und $v_1,\ldots, v_n$ eine Basis. Wir haben $(\rho(g))(v_i)=\sum_j f_{j,i}(g) v_j$ mit $f_{j,i}\in\mathcal O(G)$ nach Annahme. Dann k"onnen und m"ussen wir $\Delta_V(v_i)=\sum_j f_{j,i}\otimes v_j$ setzen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{$\DZ$-Graduierungen und $k^\times$-Operationen}] Gegeben ein $k$-Vek\-tor\-raum $V$ erhalten wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$\DZ$-Graduierungen}\\ \text{auf $V$} \end{array} \!\! \right\} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Operationen $\rho$}\\ \text{von $k^\times$ auf $V$}\end{array}\!\!\right\} \end{array} $$ durch die Vorschrift, die jeder $\DZ$-Graduierung $V=\bigoplus V_i$ diejenige $k^\times$-Operation zuordnet, bei der $x\in k^\times$ auf $v\in V_i$ durch die Multiplikation mit $x^i$ operiert.\label{HTee} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die in der Proposition gegebene Vorschrift liefert offensichtlich sogar einen Isomorphismus von Kategorien, ja sogar von Schmelzkategorien im Sinne von \eref{MuC}{TSK}, wenn Sie diese Terminologie bereits kennengelernt haben. Als Konsequenz oder auch direkt sehen wir, da"s die homogenen Teilr"aume genau die unter der zugeh"origen Operation von $k^\times$ stabilen Teilr"aume sind.\label{HTee1} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Um die Umkehrabbildung anzugeben, betrachten wir den Komorphismus $\Delta_\rho:V\ra k[T,T^{-1}]\otimes V$ nach \ref{BDKM} unserer Darstellung. Aus $\Delta(v)=\sum T^i\otimes v_i$ folgt $\rho(x)(v)=\sum x^i v_i\;\forall x\in k^\times$ und damit $$\sum x^i \rho(y)(v_i)=\rho(y)(\rho(x)(v))=\rho(yx)(v)=\sum x^i y^iv_i\quad\forall x,y\in k^\times$$ Da auch vektorwertige regul"are Funktionen auf $k^\times$ nur "ubereinstimmen k"onnen, wenn alle Koeffizienten gleich sind, folgt $$\rho(y)(v_i)=y^iv_i\quad\forall y\in k^\times$$ Andererseits folgt oben durch Einsetzen von $x=1$ bereits $v=\sum v_i$. Damit ist klar, da"s f"ur jede algebraische Operation von $k^\times$ auf $V$ auch umgekehrt die simultanen Eigenr"aume $V_i\pdef \{v\in V\mid \rho(y)(v)=y^i v\;\forall y\in k^\times\}$ eine $\DZ$-Gra\-du\-ie\-rung von $V$ bilden. \end{proof} \begin{Bemerkungw} $(k=\bar k)$. In \ref{GrOp} werden wir zeigen, da"s die \glqq algebraischen\grqq\ Operationen der multiplikativen Gruppe $k^\times$ auf einer affinen $k$-Variet"at $X$ unter der durch das Lemma gegebenen Konstruktion eineindeutig den $\DZ$-Graduierungen auf ihrem Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)$ entsprechen. \end{Bemerkungw} \subsection{Rechnen in projektiven Variet"aten} \begin{Bemerkungl} Um die Zariskitopologie auf $\DP^nk$ konkret zu beschreiben, erinnere ich an die Begrifflichkeit graduierter Gruppen und Ringe. Gegeben ein K"orper $k$ besitzt der Polynomring $k[T_1,\ldots, T_n]$ genau eine Graduierung derart, da"s die homogenen Elemente vom Grad $r$ eben die homogenen Polynome vom Grad $r$ aus \eref{hPP}{AL} sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HTGj} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben eine Menge $I\subset k[T_0,\ldots, T_n]$ von homogenen Polynomen ist ihre Nullstellenmenge $\mathcal Z(I)\subset k^{n+1}$ stets stabil unter $k^\times$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein unendlicher K"orper $k$ und $C\subset k^{n+1}$ eine $k^\times$-stabile Teilmenge ist das Verschwindungsideal $\mathcal I(C)\subset k[T_0,\ldots, T_n]$ homogen.\label{HRII} \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Im Fall eines endlichen K"orpers $k$ ist das nicht mehr richtig. Im Fall $|k|=q<\infty$ verschwindet zum Beispiel das Polynom $X^{q}-X$ auf ganz $k$, nicht aber seine homogene Komponente vom Grad Null. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir betrachten f"ur alle $\lambda\in k^\times$ die Multiplikation $\lambda:k^{n+1}\ra k^{n+1}$. Sie induziert auf den polynomialen Funktionen eine Abbildung $\lambda^\ast: k[T_0,\ldots, T_n]\ra k[T_0,\ldots, T_n]$ gegeben durch die Vorschrift $T_i\mapsto \lambda T_i$. Wir haben also in Formeln $P(\lambda x)= (\lambda^\ast P)(x)$ f"ur alle Polynome $P$ und alle Punkte $x\in k^{n+1}$. Das Verschwindungsideal einer $k^\times$-stabilen Teilmenge ist mithin stabil unter allen $\lambda^\ast$. Die Aussage folgt nun aus Proposition \ref{HTee} zu $\DZ$-Graduierungen und $k^\times$-Operationen, angewandt auf den $\DZ$-graduierten Vektorraum $V=k[T_0,\ldots, T_n]$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homogene Ideale und $k^\times$-stabile Teilmengen}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ betrachten wir $X\times k^n$ mit der $k^\times$-Operation $\lambda(x,v)=(x,\lambda v)$ und den offensichtlichen Isomorphismus $\mathcal O(X)[T_1,\ldots, T_n]\sira \mathcal O(X\times k^n)$ aus \ref{WADn} und versehen die linke Seite mit der Standardgraduierung und die rechte Seite mit der induzierten Graduierung. So ist f"ur jedes homogene Ideal $I\subset\mathcal O(X\times k^n)$ seine Nullstellenmenge $\mathcal Z(I)$ stabil unter der Operation von $k^\times$ und umgekehrt ist f"ur jede $k^\times$-stabile Teilmenge $Y\subset X\times k^n$ das Verschwindungsideal $\mathcal I(Y)$ homogen nach \ref{HTee}.\label{HIFR} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden im Fall eines unendlichen Grundk"orpers $k$ f"ur jede Teilmenge $W\subset \DP^nk$ die Notation $$\mathcal I^\ast (W)\pdef \mathcal I({\op{C}}(W))$$ f"ur das Verschwindungsideal des Kegels "uber $W$ nach \ref{Keg} und nennen $\mathcal I^\ast (W)$ das {\bf homogene Verschwindungsideal von $W$}. \index{Verschwindungsideal!homogenes} In der Tat ist $\mathcal I^\ast (W)$ im Fall eines unendlichen Grundk"orpers nach \ref{HRII} stets ein homogenes Ideal, ja sogar ein echtes homogenes Radikalideal. Der Quotient \index{O@$\mathcal O^\ast(W)$ homogener Koordinatenring von $W$} $$\mathcal O^\ast(W)\pdef k[T_0,\ldots,T_n]/\mathcal I^\ast (W) =\mathcal O({\op{C}}(W))$$ hei"st der {\bf homogene Koordinatenring von $W$}.\index{Koordinatenring!homogener} \index{homogen!Koordinatenring} In unseren Konventionen haben wir insbesondere ${\op{C}}(\emptyset)=\{0\}$ und $\mathcal O^\ast(\emptyset)=k$ f"ur die leere Teilmenge $\emptyset \subset \mathbb P^n k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Umgekehrt verwenden wir sowohl f"ur jede aus homogenen Elementen bestehende Teilmenge als auch f"ur jedes homogene Ideal $I\subset k[T_0,\ldots,T_n]$ die Notation $$\mathcal Z^\ast(I)\pdef \pi(\mathcal Z(I)\backslash 0)$$ und nennen $\mathcal Z^\ast(I)$ die {\bf projektive Nullstellenmenge von $I$}. \index{projektive Nullstellenmenge} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Abbildungen $\mathcal I^\ast$ und $\mathcal Z^\ast$ kehren Inklusionen um. Wir haben stets $W\subset \mathcal Z^\ast(\mathcal I^\ast(W))$. Wenn wir uns auf homogene Teilmengen $I\subset \mathcal I(0)$ beziehungsweise homogene Ideale $I\subsetneq k[T_0,\ldots, T_n]$ beschr"anken, die also keine von Null verschiedenen Konstanten enthalten, so gilt auch $I\subset \mathcal I^\ast(\mathcal Z^\ast(I))$. F"ur das Ideal $I=k[T_0,\ldots, T_n]$ gilt das jedoch nicht, da wir bei der Kegelkonstruktion per definitionem stets den Ursprung mit dazunehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Zariskitopologie auf $\DP^n_k$ und homogene Ideale}] $(k=\bar k)$. Ordnen wir jedem echten homogenen Radikalideal $I\subset k[T_0,\ldots, T_n]$ seine projektive Nullstellenmenge zu und jeder abgeschlossenen Teilmenge ihr homogenes Verschwindungsideal, so erhalten wir zueinander inverse Bijektionen\label{ZTPn} $$\begin{array}{ccc} \mathcal Z^\ast:\;\;\left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Homogene Radikalideale}\\ I\subsetneq k[T_0,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\} & \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Abgeschlossene Teilmengen}\\ Y\As \DP^nk \end{array} \!\! \right\}\;\;:\mathcal I^\ast \end{array} $$ \end{Korollar} \begin{proof} Wir erinnern die Projektion $\pi:k^{n+1}\backslash 0\sra \DP^nk$. Das Bilden des Urbilds unter $\pi$, das Hinzuf"ugen des Ursprungs und das Bilden des Verschwindungsideals liefern Bijektionen $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{abgeschlossene}\\ \text{Teilmengen von $\DP^nk$} \end{array}\!\!\right\} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$k^\times$-stabile abgeschlossene}\\ \text{Teilmengen von $k^{n+1}\backslash 0$} \end{array} \!\! \right\}\\ &&\da\wr\\ \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{homogene Radikalideale}\\ I\subsetneq k[T_0,\ldots, T_n] \end{array} \!\! \right\}& \stackrel{\sim}{\leftarrow} &\left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{$k^\times$-stabile abgeschlossene}\\ \text{Teilmengen $X\As k^{n+1}$ mit $0\in X$} \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ Die Zusammenfassung der ersten beiden Bijektionen hatten wir bereits in \ref{Keg} als Kegelkonstruktion $Y\mapsto {\op{C}}(Y)$ eingef"uhrt. Beim letzten Schritt verwenden wir, da"s nach \ref{HRII} und \ref{HTGj} unter unserer Bijektion \ref{BRI} zwischen algebraischen Teilmengen von $k^{n+1}$ und Radikalidealen die $k^\times$-invarianten Teilmengen genau den homogenen Radikalidealen entsprechen m"ussen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{KegI} induziert unsere Bijektion zueinander inverse Bijektionen $$\mathcal Z^\ast:\;\;\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Homogene Primideale}\\ \text{mit }I\subsetneq \mathcal I(0)\end{array}\!\!\right\} & \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Irreduzible abgeschlossene}\\ \text{Teilmengen }Y\As \DP^nk \end{array} \!\! \right\}\;\;:\mathcal I^\ast \end{array} $$ Da wir im $k^n$ bereits nach \ref{KKHSsds} wissen, da"s die irreduziblen Hyperfl"achen genau die Nullstellenmengen der irreduziblen Polynome sind, erhalten wir weiter f"ur $n\geq 1$ Bijektionen $$\mathcal Z^\ast:\;\;\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Homogene irreduzible}\\ \text{Polynome }f\in k[T_0,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\}_{/k^\times} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Irreduzible}\\ \text{Hyperfl"achen }Y\As \DP^nk \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ $$\mathcal Z^\ast:\;\;\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Homogene \hyperref[quf]{quadratfreie}}\\ \text{Polynome }f\in k[T_0,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\}_{/k^\times} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Beliebige}\\ \text{Hyperfl"achen }Y\As \DP^nk \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ Eine \hyperref[codim]{Hyperfl\"{a}che} in einem projektiven Raum hei"st ganz allgemein eine {\bf projektive Hyperfl"ache}.\index{projektiv!Hyperfl"ache} \index{Hyperfl"ache!projektive} Der Grad eines und jedes zu einer projektiven Hyperfl"ache geh"origen quadratfreien homogenen Polynoms hei"st der {\bf Grad}\index{Grad!einer projektiven Hyperfl"ache} unserer projektiven Hyperfl"ache.\label{pgrad} Den Grad einer projektiven Hyperfl"ache $H\As \DP^n k$ notieren wir\index{Grad!einer projektiven Hyperfl"ache} \index{grad@$\op{grad}$!Grad!einer projektiven Hyperfl"ache}$$\op{grad}H$$ Grad Null hat nur die leere Hyperfl"ache. Hyperfl"achen der Grade Eins, Zwei, Drei, Vier und F"unf und Sechs hei"sen {\bf Hyperebene},\index{Hyperebene!projektive} {\bf Quadrik},\index{Quadrik!projektive} {\bf Kubik}\index{Kubik!projektive}, {\bf Quartik},\index{Quartik!projektive} {\bf Quintik}\index{Quintik!projektive} und {\bf Sextik}.\index{Sextik!projektive} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Vereinigen wir zwei projektive Hyperfl"achen ohne gemeinsame irreduzible Komponente in demselben projektiven Raum, so addieren sich ihre Grade. So ist zum Beispiel die Vereinigung zweier verschiedener Hyperebenen stets eine Quadrik. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektive Vervollst"andigung ohne Koordinaten}] %\nichtfinal{Wohin?} F"ur einen koordinatenfreien und dadurch hoffentlich anschaulicheren Zugang mag man wie in \ref{PVVV} jedem endlichdimenionalen affinen Raum $E$ seine projektive Vervollst"andigung $ \DV E=E\amalg \DP\vec E $ zuordnen. Gegeben $X\As E$ bedeutet das Bilden seines Abschlusses $\bar X\subset\DV E$ anschaulich, da"s wir \glqq alle Richtungen aus $\DP\vec E$ mit hinzunehmen, in die $X$ ins Unendliche entweicht\grqq. Bei der Parabel $x^2=y$ in der Ebene $k^2$ w"are das etwa die Richtung der $y$-Achse und bei der Hyperbel $xy=1$ die Richtungen beider Koordinatenachsen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{Darstellung algebraischer Mengen durch Gleichungen}] $(k=\bar k)$. Seien $Z\As X\As\mathbb P^nk$ nichtleere "aquidimensionale projektive Variet"aten und sei $c=\op{kdim}X-\op{kdim}Z$. So gibt es Elemente $f_1,\ldots, f_c\in \cal O^*(X)$ mit $\cal Z^*(f_1,\ldots, f_c)\supset Z$ "aquidimensional von derselben Dimension wie $Z$. \label{NStFFv} \end{Proposition*} \begin{proof} Analog zu \ref{NStFF}. Im Fall $c=0$ ist nichts zu zeigen. Sonst finden wir ein homogenes k"urzbares Element $f_1\in \cal O^*(X)$ mit $Z\subset \cal Z^*(f_1)$. In der Tat finden wir homogene Funktionen, die auf $\op{C}(Z)$ und endlich vielen vorgegebenen Ursprungsgeraden verschwinden, auf einer weiteren Ursprungsgerade au"serhalb von $\op{C}(Z)$ aber nicht verschwinden. Indem wir solche Funktionen potenzieren und dann die Summe bilden, finden wir homogene Funktionen, die auf $\op{C}(Z)$ verschwinden, aber auf endlich vielen vorgegebenen Ursprungsgeraden au"serhalb von $\op{C}(Z)$ nicht verschwinden. Der Beweis kann nun mit Induktion "uber $c$ zu Ende gef"uhrt werden. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Man zeige: Gegeben $W\subset \DP^n k$ ist $\mathcal Z^\ast(\mathcal I^\ast(W))=\bar W$ der Abschlu"s von $W$ in der Zariskitopologie. F"ur beliebige Teilmengen $I\subset \mathcal I(0)$, die aus homogenen Elementen bestehen, sowie f"ur beliebige homogene Ideale $I\subset \mathcal I(0)$ ist $\mathcal I^\ast(\mathcal Z^\ast(I))=\sqrt{\langle I\rangle}$ das Radikal des von $I$ erzeugten Ideals. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Homogenisierung und Dehomogenisierung}] $(k=\bar k)$. Wir betrachten f"ur $n\geq 1$ die Einbettung $i_0 : k^n \hookrightarrow \mathbb P^n k$ gegeben durch das Hinzuf"ugen einer ersten Koordinate Eins und den "Ubergang zur davon erzeugten Geraden $$i_0 : (x_1, \ldots, x_n) \mapsto \langle 1, x_1, \ldots, x_n \rangle$$ Das Komplement $H_0\pdef \mathbb P^n k\backslash i_0 ( k^n)$ ihres Bildes ist eine projektive Hyperebene im Sinne von \eref{pHy}{EL} und damit isomorph zu $\mathbb P^{n-1} k$. Wir erhalten eine offensichtliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Abgeschlossene Teilmengen}\\ Y\As k^n\end{array}\!\!\right\} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Abgeschlossene Teilmengen}\\ A\As \DP^nk\text{ mit } H_0\subset A \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ durch $Y\mapsto i_0(Y)\cup H_0$ und $A\mapsto i_0^{-1}(A)$. Wir folgern eine weitere Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Echte abgeschlossene}\\ \text{Teilmengen }Y\subsetneq k^n\end{array}\!\!\right\} & \sira & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Echte abgeschlossene Teilmengen}\\ B\subsetneq \DP^nk\text{ ohne Komponente in } H_0 \end{array} \!\! \right\} \end{array} $$ durch $Y\mapsto \overline{i_0(Y)}$ und $B\mapsto i_0^{-1}(B)$. Ist $I \subset k[T_0,\ldots, T_n]$ eine Menge von homogenen Polynomen oder ein homogenes Ideal und $B\subset \mathbb P^n k$ eine beliebige Teilmenge, so gelten die Identit"aten \begin{eqnarray}i_0^{-1}\mathcal Z^\ast (I)&=&\mathcal Z(a_0(I))\\ a_0(\mathcal I^\ast(B))&=&\mathcal I(i_0^{-1}B) \end{eqnarray} f"ur $a_0 : k [T_0, \ldots, T_n] \rightarrow k [T_1, \ldots, T_n]$ gegeben durch $T_0 \mapsto 1$. Sei umgekehrt die \defind{Homogenisierung} $h_0 (f) \in k [T_0, \ldots, T_n]$ von $f \in k [T_1, \dots, T_n]$ erkl"art durch die Vorschrift $h_0 (a) =aT_0$ f"ur $a\in k$ und auf nichtkonstanten Polynomen durch $h_0 (\sum c_{\alpha} T^\alpha) = \sum c_{\alpha} T^\alpha T_0^{d-|\alpha|}$ f"ur $d = \sup \{|\alpha| \mid c_{\alpha} \neq 0\}$ der Totalgrad. Zum Beispiel haben wir \begin{equation*} h_z(X^2 Y + Y^3 + 4 Y^2 X^3) = Z^2 X^2Y + Z^2Y^3 + 4 Y^2 X^3 \end{equation*} mit der Konvention, da"s wir bei den wenigen Variablen statt $(T_0, T_1, T_2)$ der "Ubersichtlichkeit halber $(Z,Y,X)$ schreiben und die Homogenisierung statt $h_0$ in diesem Kontext $h_z$ notieren, da sie ja \glqq durch die zus"atzliche Variable $Z$\grqq\ geschieht und nicht \glqq durch die zus"atzliche Variable $T_0$\grqq. Mit dieser Notation finden wir f"ur eine beliebige Teilmenge $J\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ und eine beliebige Teilmenge $Y\subset k^n$ die Identit"aten $$i_0\mathcal Z(J)\cup H_0=\mathcal Z^\ast (h_0(J)\cup\{T_0\})$$ $$\langle h_0(\mathcal I(Y)), T_0 \rangle =\mathcal I^*(i_0(Y)\cup H_0)$$ Ist schlie"slich $J\subsetneq k[T_1,\ldots, T_n]$ ein echtes Ideal und $Y\subset k^n$ eine Teilmenge, so gelten die Identit"aten $$\overline{i_0\mathcal Z(J)}=\mathcal Z^\ast (h_0(J))$$ $$\langle h_0(\mathcal I(Y))\rangle =\mathcal I^*(\overline{i_0(Y)})$$ Ist $J\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ beliebig, so haben wir $\mathcal Z^\ast (h_0(J))=\overline{i_0\mathcal Z(J)}\cup R$ mit einem Rest $R\As H_0$, "uber den wir a priori wenig wissen. \end{Ubung} \subsection{Hilbertpolynome}\index{Hilbertpolynom} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an "Ubung \eref{FRL}{LA1}, nach der wir f"ur jeden Ring $k$ den Ring $k(\!(u)\!)$ der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in $k$ der Gestalt $\sum_{n\geq N}a_n u^n$ mit $a_n\in k$ und $N\in\DZ$ bilden k"onnen. Ich erinnere weiter daran, da"s formale Laurentreihen $\sum_{n\geq N}a_n u^n$ mit $a_N\in k^\times$ einer Einheit des Grundrings $k$ selbst Einheiten des Rings der formalen Laurentreihen sind. Unter der offensichtlichen Einbettung $k[u,u^{-1}]\hra k(\!(u)\!)$ des Rings der formalen Laurentpolynome in den Ring der formalen Laurentreihen, ja bereits unter der offensichtlichen Einbettung $k[u]\hra k\llbracket u\rrbracket$ des Polynomrings in den Ring der formalen Potenzreihen wird zum Beispiel $(1-u)$ eine Einheit mit Inversem $1+u+u^2+\ldots$ der geometrischen Reihe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Erzeugende Funktionen zu Moduln "uber Polynomringen}] Gegeben $k$ ein K"orper und $M=\bigoplus_{i\in\DZ} M^i$ ein endlich erzeugter graduierter Modul "uber\label{EFMP} dem Polynomring $k[T_1, \ldots, T_n]$ mit seiner Standardgraduierung gibt es genau ein Laurentpolynom $f_M \in \mathbb Z [u, u^{-1}]$ derart, da"s im Ring $\mathbb Z (\!(u)\!)$ der formalen Laurentreihen gilt \begin{equation*} \sum (\op{dim}_k M^i) u^i = \frac{f_M (u)}{ (1-u)^n} \end{equation*} \end{Satz} \begin{Beispiel} Der Polynomring $k[T_1, \ldots, T_n]$ hat $1/(1-u)^n$ als erzeugende Funktion. Man sieht das unmittelbar, indem man $(1-u)^{-1}=(1+u+u^2+\ldots)$ beachtet. \label{EZpr} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit demselben Beweis, wenn wir f"ur $k$ einen Kring endlicher L"ange nehmen und statt $\op{dim}_k M^i$ die L"ange $ l_k (M^i)$ des $k$-Moduls $ M^i$ betrachten. Man "uberlegt sich, da"s auch in diesem Fall jeder endlich erzeugte graduierte Modul von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird. Da nun die homogenen Komponenten des Polynomrings $k[T_1, \ldots, T_n]$ mit seiner Standardgraduierung endliche L"ange haben, folgt dasselbe f"ur die homogenen Komponenten unseres endlich erzeugten Moduls $M$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Eindeutigkeit ist offensichtlich, nur die Existenz bleibt zu zeigen. Wir notieren die linke Seite ${\op{E}} (M,u)$ und argumentieren mit vollst"andiger Induktion "uber die Zahl der Variablen. Der Fall $n =0$ ist offensichtlich. Sonst betrachten wir die exakte Sequenz $$ \op{ker} \hookrightarrow M \overset{T_1 \cdot}{\longrightarrow} M \twoheadrightarrow \op{cok} $$ und folgern durch mehrmaliges Anwenden der Dimensionsformel \eref{DiFo}{LA1} die Identit"at \begin{equation*} \op{dim} \op{ker}^i - \dim M^i + \dim M^{i+1} - \dim \op{cok}^{i+1} =0 \end{equation*} alias $u {\op{E}} (\op{ker},u) - u{\op{E}} (M,u) + {\op{E}}(M,u) - {\op{E}}(\op{cok},u) =0$ alias $(1-u) {\op{E}}(M,u) = {\op{E}}(\op{cok},u) - u {\op{E}} (\op{ker},u)$. Nun wirkt $T_1$ aber auf $\op{ker}$ und $\op{cok}$ durch Null. Induktion zeigt dann, da"s ${\op{E}} (M,u)$ die gew"unschte Form hat. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $E(u)\in \DZ[u,u^{-1},(1-u)^{-1}]$ sind in der Partialbruchzerlegung von $E(u)$ alle Koeffizienten ganze Zahlen und die zugeh"orige formale Laurentreihe $E(u)\in \DZ(\!(u)\!)$ konvergiert f"ur $0<|u|<1$.\label{peGZ} \end{Lemma} \begin{proof} Die Partialbruchzerlegung von $E(u)$ hat notwendig die Gestalt \begin{equation*} E(u) = \sum^{d}_{\nu = 1} a_\nu (1-u)^{-\nu} + \sum^{n}_{\mu = - m} b_\mu u^{-\mu} \end{equation*} mit $a_\nu, b_\mu \in \mathbb Q$. Dann gilt $(1-u)^d E(u)\in \DZ[u,u^{-1}]$ und setzen wir dann $u=1$ ein, so erhalten wir $a_{d}\in \DZ$. Ebenso gilt $u^n E(u)\in \DZ[u,(1-u)^{-1}]$ und setzen wir dann $u=0$ ein, so erhalten wir $b_{n}\in \DZ$. Dann ziehen wir die entsprechenden Terme ab und kommen induktiv zum Ziel. Die Konvergenz ist wohlbekannt im Fall $E(u)\in \DZ\llbracket u\rrbracket$ sogar f"ur $|u|<1$ und folgt unmittelbar, wenn noch endlich viele negative Potenzen von $u$ in der Entwicklung auftreten sollten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $M$ ein endlich erzeugter graduierter Modul "uber einem Polynomring $k[T_1,\ldots, T_n]$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ erkl"aren wir die {\bf Hilbertdimension $\op{hdim}M$ von $M$} als die Polstellenordnung der erzeugenden Funktion ${\op{E}}(M,u)$ bei $u=1$, in Formeln $$\op{hdim}M\pdef -v_{(1-u)}\big({\op{E}}(M,u)\big)$$ Der Nullmodul erh"alt so insbesondere die Hilbertdimension $-\infty$ und wir haben mithin $\op{hdim}M\in\{-\infty,0,1,\ldots,n\}$, denn hat ${\op{E}}(M,u)$ keinen Pol bei $u=1$, so ist $M$ endlichdimensional mit ${\op{E}}(M,u)_{u=1}=\op{dim}_kM$. Weiter erkl"aren wir f"ur $M\neq 0$ die {\bf Multiplizit"at $\op{mult}M$ von $M$} als den Koeffizienten des Terms der h"ochsten Polordnung bei $u=1$ in der Partialbruchentwicklung, f"ur $d=\op{hdim}M$ also unser $a_d$ aus dem Beweis des Lemmas und in Formeln $$\op{mult}M\pdef \big((1-u)^d{\op{E}}(M,u)\big)_{u=1}$$ Nach Lemma \ref{peGZ} gilt schon mal $\op{mult}M\in\DZ\backslash 0$. Weil ${\op{E}}(M,u)$ keine negativen Koeffizienten hat und folglich f"ur $u\in (0,1)$ positive Werte annimmt, folgt sogar $$\op{mult}M\in\DN_{\geq 1}$$ Weiter schreiben wir f"ur $d\in\DN$ auch $\op{mult}^dM\pdef \lim_{u\nearrow 1}((1-u)^d{\op{E}}(M,u))$. Das ist dann Null f"ur\label{HiNoeG} $d> \op{hdim}M$ und unsere Multiplizit"at von eben f"ur $d= \op{hdim}M$ und $\infty$ f"ur $d< \op{hdim}M$, also $\op{mult}^dM\in \DN\sqcup\{\infty\}$. \label{HiNoe2G} Analog gehen wir vor im Fall eines beliebigen Krings $k$ endlicher L"ange. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Der Polynomring $M\pdef k[T_1,\ldots, T_n]$ hat nach \ref{EZpr} die erzeugende Funktion ${\op{E}}(M,u)=1/(1-u)^n$ und folglich $\op{hdim}k[T_1,\ldots, T_n]=n$ als Hilbertdimension und $\op{mult}k[T_1,\ldots, T_n]=1$ als Multiplizit"at.\label{bsHD} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additivit"at der Multiplizit"aten}] Gegeben ein K"orper $k$ und eine kurze exakte Sequenz $L\hra M\sra N$ von endlich erzeugten graduierten Moduln "uber dem Polynomring $k[T_1,\ldots, T_n]$\label{HiNoe3G} gilt f"ur die Hilbertdimensionen $\op{hdim}(M)=\op{max}(\op{hdim}(L),\op{hdim}(N))$ und f"ur $d\in\DN$ haben wir $$\op{mult}^d(M)=\op{mult}^d(L)+\op{mult}^d(N)$$ Weiter bleiben die Hilbertdimension ebenso wie die Multiplizit"aten bei Verschiebungen der Graduierung unver"andert. Dasselbe gilt analog im Fall eines beliebigen Krings $k$ endlicher L"ange. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kokerne homogener Selbstinjektionen}] Seien $k$ ein K"orper und $M$ ein endlich erzeugter von Null verschiedener\label{DREF} graduierter Modul "uber dem Polynomring $k[T_1, \ldots, T_n]$. Ist $f:M\hra M$ ein injektiver Endomorphismus von $M$ und gibt es $r>0$ mit $f(M^i)\subset M^{i+r}$ f"ur alle $i$, so hat $\op{cok}f$ im Vergleich zu $M$ eine um Eins kleinere Hilbertdimension und die $r$-fache Multiplizit"at, in Formeln $$\op{hdim}(\op{cok}f)=\op{hdim}(M)-1\quad \text{ und }\quad \op{mult}(\op{cok}f)=r\op{mult}(M).$$ Dasselbe gilt im Fall eines beliebigen Krings $k$ endlicher L"ange. \end{Satz} \begin{proof} Nat"urlich gilt ${\op{E}}(\op{cok},u)=(1-u^r){\op{E}}(M,u)$ und mit $(1-u^r)=(1-u)(1+u+\ldots +u^{r-1})$ folgt leicht die Behauptung f"ur die Hilbertdimension und mit der Darstellung als Grenzwert auch die Behauptung f"ur die Multiplizit"at. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hilbertdimension als Krulldimension}] Gegeben eine nichtleere projektive Variet"at $X$ mit homogenem Koordinatenring $\mathcal O^*(X)$ gilt\label{hdKd} $$\op{hdim}\mathcal O^*(X)=\op{kdim}X+1$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir ziehen uns m"uhelos auf den Fall $X$ irreduzibel zur"uck. Nun zeigen wir zun"achst $\leq$. Nach \ref{bsHD} gilt die Behauptung f"ur $X=\mathbb P^n k$. Wie beim Beweis von \ref{NStFF} k"onnen wir jede irreduzible Variet"at $Z\As \mathbb P^n k$ der Krulldimension $n-r$ f"ur $r\geq 1$ erhalten, indem wir von einer irreduziblen Variet"at $X\As \mathbb P^n k$ der Krulldimension $n-r+1$ ausgehen und eine k"urzbare homogene Funktion $f\in \mathcal O^*(X)$ nehmen und eine Komponente von deren Nullstellenmenge $\mathcal Z^*_X(f)$ nehmen. Es folgt induktiv $$\begin{array}{llll} \op{hdim}\mathcal O^*(Z)&\leq& \op{hdim}\mathcal O^*(X)/\langle f\rangle&\text{ als Subquotient,}\\ &=& \op{hdim}\mathcal O^*(X) -1&\text{ als Kokern homogener Selbstinjektion,}\\ &\leq& \op{kdim}X&\text{ nach Induktionsannahme,}\\ &=& \op{kdim}Z+1&\text{ nach \ref{kHIg}.} \end{array}$$ Jetzt f"uhren wir noch die Annahme $\op{hdim}\mathcal O^*(X)<\op{kdim}X+1$ zum Widerspruch. In der Tat w"urde sie f"ur jede irreduzible Untervariet"at $Z\As X$ induktiv $\op{hdim}\mathcal O^*(Z)<\op{kdim}Z+1$ implizieren mit demselben Argument wie zuvor. Das ist jedoch f"ur einpunktige Untervariet"aten $Z$ offensichtlich falsch. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Rest dieses Abschnitts wird ein alternativer Zugang zu Hilbertdimension und Multiplizit"at erkl"art, der in der Literatur meist verfolgt wird. Das wird insbesondere im folgenden Abschnitt relevant werden. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $E(u)\in \DZ[u,u^{-1},(1-u)^{-1}]\subset \DZ(\!(u)\!)$ gibt es ein Polynom $Q\in\DQ[t]$ mit\label{LETT} $$E(u)\in \sum_{i\geq 0}Q(i)u^i + \DZ[u,u^{-1}]$$ \end{Lemma} \begin{proof} Im Lichte der Partialbruchzerlegung aus dem Beweis von Lemma \ref{peGZ} m"ussen wir das nur f"ur $E(u)=(1-u)^{-n}$ zeigen. Die Binomialreihe \eref{BiRe}{AN1} oder auch elementare "Uberlegungen liefern die Entwicklung \begin{equation*} \frac{1}{ (1-u)^n} = \sum^\infty_{i=0} \binom{-n}{i} (-u)^i = \sum^\infty_{i=0} \binom{n+i-1}{n-1} u^i \end{equation*} Die Binomialkoeffizienten rechts sind die Werte bei $t=i$ des Polynoms \begin{equation*} Q_n (t) \pdef \binom{n+t-1}{n-1} = \frac{(n+t-1)(n+t-2)\ldots (t+1)}{(n-1)!} \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $k$ ein K"orper und $M$ ein endlich erzeugter graduierter Modul "uber dem Polynomring $k[T_1, \ldots, T_n]$ gibt es Polynome $\op{Q}_M, \op{P}_M \in \mathbb Q [t]$ derart, da"s f"ur alle hinreichend gro"sen $i \in \mathbb N$ gilt\label{HiPoo} \begin{equation*} \dim_k M^{i} = {\op{Q}}_M (i) \quad\text{ und }\quad\dim_k M^{\leq i} = {\op{P}}_M (i). \end{equation*} Die erste Aussage folgt sofort aus Lemma \ref{LETT} angewandt auf die erzeugende Funktion ${\op{E}}(M,u)$ von $M$. Die zweite Aussage folgt ebenso, indem wir Lemma \ref{LETT} auf $(1-u)^{-1}{\op{E}}(M,u)$ anwenden. Beide Polynome sind offensichtlich eindeutig bestimmt. Das Polynom ${\op{P}}_M$ hei"st das {\bf Hilbert-Polynom\index{Hilbert-Polynom} von} $M$. Es hat h"ochstens den Grad $n$ und sein Grad ist die Hilbertdimension des graduierten Moduls $M$, die wir bereits als Polstellenordnung der erzeugenden Funktion erkl"art hatten. \label{HiPoob} Die Multiplizit"at von $M$ ist dann der Leitkoeffizient des Hilbertpolynoms multipliziert mit $d!$ f"ur $d$ die Hilbertdimension und seine Varianten $\op{mult}^d$ k"onnen auch beschrieben werden als der Grenzwert $$\op{mult}^d(M)\pdef \lim_{i\ra\infty}d!\op{dim}_kM^{\leq i}/i^d$$ Dasselbe gilt, wenn wir f"ur $k$ einen Kring endlicher L"ange nehmen und statt $\op{dim}_k M^{\leq i}$ die L"angen $ l_k (M^{\leq i})$ der $k$-Moduln $ M^i$ betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ganz allgemein wissen wir aus "Ubung \eref{numPO}{LA1} zu ganzwertigen Polynomen, da"s f"ur jedes Polynom in $\DQ[t]$ vom Grad $d\geq 0$, das an fast allen Punkten aus $\DN$ ganzzahlige Werte annimmt, das $(d!)$-fache seines Leitkoeffizienten eine ganze Zahl sein mu"s. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und $M$ ein endlich erzeugter von Null verschiedener\label{DREFu} graduierter Modul "uber dem Polynomring $k[T_1, \ldots, T_n]$. Ist $f:M\ra M$ ein Endomorphismus von $M$, der den Grad um $r$ erh"oht, und kennen wir f"ur $d\pdef \op{hdim}(M)$ die Absch"atzung $\op{hdim}(\op{cok}f)}[r] \ar@{_{(}->}[d] & M \ar@{_{(}->}[d] \ar@{->>}[r] & Q \ar@{_{(}->}[d]\\ N \ar@{^{(}->}[r]\ar@{->>}[d] & M \ar@{->>}[d]\ar@{->>}[r] & Q\ar@{->>}[d]\\ \bar N \ar[r] & \bar M \ar[r] & \bar Q } \end{displaymath} mit der Multiplikation mit $(T_0 -1) $ als oberer Vertikale, da"s auch die Sequenz $\bar N \hookrightarrow \bar M \twoheadrightarrow \bar Q$ exakt ist. Es folgt leicht, da"s auch f"ur jede rechtsexakte Sequenz graduierter $\mathcal O (k^3)$-Moduln die Sequenz der Kokerne unter $(T_0-1)$ rechtsexakt ist. %\newpage Insbesondere wird die durch die Zeilenmatrix $(f,g)$ an erster Stelle gegebene rechtsexakte Sequenz $\mathcal O (k^3)^{\oplus 2}\ra \mathcal O (k^3)\sra \mathcal O (k^3) / \langle f,g\rangle $ unter dem Bilden des Kokerns von $(T_0-1)$ eine rechtsexakte Sequenz $$\mathcal O (k^2)^{\oplus 2}\ra \mathcal O (k^2)\ra \mathcal O (k^2) / \langle \bar f,\bar g\rangle$$ f"ur $\bar f, \bar g \in\mathcal O (k^2)$ die Polynome, die aus den homogenen Polynomen $f,g$ durch Einsetzen von $T_0 =1$ entstehen. F"ur unser $Q = \mathcal O (k^3) / \langle f,g\rangle $ vom Anfang des Beweises erhalten wir damit $\bar Q \cong \mathcal O (k^2)/ \langle \bar f, \bar g \rangle$. Unsere Filtrierung von oben liefert weiter eine Filtrierung \begin{equation*} 0 = \bar Q_0 \subset \bar Q_1 \subset \ldots \subset \bar Q_m = \bar Q \end{equation*} von $\bar Q = \mathcal O (k^2) / \langle \bar f , \bar g \rangle$ mit Subquotienten $\bar Q_a / \bar Q_{a-1} \cong \overline{Q_a/Q_{a-1}}$. Lokalisieren wir jetzt noch an einer Stelle $y \in k^2$, k"urzen $M_{\mathcal I(y)}\defp M_{(y)}$ ab f"ur jeden $\mathcal O (k^2)$-Modul $M$ und erinnern, da"s Lokalisieren exakt ist, so erhalten wir f"ur $\bar Q_{(y)} \cong \mathcal O (k^2)_{(y)}/\langle \bar f , \bar g\rangle_{(y)}$ eine Filtrierung mit Subquotienten $(\overline{Q_a/ Q_{a-1}})_{(y)}$. Diese Subquotienten sind aber eindimensional f"ur $Q_a / Q_{a-1} \cong \mathcal O^\ast (i_0(y))$ und Null sonst. Im Licht unserer Definition der Schnittmultiplizit"at zeigt das dann f"ur $x =i_0(y)$ die gew"unschte Identit"at \begin{equation*} {\op{s}}_{x}(C, D) = \dim_k \mathcal O (k^2)_{(y)} / \langle \bar f , \bar g\rangle_{(y)} = \op{card} \{ a \mid Q_a /Q_{a-1} \cong \mathcal O^\ast (x)\} \qedhere \end{equation*} \end{proof} %\newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme die Schnittpunkte in $\DP^2\DC$ der konzentrischen Kreise $x^2+y^2=1$ und $x^2+y^2=2$ sowie ihre jeweiligen Vielfachheiten. \end{Ubung} \subsection{Graduierte Variante des Elementarteilersatzes**} \begin{Proposition}\label{jhk} Gegeben ein K"orper $k$ ist jeder endlich erzeugte graduierte Modul "uber dem Polynomring $k[t]$ mit seiner Standardgraduierung die direkte Summe von endlich vielen Untermoduln, die jeweils von einem homogenen Element erzeugt werden. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $M$ unser Modul und $T$ der Untermodul seiner Torsionselemente. So ist $M/T$ frei und dann auch graduiert frei und die Surjektion $M \twoheadrightarrow M/T$ besitzt eine graderhaltende Spaltung und liefert einen Isomorphismus von graduierten Moduln $M \cong T \oplus M/T$. Das anschlie"sende Lemma \ref{hgkt} beendet dann den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die Notation, nach der f"ur eine $\DZ$-graduierte abelsche Gruppe $M=\bigoplus M^n$ mit $M[j]$ die in der Graduierung verschobene Gruppe bezeichnet wird. Genauer setzen wir $(M[j])^n=M^{n+j}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{hgkt} Gegeben ein K"orper $k$ wird jeder endlichdimensionale graduierte und graduiert unzerlegbare $k[t]$-Modul $M$ von einem homogenen Element erzeugt. In Formeln ausgedr"uckt gibt es also $i \in \mathbb N$, $j \in \mathbb Z$ und einen graderhaltenden Isomorphismus \begin{equation*} M\cong k[t] / \langle t^{i+1} \rangle [j] \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $M$ ein von Null verschiedener endlichdimensionaler $\mathbb Z$-graduierter $k[t]$-Modul und $m \in M$ ein Vektor mit kleinstm"oglichem Annullator, sagen wir $\op{Ann} (m) = \langle t^{i+1}\rangle$. So ist $M$ sogar ein Modul "uber $k[t]/ \langle t^{i+1}\rangle$ und $m$ besitzt auch eine homogene Komponente, die von $t^i$ nicht annulliert wird. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir also $m$ homogen annehmen, etwa vom Grad $j$. Dann liefert $m$ eine graderhaltende Einbettung \begin{equation*} k [t] / \langle t^{i+1} \rangle [-j] \hookrightarrow M \end{equation*} Nehmen wir auf beiden Seiten den $k$-dualen $k[t]$-Modul, so wir sie zu einer graderhaltenden Surjektion $M^*\sra k [t] / \langle t^{i+1} \rangle [l]$ f"ur geeignetes $l$ und mu"s spalten als Surjektion auf einen freien Modul. Folglich spaltete auch schon unsere Einbettung. War $M$ graduiert unzerlegbar, so mu"s sie folglich ein Isomorphismus gewesen sein. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Graduierte Variante des Elementarteilersatzes}] Seien $k$ ein K"orper und $M,N$ endlich erzeugte graduierte graduiert freie $k[t]$-Moduln.\index{Elementarteilersatz!graduierte Version} So gibt es f"ur jeden graderhaltenden Homomorphismus von $k[t]$-Moduln $$f: M \rightarrow N$$ Basen von $M$ und $N$ aus homogenen Elementen, bez"uglich derer die Matrix unseres Homomorphismus h"ochstens auf der Diagonalen von Null verschiedene Eintr"age hat. \end{Korollar} \begin{proof} Das Bild von $M$ ist graduiert frei, folglich spaltet $M$ als $M \cong \op{ker} f \oplus \op{im f}$. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f$ injektiv annehmen. Indem wir sonst $M$ durch $tM$ ersetzen, d"urfen wir sogar $M \subset t N$ annehmen. Jetzt finden wir nach \ref{jhk} homogene Elemente $n_1, \ldots, n_r \in N$ derart, da"s die $\bar{n}_i \in N/M$ von Null verschieden sind und $N/M$ die direkte Summe der von den $\bar{n}_i$ erzeugten zyklischen Untermoduln ist. Sind genau die ersten $s$ dieser zyklischen Moduln endlichdimensional von den Dimensionen $d(1), \ldots, d(s)$, so bilden $t^{d(1)+1} n_1, \ldots, t^{d(s)+1} n_s$ die gesuchte Basis von $M$. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: