\section{Mehr zu Gruppen} \subsection{Die Frage nach der Klassifikation}\label{FdKL} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definition \eref{DeGr}{GR}. Eine {\bf Gruppe} ist eine Menge $G$ mit einer Verkn"upfung $G\times G\ra G$, $(a,b)\mapsto ab$ derart, da"s f"ur alle $a,b, c \in G$ gilt $ (a b) c = a (b c)$, da"s es ein Element $1 \in G$ gibt mit $1 a = a1= a \; \forall a \in G$, und da"s es f"ur alle $a, b \in G$ ein Element $c \in G$ gibt mit $a c = b$. Gegeben eine weitere Gruppe $H$ ist ein {\bf Gruppenhomomorphismus} $\varphi:G\ra H$ eine Abbildung von $G$ nach $H$ mit $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ f"ur alle $a,b\in G$. Die Menge aller Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$ notiere ich $\op{Grp}(G,H)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wollen im folgenden der Frage nachgehen, welche endlichen Gruppen \glqq es "uberhaupt gibt\grqq. Wir nennen zwei Gruppen {\bf isomorph},\index{isomorph!Gruppen} wenn es zwischen ihnen einen Isomorphismus als da hei"st einen bijektiven Homomorphismus gibt. Die Frage, welche endlichen Gruppen es "uberhaupt gibt, k"onnen wir dann konkret fassen als die folgende Aufgabe: Man gebe eine Liste von endlichen Gruppen an derart, da"s jede beliebige endliche Gruppe isomorph ist zu genau einer Gruppe dieser Liste. In mathematischer Terminologie ist das die Frage nach der\index{Klassifikation!der endlichen Gruppen} {\bf Klassifikation der endlichen Gruppen}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur Gruppen mit h"ochstens $4$ Elementen k"onnen wir diese Aufgabe noch ohne alle Theorie auf direktem Wege l"osen. Eine endliche Menge mit Verkn"upfung beschreiben wir dazu durch ihre Verkn"upfungstabelle, die im Fall einer Gruppe auch \defind{Gruppentafel} hei"st. Zum Beispiel bilden die dritten Einheitswurzeln $1$, $\zeta=\exp(2\pi{\op{i}}/3)$ und $\eta=\exp(4\pi{\op{i}}/3)$ in $\Bbb{C}$ unter der Multiplikation eine Gruppe mit der Gruppentafel $$\\[2mm] \begin{array}{c|c|c|c|} &1&\zeta&\eta\\ \hline 1&1&\zeta&\eta\\ \hline \zeta&\zeta&\eta&1\\ \hline \eta&\eta&1&\zeta\\ \hline \end{array} \\[2mm]$$ Bei einer Gruppentafel mu"s nach der K"urzungsregel \eref{KGr}{GR} in jeder Spalte und in jeder Zeile jedes Element genau einmal vorkommen. Man sieht so recht leicht, da"s es bis auf Isomorphismus nur eine Gruppe $G$ gibt mit $|G|$ Elementen f"ur $|G| = 1,2,3$. Man sieht so auch, da"s es f"ur $|G| =4$ bis auf Isomorphismus genau zwei M"oglichkeiten gibt, die sich dadurch unterscheiden, ob jedes Element sein eigenes Inverses ist oder nicht: Je nachdem haben wir, bis auf Isomorphismus, die sogenannte {\bf Klein'sche Vierergruppe}\index{Klein'sche Vierergruppe} $\DZ/2\DZ\times \DZ/2\DZ$ oder die zyklische Gruppe $\DZ/4\DZ$ vor uns. \end{Beispiel} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben zwei Gruppen $G$ und $H$ k"onnen wir auch % ihr kartesisches % Produkt $G\times H$ zu einer Gruppe machen, indem wir darauf die % komponentenweise Verkn"upfung $(g,h)(g',h')=(gg',hh')$ betrachten. % Eine unserer beiden vierelementigen Gruppen ist isomorph % zu dem % Produkt von zwei zweielementigen Gruppen. % Um weiter zu kommen, brauchen wir bessere Konstruktionsverfahren f"ur % Gruppen und mehr Theorie. % \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/HBildSy} \\[4mm] \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/SBildSy} \\ \noindent Die vier Symmetrien des Buchstabens H und des Sonnenrads, das wohl nicht zuletzt auch wegen seiner Symmetriegruppe so unvermittelt an furchtbare Zeiten der deutschen Geschichte erinnert. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Warum interessieren wir uns "uberhaupt f"ur Gruppen? Stellen wir uns doch einmal eine ebene Figur vor, zum Beispiel eine stilisierte Bl"ute, einen Buchstaben, oder allgemein eine beliebige Teilmenge der Ebene $A\subset \DR^2$. Unter einer \glqq Symmetriebewegung\grqq\ oder kurz \defind{Symmetrie} unserer Figur verstehen wir eine abstandserhaltende Selbstabbildung $g$ der Ebene, die unsere Figur in sich selber "uberf"uhrt, in Formeln $gA=A$. Alle Symmetrien unserer Figur bilden unter der Hintereinanderausf"uhrung als Verkn"upfung eine Gruppe, die \defind{Symmetriegruppe} der Figur. Bei den meisten Figuren besteht die Symmetriegruppe nur aus einem Element, der Identit"at, aber ein Herz hat schon zwei Symmetrien, die Identit"at und eine Spiegelung. Der Buchstabe H hat sogar $4$ Symmetrien, ebensoviele wie das Sonnenrad, aber die Symmetriegruppen dieser beiden Figuren sind nicht isomorph. In diesem Sinne kann man das Konzept einer Gruppe interpretieren als eine Formalisierung der Idee eines \glqq abstrakten Symmetrietyps\grqq. \end{Bemerkungl} \subsection{Kompositionsreihen} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an Restklassen \eref{ReKa}{LA2}, Normalteiler \eref{NoTei}{LA2}, Gruppenwirkungen \eref{GWi}{LA2}, Bahnformel \eref{BaFo}{LA2} und Konjugationsklassen \eref{KonKa}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Gruppe hei"st {\bf einfach},\index{einfach!Gruppe}\index{Gruppe!einfache} wenn sie nicht nur aus dem neutralen Element besteht, aber au"ser dem neutralen Element und der ganzen Gruppe keine weiteren Normalteiler hat.\label{EifG} \end{Definition} \begin{Beispiele} Einfache Gruppen sind die zyklischen Gruppen von Primzahlordnung und die sogenannten {\bf alternierenden Gruppen}\index{alternierende Gruppe} $$A_r\pdef\ker(\op{sgn}:\cal{S}_r\ra\{\pm 1\})$$ aller geraden Permutationen von $r$ Objekten unter der Annahme $r\geq 5$, wie wir als Satz \ref{A5E} zeigen werden. Nicht zeigen werden wir, da"s die alternierende Gruppe $A_5$ die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe ist. Diese Gruppe ist "ubrigends genau unsere Ikosaedergruppe aus \eref{KED}{LA2} aller Drehsymmetrien eines Ikosaeders, was wir im anschlie"senden Satz \ref{ie} zeigen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkunge} Alle endlichen einfachen Gruppen sind seit etwa 1980 bekannt, ihre Klassifikation ist jedoch schwierig und man kann nur hoffen, da"s zuk"unftige Forschungen noch substantielle Vereinfachungen der Argumente erlauben. Eine wesentliche Zutat ist ein ber"uhmter Satz von {\bf Feit-Thompson}\index{Feit-Thompson!Satz von}, nach dem jede endliche einfache nicht abelsche Gruppe eine gerade Ordnung haben mu"s. \end{Bemerkunge} \begin{Satz} Die Ikosaedergruppe ist einfach und isomorph zur alternierenden Gruppe $A_{5}$.\label{ie} \end{Satz} \begin{proof} Ein Ikosaeder hat $12$ Ecken, $20$ Fl"achen und $30$ Kanten. Jedes Paar von gegen"uberliegenden Ecken liefert vier Elemente der Ordnung $5$ in $I$, macht $24$ Elemente der Ordnung $5$. Jedes Paar von gegen"uberliegenden Fl"achen liefert zwei Elemente der Ordnung $3$ in $I$, macht $20$ Elemente der Ordnung $3$. Jedes Paar von gegen"uberliegenden Kanten liefert ein Element der Ordnung $2$ in $I$, macht $15$ Elemente der Ordnung $2$. Zusammen mit dem neutralen Element haben wir damit alle Gruppenelemente aufgelistet, denn es gilt $$60 = 1+15+20+24$$ Da je zwei Kanten des Ikosaeders durch eine Drehsymmetrie des Ikosaeders ineinander "uberf"uhrt werden k"onnen, bilden die $15$ Elemente der Ordnung $2$ eine Konjugationsklasse: Sind in der Tat $K$ und $L$ Kanten und $d_k$, $d_L$ die nichttrivialen Drehsymmetrien, die sie jeweils in sich selbst "uberf"uhren, und ist $g$ eine Drehsymmetrie mit $g(K)=L$, so gilt $d_K=g^{-1}d_L g$. "Ahnlich sieht man, da"s alle $20$ Elemente der Ordnung $3$ eine Konjugationsklasse bilden. F"ur die Elemente der Ordnung $5$ kann das nicht gelten, denn $24$ ist kein Teiler von $60$. Mit "ahnlichen "Uberlegungen erkennt man jedoch, da"s die $24$ Elemente der Ordnung $5$ zerfallen in zwei Konjugationsklassen von je $12$ Elementen, bestehend aus Drehungen einmal um Winkel $\pm \frac{2\pi}{5}$ und ein andermal um Winkel $\pm \frac{4\pi}{5}$. Die Kardinalit"aten der Konjuga\-tionsklassen sind also genau die Summanden auf der rechten Seite der Gleichung $$60=1+ 15+20+12+12$$ Ist nun $N\subset I$ ein Normalteiler, so mu"s die Ordnung von $N$ ein Teiler sein von $60$ und eine Summe von Kardinalit"aten von Konjugationsklassen, darunter die Konjugationsklasse des neutralen Elements. Die einzigen solchen Zahlen sind aber $1$ und $60$, folglich ist die Ikosaedergruppe $I$ einfach. \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Einer der f"unf eingeschriebenen W"urfel eines Dodekaeders, mit gestrichelt eingezeichneten Kanten. \end{minipage} \end{figure} Man "uberlegt sich nun anhand der nebenstehenden Zeichnung, da"s es genau f"unf M"oglichkeiten gibt, aus den $20$ Ecken eines Dodekaeders, die ja gerade die Fl"achenmitten eines Ikosaeders bilden, $8$ Ecken so auszusuchen, da"s sie die Ecken eines W"urfels bilden: Auf der Menge dieser $ 5$ einbeschriebenen W"urfel operiert unsere Gruppe dann nat"urlich auch. Wir erhalten so einen Gruppenhomomorphismus $$\varphi : I \ra \cal{S}_{5}$$ Der Kern von $\op{sgn} \circ \varphi : I \ra \{+1,-1\}$ ist ein Normalteiler von $I$ mit $30$ oder $60$ Elementen, es folgt $\ker (\op{sgn} \circ \varphi) = I$ und $\varphi$ induziert folglich einen Gruppenhomomorphismus nach $A_{5}=\ker (\op{sgn}) \subset \cal{S}_{5}$. Der Kern von $\varphi : I \ra \cal{S}_{5}$ ist auch ein von $I$ verschiedener Normalteiler von $I$ und es folgt $\ker \varphi=1$. Durch Abz"ahlen sehen wir dann, da"s $\varphi$ einen Isomorphismus $\varphi : I \sira A_{5}$ induziert. \end{proof} \begin{Definition} Eine {\bf Kompositionsreihe}\index{Kompositionsreihe!einer Gruppe} einer Gruppe $G$ ist eine Folge von Untergruppen $$G = G_{r}\supset G_{r-1} \supset \ldots\supset G_{0} =1$$ derart, da"s jede Gruppe unserer Folge ein Normalteiler in der n"achstgr"o"seren Gruppe ist und da"s die sukzessiven Quotienten einfach sind, da"s also in Formeln $G_{i}/G_{i-1}$ einfach ist f"ur $1\leq \op{i} \leq r$. Die Gruppen $G_{i}/G_{i-1}$ hei"sen die {\bf Subquotienten}\index{Subquotient!einer Kompositionsreihe} der Kompositionsreihe. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Jordan-H"older}] Je zwei Kompositionsreihen einer endlichen Gruppe haben dieselbe L"ange und\label{JH} bis auf Reihenfolge isomorphe Subquo\-tien\-ten,\index{Jordan-H"older!f"ur endliche Gruppen} die sogenannten \emph{\bf Kompositionsfaktoren}\index{Kompositionsfaktor!von Gruppe} unserer Gruppe. Ist genauer $G$ eine endliche Gruppe und sind $G = M_{r} \supset\ldots \supset M_{0} = 1$ und $G = N_{s} \supset \ldots \supset N_{0}=1$ Kompositionsreihen von $G$, so haben wir $r = s$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \cal{S}_{r}$ mit $N_{i}/N_{i-1} \cong M_{\sigma (i)} /M_{\sigma(i)-1} $ f"ur alle $ i$. \end{Satz} \begin{Beispiel} Jede abelsche Gruppe mit $n$ Elementen hat als Kompositionsfaktoren die zyklischen Gruppen $\DZ/p_i\DZ$ f"ur $n=p_1\ldots p_r$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Jeder endlichdimensionale Vektorraum $V$ "uber $\mathbb F_p$ f"ur eine Primzahl $p$ hat insbesondere als Kompositionsfaktoren $\op{dim}V$ Kopien von $\mathbb F_p$. Die Kompositionsfaktoren der symmetrischen Gruppen $\mathcal S_r$ werden wird in \ref{A5E} und \ref{A4Af} diskutieren: Ab $r=5$ ist der Kern des Signums ein einfacher Normalteiler und unsere Gruppe hat folglich nur zwei Kompositionsfaktoren, diesen Normalteiler und $\DZ/2\DZ$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen das durch Induktion "uber die Gruppenordnung. Seien $$\begin{array}{ccccccc} G & \supset & M & \supset &\ldots &\supset & 1\\ G & \supset & N &\supset &\ldots & \supset & 1 \end{array}$$ zwei Kompositionsreihen. Gilt $M = N$, so folgt der Satz per Induktion. Sonst ist das Bild von $M$ in $ G/N$ ein von $1$ verschiedener Normalteiler, denn das Bild jedes Normalteilers unter einem surjektiven Gruppenhomomorphismus ist wieder ein Normalteiler. Da $ G/N$ einfach ist, liefert die offensichtliche Abbildung notwendig eine Surjektion $M\sra G/N$ und einen Isomorphismus $M / (M \cap N) \sira G/N$. Ebenso erhalten wir auch $N/ (M\cap N) \sira G/M$. Deuten wir mit $(M \cap N) \supset \ldots \supset 1$ eine Kompositionsreihe des Schnitts an, so hat die Gruppe $G$ also Kompositionsreihen $$\begin{array}{ccccccccc} G & \supset & M & \supset & && \ldots & \supset & 1\\ G & \supset & M &\supset & (M \cap N)& \supset& \ldots &\supset &1\\ G & \supset & N & \supset & (M \cap N)&\supset &\ldots & \supset &1\\ G & \supset & N & \supset & && \ldots & \supset & 1 \end{array}$$ Je zwei in dieser Liste benachbarte Kompositionsreihen haben aber nach Induktionsannahme und den oben erw"ahnten Isomorphismen bis auf Reihenfolge dieselben Subquotienten. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Man zeige die Aussage des Satzes von Jordan-H"older \ref{JH}, ohne die Endlichkeit der Gruppe vorauszusetzen. Man zeige auch, da"s in einer Gruppe mit Kompositionsreihe eine absteigende Folge von Untergruppen, die jeweils echte Normalteiler in der n"achstgr"o"seren Untergruppe sind, h"ochstens so lang sein kann wie besagte Kompositionsreihe.\index{Jordan-H"older!f"ur Gruppen} \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Semidirektes Produkt}] Seien $\varphi:G\sra B$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern $N\pdef \op{ker}\varphi$\label{Spn} und $\sigma:B\hra G$ eine Spaltung von $\varphi$, also ein Gruppenhomomorphismus mit $\sigma\circ\varphi=\op{id}_B$. Man zeige, da"s dann die Abbildung $(n,b)\mapsto n\sigma(b)$ eine Bijektion $N\times B \sira G$ liefert und da"s die Verkn"upfung von $G$ unter dieser Bijektion derjenigen Verkn"upfung auf $N\times B$ entspricht, die gegeben wird durch $$(m,a)(n,b)=(m\op{int}_{\sigma (a)}(n), ab)\quad\forall m,n\in N\text{ und } a,b\in B.$$ Sind umgekehrt $N,B$ Gruppen und $\tau:B\ra {\op{Grp}}^\times N, a\mapsto \tau_a$ ein Gruppenhomomorphismus von $B$ in die Automorphismengruppe von $N$, so wird $N\times B$ mit der Verkn"upfung\index{)x@$\rtimes$ semidirektes Produkt} $$(m,a)(n,b)\pdef (m\tau_a(n),ab)\quad\forall m,n\in N\text{ und } a,b\in B$$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe hei"st das {\bf semidirekte Produkt\index{Produkt!von Gruppen!semidirektes}\index{semidirektes Produkt} von $N$ mit $B$ "uber $\tau$} und wird notiert als $$N\rtimes B=N\rtimes_\tau B$$ \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Ist speziell eine Gruppe $N$ ein Produkt von $n$ Kopien einer festen Gruppe $N=A^n=A\times\ldots\times A$ und operiert eine weitere Gruppe $B$ darauf durch Vertauschung der\label{KraP} Faktoren, also in hoffentlich offensichtlicher Weise vermittels eines Gruppenhomomorphismus $B\ra \cal{S}_n$, so bezeichnet man das zugeh"orige semidirekte Produkt als \defind{Kranzprodukt} und notiert es $N\rtimes B\defp A\wr B$. \end{Bemerkunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die symmetrische Gruppe $\mathcal S_4$ isomorph ist zum semidirekten Produkt der $\mathcal S_3$ mit der Klein'schen Vierergruppe $\mathbb F_2^2$ in Bezug auf einen und jeden Isomorphismus $\mathcal S_3\sira \op{GL}(2;\mathbb F_2)$. \end{Ubunge} \subsection{$p$-Gruppen} \begin{Definition} Das \defnoind{Zentrum}\index{Zentrum!einer Gruppe} einer Gruppe $G$ ist die Menge\index{Z@${\op{Z}}(G)$ Zentrum der Gruppe $G$} $${\op{Z}}(G) \pdef \{ x\in G\mid xg =gx \quad \forall g \in G\}$$ derjenigen Gruppenelemente, die mit allen anderen Gruppenelementen kommutieren. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist das Zentrum ein Normalteiler, was im "Ubrigen auch die alternative Beschreibung ${\op{Z}}(G) = \ker (\op{int} : G \ra \op{Grp}^\times (G))$ als Kern eines Gruppenhomomorphismus in den Notationen aus \eref{KonKa}{LA2} sofort zeigt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Die Standgruppe von $g \in G$ unter der Operation von $G$ auf sich selbst durch Konjugation hei"st\label{DefZ} der {\bf Zentralisator}\index{Zentralisator!von Element} ${\op{Z}}_{G} (g)$ von $g$,\index{Z@${\op{Z}}_{G} (g)$ Zentralisator von $g$ in $G$} in Formeln $${\op{Z}}_{G} (g) =\{x \in G\mid xgx^{-1} = g\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{KlGll} Ist $G$ eine endliche Gruppe, $G = C_{1} \sqcup \ldots \sqcup C_{r}$ ihre Zerlegung in Konjugationsklassen und $g_{i} \in C_{i}$ jeweils ein Element, so liefert die Bahnformel \eref{BF}{LA2} die sogenannte {\bf Klassengleichung}\index{Klassengleichung} $$\begin{array}{ccl} |G| &=& |C_{1}| \;\;\;+\;\;\; \ldots\;\;\; + \;\;\;|C_{r}|\\[2mm] &=& |G|/|{\op{Z}}_{G}(g_{1})| + \ldots + |G|/|{\op{Z}}_{G}(g_{r})| \end{array}$$ Die einelementigen Konjugationsklassen sind dabei genau die Konjugationsklassen der Elemente des Zentrums. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $p$ eine Primzahl. Eine \defnoind{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe@$p$-Gruppe} ist eine endliche Gruppe, deren Ordnung eine Potenz von $p$ ist. Die triviale Gruppe hat $p^0$ Elemente und ist damit nach unserer Konvention \eref{PPP}{LA2} eine $p$-Gruppe f"ur jede Primzahl $p$. \end{Definition} \begin{Proposition}\label{NTZ} Jede nichttriviale $p$-Gruppe hat nichttriviales Zentrum. \end{Proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proof}[Beweis] Wir zerlegen unsere Gruppe in Konjugationsklassen $G = C_{1} \sqcup \ldots \sqcup C_{r}$. Nach der Bahnformel sind alle Kardinalit"aten von Konjugationsklassen $|C_{i}|$ Teiler von $|G|$, also $p$-Potenzen. Die einelementigen Konjugationsklassen geh"oren dabei genau zu den Elementen des Zentrums von $G$ und wir folgern $$|G| \equiv |{\op{Z}}(G)|\pmod{p}$$ Da nun das Zentrum stets mindestens ein Element hat, n"amlich das neutrale Element, mu"s es im Fall einer nichttrivialen $p$-Gruppe sogar mindestens $p$ Elemente haben. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Gruppen von Primquadratordnung sind abelsch}] Ist die Ordnung einer Gruppe das Quadrat einer Primzahl $p$, so ist die besagte Gruppe abelsch, in Formeln:\label{p2A} $$|G|=p^2\;\RA\; {\op{Z}}(G)=G$$ \end{Korollar} \begin{proof} Nach der vorhergehenden Proposition \ref{NTZ} hat das Zentrum unserer Gruppe mindestens $p$ Elemente. G"abe es nun au"serhalb des Zentrums noch ein weiteres Element unserer Gruppe, so m"u"ste dieses Element zusammen mit dem Zentrum eine kommutative Untergruppe mit mehr als $p$ Elementen erzeugen. Diese aber w"are dann nach dem Satz von Lagrange \eref{UGL}{LA2} bereits die ganze Gruppe. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Gruppen von Primquadratordnung bis auf Isomorphismus}] Ist die Ordnung einer Gruppe $G$ das Quadrat einer Primzahl $p$, so ist die besagte Gruppe isomorph\label{efPQ} zu genau einer der beiden Gruppen $$\DZ/p^2\DZ\quad\text{ oder }\quad(\DZ/p\DZ)^2$$ \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{p2A} ist $G$ abelsch. Ist $G$ nicht zyklisch, so mu"s jedes Element von $G$ die Ordnung $p$ oder die Ordnung $1$ haben. Mithin gibt es nach "Ubung \eref{AGVV}{LA1} auf $G$ genau eine Struktur als Vektorraum "uber $\mathbb F_p$. Z"ahlen der Elemente zeigt, da"s dann $G$ ein zweidimensionaler $\mathbb F_p$-Vektorraum sein mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Gruppe $G$ k"onnen wir ihr Zentrum ${\op{Z}}(G)$ betrachten und die Quotientengruppe $G/{\op{Z}}(G)$ bilden. Eine Gruppe hei"st {\bf nilpotent}\index{nilpotent!Gruppe}, wenn wiederholtes Anwenden dieser Konstruktion in endlich vielen Schritten zur trivialen einelementigen Gruppe f"uhrt.\label{nilp} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Struktur von $p$-Gruppen}]\label{AL} Jede $p$-Gruppe ist nilpotent. Ist $G$ eine $p$-Gruppe, so gibt es in $G$ sogar eine Kette $G= G_{r} \supset G_{r-1} \supset \ldots \supset G_{0} =1$ von Untergruppen mit $|G_{i}/G_{i-1}|=p$ und $G_{i}/G_{i-1}\subset {\op{Z}}(G/G_{i-1})$ f"ur alle $i$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Jede nichttriviale $p$-Gruppe hat nichttriviales Zentrum und damit folgt die erste Aussage leicht mit Induktion "uber die Gruppenordnung. In diesem nichttrivialen Zentrum mu"s es offensichtlich auch ein nichtneutrales Element $x\neq 1$ geben. Das mu"s als Ordnung eine $p$-Potenz $\op{ord}(x)=p^r$ haben mit $r\geq 1$. Dann ist seine $p^{r-1}$-te Potenz $a\pdef x^{p^{r-1}}$ ein Element der Ordnung $p$ und erzeugt eine zyklische und zentrale Untergruppe der Ordnung $p$. Damit folgt die zweite Aussage genauso. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Gegeben Elemente $a,b$ einer Gruppe $G$ setzt man $(a,b)\pdef aba^{-1}b^{-1}$ und nennt dies Element den {\bf Kommutator von $a$ und $b$}.\index{Kommutator!in Gruppe} Gegeben Teilmengen $A,B$ einer Gruppe bezeichnen wir mit $(A,B)\pdef \langle(A,B)\rangle$ die von den Kommutatoren erzeugte Untergruppe. Jetzt definiert man induktiv die {\bf absteigende Zentralreihe}\index{Zentralreihe!absteigende} einer Gruppe $G$ durch $G^0\pdef G$ und $ G^{i}\pdef (G^{i-1},G)$ f"ur $i\geq 1$. Man zeige, da"s eine Gruppe genau dann nilpotent ist, wenn ihre absteigende Zentralreihe nach endlich vielen Schritten bei der trivialen Gruppe landet, wenn also in Formeln gilt $G^i=1$ f"ur $i\gg 0$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Jede Untergruppe einer nilpotenten Gruppe ist nilpotent. F"ur jedes $n$ ist die Gruppe der oberen $(n\times n)$-Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale und Eintr"agen in irgendeinem Ring nilpotent.\label{hgtt} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man bestimme das Zentrum der Gruppe $\op{GL} (n;k)$ f"ur $n\in \DN$ und $k$ ein K"orper. Man bestimme das Zentrum der Symmetriegruppe eines Quadrats. \end{Ubunge} \subsection{Sylows"atze} \begin{Definition} Seien $G$ eine endliche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Eine Untergruppe $P\subset G$ hei"st eine {\bf $p$-Sylowuntergruppe}\index{Sylowuntergruppe} oder kurz {\bf $p$-Sylow\index{Sylow} von $G$}, wenn ihre Kardinalit"at $|P|$ die h"ochste $p$-Potenz ist, die die Gruppenordnung $|G|$ teilt. \end{Definition} \begin{Beispiel} Eine $2$-Sylow in der Gruppe der $24$ Drehsymmetrien eines W"urfels ist per definitionem eine Untergruppe mit $8$ Elementen. Zum Beispiel w"are jede Untergruppe, die die Achse durch die Mittelpunkte zweier gegen"uberliegender Fl"achen stabilisiert, eine solche $2$-Sylow, die nebenbei bemerkt isomorph ist zur Bierdeckelgruppe. Die einzige $5$-Sylow in derselben Gruppe w"are in unserer Terminologie die einelementige Untergruppe. Viele Autoren verstehen aber auch abweichend unter Sylowuntergruppen nur diejenigen Untergruppen, die wir in unserer Terminologie als \glqq nichttriviale Sylowuntergruppen\grqq\ ansprechen w"urden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die f"unf einbeschriebenen W"urfel eines Dodekaeders entsprechen eineindeutig den $2$-Sylows unserer Ikosaedergruppe: Diese sind genau die vierelementigen Diedergruppen, die von den drei durch die Fl"achenmitten eines festen einbeschriebenen W"urfels stechenden Geraden jede in sich "uberf"uhren. Da"s es keine anderen $2$-Sylows in der Ikosaedergruppe gibt, wird sp"ater aus der Aussage folgen, da"s je zwei $p$-Sylows zueinander konjugiert sind. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Operation durch Konjugation einer Gruppe $G$ auf sich selber induziert eine Operation unserer Gruppe auf ihrer Potenzmenge $\mathcal P(G)$, die wir auch als {\bf Konjugation} ansprechen. Im folgenden verwenden wir oft die davon auf der Teilmenge $\mathcal U(G)\subset \mathcal P(G)$ aller Untergruppen induzierte Operation. Insbesondere hei"sen also zwei Untergruppen $H,K\subset G$ {\bf zueinander konjugiert}\index{konjugiert!Untergruppen}, wenn es $g\in G$ gibt mit $H=gKg^{-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{S"atze von Sylow}]\label{SaSy}\index{Sylows"atze} Seien $G$ eine endliche Gruppe, $p$ eine Primzahl und $p^{r}$ die gr"o"ste $p$-Potenz, die die Gruppenordnung $|G|$ teilt. So gilt: \begin{enumerate} \item Unsere Gruppe $G$ besitzt Untergruppen der Ordnung $p^{r}$ alias $p$-Sylows; \item Je zwei $p$-Sylows von $G$ sind zueinander konjugiert; \item Jede Untergruppe von $G$, deren Ordnung eine $p$-Potenz ist, liegt in einer $p$-Sylow von $G$; \item Die Zahl der $p$-Sylows von $G$ ist ein Teiler von $|G|/p^{r}$ und kongruent zu $1$ modulo $p$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Sylows endlicher abelscher Gruppen}] Ist $G$ eine endliche abelsche Gruppe, so gibt es insbesondere genau eine $p$-Sylow f"ur alle $p$. Wir kennen diese Untergruppe schon aus Proposition \eref{ZAB}{LA2}: Es ist die Untergruppe $G(p)$ aller Elemente von $G$, deren Ordnung eine $p$-Potenz ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Zwei-Sylows der W"urfelgruppe}] Im Fall der Gruppe der $24$ Drehsymmetrien eines W"urfels liefern die drei Paare gegen"uberliegender Fl"achen drei $2$-Sylows, bestehend aus allen Drehsymmetrien, die das jeweilige Paar in sich "uberf"uhren. Das m"ussen dann auch bereits alle $2$-Sylows alias alle $8$-elementigen Untergruppen dieser Gruppe sein, wie man unschwer aus Teil 2 oder auch aus Teil 4 des vorhergehenden Satzes folgern kann. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir argumentieren durch Induktion "uber $|G|$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $p$ die Ordnung unserer Gruppe teilt. Ist $G = C_{1} \sqcup \ldots \sqcup C_{s}$ die Zerlegung in Konjugationsklassen und $g_{i} \in C_{i}$ f"ur $1\leq i\leq t$ jeweils ein Element aus jeder Konjugationsklasse mit mehr als einem Element, so liefert die Bahnformel nach \ref{KlGll} die Klassengleichung $$ |G| = |G|/|{\op{Z}}_{G}(g_{1})| + \ldots + |G|/|{\op{Z}}_{G}(g_{t})| +|\op{Z}(G)| $$ Teilt $p$ die Ordnung $|\op{Z}(G)|$ des Zentrums von $G$, so gibt es nach dem Satz von Cauchy f"ur abelsche Gruppen \eref{ZABc}{LA2} in ${\op{Z}}(G)$ ein Element $g$ der Ordnung $p$. Nach der Induktionsannahme finden wir nun eine $p$-Sylow von $G/\langle g\rangle$ und deren Urbild in $G$ ist notwendig eine $p$-Sylow von $G$. Gilt sonst $p\nmid |\op{Z}(G)|$, so finden wir auch ein $i$ mit $p\nmid|G|/|{\op{Z}}_{G}(g_{i})|$ und dann folgt die Behauptung direkt aus der Induktionsannahme angewendet auf die Gruppe ${\op{Z}}_{G}(g_{i})$, die ja nicht ganz $G$ sein kann, da keines unserer $g_i$ zum Zentrum von $G$ geh"ort. \\[2mm]\noindent 5. Vor dem weiteren Fortgang des Beweises erg"anzen wir nun unseren Satz um einen technischeren Teil 5, der dann als n"achstes bewiesen wird. Bezeichne $\cal{S}$ die Menge aller $p$-Sylows von $G$. Die Gruppe $G$ operiert auf $\cal{S}$ durch Konjugation. Wir vereinbaren als Notation f"ur den weiteren Verlauf des Beweises die folgenden Konventionen: Bezeichnen wir eine Sylow durch einen kleinen Buchstaben, so fassen wir sie prim"ar als ein Element $x\in \cal{S}$ auf und notieren die mit $g\in G$ konjugierte Sylow $gx$. Bezeichnen wir eine Sylow jedoch durch einen gro"sen Buchstaben, so fassen wir sie prim"ar als eine Teilmenge $P\subset G$ auf und notieren die mit $g\in G$ konjugierte Sylow $gPg^{-1}$. Ich erg"anze nun mit diesen Notationen den Satz um die folgende technische Aussage: {\em \begin{enumerate} \item[5.] Ist $H\subset G$ eine $p$-Gruppe und $y=Q\in \mathcal S$ ein Fixpunkt von $H$ in der Menge aller $p$-Sylows von $G$, so gilt $H\subset Q$. \end{enumerate}} \noindent In der Tat besagt die Fixpunkteigenschaft $h Q h^{-1}= Q \; \forall h\in H$. Mithin ist $HQ=QH$ eine Untergruppe von $G$. Ihre Ordnung ist $|QH|=|QH/H|\cdot |H|$. Nun ist $QH/H$ unter der Operation von $Q$ durch Linksmultiplikation eine einzige $Q$-Bahn und damit ist $|QH/H|$ eine $p$-Potenz. Da auch $|H|$ eine $p$-Potenz ist, mu"s $QH$ eine $p$-Gruppe sein. Es folgt $QH=Q$, also $H \subset Q$. Nun beweisen wir die restlichen Teile des Satzes. \\[2mm]\noindent 2\&3. Sei eine $p$-Sylow $P = x $ gegeben. F"ur ihre Standgruppe $G_x$ gilt $G_{x} \supset P$, also ist nach der Bahnformel \eref{BF}{LA2} die Kardinalit"at $|Gx|$ der Bahn $Gx\subset \cal{S}$ von $x$ teilerfremd zu $p$, in Formeln $p\nmid|Gx|$. Sei weiter $H \subset G$ eine Untergruppe von $p$-Potenzordnung. Sicher zerf"allt $Gx$ in Bahnen unter $H$ und die Ordnung jeder solchen Bahn mu"s eine $p$-Potenz sein. Folglich gibt es in $Gx$ einen Fixpunkt $y$ von $H$. Nach dem eben bewiesenen Teil 5 ist dieser Fixpunkt $y=Q$ eine $p$-Sylow $Q$ mit $Q\supset H$. Wegen $y\in Gx$ gibt es dann $g\in G$ mit $gPg^{-1}=Q$. \\[2mm]\noindent 4. Nach Teil 5 gibt es nur einen Fixpunkt unserer Sylow $P$ auf der Menge aller $p$-Sylows $\cal{S}$, n"amlich den Punkt $x=P$ selber. Alle anderen $P$-Bahnen in $\cal{S}$ haben als Kardinalit"at eine echte $p$-Potenz und das zeigt $|\cal{S}|\equiv 1\pmod{p}$. Die Standgruppe $G_x$ von $x\in \cal{S}$ umfa"st schlie"slich unsere Sylow $P=x$. Da nun je zwei $p$-Sylows konjugiert sind, haben wir $|\cal{S}|=|G/G_x|$ und das ist wegen $G_x\supset P$ ein Teiler von $|G/P|$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Ein alternativer Beweis des ersten Teils geht so: Man betrachtet das System $\mathcal M\subset\mathcal P(G)$ aller Teilmengen unserer Gruppe mit $p^r$ Elementen. Die Gruppe $G$ operiert auf $\mathcal M$ durch Konjugation. Hat der Stabilisator von einem $M\in \mathcal M$ genau $p^r$ Elemente, so ist er eine $p$-Sylow. Sonst haben alle Stabilisatoren weniger Elemente und damit alle Bahnen eine durch $p$ teilbare Kardinalit"at: Widerspruch dazu, da"s nach expliziter Rechnung die Kardinalit"at von $\mathcal M$ teilerfremd ist zu $p$, vergleiche \eref{KBKxx}{EIN}. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{von Cauchy "uber Gruppenelelemente von Primzahlordnung}] Jeder Primfaktor der Ordung einer endlichen Gruppe\index{Cauchy!Satz von} tritt auch als Ordnung eines\label{PFGO} Elements besagter Gruppe auf. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s wir diese Aussage im Fall abelscher Gruppen bereits in \eref{ZABc}{LA2} bewiesen hatten, und da"s wir sie in diesem Fall ihrerseits beim Beweis der Sylows"atze verwendet haben. Einen alternativen Beweis konnten Sie als "Ubung \eref{CZF}{LA2} ausarbeiten. Allgemeinere Teiler der Ordung einer endlichen Gruppe m"ussen keineswegs als Ordnung eines Elements besagter Gruppe auftreten. So gibt es etwa\label{UBGG} in der symmetrischen Gruppe $\cal{S}_5$ keine Untergruppe mit $15$ Elementen, was Sie als "Ubung gleich zeigen k"onnen. Ebenso sieht man leicht ein, da"s die alternierende Gruppe $A_4$ keine Untergruppe der Ordnung $6$ hat. Teilt jedoch eine Primzahlpotenz die Ordnung einer Gruppe, so gibt es eine Untergruppe mit besagter Primzahlpotenz als Ordnung: Das folgt "ahnlich wie im anschlie"senden Beweis leicht aus den Sylows"atzen zusammen mit unseren Erkenntnissen zur Struktur von $p$-Gruppen \ref{AL}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $p$ unser Primfaktor. Man findet zun"achst nach \ref{SaSy} in unserer Gruppe eine $p$-Sylow. Darin findet man ein Element, das nicht das neutrale Element ist. Dieses erzeugt eine zyklische Untergruppe, die isomorph ist zu $\DZ/p^r\DZ$ f"ur $r\geq 1$. Darin ist dann die Nebenklasse von $p^{r-1}$ das gesuchte Element der Ordnung $p$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{Grp6} Jede Gruppe mit genau sechs Elementen ist entweder zyklisch oder isomorph zur symmetrischen Gruppe $\cal{S}_{3}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $G$ unsere Gruppe der Ordnung $|G|=6$. Wir finden nach dem Satz von Cauchy \ref{PFGO} Elemente $a,b \in G$ der Ordnungen $2$ und $3$. Nach "Ubung \eref{SM}{LA1} zum Satz von Lagrange gilt $\langle a\rangle \cap \langle b \rangle =1$, also liefert die Multiplikation eine Bijektion $$\langle a \rangle \times \langle b \rangle \sira G$$ Sicher kann unter diesen Umst"anden $ba$ weder eine Potenz von $a$ noch eine Potenz von $b$ sein. Gilt $ba = ab$, so ist unsere Gruppe kommutativ und folglich isomorph zu $\DZ /2 \DZ \times \DZ/3\DZ \cong \DZ/6\DZ$. Gilt $ba = ab^{2}$, so legt diese Gleichung schon die ganze Gruppenstruktur fest und wir haben die $\cal{S}_{3}$ vor uns. \end{proof} \begin{Korollar}\label{15z} Jede Gruppe der Ordnung $15$ ist zyklisch. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die Zahl der $3$-Sylows teilt $5$ und ist kongruent zu $1$ modulo $3$. Es gibt also genau eine $3$-Sylow und damit genau zwei Elemente der Ordnung $3$. "Ahnlich gibt es genau eine $5$-Sylow und damit genau $4$ Elemente der Ordnung $5$. Zusammen mit dem neutralen Element sind das nur $7$ Elemente. Die "ubrigen $8$ Elemente haben notwendig die Ordnung $15$. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Gruppen mit h"ochstens $15$ Elementen}] Mit den folgenden "Ubungen k"onnen Sie die Klassifikation der Gruppen mit h"ochstens 15 Elementen zu Ende bringen. Gruppen mit $2,3,5,7,11$ oder $13$ Elementen sind zyklisch nach \eref{GrpP}{LA2}. Gruppen mit $4$ oder $9$ Elementen sind nach \ref{efPQ} zyklisch oder zweidimensionale Vektorr"aume "uber dem jeweiligen Primk"orper. Gruppen mit $6$ Elementen hatten wir in \ref{Grp6} diskutiert. F"ur Gruppen mit $10$ oder $14$ Elementen funktioniert dieselbe Argumentation, wie Sie als "Ubung \ref{Grp14} ausarbeiten d"urfen. Gruppen mit $8$ Elementen klassifizieren wir in \ref{QuatG}, Gruppen mit $12$ Elementen klassifizieren Sie in \ref{G12} und jede Gruppe mit $15$ Elementen ist zyklisch nach \ref{15z}. Bei Gruppen mit $16$ Elementen f"angt es aber an, un"ubersichtlich zu werden, es gibt von ihnen bereits $14$ Isomorphieklassen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Gruppen mit $8$ Elementen}] Es gibt $5$ Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung acht,\label{QuatG} als da w"aren die drei abelschen Gruppen $\DZ/8\DZ$, $\DZ/4\DZ\times \DZ/2\DZ$ und $(\DZ/2\DZ)^3$, die Diedergruppe der Ordnung acht sowie die {\bf Quaternionengruppe} der acht Quaternionen $\{\pm 1,\pm \op{i},\pm \op{j}, \pm \op{k}\}$ nach \eref{DQua}{LA1}. Um das einzusehen, kann man argumentieren wie folgt: Jede nicht\-abelsche Gruppe der Ordnung acht besitzt nach \eref{GJI}{LA1} Elemente der Ordnung vier, also nach \eref{NtII}{LA2} einen zyklischen Normalteiler der Ordnung vier. Gibt es eine Involution au"serhalb dieses Normalteilers, so sehen wir schnell, da"s unsere Gruppe ein semidirektes Produkt $(\DZ/4\DZ)\rtimes (\DZ/2\DZ)$ sein mu"s f"ur die einzige nichttriviale Operation, so da"s wir eine Diedergruppe vor uns haben. Sonst haben alle Elemente au"serhalb unseres Normalteilers die Ordnung vier und in unserer Gruppe bleibt nur noch Platz f"ur ein einziges Element der Ordnung zwei. Unsere Gruppe ist also die Vereinigung von drei zyklischen Gruppen der Ordnung vier, und der Schnitt dieser Gruppen ist auch der Schnitt von je zweien unter ihnen und ist zyklisch von der Ordnung zwei und zentral. Bezeichne $ 1$ das neutrale Element und $-1$ das andere Element dieses Schnitts. W"ahlen wir $\op{i}$ und $\op{j}$ Erzeuger von zwei verschiedenen zyklischen Untergruppen der Ordnung vier, so m"ussen $\op{i}\op{j}$ und auch $\op{k}\pdef (-1)\op{i}\op{j}$ die dritte zyklische Untergruppe der Ordnung vier erzeugen, denn diese Elemente sind weder eine Potenz von $\op{i}$ noch eine Potenz von $\op{j}$. Von hier aus ist leicht zu sehen, da"s wir gerade die Quaternionengruppe vor uns haben. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{Grp14} F"ur jede Primzahl $p$ gibt es bis auf Isomorphismus genau zwei Gruppen der Ordnung $2p$, eine zyklische Gruppe und eine Diedergruppe. Hinweis: Man erinnere die Argumentation im Fall $p=3$ und interessiere sich f"ur die Anzahl der $2$-Sylows. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sind $p>q$ Primzahlen und ist $q$ kein Teiler von $p-1$, so ist jede Gruppe der Ordnung $pq$ zyklisch. Hinweis: \ref{15z}. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Struktur endlicher nilpotenter Gruppen}] Man zeige: In einer endlichen nilpotenten Gruppe ist jede Sylow ein Normalteiler. Insbesondere gibt es zu jeder Primzahl $p$ nur eine Sylow, die aus allen Elementen von $p$-Potenzordnung besteht. Hinweis: Vollst"andige Induktion "uber die Gruppenordnung. Man zeige weiter, da"s in einer endlichen nilpotenten Gruppe Elemente aus verschiedenen Sylowuntergruppen kommutieren und da"s unsere Gruppe isomorph ist zum Produkt ihrer nichttrivialen Sylowuntergruppen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Funktorialit"at semidirekter Produkte}] Seien $A$, $M$, $ B$, $N$ Gruppen und $\kappa : A \rightarrow \op{Grp}^\times M$\label{DPii} sowie $\tau : B \rightarrow \op{Grp}^\times N$ Gruppenhomomorphismen. Wie bei der Definition semidirekter Produkte in \ref{Spn} schreiben wir $(\kappa(a))(m)\defp(^am)$ und $(\tau(b))(n)\defp(^bn)$. Seien weiter $\psi : A \rightarrow B$ und $\varphi : M \rightarrow N$ Gruppenhomomorphismen mit ${}^{\psi (a)} \varphi (m) = \varphi ({}^a m)$ f"ur alle $a \in A$ und alle $m \in M$ alias $\tau (\psi (a)) \circ \varphi = \varphi \circ \kappa (a)$ f"ur alle $a \in A$. So ist $\varphi\times \psi$ ein Homomorphismus der semidirekten Produkte \begin{equation*} (\varphi\times \psi) : M \rtimes A \rightarrow N \rtimes B \end{equation*} Speziell haben wir$ N \rtimes_\tau B \cong N \rtimes_\kappa B $ im Fall $\kappa = (\op{int} \varphi) \circ \tau$ f"ur einen Automorphismus $\varphi \in \op{Grp}^\times N$ der Gruppe $N$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Gruppen mit $12$ Elementen}] In dieser "Ubung sollen Sie zeigen, da"s es bis auf Isomorphismus genau $5$ Gruppen der Ordnung $12$ gibt:\label{G12} Die beiden abelschen Gruppen $(\mathbb Z / 2\mathbb Z)^2 \times \mathbb Z/3 \mathbb Z $ und $\mathbb Z/4 \mathbb Z \times \mathbb Z/3\mathbb Z$, die Diedergruppe $D_6$, die alternierende Gruppe $A_4$ und ein semidirektes Produkt $ \mathbb Z/4\mathbb Z \ltimes \mathbb Z/3 \mathbb Z$, f"ur das mir keine konkrete Interpretation eingefallen ist. Ich rate, der Reihe nach folgendes zu zeigen: \begin{enumerate} \item In einer Gruppe mit $12$ Elementen gibt es entweder nur eine $2$-Sylow oder nur eine $3$-Sylow. Hinweis: Mehr Platz ist nicht vorhanden. \item Schreiben wir im folgenden $\rtimes$ nur f"ur semidirekte Produkte, die nicht gew"ohnliche Produkte sind, so geh"ort jede Gruppe mit $12$ Elementen zu einer der sechs Typen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} (\mathbb Z / 2\mathbb Z)^2 \times \mathbb Z/3 \mathbb Z & (\mathbb Z/2 \mathbb Z)^2 \ltimes \mathbb Z/3 \mathbb Z & (\mathbb Z/2 \mathbb Z)^2 \rtimes \mathbb Z/3\mathbb Z\\[2mm] \mathbb Z/4 \mathbb Z \times \mathbb Z/3\mathbb Z & \mathbb Z/4\mathbb Z \ltimes \mathbb Z/3 \mathbb Z & \mathbb Z/4 \mathbb Z \rtimes \mathbb Z/3 \mathbb Z \end{array} \end{displaymath} \item Vom letzten dieser Typen existiert keine Gruppe, von jedem anderen Typ existiert bis auf Isomorphismus genau eine, und diese f"unf Gruppen sind paarweise nicht isomorph. Hinweis: Man beachte \ref{DPii} und beachte auch, da"s f"ur den Fall, in dem es von beiden Typen von Sylow nur eine gibt, die Gruppe kommutativ sein mu"s: Sind $H, K$ die beiden Sylows, so gilt dann ja $h k h^{-1} k^{-1} \in H \cap K$ f"ur alle $h \in H, k \in K$. \end{enumerate} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die $2$-Sylow in der symmetrischen Gruppe $\cal{S}_{4}$ der Drehsymmetrien eines W"urfels isomorph ist zur Diedergruppe der Ordnung $8$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{SSY} Gegeben in einer endlichen Gruppe $G$ zwei Sylow-Untergruppen $P,Q$ gilt stets $\{p\in P\mid pQp^{-1}=Q\}=P\cap Q$. Hinweis: Die L"osung ist im Beweis der Sylows"atze versteckt. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Seien $G\supset N$ eine endliche Gruppe mit einem Normalteiler und sei $p$ prim. Man zeige: Genau dann ist eine Untergruppe $P\subset G$ eine $p$-Sylow von $G$, wenn $P\cap N$ eine $p$-Sylow von $N$ ist und das Bild von $P$ in $G/N$ eine $p$-Sylow von $G/N$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Gruppe mit $30$ Elementen kann nie einfach sein.\label{dra} Hinweis: Entweder besitzt sie nur eine $3$-Sylow oder nur eine $5$-Sylow. \end{Ubung} \subsection{Symmetrische Gruppen}\label{PeGr} %\emph{Das war in der Vorlesung 2008/09 noch nicht dran.} \begin{Definition}\label{ParT} Eine {\bf Partition $\lambda$ einer nat"urlichen Zahl} \index{Partition!einer Zahl} $n \in \Bbb{N}$ ist eine monoton fallende Folge von nat"urlichen Zahlen $\lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \ldots$ derart, da"s fast alle Folgenglieder verschwinden und die von Null verschiedenen Folgenglieder sich zu $n$ aufsummieren. Die Menge aller Partitionen von $n$ notieren wir $\cal{P}_{n}$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Zahl $5$ hat genau sieben Partitionen. Salopp k"onnen wir sie beschreiben als die Zerlegungen $$ \begin{array}{lll} 5&=&5\\ 5&=&4+1 \\ 5&=&3+2 \\ 5&=&3+1+1\\ 5&=&2+2+1\\ 5&=&2+1+1+1 \\ 5&=&1+1+1+1+1 \end{array}$$ Hier haben wir nur die von Null verschiedenen Folgenglieder aufgeschrieben und sie durch $+$ getrennt. Formal meinen wir zum Beispiel im vierten Fall die Folge $3,1,1,0,0,\ldots$. Zur Abk"urzung verwendet man auch oft die sogenannte {\bf exponentielle Schreibweise}, in der unsere Partitionen von $5$ der Reihe nach als $5$, $41$, $32$, $31^2$, $2^21$, $21^3$ und $1^5$ geschrieben w"urden. Sie ist allerdings nur f"ur Partitionen von Zahlen $\leq 9$ geschickt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}\label{YD} Eine in vielen Zusammenh"angen geschickte Art, sich Partitionen zu veranschaulichen, sind die sogenannten Youngdiagramme. Unter einem \defnoind{Youngdiagramm}\index{Young-Diagramm} verstehen wir %wie in \ref{YD} eine endliche Teilmenge $Y \subset \Bbb{N} \times \Bbb{N}$ mit der Eigenschaft $$\left((i,j) \in Y \text{ und } i^{\prime}\leq i \text{ und }j' \leq j\right) \;\;\Rightarrow \;\;(i^{\prime},j^{\prime})\in Y$$ Die Elemente von $Y$ nennen wir die {\bf K"astchen} unseres Youngdiagramms und stellen uns ein Element $(i,j)$ vor als das K"astchen auf einem Rechenpapier, bei dem die Koordinaten der linken unteren Ecke gerade $(i,j)$ sind. Zum Beispiel stellt das Bild $$ \begin{Young} \cr&\cr&&&\cr \end{Young} $$ die Menge $\{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0),(3,0)\}$ dar. In der Praxis denke ich bei Youngdiagrammen stets an Bilder dieser Art. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Jedes Youngdiagramm $Y$ mit $n$ K"astchen im Sinne von \ref{YD} liefert zwei Partitionen der Zahl $n$, die Partition durch die Zeilenl"angen $z(Y)$ und die\label{zTt} Partition durch die Spaltenl"angen $s(Y)$. Bezeichnet $\cal{Y}_n$ die Menge aller Youngdiagramme mit $n$ K"astchen und $\cal{P}_n$ die Menge aller Partitionen der Zahl $n$, so erhalten wir auf diese Weise zwei Bijektionen $$\cal{P}_n\overset{z}{\leftiso}\cal{Y}_n\overset{s}{\sira}\cal{P}_n$$ die zusammen eine selbstinverse Bijektion $\cal{P}_n\sira \cal{P}_n$ liefern. Diese Bijektion notieren wir $\lambda\mapsto \lambda'$ und nennen $\lambda'$ die \defind{duale Partition} {\bf zu} $\lambda$. Zum Beispiel ist die duale Partition zu $3,2$ die Partition $2,2,1$ und die duale Partition zu $3,2,1,1$ ist $4,2,1$, im Bild also ist $$ \begin{array}[c]{ccc} \begin{Young} \cr&\cr&&&\cr \end{Young} &\hspace{10mm}\mbox{dual zu}\hspace{10mm}& \begin{Young} \cr \cr &\cr&&\cr \end{Young} \end{array} $$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Partition einer Menge} $X$ verstehen wir wie in \eref{PMe}{LA2} ein System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von paarweise\label{PMPZ} disjunkten nichtleeren Teilmengen, deren Vereinigung ganz $X$ ist. Die Menge aller Partitionen einer gegebenen Menge $X$ notieren wir $\cal{P}_X$. Hat $X$ genau $n$ Elemente, so erhalten wir, indem wir die Kardinalit"aten der Teilmengen unserer Mengensysteme der Gr"o"se nach auff"uhren und danach Nullen anh"angen, eine offensichtliche Surjektion %, die{\bf Multikardinalit"at}\index{Multikardinalit"at} $$\cal{P}_X\sra \cal{P}_n$$ \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.35\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPtT} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.55\textwidth}\centering Eine Partition einer Menge mit dreizehn Elementen durch vier Teilmengen. Die im Sinne von \ref{PMPZ} zugeh"orige Partition der Zahl $13$ w"are $13=5+4+3+1$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{KKS} Jede Permutation $\sigma \in \op{Ens}^\times( X)$ einer Menge $X$ liefert eine Partition von $X$, n"amlich die Partition in die Bahnen der von $ \sigma $ erzeugten Untergruppe $\langle \sigma \rangle=\{\sigma^r\mid r\in\DZ\}$. Im Fall $|X|=n<\infty$ erhalten wir durch Verkn"upfung dieser Abbildung $\op{Ens}^\times( X)\ra \cal{P}_X$ mit der in \ref{PMPZ} diskutierten Abbildung $\cal{P}_X\sra \cal{P}_n$ die sogenannte {\bf Zykell"angenabbildung}\index{Zykell"angenabbildung} $\op{Ens}^\times( X) \ra \cal{P}_{n}$. Im Fall $X=\{1,\ldots,n\}$ ist das eine Abbildung $\cal{S}_n \ra \cal{P}_{n}$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPSy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine Permutation $\sigma\in \cal{S}_7$ mit Zykelzerlegung $\{1,2,3,4,5,6,7\}=\{1,2,5\}\cup\{6,7\}\cup\{3\}\cup\{4\} $. Die zugeh"orige Partition der Zahl $7$ w"are $7=3+2+1+1$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Operation durch Konjugation einer Gruppe auf sich selber aus \eref{OpKo}{LA2} und an ihre Bahnen, die Konjugationsklassen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Konjugationsklassen in den symmetrischen Gruppen}] Ist $X$ eine endliche Menge mit $|X|=n$ Elementen, so sind die Fasern der Zykell"angenabbildung $$\op{Ens}^\times( X) \ra \cal{P}_{n}$$ genau die Konjugationsklassen in der Permutationsgruppe $\op{Ens}^\times (X)$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Eine analoge Aussage gilt mit demselben Beweis auch f"ur eine beliebige Menge $X$. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Seien Permutationen $\sigma, \tau \in \op{Ens}^\times (X)$ gegeben. Ist $X = X_1 \cup \ldots \cup X_r$ die Partition von $X$ in die Bahnen von $\langle \sigma \rangle$, so ist \begin{equation*} X = \tau (X_1) \cup \ldots \cup \tau (X_r) \end{equation*} die Partition in die Bahnen von $\langle\tau\sigma\tau^{-1}\rangle$, folglich ist die Zykell"angenabbildung konstant auf Konjugationsklassen. Die Zykell"angenabbildung ist auch offensichtlich surjektiv. Um schlie"slich zu zeigen, da"s je zwei Permutationen mit denselben Zykell"angen konjugiert sind, seien etwa $\sigma, \kappa \in \op{Ens}^\times (X)$ unsere beiden Permutationen und \begin{eqnarray*} X &=& X_1 \cup \ldots \cup X_r\\ X &=& Y_1 \cup \ldots \cup Y_r \end{eqnarray*} die Zerlegungen in Bahnen unter $\langle \sigma \rangle$ und $\langle \kappa \rangle$ mit $|X_i| = |Y_i| = r_i$. Gegeben $z \in X_i$ und $u \in Y_i$ haben wir dann \begin{eqnarray*} X_i &=& \{ z, \sigma (z), \sigma^2 (z), \ldots, \sigma^{r_i}(z) = z \}\\ Y_i&=& \{u, \kappa (u),\kappa^{ 2} (u), \ldots, \kappa^{ r_{i}} (u) = u\} \end{eqnarray*} Definieren wir also $\tau: X_i \overset{\sim}{\rightarrow} Y_i$ durch $\tau (\sigma^\nu (z)) = \kappa^{\nu} (u)$, so kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X_i\ar[d]_-{\tau} \ar[r]^-{\sigma} & X_i \ar[d]^-{\tau}\\ Y_i \ar[r]^-{\kappa} &Y_i } \end{displaymath} Setzen wir dann alle diese $\tau : X_i \overset{\sim}{\rightarrow} Y_i$ zusammen zu $\tau : X \overset{\sim}{\rightarrow} X$, so gilt ebenso $\kappa \tau = \tau \sigma$ alias $\kappa = \tau \sigma \tau^{-1}$. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.55\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKSy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.35\textwidth}\centering Zwei Permutationen $\sigma,\sigma'\in \cal{S}_5$, die dieselbe Partition $5=3+2$ liefern, und eine Permutation $\tau$, die sie ineinander konjugiert. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Hat $\langle \sigma \rangle$ au"ser einer $p$-elementigen Bahn nur einelementige Bahnen, so nennt man $\sigma$ einen \defnoind{$p$-Zykel}.\index{Zykel!in Permutationsgruppe} Die Zweizykel hei"sen auch \defnoind{Transpositionen}.\index{Transposition} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zykelschreibweise f"ur Permutationen}] Eine M"oglichkeit, Permutationen zu notieren, besteht darin, unter jedes Element sein Bild zu schreiben, also etwa \begin{eqnarray*} \tau &=& \left[ \begin{array}{cccccc} 1 & 2&3&4&5 &6\\ 6&4&2&3&5&1 \end{array} \right] \end{eqnarray*} Eine andere M"oglichkeit ist die Notation als Produkt paarweise disjunkter Zykel. Ein $p$-Zykel $\sigma$ wird notiert in der Form $\sigma=( z, \sigma (z), \sigma^2 (z), \ldots, \sigma^{p-1}(z))$ wobei $\sigma^{p}(z)=z$ zu verstehen ist. In {\bf Zykelschreibweise}\index{Zykelschreibweise} h"atten wir f"ur unsere Permutation $\tau$ von eben etwa \begin{equation*} \tau = (1,6)(2,4,3) (5) \end{equation*} und das ist so zu verstehen, da"s jedes Element auf das dahinterstehende abgebildet wird, au"ser wenn es direkt vor einer Klammer steht: Dann wird es auf das erste Element innerhalb seiner Klammer abgebildet. Oft werden Fixpunkte nicht mit notiert, so da"s wir also auch schreiben k"onnten \begin{equation*} \tau = (1,6) (2,4,3) \end{equation*} Das ist "ubrigends auch das Produkt der Transposition $\kappa = (1,6)$ mit den Dreizykel $\rho = (2,4,3)$ und wir haben $\tau = \kappa \rho = \rho \kappa$, was die Sinnhaftigkeit unserer Notation zeigt. Zwei Zykel hei"sen \defind{disjunkt} genau dann, wenn jedes Element von einem der beiden festgehalten wird. Ganz allgemein kommutieren disjunkte Zykel, so gilt etwa $(1,6) (2,3,4) = (2,3,4) (1,6)$ in $\cal{S}_6$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}[\textbf{Partitionen und nilpotente Matrizen}] Gegeben ein $n$-dimensionaler Vektorraum $V$ bildet f"ur jeden nilpotenten Endomorphismus $N\in \op{End}V$ die Folge der Dimensionen $\op{dim}(\op{im}N^r/\op{im}N^{r+1})$ eine Partition von $n$, und die Fasern der so konstruierten Abbildung $$\{N\in \op{End}V\mid N \text{ nilpotent}\}\ra \cal{P}_n$$ sind genau die Bahnen der Operation von $\op{GL}(V)$ durch Konjugation auf der Menge der nilpotenten Endomorphismen von $V$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Die symmetrische Gruppe $\cal{S}_5$ besitzt genau sieben Konjugationsklassen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Das Signum eines $p$-Zykels ist stets $(-1)^{p+1}$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{AltEI} Man zeige unabh"angig von unseren geometrischen Betrachtungen zur Ikosaedergruppe \ref{ie}, da"s es in der alternierenden Gruppe $A_5$ genau $5$ Konjugationsklassen gibt, die die Kardinalit"aten $20$, $15$, $12$, $12$ und $1$ haben. Man folgere, da"s die alternierende Gruppe $A_5$ einfach ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Zentralisatoren in symmetrischen Gruppen}] Seien $X$ eine endliche Menge und $\sigma \in \mathcal S\pdef \op{Ens}^\times X$ eine Permutation von $X$. Ihr Zentralisator ${\op{Z}}_{\mathcal S} (\sigma)$ nach \ref{DefZ} operiert auf dem Bahnenraum von $\langle \sigma \rangle$ und jede Permutation des Bahnenraums $X / \langle \sigma \rangle$, die die Kardinalit"aten von Bahnen erh"alt, kann durch ein Element unseres Zentralisators realisiert werden. Hat unser $\sigma$ jeweils $n(i)$ Zykel der L"ange $i$ und keinen Zykel einer L"ange $>r$, so hat das Bild von ${\op{Z}}_{\mathcal S} (\sigma) \rightarrow \op{Ens}^{\times} (X/\langle \sigma \rangle)$ also genau $n (1)! n(2)! \ldots n (r)!$ Elemente. Der Kern hinwiederum besteht aus denjenigen Elementen des Zentralisators, die jede Bahn von $\langle \sigma \rangle$ auf sich selber abbilden, und davon gibt es offensichtlich $1^{n (1)} \ldots r^{n(r)}$ St"uck. Zusammen erhalten wir mit \eref{KKGr}{LA1} so \begin{equation*} |{\op{Z}}_{\mathcal S} (\sigma) | = \prod_{i=1}^r n(i)! i^{n(i)} \end{equation*} \end{Ubunge} \subsection{Alternierende Gruppen*} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $\op{sgn}$, die jeder Permutation $\tau \in \cal{S}_{r}$ ihr Signum zuordnet, ist ein Gruppenhomomorphismus $\op{sgn} : \cal{S}_{r} \ra \{1,-1\}$. Der Kern dieses Gruppenhomomorphismus, d.h.\ die Gruppe aller geraden Permutationen von $r$ Objekten, hei"st die $r$-te \defind{alternierende Gruppe} und wird notiert als $$A_{r} = \op{ker} (\op{sgn} : \cal{S}_{r} \ra \{1,-1\})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}\label{A5E} Die alternierenden Gruppen $A_{r}$ sind einfach f"ur $r \geq 5$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{A4Af} In der alternierenden Gruppe $A_4$ bilden die drei Doppeltranspositionen zusammen mit dem neutralen Element einen Normalteiler, der isomorph ist zur Klein'schen Vierergruppe $\DZ/2\DZ\times \DZ/2\DZ$. Insbesondere ist $A_4$ nicht einfach. Die Gruppen $A_1$ und $A_2$ sind trivial, $A_3\cong \DZ/3\DZ$ ist jedoch auch noch einfach. Da"s $A_5$ einfach ist, kann man wie beim Beweis der Einfachkeit der Ikosaedergruppe unmittelbar einsehen, indem man die Kardinalit"aten der Konjugationsklassen berechnet. Dem Beweis des Satzes im allgemeinen schicken wir zwei Lemmata voraus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hat das Erzeugnis $\langle \sigma \rangle$ einer Permutation $\sigma $ genau zwei zweielementige und sonst nur einelementige Bahnen, so hei"st $\sigma$ eine \defind{Doppeltransposition}. Hat $\langle \sigma \rangle$ genau zwei dreielementige und sonst nur einelementige Bahnen, so nennen wir $\sigma$ einen \defind{Doppeldreizykel}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die symmetrischen Gruppen $\cal{S}_{r}$ werden von den Transpositionen erzeugt, die alternierenden Gruppen $A_{r}$ von den Dreizykeln. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die erste Aussage war "Ubung \eref{TREz}{LA1}. Die Zweite folgt daraus, da"s man jede Doppeltransposition als Produkt von zwei Dreizykeln schreiben kann, $(ab)(cd)=(abc)(bcd)$, und da"s das Produkt von zwei nicht kommutierenden Transpositionen ein Dreizykel ist, $(ab)(ac)=(acb)$. Jedes Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen l"a"st sich demnach auch als ein Produkt von Dreizykeln darstellen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{AHHH} F"ur $r\geq 5$ wird die alternierende Gruppe $A_{r}$ nicht nur erzeugt von den Dreizykeln, sondern auch von den Doppeltranspositionen. Des weiteren sind f"ur $r\geq 5$ je zwei Doppeltranspositionen und je zwei Dreizykel auch schon in $A_{r}$ konjugiert. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Jeder Dreizykel kann als Verkn"upfung von zwei Transpositionen seiner drei Elemente dargestellt werden. Haben wir noch zwei weitere Elemente zur Verf"ugung, so k"onnen wir diese beiden Transpositionen durch das Verkn"upfen mit der Vertauschung dieser beiden Elemente zu Doppeltranspositionen machen. Das zeigt die erste Aussage. Zwei Doppeltranspositionen $(ab)(cd)$ und $(a'b')(c'd')$ sind konjugiert unter jeder Permutation $\tau$ mit $a\mapsto a',\ldots, d\mapsto d'$ und auch unter $\tau \circ (ab)$. Entweder $\tau$ oder $\tau \circ (ab)$ ist aber stets gerade. Zwei Dreizykel $(abc)$ und $(a'b'c')$ sind konjugiert unter jeder Permutation $\tau$ mit $a\mapsto a',\ldots, c\mapsto c'$ und insbesondere auch unter $\tau\circ (de)$ f"ur $(de)$ disjunkt von $(abc)$. Entweder $\tau$ oder $\tau \circ (de)$ ist aber stets gerade. Das zeigt die zweite Aussage. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{A5E}] Sei ab jetzt $r$ beliebig und $N \subset A_{r}$ ein nichttrivialer Normalteiler. Nach dem vorhergehenden Lemma \ref{AHHH} reicht es zu zeigen, da"s es in $N$ entweder eine Doppeltransposition oder einen Dreizykel gibt. Dazu zeigen wir, wie man zu jedem nichttrivialen Element $g \in N$, das weder eine Doppeltransposition noch ein Dreizykel ist, ein anderes nichttriviales Element $\tilde{g}\in N$ mit noch mehr Fixpunkten konstruieren kann. Indem wir zu Potenzen von $g$ "ubergehen, k"onnen wir $g$ von Primzahlordnung annehmen. \begin{Bild} \centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildfDZ} \\ \vspace{4mm} \noindent Die durchgezogenen Pfeile stellen eine Permutation $g$ der Ordnung $\geq 5$ auf der Menge der fetten Punkte dar, die gestrichelten Pfeile den im Beweis beschriebenen Dreizykel $h$, der umrandete Punkt unseren \glqq Ausgangspunkt\grqq. \end{Bild} Ist $\op{ord} g \geq 5$, so w"ahlen wir einen Zykel von $g$ und betrachten einen Dreizykel $h$, der von einem festen Ausgangspunkt auf dem Zykel von $g$ zwei Schritte mitl"auft um dann wieder zum Ausgangspunkt zur"uckzukehren. Dann ist unser Ausgangspunkt ein Fixpunkt von $\tilde{g} = h^{-1}g^{-1} h g$ und wir haben ein nichttriviales $\tilde{g} \in N$ gefunden, das mehr Fixpunkte hat als $g$. \begin{Bild} \centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildDDZ} \\ \vspace{4mm} \noindent Die durchgezogenen Pfeile stellen einen Doppeldreizykel $g$ auf der Menge der fetten Punkte dar, die gestrichelten Pfeile den im Beweis beschriebenen dazu konjugierten Doppeldreizykel $h$, der umrandete Punkt einen Fixpunkt von $hg$. \end{Bild} Ist $\op{ord} g =3$ und ist $g$ kein Dreizykel, so mu"s $g$ ein Produkt sein von mindestens zwei disjunkten Dreizykeln. Dann stimmen die Konjugationsklassen von $g$ in $A_{r}$ und in $\cal{S}_{r}$ "uberein, da es n"amlich eine ungerade Permutation gibt, die mit $g$ kommutiert, zum Beispiel eine geeignete \glqq Dreifachtransposition zwischen zwei Dreizykeln von $g$\grqq. Es ist nun ein Leichtes, in $\cal{S}_{6}$ zwei Doppeldreizykel zu finden derart, da"s ihr Produkt nicht trivial ist und dennoch einen Fixpunkt hat. Wenn wir also einen Doppeldreizykel von $g$ auf der zugeh"origen $6$-elementigen Menge konjugieren zu einem geeigneten anderen Doppeldreizykel, so erhalten wir ein $h \in N$ derart, da"s $hg$ nicht trivial ist und mehr Fixpunkte hat als $g$. Ist schlie"slich $\op{ord} g = 2$ und $g$ keine Doppeltransposition, so mu"s $g$ ein Produkt sein von mindestens zwei disjunkten Doppeltranspositionen. Wieder stimmen dann die Konjugationsklassen von $g$ in $A_{r}$ und in $\cal{S}_{r}$ "uberein, da es eine ungerade Permutation gibt, die mit $g$ kommutiert, zum Beispiel eine \glqq Transposition aus einer Doppeltransposition von $g$\grqq. Wir finden also $h \in N$ derart, da"s $h$ auf einer vierelementigen Teilmenge eine andere Doppeltransposition ist als $g$ und au"serhalb dieser vierelementigen Teilmenge mit $g$ "ubereinstimmt. Dann ist $hg$ die dritte Doppeltransposition auf unserer vierelementigen Teilmenge und die Identit"at au"serhalb, ist also einerseits nicht trivial und hat andererseits mehr Fixpunkte als $g$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Gruppe aller jeweils nur endlich viele Elemente bewegenden geraden Permutationen einer unendlichen Menge eine einfache aber nicht endlich erzeugte Gruppe ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige f"ur $r\geq 5$, da"s $A_r$ der einzige nichttriviale echte Normalteiler von $\cal{S}_{r}$ ist. Man bestimme alle Kompositionsreihen aller symmetrischen Gruppen. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl} Nach der vorhergehenden "Ubung ist f"ur $r\geq 5$ jeder Gruppenhomomorphismus von der symmetrischen Gruppe $\cal{S}_{r}$ in eine weitere Gruppe entweder injektiv oder konstant oder hat denselben Kern wie das Signum. Salopp gesprochen kann es also kein\label{vbS} \glqq verbessertes Signum\grqq\ geben. \end{Bemerkungl} \begin{Ubunge}\label{SLIk} In dieser "Ubung sollen Sie zeigen, da"s die Gruppe $\op{SL}(2;\Bbb{F}_5)$ genau f"unf $2$-Sylows besitzt und da"s die Operation dieser Gruppe auf der Menge ihrer $2$-Sylows einen Isomorphismus $$\op{SL}(2;\Bbb{F}_5)/\{\pm \op{id}\}\;\sira \; A_5$$ mit der sogenannten \glqq alternierenden Gruppe\grqq\ aller geraden Permutationen einer f"unfelementigen Menge induziert. Den Quotienten auf der linken Seite notiert man auch $\op{PSL}(2;\Bbb{F}_5)$, er liegt als Untergruppe vom Index $2$ in der Gruppe $\op{PGL}(2;\Bbb{F}_5)$ aller von invertierbaren Matrizen induzierten Automorphismen der projektiven Gerade alias dem Quotienten von $\op{GL}(2;\Bbb{F}_5)$ nach der Gruppe der vier darin enthaltenen Diagonalmatrizen. Ich rate, der Reihe nach folgendes zu zeigen: \begin{enumerate} \item Jedes Element der Ordnung $4$ in $\op{SL}(2;\Bbb{F}_5)$ ist diagonalisierbar und der Normalisator seines Erzeugnisses ist eine $2$-Sylow. Jede $2$-Sylow enth"alt $6$ Elemente der Ordnung $4$. \item Es gibt in $\op{SL}(2;\Bbb{F}_5)$ genau drei"sig Elemente der Ordnung $4$ und f"unf $2$-Sylows, und der Schnitt von je zwei verschiedenen $2$-Sylows besteht nur aus $\pm\op{id}$. %% Die Elemente der Ordnung 4 entsprechen Paaren %% von verschiedenen Geraden, n"amlich %% ihren Eigenr"aumen zu den Eigenwerten 2 und 3. %% Die Normalisatoren ihrer Erzeugnisse k"onnen beschrieben werden %% als alle Automorphismen, die entweder %% beide fraglichen Geraden in sich "uberf"uhren oder aber sie untereinander %% vertauschen. %% \item %% Zwei Geradenpaare, die genau eine Gerade gemeinsam haben, %% liefern nie dieselbe Sylow-Untergruppe, etwa wegen \ref{TRPG}. %% Jedes Tripel von paarweise verschiedenen Geraden f"uhrt damit %% zu einem Element der Ordnung drei in $\op{SL}(2;\Bbb{F}_5)$, %% das auf der Menge der $2$-Sylows nichttrivial operiert. \item Jede $2$-Sylow von $\op{PSL}(2;\Bbb{F}_5)$ ist eine Klein'sche Vierergruppe und operiert nach \ref{SSY} frei auf der Menge der vier anderen $2$-Sylows. Vom Bild unseres Homomorphismus $\op{PSL}(2;\Bbb{F}_5)\ra \cal{S}_5$ wissen wir damit, da"s es alle Doppeltranspositionen enth"alt und aus h"ochstens $60$ Elementen besteht. Nach \ref{AHHH} mu"s dieses Bild folglich die $A_5$ sein. \end{enumerate} \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Genau dann ist jede gerade Permutation von $n$ Objekten ein Produkt von zwei $l$-Zykeln, falls gilt $3n/4 \leq l$. Edward Bertram: Even permutations as a product of two conjugate cycles. J. Combinatorial Theory Ser. A, 12: S. 368-380, 1972. \end{Bemerkunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAL" %%% End: