\section{Mehr zu Ringen} \label{MzR} \subsection{Quotientenringe}\label{RKT} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern die grundlegenden Definitionen zu Ringen aus \eref{dGrR}{LA1}. Unter einem {\bf Ring}\index{Ring} versteht man eine Menge mit zwei Verkn"upfungen $(R, +, \cdot)$ derart, da"s $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist und $(R,\cdot)$ ein Monoid und da"s f"ur alle $a,b, c \in R$ die Distributivgesetze $a (b +c) = a b + a c$ sowie $(a+b) c = a c + b c$ gelten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das neutrale Element des multiplikativen Monoids eines Rings notiert man meist $1_R=1$. Ein typisches Beispiel ist der Ring $\DZ$ der ganzen Zahlen mit der "ublichen Addition und Multiplikation als Verkn"upfung. Ebenfall typisch ist der Ring $\op{Mat}(n;R)$ der $(n\times n)$-Matrizen mit Eintr"agen aus einem beliebigen Ring $R$ mit der Addition und Multiplikation von Matrizen als Verkn"upfung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Abbildung $\varphi:R\ra S$ von einem Ring in einen anderen hei"st ein {\bf Ringhomomorphismus},\index{Ringhomomorphismus} wenn sie sowohl\label{RiHok} ein Gruppenhomomorphismus ist f"ur die zugrundeliegenden additiven Gruppen als auch ein Monoidhomomorphismus f"ur die zugrundeliegenden multiplikativen Monoide. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir fordern von einem Monoidhomomorphismus stets, da"s er das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet. Insbesondere fordern wir von einem Ringhomomorphismus $\varphi:R\ra S$ stets $\varphi(1_R)=1_S$. Die Menge aller Ringhomomorphismen von einem Ring $R$ in einen Ring $S$ notieren wir $\op{Ring}(R,S)$.\index{Ring@$\op{Ring}(R,S)$ Ringhomomorphismen} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die St"arke der Ringtheorie liegt unter anderem darin, da"s es sehr viele Vefahren gibt, die zu einem gegebenen Ring einen weiteren Ring konstruieren, und da"s man auf diese neuen Ringe dann wieder alle bereits bekannten S"atze anwenden kann. Beispiele sind das Bilden von Polynomringen, Potenzreihenringen \eref{FPR}{LA1} und Matrizenringen. Wir besprechen im folgenden zus"atzlich das Bilden von Faktorringen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Universelle Eigenschaft surjektiver Ringhomomorphismen}] Seien $s:R\sra Q$ ein surjektiver Ringhomomorphismus und $\varphi:R\ra S$ ein beliebiger Ringhomomorphismus. Genau dann existiert ein Ringhomomorphismus $\bar\varphi:Q\ra S$ mit $\varphi=\bar\varphi\circ s$, wenn gilt $\op{ker}(\varphi)\supset \op{ker}(s)$.\label{QUEr} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Homomorphismus $\bar\varphi$ ist dann eindeutig bestimmt, da $s$ surjektiv ist. In diesem Sinne kann man unseren Satz auch dahingehend zusammenfassen, da"s das Vorschalten eines surjektiven Homomorphismus $s:R\sra Q$ f"ur jeden weiteren Ring $S$ eine Bijektion $$(\circ s):\op{Ring}(Q,S)\sira \{\varphi\in \op{Ring}(R,S)\mid \op{ker}(\varphi)\supset\op{ker}(s)\}$$ liefert. Der "Ubersichtlichkeit halber stelle ich die in diesem Satz auftauchenden Ringe und Morphismen auch noch wieder anders in einem Diagramm dar: \begin{displaymath} \xymatrix{ R \ar[dr]_-{{{\varphi}}} \ar@{->>}[r]^-{s}&Q\ar@{-->}[d]^-{{{\bar{\varphi}}}}\\ &S\\ } \end{displaymath} Man formuliert diesen Satz auch mit den Worten, $\varphi$ {\bf faktorisiere in eindeutiger Weise "uber $s$}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Offensichtlich ist $\varphi$ konstant auf den Fasern von $s$. Damit, oder auch indem wir die universelle Eigenschaft von surjektiven Gruppenhomomorphismen \eref{QUE}{LA2} zitieren, finden wir schon mal eine Abbildung $\bar\varphi$ wie behauptet. Man pr"uft leicht, da"s sie ein Ringhomomorphismus ist. \nichtfinal{Besser mit der universellen Eigenschaft \eref{BilQZ}{LA2} arbeiten?} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Surjektive Ringhomomorphismen mit gleichem Kern}] Gegeben $R$ ein Ring $R$ und surjektive Ringhomomorphismen $s:R\sra Q$ und $t:R\sra P$ mit demselben Kern $\op{ker}(s)=\op{ker}(t)$ sind die Ringhomomorphismen\label{QRETr} $\bar t:Q\ra P$ mit $\bar t\circ s=t$ und $\bar s:P\ra Q$ mit $\bar s \circ t=s$ nach \ref{QUEr} offensichtlich zueinander inverse Isomorphismen $Q\sira P\sira Q$. Salopp gesprochen wird also bei einem surjektiven Ringhomomorphismus \glqq das Ziel bereits durch den Ausgangsraum und den Kern festgelegt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die vorstehenden "Uberlegungen legen die Frage nahe, welche Untergruppen der additiven Gruppe eines Rings denn als Kerne von von unserem Ring ausgehenden Ringhomomorphismen in Frage kommen. Das diskutieren wir im folgenden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DefI} Sei $R$ ein Ring. Ein {\bf Ideal\index{Ideal!von Ring} von $R$} ist eine Untergruppe $I \subset (R,+)$, f"ur die zus"atzlich gilt $R I \subset I$ und $IR \subset I$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Anders gesagt ist also eine Teilmenge $I\subset R$ eines Rings ein Ideal genau dann, wenn gilt \begin{enumerate} \item $0\in I$ \item $a,b\in I\RA a+b\in I$ \item $a\in I\RA (-a)\in I$ \item $r\in R, a\in I\RA ra,ar\in I$ \end{enumerate} Die Bedingung $(-a)\in I$ ist dabei sogar "uberfl"ussig, weil ja eh gilt $(-a)=(-1)a$ f"ur alle $a\in R$. Weiter kann die Bedingung $0\in I$ durch die Bedingung $I\neq\emptyset$ ersetzt werden, da ja gilt $0=0a$ f"ur alle $a\in R$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ein Ideal von $\DZ$ ist dasselbe wie eine Untergruppe von $\DZ$, die Ideale von $\DZ$ sind also nach \eref{UGZ}{LA1} genau die Teilmengen der Gestalt $\DZ m$ f"ur $m \in \DN$. F"ur ein beliebiges Element $a$ in einem kommutativen Ring $R$ ist die Menge $Ra$ aller Vielfachen von $a$ ein Ideal. Der ganze Ring $R$ und $\{0\}$ sind stets Ideale. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{kerI} Ist $\varphi : R \ra S$ ein Ringhomomorphismus, so ist $\ker \varphi\pdef \varphi^{-1}(0)$ ein Ideal von $R$. Man versteht bei Ringhomomorphismen den Kern stets in Bezug auf die additive Struktur.\index{ker@$\ker$!Kern von Ringhomomorphismus} Allgemeiner ist das Urbild von einem Ideal unter einem Ringhomomorphismus stets wieder ein Ideal, und desgleichen das Bild eines Ideals unter einem {\em surjektiven} Ringhomomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Seien $R$ ein Ring und $I \subset R$ ein Ideal.\label{RUE} So gibt es einen von $R$ ausgehenden surjektiven Ringhomomorphismus mit $I$ als Kern. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{QRETr} ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern $I$ eindeutig bestimmt bis auf das Nachschalten eines eindeutigen Isomorphismus. Wir notieren ihn $$\op{can}=\op{can_q} : R \twoheadrightarrow R/I$$ Vorsichtig veranlagte Leser m"ogen unter $R/I$ alternativ das im folgenden Beweis konstruierte explizite Beispiel f"ur solch einen Ringhomomorphismus verstehen. Das Bild in $R/I$ von $a\in R$ bezeichnet man auch oft mit $\op{can} (a) = \bar{a}$. Man nennt $R/I$ einen {\bf Faktorring}\index{Faktorring} oder einen {\bf Restklassenring}\index{Restklassenring} oder {\bf Quotientenring}.\index{Quotientenring} Etwas Grundverschiedenes sind die sogenannten \glqq Quotientenk"orper\grqq, die ich in diesem Text vorzugsweise \glqq Bruchk"orper\grqq\ oder \glqq K"orper von Br"uchen\grqq\ nenne, um solchen Verwechslungen vorzubeugen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Den Spezialfall der Restklassenringe $\DZ/m\DZ$ kennen wir bereits aus \eref{Rkr}{LA1}. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Wir gehen aus von der Surjektion $q: R\sra R/I$ auf die Quotientengruppe in Bezug auf die additive Struktur. Dann gibt es genau eine biadditive Abbildung $\bar{m} : R/I \times R/I \rightarrow R/I$ derart, da"s mit der Multiplikation $m$ in der oberen Horizontale das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ R \times R \ar[r]^-{m}\ar[d]_{q\times q} &R \ar[d]^q\\ R/I \times R/I \ar@{-->}[r]^-{\bar{m}} &R/I } \end{displaymath} kommutiert, denn $q\circ m$ ist konstant auf den Fasern von $q\times q$. In der Tat haben wir $(r+i)(s+j)=rs+is+rj+ij\in rs+I$ f"ur alle $i,j\in I$ und $r,s\in R$. In gr"o"serer Allgemeinheit haben Sie das m"oglicherweise bereits als "Ubung \eref{BilQZ}{LA2} gepr"uft. Es ist dann leicht zu sehen, da"s $\bar m$ als Multiplikation die Nebenklassengruppe $R/I$ zu einem Ring macht. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein ist ein Schnitt von Idealen eines Rings $R$ stets wieder ein Ideal. Gegeben eine Teilmenge $T\subset R$ bezeichen wir mit $\langle T\rangle\subset R$ das kleinste Ideal von $R$, das $T$ umfa"st, und nennen es das {\bf von $T$ erzeugte Ideal}\index{Ideal!erzeugt von}.\index{)5>@$\langle T\rangle$ Ideal-Erzeugnis} Wir k"onnen $\langle T\rangle$\label{EzId} entweder beschreiben als den Schnitt aller Ideale, die $T$ umfassen, oder als die Menge aller endlichen Ausdr"ucke $$\langle T\rangle=\{a_1 t_1 b_1+\ldots +a_n t_n b_n \mid n\geq 0, \; a_i,b_i\in R,\; t_i\in T\}$$ Hierbei ist der leere Ausdruck mit $n=0$ wie "ublich als die Null von $R$ zu verstehen. Ist $T=\{t_1,\ldots,t_r\}$ eine endliche Menge, so schreiben wir auch $\langle T\rangle=\langle t_1,\ldots,t_r\rangle$. Insbesondere gilt f"ur einen kommutativen Ring $R$ zum Beispiel $\langle a\rangle=Ra$ f"ur alle $a\in R$. Wollen wir betonen, da"s das Symbol zwischen den Spitzklammern f"ur eine Menge von Erzeugern und nicht f"ur einen einzigen Erzeuger steht, so schreiben wir $\langle T\rangle=\langle_! T\rangle$. Ideale, die von einem einzigen Element erzeugt werden k"onnen, hei"sen \defnoind{Hauptideale}\index{Hauptideal}. Insbesondere ist nach \eref{UGZ}{LA1} jedes Ideal in $\DZ$ ein Hauptideal. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen kommutativen Ring nennen wir kurz einen {\bf Kring}.\index{Kring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sei $R$ ein Ring und $T\subset R$ eine Teilmenge. Wenn wir betonen wollen, da"s $\langle T\rangle$ das von $T$ erzeugte Ideal und nicht etwa die von $T$ erzeugte Untergruppe meint, schreiben wir auch $_R\langle T\rangle_R$\index{)5>@$_R\langle T\rangle_R$ Ideal-Erzeugnis} oder $\langle RTR\rangle$ und im Fall eines kommutativen Rings $\langle T\rangle_R$ oder $\langle TR\rangle$. Im Fall eines nichtkommutativen Rings dahingegen meint $\langle T\rangle_R=\langle TR\rangle$ das von $T$ erzeugte Rechtsideal, wie es in \eref{URMo}{KAG} eingef"uhrt wird. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Herkunft der Bezeichnung \glqq Ideal\grqq\ }] Die Bezeichnung als \glqq Ideal\grqq\ ist abgeleitet von Kummer's Begriff einer \glqq idealen Zahl\grqq. Diese \glqq idealen Zahlen\grqq\ f"uhrte Kummer ein, um Schwierigkeiten im Zusammenhang mit der Nichtexistenz eindeutiger Primfaktorzerlegungen in sogenannten \glqq Ganzheitsringen von Zahlk"orpern\grqq\ zu umgehen. Das einfachste Beispiel $\frak o= \DZ[\sqrt{-5}]$ f"ur dieses Ph"anomen besprechen wir in \ref{GBGG}. Erkl"aren wir auf der Menge aller von Null verschiedenen Ideale eines solchen Ganzheitsrings $\frak o$ eine Verkn"upfung, in dem wir $IJ$ als das von allen Produkten $ab$ mit $a\in I$ und $b\in J$ erzeugte Ideal alias die von allen solchen Produkten erzeugte Untergruppe verstehen, die wir eigentlich $\langle IJ\rangle$ notieren m"u"sten, so gilt in dieser Menge aller Ideale n"amlich das Analogon der eindeutigen Primfaktorzerlegung, vergleiche etwa \eref{Ifrg}{KAG}. Ordnen wir nun jeder Zahl $a\in \frak o$ das von $a$ erzeugte Hauptideal $\langle a\rangle$ zu, so erhalten wir eine Einbettung $$\frak o/\frak o^\times\;\hra\;\{I\subset \frak o\mid I\text{ ist Ideal}\}$$ des Monoids aller \glqq bis auf Einheiten wohlbestimmten Elemente von $\frak o$\grqq, in dem das Analogon der eindeutigen Primfaktorzerlegung nicht immer gilt, in das Monoid aller von Null verschiedenen Ideale, in dem es im Fall des Ganzheitsrings eines Zahlk"orpers eben doch immer gilt. Kummer konnte das in einigen F"allen bereits selbst zeigen und bezeichnete deshalb die Elemente dieses gr"o"seren Monoids, das er selbst auf recht verschlungenen Wegen konstruierte, als \glqq ideale Zahlen\grqq. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ideale und Teilerbeziehungen}] Gegeben ein Kring $R$ und Elemente $a,b\in R$ ist $a$ ein Teiler von $b$ genau dann, wenn gilt $\langle a\rangle \ni b$ oder gleichbedeutend $\langle a\rangle \supset\langle b\rangle$, in Formelsprache\label{ITB} $$a|b \;\IFF\; b\in \langle a\rangle\;\IFF\; \langle b\rangle\subset \langle a\rangle$$ Gegeben ein Kring $R$ und ein Element $u\in R$ ist $u$ eine Einheit genau dann, wenn gilt $\langle u\rangle=R$. Gegeben ein kommutativer Integrit"atsbereich folgt aus $\langle a\rangle =\langle b\rangle$, da"s es eine Einheit $u\in R^\times$ gibt mit $au=b$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Faktorringe von Polynomringen}] Gegeben ein K"orper $k$ und ein von Null verschiedenes Polynom $P \in k[X]\backslash 0$ haben wir $$\op{dim}_k k[X]/\langle P\rangle=\op{grad} P$$ Genauer bilden f"ur $\op{grad} P =d$ die Nebenklassen der Monome $1,X, \ldots , X^{d-1}$ eine $k$-Basis des Faktorrings $k[X]/\langle P\rangle$. Noch etwas allgemeiner liefert Polynomdivision mit Rest \eref{TPR}{LA1} f"ur jeden Kring $k$ und jedes normierte Polynom $P \in k[X]$,\label{BQP} da"s die Polynome von einem Grad $\leq(\op{grad} P)-1$ ein Repr"asentantensystem f"ur die Menge $k[X]/\langle P\rangle$ der Nebenklassen nach dem von $P$ erzeugten Hauptideal bilden. Bezeichnet also $k[X]^{\leq n}\subset k[X]$ die Menge aller Polynome vom Grad $\leq n$, so liefert f"ur jedes normierte Polynom $P$ die kanonische Projektion einen Gruppenisomorphismus $$k[X]^{\leq (\op{grad} P)-1}\sira k[X]/\langle P\rangle$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die komplexen Zahlen als Faktorring}] Wir erinnern die komplexen Zahlen $\DC$ mit ihrem ausgezeichneten Element $\op{i}\in\DC$. Das Einsetzen von $\op{i}$ f"ur $X$ im Sinne von \eref{EiP}{LA1} liefert mithilfe der universellen Eigenschaft des Faktorrings \ref{RUE} Isomorphismen von Ringen $$\DR[X]/\langle X^2+1\rangle\sira \DC$$ und $\DZ[X]/\langle X^2+1\rangle\sira \DZ[\op{i}]$. Hier ist $\DZ[\op{i}]$ im Vorgriff auf \ref{TeRi} zu verstehen als der Ring aller komplexen Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imagin"arteil. Ich mache die Nebenrechnung\label{kzq} $(X-(2+{\op{i}}))(X-\overline{(2+{\op{i}})})=X^2-4X+3$. Das Einsetzen von $2+{\op{i}}$ f"ur $X$ liefert also auch einen Isomorphismus $$\DR[X]/\langle X^2-4X+2\rangle\sira \DC$$ Allgemeiner k"onnten wir hier den Faktorring nach jedem Polynom vom Grad Zwei ohne reelle Nullstelle nehmen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einsetzen als Restklassenbildung}] Gegeben ein Kring $k$ und ein Element $\lambda \in k$ faktorisiert das Auswerten $\delta_\lambda: k[X]\ra k$ nach dem Isomorphiesatz f"ur Ringe als\label{eRK} $$k[X]\sra k[X] / \langle X - \lambda \rangle \sira k$$ mit einem Ringisomorphismus an zweiter Stelle. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungw} %\ Ich f"uhre an dieser Stelle den Begriff des %\maximalen Ideals noch nicht ein, da er mir f"ur die Ziele dieser %\Vorlesung ein Umweg scheint. Ich zeige in \ref{Ubb} nur, da"s der %\Faktorring eines Hauptidealrings nach dem %\von einem irreduziblen Element erzeugten Hauptideal ein K"orper ist. %\Die Erkenntnis, da"s das allgemeiner f"ur beliebige Faktorringe %\von kommutativen Ringen zu maximalen Idealen gilt, %\erkl"are und verwende ich erst in \eref{RMI}{KAG} %\folgende. %\\end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Polynomringe "uber Faktorringen}] Gegeben sei ein Ring $R$ mit einem Ideal $I$.\label{TZHH} Bezeichnet $I[X]\subset R[X]$ das von unserem Ideal $I$ im Polynomring erzeugte Ideal, so induziert der offensichtliche Ringhomomorphismus $R[X]\sra (R/I)[X]$ aus \eref{IAPR}{LA1} offensichtlich einen Isomorphismus $$R[X]/I[X]\sira (R/I)[X]$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Man zeige: Gegeben ein surjektiver Ringhomomorphismus $\varphi:R\sra S$ liefert das Bilden des Urbilds eine Bijektion zwischen der Menge der Ideale von $S$ und der Menge derjenigen Ideale von $R$, die $\op{ker}\varphi$ umfassen.\label{IduK} \end{Ubunge} \begin{Ubung} Gegeben ein normiertes Polynom $P$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ ist $P$ bis auf ein Vorzeichen genau das charakteristische Polynom der Multiplikation mit $X$ als Endomorphismus des $k$-Vektorraums $k[X]/\langle P\rangle$.\label{cPP} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Iterierte Quotientenbildung}] Gegeben ein Kring $R$ und darin zwei Elemente $a,b\in R$ zeige man, da"s der durch die universelle Eigenschaft gegebene Ringhomomorphismus $R/\langle a,b\rangle\ra (R/\langle a\rangle)/\langle \bar b\rangle$ f"ur $\bar b\in R/\langle a\rangle$ das Bild von $b$ ein Isomorphismus ist. Man formuliere auch eine Verallgemeinerung f"ur einen beliebigen Ring mit zwei Idealen.\label{QZIp} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Polynomringe von Quotientenringen}] Man zeige, da"s gegeben ein surjektiver Ringhomomorphismus $\varphi:R\sra S$ auch der auf den Polynomringen induzierte Ringhomomorphismus ein surjektiver Ringhomomorphismus $\varphi[X]:R[X]\sra S[X]$ ist mit Kern das vom Bild von $\op{ker}\varphi$ in $R[X]$ erzeugte Ideal. Salopp gesprochen gilt f"ur ein Ideal $I\subset R$ also\label{PoQQ} $$(R/I)[X]\sira R[X]/I[X]$$ \end{Ubung} \subsection{Teilringe} \begin{Definition} Eine Teilmenge eines Rings hei"st ein \defind{Teilring}, wenn sie so mit der Struktur eines Rings versehen werden kann,\label{TeRi} da"s die Einbettung ein Ringhomomorphismus wird. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gleichbedeutend und expliziter ist ein Teilring eines Rings eine Teilmenge, die das Einselement und sein Negatives enth"alt und abgeschlossen ist unter Addition und Multiplikation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die in \eref{Rng}{LA1} bereits angesprochene Begriffsverwirrung setzt sich hier fort: Autoren, deren Ringe kein Einselement zu enthalten brauchen, fordern von ihren Teilringen zwar dem Wortlaut nach dasselbe wie wir im ersten Satz der Definition \ref{TeRi}. Es bedeutet dann aber in unserer Terminologie nur noch, da"s unsere Teilmenge unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist und mit diesen Verkn"upfungen zu einem Rng wird. Wir nennen eine derartige Teilmenge eine {\bf $\DZ$-Unteralgebra}. Jedes Ideal eines Rings ist eine $\DZ$-Unteralgebra, aber das einzige Ideal, das ein Teilring ist, ist der ganze Ring selber. Es ist im "ubrigen auch durchaus m"oglich, da"s eine $\DZ$-Unteralgebra eine Rings selbst wieder ein Ring ist, ohne aber in unserem Sinne ein Teilring zu sein: Der Nullring etwa ist eine $\DZ$-Unteralgebra aber kein Teilring von $\DQ$, und der Ring $\DZ\times 0$ ist eine $\DZ$-Unteralgebra aber kein Teilring von $\DZ\times \DZ$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Jeder Schnitt von Teilringen ist selbst ein Teilring. Den kleinsten Teilring eines Ringes $R$, der eine gegebene Teilmenge $T\subset R$ umfa"st, hei"st der {\bf von $T$ erzeugte Teilring}.\index{erzeugt!Teilring} Gegeben $S\supset R$ ein Kring mit einem Teilring und Elemente $a_1,\ldots, a_n\in S$ bezeichnet\index{)5]@$R[a_1,\ldots, a_n]$ Teilring} man mit $$R[a_1,\ldots, a_n]\subset S$$ den Teilring von $S$, der von $R$ und den $a_i$ erzeugt wird, in anderen Worten den kleinsten Teilring von $S$, der $R$ umfa"st und alle $a_i$ enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{FST} Die Notation aus \ref{TeRi} f"uhrt leicht zu Verwechslungen mit Polynomringen. Viele Autoren verwenden die Konvention, nach der die \glqq freien\grqq\ oder \glqq unabh"angigen\grqq\ Variablen in Polynomringen mit gro"sen Buchstaben vom Ende des Alphabets geschrieben werden, die \glqq abh"angigen\grqq\ Erzeuger eines Teilrings in einem bereits gegebenen Ring dahingegen mit kleinen Buchstaben. Nebenbei bemerkt kann man $R[a_1,\ldots, a_n]$ auch beschreiben als das Bild des Einsetzungshomomorphismus $R[X_{1}, \ldots , X_{n}]\ra S$ mit $X_i\mapsto a_i$. Ist dieser Einsetzungshomomorphismus injektiv, also ein Isomorphismus auf sein Bild, so hei"sen die Elemente $a_i$ {\bf algebraisch unabh"angig}\index{algebraisch!unabh"angig, "uber Ring} {\bf "uber $R$}. Wollen wir besonders betonen, da"s wir mit freien Ver"anderlichen arbeiten, so setzen wir ein kleines\index{)5]@$R['X_{1}, \ldots , X_{n}]$ Polynomring} \glqq Freiheitsstrichlein\grqq\ vorne in die\index{)5]@$R[X_{1}, \ldots , X_{n}]$ Polynomring} Klammer und schreiben $R['X_{1}, \ldots , X_{n}]$. \index{)5]@$R['X_{1}, \ldots , X_{n}]$ Polynomring} Diese Notation gibt es jedoch meines Wissens bisher nur in diesem Skriptum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Isomorphiesatz f"ur Ringe}] Gegeben ein Ringhomomorphismus $\varphi:R\ra S$ ist nach \ref{kerI} der Kern $\op{ker}\varphi$ ein Ideal\label{FRII} von $R$ und das Bild $\op{im}\varphi$ offensichtlich ein Teilring von $S$. Nach \ref{RUE} und dem Isomorphiesatz \eref{ISa}{LA2} faktorisiert $\varphi$ dann "uber einen Ringisomorphismus $$R\sra R/(\op{ker}\varphi)\sira \op{im}\varphi\hra S$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Seien $K\subset L$ K"orper, $I\subset K[X_1,\ldots,X_n]$ ein Ideal. Bezeichne $\langle IL[X_1,\ldots,X_n]\rangle $ das von $I$ im Polynomring "uber $L$ erzeugte Ideal. So gilt $$I=K[X_1,\ldots,X_n]\cap \langle IL[X_1,\ldots,X_n]\rangle $$ Hinweis: Jedes Element von $\langle IL[X_1,\ldots,X_n]\rangle $ hat die Gestalt $c_1 f_1 + \ldots +c_r f_r$ mit $f_\nu\in I$ und $c_\nu\in L$ linear unabh"angig "uber $K$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{QAWu} Man zeige, da"s der Teilring $\DQ[\sqrt 2]\subset\DR$ ein K"orper ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DZ$ der einzige Teilring von $\DQ$ ist, der endlich erzeugt ist als abelsche Gruppe.\label{ZEQ} \end{Ubung} \subsection{Abstrakter chinesischer Restsatz} \begin{Bemerkungl}\label{PrRi} Gegeben Ringe $R_{1}, \ldots, R_{s}$ bilden wir den \defind{Produktring} $R_{1}\times \ldots \times R_{s}$\index{Produkt!von Ringen} mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Gegeben ein weiterer Ring $R$ und Ringhomomorphismen $f_{i}: R \ra R_{i}$ erhalten wir einen Ringhomomorphismus $$\begin{array}{cccc} (f_{1}, \ldots , f_{s}) :& R &\ra& R_{1}\times \ldots \times R_{s}\\ & r &\mapsto& (f_{1}(r), \ldots , f_{s}(r)) \end{array}$$ Genauer sind die Projektionen Ringhomomorphismen $\op{pr}_i: R_{1}\times \ldots \times R_{s}\ra R_i$ und das Nachschalten der Projektionen liefert f"ur jeden weiteren Ring $R$ eine Bijektion $$\op{Ring}( R , R_{1}\times \ldots \times R_{s})\sira \op{Ring}( R , R_{1})\times \ldots \times \op{Ring}( R ,R_{s}) $$ In der Terminologie \eref{PrKaon}{LA2} liefert unsere Konstruktion also ein Produkt in der Kategorie der Ringe. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben Ideale $\frak{a}, \frak{b}$ in einem Ring $R$ ist auch ihre {\bf Summe}\index{Summe!von Idealen} $$\frak{a} +\frak{b} \pdef \{ a +b \mid a \in \frak{a},\; b \in \frak{b}\}$$ ein Ideal. Gegeben Ideale $\frak{a}, \frak{b}$ in einem Ring $R$ erkl"aren wir ihr {\bf Produkt}\index{Produkt!von Idealen} und bezeichnen mit $$\langle\frak{a}\frak{b}\rangle$$ dasjenige Ideal oder gleichbedeutend diejenige additive Untergruppe von $R$, das beziehungsweise die von allen Produkten $ab$ mit $a \in \frak{a}$ und $ b \in \frak{b}$ erzeugt wird. Analog notieren wir auch Produkte von mehr als zwei Idealen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation des Produkts von Idealen}] F"ur das Produkt zweier Ideale ist die Notation $\frak{a}\frak{b}$ gebr"auchlicher, die wir eigentlich bereits f"ur die von der Multiplikation eines Rings auf seiner Potenzmenge induzierte Verkn"upfung vergeben haben. Dennoch werden wir sp"ater meist diese abk"urzende Notation f"ur das Produkt von Idealen verwenden und der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, was genau gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Abstrakter chinesischer Restsatz}] Seien\index{Chinesischer Restsatz!abstrakter} $\frak{a}_{1}, \ldots, \frak{a}_{s} $ endlich viele Ideale eines Rings $R$. Gilt $\frak{a}_{i} + \frak{a}_{j} =R$ f"ur $i \neq j$, so ist die offensichtliche Abbildung\label{ACR} eine Surjektion $$ \kappa : R \sra R/\frak{a}_{1} \times \ldots \times R/\frak{a}_{s}$$ mit Kern $(\op{ker}\kappa)=\bigcap_i \frak{a}_{i}$ dem Schnitt unserer Ideale. F"ur einen kommutativen Ring $R$ f"allt dieser Schnitt mit dem Produktideal $ \langle\frak{a}_{1} \ldots \frak{a}_{s}\rangle$ zusammen und wir erhalten einen Ringisomorphismus $$ R/\langle\frak{a}_{1} \ldots \frak{a}_{s}\rangle \;\;\sira\;\; R/\frak{a}_{1} \times \ldots \times R/\frak{a}_{s}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Name dieses Satzes r"uhrt von seiner Bedeutung im Ring der ganzen Zahlen her, die wir bereits in \eref{CDR}{LA2} folgende besprochen hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir finden etwa $$\DR[X]/\langle X^2-1\rangle\sira \DR[X]/\langle X+1\rangle\times\DR[X]/\langle X-1\rangle\sira \DR\times \DR$$ und "ahnlich f"ur den Faktorring $\DR[X]/\langle P\rangle$ nach dem Hauptideal eines beliebigen quadratischen Polynoms $P$ mit zwei reellen Nullstellen im Gegensatz zum Fall \ref{kzq} eines reellen quadratischen Polynoms ohne reelle Nullstelle. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] F"ur die Surjektivit"at reicht es nachzuweisen, da"s alle nur in einem Eintrag von Null verschiedenen Tupel im Bild liegen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit reicht es also zu zeigen, da"s f"ur alle $r \in R$ das Tupel $(\bar{r}, 0, \ldots, 0)$ im Bild liegt. Es reicht sogar, wenn wir das f"ur $r =1$ zeigen, denn aus $\kappa (x) = (\bar{1},0,\ldots, 0)$ folgt $\kappa (rx) = \kappa (r) \kappa (x) = (\bar{r} ,0,\ldots, 0)$. Nach Annahme gilt f"ur $i\neq 1$ jedoch $\frak{a}_i + \frak a_1 =R$, wir finden f"ur $i \neq 1$ also eine Darstellung $a_i + b_i =1$ mit $a_i \in \frak a_i$ und $b_i \in \frak a_1$. F"ur das Ringelement $a_i= 1-b_i$ hat $\kappa (a_i) $ die Gestalt \begin{equation*} \kappa (a_i) = (1, \ast, \ldots, \ast, 0, \ast, \ldots \ast) \end{equation*} mit einer Null an der $i$-ten Stelle. F"ur das Bild des Produkts der $a_i$ folgt dann $\kappa (a_2 a_3 \ldots a_s) = (1,0, \ldots , 0)$ und die Surjektivit"at ist gezeigt. Der Kern dieser Surjektion ist offensichtlich genau der Schnitt der $\frak{a}_{i}$. Wir m"ussen nur noch zeigen, da"s er f"ur kommutatives $R$ mit dem Produktideal zusammenf"allt. Im Fall $s=2$ impliziert $\frak{a} +\frak{b} = R$ schon mal $\frak{a} \cap \frak{b}= \langle\frak{a} \frak{b}\rangle$, denn schreiben wir $1=a+b$ mit $a\in\frak{a}$ und $b\in\frak{b}$, so gilt $x=xa+xb$ auch f"ur alle $x\in\frak{a} \cap \frak{b}$. Im allgemeinen beachten wir, da"s das Aufmultiplizieren unserer Identit"aten $a_i + b_i =1$ von eben mit $a_i\in\mathfrak a_1$ und $b_i\in\mathfrak a_i$ f"ur $2\leq i\leq n$ sogar zeigt $\frak{a}_1 +\langle\frak{a}_2 \ldots \frak{a}_s\rangle= R$. Mit vollst"andiger Induktion erhalten wir dann $\frak{a}_1 \cap(\frak{a}_2\cap \ldots \cap\frak{a}_s)= \frak{a}_1 \cap\langle\frak{a}_2 \ldots \frak{a}_s\rangle= \langle\frak{a}_1\langle\frak{a}_2 \ldots \frak{a}_s\rangle\rangle= \langle\frak{a}_1\frak{a}_2 \ldots \frak{a}_s\rangle$. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildInPo} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine Interpolation in einer Variablen mit vorgegebenen Werten an zwei Punkten und vorgegebenem Wert und Wert der Ableitung an einem weiteren Punkt. \end{minipage} \end{figure} \begin{Korollar}[\defind{Polynominterpolation}] Gegeben ein K"orper $k$ und $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in k$ paarweise verschieden und $b_1, \ldots, b_r\in k$ beliebig finden wir stets ein Polynom $P \in k [X]$ mit\label{IPe} $$P(\lambda_i)=b_i\quad\forall i$$ Wir finden sogar genau ein derartiges Interpolationspolynom $P$ mit der zus"atzlichen Eigenschaft $\op{grad}P 1$, so hat $P$ keine Nullstelle in $k$. (3) Ist $P \in k [X]\setminus k$ vom Grad $\op{grad} P \leq 3$ und hat $P$ keine Nullstelle in $k$, so ist $P$ irreduzibel in $k[X]$. (4) Ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so sind die irreduziblen Polynome in $k[X]$ genau die Polynome vom Grad $1$. Man gebe auch (5) ein Polynom positiven Grades in $\DR[X]$ an, das keine Nullstelle hat, aber dennoch nicht irreduzibel ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{Uevi} In einem Polynomring in mindestens einer Variablen "uber einem K"orper gibt es stets unendlich viele normierte irreduzible Polynome. Hinweis: Man multipliziere sonst alle zusammen und ziehe $1$ ab. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{fprH} Man zeige: Gegeben ein K"orper $k$ ist der Ring $k\llbracket X\rrbracket$ der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten aus $k$ aus \eref{FPR}{LA1} ein Hauptidealring und die Ideale dieses Rings sind das Nullideal sowie die Ideale $X^n k\llbracket X\rrbracket$ f"ur $n\in\DN$. Man bespreche die Primfaktorzerlegung in diesem Hauptidealring. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{Wuzt} Seien $R$ ein faktorieller Ring und $q\in \op{Frac}(R)$ ein Element seines Bruchk"orpers und $n\geq 1$ mit $q^n\in R$. Man zeige $q\in R$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeitsaussagen f"ur teilerfremde Polynome}] Seien $k$ ein K"orper und $f,g\in k[T]$ teilerfremde Polynome. Man zeige, da"s es dann f"ur jedes Polynom $h$ Polynome $a,b$ gibt mit $h=af+bg$. Man zeige, da"s man unter der zus"atzlichen Annahme $g\neq 0$ hier $(a,b)$ sogar so w"ahlen kann, da"s gilt $\op{grad}a<\op{grad}g$, und da"s im Fall $ \op{grad} (h)\leq\op{grad}(f)+\op{grad}(g)-1$ unser Paar $(a,b)$ dadurch dann eindeutig bestimmt ist.\label{hirG} Hinweis: Dimensionsabsch"atzung. Die analoge Aussage gilt nicht f"ur $k=\DZ$, selbst wenn wir $f$ und $g$ normiert annehmen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QFRHi} Im Quotientenring eines faktoriellen Rings $R$ nach dem Hauptideal zu einem Element $a\neq 0$ ist das Bild von $b\in R$ genau dann k"urzbar, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und $R$ eine Ringalgebra "uber $k$. Ein Element $\alpha\in R$ hei"st {\bf algebraisch "uber $k$}, wenn es ein von Null verschiedenes Polynom $P\in k[X]\backslash 0$ gibt mit $P(\alpha)=0$. Man zeige, da"s es in diesem Fall genau ein normiertes Polynom $Q\in k[X]$ kleinstm"oglichen Grades gibt mit $Q(\alpha)=0$. Es hei"st dann das {\bf Minimalpolynom von $\alpha$}.\index{Minimalpolynom} \end{Ubung} \subsection{Primelemente und maximale Ideale*} \begin{Definition}\label{DPrE} Sei $R$ ein Kring. %Integrit"atsbereich. Ein Element $p \in R$ hei"st ein {\bf euklidisches Element}\index{euklidisch!Element} oder "ublicher \defind{Primelement}, falls es weder Null noch eine Einheit ist und falls zus"atzlich aus $p|ab$ folgt $p|a$ oder $p|b$. Wir sagen auch abk"urzend, so ein Element sei {\bf euklidisch}\index{euklidisch} alias {\bf prim}.\index{prim} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Mir scheint die Bezeichnung als Primelement eine ungl"uckliche Wahl, aber sie ist nun einmal historisch gewachsen. Einerseits sind nun zwar die positiven Primelemente des Rings der ganzen Zahlen $\DZ$ genau unsere Primzahlen, aber das ist bereits ein nichttrivialer Satz, den wir in \eref{EPf}{LA1} als \glqq Lemma von Euklid\grqq\ bewiesen hatten. Von ihrer urspr"unglichen Definition her versteht man unter Primzahlen ja viel eher die positiven irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. Andererseits w"are es auch eine vern"unftige Terminologie, in einem beliebigen kommutativen Ring diejenigen Elemente als Primelemente zu bezeichnen, die im Sinne von \eref{PrII}{KAG} \glqq ein Primideal erzeugen\grqq, aber dann m"u"sten wir in unserer Definition auch die Null als Primelement zulassen. So gesehen sitzt man mit der obigen und allgemein gebr"auchlichen Definition eines Primelements leider zwischen allen St"uhlen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Primelemente und irreduzible Elemente}] Euklidische Elemente $p$ alias Primelemente in Integrit"atsbereichen sind stets irreduzibel, denn aus $p=ab$ folgt $p|a$ oder $p|b$, also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $a=p\alpha$ und dann $p=ab=p\alpha b$ und so $1=\alpha b$ und $b$ ist eine Einheit. Irreduzible Elemente m"ussen auch in Integrit"atsbereichen im allgemeinen keineswegs euklidisch alias prim sein, wie das Beispiel \ref{GBGG} des Rings $\DZ [\sqrt{-5}]$ mit den Zerlegungen $6 = 2\cdot 3= (1+ \sqrt{-5}) \cdot (1 -\sqrt{-5})$. Wir hatten uns ja "uberlegt, da"s hier alle Faktoren irreduzibel sind, sich aber nicht gegenseitig teilen. Also teilt $(1+ \sqrt{-5})$ das Produkt $2\cdot 3$, teilt aber keinen der Faktoren. In einem faktoriellen Ring sind die euklidischen Elemente alias Primelemente aber offensichtlich genau die irreduziblen Elemente. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{MaxI} Ein Ideal in einem Ring hei"st ein {\bf echtes Ideal},\index{echt!Ideal}\index{Ideal!echtes} wenn es nicht der ganze Ring ist. Ein Ideal in einem Ring hei"st ein {\bf maximales echtes Ideal},\index{maximal!echtes Ideal} wenn es ein maximales Element der durch Inklusion teilgeordneten Menge aller \emph{echten} Ideale unseres Ringes ist. Es ist eine allgemeine Konvention, unsere maximalen echten Ideale abk"urzend als {\bf maximale Ideale}\index{Ideal!maximales}\index{maximal!Ideal} zu bezeichnen, obwohl sie nat"urlich nicht die maximalen Elemente der Menge aller Ideale unseres Ringes sind: Diese Menge hat n"amlich nur genau ein maximales Element, den Ring selbst. Ich werde dieser allgemeinen Konvention folgen. \end{Definition} \begin{Beispiele} Die maximalen Ideale eines Hauptidealrings sind genau die von den irreduziblen Elementen erzeugten Hauptideale.\label{iRB} Jeder K"orper besitzt nur genau ein maximales Ideal, n"amlich das Nullideal. Ist umgekehrt in einem Kring $R$ das Nullideal ein maximales Ideal, so mu"s unser Kring offensichtlich ein K"orper sein, denn wir haben $R\neq 0$ und f"ur $a\in R\backslash 0$ gilt $Ra=\langle a\rangle =R\ni 1$. Der Nullring besitzt "uberhaupt kein maximales Ideal. In \eref{EMI}{KAG} zeigen wir, da"s er der einzige Ring ohne maximales Ideal ist. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\textbf{Faktorringe nach maximalen Idealen}] Ein Ideal in einem Kring ist maximal genau dann, wenn der Faktorring nach besagtem Ideal ein K"orper ist.\label{RMIb} \end{Proposition} \begin{proof}[Erster Beweis] Sei $R$ unser Kring und $\frak{m}\subset R$ unser Ideal. Ist $R/\frak{m}$ ein K"orper, so gilt $\frak m\neq R$ und es gibt f"ur jedes $a\not\in \frak m$ ein $b\in R$ mit $ab\in 1+\frak m$. Folglich gilt $\langle a,\frak m\rangle=R$ f"ur jedes $a\not\in \frak m$ und damit ist $\frak m$ ein maximales Ideal von $R$. Ist umgekehrt $\frak m$ ein maximales Ideal von $R$, so ist $R/\frak{m}$ nicht der Nullring und f"ur jedes $a\not\in \frak m$ gilt $\langle a,\frak m\rangle=R$ und folglich gibt es $b\in R$ und $m\in \frak m$ mit $ab +m=1$. Dann aber folgt $\bar a \bar b =1 $ in $R/\frak m$ und dieser Faktorring ist ein K"orper. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Nach \ref{iRB} ist ein Kring genau dann ein K"orper, wenn er genau zwei Ideale besitzt, das Nullideal und den ganzen Kring. Nach \ref{IduK} entsprechen die Ideale von $R/\frak{m}$ eindeutig den Idealen von $R$, die $\mathfrak m$ umfassen. Die Proposition folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur unseren Satz \ref{Ubb}, nach dem ein Faktorring von einem Hauptidealring nach einem Hauptideal $\langle a\rangle$ genau dann ein K"orper ist, wenn $a$ ein irreduzibles Element ist, k"onnen wir damit einen neuen Beweis geben: Beide Eigenschaften von $a$ sind nach \ref{iRB} beziehungsweise \ref{RMIb} gleichbedeutend zur Forderung, da"s $\langle a\rangle$ ein maximales Ideal ist. Bei genauerer Betrachtung ist dieser neue Beweis aber doch nur der alte in neuen Worten. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ein kommutativer Integrit"atsbereich ist faktoriell genau dann, wenn (1) jedes von Null verschiedene Element als Produkt von einer Einheit mit einigen Irreduziblen dargestellt werden kann und (2) jedes irreduzible Element prim ist. \end{Ubung} \subsection{Gau"sprimzahlen}\label{PrGG} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVRG} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Elemente des von $1+3\op{i}$ im Ring der Gau"s'schen Zahlen erzeugten Hauptideals habe ich in diesem Bild als fette Punkte dargestellt, die anderen Elemente des Rings der Gau"s'schen Zahlen durch kleine Punkte. \end{minipage} \end{figure} \begin{Lemma} Der Ring $\DZ[\op{i}]$ der Gau"s'schen Zahlen ist euklidisch und mithin faktoriell. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Elemente des von einem festen von Null verschiedenen Element $0\neq a =x+{\op{i}}y \in \DZ [\op{i}]$ im Ring $\DZ [\op{i}]$ der Gau"s'schen Zahlen erzeugten Hauptideals bilden die Ecken eines quadratischen Rasters auf der komplexen Zahlenebene, mit $|a| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ der Seitenl"ange der Quadrate. Jedes $b \in \DZ [\op{i}]$ liegt in einem dieser Quadrate und hat von einer der Ecken einen Abstand $\leq {\sqrt{2}|a|}/{2} < |a|$. Folglich ist unser Ring euklidisch mit $\sigma (a) = |a|^{2}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Von nun an wird in diesem Abschnitt der Begriff \glqq Quadrat\grqq\ nicht mehr in seiner geometrischen Bedeutung verwendet, sondern in seiner algebraischen Bedeutung als Abk"urzung f"ur \glqq Quadratzahl\grqq. Die ersten Quadrate in $\DZ$ sind also $0,1,4,9,16,25,\ldots$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein irreduzibles Element des Rings $\DZ[{\op{i}}]$ der Gau"s'schen Zahlen nennen wir eine {\bf Gau"sprimzahl}\index{Gau"sprimzahl} oder als Adjektiv {\bf gau"sprim}.\index{gau"sprim} Eine Einheit im Ring $\DZ[{\op{i}}]$ der Gau"s'schen Zahlen nennen wir eine {\bf Gau"seinheit}.\index{Gau"seinheit} Es gibt genau vier Gau"seinheiten, genauer und in Formeln $ \DZ[{\op{i}}]^\times= \{1, -1, {\op{i}}, -{\op{i}}\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Gau"sprimzahlen}] \begin{enumerate} \item Jedes Gau"sprimzahl $\pi\in\DZ[\op{i}]$ teilt genau eine Primzahl $p\in\DN$; \item Jede Primzahl $p\in\DN$ ist entweder gau"sprim oder zerf"allt in $\DZ[\op{i}]$ in ein Produkt aus zwei Gau"sprimzahlen, die dann notwendig zueinander komplex konjugiert sind und nur im Fall $p=2=(1+{\op{i}})(1-{\op{i}})$ durch Multiplikation mit einer Gau"seinheit auseinander hervorgehen. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Gleich im Anschlu"s in \ref{eqP} zeigen wir, da"s eine Primzahl genau dann gau"sprim ist, wenn sie beim Teilen durch Vier den Rest Drei l"a"st. \end{Bemerkungw} \begin{proof} 1. Sei $\pi\in \DZ[\op{i}]$ gau"sprim. So ist $\pi$ nicht Null und keine Gau"seinheit, folglich gilt $\pi\bar \pi>1$. Aus $\pi|\pi\bar\pi$ folgt $\pi|p$ f"ur mindestens einen Primteiler $p$ von $\pi\bar\pi$, also teilt $\pi$ mindestens eine Primzahl. Aus $\pi|p$ und $\pi|q$ f"ur Primzahlen $p$ und $q$ folgt umgekehrt $\pi\bar\pi|p^2$ und $\pi\bar\pi|q^2$ und so $p=q$, weil $\pi\bar\pi\in \DZ$ keine Einheit ist. \\[2mm] \noindent 2. Gegeben eine Primzahl $p$ w"urde jede Zerlegung $p=\alpha\beta\gamma$ in Nichtgau"seinheiten in $\DZ[\op{i}]$ eine Zerlegung in Nichteinheiten $p^2=(\alpha\bar \alpha)(\beta\bar\beta)( \gamma\bar\gamma)$ in $\DZ$ liefern, was unm"oglich ist. Folglich ist $p$ entweder gau"sprim oder zerf"allt in ein Produkt von zwei Gau"sprimzahlen als $p=\alpha\beta$. Dann folgt sofort $p^2=(\alpha\bar \alpha)(\beta\bar\beta)$ und damit $p=\alpha\bar \alpha=\beta\bar\beta$ alias $\beta=\bar\alpha$. Gibt es nun eine Gau"seinheit $\varepsilon$ mit $\bar\alpha=\varepsilon\alpha$, so haben wir notwendig $\varepsilon=\pm{\op{i}}$, da sonst $p$ keine Primzahl gewesen w"are. Bis auf eine eventuelle Vertauschung der Faktoren d"urfen wir also $\bar\alpha=-{\op{i}}\alpha$ annehmen. Das impliziert $\alpha\in\DZ(1+{\op{i}})$ und f"ur $\alpha$ gau"sprim weiter $\alpha=\pm (1+{\op{i}})$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{eqP} F"ur eine Primzahl $p\in \DN$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item\label{eqPP1} $p$ ist nicht gau"sprim; \item\label{eqPP2} $p$ ist Summe von zwei Quadraten, in Formeln $p= x^2+y^2;$ \item\label{eqPP3} $p$ l"a"st beim Teilen durch Vier den Rest Eins oder Zwei alias $p \equiv 1\pmod{4}$ oder $p=2$; \item\label{eqPP4} Das Polynom $(X^{2}+1)$ ist nicht irreduzibel in $\Bbb{F}_{p} [X]$; \item\label{eqPP5} $(-1)$ ist ein Quadrat in $\Bbb{F}_{p}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Beispiele} $2=1^2+1^2$, $5=1^2+2^2$, $13=2^2+3^2$, $17=1^2+4^2$, $\ldots$ \end{Beispiele} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.50\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZi} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zerfallen von Primzahlen in Gau"sprimzahlen. Nur Zwei hat einen doppelten Gau"sprimfaktor bis auf Gau"seinheiten, $2=-{\op{i}}(1+{\op{i}})^2$. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof} Ist $\pi = x +{\op{i}}y$ ein Gau"sprimfaktor echt kleinerer L"ange von $p$, so ist $\pi\bar{\pi} = x^2 +y^2$ ein Primfaktor echt kleinerer L"ange von $p^2$, also $x^2 +y^2=p$. Das zeigt \ref{eqPP1}$\RA$\ref{eqPP2}. Aus $p=x^2+y^2$ folgt umgekehrt $p=(x+ {\op{i}}y)(x- {\op{i}}y)$, also haben wir auch \ref{eqPP2}$\RA$\ref{eqPP1}. Die Implikation \ref{eqPP2}$\RA$\ref{eqPP3} folgt daraus, da"s jedes Quadrat kongruent ist zu Null oder Eins modulo Vier, da n"amlich gilt $\{x^2\mid x\in \DZ/4\DZ\}=\{\bar{0},\bar{1}\}$. Eine Summe von zwei Quadraten kann also modulo $4$ nie zu $3$ kongruent sein. \ref{eqPP1}$\IFF$\ref{eqPP4} folgert man durch die Betrachtung des Diagramms von Ringen \begin{displaymath} \xymatrix{ & \DZ [X]\ar@{->>}[dr]\ar@{->>}[dl] & \\ \Bbb{F}_{p} [X]\ar@{->>}[dr]& & \DZ [\op{i}] = \DZ [X]/\langle X^{2}+1\rangle\ar@{->>}[dl]\\ & \Bbb{F}_{p}[X]/\langle X^{2}+1\rangle= \DZ [\op{i}]/\langle p\rangle& } \end{displaymath} Formal folgt aus "Ubung \ref{QZIp} die darin versteckte Erkenntnis, da"s das Wegteilen eines von zwei Elementen erzeugten Ideals auch als iteriertes Wegteilen verstanden werden kann, und "Ubung \ref{PoQQ} zeigt, da"s das Bilden von Polynomringen mit dem Bilden von Quotienten vertauscht, wie wir es oben links implizit verwendet haben. Alle vier Morphismen unseres Diagramms sind also Surjektionen mit einem Hauptideal als Kern. Nach \ref{Ubb} sind also sowohl \ref{eqPP1} als auch \ref{eqPP4} gleichbedeutend dazu, da"s der Ring $\Bbb{F}_{p}[X]/\langle X^{2}+1\rangle$ kein K"orper ist, und damit sind sie auch untereinander "aquivalent. \ref{eqPP4}$\IFF$\ref{eqPP5} ist evident. Schlie"slich zeigen wir noch \ref{eqPP3}$\RA$\ref{eqPP5}. Sicher ist n"amlich $-1$ ein Quadrat in $\Bbb{F}_{2}$. Unter der Voraussetzung $p\equiv 1\pmod{4}$ gilt dasselbe in $\Bbb{F}_{p}$. Wir wissen n"amlich aus \eref{MZ}{LA2}, da"s $\Bbb{F}_{p}^{\times}$ als endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines K"orpers zyklisch ist, und in einer zyklischen Gruppe von durch Vier teilbarer Ordnung gibt es offensichtlich genau zwei Elemente der Ordnung Vier und genau ein Element der Ordnung Zwei. %Dann %gibt es %n"amlich in %$\Bbb{F}_{p}^{\times}/\{\pm 1\}$ nach %\eref{ZABc}{LA2} ein Element der Ordnung Zwei, %und jedes Urbild $x\in \Bbb{F}_{p}^{\times}$ Jedes Element der Ordnung Vier l"ost dann die Gleichung $x^{2} = -1$ in $\Bbb{F}_{p}^{\times}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{NPZG} Man beachte, da"s jede Gau"s'sche Zahl ungleich Null durch Multiplikation mit einer Gau"seinheit auf genau eine Gau"s'sche Zahl $x+{\op{i}}y$ mit $x\geq y>-x$, also auf genau eine Gau"s'sche Zahl im \glqq um $45^\circ$ im Uhrzeigersinn verdrehten offenen ersten Quadranten mitsamt seiner oberen Kante ohne den Ursprung\grqq\ abgebildet werden kann. Die im wesentlichen eindeutige Zerlegung einer Primzahl $p\in \DN$ in ein Produkt von Gau"sprimzahlen hat nach unserem Satz folgende Gestalt: $$\begin{array}{ll} p \equiv 3\pmod{4}&p=p;\\ p \not \equiv 3\pmod{4}&p=(x+{\op{i}}y)(x-{\op{i}}y) \text{ f"ur } x^2+y^2=p. \end{array}$$ Beschr"anken wir uns auf die Gau"sprimzahlen $x+{\op{i}}y$ mit $x\geq y>-x$, so ist das die eindeutige Faktorisierung von $p$ in eine Gau"seinheit und Gau"sprimzahlen in diesem halboffenen Kegel in allen F"allen mit Ausnahme des Falls $p=2$, in dem die fragliche eindeutige Faktorisierung vielmehr die Gestalt $2=-{\op{i}}(1+{\op{i}})^2$ hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Es gibt auch einen sehr elementaren Beweis \glqq durch Zauberei\grqq\, nach Zagier f"ur die Tatsache, da"s jede Primzahl $p$, die bei Teilen durch Vier den Rest Eins l"a"st, eine Summe von zwei Quadraten ist: Man betrachtet die endliche Menge $S\pdef\{(x,y,z)\in\DN^3\mid x^2+4yz=p\}$ und definiert darauf eine Involution durch die Vorschrift $$(x,y,z)\mapsto \left\{\begin{array}{ll} (x+2z,z,y-x-z)&\text{falls }x2y. \end{array}\right.$$ Diese Involution hat genau einen Fixpunkt, also ist die Zahl der Elemente von $S$ ungerade und die Involution $(x,y,z)\mapsto(x,z,y)$ von $S$ mu"s auch einen Fixpunkt haben. F"ur den aber gilt $x^2+(2y)^2=p$. Bei diesem Beweis sind noch einige implizit enthaltene Behauptungen zu pr"ufen, das geht alles mit Schulstoff. Man mu"s aber die Zauberformel auswendig hersagen k"onnen. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Summen von zwei Quadraten}] Eine positive nat"urliche Zahl ist Summe von zwei Quadratzahlen genau dann, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung alle diejenigen Primfaktoren, die modulo Vier kongruent sind zu Drei, in geraden Potenzen\label{SvzQ} auftreten. \end{Korollar} \begin{proof} Genau dann ist $n\in\DZ$ Summe von zwei Quadratzahlen, wenn es eine Gau"zahl $a\in\DZ[\op{i}]$ gibt mit $n=a\bar{a}$. Ist $n\neq 0$ und $a=\varepsilon \pi_1\pi_2\ldots\pi_r$ eine Darstellung als Produkt einer Gau"seinheit $\varepsilon$ mit Gau"sprimzahlen aus unserem halboffenen Kegel, von denen wir $\pi_1,\ldots,\pi_s\not\in \DN$ annehmen und $\pi_{s+1},\ldots,\pi_r\in \DN$, so mu"s $$n=(\varepsilon\bar{\varepsilon}) (\pi_1\bar{\pi}_1) \ldots(\pi_s\bar{\pi}_s)\pi_{s+1}\pi_{s+1}\ldots\pi_r\pi_r$$ die Primfaktorzerlegung in $\DN$ sein. Damit folgt das Korollar aus unserer Beschreibung \ref{NPZG} der Gau"sprimzahlen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zahl der Darstellungen als Summe von zwei Quadraten}] Um aus einer Zerlegung einer nat"urlichen Zahl $n\geq 1$ in Gau"sprimfaktoren alle m"oglichen Darstellungen als Summe zweier Quadrate zu erhalten, mu"s man alle Zerlegungen $n=(x+{\op{i}}y)(x-{\op{i}}y)$ finden. Sei dazu $n=p_1^{v_1}\ldots p_r^{v_r}2^t$ die Primfaktorzerlegung mit den $p_i$ paarweise verschieden ungerade und $p_1,\ldots, p_s$ den Primfaktoren kongruent zu Eins modulo vier. Sei $\mathcal P\subset \DZ[\op{i}]$ ein Repr"asentantensystem f"ur die Gau"sprimzahlen bis auf Multiplikation mit Einheiten. Seien $\alpha_i,\beta_i\in \mathcal P$ f"ur $1\leq i\leq s$ die beiden Teiler von $p_i$ aus unserem Repr"asentantensystem. So sind alle M"oglichkeiten f"ur $(x+{\op{i}}y)$ offensichtlich genau die paarweise verschiedenen Produkte $$(x+{\op{i}}y)=\varepsilon\cdot \alpha_1^{\nu_1}\beta_1^{v_1-\nu_1}\ldots \alpha_s^{\nu_s}\beta_s^{v_s-\nu_s} \cdot p_{s+1}^{v_{s+1}/2}\ldots p_r^{v_r/2} \cdot (1+{\op{i}})^t$$ mit $0\leq \nu_i\leq v_i$ f"ur $1\leq i\leq s$ und $\varepsilon \in \DZ[\op{i}]^\times$. Mithin ist $4(v_1+1)\ldots(v_s+1)$ die Anzahl der $(x,y)\in \DZ^2$ mit $n=x^2+y^2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein faktorieller Ring $R$ bezeichne\label{IrLok} \index{irk@$\op{irk}$ Irreduziblenklassen}$\op{irk}(R)$ die Menge {\bf Irreduziblenklassen},\index{Irreduziblenklasse} als da hei"st der Bahnen unter der Einheitengruppe $R^\times$ in der Menge der irreduziblen Elemente von $R$. Gegeben ein irreduzibles $r\in R$ bezeichne $[r]\in\op{irk}(R)$ seine Klasse. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{Irreduziblenklassen in Invariantenringen}] Seien $R$ ein faktorieller Ring und $\Gamma$ eine endliche Gruppe von Automorphismen von $R$ und es sei auch der Ring $R^\Gamma$ der $\Gamma$-Invarianten faktoriell. So gilt: \begin{enumerate} \item Wir erhalten eine Bijektion $$\op{irk}(R^\Gamma)\sira \op{irk}(R)/\Gamma$$ durch die Abbildung, die jedem $R^\Gamma$-irreduziblen Element $p$ die Menge der Klassen seiner $R$-irreduziblen Faktoren $\pi$ zuordnet; \item Die Vielfachheit von $\pi$ als Faktor von $p$ teilt die Ordnung $|\Gamma_{[\pi]}|$ der Isotropiegruppe der Irreduziblenklasse $[\pi]$. \end{enumerate} \end{Proposition*} \begin{Bemerkungw} F"ur die Vielfachheit von $\pi$ als Faktor von $p$ werden wir in \ref{pBew} die Notation $v_\pi(p)$ einf"uhren. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Diese Proposition systematisiert unsere obigen Betrachtungen zu irreduziblen Gau"s'schen Zahlen. Betrachten wir genauer $R=\DZ[\op{i}]$ mit der Operation der zweielementigen Gruppe $\Gamma$, deren nichttriviales Element als die komplexe Konjugation operiert, so erhalten wir $R^\Gamma=\DZ$ und sehen ein weiteres Mal, da"s jede irreduzible Gau"s'schen Zahl $\pi$ nur genau eine Primzahl $p$ teilt und da"s die Abbildung, die ihr diese Primzahl zuordnet, surjektiv ist mit bis auf Einheiten h"ochstens zweielementigen Fasern. Teil 2 zeigt dann weiter, da"s die Vielfachheit von $\pi$ als Faktor von $p$ h"ochstens Zwei ist und nur dann genau Zwei sein kann, wenn gilt $\bar\pi\in\DZ[\op{i}]^\times \pi$. Davon ausgehend analysiert man wie oben erkl"art, da"s $2=-{\op{i}}(1+{\op{i}})^2$ bis auf Einheiten die einzige M"oglichkeit f"ur einen doppelt auftauchenden irreduziblen Faktor ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur $\pi\in R$ geh"ort das Produkt $b(\pi)\pdef\prod_{\gamma\in \Gamma}\gamma(\pi)$ zu $R^\Gamma$. Mithin ist jedes $R$-irreduzible Element ein Teiler mindestens eines $R^\Gamma$-irreduziblen Elements und unsere Abbildung ist surjektiv. Teilt andererseits ein $R$-irreduzibles Element $\pi$ zwei $R^\Gamma$-Irreduzible $p$ und $q$, so teilt $b(\pi)$ sowohl $b(p)=p^{|\Gamma|}$ als auch $b(q)=q^{|\Gamma|}$, und da $b(\pi)$ keine Einheit sein kann, k"onnen sich $p$ und $q$ h"ochstens um eine Einheit unterscheiden und unsere Abbildung ist auch injektiv. Wir finden sogar genauer $b(\pi)=\varepsilon p^n$ f"ur $\varepsilon\in R^\Gamma$ eine Einheit. Wenn $r$ die Vielfachheit von $\pi$ als Faktor von $p$ ist und $\Gamma_{[\pi]}$ die Standgruppe der Irreduziblenklasse $[\pi]$, so haben wir weiter $$p=\eta\prod_{\bar\gamma\in \Gamma/\Gamma_{[\pi]}}\gamma(\pi)^r$$ mit einer Einheit $\eta\in R^\times$, die von der Wahl der Repr"asentanten $\gamma$ unserer Nebenklassen $\bar \gamma$ abh"angt, und f"ur $d=|\Gamma_{[\pi]}|$ gilt folglich $p^{d}\in b(\pi)^{r}R^\times=(p^n)^rR^\times$ und folglich $d=rn$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man bestimme s"amtliche Zerlegungen von $1000000$ in eine Summe von zwei Quadratzahlen. \end{Ubung} \subsection{Primfaktorzerlegung in Polynomringen} \begin{Bemerkungl} Gegeben einen Integrit"atskring $R$ erinnern wir seinen Bruchk"orper $\op{Frac} R$ aus \eref{DQok}{LA1}. Zum Beispiel haben wir $\op{Frac} \DZ=\DQ$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein faktorieller Ring $R$ und ein irreduzibles Element $p \in R$ erkl"aren wir\label{pBew} \begin{equation*} v_p : \op{Frac} R \rightarrow \mathbb Z\sqcup\{\infty\} \end{equation*} als die eindeutig bestimmte Abbildung mit $v_p \left(p^n a/b \right) = n $ f"ur $a, b \in R\backslash 0$ teilerfremd zu $p$ und mit $v_p (0) = \infty$. Diese Abbildung $v_p$ hei"st die {\bf $p$-Bewertung}\index{Bewertung} oder englisch {\bf $p$-valuation}.\index{valuation} Offensichtlich gilt $v_p(fg)=v_p(f)+ v_p(g)$ f"ur alle Elemente $f,g\in \op{Frac}R$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Wir haben $v_2(16/6)=3$, $v_3(16/6)=-1$, $v_5(16/6)=0$. Ist $k$ ein K"orper und $R=k[t]$ der Polynomring, so ist per definitionem $\op{Frac} R=k(t)$ der Funktionenk"orper und f"ur $f\in k(t)$ und $\lambda\in k$ ist $v_{(t-\lambda)}(f)$ die Nullstellenordnung beziehungsweise das Negative der Polstellenordnung der gebrochen rationalen Funktion $f$ an der Stelle $\lambda$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Minimalbewertung von Polynomen}] Gegeben ein faktorieller Ring $R$ und ein irreduzibles Element $p$ sowie ein Polynom $A = a_n X^n + \ldots + a_1 X + a_0 \in ({\op{Frac}} R) [X]$ erkl"aren wir die {\bf $p$-Minimalbewertung von}\index{Minimalbewertung eines Polynoms} $A$ durch \begin{equation*} w_p (A) \pdef \op{min} (v_p (a_i)) \end{equation*} Insbesondere ist das Nullpolynom das einzige Polynom $A$ mit $w_p (A) = \infty$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall $R=\DZ$ haben wir etwa $w_2(10X^2+6X+8)=1$. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Lemma von Gau"s}] Gegeben ein faktorieller Ring $R$ und ein irreduzibles Element $p\in R$ und\label{LVG} Polynome $A,B \in ({\op{Frac}} R) [X]$ gilt \begin{equation*} w_p (AB) = w_p (A) + w_p (B) \end{equation*} \end{Proposition} \begin{proof} Ist eines unserer Polynome konstant, so gilt die Gleichung offensichtlich. Mit dieser Erkenntnis k"onnen wir uns auf den Fall zur"uckziehen, da"s $A$ und $B$ Koeffizienten in $R$ haben und da"s gilt $w_p (A)= w_p (B)=0$. Es bleibt, aus diesen Annahmen $w_p (AB)=0$ zu folgern. F"ur ein Polynom $A\in R[X]$ ist $w_p (A)= 0$ gleichbedeutend dazu, da"s sein Bild $\bar A\in (R/\langle p\rangle)[X]$ nicht das Nullpolynom ist. Wir haben also $$ \begin{array}{lll} w_p (A)=0= w_p (B)&\RA&\bar A\neq 0\neq\bar B\\ &\RA& \bar A\bar B\neq 0\\ &\RA& \overline {A B}\neq 0\\ &\RA& w_p (AB)=0 \end{array} $$ Hier gilt die zweite Implikation, da der Faktorring $R/\langle p\rangle$ nach \ref{QFRH} und dann auch der Polynomring $(R/\langle p\rangle)[X]$ dar"uber Integrit"atsbereiche sind. \end{proof} \begin{Definition}\label{DefP} Sei $R$ ein faktorieller Ring. Ein Polynom $\sum^{r}_{i=0} a_{i} X^{i} $ aus dem Polynomring $ R[X]$ hei"st {\bf primitiv},\index{primitiv!Polynom} wenn es kein irreduzibles Element von $R$ gibt, das alle seine Koeffizienten teilt. Ein Polynom mit Koeffizienten im Bruchk"orper $P\in ({\op{Frac}}R)[X]$ nennen wir {\bf primitiv} oder genauer {\bf $R$-primitiv}, wenn es bereits in $R[X]$ liegt und dort primitiv ist. Ein Polynom $P\in ({\op{Frac}}R)[X]$ ist $R$-primitiv genau dann, wenn gilt $w_p(P)=0$ f"ur alle irreduziblen Elemente $p\in R$. \end{Definition} \begin{Beispiele} Die Polynome $X^2+2 X+ 10$ und $3X^2+20 X+ 150$ sind primitiv in $\DZ[X]$. Das Polynom $10X^2+6X+8$ ist nicht primitiv in $\DZ[X]$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Ich bin nicht gl"ucklich dar"uber, da"s mit dieser Definition auch alle Einheiten von $R$ primitive Polynome in $R[X]$ sind. An primitive Polynome jedoch noch zus"atzliche Bedingungen zu stellen, schien mir ein gr"o"seres "Ubel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich ist ein Polynom $A\in ({\op{Frac}} R) [X]$ primitiv genau dann, wenn gilt $w_p (A)=0$ f"ur alle irreduziblen Elemente $p$ von $R$. Offensichtlich gibt es f"ur jedes von Null verschiedene Polynom $A\in ({\op{Frac}} R) [X]\backslash 0$ ein Element $c\in {\op{Frac}} R$ mit $cA$ primitiv. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} [\textbf{Lemma von Gau"s, urspr"ungliche Form}\index{Gau"s, Lemma von}] In seiner urspr"unglichen Form sagt das Lemma von Gau"s, da"s das Produkt zweier primitiver Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten auch selbst wieder primitiv ist. Das folgt sofort aus der Identit"at $w_p (AB) = w_p (A) + w_p (B)$ in Proposition \ref{LVG}, die wir in dieser Ausarbeitung das Lemma von Gau"s genannt hatten, und ist auch im wesentlichen die Aussage, auf die wir uns dort beim Beweis zur"uckgezogen hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Polynomringe "uber faktoriellen Ringen}] Ist $R$ ein faktorieller Ring, so ist auch der Polynomring $R[X]$ ein faktorieller Ring und die\label{PFR} irreduziblen Elemente von $R[X]$ sind genau: \begin{enumerate} \item Alle irreduziblen Elemente von $R$; \item Alle primitiven Polynome aus $R[X]$, die irreduzibel sind in $({\op{Frac}} R) [X]$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Man sieht leicht, da"s die unter 1 und 2 aufgef"uhrten Elemente irreduzibel sind. Wir nennen sie f"ur den Moment kurz die 1\&2-Irreduziblen von $R[X]$. Wir beachten f"ur das folgende die Gleichheit der Einheitengruppen $R^\times=R[X]^\times$. Wir vereinbaren f"ur das weitere die Notation $K\pdef {\op{Frac}} R$. \\[2mm]\noindent Gegeben $A\in R[X]$ weder Null noch eine Einheit zeigen wir zun"achst, da"s es als Produkt von 1\&2-Irreduziblen dargestellt werden kann. Hat $A$ den Grad Null, so ist das klar. Andernfalls ist $A$ auch keine Einheit in $K[X]$ und wir finden eine Zerlegung $A=P_{1} \ldots P_{n}$ als Produkt von irreduziblen Polynomen in $K [X]$. Sicher k"onnen wir weiter schreiben $P_{i} = c_{i}\tilde{P}_i$ mit $c_{i}\in K^{\times}$ und $\tilde{P}_i$ primitiv. So erhalten wir eine Zerlegung $A = c \tilde{P}_{1} \ldots \tilde{P}_{n}$ mit $\tilde{P}_{i}$ primitiv und irreduzibel in $K[X]$ sowie $c \in K^{\times}$. Nach dem Lemma von Gau"s \ref{LVG} folgt $v_p(c)=w_p(A)\geq 0$ f"ur alle irreduziblen Elemente $p$ von $R$ und damit $c \in R$. Wir k"onnen also $c$ faktorisieren in $c = up_{1} \ldots p_{r}$ mit $u \in R^{\times}$ und $p_{i}\in R$ irreduzibel und folgern so die Existenz einer Zerlegung von $A$ in ein Produkt einer Einheit mit 1\&2-Irreduziblen. Das zeigt insbesondere, da"s wir unter 1 und 2 in der Tat alle irreduziblen Elemente von $R$ aufgelistet haben. \\[2mm]\noindent Nun zeigen wir noch die von einem faktoriellen Ring geforderte Eindeutigkeit der Faktorisierung bis auf Einheiten und Reihenfolge. Sind $$A =up_{1}\ldots p_{r} P_{1} \ldots P_{m}=vq_{1}\ldots q_{s} Q_{1} \ldots Q_{n}$$ zwei Zerlegungen von $A$ in ein Produkt einer Einheit mit irreduziblen Elementen, sagen wir $u,v \in R^{\times}$, $p_i,q_{j} \in R$ irreduzibel sowie $P_{k},Q_l \in R[X]$ irreduzibel in $K[X]$ und $R$-primitiv, so liefert die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in $K [X]$ zun"achst $n = m$ und $P_{i} = a_{i} Q_{\sigma (i)}$ f"ur geeignetes $\sigma \in \cal{S}_{n}$ und $a_{i} \in K^{\times}$. Aus der Primitivit"at folgt dann $a_{i} \in R^{\times}$ und aus der Faktorialit"at von $R$ schlie"slich die Gleichheit $r=s$ sowie die Existenz einer Permutation $\tau\in\cal{S}_r$ mit $q_i\in p_{\tau(i)}R^\times$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Die Zerlegung eines Polynoms aus $\DZ[X]$ in irreduzible Faktoren kann im Prinzip durch Ausprobieren in endlicher Zeit bestimmt werden. Ein Polynom vom Grad $n$ mu"s ja, wenn es nicht irreduzibel ist, einen Faktor haben von h"ochstens dem halben Grad, sagen wir h"ochstens Grad $m$. Nehmen wir dann $m+1$ ganzzahlige Stellen, so m"ussen die Werte unseres Faktors die Werte des urspr"unglichen Polynoms teilen. Wir m"ussen also nur f"ur alle Wahlen von Teilern der Werte des urspr"unglichen Polynoms an besagten Stellen das Interpolationspolynom bilden und pr"ufen, ob es unser urspr"ungliches Polynom teilt. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar} Sei $R$ ein faktorieller Ring. Ist ein nichtkonstantes Polynom $P\in R[X]\backslash R$ nicht irreduzibel als Element des Polynomrings "uber dem Bruchk"orper $P\in ({\op{Frac}}R)[X]$, so gibt es bereits in $R[X]$ Polynome $A,B$ positiven Grades mit $AB=P$.\label{zerLL} \end{Korollar} \begin{proof} G"abe es keine derartige Zerlegung $P=AB$, so k"onnte in einer Darstellung von $P$ als Produkt von $R[X]$-irreduziblen Elementen nach Satz \ref{PFR} nur ein Faktor auftreten, der ein irreduzibles primitives Polynom von positivem Grad ist, und das st"unde im Widerspruch zu unseren Annahmen. \end{proof} \begin{Beispiel} Ich will auch noch an einem Beispiel erkl"aren, wie man dies Korollar direkt aus dem Gau"s'schen Lemma folgern kann. Nehmen wir an, wir h"atten f"ur $7X^2-7$ in $\DQ[X]$ die Faktorisierung $$7X^2-7= (3X/7+3/7)(49X/3-49/3)$$ gefunden. Dann gilt $w_7(3X/7+3/7)+v_7(49X/3-49/3)=1\geq 0$ nach dem Gau"s'schen Lemma und wir k"onnen folglich so Primfaktoren $7$ zwischen den Faktoren unserer Faktorisierung austauschen, da"s beide Faktoren dadurch eine positive $7$-Bewertung kriegen. Diese M"oglichkeiten w"aren hier $7X^2-7= (3X+3)(7X/3-7/3)$ und $7X^2-7= (21X+21)(X/3-1/3)$. Ebenso k"onnen wir f"ur den Primfaktor $3$ vorgehen und erhalten so die beiden Zerlegungen $7X^2-7= (X+1)(7X-7)$ und $7X^2-7= (7X+7)(X-1)$ in $\DZ[X]$. \end{Beispiel} \begin{Korollar}\label{KPFj} F"ur jeden K"orper $k$ ist der Polynomring $k[X_{1}, \ldots, X_{n}] $ faktoriell. Sogar $\DZ [X_{1}, \ldots, X_{n}]$ ist ein faktorieller Ring. \end{Korollar} \begin{Korollar}\label{ENu} Ist $k$ ein K"orper und sind $f,g \in k[X,Y]$ teilerfremde Polynome, so haben $f$ und $g$ h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen in $k^2$. \end{Korollar} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildEVGN} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Nullstellenmengen zweier Polynome $f,g\in \DR[X,Y]$ ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler als durchgezogener Kreis und gestrichelter Umri"s eines auf dem R"ucken liegenden Kamels. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungw} In \ref{SBe} werden wir genauer die \glqq Schranke von B\'ezout\grqq\ f"ur die maximal m"ogliche Zahl gemeinsamer Nullstellen herleiten. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Unsere Polynome haben nach der Beschreibung \ref{PFR} der irreduziblen Elemente in Polynomringen "uber faktoriellen Ringen au"ser Einheiten erst recht keine gemeinsamen Teiler im Ring $k(X) [Y]$. Da dieser Ring nach \ref{PReF} ein Hauptidealring ist und da jeder Erzeuger des von unseren beiden Polynomen darin erzeugten Ideals ein gemeinsamer Teiler ist, gibt es notwendig $p, q \in k(X) [Y]$ mit $1 = pf + qg$. Nach Multiplikation mit so einer Art Hauptnenner $h$ von $p$ und $q$ erhalten wir eine Identit"at der Gestalt $$h = \tilde{p} f + \tilde{q} g$$ mit $0 \neq h \in k[X]$ und $\tilde{p},\tilde{q} \in k[X,Y]$. Die endlich vielen Nullstellen von $h$ sind dann die einzigen $x$-Koordinaten, die f"ur gemeinsame Nullstellen von $f$ und $g$ in Frage kommen. Ebenso kommen auch nur endlich viele $y$-Koordinaten f"ur gemeinsame Nullstellen in Frage. Das Korollar folgt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $R$ ein faktorieller Ring mit Bruchk"orper $K$ und sind $P,Q\in K[X]$ normierte Polynome mit $PQ\in R[X]$, so folgt bereits $P,Q\in R[X]$.\label{ZePP} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Gibt es f"ur ein Polynom $P$ aus dem Polynomring $P\in k[X_1,\ldots,X_n]$ ein Element $Q\in k(X_1,\ldots,X_n)$ aus dem Quo\-tien\-tenk"orper\label{WuPo} mit $Q^2=P$, so ist $Q$ bereits selbst ein Polynom, in Formeln $Q\in k[X_1,\ldots,X_n]$. Hinweis: \ref{Wuzt}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und $0 < n (1) < n (2) < \ldots < n (r) 1$ stets die Zerlegung $X^p-1=(X-1)(X^{p-1} + X^{p-2}+ \ldots + X+1)$, also ist f"ur $p$ prim der zweite Faktor das $p$-te Kreisteilungspolynom $\Phi_{p}$. In diesem Fall k"onnen wir die Irreduzibilit"at mithilfe des gleich folgenden \glqq Eisensteinkriteriums\grqq\ bereits hier zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Eisensteinkriterium}] Sei $P =a_{n} X^{n} + \ldots + a_{1}X + a_{0} \in \DZ [X]$ ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und $p$ eine Primzahl.\label{EisK} Gilt $p \nmid\! a_{n}$, $p|a_{n-1}$, $\ldots$, $p|a_{0}$ und $p^{2}\nmid\! a_{0}$, so ist $P$ irreduzibel in $\DQ [X]$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{EisKF} Eine analoge Aussage gilt mit demselben Beweis auch f"ur Polynome mit Koeffizienten in einem beliebigen faktoriellen Ring. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $P$ nicht irreduzibel in $\DQ [X]$, so besitzt es nach \ref{zerLL} bereits eine Faktorisierung $P =QR$ in $\DZ[X]$ mit $Q, R$ von positiven Graden $r,s>0$ und $r+s=n$. Wir reduzieren nun die Koeffizienten modulo $p$ und folgern in $\Bbb{F}_{p} [X]$ eine Faktorisierung $$\bar{P} = \bar{Q}\;\!\bar{R}$$ Nach Annahme haben wir aber $\bar{P} = \bar{a}_{n}X^{n}$ mit $\bar{a}_{n} \neq 0$. Es folgt $\bar{Q} = bX^{r}$ und $\bar{R}= cX^{s}$ f"ur geeignete $b,c \in \Bbb{F}_{p}^{\times}$ und denselben positiven $r, s >0$, denn das sind die einzig m"oglichen Faktorisierungen von $\bar{a}_{n}X^{n}$ als Produkt von Nichteinheiten im faktoriellen Ring $\Bbb{F}_{p} [X]$. Daraus folgt hinwiederum, da"s die konstanten Terme von $Q$ und $R$ durch $p$ teilbar sind, und dann mu"s der konstante Term von $QR=P$ teilbar sein durch $p^{2}$ im Widerspruch zur Annahme. \end{proof} \begin{Korollar} F"ur jede Primzahl $p$ ist das $p$-te Kreisteilungspolynom $\Phi_{p}(X) = X^{p-1} + X^{p-2}+ \ldots + X+1$ irreduzibel in $\DQ [X]$.\label{EKP} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir haben $X^p-1=(X-1)\Phi_{p}(X)$. Reduzieren wir diese Gleichung modulo $p$ und beachten die Gleichung $X^p-1=(X-1)^p$ in $\Bbb{F}_p[X]$, so folgt $\bar{\Phi}_{p}(X)=(X-1)^{p-1}$ in $\Bbb{F}_p[X]$ und nach der Substitution $X=Y+1$ haben wir $\bar{\Phi}_{p}(Y+1)=Y^{p-1}$ in $\Bbb{F}_{p} [Y]$, als da hei"st, alle Koeffizienten von $\Phi_{p}(Y+1)$ bis auf den Leitkoeffizienten sind durch $p$ teilbar. Jetzt pr"ufen wir einfach explizit, da"s der konstante Term von $\Phi_{p}(Y+1)$ genau $p$ ist, und haben gewonnen nach dem Eisensteinkriterium \ref{EisK}. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Nach ersten Rechnungen mag man vermuten, da"s als Koeffizienten von Kreisteilungspolynomen nur $1$, $0$ und $-1$ in Frage kommen. Das erste Gegenbeispiel f"ur diese Vermutung liefert das $105$-te Kreisteilungspolynom, in dem $X^7$ mit dem Koeffizienten $2$ auftritt. Man kann allgemeiner sogar zeigen \cite{SuzK, AKT}, da"s jede ganze Zahl als Koeffizient mindestens eines Kreisteilungspolynoms auftritt. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Kreisteilungspolynome zu Primzahlpotenzen}] Man zeige die Formel\label{KTP} $\Phi_9(X)=X^6+X^3+1$ f"ur das neunte Kreisteilungspolynom. Man zeige allgemeiner $\Phi_{p^r}(X)=\Phi_{p}(X^{p^{r-1}})$ f"ur $p$ prim und $r\geq 1$. Man gebe auch explizite Formeln f"ur alle kleineren Kreisteilungspolynome $\Phi_1,\ldots,\Phi_8$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NKTT} Man zeige, da"s das neunte Kreisteilungspolynom $\Phi_9(X)=X^6+X^3+1$ in $\DQ[X]$ irreduzibel ist. Hinweis: Man substituiere $X=Y+1$ und wende das Eisensteinkriterium an. Mit einem bereits weiter oben verwendeten Trick kann die Rechnung stark vereinfacht werden. Dasselbe Argument zeigt, da"s alle Kreisteilungspolynome $\Phi_{p^r}(X)$ f"ur eine Primzahl $p$ in $\DQ[X]$ irreduzibel sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $X^7 - 9$ ein irreduzibles Polynom in $\mathbb Z [X]$ ist. Hinweis: Man betrachte die Einbettung $\mathbb Z [X] \hookrightarrow \mathbb Z [Y]$ mit $X \mapsto Y^2$. %$Y^14 - 9=(Y^7 - 3)(Y^7 +3)$ \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zerlege $(X^n-Y^n)$ in $\DC[X,Y]$ in ein Produkt irreduzibler Faktoren. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Quantisierte Binomialkoeffizienten}] Ist\index{Binomialkoeffizienten!quantisierte} $\mathbb F$ ein endlicher K"orper mit $q$ Elementen, so ist die Zahl der $k$-dimensionalen Teilr"aume von $\mathbb F^n$ genau \begin{equation*} \frac{(q^n -1) (q^n-q) \ldots (q^n - q^{k-1})}{(q^k -1) (q^k - q) \ldots (q^k-q^{k-1})} \end{equation*} Setzen wir $[n]_q \pdef q^{n-1}+ q^{n-1} + \ldots +1 = (q^n -1) / (q -1)$, so k"onnen wir unser Ergebnis auch darstellen als \begin{equation*} \frac{[n]_q [n-1]_q \ldots [n-k +1]_q}{[k]_q [k-1]_q \ldots [1]_q} \end{equation*} F"ur diese {\bf quantisierten Binomialkoeffizienten} ist auch eine Notation wie f"ur die gew"ohnlichen Binomialkoeffizienten mit eckigen statt runden Klammern "ublich. Man zeige, da"s unsere quantisierten Binomialkoeffizienten, wenn wir sie als Element des Bruchk"orpers $\DQ('q)$ lesen, f"ur alle $k,n$ mit $0\leq k\leq n$ bereits im Polynomring $\DZ['q]\subset\DQ('q) $ liegen. Hinweis: Man finde eine induktive Beschreibung der Art, wie sie dem Pascal'schen Dreieck zugrunde liegt. \end{Ubunge} \subsection{Symmetrische Polynome}\label{SyPo} \begin{Definition} Sei $k$ ein Ring. F"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$ setzen wir die Identit"at auf $k$ fort zu einem Ringhomomorphismus $$\begin{array}{rccc} \sigma :& k [X_{1}, \ldots , X_{n}]& \ra & k[X_{1},\ldots , X_{n}]\\ &X_{i}& \mapsto & X_{\sigma (i)} \end{array}$$ Ein Polynom $f \in k [X_{1}, \ldots , X_{n}]$ hei"st {\bf symmetrisch},\index{symmetrisch!Polynom}\index{Polynom!symmetrisches} wenn gilt $f = \sigma f \; \forall \sigma \in \cal{S}_{n}$. Die Menge aller symmetrischen Polynome ist ein Teilring des Polynomrings $$k [X_{1}, \ldots X_{n}]^{\cal{S}_{n}}\subset k[X_{1}, \ldots , X_{n}]$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Fall $n\leq 4$ schreibe ich meist $X,Y,Z,W$ statt $X_1, X_2, X_3, X_4$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{IPol} Operiert ganz allgemein eine Gruppe $G$ auf einem Ring $R$ durch Ringhomomorphismen, so bilden die $G$-Invarianten stets einen Teilring $R^G\subset R$, den {\bf Invariantenring}.\index{Invariantenring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Operiert eine Gruppe $G$ auf einem Ring $R$ durch Ringhomomorphismen, so operiert unsere Gruppe auch auf dem Polynomring "uber $R$ in einer oder sogar in mehreren Ver"anderlichen. Die Invarianten des Polynomrings fallen dann mit dem Polynomring "uber dem Invariantenring zusammen, in Formeln $R[T]^G=R^G[T]$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Das Produkt $X_{1} \ldots X_{n}$ und die Summe $X_{1}+ \ldots + X_{n}$ sind symmetrische Polynome. Allgemeiner definieren wir die \defnoind{elementarsymmetrischen Polynome}\index{elementarsymmetrische Polynome} in $n$ Ver"anderlichen $s_{i} (X_{1},\ldots , X_{n}) \in \DZ [X_{1},\ldots , X_{n}]^{\cal{S}_{n}}$ durch die Identit"at $$(T+X_{1})(T+X_{2})\ldots (T+X_{n}) = T^{n}+s_{1}T^{n-1} + s_{2} T^{n-2} + \ldots + s_{n}$$ im Ring $\DZ[X_1,\ldots,X_n][T]^{\cal{S}_n}=\DZ[X_1,\ldots,X_n]^{\cal{S}_n}[T]$, so da"s wir also haben $$s_{i} = \sum_{|I|=i} \left(\prod_{j\in I} X_{j}\right)$$ Die Summe l"auft hierbei "uber alle $i$-elementigen Teilmengen $I\subset\{1,\ldots,n\}$. Speziell ergibt sich $s_{1} = X_{1}+\ldots + X_{n}$ und $s_{2} = X_{1}X_2+ X_1X_3 +\ldots + X_1X_{n} + X_2X_3 +\ldots + X_2X_{n} +\ldots + X_{n-1}X_{n}$ und $s_{n}= X_{1} \ldots X_{n}$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ sind f"ur beliebige $\zeta_1,\ldots,\zeta_n\in k$ die Koeffizienten des Polynoms $\prod_{i=1}^n(T-\zeta_i)\in k[T]$ per definitionem die elementarsymmetrischen Polynome in den $(-\zeta_i)$. Grob gesprochen sind also \glqq die Koeffizienten eines normierten Polynoms bis auf Vorzeichen die elementarsymmetrischen Polynome in seinen Nullstellen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} $(T-\xi)(T-\zeta)=T^2 - (\xi + \zeta)T + \xi\zeta=T^2-s_1(\xi,\zeta)T+s_2(\xi,\zeta)$. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{"uber symmetrische Polynome}] Alle symmetrischen Polynome sind polynomiale\index{symmetrische Polynome} Ausdr"ucke in den elementarsymmetrischen Polynomen und die elementarsymmetrischen\label{SyP} Polynome $s_{i}$ sind algebraisch unab\-h"angig. F"ur einen beliebigen Ring $k$ haben wir also in Formeln $$k[X_{1}, \ldots , X_{n}]^{\cal{S}_{n}} = k ['s_{1}, \ldots, s_{n}]$$ mit einem \glqq Freiheits\-strich\-lein\grqq\ an der er"offnenden Klammer im Sinne unserer Notation \ref{FST}. \end{Satz} \begin{Beispiel} Wir haben $X_{1}^{3}+X^{3}_{2}+X^{3}_{3} = s^{3}_{1} - 3 s_{1}s_{2}+3s_{3}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir haben $X^3+Y^3 + Z^3=s^{3}_{1} - 3 s_{1}s_{2}+3s_{3}$. Kampf dem Index! \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir verwenden hier die Notation $X,Y$ statt $X_1, X_2$. Die Darstellung von $(X-Y)^2$ durch elementarsymmetrische Polynome ist \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} (X-Y)^2 &=&(X+Y)^2 - 4XY \\ &= &s_1^2 - 4s_2 \end{array} \end{displaymath} Ein quadratisches Polynom $T^2 - pT + q = (T-\zeta) (T-\xi)$ mit Koeffizienten $p,q$ und Nullstellen $\zeta, \xi$ in einem Integrit"atsbereich $k$ hat also genau dann eine doppelte Nullstelle $\zeta= \xi$, wenn gilt \begin{displaymath} 0 = p^2 -4q \end{displaymath} In der Tat gilt f"ur unsere $p,q$ eben die Identit"at $(\zeta-\xi)^2=(\zeta +\xi)^2-4\zeta\xi= p^2 -4q$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Die symmetrischen Polynome bilden einen Ring. Da die elementarsymmetrischen Polynome symmetrisch sind, da also $s_{1}, \ldots, s_{n}\in k[X_{1}, \ldots , X_{n}]^{\cal{S}_{n}}$, gilt schon mal $ k[X_{1}, \ldots , X_{n}]^{\cal{S}_{n}}\supset k [s_{1}, \ldots, s_{n}]$. F"ur das weitere verwenden wir die Multiindexnotation wie in \eref{MuIn}{AN2} und vereinbaren f"ur einen Multiindex $\al = (\al_{1}, \ldots , \al_{n}) \in \DN^{n}$ die Abk"urzung $$X^{\al} \pdef X^{\al_{1}}_{1} \ldots X^{\al_{n}}_{n}$$ Um nun die umgekehrte Inklusion $\subset$ zu zeigen, betrachten wir auf $\DN^{n}$ die \defind{lexikographische Ordnung}, also etwa $(5,1,3)\geq (4,7,1) \geq (4,7,0) \geq (4,6, 114)$ im Fall $n=3$. In Formeln ist sie induktiv definiert durch $$\begin{array}{lcr} (\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}) \geq (\beta_{1}, \ldots, \beta_{n}) &\Leftrightarrow & \begin{array}[t]{l} \alpha_{1}>\beta_{1}\\ \text{ oder}\\ \alpha_{1}=\beta_{1} \text{ und } (\alpha_{2},\ldots ,\alpha_{n}) \geq (\beta_{2},\ldots ,\beta_{n}). \end{array} \end{array}$$ Bez"uglich dieser Ordnung besitzt jede nichtleere Teilmenge von $\DN^{n}$ ein kleinstes Element, es gibt darin anders gesagt keine unendlichen streng monoton fallenden Folgen. F"ur ein von Null verschiedenes Polynom $0\neq f = \sum c_{\al} X^{\al}$ nennen wir das gr"o"ste $\al \in \DN^{n}$ mit $c_{\al} \neq 0$ seinen {\bf Leitindex}. Zum Beispiel hat das $i$-te elementarsymmetrische Polynom $s_i$ den Leitindex $(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$ mit $i$ Einsen vorneweg und dann nur noch Nullen. G"alte unsere Inklusion $\subset$ nicht, so k"onnten wir unter allen symmetrischen Polynomen au"serhalb von $k [s_{1}, \ldots, s_{n}]$ ein $f$ mit kleinstm"oglichem Leitindex $\al$ w"ahlen. Wegen $f = \sum c_{\al} X^{\al}$ symmetrisch gilt $c_{\al}=c_{\beta}$, falls sich die Multiindizes $\al$ und $\beta$ nur in der Reihenfolge unterscheiden. Der Leitindex von $f$ hat folglich die Gestalt $$\al = (\alpha_{1},\ldots , \alpha_{n}) \text{ mit } \alpha_{1} \geq \ldots \geq \alpha_{n}$$ Dann hat das Produkt $$g\pdef s_{1}^{\alpha_{1}-\alpha_{2}} s_{2}^{\alpha_{2}-\alpha_{3}} \ldots s^{\alpha_{n-1}-\alpha_{n}}_{n-1} s_{n}^{\alpha_{n}}$$ denselben Leitindex wie $f$ und den Koeffizienten Eins vor dem entsprechenden Monom. Die Differenz $f-c_{\al} g$ ist folglich entweder Null oder hat zumindest einen echt kleineren Leitindex, geh"ort also zu $k [s_{1}, \ldots, s_{n}]$. Dann geh"ort aber auch $f$ selbst zu $k [s_{1}, \ldots, s_{n}]$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. Um schlie"slich die lineare Unabh"angigkeit der Monome $s_{1}^{\gamma_{1}} \ldots s_{n}^{\gamma_{n}}$ in den elementarsymmetrischen Funktionen zu zeigen beachten wir, da"s diese Monome paarweise verschiedene Leitindizes haben. Ist nun eine Linearkombination mit Koeffizienten in $k$ unserer Monome null, so notwendig auch der Koeffizient des Monoms mit dem gr"o"sten Leitindex und dann induktiv alle Koeffizienten aller Monome. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Multiindex $\al = (\al_{1}, \ldots , \al_{n}) \in \DN^{n}$ verwenden wir wie in \eref{MuIn}{AN2} die Notation $$|\al| \pdef \al_{1} + \ldots + \al_{n}$$ Ein Polynom in mehreren Ver"anderlichen mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring hei"st {\bf homogen vom Grad $d$},\label{hPP} \index{homogen!Polynom} wenn es eine Linearkombination von Monomen $X^\al$ ist mit $|\al|=d$, in Formeln $$f=\sum_{|\al|=d}c_\al X^\al$$ Nennt man ein Polynom einfach nur {\bf homogen}, so ist gemeint, da"s es einen Grad $d$ gibt derart, da"s unser Polynom homogen ist vom Grad $d$. Das Nullpolynom ist homogen von jedem Grad, aber jedes von Null verschiedene homogene Polynom ist homogen von nur genau einem Grad. Das Produkt zweier homogener Polynome ist homogen vom Grad der Summe der Grade der Faktoren. Gegeben ein nicht notwendig homogenes Polynom $g=\sum_{\al}c_\al X^\al$ hei"st $\sum_{|\al|=d}c_\al X^\al$ seine {\bf homogene Komponente vom Grad $d$}.\index{homogene Komponente!von Polynom} Jedes Polynom ist mithin die Summe seiner homogenen Komponenten und fast alle seiner homogenen Komponenten sind Null. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Das Nullpolynom hat in unserer Terminologie einerseits den Grad $-\infty$ und ist andererseits homogen von jedem Grad $d\in\DN$. Diese terminologische Schwierigkeit gilt es auszuhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das Polynom $X^3Y^3Z+ X^2 Z^5 -98 X^4YZ^2$ ist homogen vom Grad $7$. Das elementarsymmetrische Polynom $s_d$ ist homogen vom Grad $d$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir bestimmen nun die Darstellung des symmetrischen Polynoms $\Delta \pdef (X-Y)^{2}(Y-Z)^{2}(Z-X)^{2}$ als Polynom in elementarsymmetrischen Polynomen. Unser Polynom ist homogen vom Grad $6$ und das $i$-te elementarsymmetrische Polynom $s_i$ ist homogen vom Grad $i$. Wir machen also den Ansatz $$ \Delta = As^{6}_{1} + Bs_{1}^{4}s_{2} + C s_{1}^{3} s_{3} +D s_{1}^{2}s_{2}^{2} + E s_{1}s_{2}s_{3} + F s^{3}_{2} + Gs^{2}_{3} $$ Hier haben wir die Summanden nach ihren Leitindizes geordnet. Da in $\Delta$ keine Monome $X^{6}$ oder $X^{5} Y$ vorkommen, gilt $A=B=0 $. Setzen wir $Z=0$, so folgt $$(XY)^{2} (X^{2}-2XY + Y^{2})= D(X+Y)^{2} (XY)^{2} + F(XY)^{3}$$ und damit $D=1$ und $F=-4$. Wir kommen so zu einer Darstellung der Form $$\Delta = C s_{1}^{3} s_{3} + s^{2}_{1}s_{2}^{2} + Es_{1}s_{2}s_{3} - 4 s_{2}^{3} + Gs^{2}_{3}$$ Z"ahlen wir die Monome $X^{4}YZ$ auf beiden Seiten, so folgt $C =-4$. Setzen wir jetzt f"ur $(X,Y,Z)$ speziell die Werte $(1,1,-1)$ und $(2,-1,-1)$ ein, so erhalten f"ur $(s_{1},s_{2},s_{3})$ die Werte $(1,-1,-1)$ und $(0,-3,2)$ und finden $$ 4 + 1+E+G+4= 0= 4G + 4\cdot 27 $$ Daraus folgt sofort $G = - 27$, $E = 18$ und dann als Endresultat $$\Delta = s_{1}^{2}s_{2}^{2} - 4s_{1}^{3}s_{3} + 18 s_{1}s_{2}s_{3} - 4 s^{3}_{2}- 27 s^{2}_{3}$$ Ein kubisches Polynom $T^3+aT^2+bT+c=(T+\al)(T+\beta)(T+\gamma)$ mit Koeffizienten $a,b,c$ und Nullstellen $-\al,-\beta,-\gamma$ in einem Integrit"atskring $k$ hat also mehrfache Nullstellen genau dann, wenn gilt $$0 = a^{2}b^{2} -4a^{3}c + 18 abc - 4 b^{3}- 27 c^{2}$$ Das Negative $\op{Disk}_3\pdef -\Delta$ dieses Ausdrucks in den Koeffizienten werden wir gleich in \ref{DeDia} f"ur normierte Polynome beliebigen Grades als deren \glqq Diskriminante\grqq\ einf"uhren. \end{Beispiel} \begin{Satz}\label{DeDia} Es gibt f"ur jedes $n\in\DN$ genau ein Polynom in $n$ Variablen, genannt die \emph{\bf $n$-te Diskriminante}\index{Diskriminante} $\op{Disk}_{n} \in \DZ ['A_{1}, \ldots, A_{n}]$, mit der Eigenschaft, da"s beim Einsetzen derjenigen Polynome $a_i \in \mathbb Z ['\zeta_1, \ldots, \zeta_n]$ in die Variablen, die durch die Identit"at $T^n + a_1 T^{n-1} + \ldots + a_n = (T+\zeta_1) \ldots (T +\zeta_n)$ gegeben werden, im Polynomring $\mathbb Z ['\zeta_1, \ldots, \zeta_n]$ gilt \begin{equation*} \op{Disk}_n(a_{1}, \ldots, a_{n}) = \prod_{i\neq j} (\zeta_i - \zeta_j) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Die Bezeichnung \glqq Diskriminante\grqq\ wird verst"andlich, wenn man mehrfache Nullstellen ansieht als \glqq eigentlich verschiedene\grqq\ Nullstellen, die nur ungl"ucklicherweise zusammenfallen und deshalb nicht mehr voneinander unterschieden alias \glqq diskriminiert\grqq\ werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Unser Produkt ist offensichtlich symmetrisch und l"a"st sich nach \ref{SyP} folglich eindeutig schreiben als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{Diskk} F"ur jeden kommutativen Integrit"atsbereich $k$ und jedes normierte Polynom $T^n + a_{1} T^{n-1}+\ldots + a_{n} $ im Polynomring $ k[T]$, das in $k[T]$ vollst"andig in Linearfaktoren zerf"allt, sind f"ur die eben definierte Diskriminante $\op{Disk}_n$ offensichtlich gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $\op{Disk}_n(a_{1}, \ldots ,a_{n})= 0;$ \item Das Polynom $T^{n} + a_{1} T^{n-1} + \ldots +a_{n}$ hat mehrfache Nullstellen. \end{enumerate} Man nennt das Element $\op{Disk}_n(a_{1}, \ldots ,a_{n})\in k$ auch die {\bf Diskriminante des normierten Polynoms} $T^n + a_{1} T^{n-1}+\ldots + a_{n} $. Eine explizite Formel f"ur die Diskriminante geben wir in \ref{FoDis}. Manche Quellen erkl"aren die Diskriminate abweichend als $\prod_{i